Chizhov_Programma_Sevastopol

Чижов Г.А.
ПРОГРАММА базового курса
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
для студентов кафедры физики и геофизики (4 и 5 семестры)
Черноморского филиала МГУ (г. Севастополь)
Кинематика материальной точки
1. Механическое движение материальной точки. Система отсчета и системы координат. Скорость
и ускорение точки в декартовой и цилиндрической системах координат.
2. Секторная скорость. Движение с постоянной секторной скоростью и формулы Бине для скоростей и ускорений.
3. Сферическая система координат. Скорость точки в сферических координатах.
Динамика точки. Метод Ньютона
4. Взаимодействие тел и способы описания. Действие тел на материальную точку. Сила. Свойства сил. Инерциальная система отсчета. Законы Ньютона. Масса материальной точки. Динамические системы.
5. Первые и вторые интегралы уравнений движения в механике Ньютона. Условие независимости первых интегралов.
6. Прямая и обратная задача механики точки. Интегрирование уравнений движения для линейных систем.
7. Первые интегралы для уравнения движения материальной точки в векторной форме. Импульс,
кинетический момент, механическая энергия точки. Законы изменения и условия сохранения
первых интегралов.
8. Одномерное движение материальной точки. Интегрируемые задачи. Решение динамической
задачи для материальной точки в случае сохранения энергии.
9. Качественное исследование одномерного движения в системе с квадратичным первым интегралом (энергии). Типы движения. Область возможного движения и классификация особых
точек (точек остановки). Закон движения вблизи особых точек.
10. Равновесие точки в системе с интегралом энергии. Виды равновесия. Движение в окрестности положения равновесия.
11. Движение точки в поле центральной силы. Первые интегралы движения. Решение задачи в
квадратурах.
12. Упругое рассеяние частиц во внешнем поле. Дифференциальное и полное сечение рассеяния.
Формула Резерфорда.
13. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Импульс системы материальных
точек. Центр масс. Теорема о движении центра масс. Кинетический момент системы взаимодействующих точек.
14. Кинетическая и потенциальная энергия системы материальных точек. Теорема об изменении
полной энергии системы.
15. Задача двух тел (общая постановка). Приведенная масса. Первые и вторые интегралы движения.
Динамика систем со связями. Метод Лагранжа
16. Взаимодействие точки и твердого тела. Активные силы и реакции связей. Уравнения связей.
Голономные и неголономные связи. Действительные и виртуальные перемещения. Идеальные
связи.
17. Интегрирование уравнений Ньютона в системах со связями. Теоремы динамики и первые интегралы в системах с идеальными голономными связями.
1
18. Уравнения Ньютона в независимых координатах. Принцип виртуальных перемещений.
Принцип Даламбера.
19. Функция Лагранжа для натуральных систем с идеальными голономными связями и уравнения
движения в обобщенных координатах.
20. Функция Лагранжа и ее структура. Уравнения Лагранжа в независимых координатах при
наличии обобщенно-потенциальных сил. Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле.
21. Законы изменения и сохранения обобщенных импульсов. Циклические координаты. Обобщенная энергия. Законы изменения и сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии при наличии диссипативных сил.
22. Вывод уравнений Лагранжа из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Неоднозначность функции Лагранжа. Ковариантность уравнений Лагранжа относительно точечных
преобразований.
Канонические уравнения
23. Канонические уравнения и канонические переменные. Функция Гамильтона. Преобразование
Лежандра.
24. Канонические преобразования. Производящие функции канонических преобразований. Примеры канонических преобразований. Необходимые и достаточные условия каноничности преобразований.
25. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона - интегралы канонических преобразований.
Уравнения движения и скобки Пуассона.
26. Канонические преобразования как метод интегрирования канонических уравнений. Теорема
Якоби.
27. Уравнение Гамильтона-Якоби. Метод разделения переменных. Константы разделения и интегралы движения. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для системы с разделяющимися переменными.
28. Метод Делоне для разделения переменных. Переменные “действие-угол”. Укороченное действие.
29. Введение переменных “действие-угол” для многомерных систем. Переменные “действиеугол” и константы разделения переменных для многомерных систем.
30. Адиабатические инварианты. Адиабатическая инвариантность переменных действия.
31. Теорема Лиувилля
Линейные колебания систем
32. Линейные колебания системы с s-степенями свободы. Устойчивость по Ляпунову. Функция
Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости движения.
33. Собственные одномерные колебания. Затухающие одномерные линейные колебания. Условный период и свойство изохронности. Апериодическое затухание.
34. Вынужденные колебания одномерной линейной системы. Периодическая вынуждающая сила. Резонанс в одномерной системе.
35. Собственные колебания системы с s-степенями свободы. Общее решение. Нормальные координаты. Случай кратных корней.
Движение твердого тела
36. Кинематика твердого тела. Углы Эйлера. Вектор угловой скорости. Выражение угловой скорости через углы Эйлера и их производные.
37. Кинетическая энергия и кинетический момент твердого тела. Тензор инерции и его свойства.
38. Кинематические и динамические уравнения Эйлера. Движение симметричного твердого тела
с одной неподвижной точкой.
39. Метод Лагранжа в динамике твердого тела. Симметричный волчок с одной неподвижной
точкой в однородном поле тяжести.
2
Основы теории динамических систем.
40. Понятие динмической системы. Оператр эволюции. Дискретные и непрерывные отображения.
41. Аттрактор. Устойчивость динамической системы. Критерии устойчивости.
42. Отображение Пуанкаре. Отображение Фейгенбаума. Лестница Ламерея.
43. Странный аттрактор. Диссипативные системы. Динамический хаос
Литература
Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Издание: 5-е изд., стереот. Год издания: 2001 (2004 Reprint).
Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. – М. Изд. МГУ. 1974.
Халилов В.Р, Чижов Г.А. Динамика классических систем. – М. Изд. МГУ, 1993.
Пятницкий, Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической
механике. М, Физматлит, 2002.
Ольховский И.И., Павленко Ю. Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоретической механике для физиков. М. 2008
3