РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И. ГЕРЦЕНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И. ГЕРЦЕНА
Функции нескольких переменных.
Дифференциальное и интегральное исчисление.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
для студентов дневного отделения
факультета математики
Часть 5
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа
РГПУ им. А.И. Герцена
Методическое пособие предназначено для студентов дневного
отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.
В соответствии с программой по математическому анализу пособие
включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных
контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед
вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические
сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается
методическими указаниями к ним.
Материал пособия может быть использован для проведения
практических занятий, контрольных и проверочных работ на
естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.
Авторы-составители: кандидат ф.-м.н., доцент Т.Е. Звягинцева,
Старший преподаватель О.С. Корсакова,
кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич
Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,
профессор В.Д. Будаев
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического
анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.
Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.:
Просвещение, 1971. Ч.1,2.
Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая
школа, 1983.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа,
1988. Т. 1,2.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных.
С.-Пб, 1994.
Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.
Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление
функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения.
Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968.
Т.1, 2.
3
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть D  n и каждой точке (1 ,  2 ,..., n )  D поставлено в
соответствие число u   . Тогда говорят, что на множестве D определена
числовая функция нескольких переменных u  f (1 ,  2 ,..., n ) .
Множество D называется областью определения функции, точка
(1 ,  2 ,..., n ) - аргументом функции.
Будем далее рассматривать функцию двух переменных u  f ( x, y ) .
Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функцию n
переменных, где n>2.
Множество всех точек ( x, y )   2 , для которых функция u  f ( x, y ) ,
заданная аналитически, имеет смысл, называется естественной областью
определения этой функции.
Например, областью определения функции u  ln( 4  x 2  y 2 ) является
открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается
неравенством x 2  y 2  4 .
Графиком функции u  f ( x, y ) , где ( x, y )  D   2 , называется
множество x, y, f ( x, y)  ( x, y)  D. Оно задает некоторую поверхность в
пространстве 3 .
Например, графиком функции
параболоид.
u  x 2  y 2 , ( x, y )   2 , является
y  x2
.
y 1
y  x2
2
0.
Функция u определена в тех точках плоскости  , где
y 1
Это неравенство равносильно совокупности двух систем:
 y  x2  0  y  x2  0
и
.

y

1

0
y

1

0


Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек,
расположенных на параболе y  x 2 или выше нее, и лежащих в
полуплоскости y  1 . Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй
системе удовлетворяют координаты
точек, лежащих в множестве,
заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной
функции является объединение найденных множеств, т.е. множество,
которое выделено штриховкой на рис. 3.
Пример 1. Найдем область определения функции u 
4
y
y
y
x
x
Рис. 1
x
Рис. 2
Рис. 3
Линией уровня функции u  f ( x, y ) , называется множество точек
( x, y )   2 , удовлетворяющих уравнению f ( x, y)  c .
Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня) функции
n переменных, если n>2.
Пример 2. Найдем линии уровня функции u  max( x, y ) .
Отметим, что функция определена на всей плоскости 2 .
Для построения линий уровня надо для любого c   найти множество
точек плоскости, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению
max( x, y )  c . Следовательно, если x  y , то x  c , а если x  y , то y  c .
Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят,
что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).
Найдем линию уровня при с=0:
 x  0, если x  y ,  x  0, если y  0,  y  0
.
max( x, y )  0  


y

0
,
если
x

0
x

0
y

0
,
если
x

y



Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.
На рис. 4 изображены линии уровня для с=0, с=1 и с=2.
y
c=2
c=1
. c=0
x
Рис.4
5
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ


Множество V ( x0 , y0 )  ( x, y ) ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   (открытый круг
радиуса  (  0) с центром в точке ( x0 , y0 ) ) называется  -окрестностью
точки ( x0 , y0 )  2 . Через
окрестность точки ( x0 , y0 ) .

V  ( x0 , y0 )
будем обозначать
проколотую
Точка ( x0 , y0 ) называется предельной точкой множества D   2 , если
пересечение любой  -окрестности точки ( x0 , y0 ) и множества D содержит

хотя бы одну точку, отличную от ( x0 , y0 ) , т.е. для   0 D  V  ( x0 , y0 )   .
Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D.
Пусть функция u  f ( x, y ) определена на множестве D и точка ( x0 , y0 )
- предельная точка D.
Число А называется пределом функции f ( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) , если
 -окрестности U  ( A) точки А (U ( A)  u u  A      )
существует  -окрестность V ( x0 , y0 ) точки ( x0 , y0 ) такая, что для любой
для любой

точки
( x, y)  D  V  ( x0 , y0 ) значение функции
окрестность U  ( A) .
Таким образом, A  lim f ( x, y ) 
f ( x, y )
попадает в
x x0
y  y0

   0   0 : ( x, y)  D  V  ( x0 , y0 )  f ( x, y)  U  ( A) ) 
 x, y   D
 f ( x, y)  A   ).
 (  0   0 : 
2
2
0   x  x0    y  y0   
xy 2
 0.
x 0 x 2  y 2
y 0
Пример 3. Докажем, что lim
2
Заметим, что данная функция определена на всей плоскости  за
исключением точки (0,0).
xy 2
y2

0

x

 x  x 2  y 2 , то для любого
Поскольку
2
2
2
2
x y
x y
  0 существует   0 (а именно    ) такое, что для всех точек ( x, y) ,
6
удовлетворяющих условию
0  x 2  y 2   , справедливо неравенство
xy 2
0  .
x2  y2
Функция u  f ( x, y ) называется непрерывной в точке ( x0 , y0 )  D  2 ,
если lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) .
x  x0
y  y0
Функция называется непрерывной на множестве D, если она
непрерывна в каждой точке множества D.
 xy 2
, если x 2  y 2  0
 2
2
Пример 4. 1) Функция f ( x, y )   x  y
непрерывна
0, если x 2  y 2  0

xy 2
в точке (0,0), поскольку lim 2
 f (0,0)  0 (см. пример 3).
x 0 x  y 2
y 0
 ln(1  x 2  y 2 )
, если x 2  y 2  0

2
2
2) Функция f ( x, y )   x  y
в точке (0,0)
2, если x 2  y 2  0

терпит разрыв, т.к.
ln(1  x 2  y 2 )
lim f ( x, y )  lim
  lim ln 1  t  t  1  2  f (0,0) .
2
2
x 0
t 0
x 0
x

y
2
2
y 0
y 0
tx  y
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция u  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) . Если существуют конечные пределы lim
и
x  0
x
f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )
, то они называются частными производными
lim
y  0
y
функции f ( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) по переменным x и y соответственно и
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
обозначаются
и
(или: f x( x0 , y0 ) и f y ( x0 , y0 ) ).
x
y
Для вычисления частной
производной f x
(или f y ) пользуются
известными формулами и правилами дифференцирования функции одной
переменной, считая другую переменную y (или x) постоянной величиной.
Пример 5. Найдем частные производные функции f ( x, y )  x y .
7
Если считать y=const, то x y - степенная функция от x , поэтому
f x( x, y )  yx y 1 .
Если
x=const, то x y - показательная
следовательно, f y ( x, y)  x y ln x .
функция
от
y, и,
Функция f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке ( x0 , y0 ) , если
существуют числа А и В такие, что приращение f ( x0 , y0 ) 
 f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) функции f в точке ( x0 , y0 ) представимо в
виде
f ( x0 , y0 )  Ax  By   (x, y ) ,
где   o(  ) при   (x) 2  (y ) 2  0 .
Главная часть полного приращения f ( x0 , y0 ) , линейная относительно
x и y , т.е. Ax  By , называется полным дифференциалом функции
f ( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) и обозначается df ( x0 , y0 ) .
Таким образом, df ( x0 , y0 )  Ax  By .
Дифференциалом независимой переменной по определению считаем
ее приращение, т.е. dx  x , dy  y .
Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она
дифференцируема в каждой точке множества D.
Теорема 1. Если функция f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x0 , y0 ) и
df ( x0 , y0 )  Ax  By - ее дифференциал в этой точке, то в этой точке
существуют частные производные функции f, и, кроме того,
f y ( x0 , y0 ) =В.
f x( x0 , y0 ) =А,
Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по
формуле
df ( x0 , y0 )  f x ( x0 , y0 ) dx + f y ( x0 , y0 ) dy .
Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой
точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для
дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных
условий, чем наличие частных производных в точке.
Теорема 2. Если частные производные f x ( x, y ) и f y ( x, y ) функции f
существуют в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) и непрерывны в ( x0 , y0 ) ,
то функция f дифференцируема в точке ( x0 , y0 ) .
8
Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции
f ( x, y )  ( x 2  5 y )3 в точке (1, 1/5).
f x( x0 , y0 )  3( x 2  5 y ) 2  2 x ,
f y ( x0 , y0 )  3( x 2  5 y ) 2  5 ,
f x (1,1 5)  24 ,
f y (1,1 5)  60 ;
df (1,1 / 5)  24dx  60dy .
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 3. Пусть функции  ( s, t ) и  ( s, t ) определены в некоторой
окрестности точки ( s0 , t0 ) , а функция f ( x, y ) определена в некоторой
окрестности точки ( x0 , y0 )  ( ( s0 , t0 ),  ( s0 , t0 )) .
Если функция f дифференцируема в точке ( x0 , y0 ) , а в точке ( s0 , t0 )
x x y y
существуют производные
, то в точке ( s0 , t0 ) существует
,
,
,
 s t  s t
производная сложной функции f ( ( s, t ),  ( s, t )) , причем
f f x f y
f f x f y
,
.




s x s y s
t x t y t
Пример 7. Найдем частные производные сложной функции u  x2 ln y ,
где x  s / t , y  st .
u u  x u  y
1 x2
s


 2 x ln y  t  2 (2ln( st )  1) ,
s x s  y s
t y
t
u u  x u  y
s2
 s  x2


 2 x ln y   2  
s  3 (1  2ln( st )) .
t  x t  y t
t
 t  y
Пример 8. Найдем производную сложной функции u  x 4  y , где
x  ln t , y  t 2  1. В этом примере функции x и y зависят от одной
переменной t, поэтому сложная функция f ( x(t ), y(t )) - функция одной
переменной.
du  u dx  u dy
1
4ln 3 t
t
31


 4x 
2t 

.
2
dt  x dt  y dt
t 2 y
t
t 1
Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция.
Докажем, что функция  ( x, y)  y  f ( x2  y 2 ) удовлетворяет уравнению
y2


 xy
 x . Положим x2  y 2  u .
x
y
9

f
df  u
df
df
 ( yf (u ))x  y
y
 y 2 x  2 xy .
x
x
du  x
du
du

f
df  u
df
.
 ( yf (u))y  f (u)  y
 f (u )  y
 f (u )  2 y 2
y
y
du  y
du
Тогда
Следовательно,
y2


df
df
 xy
 2 xy3
 xy( f (u )  2 y 2 )  xyf (u)  xyf ( x2  y 2 )  x .
x
y
du
du
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция u  f ( x, y) в окрестности точки ( x, y)  D  2 имеет
u
частную производную
.
x
u
Частная производная функции
по переменной x называется
x
частной производной второго порядка по переменной x и обозначается
 2u
 .
или f xx
2
x
u
Частная производная
по переменной y называется частной
x
 2u
производной второго порядка по переменным x и y и обозначается
 y x
 .
или f xy
Аналогично определяются частные производные второго порядка
 u
u
 2u
 и f yy
 ) как частные производные функции
f yx
и
(
.
 x y
y
 y2
2
 2u
Производные
и
 y x
производными.
 2u
называются смешанными частными
 x y
Теорема 4. Пусть функция u  f ( x, y) определена вместе со своими
 , f yx
 в некоторой окрестности точки
частными производными f x , f y , f xy
 и
( x0 , y0 ) , причем смешанные производные f xy
 непрерывны в этой
f yx
точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.
 ( x0 , y0 ) = f yx
 ( x0 , y0 ) .
f xy
10
Частные производные от производных второго порядка называются
 3u
 3u
 3u
частными производными третьего порядка:
и т.д.
,
,
 x3  y x 2  y 2 x
Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной
производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.
Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего,
четвертого и более высоких порядков. Например, если функция u  f ( x, y)
определена вместе со своими частными производными до порядка 3
включительно в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) , причем смешанные
 и f yxx
 , f xyx
 непрерывны в этой точке, то значения
производные f xxy
смешанных
производных
в
 ( x0 , y0 ) = f yxx
 ( x0 , y0 ) = f xyx
 ( x0 , y0 ) .
f xxy
этой
точке
равны:
Дифференциалом второго порядка функции
двух переменных
называется дифференциал от дифференциала первого порядка.
Если функция u  f ( x, y) дважды непрерывно дифференцируема в
некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) (т.е. существуют непрерывные
частные производные функции f до второго порядка включительно в
окрестности точки ( x0 , y0 ) ), тогда
 ( x0 , y0 )dx2  2 f xy
 ( x0 , y0 )dxdy  f yy
 ( x0 , y0 )dy 2 .
d 2 f ( x0 , y0 )  d (df ( x0 , y0 ))  f xx
Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно
дифференцируемой сложной функции u  f ( x, y) , где x  st , y  2s  7t .
f f
f
f f
f

s
7.

t
2,
t  x
y
s x
y
  f 
  f 
 2 f   f    f
f 
t

2


t

2









2

s

x

s

y

s

s

s

x

y




s




  f  y
  f  x
  f  y
  f  x
t
2 
2

=t





 x  y s
 y   y   s
 x  x s  y  x s
2
2f
2f
=t
 4t
4 2 ,
 x y
 x2
 y
  f 
  f 
2f
  f    f
f  f
s 

 
s
7 
7 
 
 s   x   s   y 
 s t  s   t   s   x
y  x
=
2
f
  f  y
  f  x
  f  y
f
  f  x

s

7

7

s
 x   y   s
 y   y   s
x
 x   x   s  y   x   s
f
2f
2f
2f
=
 st 2  (2s  7t )
 14 2 ,
x
 x y
x
 y
11
аналогично вычисляем
 f   f  2 2f
2f
2f
 
 14s
 49 2 .
s
 x y
 t2  t   t 
 x2
 y
2
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Пусть l - единичный вектор в 2 с координатами (cos ,sin  ) .
Производной функции u  f ( x, y) по направлению вектора
f ( x0  t cos  , y0  t sin  )  f ( x0 , y0 )
точке ( x0 , y0 ) называется lim
.
t
t 0
l в
Производная по направлению обозначается  f  l ( x0 , y0 ) .
Градиентом функции f в точке ( x0 , y0 ) называется вектор,
координатами которого являются частные производные функции в точке:
grad f ( x0 , y0 ) = ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) ) = f x ( x0 , y0 ) i + f y ( x0 , y0 ) j.
Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному
произведению вектора градиента и вектора l:
 f ( x0 , y0 )
 f ( x0 , y0 )
f
( x0 , y0 ) =
cos +
sin  = grad f  x0 , y0   cos  ,
x
l
y
где  - угол между векторами grad f ( x0 , y0 ) и l.
Из последней формулы следует, что производная по направлению
вектора grad f ( x0 , y0 ) имеет наибольшее значение среди производных по
различным направлениям и равна модулю вектора градиента.
Пример 11. Найдем производную функции f ( x, y)  3x2  2 y 2 в точке
М (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3).
MN  42  32  5 . Значит,
Вектор MN имеет координаты (4, 3),
единичный вектор l имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные
производные в точке М: f x (1,0)  6x x 1  6 ,
f y (1,0)  4 y y0  0 . Тогда
 f  l (1,0)=6 4/5 + 0 3/5 = 24/5.
Пример 12. Найдем производную функции f ( x, y)  x2  y 2 в точке
(2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.
Вычислим частные производные:
f x (2,3)  2 x x 2  4 , f y (2,3)  2 y y 3  6 .
Производная в направлении вектора
модулю вектора grad f. Следовательно,
12
градиента в точке равна
f
(2,3)   gradf (2,3)  42  62  2 13 .
l
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Для дифференцируемой в точке ( x0 , y0 ) функции u  f ( x, y) верно
следующее соотношение:
f ( x, y )  z0  A( x  x0 )  B ( y  y0 )  o(  ) ,
где z0  f ( x0 , y0 ) ,   (x)2  (y)2  0 (это следует из определения
дифференциала первого порядка). Коэффициенты А и В однозначно
определяются: f x ( x0 , y0 ) =А, f y ( x0 , y0 ) =В.
Уравнение
z  z0  f x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )  ( y  y0 )
является уравнением плоскости, проходящей через точку ( x0 , y0 , z0 ) . Эта
плоскость называется касательной плоскостью к графику функции
u  f ( x, y) в точке ( x0 , y0 , z0 ) .
Таким образом, касательной плоскостью к
графику функции
u  f ( x, y) в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и
значения функции f ( x, y) в этой точке есть величина, бесконечно малая по
сравнению с  при   0.
Уравнение нормали к графику функции u  f ( x, y) в точке ( x0 , y0 , z0 )
имеет вид
x  x0
y  y0
z  z0
.


f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 )
1
Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
F ( x, y, z )  0 , то уравнение касательной плоскости в точке ( x0 , y0 , z0 ) имеет
вид
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0 ,
а уравнение нормали в этой точке:
y  y0
x  x0
z  z0
.


Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности z  2 x2  4 y 2 в точке (-2, 1, 4).
zx (2,1)  4 x x 2  8 , zy (2,1)  8 y y 1  8 . Уравнение касательной
плоскости имеет вид: z  4  8( x  2)  8( y  1) или 8x  8 y  z  4  0 .
13
Уравнение нормали:  x  2  8   y  1 8  z  4 .
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Точка ( x0 , y0 ) называется точкой локального максимума (локального
минимума) функции u  f ( x, y) , ( x, y)  D  2 , если существует
окрестность точки ( x0 , y0 ) , для всех точек которой выполнено неравенство
f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ).
Точки локального максимума и локального минимума функции
называются точками локального экстремума.
Например, точка (0,0) является точкой минимума функции u  x2  y 2 .
Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция
u  f ( x, y) имеет в точке ( x0 , y0 ) локальный экстремум и в этой точке
существуют частные производные f, то
f x ( x0 , y0 ) =0 и f y ( x0 , y0 ) =0.
Точка ( x0 , y0 ) называется стационарной точкой функции f, если
f x ( x0 , y0 ) =0 и f y ( x0 , y0 ) =0.
Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция
u  f ( x, y) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности
стационарной точки ( x0 , y0 ) .
 ( x0 , y0 ) )2. Тогда
 ( x0 , y0 )  f yy
 ( x0 , y0 ) - ( f xy
Обозначим = f xx
1) если >0, то в точке ( x0 , y0 ) функция f имеет локальный
 ( x0 , y0 ) > 0 и минимум при f xx
 ( x0 , y0 ) < 0;
экстремум: максимум при f xx
2) если <0, то в точке ( x0 , y0 ) функция f не имеет экстремума;
3) если =0, то в точке ( x0 , y0 ) функция f может иметь локальный
экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются
дополнительные исследования).
Пример 14. Исследуем на экстремум функцию
u  3x2 y  y3  12 x  15 y  3 .
Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей
плоскости. ux  6 xy  12 , uy  3x2  3 y 2  15 . Приравнивая частные
производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные
точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).
14
= uxxuyy  (uxy )2 = 6 y  6 y  (6 x)2  36( y 2  x2 ) .
(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.
(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, uxx (1,2)  12  0 , следовательно, в точке (1, 2)
функция имеет минимум, u(1,2) = -25.
(-2, -1) = 36∙(1 – 4 ) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.
(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, uxx (1, 2)  12  0 , следовательно, в точке
(-1, -2) функция имеет максимум, u(-1, -2) = 31.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Пусть функция u  f ( x, y) непрерывна на ограниченном замкнутом
множестве D.
Напомним, что множество D  2 называется ограниченным, если
существует такая окрестность U (0,0), что D  U (0,0); множество D  2
называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
По теореме Вейерштрасса существуют такие точки ( x1, y1)  D и
( x2 , y2 )  D , что f ( x1, y1) является наибольшим значением функции на
множестве D , а f ( x2 , y2 ) - наименьшим ее значением на множестве D.
Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная
на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо
в стационарных точках, либо в граничных точках D.
Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции
u  3x2 y  y3  12 x  15 y  3 на множестве D, ограниченном прямыми
x  y  4, x  0, y  0.
(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные
точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),
(-1,-2) не принадлежат D.
u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.
D
Изучим поведение функции u на
x
границе множества D.
1) y  0 , x  0,4 . На этом участке границы
Рис. 5
u  3  12 x . Это функция одной переменной,
которая принимает наименьшее значение в
точке x  4 , а наибольшее значение в точке x  0 : u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;
2) x  0 , y  0,4 . На этом отрезке u  y3  15 y  3 . Для того чтобы найти
наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее
значения в стационарных точках и на концах отрезка: u  3 y 2  15 ;
y
u  0  y   5 , но  5 0,4 , поэтому вычисляем u (0,0) = 3, u (0, 5 )=
15
= 3  10 5 , u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а
наименьшим - в точке (0, 5 );
3) y  4  x , x  0,4 . Здесь
u  3x2  4  x    4  x  12 x  15  4  x   3  4x3  24x2  45x  7 .
Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах
отрезка: u  12 x2  48x  45 ; u  0  x  3 2  x  5 2 ;
u (0,4)= 7,
u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы
наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в
точке (4,0).
Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений
функции на различных участках границы и из значений функции в
стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое.
Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.
3
16
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)


f  x, y   ln 1  x  sin  x 2  y 2

f  x, y   2 x  x2  y 2  arcsin
xy
x2  y 2
2. Нарисуйте линии уровня функции
z   x  y
2
z
y
x
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  1  x2  y 2 , D f : x2  y 2  4
z  y 2  x2 , D : x  y  1
f
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
z
ln( y 3  x)
x2  1
y 2  x3
z  arctg
x y
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x t s, y  s t
x  s2  t , y  t 3
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
x3  4x2 z 2  yz3  2 y 4  0 ,
M 1,1,1
xy 4  x4 y  z  z 4  0 ,
M 1,1,1
7. Найдите производную f по направлению вектора l в точке М
f  x, y   3x2  5 y 2 , l   1, 2 ,
M 1,1
f  x, y   x sin  x  y  , l   1,0  ,
M  4 ,  4 
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  2 x2  y 2  z 2  xy  2z  3x  4 y
u  x2  3 y 2  z 2  xz  2 x  3 y
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  xy  x  y ,
2  x  2 , 2  y  4
u  x2  xy  y ,
x  2, y 3
17
Вариант 3
Вариант 4
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
f  x, y   1  tg x  arccos y
f  x, y   1  log 1  x  arcsin y 
2
2. Нарисуйте линии уровня функции
z
1
x2  y 2
z  xy
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  xy , D f : x 2  y 2  1 ,
x  0, y  0
z  4  x2 , D f : x2  y 2  1
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
z
ln( y 2  x)
x4  1
z  arcsin
y2  x
x y
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  3s  t , y  t s
x  ln t , y  5t  s
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
xz5  3x3 y  4zy 4  0 ,
M 1, 1,1
x2 y 2  3 yz3x  5 y3  3  0 ,
M  2,1, 1
7. Найдите производную f по направлению вектора l в точке М
f  x, y   3x 4  y3  xy , M 1, 2  ,
l образует угол 135 с осью 0x

f  x, y   arctg  y x  , M 1 2 , 3 2

,
l - внешняя нормаль к окружности
x2  y 2  2 x в точке М
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  3xy  5xz  8 yz  9 x2  6 y 2  11z 2
u  yz  2xy  4x2  3 y 2  z 2  8x
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  x2  y 2  4 x ,
2  x  1, 1  y  3
u  x3  8 y3  6xy  1,
0 x  2,
18
y 1
Вариант 5
Вариант 6
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
f  x, y   arccoslog3  xy  1
f  x, y   lnsin x  arccos  x  y 
2. Нарисуйте линии уровня функции

z  max e y , x


z  min e x , y

3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  4  x2  y 2 ,
D :  1  x  1 , 1  y  1
f
z  1  x2  y 2 ,
D : 0  x 1 , 0  y 1
f
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
( y 3  x)
z  cos
x
y2  x
z  tg
y
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
t
s
x
x  , y  s t
1 ,
y  t s
s t
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
z3  x2 y  y3z  6x  46  0 ,
M  0, 3, 2 
x3  6 z3x2  y 2 z 2  y5  0 ,
M  0, 1, 1
7. Найдите градиент функции f в точке М
f  x, y   1  x2 y x , M  1,1
f  x, y   y  x y , M  2,1
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  x2  y 2  2z 2  yz  2z  3 y
3
u  2 x2  y 2  z 2  xy  2 xz  yz  y  2 z
2
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  x2  y 2  xy ,
x  y 1
u  x 2  2 y  1, x  y  1 , x  0 , y  0
19
Вариант 7
Вариант 8
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)


f  x, y   ln x  y 2  4  arcsin  x  4 
f  x, y   arccos
y
sin x
2. Нарисуйте линии уровня функции
z   x  y
z x y
2
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  3  x  y , D f : x2  y 2  1
z  1  x2  y 2 , D f : x 2  y 2  9
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
y3
y2
2
2
z  x arccos
z  y arctg
x
x
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  t 2  s2 ,
y
st
2
x
1
2
, y t
s t
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
xz6  6x3 y  4 y 2 z 2  1,
M  2, 0,1
z 4  x2 y 2  yz 2  6x2 z  1  0 ,
M  1,1, 2
7. Найдите производную f по направлению вектора M 0 M в точке M 0
f  x, y   5x  10 x2 y  y5 ,
M 0 1, 2  , M  5,  1
f  x, y   xy 2 ,
M 0  3, 2 , M  7, 5
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  xz  yz  2 xy  5x2  y 2  3z 2  6 z u  2 x 2  y 2  3z 2  xy  xz  4 x 
 2y  z
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  x  3y ,
u  x 2  2 y  3,
x  y  6 , x  4 y  4, y  2
y  x 1, x  0 , y  0
20
Вариант 9
Вариант 10
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)

2
2
2
2
x2 
f
x
,
y

x

y

1
4

x

y


f  x, y   ln 1 
 cos2 y 


2. Нарисуйте линии уровня функции

z  max  x, y 


z  min  x , y 
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  2  y , D f : x2  y  1
z  1  x2 , D : 0  x  1 , 0  y  1
f
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
x
z  1  x 2 tg x  y 3
z  x arccos
y 1


5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  s3 , y 
s
t
x  t  2s , y  t
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
x y  2 x2 z 3  yz  16 x cos y  0
M 1, 0, 2 
sin x cos y  2 z 2  5xz  xy 2  2  0 ,
M  0,1,1
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению
функции f в точке М
f  x, y   xy5  3x4 y5 , M 1,1
f  x, y  
x y
, M  2,1
y
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
3 2
y  2 z 2  xy  xz 
2
 4x  2 y  z
u  x2 
1
u  xy  xz  2 yz  x 2  y 2 
2
 5z 2  2 x  4 y
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  x2  y 2  xy  x  y ,
x  y  3, x  0, y  0
u  2 xy  3 ,
21
y 2  x2  1
Вариант 11
Вариант 12
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)

f  x, y     6arcsin x 1  y 2

f  x, y     3arccos
2. Нарисуйте линии уровня функции
z  x  y  x y
x
1  y2
z x  y
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  9  x2 , D f : x 2  y 2  9
z  3  y2 , D f : x2  y  3
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
2
y
z  2arcsin
 x  y5
z
arctg x3
3x  1
xy  1
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  2t  1 , y  st 2
t
x  , y  t2
s
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
x4 y 4  z 2 cos y  z  2 ,
M  0,  ,1
2 x2 y3  xz 2  3x2 y 2 z  2z  0
M  1,1,1
7. Найдите единичный вектор l , по направлению которого
производная f l в точке М наибольшая
f  x, y   x  3 y  3xy , M  3,1
f  x, y   x2  xy  y 2 , M  1, 2 
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
2
2
2
1
u  5x2  y 2  z 2  2 xy  xz  yz  10 x u  5 x  y  5 z  2 xy  xz 
2
1

2
yz  10 x
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u   x  6    y  8
2
2
,
u  x4  y 4 ,
x2  y 2  25
22
y 2  x2  4 x
Вариант 13
Вариант 14
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
f  x, y   arcsin
f  x, y   arccos  2sin xy 
ex
 x y
y
2. Нарисуйте линии уровня функции
z  x  ln y
z  y  ln x
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z 1 y ,
z  1  x2 4  y 2 9 ,
D f : 1  x2  y  2
D : 0  x 1, 0  y  3 1 x 4
f
2
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
z  log3
y2  x
z
x2  2
arccos( xy 2 )
x y
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  2t  s , y  st
x  1  t , y  2t 2  s
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
y3arctgx  z 3 x 

4
x3 y  z  0 ,
M 1,1, 1
x3z 2  y3z  5x  tgy  1  0 ,
M 1, 0, 1
7. Найдите производную f по направлению вектора l в точке М
f  x, y   3x2  5 y 2 ,

l  1 2 , 1 2

,
M 1,1
f  x, y   x sin  x  y  ,
l   1,0 , M  4 ,  4 
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  5 x 2  y 2  5 z 2  2 xy  xz 
 yz  4 x  2 y
u  xy  xz  2 yz  4x2  y 2  5z 2  2 y
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  3  2 xy , 4  x2  y 2  9
u  x2 y , y 2  x2  1
23
Вариант 15
Вариант 16
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)


f  x, y   ln 1  y  cos  x 2  y 2

f  x, y   1  ctg y  arccos x
2. Нарисуйте линии уровня функции
z
1
3x 2  y 2
z  x  2y
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  x2  y 2  2 ,
D : x  0 , 2  x2  y  6
f
z  ln
z  y 2  x2 ,
D : 0 x  y, 0 y  2
f
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
1  sin x
cos( y 2  xy )
xy
2
z
x  y2
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  t s , y  s  2t
x  t 2 , y  s3  t
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
5sin3 y  z  3 cos y  z 2  xy3z  0 ,
M  0,  6 , 5 12 
2
2e y  5 x  cos y  z 5  xz 2  3x  0 ,
M  2, 0,1
7. Найдите производную f по направлению вектора l в точке М
f  x, y   3x3  y 4  xy , M 1,2 ,
l образует угол 45 с осью O x
f  x, y   arctg  y x  , M

3 2, 1 2

,
l - внешняя нормаль к окружности
x2  y 2  2 y в точке М
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  xy  2x2  y 2  z 2  2z  x  4 y
u  xz  x2  3 y 2  z 2  x  6 y  z
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  y 2  x 2 , x2  y 2  8x
u  x3  y 2 , 3 x  2 y  6  0
24
Вариант 17
Вариант 18
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
 

f x, y  1 lg y  arccos x


2. Нарисуйте линии уровня функции

z  min x , y3


z  max x2 , y

3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  1  x2 , D f : x2  y 2  1

f  x, y   arccos x2  y  lncos y


z  1  x2  y 2 , D f : 4 x2  y 2  1
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
 e y2 3 x 

y3 
z

arctg


z  ln  arccos




x


5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  s2  1, y  t  s
x  s  t , y  s t2
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
2 y5 z3  xy9  sin( z)  8x4 yz  0 ,
M  1,1, 2
y3 z  5xyz 3  10 x4 cos  z   z 5  0 ,
M  1,1, 2
7. Найдите градиент функции f в точке М
f  x, y   1  x y y3 , M 1,  1
f  x, y   y5  x y  5 , M  2,1
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
3
u  2 x 2  y 2  z 2  2 xy  xz 
2
 yz  3 y
u  3xy  5xz  8 yz  9x2  6 y 2  11z 2
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении
связи
u  x3  y 2 , 2 x  2 y  3  0
u  x3 y 2 , x  2 y  1  0
25
Вариант 19
Вариант 20
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
  

f x, y  ln y  x 2  1  arccos  2 x  y 
f  x, y   arcsin 3
x
cos y
2. Нарисуйте линии уровня функции
z  max  x , y 
z  min  x , y 
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  1  x2 , D f : y 2  x  1
z  4  x2  y 2 ,
D f : 0  x  4  x 2 , 2  y  1
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
z
sin 2 ( y  x)
2
z  arctg 2 x  y
y2  1
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  t  7 s , y  ln t
x  s  2t , y  3st
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
2 x  arctg
y

 xyz 2  z 3  1  0 ,
x
2
M  1,1, 1
y x z 2  x y  z 3  3z  0 ,
M  2,1,  2
7. Найдите производную f по направлению вектора M 0 M в точке М
f  x, y   5x  10 x2 y  y5 ,
M 0 1, 2  , M  5,  1
f  x, y   xy 2  7 x3 y ,
M 0  3, 2 , M  7, 5
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  x2  5 y 2  z 2  2xy  xz  yz  10 y
u  x2  xy  2 y 2  4 yz  5z 2  4z
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении
связи
u  5  3x  4 y , x2  4 y 2  25
u  1  4 x  8 y , x2  8 y 2  8
26
Вариант 21
Вариант 22
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
y

f  x, y   arccos x  y  x
y2 
f x, y   4  2 
e


sin
x


2. Нарисуйте линии уровня функции
12
 
z  y  sin x
z  x  cos y
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z
1
2
, D : 1 y  x  2
f
x
z  x2  y 2 , D f : y 2  x  1 , y  0
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
 
 y  x2 
z  3 ln 
 x 2  y 


sin 2 x 2
z
e
x  y2
5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  2t  s  , y 
t
s
x  st , y 
2
st
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
2
y
yz3  x2  sin y  xyz   x  1,
log 2 x 2  y 2  xz 3  yz  arctg ,

x
M 1,  2 ,1
M 1,1,1
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению f l в
точке М
f  x, y   xy 2  3x 4 y5 , M 1,  1
f  x, y  
x y
, M  2,  1
y
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  2 xz  4 yz  2 xy  2 x 2  5 y 2 
u  2xy  2xz  5x2  6 y 2  4z 2  8z
 5z 2  4 x
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении
связи
u  x2  xy  y 2 , x2  y 2  1
u  2x2  12xy  y 2 , x2  4 y 2  25
27
Вариант 23
Вариант 24
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
 

f x, y  2 x  x 2  y 2  arccos  x  3
ey
f  x, y   arcsin  ln x  x 2  6
x
2. Нарисуйте линии уровня функции

z  min x2 , y


z  max x, y 2


3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  2 xy , D f : y 2  x  1 , x  0
z  4  x2  y 2 , D f : y 2  x 2  1
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
 y3  x 
 y2  3 
3
2
z  x  sin 
z  y  tg 
 xy 
 x  y 




5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
1
x   t , y  t 2
s
x
1
 s  t  , y  s2  t 2
2
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
xe y z3  x2 y  5z 2  4 x  0 ,
M 1, 0,  1
xz 4  x4  arctg y  yz 2 

4
z  2  0,
M  1,1,1
7. Найдите единичный вектор l , по направлению которого производная
f l в точке М наибольшая
f  x, y   x  3 y  3xy , M  3,1
f  x, y   x2  xy  y 2 , M  1, 2 
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  3x2  4 y2  5z 2  2xy  2 yz  8 y
u  4x2  6 y2  5z 2  2 xz  2 yz 10 z
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении
связи
u   x  1   y  1
2
2
u  x3  y 2 , 3 x  2 y  6  0
,
x2  y 2  2xy  0
28
Вариант 25
Вариант 26
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)


f  x, y   ln 1  x  cos  x 2  y 2

f  x, y   2 y  x 2  y 2  arccos
xy
x2  y 2
2. Нарисуйте линии уровня функции
z   x  3y 
2
z
y
x y
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  2  x2  y 2 , D f : x2  y 2  9
z  4  y 2  x2 , D : x  y  2
f
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
xy
sin x 2 sin y
z  2cos x 
ze
x2  y


5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  5t  s , y  s  3t
x  s 2  2t , y  2t 3
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
x3  4x2 z 2  yz3  2 y 4  z  0 ,
M  2, 1,1
xy 4  x4 y  z  z 4  7 x  0 ,
M  2, 1, 1
7. Найдите производную f по направлению вектора l в точке М
f  x, y   5x2  4 y 2 , l   1, 2 ,
M 1,1
f  x, y   xtg  2 x  y  , l   1,0  ,
M  4 ,  4 
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  x2  17 y 2  3z 2  2 xy  xz  7 yz
u  4 x2  6 y 2  5z 2  2 xz  2 yx  10 z
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  xy  2 x  3 y ,
2  x  2 , 2  y  4
u  x2  3xy  4 y ,
x  3, y  3
29
Вариант 27
Вариант 28
1. Найдите область определения функции f  x, y  , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
 
f x, y  1  2sin( x)  arccos  x  2 y 
f  x, y   4 x  x 2  y 2  ln
2. Нарисуйте линии уровня функции
z   3x  y 
4
z
xy
x2  y 2
y  2x
x
3. Нарисуйте график функции z  f  x, y 
z  4  y2 , D f : x2  y  2
z  x2  4 y 2 ,
D f : x2  y  1, y  0
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
ze

cos x3 sin y

ze

cos xsin( x  y3 )

5. Найдите частные производные  2 f s 2 ,  2 f st ,  2 f t 2 дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции z  f  x, y  , если
x  4t 2  s , y  s 2  3t
x  2s 2  t , y  t 3
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции z  f  x, y 
x3z  3x2 z 2  2 yz3  2 y 4  0 ,
M  1,1,1
xy 4  x4 y  3z  5z 4  2 x3  0 ,
M  2,1,  1
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению f l в
точке М
f  x, y   x 2 sin  x 2  y  ,
f  x, y   3x 4  4 xy 4  5 y 2 , M 1,1
M   2 ,  4
8. Исследуйте функцию u  u( x, y, z ) на экстремум
u  9 x2  6 y 2  11z 2  3xy  5xz  8 yz
u  3x2  4 y 2  5z 2  2 xy  2 yz  8 y
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
u  xy  x2  y3 ,
1  x  1 , 2  y  3
u  x2  5x2 y  2 y ,
x  3 , y 1
30
ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть на квадрируемом множестве D  2 определена функция
u  f ( x, y) .
Под квадрируемым множеством подразумевается такое точечное
множество D, которому можно по определенным правилам сопоставить
некоторое неотрицательное число, являющееся его площадью.
Разобьем D произвольными кривыми на n частей D1, D2 , ..., Dn . Пусть
P1, P2 , ..., Pn - площади этих частей, а d1, d 2 , ..., d n - их диаметры.
Напомним, что диаметром множества называется супремум расстояний
между любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству.
В каждой из Di ( i  1,2,..., n ) выберем произвольную точку (i ,i ) и
n
составим интегральную сумму    f (i ,i ) Pi для функции f ( x, y) на
i 1
множестве D.
Число   max (d1, d 2 ,..., d n ) называется рангом разбиения D.
Если существует конечный предел J  lim  , который не зависит ни
 0
от способа разбиения D на части, ни от выбора точек (i ,i ) , то J
называется двойным интегралом функции f ( x, y) по множеству D и
обозначается
 f ( x, y)dxdy ;
функция f ( x, y) в этом случае называется
D
интегрируемой на множестве D.
Заметим, что функция
f ( x, y) , непрерывная
квадрируемом множестве D, интегрируема на D.
на
замкнутом
Свойства двойных интегралов
Пусть функции f ( x, y) и g ( x, y) интегрируемы на множестве D.
1. Линейность интеграла. Для любых постоянных чисел c1 и c2 функция
c1 f ( x, y) + c2 g ( x, y) интегрируема на D и верно равенство
 (c1 f ( x, y)  c2 g ( x, y))dxdy = c1  f ( x, y)dxdy + c2  g ( x, y)dxdy .
D
D
D
31
2. Аддитивность по множеству. Если D некоторой непрерывной кривой L
разбита на два множества D1 и D2 ( D1  D2  D , D1  D2   ), то
функция f ( x, y) интегрируема на D1 и D2 и
 f ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy .
D
D1
D2
f ( x, y)  g ( x, y) для всех ( x, y)  D , то
3. Монотонность. Если
 f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy .
D
D
4. Теорема о среднем значении. Пусть f ( x, y) определена и непрерывна на
связном, замкнутом и ограниченном множестве D.
Напомним, что множество называется связным, если любые две его
точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом
множестве.
Тогда существует такая точка ( x0 , y0 )  D , что
 f ( x, y)dxdy  f ( x0 , y0 )  P ,
D
где P - площадь множества D.
Вычисление двойных интегралов
Множество
D  2 вида D  ( x, y) : a  x  b,  ( x)  y   ( x) , где
 ( x),  ( x) - функции, непрерывные на a,b ,  ( x)   ( x) на a,b, называется
элементарным относительно оси y.
Аналогично, множество D  ( x, y) :  ( y)  x   ( y), c  y  d  , где
 ( y),  ( y) - функции, непрерывные на c,d,  ( y)   ( y) на c,d,
называется элементарным относительно оси x.
Теорема
(о
вычислении
двойного
интеграла
повторным
интегрированием).
1). Пусть функция f ( x, y) интегрируема на множестве D,
элементарном относительно оси y, и при каждом постоянном значении x из
 ( x)
a,b существует интеграл I ( x) 

f ( x, y )dy , тогда
существует также
 ( x)
b
интеграл
b
 ( x)
 I ( x)dx   dx 
a
a
f ( x, y )dy ,
 ( x)
32
который
называется
повторным
b
интегралом, и выполняется равенство
 ( x)
 f ( x, y)dxdy   dx 
D
a
f ( x, y )dy .
 ( x)
2). Аналогично, если функция f ( x, y) интегрируема на множестве D,
элементарном относительно оси x, и при каждом постоянном значении y из
 ( y)
c,d существует интеграл J ( y ) 

f ( x, y )dy , то существует интеграл
 ( y)
d
d
 J ( y )dy , и
выполняется равенство
 f ( x, y)dxdy   dy 
D
c
 x
Пример 16. Вычислим
2
 ( x)
c
f ( x, y )dx .
 ( x)
ydxdy , где D - область, ограниченная
D
кривыми y  4  x2 и y  x2 2 (рис. 6).
 y  4  x 2
Решая систему
,

2
 y  x
2
найдем абсциссы точек пересечения
полуокружности и параболы: a   2,
b  2 . Заметим, что множество D
элементарно относительно оси y:
оно задается с помощью неравенств
Рис. 6.
 2  x  2 , x2 2  y  4  x2 .
Поэтому двойной интеграл может быть вычислен повторным
интегрированием:
 2 4 x 2 
2
4 x2
2
4 x2
2

2
2
2
2 y
 x ydxdy   dx 2  x ydy =  x dx 2  ydy   x  2 2  dx =

D
 2
x
2
 2
x
2
 2
x
2 


2

2 4 x
 x 

 2
2
Пример
2
интеграле
2
x4 
  dx =
4 
17.
2x x
 dx 
0
2

 2
 2 x2  x4 4  x6 4 dx  1361052 .
Изменим
порядок
интегрирования
в
повторном
2
f ( x, y )dy .
0
Эта задача несколько сложнее предыдущей. Здесь не дана
непосредственно область интегрирования, мы должны выяснить ее вид по
пределам данного повторного интеграла.
33
Неравенства 0  x  2 , 0  y  2 x  x2
задают множество D, которое изображено
на рис. 7. Проекцией D на ось y является
отрезок  0,1 . Каждая прямая y=c
(c = const   0,1 ) пересекает D по отрезку
 ( y),  ( y) ,
где  ( y) и  ( y) являются
решениями уравнения y  2 x  x2 .
Решая последнее уравнение, находим
Рис. 7
 ( y)  1  1  y ,  ( y)  1  1  y .
Таким образом, множество D является элементарным относительно
оси x и задается неравенствами 0  y  1 , 1  1  y  x  1  1  y . Поэтому
2 x  x2
2
 dx 
0
1
1 1 y
f ( x, y )dy =  f ( x, y )dxdy   dy
D
0
0

f ( x, y )dx .
1 1 y
Пример 18. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле
2
2x
 dx 
0
f ( x, y )dy .
y
2 x  x2
Пределы интегрирования в
исходном интеграле показывают,
что область интегрирования D
задается неравенствами 0  x  2 ,
2 x  y  2 x  x2 . Область D
изображена на рис. 8 (кривая
является
верхней
y  2 x  x2
полуокружностью
окружности
x
 x  12  y 2  1).
Легко
увидеть,
Рис. 8
что множество D не является
элементарным относительно оси x, но его можно разбить на три
множества D1, D2 и D3 , каждое из которых элементарно относительно
оси x (см. рис.8).
Разрешая уравнения
y  2x
и
y  2x  x2
относительно x, получим соответственно x  y 2 2 и x  1  1  y 2 . Таким
образом, множество D1 может быть задано неравенствами 1  y  2 ,
y 2 2  x  2 ; множество D2 может быть задано неравенствами 0  y  1 ,
34
y2 2  x  1  1  y2 ;
D3 - неравенствами 0  y  1 ,
а множество
1  1  y 2  x  2 . Следовательно,
2
2x
0
2x x
 dx 
2
  dy
1
f ( x, y )dy 
2

2
 f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy =
D1
2
1
D2
1 1 y 2
f ( x, y )dx   dy
y 2
0

2
D3
1
2
f ( x, y)dx   dy
0
y 2

f ( x, y )dx .
1 1 y 2
Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть функция f ( x, y) непрерывна на замкнутом квадрируемом
множестве D, функции x   (u, v) , y   (u, v) непрерывны вместе со своими
частными производными первого порядка в замкнутом квадрируемом
множестве Q и задают взаимно однозначное отображение множества Q на
множество D. Тогда имеет место следующая формула замены переменных в
двойном интеграле
 f ( x, y)dxdy   f ( (u, v), (u, v)) J (u, v) dudv ,
D
Q
u (u, v) v (u, v)
 0 . Этот определитель называется якобианом
u (u, v) v (u, v)
отображения x   (u, v) , y   (u, v) .
В частности, при переходе к полярной системе координат на плоскости
якобиан вычисляется следующим образом:
x   cos , y   sin 
cos   sin 
J (  , ) 
  , поэтому J (  , )   .
sin   cos
где J (u, v) 
Пример 19. Вычислим интеграл  =  (3  x  y )dxdy , где D - круг
D
x  y  1.
Поскольку границей области интегрирования является окружность
x2  y 2  1, то при вычислении данного интеграла удобно перейти к
полярным координатам x   cos , y   sin  . При этом отображении
2
2
прообразом
круга
является
прямоугольник
x2  y 2  1
Q  (  , ) : 0    1, 0    2  (уравнение окружности в полярной системе
35
координат имеет вид   1 , 0    2 ).
Используя формулу замены
переменных, получим:    f (  cos ,  sin  )  d  d =
Q
=
2
1
2 
0
0
0
 d  (3   cos   sin  )  d   
2
=
3

1
3
2
  2  3  cos  sin    d = 2  0
0

21
31
3




cos  sin    d =

 2

3
0
0



1
2
 sin  cos  0  3 .
3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть z  f ( x, y) непрерывная и неотрицательная
определенная на замкнутом квадрируемом множестве D.
функция,
Объем цилиндрического тела
(криволинейного цилиндра), ограниченного
поверхностью
z  f ( x, y) ,
плоскостью z  0 и прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на
плоскости z  0 множество D (рис.9),
вычисляется по формуле:
V =  f ( x, y )dxdy .
D
Площадь S квадрируемой области
D на плоскости xOy выражается формулой
Рис.9.
S =  dxdy .
D
Площадь F гладкой поверхности
вычисляется
z  f ( x, y) ,
( x, y)  D ,
по формуле
F =

1  ( f x )2  ( f y )2 dxdy
D
В последней формуле D - проекция данной
Поверхности на плоскость xOy (рис.10).
Рис. 10.
Аналогичные формулы имеют место,
( y, z )  D1 , (или
если гладкая поверхность задана уравнением x  g ( y, z ) ,
уравнением y  h( x, z ) , ( x, z )  D2 ):
36
F1 =

1  ( g y )2  ( g z )2 dydz (или F2 =
D1

1  (hx )2  (hz )2 dxdz ).
D2
Пример 20. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью
z  4  y 2 и плоскостями x  0 , y  0 , z  0 и x  y  2 .
Заметим, что
z
z  4  y 2 задает цилиндрическую
поверхность
с
образующими,
параллельными оси x, а плоскость
параллельна
оси
z
x y2
(рис. 11).
Область D ограничена прямыми
x  0 , y  0 и x  y  2 , она может
быть задана неравенствами 0  x  2 ,
0  y  2  x.
уравнение
y
Объем тела V =  (4  y 2 )dxdy =
Рис. 11
x
D
2 x
2
2 x 
y3 
2

=  dx  (4  y )dy    4 y  

3 
0  
0
0
0
=20/3 (куб.ед.).
2
3
2
 dx   4  2  x    2  x   dx 


3 
0


Пример 21. Найдем объем тела,
x  y  z  3 , z  0 и цилиндром x2  y 2  1.
Тело, объем которого требуется
вычислить, изображено на рис. 12.
Объем тела вычисляется по формуле
V =  (3  x  y )dxdy . Этот интеграл
ограниченного
плоскостями
z
D
вычислен в примере 19, он равен 3,
поэтому искомый объем равен
3 (куб.ед.).
Пример 22. Найдем площадь
фигуры D, ограниченной кривой
 x2  y 
2 2
y
x
Рис. 12
 2ax3 ( a  0 ).
Заметим, что кривая симметрична относительно оси x (уравнение
кривой не меняется при замене y на -y), расположена в правой полуплоскости
(левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть
неотрицательной). Кривая пересекает ось x в точках x  0 и x  2a .
37
Кроме
того,
она

  2ax3
2
y 4   x 2  y 2   2ax3 , то
x4  x2  y
2 2
ограничена:
следует,
что
из
очевидного
x  2a ,
неравенства
а
поскольку
y  2a . Эскиз кривой дан на рис. 13.
Для вычисления площади фигуры D, ограниченной данной кривой,
воспользуемся формулой S =  dxdy .
D
Наличие в формуле кривой двучлена
x2  y 2 подсказывает, что целесообразно
перейти к полярным координатам
y   sin  .
x   cos ,
Полярное уравнение кривой:   2a cos3  .
Из условия   0 следует, что  меняется
от -/2 до /2, при каждом фиксированном
Рис. 13
 переменная  изменяется от 0 до 2a cos3  . Используя симметричность D,
мы можем вычислить площадь фигуры, расположенной в первой четверти и
удвоить ее. Таким образом,
3
 2  2 2 a cos  
 2 2a cos3 

 d =
S= 2   d  d = 2  d   d   2  
 2

1
0 
0
0
0

 2
=

0
5a 2
(кв. ед.).
4a cos  d 
8
2
6
Пример 23. Вычислим площадь части параболоида 2z  x2  y 2 ,
вырезанной цилиндром x2  y 2  1.
Очевидно, что указанная часть поверхности состоит из четырех
равных между собой частей (в силу симметрии параболоида и цилиндра).
Поэтому мы можем вычислять площадь одной четвертой части указанной
поверхности (например, той, которая находится в первом октанте)
и
результат
умножить
на
четыре.
Таким
образом,
F= 4 1  ( zx )2  ( zy )2 dxdy , где D - четверть круга x2  y 2  1 , располоD
женная
в
первой
четверти.
z  ( x2  y 2 ) / 2 , следовательно,
zx  x ,
zy  y , и F = 4 1  x 2  y 2 dxdy .
D
Областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная
функция содержит в себе выражение x2  y 2 , поэтому при вычислении
38
интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область D
в
полярных координатах задается неравенствами 0    1, 0     4 ,
следовательно,
 2
F = 4 1    d  d = 4
2


0
 2
1
d  1    d   4
2
0

0
d
0
 2
=4

1
1
2
1   2 d (  2  1) 
0
 2
2 321
(1


)

 d = 4 (2 2  1)d  2 2 2  1 (кв. ед.).


3
3 
3
0
0




КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть L - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная
параметрически: x   (t ) , y   (t ) ,   t   .
Напомним, что L называется простой незамкнутой кривой, если
функции  (t ) ,  (t ) непрерывны на  ,   и различным значениям параметра
t из отрезка  ,   соответствуют различные точки на кривой L. Простая
кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.
Пусть на кривой L заданы две функции P( x, y ) и Q( x, y) . Разобьем
отрезок  ,   на n частей точками   t0  t1  ...  tn   . При этом кривая
L разбивается на n частей точками M 0 , M1,..., M n ;  xk , yk    x(tk ), y(tk )  координаты точки M k .
Введем обозначения: xk  xk  xk 1 , yk  yk  yk 1 , lk - длина
дуги M k 1M k ,   max lk . На каждой дуге M k 1M k выберем некоторую
1 k  n
точку с координатами k , k  и составим интегральную сумму
n
n
k 1
k 1
   P( k ,k )xk   Q( k ,k )yk .
Если существует конечный предел J  lim  , который не зависит ни
 0
от способа разбиения отрезка  ,   на части, ни от выбора точек k , k  , то
J называется криволинейным интегралом по координатам (криволинейным
интегралом второго
рода) и обозначается
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy .
L
Замечания. 1. Из определения криволинейного интеграла следует, что
при изменении направления обхода кривой L изменяется и знак
интеграла, т.е.  P( x, y )dx  Q( x, y )dy    P( x, y )dx  Q( x, y )dy .
AB
BA
39
2. Если кривая L замкнутая (т.е. точка A  x( ), y( )  совпадает с
точкой B  x(  ), y(  )  ), то для L можно указать два направления обхода от
A к B. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению
к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L
называется положительным, а противоположное ему - отрицательным.
Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении
обозначают так:  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy . Заметим, что в случае вычисления
L
интеграла по замкнутому контуру в качестве начальной (и конечной) точки
можно взять любую точку контура.
3. Криволинейные интегралы обладают свойствами линейности и
аддитивности.
Вычисление криволинейного интеграла
Теорема. Пусть L - кривая, заданная уравнениями x   (t ) , y   (t ) ,
  t   , где  (t ) и  (t ) непрерывны на  ,   вместе со своими
производными, а функции P( x, y) и Q( x, y) непрерывны
вдоль
кривой
L. Тогда
существует
криволинейный
интеграл J и
справедливо равенство

 P( x, y)dx  Q( x, y )dy =  ( P( (t ), (t )) (t )  Q( (t ), (t )) (t ))dt .

L
Следствие. Если кривая L задана уравнением y  y ( x) , a  x  b ,
причем функция y ( x) имеет кусочно-непрерывную производную, а функции
вдоль
кривой
L,
то
P( x, y) и Q( x, y) - кусочно- непрерывны
существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство
b
 P( x, y)dx  Q( x, y )dy =  ( P( x, y( x))  Q( x, y( x)) y( x))dx .
L
a
Пример
24.
Вычислим
I=  (4 x  y )dx  ( x  4 y )dy , где кривая L
криволинейный
интеграл
задана уравнением y  x4 и
L
соединяет точки A (1, 1) и B (-1, 1).
Учитывая, что y  x4 , dy  4 x3dx , и x изменяется от 1 до -1, по
формуле для вычисления криволинейного интеграла (см. следствие из
40
1
теоремы) имеем I =
  4x  x
4
 

 x  4 x 4 4 x3 dx  2 .
1
Пример 25. Вычислим
интеграл I =  ( x  y )dx  ( x  y )dy , где L L
окружность  x  1   y  1  4 .
Выпишем
параметрические
уравнения
данной
окружности:
x  1  2cos t , y  1  2sin t , 0  t  2 . Вычислим интеграл, используя
теорему и учитывая, что dx  2sin tdt , dy  2cos tdt .
2
2
2
I=
   2  2cos t  2sin t  2sin t    2cos t  2sin t  2cos t  dt 
0
2
=
  4sin t  8sin t cos t  4cos 2t  dt  0 .
0
Формула Грина. Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования.
Теорема. Если функции P( x, y ) , Q( x, y) и их частные производные
 P  y ,  Q  x непрерывны в ограниченной области D с кусочно-гладкой
границей L, то справедливо равенство
Q
P
 P( x, y)dx  Q( x, y )dy =    x   y  dxdy .
D
L
Это равенство называется формулой Грина.
Напомним, что область D называется односвязной, если для любого
замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть
плоскости целиком принадлежит области D.
Теорема. Пусть функции P( x, y ) , Q( x, y) и их частные производные
 P  y ,  Q  x непрерывны в односвязной области D. Тогда следующие
условия эквивалентны:
1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в
области D, справедливо равенство  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy =0.
L
2. Для любых двух точек A и B в области D криволинейный
41
интеграл

P( x, y )dx  Q( x, y )dy
не
зависит
от
формы
пути
AB
интегрирования, расположенного в области D.
3. Выражение P( x, y)dx  Q( x, y)dy является полным дифференциалом, т.е. в
области
D
существует
функция
такая,
что
u ( x, y ) ,
du  P( x, y)dx  Q( x, y)dy .
При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области D,
имеет место равенство  P( x, y )dx  Q ( x, y )dy = u ( B)  u ( A) .
AB
4. В области D выполняется равенство  P  y =  Q  x .
Замечание. Функция u ( x, y ) из условия 3 может быть найдена по
формуле u ( x, y ) =

P( x, y )dx  Q( x, y )dy  c , где интеграл в правой части
AB
берется по произвольной кривой AB, лежащей в области D и
соединяющей какую-нибудь фиксированную точку A( x0 , y0 ) с точкой
B( x, y) (c - произвольная постоянная). В качестве кривой AB удобно бывает
брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат.
Пример 25. Найдем функцию u ( x, y ) , если
du  ( x2  2 xy  y 2 )dx  ( x 2  2xy  y 2 )dy .
Сначала убедимся, что функция u ( x, y ) действительно существует, т.е.
выполнено равенство  P  y =  Q  x .
В нашем примере
P( x, y)  x2  2 xy  y 2 , Q( x, y)  x2  2 xy  y 2 ,
 P  y  2x  2 y   Q  x .
Функцию
будем
искать
по
формуле
u ( x, y )
u ( x, y ) =  P( x, y )dx  Q( x, y )dy  c ; интеграл в правой части
вычислим по
L
кривой L, соединяющей точку A(0,0) с точкой B( x, y) и представляющей
собой ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат:
L  L1  L2 . На отрезке L1 y  const  0 , следовательно, dy  0 ; на отрезке
L2 x  const , поэтому dx  0 .
u ( x, y ) =  P ( x,0) dx 
L1
y
x
 Q( x, y)dy  c   x
L2
0
= x3 3  x2 y  xy 2  y3 3  c .
42
2
dx   ( x 2  2 xy  y 2 )dy  c 
0
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
Вариант 1
Вариант 2
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
0
0
 dy 
2
 2 y
0
fdx   dy 
1
 y
1
0
0
 y
2
0
 dy  fdx   dy
fdx
1

fdx
 2 y 2
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы


2.  12 x 2 y 2  16 x3 y3 dxdy ,
D
D
D : x  1, y  x2 , y   x
3.  ye
xy
2 dxdy ,
D
D : y   2 , y   , x  1, x  2
D : y  ln 2, y  ln 3, x  2, x  4
2 xy
 2 y e dxdydz ,
4.
 xdxdydz ,
V
V
V : y  10 x, z  xy, y  0, x  1, z  0
V : x  0, y  1, y  x, z  0, z  1


5.  y 2ch  2 xy  dxdydz ,
5. 15 z 2  y 2 dxdydz ,
V

D : x  1, y  3 x , y   x3
3.  y  cos( xy )dxdy ,
D
4.

2.  36 x 2 y 2  96 x3 y3 dxdy ,
V
V : x  0, y  0, z  0, z  x  y,
y  x 1
V : x  0, y  2, y  4 x, z  0, z  2
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  2 y  x2  0 , y 2  4 y  x2  0 , 6. y 2  6 y  x2  0 , y 2  8 y  x2  0 ,
yx
3 , y  3x
yx
3 , y  3x
7. y  3 x , y  4e x , y  3 , y  4
7. x2  y 2  72 , 6 y   x2  y  0 
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x2  y 2  2 y , z  5 4  x2 , z  0
8. y  16 2 x , y  2 x , z  0 , x  z  2
9. x2  y 2  2 , y  x , z  0 , y  0 ,
9. x2  y 2  8 2 x , z  x2  y 2  64 ,
z  0  z  0
z  15 x
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
 x

2



 2 y dx  y 2  2 x dy ,
10.
x

 - отрезок MN , M  4,2  , N  0,2 
2



 2 y dx  y 2  2 x dy ,
 - отрезок MN , M  4,2  , N  0,2 
43
Вариант 3
Вариант 4
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
y
0
0
2 y2
2
 dy  fdx   dy 
1
y
1
2
2 y
1
0
 dy  fdx   dy  fdx
fdx
0
0
0
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы


2.  27 x 2 y 2  48 x3 y3 dxdy ,
D

D
D : x  1, y  x2 , y   3 x
D : x  1, y   x , y  x3
3.  y sin( xy ) dxdy ,
D
4.
3.  4 y e 2 xy dxdy ,
D
D : y   2 , y   , x  1, x  2
D : y  ln3, y  ln 4, x  1 2 , x  1
4.  zx2 sin  xyz  dxdydz ,
2
 x sh  3xy  dxdydz ,
V
V
V : x  2, y   , z  1, x  0, y  0, z  0
V : x  1, y  2 x, y  0, z  0, z  36


5.  1  2 x3 dxdydz ,
V

2.  18 x 2 y 2  32 x 2 y 2 dxdy ,
5.
 ydxdydz ,
V
V : y  15 x, z  xy, y  0, x  1, z  0
V : y  9x, y  0, x  1, z  xy , z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  8 y  x2  0 , y 2  10 y  x2  0 , 6. y 2  4 y  x2  0 , y 2  6 y  x2  0 ,
y  x, x  0
y  x 3 , y  3x
7. y  3 x , y  8e x , y  3 , y  8
7. x  36  y 2 , x  6  36  y 2
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x2  y 2  2 y , z  9 4  x2 , z  0
8. x  20 2 y , x  5 2 y , z  0 ,
z  y 1 2
9. x2  y 2  2 , x  y , z  0 , x  0 ,
9. x2  y 2  6 x , x2  y 2  9 x ,
z  30 y
z  x2  y 2 , z  0 , y  0  y  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
x
2



 2 y dx  y 2  2 x dy ,

10.
  x  y dx  2 xdy ,

 : x 2  y 2  4, y  0,  2  x  2
 : 2  x 8  y,  4  x  0
2
44
Вариант 5
Вариант 6
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
arcsin y
2
 dy 
0
0
arccos y
1
fdx   dy 
fdx 
0
 2
 2 x2
 dy

0
1
1

0
0
1
x
fdx   dy  fdx
2
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2.  4 xy  3x 2 y 2 dxdy ,
D
D : x  1, y  x2 , y   x
4.
D
D : y   2 , y   , x  1, x  2
D : y  ln3, y  ln 4, x  1 2 , x  1
4.  zy 2 cos  xyz  dxdydz ,
2 2 xyz
 8 y ze dxdydz ,
V
V
V : x  1, y   , z  2, x  0, y  0,
z 0
V : x  1, y  2, z  1, x  0, y  0,
z 0

V

D : x  1, y  3 x , y   x3
3.  4 y e 2 xy dxdy ,
3.  y sin( xy ) dxdy ,
D

2.  8 xy  9 x 2 y 2 dxdy ,

5.  3x2  y 2 dxdydz ,
5.
3
  4  8 z  dxdydz ,
V
V : z  10 y, x  y  1, x  0, y  0,
z 0
V : y  x, y  0, x  1, z  xy , z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  6 y  x2  0 , y 2  10 y  x2  0 , 6. y 2  4 y  x2  0 , y 2  2 y  x2  0 ,
y  x, x  0
y  3x , x  0
1
7. y  x 2 , y   2x  , x  16
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
7. x  8  y 2 , x  2 y
8. y  17 2 x , y  2 2 x , x  z  1 2 ,
8. x2  y 2  8 , y  2 x , z  15 x 11,
z0
y  0 , z  0,
9. x2  y 2  2 2 y  0 , z  x2  y 2  4 ,
9. x2  y 2  7 x , x2  y 2  10 x ,
z  0  z  0
z  x2  y 2 , z  0 , y  0  y  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.  x3dx  y 3dy ,
10.


 : x  y  4, y  0, 0  x  2
2
  x  y dx   x  y  dy ,
 : y  x2 ,  1  x  1
2
45
Вариант 7
Вариант 8
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
2 y
1
 dy 
2
0
0
y
1
0
1
0
e
 ln y
1
1
 dy  fdx   dy  fdx
fdx   dy  fdx
0

y
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

9
4

2.   xy  x 2 y 2 dxdy ,
11
D 5

2.  12 xy  27 x 2 y 2 dxdy ,
D : x  1, y  x 2 , y   3 x
D : x  1, y   x , y  x3
3.  y 2 sin  xy 2 dxdy ,
3.  ye xy 4dxdy ,
D
D
D : y  ln 2, y  ln3, x  4, x  8
4.
D : y   , y  x 2, x  0
4.  y 2 cos  xy 4  dxdydz ,
2  xy
 y e dxdydz ,
V
V
V : x  0, y  2, y  4 x, z  0, z  1
V : x  0, y  1, y  x 2 , z  0, z   2
5.  21 x z dxdydz ,
5.
V
4
 1  x 3  y 4  z 8 dxdydz ,
V
V : y  x, y  0, x  2, z  xy, z  0
V : x 3  y 4  z 8  1, x  0, y  0, z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  4 x  x 2  0 , y 2  8 x  x 2  0 ,
6. y 2  4 y  x 2  0 , y 2  6 y  x 2  0 ,
x  0 , y  3x
y 0, y  x
3
7. y 2  x 2  12 ,  6y  x 2  y  0 
7. x  5  y 2 , x  4 y
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x 2  y 2  8 , y  2 x , x  0 , z  0 ,
z  30 x 11
8. x  5 y 6 , x  5 y 18 , z  0
z 5


y  3 18
9. x 2  y 2  2 y , z  13 4  x2 , z  0
9. x 2  y 2  6 2 x , z  x2  y 2  36 ,
z  0  z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.  x 2 ydx  ydy ,
10.

  2xy  y dx   x

 - отрезок MN , M  1,0  , N  0,1
2

 x dy ,
 : x 2  y 2  9, y  0,  3  x  3
46
Вариант 9
Вариант 10
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
2 x2
1
 dx 
 2
0
x2
 3
0
2
fdy   dx  fdy
1
0
0
 dx
0
fdy   dx


 3
4 x2
0

fdy
2
4  x 2
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2.  24 xy  48 x3 y3 dxdy ,

D
D : x  1, y  x 2 , y   x
3.  y 2e

2.  4 xy  16 x3 y3 dxdy ,
D : x  1, y  3 x , y   x3
3.  y 2 cos  xy 2 dxdy ,
 xy
4 dxdy ,
D
D
D : x  0, y   2, y  x 2
D : x  0, y  2, y  x
4.  y 2ch  2 xy  dxdydz ,
4.  y 2e
V
xy
2 dxdydz ,
V
V : x  0, y  1, y  x, z  0, z  8
V : x  0, y  2, y  2 x, z  0, z  1
5.   3x  4 y  dxdydz ,
5.
V
3
  27  54 y  dxdydz ,
V
V : y  x, y  0, x  1, z  5  x 2  y 2  ,
V : y  x, x  1, y  0, z  xy , z  0
z 0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  8 y  x2  0 , y 2  10 y  x2  0 , 6. y 2  4 x  x2  0 , y 2  8x  x2  0 ,
yx
3 , y  3x
7. y  12  x 2 , y  2 3  12  x2
y 0, y  x
7. y  3 x 2 , y  3  2 x  , x  9
,
x  0  x  0
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. y  6 3 x , y  3x , x  z  3 , z  0
8. x 2  y 2  18 , y  3x , y  0 , z  0 ,
9. x 2  y 2  4 2 x , z  x 2  y 2  16 ,
9. x 2  y 2  4 x , z  12  y 2 , z  0
z  0 ( z  0)
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
  x  y dx   x  y  dy ,
10.


 : x  y 9  1, y  0, 0  x  1
2
 ydx  xdy ,
 : x 2  y 2  9, y  0,  1  x  1
2
47
Вариант 11
Вариант 12
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
1
e
1
0
1 x2
1
ln x
 dx  fdy   dx  fdy
1
3y
2
2 y
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2.  44 xy  16 x3 y3 dxdy ,
D
D : x  1, y  x 2 , y   3 x
3.  y 2e


2.  xy  4 x3 y3 dxdy ,
D : x  1, y   x , y  x3
 xy
3.  4 y 2 sin xydxdy ,
8 dxdy ,
D
D
D : x  0, y   2, y  x
D : x  0, y  2, y  x 2
4.  y 2 cos  xy 2  dxdydz ,
4.  y 2 cos  xy  dxdydz ,
V
V
V : x  0, y  1, y  x, z  0, z  2 2
V : x  0, y  1, y  2 x, z  0, z   2
5
 15x  30 z  dxdydz ,
5.  1  x 16  y 8  z 3 dxdydz ,
5.
V : 1  x 16  y 8  z 3, x  0, y  0, z  0
V : z  x 2  3 y 2 , y  x, x  1, y  0, z  0
V
V
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  2 x  x 2  0 , y 2  10 x  x 2  0 ,
6. y 2  4 x  x 2  0 , y 2  8 x  x 2  0 ,
y  0 , y  3x
y  x 3 , y  3x
7. y  sin x , y  cos x ,
x  0  x  0
7. y  24  x 2 , 2 3y  x 2 ,
x  0  x  0
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  7 3 y , x  2 3 y , x  y  z  3 ,
z0
9. y 2  2 x  x 2  0 , z  17 4  y 2 , z  0
8. x 2  y 2  18 , x  3 y , x  0 , z  0 ,
z  10 y 11
9. x 2  y 2  4 y , x 2  y 2  7 y ,
z  x2  y 2 , z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
 x

2



 y 2 dx  x 2  y 2 dy ,
10.
 ydx  xdy ,

 : y  2  x, 1  x  2
 : x 2  y 2  2, y  0,  2  x  2
48
Вариант 13
Вариант 14
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле


sin y
4
2
cos y

0
0
4
0
2
 2 x 
 dx 
 dy  fdx   dy  fdx
0
1
0
0
1
3x
fdy   dx  fdy
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2  9 x2 y 2  48 x3 y3 dxdy ,
D
D : x  1, y   x 2 , y  x

D : x  1, y   3 x , y  x3
3.  y 2 cos xydxdy ,
3.  4 y 2 sin 2 xydxdy ,
D
D
D : x  0, y   , y  x
D : x  0, y  2 , y  2 x
4.  x 2 sh  2 xy  dxdydz ,
4.  y 2ch  xy  dxdydz ,
V
V
V : x  1, y  0, y  x, z  0, z  8

V

2.  18 x 2 y 2  32 x3 y3 dxdy ,
V : x  0, y  1, y  x, z  0, z  2

6
5.  1  x 10  y 8  z 3 dxdydz ,
5.  1  2 x3 dxdydz ,
V
V :1  x 10  y 8  z 3 , x  0, y  0, z  0
V : y  36x, x  1, y  0, z  0, z  xy
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. . y 2  2 x  x 2  0 , y 2  6 x  x 2  0 ,
yx
6. y 2  2 x  x 2  0 , y 2  8 x  x 2  0 ,
3 , y  3x
yx
3 , y  3x
7. y  20  x 2 , y  8 x
7. y  18  x 2 , y  3 2  18  x 2
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. y  5 x , y  5 x 3 , z  5  5 x 3 ,
8. x  y  2 , y  x , z  0 , z  12 y
z0
9 y 2  4 x  x2  0 , z  8  y 2 , z  0
9. x 2  y 2  4 y , x 2  y 2  y ,
z  x2  y 2 , z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.  xydx  2 ydy ,
10.

 x

 : x 2  y 2  1, 0  x  1
2



 y 2 dx  2 x 2  y 2 dy ,
 : x 2  y 2  9, y  0, 0  x  3
49
Вариант 15
Вариант 16
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
y
1
e
 dy  fdx   dy  fdx
0
0
1
1
0
2
0
 y
1
0
 dy  fdx   dy 
1
ln y
fdx
 2 y
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2.  18 x 2 y 2  32 x3 y3 dxdy ,
D
D : x  1, y   x 2 , y  3 x
3.  2 y cos(2 xy )dxdy ,

D : x  1, y  x , y   x3
3.  x 2 sin  xy  dxdydz ,
D
V
D : y   4 , y   2 , x  1, x  2
V : x  1, y  2 x, y  0, z  0, z  4
4.  xdxdydz ,
4.  x2 sin  xy 2  dxdydz ,
V
V
V : y  10 x, z  xy, y  0, x  1, z  0
V : x 2  2, y  0, y  x, z  0, z  

V

2.  27 x 2 y 2  48 x3 y3 dxdy ,

5.  x2  3 y 2 dxdydz ,
5.  10 x 3  5 3 dxdydz ,
V : z  10 x, x  y  1, x  0, y  0, z  0
V : y  9x, x  1, y  0, z  0, z  xy
V
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  2 y  x 2  0 , y 2  10 y  x 2  0 ,
6. y 2  2 y  x 2  0 , y 2  6 y  x 2  0 ,
yx
yx
3, x 0
3, x 0
7. x 2  y 2  36 , 3 2 y  x 2  y  0 
7. y  32  x 2 , y  4 x
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  y  2 , x  y , z  0 ,
z  12 x 5
8. x  5 y 2 , x  5 y 6 ,


z  5 3 y 6, z  0
9. x 2  y 2  6 2 y , z  x 2  y 2  36 ,
9. y 2  2 y  x 2  0 , y 2  5 y  x 2  0 ,
z  0  z  0
z  x2  y 2 , z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.


 

x  y x 2  y 2 dx  y x 2  y 2 dy ,
10.
 y dx  x dy ,
2
2

 : x 2  y 2  9, y  0,  3  x  0
 : x 2  y 2  16, y  0, 0  x  4
50
Вариант 17
Вариант 18
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
0
2
0
 dy  fdx   dy
0
y
1

1
y3
2
2 y
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx
fdx
 2 y 2
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D



2.  24 xy  18x2 y 2 dxdy ,
2.  12 xy  9 x 2 y 2 dxdy ,
D
D : x  1, y   x 2 , y  x
D : x  1, y   3 x , y  x3
3  y  cos( xy )dxdy ,
3.  8 ye4 xy dxdy ,
D
D
D : y  ln3, y  ln 4, x  1 4 , x  1 2
4.  x2 z sin  xyz 4  dxdydz ,
D : y   , y  3 , x  1 2 , x  1
4.  2 y 2 ze xyz dxdydz ,
V
V
V : x  1, y  2 , z  4, x  0, y  0, z  0 V : x  1, y  1, z  1, x  0, y  0, z  0
5.  3 y 2 dxdydz ,
5.  x 2dxdydz ,
V
V
V : z  10  x  3 y  , y  x  1, x  0, y  0, z  0
V : y  2 x, z  xy, x  2, y  0, z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  4 y  x 2  0 , y 2  8 y  x 2  0 ,
yx
6. y 2  2 y  x 2  0 , y 2  10 y  x 2  0 ,
yx
3, x 0
3 , y  3x
7. y  2 x , y  5e x , y  2 , y  5
7. y  3 x , y  3 x , y  4
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  y  4 , y  2 x , z  0 ,
8. y  5 x 3 , y  5 x 9 ,

z  3y

z  5 3 x 9, z  0
9. y 2  x 2  4 x , z  10  y 2 , z  0
9. x 2  y 2  8 2 y , z  x 2  y 2  64 ,
z  0  z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.  ( x  y)2 dx  ( x 2  y 2 )dy ,
10.  ( x 2  y 2 )dx  y 2dy ,


 - отрезок MN , M 1,0  , N  0,1
 - отрезок MN , M  2,0  , N  0,2 
51
Вариант 19
Вариант 20
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
3
0
 dx
0
2
fdy   dx

4 x 2  2
3
1
0

0
0
0
 dy  fdx   dy  fdx
3y
2
1
 2  y 
fdy
 4 x 2
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

D
D : x  1, y   x 2 , y  3 x
3.  y sin(2 xy )dxdy ,
D
D
D : y   2 , y  3 2 , x  1 2 , x  2
D : y  ln 2, y  ln3, x  3, x  6
4.  x 2 z  sh  xyz  dxdydz ,
4.  y 2 z cos( xyz 3)dxdydz ,
V
V
V : x  2, y  1, z  1, x  0, y  0, z  0

V : x  3, y  1, z  2 , x  0, y  0, z  0
5
5.  1  x 6  y 4  z 16  dxdydz ,
5.  63 1  2 y dxdydz ,
V

D : x  1, y  x , y   x3
3.  6 ye xy 3dxdy ,


2.  4 xy 5  9 x2 y 2 dxdy ,
2.  8 xy  18 x 2 y 2 dxdy ,
V
V :1  x 6  y 4  z 16 , x  0, y  0, z  0
V : y  x, y  0, x  1, z  xy , z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  4 y  x 2  0 , y 2  10 y  x 2  0 ,
yx
6. y 2  2 y  x 2  0 , y 2  4 y  x 2  0 ,
y  x, x  0
3 , y  3x
7. y  6  36  x 2 , y  36  x 2
7. y  25 4  x 2 , y  x  5 2
,
x  0  x  0
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  19 2 y , x  4 2 y , z  y  2 ,
8. x  y  4 , x  2 y , z  0 , z  3 x 5
z0
9. x 2  y 2  3 y , x 2  y 2  6 y , z  0 ,
9. x 2  y 2  2 2 y , z  x 2  y 2  4 ,
z  0  z  0
z  x2  y 2
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
 y dx  x dy ,
2
2
10.


 : x  y  9, y  0,  3  x  3
2
 y
2
2

 y dx   2 xy  x  dy ,
 : x 2  y 2  9, y  0,  3  x  0
52
Вариант 21
Вариант 22
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
y
e
1
0
0
1
ln y
 dy  fdx   dy  fdx
1
x2
0
0
2
2 x 2
 dx  fdy   dx 
1
fdy
0
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D



2.  4 xy  16 x3 y3 dxdy ,
2.  6 xy  24 x3 y3 dxdy ,
D
D : x  1, y   x 2 , y  x
D : x  1, y   3 x , y  x3
3.  y  cos(2 xy )dxdy ,
3.  3 y  sin( xy )dxdy ,
D
D
D : y   2 , y  3 , x  1, x  3
D : y   2 , y  3 2 , x  1 2 , x  2
4.  2 x2 z  sh  2 xyz  dxdydz ,
4.  2 x 2 z  sh  xyz  dxdydz ,
V
V
V : x  1, y  1, z  1, x  0, y  0, z  0 V : x  2, y  1 2 , z  1 2 , x  0, y  0, z  0
5.  y 2 dxdydz ,
5.   x 2  4 y 2  dxdydz ,
V : z  10  3x  y  , x  y  1, x  0, y  0,
V : z  20  2 x  y  , x  y  1, x  0, y  0,
V
V
z0
z0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  4 y  x 2  0 , y 2  8 y  x 2  0 ,
y  x, x  0
6. y 2  6 y  x 2  0 , y 2  8 y  x 2  0 ,
y  x, x  0
7. . y  x , y  1 x , x  16
7. y  2 x , y  7e x , y  2 , y  7
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  y  6 , y  3x , z  0 , z  4 y
8. y  5 x 6 , y  5 x 18 ,


z  5 3  x 18 , z  0
9. y 2  x 2  4 y , z  4  x 2 , z  0
9. y 2  x 2  8 x , y 2  x 2  11x , z  0 ,
z  x2  y 2 , y  0  y  0 
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
 y dx  xydy ,
10.  ( xy  y 2 )dx  xdy ,
2


 : y  sin x, 0  x  
 : y  2x2 , 0  x  2
53
Вариант 23
Вариант 24
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле

sin x
4

2
cos x
1
0
0
 2
 2 y2
 dy
 dx  fdy   dx  fdy
0

0
4

0
0
1
y
fdx   dy  fdx
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D

2.  4 xy  176 x3 y3 dxdy ,


2.  4 xy  176 x3 y3 dxdy ,
D
D : x  1, y   x3 , y  x
D : x  1, y  3 x , y   x 2
3.  y 2e xy 2dxdy ,
3. 12 ye6 xy dxdy ,
D
D
D : y  ln3, y  ln 4, x  1 6 , x  1 3
D : x  0, y  2, y  x
4.  y 2 z  ch  xyz  dxdydz ,
4.  x 2 z sin ( xyz 2)dxdydz ,
V
V
V : x  1, y  4, z   , x  0, y  0, z  0
V : x  1, y  1, z  1, x  0, y  0, z  0
5.  x 2 zdxdydz ,
5.   60 y  90 z  dxdydz ,
V : y  3x, x  2, z  xy, y  0, z  0
V : y  x, x  1,
V
V
z  x 2  y 2 , y  0, z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  2 x  x 2  0 , y 2  4 x  x 2  0 ,
y 0, y  x
6. y 2  2 x  x 2  0 , y 2  6 x  x 2  0 ,
y 0, y  x
3
3
7. x  27  y 2 , x  6 y
7. x  72  y 2 , 6x  y 2 , y  0  y  0 
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. x  5 y 3 , x  5 y 9 ,

8. x  y  6 , x  3 y , z  0 ,
z  4x 5

z  5 3 y 9, z  0
9. x 2  y 2  4 2 y , z  x 2  y 2  16 ,
9. x 2  y 2  9 x , x 2  y 2  12 x ,
z  0  z  0
z  x2  y 2 , z  0 , y  0  y  0 
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.  xdx  ydy ,
10.  ( xy  x)dx  ( x 2 2)dy ,


 - отрезок MN , M 1,0  , N  0,3
 : y  2 x, 0  x  4
54
Вариант 25
Вариант 26
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
x3
2
2 x
0
0
1
0
3
 dx  fdy   dx  fdy
 dx
0
2 4 x 2

0
4 x 2
2
fdy   dx 
fdy
0
3
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D



2.  6 x2 y 2  25x4 y 4 3 dxdy ,
2.  3x2 y 2  50 x 4 y 4 3 dxdy ,
D : x  1, y  x 2 , y   x
D : x  1, y  3 x , y   x3
D
3.  y 2 cos(2 xy )dxdy ,
3  3 y 2 sin( xy 2)dxdy ,
D
D
D : y  4 3, y  2 x 3, x  0
D : x  0, y   2, y  x 2
4.  y 2 z cos( xyz 9) dxdydz ,
4.  y 2 z  ch( xyz 2) dxdydz ,
V : x  9, y  1, z  2 , x  0, y  0,
z 0
V : x  2, y  1, z  2, x  0, y  0,
z 0
5.   9  18z  dxdydz ,
5.  1  x 2  y 4  z 6  dxdydz ,
V
V
4
V
V
V : y  4x, z  xy , x  0, y  0, z  0
V : x 2  y 4  z 6  1, x  0, y  0, z  0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  2 x  x 2  0 , y 2  4 x  x 2  0 ,
6. y 2  6 x  x 2  0 , y 2  2 x  x 2  0 ,
y 0, y x
y  0 , y  3x
7. . y  3 x 2 , y  3 (2 x) , x  4
7. y  6  x 2 , y  6  6  x 2
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. y  15 x , y  15 x ,

z  15 1  x

,
8. x  y  8 , y  4 x , z  0 , z  3 y
z0
9. y 2  10 x  x 2  0 , y 2  13x  x 2  0 ,
9. x 2  y 2  2 2 x  0 , z  x 2  y 2  4 ,
z  0  z  0
z  x2  y 2 , z  0 , y  0  y  0 
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
2
   x dx  2 ydy ,
10.


 : y  3 x3 , 0  x  2
 : x  y 9  1, y  0, 0  x  1
2
   y dx  xdy ,
2
55
Вариант 27
Вариант 28
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
1
0
2
0
 dx  fdy   dx 
 x
0
1
fdy
1
x
0
0
2 x 2
2
 dx  fdy   dx 
 2 x
1
fdy
0
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы

D



2.  54 x 2 y 2  150 x 4 y 4 dxdy ,
2.  54 x 2 y 2  150 x 4 y 4 dxdy ,
D : x  1, y  x 2 , y   3 x
D : x  1, y   x , y  x3
D
3.  y 2e xy 2dxdy ,
3.  y 2 cos( xy )dxdy ,
D
D
D : y  1, y  x 2 , x  0
D : x  0, y   , y  2 x
4.  x 2 sin  4 xy  dxdydz ,
4.  y 2ch  3xy  dxdydz ,
V
V
V : x  1, y  x 2 , z  8 , y  0, z  0
V : x  0, y  2, y  6 x, z  0, z  3
5.  8 y  12 z  dxdydz ,
5.   x  y  dxdydz
V : x  1, y  x, z  3x 2  2 y 2 , y  0,
z0
V : x  1, y  x, y  0, z  30 x 2  60 y 2 ,
V
,
V
z0
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. y 2  4 x  x 2  0 , y 2  8 x  x 2  0 ,
6. y 2  4 y  x 2  0 , y 2  8 y  x 2  0 ,
y  0 , y  3x
7. y  sin x , y  cos x , x  0  x  0 
x  0 , y  3x
7. . y  1 x , y  6e x , y  1 , y  6
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями

8. x  15 y , x  15 y , z  15 1  y

8. x  17 2 y , x  2 2 y , z  0 ,
z  y 1 2
,
z0
9. y 2  2 x  x 2  0 , z  21 4  y 2 , z  0
9. y 2  2 x  x 2  0 , z  25 4  y 2 , z  0
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10.
  x  y dx  2dy ,
10.

 x

 : x 2  y 2  4, y  0,  2  x  2
2



 y 2 dx  2 x 2  y 2 dy ,
 : x 2 9  y 2 4  1, y  0,  3  x  3
56