Document 678790

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет Вариант №4535
1. Двойной интеграл определяется равенством:
1 ).
 f x, y dxdy 
D
n
 f  i , i Si
lim
n  i 1
(max d i 0)
n
2 ).
 f  i , i  y i
lim
n 
i 1
(max d i 0 )
D
n  i 1
(  0 )
D
n
3 ).  f x , y dxdy 
 f x, y dxdy  lim  f  i , i x i
n
4 ).
 f  i , i l i
 f x, y dxdy  nlim

D
(  0 )
i 1
n
5 ).
 f  i , i  Vi
 f x, y  dx dy  nlim

 0 
D
2. Для какой функции
i 1
f x, y, z существует тройной интеграл  f x , y, z dx dy dz
?
V
1 ). для функции f x , y, z , непрерывной в каждой точке гладкой кривой
2 ). для функции
f x , y, z , непрерывной в ограниченной замкнутой области пространства Oxyz 3 ). для любой
функции f x , y, z 
4 ). для разрывной функции
5 ). для функции f x , y, z , непрерывной в
замкнутой области плоскости xOy
3. Какие из следующих интегралов не являются криволинейными интегралами I рода? 1)
 dq
2)
Q
t2
x2
2
2
2
 f x t , yt  x t   yt  dt 3)  f x, yx  1  yx  dx
t1
x1
4)
 f x, ydx
AB
1 ). 1,2,3 2 ). 1
3 ). все 4 ). 4 5 ). 2,3,4
4. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода
 X dx  Y dy
AB
1 ). изменяет свой знак на противоположный, т.е.
 X dx  Y dy    X dx  Y dy
AB
меняет своего значения, т.е.
 X dx  Y dy   X dx  Y dy
AB
 X dx  Y dy  0
2 ). не
BA
3 ). обращается в ноль, т.е.
BA
4 ). нельзя менять направление пути интегрирования
5 ). удваивает свое
BА
значение, т.е.
 X dx  Y dy  2  X dx  Y dy
AB
BA
5. Если поверхность  задана уравнением вида
вычисляется по формуле:
1 ).
2
2
 f x, y, z  d   f x y, z , y, z  1  z y  z x dx dy

2 ).
4 ).
5 ).
D
2
2
 f x, y, z  d   f x y, z , y, z  1  x y  x z dy dz

3 ).
x  xy, z , то поверхностный интеграл первого рода
D
2
2
 f x, y, z  d   f x y, z , y, z  1  x y  x z dydz

D

D
 f x, y, z  d   f x y, z , y, z  1  x y  x z  dx dz
 f x, y, z  d   f x y, z , y, z  1  x y  x z dy dz

D
6. Пусть поверхность  состоит из частей 1 и  2 , имеющих лишь общую кривую L, их
разделяющую. Тогда поверхностный интеграл II рода по всей поверхности  равен
1 ). разности интегралов по поверхностям
1 и  2
поверхностей
1 и  2
2 ). сумме длины кривой L и площадей
1 и  2
1 и  2
3 ). сумме поверхностных интегралов по
интеграла по границе L
4 ). сумме интегралов по поверхностям
и криволинейного
5 ). сумме длины кривой
L и интегралов по поверхностям 1 и  2
7. Средняя плотность циркуляции по замкнутому контуру есть величина
1 ). скалярная
2 ). векторная
3 ). смешанная
4 ). правильного ответа нет 5 ). не
определяемая
8. Найти градиент скалярного поля U  xyz  z в данной точке P1; 2; 1 . Определить grad U .
2 ). нет правильного ответа
1 ). 1
3 ). 4
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
e
1 ).
1
 dy y f x, y  dx
1
4 ).
e
2 ).
e
ey
1
1
 dy  f x, y  dx
x
1
e
0
1
 dx  f x, y  dy
1
 dy  f x, y  dx
1
e
5 ). 3
4 ). 2
3 ).
ln y
e
1
1
0
 dy  f x, y  dx
5 ). нет правильного ответа
x 2  y 2  1
10. Вычислить двойной интеграл  1  x  y dx dy , где D : 
D
y  0
 32
 32

2 1
2  1 4 ).
1 ).
2 ). нет правильного ответа 3 ).
5 ). 
3
3
3
11. Вычислить тройной интеграл  x dx dy dz по области V , ограниченной плоскостями: x  0 ,
2

2



V
y  0 , z  0 , x  y  z  1.
1 ). нет правильного ответа 2 ). 1 6
3 ). 1 24
4 ). 1
12.
С помощью криволинейного интеграла I рода
5 ). 1 12
найдите массу
дуги
окружности
x  3sin t
 
, t   ;  . Линейная плотность кривой равна xy

4 2
y  3cos t
27
27
1 ). 27
2 ).
3 ). 
4 ). 30
5 ). 54
4
4
3
13. Работа силы F  x i  2,5 x j при перемещении материальной
точки вдоль дуги параболы
1 ). 19/12
2 ). 23/12
3 ). 17/12 4 ). -19/12
5 ). -23/12
14. Вычислите криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру
L , взятому в положительном
y  x 2 , x   1; 0, равна:
направлении обхода.

L
3
xy dx
x  y 3

x y  , L : x 2  y  1, y  2  0 . Указание:
  3x  y 
dy
3 


x

y


3
сделайте рисунок, воспользуйтесь формулой Грина.
1 ). 3
2 ). 6 3 ). 2 4 ). 4
5 ). 5
15. Найти поток векторного поля
поверхность
1 ). 2/3

 

a  5 x  6 y i  11 z 2  2 y j  x 2  z k
x  y  2 z  2
по формуле Остроградского-Гаусса
 :
x

0
,
y

0
,
z

0

2 ). нет правильного ответа
3 ). 4
4 ). 0
5 ). 2
через замкнутую
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет Вариант №4536
1. В двойном интеграле  f x , y dxdy подынтегральная функция f x, y


D
1 ). непрерывная в каждой точке гладкой кривой L, ограничивающей область D плоскости xOy
2 ). неограниченная 3 ). разрывная
4 ). непрерывная в замкнутой области D плоскости xOy
5 ). любая
2. Если трехмерная область правильная в направлении оси 0X , то всякая прямая, параллельная оси
OX , проведенная через внутреннюю точку области, пересекает поверхность
1 ). в трех точках
2 ). не пересекает поверхность
3 ). в двух точках
4 ). точек пересечения
множество 5 ). в одной точке
3. Какие из следующих интегралов являются криволинейными интегралами I рода? (кривая
интегрирования находится на плоскости XOY) 1)  dt 2)  d 3)  x dS 4)  y   x, y d 5)
T
 y  f y dy
S
L
MN
MN
1 ). 1,2,3,4 2 ). все 3 ). 1,3,4
4. Криволинейный интеграл II рода
4 ). все
5 ). 4
X dx  Y dy по замкнутой кривой

L
1 ). зависит от выбора начальной точки на этой кривой
2 ). не зависит от направления обхода
вдоль этой кривой
3 ). зависит от направления обхода вдоль этой кривой
4 ). не зависит от выбора
начальной точки на кривой и не зависит от направления обхода 5 ). зависит и от выбора начальной
точки и от направления обхода кривой
5. Для какой функции f x, y, z существует поверхностный интеграл первого рода  f x, y, z d ?

1 ). для любой функции


f x, y, z
2 ). для разрывной функции
f x, y, z


3 ). для функции
f x, y, z , непрерывной в плоскости, касательной к поверхности  4 ). для функции f x, y, z ,
непрерывной в каждой точке гладкой кривой
5 ). для функции f x, y, z  , непрерывной в каждой
точке гладкой поверхности 
6. При изменении стороны поверхности интегрирования значение поверхностного интеграла по
координатам
1 ). не изменится 2 ). нельзя менять сторону поверхности 3 ). поменяет свой знак
4 ). удвоится
5 ). будет равно нулю
7. Вектор dr в формуле вычисления циркуляции направлен
1 ). правильного ответа нет 2 ). по нормали к кривой
3 ). под углом к кривой
касательной к кривой
5 ). произвольным образом
8.
Найти градиент скалярного поля U  xy  z x  y
2
3
в данной точке P0; 1; 3 . Определить
grad U .
1 ). нет правильного ответа
101
2 ).
109
3 ).
4 ).
102
5 ).
113
2
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
3
1 ). нет правильного ответа
9
4 ).
0
9
9
 dx  f x, y dy
3 x
2 ).
5 ).
y
9
0
0
 dy  f x, y  dx
9
 dx  f x, y dy
0
9
3 x
 dx 2 f x, y  dy
0
9
x
9
4 ). по
3 ).
9
9
0
0
 dx  f x, y  dy
10. Вычислить двойной интеграл
1 ).
24
2 ). 18
2
2
 9  x  y dxdy , где область D
D
3 ). 14 
Вычислить
11.
4 ). 10 
тройной
- круг
x 2  y2  9.
5 ). нет правильного ответа
 9  18 z dx dy dz ,
интеграл
где
V
V : y  4 x; y  0; 0  x  1; z  x y; z  0
12.
1 ). 34
С
2 ). нет правильного ответа 3 ). 33
4 ). 32
5 ). 31
помощью криволинейного интеграла I рода найдите
массу
дуги
окружности
x  2 cos t
y
 
, t  0;  . Линейная плотность кривой равна

x
 4
y  2 sin t
1 ). ln 2  1 2 ). 2 ln 2
3 ).  2 ln 2
4 ). ln 2
5 ). 0,5 ln 2
13.
Работа силы
F  3 x 3 i  1,5 x j
при перемещении материальной точки вдоль дуги параболы
y  x 2 , x   2; 0, равна:
1 ). 20
2 ). -48/3
3 ). -4 4 ). 48/3
5 ). -20
14. Вычислите криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру
L , взятому в положительном


x dy
y

направлении обхода. 
, L - ломаная ABC , с вершинами
 y  dx 
2 2
2 2


L 1 x y
1 x y

2
2
A2; 2 , B4; 3, C4; 2 и нижняя часть окружности: x  3  y  2  1 y  2. Указание:
сделайте рисунок, воспользуйтесь формулой Грина, а так же известными формулами площадей плоских
фигур. Разбейте область на две фигуры.
1 ). 2  0,5
2 ). 1,5  
3 ). 1  0,5
4 ). 1   5 ). 2  
15. Найти поток векторного поля
поверхность
1 ). 0

 
x  y  3 z  6
по формуле Остроградского-Гаусса
 :
x

0
,
y

0
,
z

0

2 ). 288

a  5 x  6 y i  11 z 2  2 y j  x 2  4z k
3 ). нет правильного ответа
4 ). 96
5 ). 48
через замкнутую
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет Вариант №4540
1.
Функция
непрерывна
в
замкнутой
области
f x, y  0

d
2 y 

 f x, y dxdy   dy  f x, y  dx
D
c
1  y 
верна, если функции
D.
Формула
 1  y  и  2 y 
1 y   2 y для всех y  c, d 3 ). непрерывны и
1 y   2 y для всех y  c, d 4 ). разрывные 5 ). непрерывны для всех y  c, d
2. Если трехмерная область правильная в направлении оси 0Y , то всякая прямая, параллельная оси
OY , проведенная через внутреннюю точку области, пересекает поверхность
1 ). любые
2 ). непрерывны и
1 ). не пересекает поверхность
2 ). в одной точке
3 ). точек пересечения множество 4 ). в
двух точках
5 ). в трех точках
3. Криволинейный интеграл I рода  f x, y d сводится к вычислению определенного интеграла
L
t2
2
2
 f t , t   t   t  dt , если кривая интегрирования L задана уравнениями:
t1
1 ).
y  t  , x  t , x [t1 , t 2 ]
t  [ t1 , t 2 ]
4. Значение
2 ).
x  t  , t [t1 , t 2 ]
3 ).
x  t , y  t  ,
x  t 2 , y  t 2 , t [ t1 , t 2 ] 5 ). y  t , t [ t1 , t 2 ]
криволинейного интеграла II рода  X x, y dx  Yx, y dy (где X(x,y)
4 ).
и Y(x,y) и их
AB
частные производные непрерывны в замкнутой области D, содержащей кривую AB) зависит лишь от
начальной точки A и конечной точки B пути интегрирования, а не от вида кривой, соединяющей эти
точки, если
X Y

1 ).
x y
X Y

2 ).
y x
2
2
 X   Y 
4 ). 
 
  dXx, y 

y

x




2
2
 X   Y 
3 ). 
 
  dYx, y 

y

x


 
2X 2Y

5 ).
xy yx
5. Вычисляя поверхностный интеграл первого рода, нужно свести его к
1 ). двойному интегралу 2 ). трехкратному интегралу 3 ). криволинейному интегралу второго
рода 4 ). криволинейному интегралу первого рода
5 ). неопределенному интегралу
6.
Какая зависимость между следующими поверхностными интегралами II рода?
A   f x, y, z  g x, y, z dx dz , B   f x, y, z dx dz , С   g x, y, z dx dz





ABC  0
4 ). C  B  A  0
1 ).
2 ).

A  BC
7. В формуле вычисления потока

3 ).
 a n d , a n



ABC  0
3 ).

CAB0
это

1 ). проекция вектора
a на направление нормали 2 ). модуль вектора векторного поля
3 ). векторное произведение a  grad U
4 ). скалярное произведение a  grad U
5 ). нет
правильного ответа
a  6z i  x j x yk
2 ). 5  x  y
3 ). 5  x  y
8. Найти дивергенцию векторного поля
1 ). нет правильного ответа
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
2
1 y
1
2
4 ). 0
 dy  f x, y  dx
5 ).
6z x  x y  x z y
1
1 ).
2
 dx  f x, y  dy
2
10.
2 ).
1 x
правильного ответа
1 x
1
 dx  f x, y  dy
2
1
2
2
x 1
1
3 ).
2
 dx  f x, y  dy
2
2
4 ). нет
1
 dx  f x, y  dy
5 ).
Вычислить двойной интеграл
 dx dy ,
где D - круговое кольцо, заключенное между
D
окружностями x
1 ).

2
2 ).
2
 y 2  9 и x 2  y 2  1.

3 ).
8
4 ).
11. Вычислить ротор векторного поля
1 ).
0
2 ).
j k
3 ).
j k
3
5 ). нет правильного ответа
a  y  z   i  y  j  z 2  k
4 ).  j  k 5 ).  j  k
12. С помощью криволинейного интеграла I рода найдите массу дуги гиперболы
Линейная плотность кривой равна
y
2
, x 1; 2.
x
y
y4  4
ln 2
13. Вычислить работу силы F  x  y  i  x j при перемещении материальной точки вдоль контура
квадрата, образованного прямыми x  1, y  1 . Обход совершается против часовой стрелки
1 ). 1/8
2 ). 3/2
3 ). 3/8
4 ). 3/4
5 ).
1 ). 5
2 ). 8 3 ). 4
4 ). 7
5 ). 6
14. Вычислите криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру
L , взятому в положительном

 x2

y 2 


 dy , L - контур четырехугольника, с
dx


3
x
направлении обхода.  2 y 
2 
2



x  y  
L
 x  y 

вершинами A 4; 0 , B 1; 0 , C0;  1 , D 1;  3 . Указание: сделайте рисунок,
воспользуйтесь формулой Грина, а так же известными формулами площадей плоских фигур. Разбейте
четырехугольник на две фигуры.
1 ). 4
2 ). 5 3 ). 3 4 ). 7
5 ). 6
15. С помощью тройного интеграла найти объем тела V , ограниченного плоскостями x  0 , z  0 ,
y  0 , y  1 , x  2z  3 .
1 ).
92
2 ). нет правильного ответа
3 ).
9
4 ).
94
5 ).
52
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет Вариант №4541
1.
Функция
непрерывна
в
замкнутой
области
f x, y  0

1  y 
d

 f x, y dxdy   dy  f x, y  dx
D
2 y 
c
верна, если функции
D.
Формула
 1  y  и  2 y 
1 y   2 y для всех y  c, d 2 ). непрерывны для всех y  c, d
3 ). разрывные 4 ). непрерывны и 1 y   2 y для всех y  c, d 5 ). любые
2. Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f x, y, z  в области T , то значение
тройного интеграла  f x , y, z  dV удовлетворяет неравенству
1 ). непрерывны и
T
1 ).
m   f x, y, z dV  M
T
3 ).
 f x, y, z dV  M
mV   f x, y, z dV  MV (V – объем области T)
T
4 ).
T
5 ).
2 ).
 f x, y, z dV  m
T
1
M  mV   f x, y, z  dV  1 M  mV
2
2
T
(V – объем области T)
3. Криволинейный интеграл I рода сводится к вычислению
1 ). объема тела, полученного при вращении кривой
2 ). площади плоской фигуры, ограниченной
кривой 3 ). интегральной суммы I рода 4 ). определенного интеграла
5 ). неопределенного
интеграла
4. Значение криволинейного интеграла II рода  X x, y dx  Yx, y dy (где X(x,y) и Y(x,y) и их
AB
частные производные непрерывны в замкнутой области D, содержащей кривую AB) зависит лишь от
начальной точки A и конечной точки B пути интегрирования, а не от вида кривой, соединяющей эти
точки, если
X Y
X Y

 0 2 ).

 1 3 ). Xx, y dx  Yx, y dy  0
y x
x y
Xx, y dx  Yx, y dy  Ux, y 5 ). Xx, ydx  Yx, ydy  dUx, y
1 ).
4 ).
5.
В
формуле
для
вычисления
поверхностного
интеграла
первого
2
2
 f x, y, z  d   f x, y, zx, y  1  z x  z y dx dy , область D – это …

D
1 ). часть поверхности 
2 ). граница поверхности  3 ). проекция поверхности  на
координатную плоскость Oxz
4 ). проекция поверхности  на координатную плоскость Oxy
5 ). проекция поверхности  на координатную плоскость Oyz
6.
Какая зависимость между следующими поверхностными интегралами II
A   f x, y, z dy dz , B   c  f x, y, z dy dz c  const 






1 ). A  сB  0
2 ). сA  B  0 3 ). B  сA  0
4 ). B  A  с
7. Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты
вычисляется по формуле
1 ).
 z
z 
ax 
a y  dx dy
 y 
x
 

3 ).
рода
2 ).
 z

z


a

a

a
   x x  y y z  dx dy

 
 z

a x  a z  dx dy
x

4 ).
 z

a y  a z  dx dy
y

 

ответа
8. Найти дивергенцию векторного поля
сB  A  0
z  f x; y, то поток
4 ).
 

a  z i  y2 j  x k
рода?
5 ). нет правильного
1 ).
y3
xz
2 ). z x 
3
i  2y j k
3 ).
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
6
1 ).
1
6
1
3 x 1
1
0
4 ). нет правильного ответа
5 ).
2y
 dx  f x, y  dy
3 y
3
 dy  f x, y  dx
0
3 ).
1
3
1
0
3 y
3
 dy  f x, y dx
1
 dy  f x, y dx
3 y
3
0
Вычислить
10.
2 ).
1
0
4 ).
6
 dy  f x, y  dx
2  2y
5 ). нет правильного ответа
2
2
 lnx  y dx dy ,
если
D
- кольцо между окружностями
x 2  y2  e2
и
D
x y e
2
2
1 ).
e 2
4
2 ). нет правильного ответа
3 ).
3e 4
4 ).
3e 2
5 ).
a  xy 2  i  yz  j  z 2  k
y  i  2xy  k 3 ).  y  i  2 xy  k


e 2 3e 2  1
11. Вычислить ротор векторного поля
1 ).
5 ).
y  i  2 xy  k
2 ).
4 ).
 y  i  2 xy  k
0
12. С помощью криволинейного интеграла I рода найти массу однородной плоской кривой
  2 ,
0    5 . Плотность принять равной 3
15 5
171
4 ).
5 ). 19
2
4
13. Вычислить работу силы F  y z i  x z j  x y k при перемещении материальной точки вдоль
отрезка прямой BC , из точки B 1;1;1 до точки C 2; 3; 4 . Указание: составить параметрическое
1 ).
38
2 ).
5
3 ).
3
уравнение прямой в R
1 ). 23 2 ). 19 3 ). 20
4 ). 22
5 ). 21
14. Вычислите криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру
направлении
обхода.
1
  y 
L
L , взятому в положительном
 3x  1 x 
yx 
 dx  
 2  dy , L : x  1  0 , y  2  0 ,
2


x
x 
y 

3
2
x  y  0 . Указание: сделайте рисунок, воспользуйтесь формулой Грина.
1 ). 3
2 ). 1 3 ). 0 4 ). 4
5 ). 2
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостями
x  0, y  0, z  0, x  y  1 и x  y  z  5 .
1 ). 13/6
2 ). 15/2
3 ). 14/3
4 ). 15/4
5 ). нет правильного ответа
15.