1. Построение математической модели решения уравнений

Содержание
ВВЕДЕНИЕ…….……………………………………………..……………….….4
1.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ
РАЗЛИЧНЫХ
ЗАДАЧ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ……………..……………………....6
1.1 ЗАДАЧИ КОШИ……………………...…………………….. ...…………….…6
1.2
КРАЕВЫЕ
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ
В
ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА…………………………………………………………………………..7
1.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРА И ФРЕДГОЛЬМА…………………....10
2.
ОПИСАНИЕ
ЛАБОРАТОРНЫХ
РАБОТ,
ВАРИАНТЫ
И
ЗАДАНИЯ,
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ…………………………..……………………12
2.1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. ТЕМА: ПОСТРОЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
КОШИ………….……………………..……....12
2.2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. ТЕМА: ПОСТРОЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА АДАМСА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ
КОШИ……………………………………..…….…16
2.3
ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА
№
3.
ТЕМА:
РЕШЕНИЕ
КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ
МЕТОДОМ
НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ……………..…………………………………..……19
2.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. ТЕМА: РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ. ПРАВИЛО
РУНГЕ………………………………………………….…23
2.5 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СЕТОК КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
ТИПА……………….....……….….26
2.6 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СЕТОК КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА…………….….…….……..30
2.7 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СЕТОК КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА…...…………….…….…...34
2.8 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРА 
РОДА…………………..…..…….…..38
2.9 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КВАДРАТУР ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРА 
РОДА………………………….…….40
2.10 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 
РОДА………………………..……43
2.11 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11. ТЕМА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КВАДРАТУР ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 
РОДА…………………...…….....46
2.12 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12. ТЕМА: РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА  РОДА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ЯДРА
НА ВЫРОЖДЕННОЕ ЯДРО………………………………………….………………………….……....49
3.
ПРОГРАММНАЯ
РЕАЛИЗАЦИЯ
РЕШЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНЫХ
РАБОТ
В
СРЕДЕ
MATHCAD…………………….…………………….….…52
3.1 АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……..………………………………….…….52
3.2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ…………………………….…….56
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………….………71
Введение
Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности и
т. д. Вследствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.
Методы вычисления прикладных задач интересовали математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали
в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят,
математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных
методов решения задач.
Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и
развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением за последние
несколько лет скорость выполнения арифметических операций значительно возросла. Расширение возможностей приложения
математики обусловило математизацию различных разделов науки: химии, экономики, биологии, медицины, конкретных
разделов техники и др. процесс математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в
разработке методов их исследования.
Эти теоретические исследования оказывают большую помощь при решении конкретных задач и играют
существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.
Одним из самых популярных компьютерных математических пакетов, позволяющий проводить разнообразные
математические расчеты, является математический редактор MathCad. Пользователи MathCad – это, студенты, ученые,
инженеры, разнообразные технические специалисты. Пакет MathCad мощный микрокалькулятор, позволяющий легко
справляться с рутинными задачами. Сюда можно отнести решение алгебраических и дифференциальных уравнений с
постоянными и переменными параметрами, анализ функций, поиск их экстремумов, численное и аналитическое
дифференцирование и интегрирование, вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.
MathCad очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу,
реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на выполнение. Вместо этого достаточно просто
вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, которому привыкли писать на
листке бумаги, и тут же получать результат.
Работа состоит из четырех разделов.
Первый раздел называется "Математические модели решения различных задач вычислительной математики". В
ней идет речь математических о моделях решения задач.
Второй раздел посвящен методическим рекомендациям, в котором идет речь о теории решения задачи Коши,
решения краевых задач различными способами и о теории методов квадратур для решения интегральных уравнений Вольтера
и Фредгольма.
В третьем разделе рассматривается программная реализация решения уравнений.
1. Построение математической модели решения уравнений
1.1 Задачи Коши
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка рассматривается задача Коши
y ' ( x)  f ( x, y ( x)) с начальным условием y( x0 )  y 0 . Она задает в плоскости XOY множества интегральных кривых
Для
y=y(x,C), C – произвольная постоянная. Уравнение имеет бесконечное число решений. Начальное условие фиксирует из всего
множества интегральных кривых одну проходящую через точку с координатами (x0,y0). Все методы решения задачи
y ' ( x)  f ( x, y ( x)) , y( x0 )  y 0 делятся на две основные группы: аналитические и численные. В аналитических методах
строится последовательность функции yn(x) в пределе, т.е. lim y n ( x)  y( x) . В численных методах определяется приближенные
n
значения функций y(x) в узлах сетки заданной в некоторой окрестности в точке x0.
одношаговые (метод Рунге-Кутта) и многошаговые (метод Адамса).
Численные методы делятся на
xh
В основе схемы Рунге-Кутта построения одношаговых методов лежит соотношение y( x  h)  y( x)   f (t , y(t ))dt, h  0 ,
x
позволяющее при известном значении y(x) оценить y(x+h).
xh
q
x
i 0
Интеграл приближенно заменяется квадратурной суммой:  f (t , y(t ))dt   Ai i (h) . Таким образом, предлагается
оценивать значения y(x+h) по формуле
y ( x  h)  y ( x ) 
q
 Ai i (h) .
i 0
В данном методе для оценки значения y(x) в рассматриваемом узле сетки привлекается информация о значении
y(x) только в одном предыдущем узле.
Таким образом, расчет yn, где yn=y(x) производится по формуле yn1  yn  h  f ( xn , yn ) , где шаг h вычисляется по
формуле h 
X  x0
N
.
В отличие от одношаговых методов, в многошаговом методе метода Адамса при вычислении y(x) в интересующем
нас узле xn+1 используется информация о значениях y(x) в нескольких предыдущих узлах xn, xn+1, …,xn-q. Поскольку мы
используем больше информации при вычислении следующего приближения, многошаговые методы обеспечивают более
высокую точность, чем одношаговые. В основе построения многошаговых методах, как и в основе метода Рунге-Кутта, лежит
соотношение
y ( x  h)  y ( x ) 
xh
xh
q
x
x
i 0
 f (t , y(t ))dt, h  0 . Интеграл заменяется квадратурной формулой
 f (t , y(t ))dt  h   Ai f (t i , y(t i )) .
2
q
Расчетная формула имеет вид
для
начала
расчетов
y n1  y n  h  Ai f ( x ni , y ni ), q  n  N  1 ,
i 0
по
y1  y( x1 ), y 2  y( x 2 ),..., y q  y( x q ) .
формуле
X  x0
N
где h вычисляется по формуле h 
q
необходимо
y n1  y n  h  Ai f ( x ni , y ni ), q  n  N  1
i 0
. Отметим, что
указать
значения
Эти значения могут быть найдены, например, по одному из одношаговых методов. Так, Метод
Эйлера дает yn1  yn  h  f ( xn , yn ) , 0nq-1.
1.2 Краевые задачи для уравнений в частных производных второго порядка
линейного дифференциального уравнения второго порядка рассматривается краевая задача
y' ' ( x)  p( x) y' ( x)  q( x) y( x)  f ( x)  0, x [a, b] , с краевыми условиями  0 y(a)  1 y' (a)  A,  0 y(b)  1 y' (b)  B . Методы приближенного
решения краевых задач делятся на две группы: аналитические и конечноразностные. К числу аналитических методов
относится метод наименьших квадратов. В рамках этого метода приближенное решение задачи ищется в виде линейной
Для
комбинации
y ( x)  y n ( x)   0 ( x) 
n
 Ci i ( x) , где i ( x)i0 - некоторая система базисных функций. К конечноразностным методам
i 1
относится метод прогонки. Задача отыскания функции y(x), удовлетворяющей краевым условиям заменяется задачей
нахождения значений y(xk) этой функции в узлах сетки, k  0, N . Если сетка xk kN0 достаточно “густая” (величина шага мала),
то набор y( xk )kN0 достаточно хорошо представляет искомую функцию y(x). Значения y( xk )kN0 выражаются из системы
линейных уравнений, полученной заменой производных в краевой задаче во внутренних узлах подходящими разностными
выражениями при учете граничных условий. Это система вычисляется методом прогонки (специальный вариант метода
Гаусса). Она состоит в последовательном выражении неизвестных yk через неизвестные yk+1, yk+2 и последующей
подстановки одного уравнений в другое.
Окончательный процесс нахождения значений yk )kN0 следующий: последовательно вычисляются С k , d k , k  0, N  1 .
Этот этап расчетов называется прямым ходом прогонки. Далее получаем yN , yN 1,..., y0 . Данный этап называется обратным
ходом прогонки.
Метод сеток краевой задачи для уравнения эллиптического типа (уравнение Пуассона) заключается в поиске
функции
U(x,y),
определенную
при
x [0, a], y [0, b] ,
0  x  a,0  y  b , u( x, y) Г   ( x, y) ,
Г  [0, a] [0, b] .
удовлетворяющую
Уравнения
соотношениям
 2 u ( x, y )
x 2
 2 u ( x, y )

y 2
 2 u ( x, y )
 g ( x, y ) ,
x
2

 2 u ( x, y )
y 2
 g ( x, y ) ,
u( x, y) Г   ( x, y) ,
описывают, в частности, стационарное тепловое поле в области [0,a]*[0,b]. Стационар по времени не изменяется. При этом
функция U(x,y) - температура поля в точке (x,y) принадлежащая области, а функция g(x,y) описывает плотность внешних
источников тепла, действующих на поле. Функция  ( x, y ) задает температурный режим на границе области Г.
Метод сеток краевой задачи для уравнения параболического типа (уравнение теплопроводности) заключается в
поиске функции U(x,y) определенную при x [0, l ], t [0, T ] , удовлетворяющую соотношениям u t ( x, t )  a 2 u xx ( x, t )   ( x, t ) , a  0 ,
0  x  l ,0  t  T , u( x,0)   ( x), x [0, l ] , u(0, t )   0 (t ), u(l, t )   1 (t ), t [0, T ] .
Эти соотношения описывают, в частности, явление изменения температуры в тонком однородном стержне длины l
за промежуток времени длительности T. Функция U(x,t) задает температуру стержня в точке с абсциссой x в момент t (левый
конец стержня находится в точке x=0, правый в точке x=l). Функция  ( x, t ) определяет плотность внешних источников
тепла, приложенных к точке x в момент t,  (x ) - задает начальную температуру в точке x  [0, l ] стержня, функции
 0 (t ), 1 (t ) - описывают температурные режимы, поддерживаемые на концах стержня, a2 – коэффициент теплопроводности
стержня.
Метод сеток краевой задачи для уравнения гиперболического типа (уравнение колебания струны) заключается в
поиске функции U(x,y) определенную при x [0, l ], t [0, T ] , удовлетворяющую соотношениям u 2 tt ( x, t )  a 2 u 2 xx ( x, t )  g ( x, t ) , a  0 ,
0  x  l ,0  t  T , u( x,0)   ( x), ut ( x,0)   ( x), x [0, l ] u(0, t )   0 (t ), u(l, t )   1 (t ), t [0, T ] . Эти соотношения описывают, в частности, процесс
поперечных колебаний тонкой однородной струны длины l, левый конец которой располагается в момент времени t в точке
(0,  0 (t )) , а правый - в точке (l ,  1 (t )) .
При этом функция U(x,t) – описывает отклонение от положения равновесия точки с абсциссой x в момент времени
t. Функция g(x,t) характеризует плотность внешних сил, действующих в момент времени t на точку струны с абсциссой x, a2 –
коэффициент упругости струны. Функции  (x ) и  (x ) определяют соответственно начальное отклонение струны от
положения равновесия и начальные скорости точек струны, а функции  0 (t ), 1 (t ) описывают колебания концов струны. Если
 0 (t )   1 (t )  0 , то струна закреплена.
1.3 Интегральные уравнения Вольтера и Фредгольма
Интегральные уравнения Вольтера делятся на 2 типа: первого и второго рода.
t
Линейное интегральное уравнение Вольтера первого рода имеет вид: f t    K (s, t ) ( s)ds . Если K (a, a) не равно 0, F
a
(a) = 0 и если функции F (s), K (s,t) имеют производные F ' (s), K ' s (s, t), непрерывные в интервале (a, b), заключенном в
интервале интегрирования, внутри которого K(s,t) не обращается в нуль, то уравнение Вольтера первого рода допускает в
3
интервале (a, b) непрерывное и единственное решение. Представленная процедура решает уравнение методом квадратурных
формул. Вычисление интеграла производится по формуле трапеций с постоянным шагом h, где шаг определяется, как h=(ba)/2.
Линейное интегральное уравнение Вольтера второго рода имеет вид:
t
f t    (t )   K ( s, t ) ( s)ds
, независимые
a
переменные s,t изменяются на промежутке [a,b], ядро K(s,t) непрерывно внутри и на сторонах треугольника, ограниченного
прямыми t =a, s =b ,t = s. Функция f(t) на [a,b] непрерывна.
Уравнение данного типа решается с помощью метода квадратурных формул, суть которого состоит в замене
интегрального уравнения аппроксимирующей системой алгебраических уравнений относительно дискретных значений
искомой функции и решении этой системы. В основе такой замены лежит приближение интеграла квадратурными
формулами. Применение формулы трапеций с постоянным шагом h приводит к рекуррентной формуле.
b
Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид: f t    K ( s, t ) (s)ds , где ядро
a
определено в квадрате V = [a, b] * [a,b]. Для уравнения Фредгольма первого рода задается последовательность
регуляризующих параметров  k

1
10k
. Решение уравнений данного типа решается с помощью метода квадратурных формул.
b
Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид: f t    (t )   K (s, t ) (s)ds , где
a
ядро определено в квадрате V = [a, b] * [a,b]. Кроме того, полагается, что ядро непрерывно в V. При b= 1, используя
квадратурную формулу трапеций с постоянным шагом h, который определяется, как h=(b-a)/2. Решение уравнений данного
типа решается с помощью метода квадратурных формул и метода Гаусса.
Для уравнения Фредгольма второго рода существует еще один способ решения. Это метод замены ядра на
вырожденное ядро. Ядро K(s,t) называется вырожденным, если существует система линейно независимых функций
 k (s),  k (t) , где s, t  a, b , такие, что K (s, t )   0 (s) 0 (t)  ...  n (s) n (t) .
2. Описание лабораторных работ, варианты и
задания, контрольные вопросы
2.1 Лабораторная работа № 1
Построение и реализация методов Рунге-Кутта решения
задачи Коши
Цель работы: Научиться строить в рамках схемы Рунге-Кутта создания одношаговых методов методы второго
порядка точности и использовать их для решения задачи Коши.
Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
(1)
y' ( x)  f ( x, y( x)), y( x0 )  y0 , x [ x0 , X ]
xh
В основе одношаговых методов лежит соотношение: y( x  h)  y( x)   f (t , y(t ))dt, h  0
(2)
x
xh
q
Интеграл в формуле (2) приближенно заменим квадратурной суммой:  f (t , y(t ))dt   Ai i (h) (3)
i 0
x
Таким образом, значения y(x+h) оцениваются по формуле:
Функции
 i (h)
y ( x  h)  y ( x ) 
q
 Ai i (h) (4)
i 0
составляются по формулам
 0 (h)  hf ( x, y ( x))
1 (h)  hf ( x  1h, y ( x)  10 0 (h))
 2 (h)  hf ( x   2 h, y ( x)   20 0 (h)   211 (h))
(5)
.........................................................................
 q (h)  hf ( x   q h, y ( x)   q0 0 (h)   q11 (h)  ...   q,q 1 q 1 (h))
где общее число параметров q , Aq , q,q1 определяется целочисленным параметром q>0.
Для оптимального выбора параметров, при котором обеспечивается наибольшая точность приближенного
q
равенства, составляется функция невязки, т.е. разность между его левой и правой частью.  (h)  y ( x  h)  y ( x)   Ai i (h) (6)
i 0
Находим производные  ' (h), ' ' (h) . Положив в производных h=0, запишем уравнения
 ' ( h)  0
и, исходя из них,
 ' ' ( h)  0
выписываем условия на параметры 1 , 10 , A0 , A1 , обеспечивающие выполнение этих соотношений.
Численная реализация осуществляется следующим образом. На отрезке [x0,X] определяем равномерную сетку
xn , n  0, N , так что x0  x1  ...  x N 1  x N  X ,
Обозначим за
Расчет
y n искомое приближенное значение функции
y(x)
xn1  xn  h 
в точке
( X  x0 )
N
.
xn .
y n проводится по формуле:
4
yn1  yn  hf ( xn , yn )
(7)
f ( x n , y n )  y n  x n , n  0, N
Выпишем схемы нахождения  
yn nN0 ,
(8)
отвечающие значениям A0=0 (усовершенствованный метод Эйлера), т.е.
 (h)  y( x  h)  y( x)  hf ( x 
h
h
, y( x)  f ( x, y( x)))
2
2
или y n1  y n  hf ( xn  h , y n  h f ( x n , y n )) (9)
2
2
и A0=0.5 (метод Эйлера-Коши), т.е.
 (h)  y( x  h)  y( x) 
1
1
f ( x, y( x))  hf ( x  h, y( x)  hf ( x, y( x)))
2
2
или y n1  y n  1 hf ( xn , y n )  1 hf ( xn  h, y n  hf ( xn , y n )) (10)
2
2
Вычислим последовательно приближенное решение
y n по двум схемам.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
2. Изложите схему построения методов Рунге-Кутта.
3. В чем заключается метод Эйлера решения задачи Коши?
4. С какой целью величину s стремятся сделать наибольшей?
Задание к лабораторной работе
1. Положив в описанной выше схеме Рунге-Кутта q=1, выписать для этого случая функцию (h).
2. Привлекая при необходимости основное уравнение и правило дифференцирования сложных функций, найти
производные ’(h), ”(h).
3. Положив в производных h=0, записать уравнения ’(0)=0, ”(0)=0 и исходя из них, выписать условия на
параметры 1,10,A0,A1, обеспечивающие выполнение этих соотношений. Какой порядок точности при этом гарантируется?
4. Выписать конкретные схемы и соответствующие им методы нахождения yn nN0 , отвечающие значениям A0=0
(усовершенствованный метод Эйлера) и A0=0.5 (метод Эйлера-Коши)
5. Построенными в пункте 4 методами провести расчет значений yn nN0 для задачи Коши (см. варианты заданий)
при N=5 на отрезке [0,1].
Варианты заданий
1. y’=2xy-1,
y(0)=-1.
2. y’=-x2-4y,
y(0)=0.
3. y’=y/(1+x),
y(0)=2.
4. y’=x2+y2,
y(0)=1.
5. y’=1-2x2y,
y(0)=-2.
6. y’=y+x2,
y(0)=1.
7. y’=xy-x2,
y(0)=0.
8. y’=4y2+2,
y(0)=1.
9. y’=x-x3,
y(0)=3.
10. y’=y2x-x3,
y(0)=1.
11. y’=x+y-xy,
y(0)=0.
12. y’=x2y-y+2,
y(0)=2.
13. y’=4x-2y-1,
y(0)=4.
14. y’=-xy2+2,
y(0)=-1.
15. y’=3x+x2-y2,
y(0)=-3.
16. y’=y+2y2,
y(0)=2.
17. y’=x-x2y+1,
y(0)=1.
18. y’=x-y+2,
y(0)=0.
19. y’=5x-y2,
y(0)=-2.
20. y’=3y+y3,
y(0)=2.
21. y’=xy+y-x,
y(0)=4.
22. y’=5x2-y2,
y(0)=5.
23. y’=xy2+1,
y(0)=1.
24. y’=x-x2+x3,
y(0)=3.
2.2 Лабораторная работа № 2
Построение и реализация метода Адамса решения задачи Коши
Цель работы: Научиться строить в рамках схемы создания многошаговых методов методы типа Адамса и
использовать их для решения задачи Коши.
Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
(1)
y' ( x)  f ( x, y( x)), y( x0 )  y0 , x [ x0 , X ]
xh
В основе их построения лежит вытекающее из (1) соотношение: y( x  h)  y( x)   f (t , y(t ))dt, h  0
(2)
x
5
xh
q
x
i 0
Интеграл в формуле (2) приближенно заменим квадратурной суммой:  f (t , y(t ))dt  h  Ai f (t i , y(t i )) ,
где
t i , i  0, q - некоторые узлы интегрирования
(3)
Ai , i  0, q - подлежащие определению константы.
Поскольку значения y( x), y( x  h),..., y( x  qh) считаются известными, возьмем за
xh
q
x
i 0
t i  x  ih, i  0, q ,
тогда примет вид
 f (t , y(t ))dt  h  Ai f ( x  ih, y( x  ih)) . (4)
Будем выбирать величины
Ai , i  0, q
так, чтобы это приближенное равенство выполнялось как точное во всех
случаях, когда подынтегральная функция g (t )  f (t, y(t )) имеет вид g (t )  (t  x) k ,0  k  q . (5)
Подставим g (t ) в интеграл, получим систему уравнений относительно подлежащих определению параметров
Ai iq0 .
q
xh
 1dt  h  Ai
 x
i 0

q
q
xh
2
  (t  x)dt  h  Ai ((x  ih)  x)  h  Ai (i )
 x
i 0
i 0
xh
q
q

2
2
3
2
  (t  x) dt  h  Ai ((x  ih)  x)  h  Ai (i )
 x
i 0
i 0
....................................................................

xh
q
q
  (t  x) q dt  h  Ai ((x  ih)  x)q  hq 1  Ai (i ) q
 x
i 0
i 0



(6)
Вычислив стоящие в левых частях интегралы, получим
q
  Ai  1
i 0
q
1

  Ai ( i )  2
i

0

 q
2 1
  Ai ( i ) 
3
i 0
..........................

q
1
  Ai ( i ) q 
q 1
i 0


(7)
Данная система является системой линейных уравнений относительно неизвестных A0 , A1,...,Aq . После того, как
набор  
Ai iq0
определен, получим схему вычисления приближений
y n для значений
q
y n1  y n  h  Ai f ( x ni , y ni ), q  n  N  1 .
i 0
Здесь xk  x0  kh, k  0, N , h 
Для
начала
расчетов
y1  y( x1 ), y 2  y( x 2 ),..., y q  y( x q ) .
X  x0
N
по
,
y( xn ) :
(8)
xk kN0 - равномерная сетка на отрезке [x0,X].
формуле
вычисления
приближений
yn
необходимо
Эти значения находятся по формуле: yn1  yn  hf ( xn , yn ),0  n  q 1 .
Вычислим последовательно приближенное решение
указать
значения
(9)
y n по выбранной схеме.
Контрольные вопросы
1. Почему в формуле (3) разумно принять ti=x-ih, 0  i  q?
2. По какому принципу выбираются коэффициенты Ai в формуле (3)?
3. Почему при реализации расчетной схемы (8) необходимо предварительное вычисление значений y0,y1, … ,yq?
4. Каким образом могут быть найдены эти величины?
Задание к лабораторной работе
1. Положив в описанной выше схеме q=2, составить и решить соответствующую систему уравнений (7). Выписать
получающуюся схему (8) расчета приближений yn.
2. Используя полученную схему провести расчет значений
yn nN0 ,
N=5 для задачи Коши. Необходимые
начальные приближения найти по схеме (9).
Варианты заданий
1. y’=2xy-1,
2. y’=-x2-4y,
y(0)=-1.
y(0)=0.
6
3. y’=y/(1+x),
4. y’=x2+y2,
5. y’=1-2x2y,
6. y’=y+x2,
7. y’=xy-x2,
8. y’=4y2+2,
9. y’=x-x3,
10. y’=y2x-x3,
11. y’=x+y-xy,
12. y’=x2y-y+2,
13. y’=4x-2y-1,
14. y’=-xy2+2,
15. y’=3x+x2-y2,
16. y’=y+2y2,
17. y’=x-x2y+1,
18. y’=x-y+2,
19. y’=5x-y2,
20. y’=3y+y3,
21. y’=xy+y-x,
22. y’=5x2-y2,
23. y’=xy2+1,
24. y’=x-x2+x3,
y(0)=2.
y(0)=1.
y(0)=-2.
y(0)=1.
y(0)=0.
y(0)=1.
y(0)=3.
y(0)=1.
y(0)=0.
y(0)=2.
y(0)=4.
y(0)=-1.
y(0)=-3.
y(0)=2.
y(0)=1.
y(0)=0.
y(0)=-2.
y(0)=2.
y(0)=4.
y(0)=5.
y(0)=1.
y(0)=3.
2.3 Лабораторная работа № 3
Решение краевой задачи методом наименьших квадратов
Цель работы: Научиться находить приближенное решение краевой задачи
дифференциального уравнения второго порядка методом наименьших квадратов.
Рассматривается краевая задача y' ' ( x)  p( x) y' ( x)  q( x) y( x)  f ( x)  0, x [a, b] , (1)
с граничными условиями:
(2)
 0 y(a)  1 y' (a)  A
(3)
 0 y(b)  1 y' (b)  B
где p(x),q(x),f(x) – заданные функции.
Приближенное решение задачи ищется в виде линейной комбинации
y ( x)  y n ( x)   0 ( x) 
для
обыкновенного
n
 Ci i ( x) , (4)
i 1
где i ( x)i0 - некоторая система базисных функций.
Функция 0 ( x) должна удовлетворять граничным условиям
 0 0 (a)  1 0 ' (a)  A (5)
 0 0 (b)  1 0 ' (b)  B
Она ищется в виде  0 ( x)  rx  s
где r, s подбираются так, чтобы выполнялись граничные условия.
Если в таком виде функцию 0 ( x) подобрать не удается, то ищем ее в виде  0 ( x)  tx 2  rx  s
Функцию, i ( x), i  1,2,... удовлетворяющую однородным граничным условиям
 0 i (a)  1 i ' (a)  0 (6)
 0 i (b)  1 i ' (b)  0
ищем в виде  i ( x)  ( x  a)
1i
2
( x  b)
1i
, i  1,2,...
или  i ( x)  ( x  a) ( x  b) , i  1,2,...
При заданном числе n выписываем функцию невязки:
2
Rn ( x, C1, C2 ,...,Cn )  y n ' ' ( x)  p( x) y n ' ( x)  q( x) y n ( x)  f ( x)
Для решения задачи необходимо определить коэффициенты
решению следующей системы
C i , i  1, n .
(7)
Поиск этих коэффициентов сводится к
b

  R n ( x, C1 , C 2 ,...,C n )
R n ( x, C1 , C 2 ,...,C n )dx  0
C1
a

b

R n ( x, C1 , C 2 ,...,C n )dx  0
  R n ( x, C1 , C 2 ,...,C n )
C 2
a

...........................................................................
b
 R ( x, C , C ,...,C )  R ( x, C , C ,...,C )dx  0
1 2
n
n
1 2
n
 n
C n
a
(8)
Вычислим последовательно приближенное решение задачи yn , подставляя значения функции  0 ( x),i ( x), i  1,2,... и
коэффициенты
C i , i  1, n
в линейную комбинацию, построим на графике полученные приближенные значения.
7
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
2. В каком виде ищется приближенное аналитическое решение в методе наименьших квадратов?
3. Каким условиям должна удовлетворять система базисных функции?
4. Как записывается функция невязки?
5. Как определяются коэффициенты Ci, i=1,2,… в методе наименьших квадратов?
Задание к лабораторной работе
1. Для данной краевой задачи выбрать базисные функции 0(x), 1(x), 2(x).
2. Положив в (4) n=2, следуя (7), выписать функцию невязки R(x,C1,C2).
3. Записав и решив систему уравнений (8) для построенной функции R2(x,C1,C2), найти оптимальные значения
коэффициентов C1,C2.
4. Найти значения yk, k=0…N, N=10 полученного приближенного решения y2(x)=0(x)+C11(x)+ C2 2(x) при x=xk,
k=0…N, где точки xk=a+k(b-a)/N образуют равномерную сетку на отрезке [a,b]. Изобразить точки
( xk , yk )kN0 на графике.
Варианты заданий
y(0)=0,
y(1)=1.
y(0)=0,
y’(1)+y(1)=0.
y(0)=1,
y’(1)-y(1)=0.
y(0)+y’(0)=0, y(1)=1.
y(0)=1,
y(1)=0.
y(0)=0,
y’(1)-2y(1)= -1.
y(0)-2y’(0)=0, y(1)=1.
y(0)=0,
y(1)=0.
y(1)=1,
y(2)=0.
y(0)=0,
y(1)-y’(1)=1.
y(-1)= -1,
y(0)=0.
y(0)+y’(0)=1, y(1)= -1.
y(0)-y’(0)=1, y(1)=1.
y(0)=1,
y(1)=0.
y(0)=0,
y’(1)+3y(1)= -1.
y(-1)=1,
y(0)=0.
y(0)=0,
y(1)=1.
y(0)-2y’(0)=2, y(-1)=0.
y(0)=1,
y(1)= -1.
y(0)=0,
y’(1)+y(1)=1.
y(0)-y’(0)=1, y(1)=0.
y(-1)=0,
y(0)=1.
y(0)= -1,
y(1)=0.
y(-1)=1,
y(0)=2.
2.4 Лабораторная работа № 4
Решение краевой задачи методом прогонки. Правило Рунге
Цель работы: Научиться находить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки. Научиться оценивать погрешность полученного решения
с использованием правила Рунге.
Рассматривается краевая задача y' ' ( x)  p( x) y' ( x)  q( x) y( x)  f ( x), x [a, b] , (1)
с граничными условиями
(2)
 0 y(a)  1 y' (a)  A
(3)
 0 y(b)  1 y' (b)  B
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
y”+3y’+xy+1=0,
y”+5y’+xy+1=0,
y”+4y’+2xy+1=0,
y”+x2y’+2xy=0,
y”+3y’+xy=0,
y”+xy’+xy+3=0,
y”+y’+3x+2=0,
y”+y’+x2y+7=0,
y”+4y’-x-9=0,
y”+x2y’-y+7=0,
y”-y’+3xy+3=0,
y”-xy’+x2+6=0,
y”+xy’+2=0,
y”+x2y’+x=0,
y”+2xy’+y=0,
y”+2y’+x=0,
y”+x2y2+2=0,
y”+y’-3xy+2=0,
y”-2y’+5x=0,
y”+2x2y’-3=0,
y”-2x2y-1=0,
y”+3y’-2x+1=0,
y”+5xy’-y2=0,
y”+3y’-xy=0,
Определим на отрезке [a,b] равномерную сетку точек
xk kN0
так, что
x 0  a  x1  ...  x N 1  x N  b,
x k 1  x k  h 
ba
, k  0, N  1
N
x k  x 0  kh
Краевая задача запишется в произвольном внутреннем узле
x k сетки:
y' ' ( xk )  pk y' ( xk )  qk y( xk )  f k ,1  k  N 1 ,
где pk  p( xk )
q k  q( x k )
f k  f ( xk )
Для замены производных воспользуемся формулами:
y ' ' ( xk ) 
y ( xk 1)  2 y ( xk )  y ( xk 1)
h2
y ( xk 1)  y ( xk 1)
y ' ( xk ) 
2h
8
Полученное при этом соотношение будет связывать уже не точное значение y( xk 1) , y( xk ) , y( xk 1) , а их
приближения yk 1, yk , yk 1 соответственно, т.е. получим выражение
yk 1  2 yk  yk 1
h2
или
где
y
y
 pk k 1 k 1  qk yk  f k , k  1, N  1
2h
yk 1  mk yk  tk yk 1   k , k  1, N  1
2q k h 2  4
2  hpk
mk 
tk 
2  hpk
2  hpk
k 
2h 2 f k
2  hpk
Расчет прямого хода прогонки проводится по формулам:
С0 
1
 0 h  1
d0 
и
Ck 
1
mk  tk Ck 1
Ah
1
d k   k  tk Ck 1d k 1, k  1, N
Согласно этим формулам последовательно находим значения C0, d0, C1, d1,...,CN 1, d N 1 .
Расчет обратного хода прогонки проводим по формулам:
y k  C k (d k  y k 1 ), k  0, N  1
yN 
Bh  1C N 1d N 1
h 0  1(1  C N 1)
и находим yN , yN 1,..., y1, y0 .
Вычислим последовательно прямой и обратный ход прогонки, соответствующую шагу h и h/2 и оценим
погрешность приближенных значений с шагом h по формуле y( x k )  y k  1 y k  ~y k ,
~
yk
3
- приближенные значения с шагом h/2.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулы аппроксимации разностными отношениями первых и вторых производных, участвующих в
(1) – (3).
2. Что вычисляется в процессе прямого хода прогонки?
3. В чем состоит обратный ход прогонки?
4. Как практически оценивается погрешность метода?
Задание к лабораторной работе
1. Положив в вышеописанной схеме N=5, заполнить таблицу прямого и обратного хода прогонки для исходного
шага h=(b-a)/N. Отметить значения yk, k=0,…,N.
2. Заполнить таблицу прямого и обратного хода прогонки, соответствующую шагу h/2. Отметить те из значений
y k , k=0,1,…,2N, которые отвечают узлам первоначальной сетки.
3. Оценить погрешность расчета с шагом h, пользуясь правилом Рунге.
4. Провести сравнения результатов счета с результатами решения того же примера методом наименьших
квадратов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
y”+3y’+xy+1=0,
y”+5y’+xy+1=0,
y”+4y’+2xy+1=0,
y”+x2y’+2xy=0,
y”+3y’+xy=0,
y”+xy’+xy+3=0,
y”+y’+3x+2=0,
y”+y’+x2y+7=0,
y”+4y’-x-9=0,
y”+x2y’-y+7=0,
y”-y’+3xy+3=0,
y”-xy’+x2+6=0,
y”+xy’+2=0,
y”+x2y’+x=0,
y”+2xy’+y=0,
y”+2y’+x=0,
y”+x2y2+2=0,
Варианты заданий
y(0)=0,
y(1)=1.
y(0)=0,
y’(1)+y(1)=0.
y(0)=1,
y’(1)-y(1)=0.
y(0)+y’(0)=0, y(1)=1.
y(0)=1,
y(1)=0.
y(0)=0,
y’(1)-2y(1)= -1.
y(0)-2y’(0)=0, y(1)=1.
y(0)=0,
y(1)=0.
y(1)=1,
y(2)=0.
y(0)=0,
y(1)-y’(1)=1.
y(-1)= -1,
y(0)=0.
y(0)+y’(0)=1, y(1)= -1.
y(0)-y’(0)=1, y(1)=1.
y(0)=1,
y(1)=0.
y(0)=0,
y’(1)+3y(1)= -1.
y(-1)=1,
y(0)=0.
y(0)=0,
y(1)=1.
9
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
y”+y’-3xy+2=0,
y”-2y’+5x=0,
y”+2x2y’-3=0,
y”-2x2y-1=0,
y”+3y’-2x+1=0,
y”+5xy’-y2=0,
y”+3y’-xy=0,
y(-1)=0.
y(1)= -1.
y’(1)+y(1)=1.
y(1)=0.
y(0)=1.
y(1)=0.
y(0)=2.
y(0)-2y’(0)=2,
y(0)=1,
y(0)=0,
y(0)-y’(0)=1,
y(-1)=0,
y(0)= -1,
y(-1)=1,
2.5 Лабораторная работа № 5
Решение методом сеток краевой задачи для уравнения эллиптического типа
Цель работы: Научиться находить двумя способами приближенное решение краевой задачи для уравнения
Пуассона.
Рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона
 2 u ( x, y )
x
2

 2 u ( x, y )
y 2
u ( x, y)
 g ( x, y ),0  x  a,0  y  b
( x, y )
  ( x, y) ,
,
(1)
(2)
где g ( x, y), ( x, y) - заданные функции. В области [0,a]*[o,b] задается равномерная сетка
x n , y m , n  0, N , m  0, M
x n  h1 n
y m  h2 m
a
N
b
h2 
M
h1 
N, M > 1 – заданные числа.
Подставляя внутренние узлы, получаем систему:
 2u( xn , ym )
x
2

 2u( xn , ym )
y 2
 g ( xn , ym ), n  1, N  1, m  1, M  1
на границе
u ( xn , ym ) n 0, N   ( xn , ym )
m0, M
 2u( xn , ym )
x2
 2u( xn , ym )
y
2

u( xn1, ym )  2u( xn , ym )  u( xn1, ym )

u( xn , ym1)  2u( xn , ym )  u( xn , ym1)
h12
h22
(3)
(4)
Получим приближенное соотношение:
u ( xn 1, ym )  2u ( xn , ym )  u ( xn 1, ym )
h12
u ( xn , ym 1)  2u ( xn , ym )  u ( xn , ym 1)
h22
unm  u( xn , ym )

n  1, N  1
(5)
 g ( xn , ym )
и запишем для них следующую систему линейных уравнений:
un 1,m  2un,m  un 1,m
h12

un,m1  2un,m  un,m1
h22
 g n, m
n  1, N  1, m  1, M  1
где gn,m  g ( xn , ym )
Полагая в (2) (x,y)=(xn,ym) получим недостающие 2M+2N уравнений:
um0  m0 , umN  mN , u0n  0n , uMn  Mn
(6)
Также эта система решается приближенно при помощи алгоритма.
Начальное приближение
u n( 0,m) ищется по формуле
(0)
u n,m   ( x n , y m ), n  1, N  1, m  1, M  1
(7)
Пусть получено k-ое приближение u n(k,m) , n  1, N  1, m  1, M  1 . Тогда (k+1)-ое приближение находится по формуле
un(k,m1)  (
2
h12

(k )
(k )
(k )
(k )
2 1 un 1,m  un 1,m un,m 1  un,m 1
) [(

)  g n, m ]
h22
h12
h22
(8)
где
(k )
um
0   m0   ( xm , y0 )
(k )
umN
 mN   ( xm , yN )
u0(kn)  0n   ( x0 , yn )
10
(k )
uM
,n   M ,n   ( xM , yn )
Вычисления продолжаем до тех пор, пока не выполнится критерий остановки:
N M
 
n 1 m 1
(k )
( k 1)
unm
 unm

или количество итераций не превысит заданного значения L, и полагаем
( k 1)
unm  unm
Контрольные вопросы
1. Какими приближенными выражениями заменяются производные исходной задачи при ее аппроксимации
системой сеточных уравнений?
2. Обосновать содержащиеся в (3), (4) оценки погрешности разностной аппроксимации.
3. Как записывается метод простой итерации в применении к системе (6)?
4. Какие еще критерии остановки счета в п. 3 алгоритма можно использовать?
5. Каким образом следует изменить подстановку задачи из разобранного выше примера, чтобы остановка
итерационного процесса происходила не на первом шаге?
6. Какие известные вам физические явления описываются при помощи уравнения (1)?
Задание к лабораторной работе
1. Для заданных значений a=b=1, M=N=4, найти h1=a/M, h2=b/N, xm=mh1, m=0,…,M,
Yn=nh2, n=0,…,N. Вычислить значения (xm,yn) для граничных узлов (xm,yn). Эти значения удобно записывать
рядом с соответствующими узлами (xm,yn).
2. При необходимости составить вспомогательную таблицу значений gmn=g(xm,yn), m=1,…,M-1, n=1,…,N-1.
3. Для заданного примера записать и решить систему линейных уравнений (5), (6). Для решения можно
воспользоваться методом Гаусса.
4. Решить тот же пример с использованием метода простой итерации, положив L=4.
Варианты заданий
1.
g(x,y)=0,
(x,y)=2x+3y2.
2.
g(x,y)=0,
(x,y)=x+y2.
3.
g(x,y)=0,
(x,y)= -2x+y2.
4.
g(x,y)=0,
(x,y)=x-3y2.
5.
g(x,y)=0,
(x,y)=2x2+3y2.
6.
g(x,y)=0,
(x,y)= -2x2+y.
7.
g(x,y)=0,
(x,y)=2x2-3y.
8.
g(x,y)=0,
(x,y)= -x-3y2.
9.
g(x,y)=0,
(x,y)=4x+3y2.
10.
g(x,y)=0,
(x,y)= -x+4y2.
11.
g(x,y)=0,
(x,y)=x2+2y2.
12.
g(x,y)=0,
(x,y)= -3x2+2y2.
13.
g(x,y)=xy(x-1)(y-1)(1+x),
(x,y)=0.
14.
g(x,y)= -xy(x-1)(y-1)(1+x2),
(x,y)=0.
15.
g(x,y)=2xy(x-1)(y-1)(1+xy),
(x,y)=0.
16.
g(x,y)=x2y(x-1)(y-1)(1+x)2,
(x,y)=0.
17.
g(x,y)=xy2(x-1)(y-1)(2-xy),
(x,y)=0.
2 2
18.
g(x,y)=x y (x-1)(y-1)(1+x),
(x,y)=0.
19.
g(x,y)=xy(x-1)(y-1)(x+y),
(x,y)=0.
20.
g(x,y)= -xy(x-1)(y-1)(2y+x),
(x,y)=0.
21.
g(x,y)=xy(x-1)(y-1)(1+x)2,
(x,y)=0.
22.
g(x,y)=3x2y(x-1)(y-1)(2+xy),
(x,y)=0.
23.
g(x,y)= -4xy(x-1)(y-1)(3y+x),
(x,y)=0.
24.
g(x,y)=2xy(x-1)(y-1)(x-3y2),
(x,y)=0.
2.6 Лабораторная работа № 6
Решение методом сеток краевой задачи для уравнения параболического типа
Цель работы: Научиться находить приближенное решение краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Рассматривается краевая задача для уравнения теплопроводности
u t ( x, t )  a 2 u xx ( x, t )   ( x, t ), a  0,0  x  l ,0  t  T
(1)
u( x,0)   ( x), x [0, l ]
(2)
u(0, t )   0 (t ),
u(l , t )   1 (t ), t [0, T ]
(3)
где  ( x, t ), ( x), 0 (t ), 1 (t ) - заданные функции.
В области [0,l]*[0,T] задается равномерная сетка x m , t n , n  0, N , m  0, M
11
xm  m h
l
M
t n  n
h

T
N
N, M>1, h, - шаги сетки.
Так как уравнение (1) справедливо внутри области, то оно будет выполняться во всех внутренних узлах сетки
ut ( xm , tn )  a 2u xx ( xm , tn )   ( xm , tn )
2
или u ( x m , t n )  a 2  2u ( x m , t n )   ( x m , t n ), n  1, N  1, m  1, M  1
t
(4)
x
На границе области будут выполняться соотношения
(4’)
u ( x m , t 0 )   0 ( x m ), m  0, M
u ( x 0 , t n )   0 (t n )
(4”)
u ( x M , t n )   1 (t n ), n  0, N
Для замены производных стоящих в формуле (4) воспользуемся разностными формулами
u
u( xm , tn1)  u( xm , tn )
( xm , tn ) 
t

u
u( xm , tn )  u( xm1, tn )
( xm , tn ) 
x
h
 2u
x
2
u ( xm1, tn )  2u ( xm , tn )  u ( xm1, tn )
u ( xm , tn ) 
h2
Подставим полученные соотношения в (4) и получим
u ( xm , tn 1)  u ( xm , tn )

 a2
u ( xm1, tn )  2u ( xm , tn )  u ( xm1, tn )
h2

(5)
  ( xm , tn )
n  1, N  1, m  1, M  1
Обозначим через
u mn приближенное значение, т.е. u mn  u ( xm , t n ) и рассмотрим (5) как систему линейных
уравнений относительно неизвестных
u mn :
um,n1  um,n

 a2
um1,n  2um,n  um1,n
h2
 m,n
где m,n   ( xm , tn ) .
Неизвестные функции в этом соотношении получим из формул (4’), (4”)
u m0   m , m  0, M
u0n   0n
uMn   1n
n  0, N
(6)
где  0n   0 (t n ) ,
 1n   1 (t n ), n  1, N
Для того чтобы решить полученную систему, выразим неизвестную u m ,n 1 через остальные неизвестные
(начальные и граничные значения):
um,n1  umn  a 2

h2
(um1,n  2umn  um1,n )  mn ,
(7)
n  1, N  1, m  1, M  1
Вычислим значения u m ,n 1 по описанной выше схеме.
Контрольные вопросы
1. Что такое сеточная область, внутренний и граничный узел, шаблон?
2. Используя формулу Тейлора, доказать равенства (3), (4).
3. Какие отличные от приведенного выше шаблона могут быть использованы для построения численных методов
решения (1), (2)?
Задание к лабораторной работе
1. Для заданных значений l=T=1, M=N=4 найти h=l/M, =T/M, xm=mh, m=0,…,M, tn=n, n=1,…,N; m=(xm),
m=0,…,M; 0n=0(tn), 1n=1(tn),
n=0,…,N и занести их в таблицу.
2. Для заданного примера, пользуясь формулами (6), (7) заполнить таблицу umn.
3. Имея в виду физическую интерпретацию (1), (2) как задачи об изменении температуры в стержне при t=T (n=N).
Является ли оно физически непротиворечивым?
Варианты заданий
1. (x,t)=tx(1-x), (x)=x2-x, 0(t)= 1(t)=0.
2. (x,t)=2x(1-x), (x)=3(x2-x), 0(t)= 1(t)=0.
12
3. (x,t)=x2(1-x), (x)=x(x2-x), 0(t)= 1(t)=0.
4.
(x,t)=x(x-x2), (x)=x-x2, 0(t)= 1(t)=0.
5.
(x,t)=2x(x2-1), (x)=4(x-x2), 0(t)= 1(t)=0.
6.
(x,t)=t2x(x-1), (x)=x(1-x), 0(t)= 1(t)=0.
7.
(x,t)=x2t(1-x), (x)=x(x-1), 0(t)= 1(t)=0.
8.
(x,t)=x2-x, (x)=2x2(1-x), 0(t)= 1(t)=0.
9.
(x,t)=2t2(x2-x), (x)=x2(x-1), 0(t)= 1(t)=0.
10. (x,t)=x(1-x)2, (x)=2x(x-1), 0(t)= 1(t)=0.
11. (x,t)=t2x(1-x)2, (x)=x2-x, 0(t)= 1(t)=0.
12. (x,t)=3tx(x-1)2 , (x)=3(x2-x), 0(t)= 1(t)=0.
13. 0(t)=t, 1(t)=t2, (x,t)=0, (x)=0.
14. 0(t)= -2t, 1(t)=t2, (x,t)=0, (x)=0.
15. 0(t)=t(t+1), 1(t)=3t2, (x,t)=0, (x)=0.
16. 0(t)= t2, 1(t)=t2(t-1), (x,t)=0, (x)=0.
17. 0(t)= -2t, 1(t)=3t2, (x,t)=0, (x)=0.
18. 0(t)=t, 1(t)= -t2(1+t), (x,t)=0, (x)=0.
19. 0(t)= -t(t2+1), 1(t)=t2, (x,t)=0, (x)=0.
20. 0(t)=t(1+t), 1(t)= -t2, (x,t)=0, (x)=0.
21. 0(t)= -2t, 1(t)=t2, (x,t)=0, (x)=0.
22. 0(t)= -t(1+t), 1(t)= -3t2, (x,t)=0, (x)=0.
23. 0(t)=t, 1(t)=t2(1+t), (x,t)=0, (x)=0.
24. 0(t)=t2, 1(t)= -2t2, (x,t)=0, (x)=0.
2.7 Лабораторная работа № 7
Решение методом сеток краевой задачи для уравнения гиперболического типа
Цель работы: Научиться находить приближенное решение краевой задачи для уравнения колебаний струны.
Рассматривается краевая задача для уравнений колебаний струны:
2
u tt2 ( x, t )  a 2 u xx
( x, t )  g ( x, t ), a  0,0  x  l ,0  t  T (1)
u ( x,0)   ( x)
x  [0, l ] (2)
u t ( x,0)   ( x)
u(0, t )   0 (t )
t  [0, T ] (3)
u(l , t )   1 (t )
где g ( x, t ), ( x), ( x), 0 (t ), 1 (t ) - заданные функции.
В области [0,l]*[0,T] задается равномерная сетка
x m , t n , n  0, N , m  0, M
xm  m h
l
M
t n  n
h

T
N
h,  - шаги сетки.
Так как уравнение (1) справедливо внутри области, то оно будет выполняться во всех внутренних узлах сетки
2
u tt2 ( x m , t n )  a 2 u xx
( x m , t n )  g ( x m , t n ), n  1, N  1, m  1, M  1
или
 2u ( xm , tn )
t 2
 a2
 2u ( xm , tn )
x 2
 g ( xm , tn )
(4)
В граничных узлах сетки будут выполняться краевые условия
u ( xm , t0 )  0 ( xm )
u ( xm , t0 )
  0 ( xm )
t
u( x0 , t n )   0 (t n )
u( x M , t n )   1 (t n )
m  0, M
(4’)
n  0, N
(4”)
Для приближенного вычисления стоящих в (4) производных воспользуемся разностными выражениями:
 2u ( xm , tn )
t 2
 2u ( xm , tn )
x
2

u ( xm , tn1)  2u ( xm , tn )  u ( xm , tn1)

u ( xm1, tn )  2u ( xm , tn )  u ( xm1, tn )
2
h2
Подставим эти выражения в (4) и получим
u ( xm , tn 1)  2u ( xm , tn )  u ( xm , tn 1)
2
 a2
u ( xm1, tn )  2u ( xm , tn )  u ( xm1, tn )
h2
(5)
 g ( xm , tn )
13
n  1, N  1, m  1, M  1 ,
а, также подставив в граничное условие, получим
u( x m , t 0 ) u( x m , t1 )  u( x m , t 0 )

, m  0, M
t

Обозначим через
(6)
u mn приближенное значение, т.е. u mn  u ( xm , t n ) и рассмотрим (5), (6) как систему линейных
уравнений относительно неизвестных
u mn .
um,n1  2um,n  um,n1

2
 a2
um1,n  2um,n  um1,n
h2
 gm,n
(7)
m  1, M  1, n  1, N  1
где gm,n  g ( xm , tn )
um,1  um,0

  0 ( xm )   0m , m  0, M
(8)
um,0  0 ( xm )  0m
где  0m   ( xm ) ,
0m   ( xm )
u0n   0 (tn )   0n
uMn  1(tn )  1n
где  0n   0 (t n )
(9)
1n  1(tn ) , n  0, N
Определение u m , n распадается на два этапа:
1) Находим u m,1 , m  1, M 1 , по формуле
um,1  um,0 
2
2
(a 2
um 1,0  2um,0  um 1,0
h2
 g m., 0 )   0,m ,
(10)
m  1, M  1
2)
u m,n , m  1, M  1 для n  2, N  1 находим по формуле
um,n 1  2um,n  um,n 1  a 2
2
h2
(um 1,n  um,n  um 1,n )   2 g m,n
(11)
m  1, M  1, n  1, N  1
Вычислим значения u m , n по описанной выше схеме.
Контрольные вопросы
1. Можно ли было при построении разностной аппроксимации начального условия ut(x,0)=(x) воспользоваться
приближенной формулой ut ( xm ,0) 
u( x m ,  )  u( x m ,0)

?
2. Доказать соотношение (9).
n
3. Изложите процесс нахождения приближенных значений u m .
Задание к лабораторной работе
1. Для заданных значений l=T=1, M=N=4, найти h=l/M, =T/N, xm=mh, m=1,M, 0n=0(tn), 1n=1(tn), n=0,N и занести
их в таблицу.
n
2. Для заданного примера, пользуясь формулами (10), (11) заполнить таблицу значений u m .
 
N M
m 0
3. Проанализировать исходя из полученных результатов вид струны при t=T (он определяется набором u m
сопоставив его с начальным положением струны, определяющимся набором
 
M
m m 0
),
. Является ли результат физически
непротиворечивым?
Варианты заданий
1. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=t,
1(t)=t2.
2. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)= -3t,
1(t)=t2.
3. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=t,
1(t)= -2t2.
4. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)= -2t,
1(t)= -t2.
5. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=t(t-1),
1(t)=3t2.
6. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=t,
1(t)=t(t-1).
7. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=t2(t-1), 1(t)=2t.
8. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)= -t2,
1(t)=2t2.
9. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=3t,
1(t)=t(1-t).
10. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)= -3t2 ,
1(t)= -2t.
11. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)= -t,
1(t)=t3.
12. g(x,t)=0, (x)=0, (x)=0, 0(t)=2t(t-1), 1(t)=2t2.
13 0(t)=0, 1(t)=0, g(x,t)=tx2(1-x), (x)=x(1-x), (x)=x3-x2,
14
14. 0(t)=0,
15. 0(t)=0,
16. 0(t)=0,
17. 0(t)=0,
18. 0(t)=0,
19. 0(t)=0,
20. 0(t)=0,
21. 0(t)=0,
22. 0(t)=0,
23. 0(t)=0,
24. 0(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
1(t)=0,
g(x,t)=tx(1-x), (x)=x2(1-x), (x)=x2-x,
g(x,t)=2x(x-1), (x)=x3(1-x), (x)=x-x2,
g(x,t)= -x2(1-x), (x)=x(x2-1), (x)=x3-x2,
g(x,t)=2tx2(1-x), (x)=2x(1-x), (x)= -x2+x3,
g(x,t)=3tx(1-x), (x)=2x2(x-1), (x)=x2-x3,
g(x,t)= -tx(x2-1), (x)=3x(1-x2), (x)= -x3+x2,
g(x,t)=tx(x2-1), (x)=x2(x-1), (x)=x2-x3,
g(x,t)=2tx(x2-1), (x)=x2(x-1), (x)=x2-x,
g(x,t)=tx2(x-1), (x)=3x(1-x), (x)= -2(x2-x),
g(x,t)=3t2x(1-x), (x)=x2(x-1), (x)=x3-x,
g(x,t)= -tx(x-1), (x)= -2x(1-x2), (x)=x-x2,
2.8 Лабораторная работа № 8
Решение методом регуляризации интегрального уравнения Вольтера первого рода
Цель работы: Научиться находить приближенное решение интегрального уравнения Вольтера первого рода
методом квадратур и построить их на графике.
Интегральным уравнением Вольтера первого рода называется уравнение вида:
t
f t    K ( s, t ) ( s)ds
(1)
a
где К(s,t) - ядро интегрального уравнения,
f(t) - заданная функция,
t
Для заданного ядра составим выражение  K ( s, t ) ( s)ds
a
t
Вычислив данный интеграл, определим правую часть уравнения f(t): f t    K (s, t ) ( s)ds
a
Решим полученное уравнение Вольтера первого рода методом квадратур, для этого положим N=5 и зададим на [0,1]
равномерную сетку
x k 1  x k  h, h 
Положим в уравнении (1)
1
, k  0,1,2,...,5, x0  0
5
t  t k и перепишем уравнение (1):
ti
 K (t k , s) (s)ds  f (t k )
a
где k=0,1,2,…,N. Вычислим приближенно определенный интеграл с помощью формулы трапеции:
ti
 K (t k , s) (s)ds  2 K (t k , t 0 ) 0  2K (t k , t1 )1  ...  2K (t k , t k 1 ) k 1  K (t k , t k ) k 
h
a
Подставляем приближенное равенство в уравнение. Получим:
h
K (tk , t0 )0  ... K (tk , tk )k   fk
2
где k=0,1,2,…,N. Вычислим последовательно приближенные значения
(2)
 0 ,...,  N
подставляя значения k в полученное уравнение (2), построим на графике полученные приближенные значения
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы
Что называется интегральным уравнением Вольтера первого рода?
Изложите процесс решения интегрального уравнения Вольтера первого рода.
Каким образом находятся приближенные решения?
Каким образом вычисляется определенный интеграл?
По какой формуле задается равномерный интеграл?
Задание к лабораторной работе
1.
Для заданных значений a=0, b=1, N=5 найти шаг h 
2.
Составить матрицу из ядер K (s p , tk ) и вычислить значения функции f (tk ) .
ba
N
и задать равномерную сетку
 0 ,...,  N .
x k 1  x k  h, k  0, N
,
x0=0.
3.
Составить систему уравнений по формуле (2) и вычислить приближенные значения
графике полученные приближенные значения 0,...,N .
Варианты заданий
1. K(s,t)=cos(s)
2. K(s,t)=cos(t)
3. K(s,t)=tS
4. K(s,t)=st
5. K(s,t)=cosh(ts)
6. K(s,t)=tS-Sin(S)
7. K(s,t)=cos(t-s)
8. K(s,t)=t3+4s2-10
 . Построить на
15
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
K(s,t)=16tS
K(s,t)=tS-Sin(t)
K(s,t)=cosh(t-s)
K(s,t)=eS
K(s,t)=cos(t)3
K(s,t)=et
K(s,t)=t3+4s2+8
K(s,t)=cosh(t+s)
K(s,t)=et-4
K(s,t)=et+s
K(s,t)=5t
K(s,t)=7S
2.9
Лабораторная работа № 9
Решение методом квадратур интегрального уравнения Вольтера второго рода
Цель работы: Научиться находить приближенное решение интегрального уравнения Вольтера второго рода
методом квадратур и построить их на графике.
Интегральным уравнением Вольтера второго рода называется уравнение вида:
t
f t    (t )   K ( s, t ) ( s)ds
(1)
a
 (t ) - неизвестная функция.
где К(s,t) - ядро интегрального уравнения,
f(t) - заданная функция,
Независимые переменные s и t изменяются в промежутке [a,b], ядро K(s,t) непрерывно внутри и на сторонах
треугольника, ограниченного прямыми
t = a,
s = b.
Функция f(t) на [a,b] непрерывна.[2] Выберем произвольно функцию  (t ) . Для выбранной функции  (t ) и
t
заданного ядра составьте выражение  (t )   K (s, t ) (s)ds
a
t
Вычислив данный интеграл, определите правую часть уравнения f(t): f t    (t )   K (s, t ) (s)ds
a
Решим полученное уравнение Вольтера второго рода методом квадратур, для этого положим N=5 и зададим на [0,1]
1
5
равномерную сетку xk 1  xk  h, h  , k  0,1,2,...,5, x0  0
Положим в уравнении (1) t
 tk
ti
и перепишем уравнение (1):  (t k )   K (t k , s) ( s)ds  f (t k )
a
где k=0,1,2,…,N. Вычислим приближенно определенный интеграл с помощью формулы трапеции:
ti
 K (t k , s) (s)ds  2 K (t k , t 0 ) 0  2K (t k , t1 )1  ...  2K (t k , t k 1 ) k 1  K (t k , t k ) k 
h
a
Подставляем приближенное равенство в уравнение. Получим:
k 
h
K (t k , t 0 ) 0  ... K (t k , t k ) k   f k
2
(2)
где k=0,1,2,…,N. Вычислим последовательно приближенные значения 0,...,N
подставляя значения k в полученное уравнение (2), построим на графике полученные приближенные значения
 0 ,...,  N , а
так же точное решение-функцию  (t ) .
1.
2.
3.
4.
Контрольные вопросы
Что называется интегральным уравнением Вольтера второго рода?
Изложите процесс решения интегрального уравнения Вольтера второго рода.
Каким образом вычисляется определенный интеграл?
По какой формуле вычисляется приближенное решение?
Задание к лабораторной работе
1. Для заданных значений a=0, b=1, N=5 найти шаг h 
ba
N
и задать равномерную сетку
x k 1  x k  h, k  0, N
2. Составить матрицу из ядер K (s p , tk ) и вычислить значения функции f (tk ) .
3.
Составить систему уравнений по формуле (2) и вычислить приближенные значения
графике полученные приближенные значения 0,...,N .
, x0=0.
 . Построить на
Варианты заданий
1. K(s,t)=cos(s)
2.
K(s,t)=cos(t)
16
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
K(s,t)=tS
K(s,t)=st
K(s,t)=cosh(ts)
K(s,t)=tS-Sin(S)
K(s,t)=cos(t-s)
K(s,t)=t3+4s2-10
K(s,t)=16tS
K(s,t)=tS-Sin(t)
K(s,t)=cosh(t-s)
K(s,t)=eS
K(s,t)=cos(t)3
K(s,t)=et
K(s,t)=t3+4s2+8
K(s,t)=cosh(t+s)
K(s,t)=et-4
K(s,t)=et+s
K(s,t)=5t
K(s,t)=7S
2.10
Лабораторная работа № 10
Решение методом регуляризации интегрального уравнения Фредгольма первого рода
Цель работы: Научиться находить приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода
методом квадратур и построить их на графике.
Интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида:
b
f t    K ( s, t ) ( s)ds
(1)
a
где К(s,t) - ядро интегрального уравнения,
f(t) - заданная функция,
Исследуем разрешимость интегральных уравнений Фредгольма первого рода, для этого для заданного ядра,
b
составим выражение  K ( s, t ) ( s)ds
a
Зададим последовательность регуляризующих параметров  (k ) 
1
10 k
где k=0,1,… Выберем 3 первых члена этой последовательности k=0,1,2. Решим данное уравнение методом квадратур.
Построим на графике полученное приближенное решение 0,...,N
а также точное решение функции
 (t ) .
1.
2.
3.
4.
Контрольные вопросы
Что называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода?
По какой формуле находится приближенное решение?
В чем заключается метод регуляризации?
Изложите процесс решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
Задание к лабораторной работе
1.
Для заданных значений a=0, b=1, N=5 найти шаг h 
2.
Составить последовательность регуляризующих параметров  k
ba
N
и задать равномерную сетку
x k 1  x k  h, k  0, N
,
x0=0.

1
10k
, k=0,1,2…
3. Составив матрицу из ядер K ( s p , t k ) и вычислив значения функции f (tk ) .
b
4.
K ( s, t )
Составить систему уравнений по формуле 

a
 ( s)ds 
f (t )

и вычислить приближенные значения
.
Построить на графике полученные приближенные значения 0,...,N .
Варианты заданий
1.
K(s,t)=tS+Sin(S)
2.
K(s,t)=tS
3.
K(s,t)=st
4.
5.
6.
K(s,t)= s  t
K(s,t)=sec(ts)
K(s,t)=tg3(t+s)
7.
8.
9.
K(s,t)= t  s
K(s,t)=tg(t+s)
K(s,t)=4sec(t+s)
3
17
10.
11.
12.
13.
K(s,t)= s  t
K(s,t)=cosh(ts)
K(s,t)=sinhS(t)
K(s,t)=tgh(s+t)
14.
15.
16.
5
K(s,t)= t  s  sin( s )
K(s,t)=tgt(s)
K(s,t)=cosS(t)
17.
18.
19.
20.
K(s,t)= t
K(s,t)=tS+Sin(t)
K(s,t)=tS+tg(S)
K(s,t)=tS-Sin(t)
7
S
2.11 Лабораторная работа № 11
Решение методом квадратур интегрального уравнения Фредгольма второго рода
Цель работы: Научиться находить приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода
методом квадратур и построить их на графике.
Интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида:
b
f t    (t )   K ( s, t ) ( s)ds
(1)
a
где К(s,t) - ядро интегрального уравнения,
Выберем произвольно функцию
f(t) - заданная функция,
 (t ) . Для выбранной функции  (t )
 (t ) - неизвестная функция.
и заданного ядра, составим выражение
b
 (t )   K ( s, t ) ( s)ds
a
1
Вычислив данный интеграл, определим правую часть уравнения f(t). f t    (t )   K (s, t )(s)ds
a
Положим N=5 и зададим на [а,b] равномерную сетку
Подставим
1
x k 1  x k  h, h  , k  0,1,2,...,5, x0  0
5
t  t k в уравнение (1), где k=0,1,2,...,N. Применяя для вычисления определенного интеграла формулу трапеции:
b
 K (t k , s) (s)ds  2 K (t k , t 0 ) 0  2K (t k , t1 )1  ...  2K (t k , t k 1 ) k 1  K (t k , t k ) k 
h
a
Обозначим через
k
- приближенное значение неизвестной функции
линейных уравнений относительно 0,...,N ,  k 
h
K (t k , t 0 ) 0  ... K (t k , t k ) k   f k
2
 в узлах сетки. Рассмотрим (1), как систему
(2)
где k=0,1,2,…,N. Запишем систему (2) в векторно-матричной форме.
Введем вектора
 0 


    ,
 
 N
 f0

f  
f
 N





.
Введем матрицу A:
 K (t0 , t0 ) 2 K (t1, t0 )  2 K (t N 1, t0 ) K (t N , t0 ) 


A 




.
 K (t , t ) 2 K (t , t )  2 K (t

0 N
1 N
N 1, t N ) K (t N , t N ) 

h
2
Составим систему уравнений   A  f
и решим ее методом Гаусса. Построим на графике полученные приближенные значения 0,...,N
а также точное решение - функцию  (t ) .
Контрольные вопросы
1.
Что называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода?
2.
Какая формула применяется для вычисления определенного уравнения?
3.
Изложите процесс решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода?
4.
По какой формуле вычисляется приближенное решение?
5.
Запишите систему (2) в векторно-матричной форме.
Задание к лабораторной работе
18
1.
Для заданных значений a=0, b=1, N=5 найти шаг h  b  a и задать равномерную сетку
2.
Записать формулу (2) в векторно-матричной форме.
3.
Составить систему уравнений   h A  f
N
x k 1  x k  h, k  0, N
,
x0=0.
2
Построить на графике полученные приближенные значения
и вычислить приближенные значения
 методом Гаусса.
 0 ,...,  N .
Варианты заданий
1.
2.
3.
K(s,t)=tS+Sin(S)
K(s,t)=tS
K(s,t)=st
4.
5.
6.
K(s,t)= s  t
K(s,t)=sec(ts)
K(s,t)=tg3(t+s)
7.
8.
9.
K(s,t)= t  s
K(s,t)=tg(t+s)
K(s,t)=4sec(t+s)
10.
11.
12.
13.
K(s,t)= s  t
K(s,t)=cosh(ts)
K(s,t)=sinhS(t)
K(s,t)=tgh(s+t)
14.
15.
16.
5
K(s,t)= t  s  sin( s )
K(s,t)=tgt(s)
K(s,t)=cosS(t)
17.
18.
19.
20.
K(s,t)= t
K(s,t)=tS+Sin(t)
K(s,t)=tS+tg(S)
K(s,t)=tS-Sin(t)
3
7
S
2.12 Лабораторная работа № 12
Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода методом замены ядра на вырожденное ядро
Цель работы: Научиться находить приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода
методом замены ядра на вырожденное ядро и построить их на графике.
Рассмотрим также интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
b
f t    (t )   K ( s, t ) ( s)ds
(1)
a
где К(s,t) - ядро интегрального уравнения,
f(t) - заданная функция,  (t ) - неизвестная функция.
Ядро K(s,t) называется вырожденным, если существует система линейно независимых функций
где s,t  [a,b], такие, что K (s, t )   0 (s) 0 (t )    n (s) n (t )
Выберем произвольно функцию
 k (s)
 k (t )
 (t ) . Для выбранной функции  (t ) и заданного ядра, составим выражение
n
 (t )  f (t )   C k  k (t )
k 0
b
Вычислив данный интеграл, определим правую часть уравнения f(t). f t    (t )   K (s, t )(s)ds .
a
Вычислим вырожденное ядро
K N ( s, t ) 
N
  i ( s)  i (t ) , положим N=5 и построим разложение ядра K(s,t) в ряд Тейлора
i 0
b
1
по переменной s в точке s  . Запишем уравнение с вырожденным ядром  N (s, t )   K N (s, t ) N (s)ds  f (t ) .
2
Решим данное уравнение, определяя решение
a
 N (t )
b
в виде  N (t )   C k  k (t )  f (t ) .
a
Построим на графике полученное приближенное решение
1.
2.
 N (t ) , а также точное решение – функцию  (t ) .
Контрольные вопросы
Что называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода?
Какое ядро называется вырожденным?
19
3.
4.
Как записывается интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром?
Изложите процесс решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода?
Задание к лабораторной работе
1.
Для заданных значений a=0, b=1, N=5 найти шаг h  b  a и задать равномерную сетку
2.
Составить последовательность регуляризующих параметров по формуле  k  (t k  tt ) k 1 , k  1, N , tt  a  b
N
x k 1  x k  h, k  0, N
,
x0=0.
2
вычислить значения функции
и
f (t k ) .
3.
Построить и вычислить разложение ядра в ряд Тейлора при заданном числе N.
4.
Вычислить приближенные значения  по формуле:  N (t )   C k  k (t )  f (t ) . Построить на графике полученные
b
a
приближенные значения 0,...,N .
Варианты заданий
1.
K(s,t)=t+s
2.
K(s,t)= t
3.
4.
K(s,t)= t s
K(s,t)=sin(t)
3
 s
3
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
t
K(s,t)= 2 s
K(s,t)=cos(t)+s
K(s,t)=tS
K(s,t)=t3+s2+ts-2
K(s,t)=s cosh(t)
K(s,t)= t3-2t+11s
ln( t)
K(s,t)= s
K(s,t)=log(st)
K(s,t)=tS+Sin(S)
K(s,t)= s  t
K(s,t)=tg(s+t)
K(s,t)=ts
s
K(s,t)= t
K(s,t)=t-6s
K(s,t)=t+6s
K(s,t)= t 
5s
3.
Программная реализация решения лабораторных
работ в среде MathCad
3.1
Алгоритмы решения задач
Предлагаем вашему вниманию алгоритмы решения задач лабораторных работ.
Лабораторная работа № 1 Построение и реализация методов
Рунге-Кутта решения задачи Коши
1.
Вводится начальное условие, а также начальные условия, требуемые для решения систем. Вводятся
граничные значения отрезка.
2.
На листке бумаги выписать функцию (h), найти первую и вторую производную. Записать уравнения
’(0)=0, ”(0)=0 и исходя из них, выписать условие на параметры.
3.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку.
4.
Вычисляем параметры при заданных значениях B. Проводим расчет значений yn.
Лабораторная работа № 2 Построение и реализация метода
Адамса решения задачи Коши
1.
Вводится начальное условие, а также начальные условия, требуемые для решения систем. Вводятся
граничные значения отрезка.
20
2.
На листке бумаги выписать функцию (h), найти первую и вторую производную. Записать уравнения
’(0)=0, ”(0)=0 и исходя из них, выписать условие на параметры.
3.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку.
4.
Находим необходимые начальные условия, затем проводим расчет значений yn.
1.
2.
3.
4.
Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи
методом наименьших квадратов
Вводятся краевые условия, а также можно ввести функции.
Выбрать базисные векторы.
Выписать функцию невязки и определить коэффициенты C.
Строим равномерную сетку. Проводим расчет значений yn и строим их на графике.
1.
2.
3.
4.
5.
Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи
методом прогонки. Правило Рунге
Вводятся краевые условия, а также можно ввести функции.
Вводим граничные значения отрезка, вычисляем шаг сетки и строим равномерную сетку.
Вычисляем значения p, q, f, m, t,  в узлах сетки. Вычислить прямой и обратный ход прогонки.
Провести те же расчеты для шага h/2.
Вычисляем погрешность приближенных значений.
Лабораторная работа № 5 Решение методом сеток краевой
задачи для уравнения эллиптического типа
1.
Вводятся функции и значения a, b, M, N, L, .
2.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку.
3.
Вычислить вспомогательные значения. Вычислить значения (xm,yn) для граничных узлов. Записать и решить
систему линейных уравнений (находим Umn).
4.
Решить тот же пример с использованием метода простой итерации.
1.
2.
3.
4.
5.
Лабораторная работа № 6 Решение методом сеток краевой
задачи для уравнения параболического типа
Вводятся функции и значения a, L, T, M, N.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку.
Вычисляем значения 0n, 1n в узлах сетки.
Вычисляем значения mn во внутренних узлах сетки.
Вычисляем значения Umn.
1.
2.
3.
4.
5.
Лабораторная работа № 7 Решение методом сеток краевой
задачи для уравнения гиперболического типа
Вводятся функции и значения a, L, T, M, N.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку.
Вычисляем значения 0n, 1n в узлах сетки.
Вычисляем значения m, m, gnm в узлах сетки.
Вычисляем значения Umn.
Лабораторная работа № 8-9 Интегральные уравнения
Вольтера первого (второго) рода
1.
Вводятся функции и ядро. Выбирается граница интегрирования.
2.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку. Определяем значения функции f(t) ((t)) в узлах
сетки. Строим матрицу A, состоящую из ядер.
3.
Вычисляем приближенные значения  и строим их на графике.
Лабораторная работа № 10 Интегральные уравнения
Фредгольма первого рода
1. Вводится функция и ядро. Выбирается граница интегрирования.
2. Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку. Определяем значение функции f(t) в узлах сетки.
Строим матрицу A, состоящую из ядер.
3. Строим последовательность регуляризующих параметров. Вычисляем матрицу A и функцию f(t) соответственно
регуляризующим параметрам.
4. Вычисляем приближенные значения  и строим их на графике.
Лабораторная работа № 11 Интегральные уравнения
Фредгольма второго рода
1. Вводятся функции и ядро. Выбирается граница интегрирования.
21
2. Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку. Определяем значения функции f(t) и (t) в узлах
сетки. Строим матрицу A, состоящую из ядер.
4. Вычисляем приближенные значения  и строим их на графике.
1.
2.
3.
4.
5.
Лабораторная работа № 12 Метод замены ядра на
вырожденное ядро
Вводятся функции и ядро. Выбирается граница интегрирования.
Вычисляем шаг сетки, а затем строим равномерную сетку. Определяем значение функции f(t) в узлах сетки.
Строим последовательность регуляризующих параметров.
Разложим ядро в ряд Тейлора при заданном числе N и вычислим их значения.
Вычисляем приближенные значения  и строим их на графике.
3.2
Примеры решений тестовых заданий
Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта с функцией y’=xy-x2
c начальным условием y0=0 и с параметром q=1
Так как параметр q=1, функция (h) в общем, виде будет такой:
q
 (h)  y ( x  h)  y ( x)   Ai i (h)  y ( x  h)  y ( x)  A0 0 (h)  A11 (h) 
i 0
 y ( x  h)  y ( x)  A0 hf ( x, y ( x))  A1hf ( x  1h, y ( x)  10 hf ( x, y ( x)))
Найдем производные первого и второго порядка ’(0)=0 и ”(0)=0 и получим условие на параметры.
 ' (0)  y' ( x)  A0 f ( x, y( x))  A1 f ( x, y( x))  f ( x, y( x))[1  A0  A1 ]  0
" (0)  f1 ' ( x, y( x))[1  2 A11 ]  f 2 ' ( x, y( x))[1  2 A110 ]  0
1  2 A1 1  0

1  2 A1  10  0
A  A  1
1
 0
Вычислим систему при А0=0 получим А1=1, 10=1/2, 1=1/2, а при А0=0.5 получим А1=1/2, 10=1, 1=1. Возьмем
отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом.
h
2
h
2
При А0=0 подставляя в формулу yk 1  yk  hf ( xk  , yk  f ( xk , yk )) , где f ( xk , y k )  y k  xk
получим решение при
n=0  y0=0
n=1  y0=0.02
n=2  y0=0.06
n=3  y0=0.1
n=4  y0=0.14
n=5  y0=0.18
При А0=0.5 подставляя в формулу
y k 1  y k 
h
h
f ( x k , y k )  f ( x k  h, y k  hf ( x k , y k )) ,
2
2
где f ( xk , y k )  y k  xk
получим решение при
n=0  y0=0
n=1  y0=0.02
n=2  y0=0.04
n=3  y0=0.06
n=4  y0=0.08
n=5  y0=0.1
Решение задачи Коши методом Адамса с функцией y’=xy-x2
с начальным условием y0=0 и с параметром q=2
Функцию (h) ,будем искать по такому же способу, как в выше рассмотренном примере и получим условие на
параметры:

 A0  A1  A2  1

1

 A1  2 A2 
2


1
 A1  4 A2  3

Вычислим данную систему и получим начальные значения
А0=1.917 А1=-1.333
А2=0.417
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом.
Подставляя заданные значения в формулу
yn1  yn  h[ A0 f ( xn , yn )  A1 f ( xn1, yn1)  A2 f ( xn2, yn2 )] , где f ( xn , y n )  y n  xn
получим решение при
22
n=0  y0=0
n=1  y0=0
n=2  y0=0
n=3  y0=0.1
n=4  y0=0.278
n=5  y0=0.538
Решение краевой задачи методом наименьших квадратов с задачей
y”+y’+3x+2=0 и с краевыми условиями y 0=0, y1=1
В первую очередь выберем базисные векторы: функцию 0(x) ищем в виде 0(x)=rx+s.
0(x)=0  s=0
0(x)=1  r=1-s  r=1
Таким образом, мы получили что 0(x)=x.
Функции 1(x), 2(x) выбираем следующим образом:
1(x)=(x-1)x2
2(x)=(x-1)2x2
Полагая n=2, выпишем функцию невязки:
R2(x,C1,C2)=y2”(x)+p(x)y2’(x)+q(x) y2(x)+f(x)
p(x)=1, q(x)=0, f(x)=2+3x
y2(x)=0(x)+C11(x)+C22(x)
y2(x)=x+C1(x-1)x2+C2(x-1)2x2
y2’(x)=1+C1(3x2-2x)+C2(4x3-6x2+2x)
y2”(x)=C1(6x-2)+C2(12x2-12x+2)
Подставим производные в R2(x,C1,C2) и получим
R2(x,C1,C2)=C1(6x-2)+C2(12x2-12x+2)+1+C1(3x2-2x)+C2(4x36x2+2x)+3x+2=C1(3x2+4x-2)+C2(4x3+6x2-10x+2)+3x+3
Далее построим систему уравнений
1 R 2

R 2 ( x, C1 , C 2 )dx  0
0 C1
1
 R 2 2
R ( x, C1 , C 2 )dx  0

C
0 2
1
  (3x 2  4 x  2)(C1 (3x 2  4 x  2)  C 2 (4 x 3  6 x 2  10x  2)  3x  3)dx  0

0
1

3
2
2
3
2
  (4 x  6 x  10x  2)(C1 (3x  4 x  2)  C 2 (4 x  6 x  10x  2)  3x  3)dx  0
0

Решим систему и найдем коэффициенты С1=-1.217, С2=0.073. Подставим коэффициенты в выражение y2(x) и
получим
y2(x)=x+(-1,217)(x-1)x2+0.073(x-1)2x2. Возьмем отрезок [0,1] и разобьем его на равномерную сетку с шагом 0.1.
Подставляя узлы сетки в y2(x) получим решение при
X0=0  y0=0
X1=0.1  y0=0.112
X2=0.2  y0=0.241
X3=0.3  y0=0.38
X4=0.4  y0=0.521
X5=0.5  y0=0.657
X6=0.6  y0=0.779
X7=0.7  y0=0.882
X8=0.8  y0=0.958
X9=0.9  y0=0.999
X9=1  y0=1
Решение краевой задачи методом прогонки с задачей y”+y’+3x+2=0
и с краевыми условиями y0=0, y1=1
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом.
Вычислим величины pk=p(xk), qk=q(xk), fk=f(xk),
pk 
2qk h 2  4
2  hpk
tk 
2  hpk
2  hpk
k 
2h 2 f k
2  hpk
23
Затем вычислим величины прямого и обратного хода прогонки. Ранее найденные величины подставляем в
формулы:
С0 
1
1
Ah
, d0 
, Ck 
, dk  k  tkCk 1dk 1
 0 h  1
1
mk  tk Ck 1
yk 1  Ck 1(dk 1  yk )
и получим решение при
k=0  C0=0,
d0=0,
y0=0
k=1 C1=-0.55, d1=-0.095, y1=0.052
k=2 C2=-0.731, d2=-0.159, y2=0.116
k=3 C3=-0.82, d3=-0.233, y3=0.191
k=4 C4=-0.871, d4=-0.316, y4=1.147
k=5 C5=-0.905, d5=-0.407, y5=1
Проведем те же самые вычисления для шага h/2 и получим решение при
k=0  C0=0,
d0=0,
y0=0
k=1 C1=-0.525,
d1=-0.022, y1=0.012
k=2 C2=-0.699,
d2=-0.035, y2=0.025
k=3 C3=-0.786,
d3=-0.05,
y3=0.039
k=4 C4=-0.838,
d4=-0.066, y4=0.055
k=5 C5=-0.872,
d5=-0.083, y5=0.073
k=6  C6=-0.896, d6=-0.102, y6=0.091
k=7 C7=-0.914,
d7=-0.122,
y7=0.111
k=8 C8=-0.928,
d8=-0.143,
y8=0.132
k=9 C9=-0.939,
d9=-0.164, y9=1.093
k=10 C10=-0.948, d10=-0.187, y10=1
Вычислив прямой и обратный ход прогонки, вычислим погрешность приближенных значений по формуле
1
yk  yk
3
и получим результат
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
yk  yk
=0
yk  yk
=9.135*10-3
yk  yk
=0.2
yk  yk
=0.033
yk  yk
=0.338
Решение краевой задачи методом сеток для уравнения
эллиптического типа с функциями g(x,y)=0 и (x,y)=2x2-3y
Возьмем область [0,1]*[0,1] и разобьем его на равномерную сетку.
Воспользуемся формулой
um1,n  2umn  um1,n
h12

um,n1  2umn  um,n 1
h22
 g mn
и получим систему линейных уравнений
16u0,1  64u1,1  16u2,1  16u1,0  16u1,2  0

16u1,1  64u2,1  16u3,1  16u2,0  16u2,2  0

16u2,1  64u3,1  16u4,1  16u3,0  16u3,2  0
16u  64u  16u  16u  16u  0
1,2
2,2
1,1
1,3
 0,2

16u1,2  64u2,2  16u3,2  16u2,1  16u2,3  0

16u2,2  64u3,2  16u4,2  16u3,1  16u3,3  0
16u  64u  16u  16u  16u  0
1,3
2,3
1,2
1,4
 0,3
16u1,3  64u2,3  16u3,3  16u2,2  16u2,4  0

16u2,3  64u3,3  16u4,3  16u3,2  16u3,4  0
Решим ее и получим
u1,1  0.4531, u1,2  1.1562 , u1,3  1.9531
u 2,1  0.0312 , u2,2  0.7188 , u 2,3  1.5313
u 3,1  0.5469, u3,2  0.1562 , u3,3  0.9531
0
Решим теперь ту же систему приближенно при помощи алгоритма. Начальные приближения u mn ищем по
формуле u mn   ( x m , y n ) и получаем
0
24
0
0
0
u11
 0.625 , u12
 1.375 , u13
 2.125 ,
0
0
0
 1.75 ,
 1 , u23
u 21
 0.25 , u22
0
0
0
u31
 0.375 , u 32
 1.125 ,
 0.375 , u33
0
0
0
 2.25 ,
u 01
 0.75 , u 02
 1.5 , u03
0
0
0
 0.25
u 41
 1.25 , u 42
 0.5 , u43
0
0
0
u10
 0.125 , u 20
 0.5 , u30
 0.125 ,
0
0
0
u14
 2.875 , u 24
 2.5 , u34
 1.875
Процесс решения продолжается до тех пор, пока не выполнится критерий остановки.
Результаты решения последней итерации таковы
3
3
3
u11
 0.508 , u12
 1.234 , u13
 2.008 ,
3
3
3
u 21
 0.109 , u 22
 0.828 , u 23
 1.609 ,
3
3
3
 1.008 ,
u31
 0.492 , u32
 0.234 , u33
3
3
Проверим критерий остановки  
m 1 n 1
3
2
umn
 umn
 0.266  0.3
Решение краевой задачи методом сеток для уравнения
параболического типа с функциями (x,t)=x2t(1-x),
(x)=x(x-1), 0(t)= 1(t)=0.
Возьмем область [0,1]*[0,1] и разобьем его на равномерную сетку.
Вычислим величины 0, 1 по формулам 0,n=0(tn), 1,n=1(tn). Они равны 0.
Вычислим величины mn по формуле mn=(xm,yn) и получим
11=0.012
21=0.031
31=0.035
12=0.023
22=0.063
32=0.07
13=0.035
23=0.094
33=0.105
Затем, используя формулы u0,m=(xm), un,0=0,n, un,M=1,n, найдем значения umn, отвечающие начальным и граничным
условиям.
Для вычислений следующих значений umn используем формулу
un 1,m  un,m  a 2

h2
(un,m 1  2un,m  un,m 1)  n,m
и получим
u1,1=-0.183
u2,1=-0.175
u3,1=-0.162
u4,1=-0.149
u1,2=-0.245
u2,2=-0.234
u3,2=-0.214
u4,2=-0.191
u1,3=-0.183
u2,3=-0.169
u3,3=-0.141
u4,3=-0.112
Решение краевой задачи методом сеток для уравнения
гиперболического типа с функциями g(x,t)=0, (x)=0,
(x)=0, 0(t)=t2(t-1), 1(t)=2t
Возьмем область [0,1]*[0,1] и разобьем его на равномерную сетку.
Вычислим величины m, m по формулам m=(xm), m=(xm), они равны 0. Величины 0, 1 вычислим по
формулам 0,n=0(tn), 1,n=1(tn) и получим
0,0=0
0,1=-0.047
0,2=-0.125
0,3=-0.141
25
0,4=0
1,0=0
1,1=0.5
1,2=1
1,3=1.5
1,4=2
Значения u1,1, u1,2, u1,3 вычислим по формуле
unm  m 
2
2

 2m  m1
(a 2 m1
 g0m )   m
h2
и получим то, что они все равны по 0.
Затем вычисляем значения umn по формуле
un 1ьm  (2un,m  un 1,m )  a 2
2
h2
(un,m 1  un,m  un.m 1)   2 g n,m
и получим
u2,1=-4.688*10-4
u3,1=-2.183*10-3
u4,1=-5.281*10-3
u2,2=0
u3,2=4.531*10-5
u4,2=2.678*10-4
u2,3=5*10-3
u3,3=0.02
u4,3=0.05
Решение интегрального уравнения Вольтера 1 рода
с ядром K(s,t)=cos(s)
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом. Определим значение функции на
каждом шаге
f[0]=11
f[0.2]=10.608
f[0.4]=10.264
f[0.6]=10.016
f[0.8]=9.912
f[1]=10
Построим матрицу из ядер А:
1

1
1
A
1

1
1

По формуле
h
A n  f n вычислим,
2
0
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0 

0 
0.921
0
0
0 
0.921 0.825
0
0 

0.921 0.825 0.697 0 
0.921 1.825 0.697 0.54
0
0
0
0
0
0
 n получая при:
  =110
n=1   =-4
n=2   =-3.735
n=3   =-3.005
n=4   =-1.493
n=5   =1.629
n=0
0
1
2
3
4
5
Решение интегрального уравнения Вольтера 2 рода
с ядром K(s,t)=cos(s)+0.2t
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом. Определим значения функции на
каждом шаге
f[0]=11
[0]=-2
f[0.2]=10.608
 [0.2]=-1.992
f[0.4]=10.264
 [0.4]=-1.936
f[0.6]=10.016
 [0.6]=-1.784
f[0.8]=9.912
 [0.8]=-1.488
f[1]=10
 [1]=-1
26
Построим матрицу из ядер А:
 1

 0.98
 0.921
A
 0.825

 0.697
 0.54

По формуле  n 
h
A n  f n вычислим,
2
0 

0 
0 
0
0
0.961 1.001
0 
0
0.865 0.905 0.945

0.737 0.777 0.817 0.857 0 
0.7 0.74
0.58 0.62 0.66
0
0
0
0
1.02
0
0
0
 n получая при:
  =130
n=1   =-1.381
n=2   =3.585
n=3   =9.156
n=4   =16.555
n=5   =27.96
n=0
0
1
2
3
4
5
Решение интегрального уравнения Фредгольма 1 рода
с ядром K(s,t)= tS+Sin(S)
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом. Определим значение функции на
каждом шаге
f[0]=11
f[0.2]=10.608
f[0.4]=10.264
f[0.6]=10.016
f[0.8]=9.912
f[1]=10
Построим последовательность регуляризующих параметров по формуле k=1/10k:
0=1,
1=0.1,
2=0.01,
3=0.001,
4=0.0001,
5=0.00001.
Построим матрицу из ядер А:
1

0
0
A
0

0
0

По формуле
f
h A
n 
вычислим,
2 k
k
  =-2.189
n=1   =97.096
n=2   =-562.579
n=3   =1.161*10
n=4   =-995.342
n=5   =711.493
n=0
2
2
2
2
1.053 1.388 1.631 1.83
0.561
0.97
1.336 1.677
0.307 0.688 1.103 1.542
0.174 0.498 0.921 1.426
0.103
0.37
0.781 1.326
1

1
1
1

1
1
 n получая при:
0
1
2
3
3
4
5
Решение интегрального уравнения Фредгольма 2 рода
с ядром K(s,t)=tS
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом. Определим значения функции на
каждом шаге
f[0]=11
[0]=-2
f[0.2]=10.608
 [0.2]=-1.992
f[0.4]=10.264
 [0.4]=-1.936
27
f[0.6]=10.016
 [0.6]=-1.784
f[0.8]=9.912
 [0.8]=-1.488
f[1]=10
 [1]=-1
Построим матрицу из ядер А:
2
1

0
1
.
45

 0 1.051
A
 0 0.761

 0 0.552
 0 0. 4

По формуле  n 
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5






h
A n  f n вычислим,
2
2
2
2
1

1.665 1.806 1.913 1
1.386 1.63 1.829 1
1.154 1.472 1.749 1

0.961 0.329 1.673 1
0.8
1. 2
1.6 1
 n получая при:
0=1.5*10-3
1=-1.601
2=17.837
3=-68.5
4=139.889
5=-45.252
Решение интегрального уравнения методом замены ядра
на вырожденное ядро c ядром K(s,t)=t+s
Возьмем отрезок [0,1] и разделим его на 5 равных частей, и это будет шагом. Определим значение функции на
каждом шаге
f[0]=11
f[0.2]=10.608
f[0.4]=10.264
f[0.6]=10.016
f[0.8]=9.912
f[1]=10
Построим последовательность регуляризующих параметров по формуле k=(tk-tt)k-1
1=1,
2=-0.1,
3=0.01,
4=0.027,
5=0.063.
Разложим ядро в ряд Тейлора при заданном числе N и вычислим их значения
С1=5.5
С2=5.975
С3=6.071
С4=6.079
С5=6.08
k
Вычислим приближенные значения по формуле  k   C j j  f k и получим
j 1
1=16.108
2=15.166
3=14.979
4=15.039
5=15.507
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Литература
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, - Москва: “Наука”, 1987.
Калиткин Н.Н. Численные методы, - Москва: “Наука”, 1978.
Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач, - Москва: “Наука”, 1987.
С. Г. Михлин. Линейные уравнения в частных производных, - Mосква: Высшая школа, 1977.
Краснов М.Л. и др. Интегральные уравнения, - Москва, 1976.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, - Москва: “Наука” 1978.
Б. Карпов. Delphi: специальный справочник, - Санкт-Петербург: 2002.
Е. Марков. Инженерные расчеты в MathCad. Учебный курс, - Санкт-Петербург: 2003.
28