Лекция 6 глубине образца. Коэффициент отражения и зарядовый состав отраженных ионов.

Лекция 6
Расчет траекторных пробегов ионов в твердом теле и распределение внедренных ионов по
глубине образца. Коэффициент отражения и зарядовый состав отраженных ионов.
Под пробегом будем понимать путь, который проходит ион в твердом теле до полной
остановки. Перед входом в образец все ионы имеют одинаковую энергию Е0 (моноэнергетический пучок). Так как энергия, теряемая ионом в каждом соударении с атомами твердого тела (в
данной лекции будем обозначать ее Т) зависит от прицельного параметра, то эта величина имеет случайный характер в силу случайности прицельного параметра. Кроме того, угол рассеяния,
определяемый прицельным параметром, в каждом соударении также имеет случайный характер. Поэтому траектория каждого иона индивидуальна и величина пробега R у каждого
иона различна. Таким образом, необходимо ввести в рассмотрение функцию распределения
ионов по длинам пробега, которая в общем случае является функцией P(R, E0, Z1, Z2, M1, M2, n0)
и характеризует плотность вероятности того, что ион M1, Z1 с начальной энергией Е0 остановится после прохождения пути R в образце Z2, M2 с атомной концентрацией n0 (как и в предыдущих
лекциях пренебрегаем наличием у образца кристаллической решетки и рассматриваем моноэлементный образец). В дальнейшем для краткости будем опускать в функции Р все аргументы
кроме R и E0.
Вообще говоря, изначально вид функции P(R, E0) нам неизвестен. Сделаем предположение, что распределение ионов по длинам пробега является Гауссовым распределением, т.е.
 ( R  R) 2 
P( R, E0 ) 
exp 
,
2 
 2R 
2π R 2
1
(6.1)
где R  R( E0 , Z1, M1 , Z2 , M 2 , n0 )  R( E0 ) – средний траекторный пробег (усредненная по большому количеству ионов длина траектории иона в твердом теле),
R 2 – среднеквадратичное
отклонение траекторных пробегов, которое также является функцией E0, Z1, Z2, M1, M2. Таким
образом, если мы найдем R и R 2 , то тем самым определим функцию распределения P(R, E0).
При взаимодействии иона с атомом твердого тела имеется вероятность, что атому будет
передана энергия Tn за счет упругого рассеяния иона на ядре, а его электронам энергия Te. Эта
вероятность определяется значением дифференциального сечения dne(Tn, Te) = dn(Tn) + de(Te)
– ядерные и электронные потери рассматриваем независимо.
Рассмотрим на входе иона в твердое тело участок его траектории R такой малый, что на
нем происходит только одно взаимодействие с атомом твердого тела. Вероятность того, что на
этом участке ион потеряет энергию Tn + Te, равна n0 dne(Tn, Te)R. После этого взаимодействия
энергия иона будет Е0 – Tn – Te. Чтобы ион при дальнейшем движении имел траекторный пробег R, ему необходимо пройти путь R – R. Плотность вероятности прохождения такого пути
равна P(R – R, Е0 – Tn – Te). Произведение P(R – R, Е0 – Tn – Te)n0 dne(Tn, Te)R – вклад рассматриваемого взаимодействия в полную вероятность пробега R. Чтобы учесть различные возможности передачи энергии необходимо проинтегрировать по dne. Поэтому вероятность того,
что в слое R произойдет взаимодействие равна
P  n0RP ( R  R, E0  Tn  Te )  d ne .
Имеется также вероятность, что в слое R взаимодействие не произойдет, которая равна


P  1  n0R  d ne P( R  R, E0 ) .
Поэтому вероятность, что ион с начальной энергией Е0 пройдет путь R может быть записана в виде Р = Р+ + Р– и, следовательно


P( R, E0 )  P( R  δR, E0 )  n0δR  P( R  δR, E0  Tn  Te )dσ ne  P( R  δR, E0 ) dσ ne  .


Отсюда
P( R, E0 )  P( R  δR, E0 )
 n0  P( R  δR, E0  Tn  Te )dσ ne  P( R  δR, E0 ) dσ ne 


δR


и при R  0 получим основное уравнение для функции распределения Р
P( R, E0 )
 n0  P( R, E0  Tn  Te )dσ ne  P( R, E0 )dσ ne  .


R

(6.2)
Нахождение точного решения этого уравнения очень сложная задача, поэтому функцию
P(R, E0) обычно определяют с помощью расчета ее моментов распределения.
Напомним, что в соответствие с определением начального момента n-го порядка, известного из курса Теория вероятностей и математическая статистика


an  P( R, E0 ) R n dR  R n ( E0 ) ,
0
поэтому а1 = R .
Центральный момент n-го порядка


μ n  P( R, E0 )( R  R) n dR  ( R  R) n ,
0
поэтому 2 = R 2 .
Кроме того, если предположить, что все ионы в процессе облучения остаются в образце,
т.е. пренебречь отражением ионов, то

 P(R, E )dR  1 .
0
0
Умножим обе части основного уравнения (6.2) на Rm и проинтегрируем по R от 0 до 


0

P( R, E0 )
R
dR  n0 R m dR [ P( R, E0  Tn  Te )  P( R, E0 )]dσ ne ,
R

m
0

левую часть интегрируем по частям


0


P( R, E0 )
R
dR  R m P( R, E0 )  m R m1P( R, E0 )dR  m R m1 ,
0
R

m
0
а правую часть – заменой порядка интегрирования
n0

 




m
dσ ne  R P( R, E0  Tn  Te )dR  R m P( R, E0 )dR   n0 dσ ne R m ( E0 )  R m ( E0  Tn  Te ) .
 0

0


В результате получаем рекуррентное соотношение для начальных моментов


mR m1 ( E0 )  n0  dσne Rm ( E0 )  Rm ( E0  Tn  Te ) .
(6.3)
При m = 1


1  n0  dσ ne R( E0 )  R( E0  Tn  Te ) .
(6.4)
Разность в квадратных скобках разложим в ряд относительно Е0 по порядку малости Tn +
Te и в первом приближении получаем
1  n0


d R( E0 )
d R( E0 )
(Tn  Te )dσ ne  n0
(Tn  Te )dσ ne .
dE
dE
Так как  (Tn  Te )dσ ne  S – тормозная способность, то
d R( E0 )
1
1


dE
n0 S ( E0 ) n0 [ S n ( E0 )  Se ( E0 )]
и окончательно
1
R ( E0 ) 
n0
E0
 S (E )  S (E )
0
dE
n
0
e
0
(6.5)
Учтя более высокие члены разложения по Tn + Te можно получить R в более высоких
приближениях. Обычно ограничиваются 1-м приближением.
2
Используем известное из теории вероятностей соотношение R 2  R 2  R , где R 2 –
средний квадрат траекторного пробега. Из рекуррентного соотношения (6.3) для m = 2

2 R( E0 )  n0 dσ ne[ R 2 ( E0 )  R 2 ( E0  Tn  Te )]
вычтем (6.4), умноженное на 2R( E0 )

2
2 R( E0 )  n0 dσ ne[2 R( E0 )  2 R( E0 )  R( E0  Tn  Te )] ,
в результате получим

2
0  dσ ne[ R 2 ( E0 )  R 2 ( E0  Tn  Te )  2 R( E0 )  2 R( E0 )  R( E0  Tn  Te )] .
2
Прибавим к обеим частям  dσ ne R( E0  Tn  Te ) и после перегруппировки получим

2
2
{R( E0 ) 2  R( E0 )  [ R( E0  Tn  Te ) 2  R( E0  Tn  Te ) ]} dσ ne 

2
2
 [ R( E0 )  2 R( E0 )  R( E0  Tn  Te )  R( E0  Tn  Te ) ] dσ ne .
2
Так как R 2  R 2  R , то последнее выражение можно представить в виде
 [R (E )  R (E  T  T )] dσ   [R(E )  R(E  T  T )] dσ
2
2
2
0
0
n
e
ne
0
0
n
e
ne
.
Опять разложим выражения в квадратных скобках в правой и левой части в ряд по Tn + Te
относительно Е0

 d (R 2 ( E0 ))

 d R( E0 ) 
2
(Tn  Te ) dσ ne  

 (Tn  Te ) dσ ne .
dE


 dE 
2

Введя обозначение ( E )   (Tn  Te ) 2 dσ ne и используя
 (T
n
 Te )dσ ne  S ( E ) , последнее равен-
ство можно переписать как
2
d (R 2 ( E0 ))
 dR( E0 ) 
S (E)  
( E ) .
dR
 dE 
Так как d R( E0 ) / dE  1/ n0 S ( E) , то d (R 2 ( E0 )) / dE  ( E ) / n02 S 3 ( E ) и окончательно, опять
таки в первом приближении
E0
1
R ( E0 )  2
n0
2

0
( E )
dE
[ Sn ( E )  Se ( E )]3
(6.6)
Для экранированного кулоновского потенциала проективный пробег проще всего считается следующим образом. Так как в соответствие с (5.10) dE/dl = –4an0Z1Z2e2M1s()/(M1 + M2),
где s() = sn() + se(), а из (4.3) следует dE = dZ1Z2e2(M1 + M2)/aM2 то средний траекторный
пробег можно записать в виде
0
R

dE

(dE / dl )
E0
ε0
Z1Z 2e 2 ( M1  M 2 ) / aM 2
 4πan Z Z e M s(ε) /( M  M )
2
0
0 1 2
1
1
d 
2
( M1  M 2 ) 2
2
4πa n0 M1M 2
ε0

dε
,
s (ε )
0
где 0 – приведенная энергия Линдхарда, соответствующая энергии иона Е0.
Интеграл в последнем выражении обычно называется безразмерным (приведенным)
траекторным пробегом , часто используется формальная запись d/d = s().
ε0
ε
0
dε
dε

.
s
(
ε
)
s
(
ε
)

s
(
ε
)
e
0
0 n
ρ
(6.7)
Связь безразмерного траекторного пробега с размерным траекторным пробегом
R
( M1  M 2 )2
4πa 2n0 M1M 2
ρ.
(6.8)
Чтобы получить R в Å необходимо n0 брать в атом/Å3.
Если для sn() воспользоваться аппроксимацией Юдина (5.11) и использовать выражение
se()= ke ε , то интеграл (6.7) можно вычислить
ε0
ρ

0
2 ε0
dε
0,9
ε0
.


arctg
0,45
ke
0,45 ε
2 0,45
 0,3
 ke ε
ke
 0,3
ke
0,3  ε
ke
(6.9)
Например, при облучении углерода ионами аргона с энергией 20 кэВ безразмерный траекторный пробег  = 1,18, соответственно средний траекторный пробег R = 139 Å.
При ионном облучении обычно интерес предz
А'
ный (проецированный) пробег Rр, величина которо-
R
p
О
А
R
ставляет не сам траекторный пробег, а проективго совпадает с проекцией траекторного пробега на
первоначальное направление движения иона при
входе в образец – рис. 6.1 (ось z совпадает с перво-
Рис. 6.1
начальным направлением движения иона при входе в
образец в точке О). В силу индивидуальности траектории движения каждого иона естественно
можно говорить только о среднем значении проективного пробега, которое будем обозначать
как Rp. Опять таки, если считать, что функция распределения проективных пробегов ионов –
гауссова, то для ее задания необходимо знать Rp и Rp  Rp2 – среднеквадратичное отклонение проективных пробегов. Если эти значения известны, то в случае облучения образца ионным
пучком вдоль оси z и начале координат на поверхности образца
P( z, E0 ) 


1
 z  R p ( E0 )
exp 
2R p2
2π R p ( E0 )



2


.


(6.10)
Так как моделей, позволяющих точно рассчитать Rp и Rp для произвольных значений E0,
Z1, Z2, M1, M2, n0 в настоящее время не существует, то их значения целесообразно брать из справочной литературы. Приближенно можно считать, что для легких ионов МэВ-ных энергий Rp 
R , так как для таких ионов Sn  Sе и наиболее вероятны акты рассеяния на малые углы. Анало-
гично Rp  R и для медленных тяжелых ионов, для которых   1, так как в этом случае угол
рассеяния меньше max.
В таблице 6.1 приведены значения Rp /Rp в Å/Å, взятые из справочника (Комаров ) для
некоторых пар ион-образец и различных начальных энергий ионов.
Таблица 6.1
M2 Е0, кэВ
1
5
C
Ti
Nb
Au
43/24
66/77
49/58
43/94
216/77
277/220
169/155
133/231
C
Ti
Nb
Au
16/6
25/15
20/16
15/17
45/16
64/38
49/39
36/41
C
Ti
Nb
Au
20/5
24/11
18/10
13/10
49/11
58/25
41/24
29/23
20
100
ионы Не
800/164
2970/290
1080/510
4300/965
614/363
2670/790
467/534
2280/1300
ионы Ar
120/40
530/150
164/91
663/295
121/89
453/266
87/89
293/250
ионы Nb
110/26
325/75
129/55
373/154
90/51
257/136
61/48
171/122
300
1000
6630/375
13600/1350
6500/1120
5920/1970
17200/510
23600/1530
16920/1500
15330/2660
1600/330
2215/942
1333/602
831/558
4800/600
6340/1380
4385/1310
2860/1320
830/180
927/350
620/295
393/250
2750/500
3020/923
1960/747
1190/600
Если флюенс облучения (число ионов попавших на единицу площади образца за время
облучения [ион/см2]) равен F, то концентрация имплантированных ионов по глубине образца
ni(z) определяется выражением ni(z) = FP(z, E0) и при гауссовой функции распределения проективных пробегов ионов имеет вид:
ni ( z )  n
max
i
 z  R p 2 
,
exp 
2 
 2R p 
где nimax - максимальная концентрация имплантированных ионов при z = Rp, которая находится
из условия нормировки
 exp  z  R 

F n
max
i
2
p

 exp  z  R 

/ 2R dz  n
2
p
max
i

2
p

/ 2R p2 dz 
0


 nimax  exp  z  R p  / 2R p2 dz ,
0
2

где второй интеграл формально описывает отраженные ионы.
Если считать, что коэффициент отражения  1, то для nimax получаем
 exp  z  R 


nimax  F
2
p
/ 2R p2 dz 
0
F
,
2π R p
и окончательно
ni ( z ) 
 ( z  Rp )2 
F
exp 

2
2π R p
 2R p 
(6.11)
в ион/см , если F в ион/см , R p в см.
3
2
Концентрация имплантированных ионов спадает в 2; 10 и 100 раз по отношению к nimax на глубине z  Rp  1,2 Rp; Rp  2Rp и Rp  3Rp.
Обратим внимание, что с помощью ионной имплантации можно получить очень высокие
концентрации при относительно небольших флюенсах. Например, при облучении ниобия ионами гелия с энергией 1 МэВ и флюенсом 1017 ион/см2 в соответствие с табл. 6.1 и выражением
(6.11) nimax  31021 ион/см3, т.е. составляет ~ 10 ат. % (1 имплантированный атом на 10 атомов
образца).
Рассматривая процесс ионной имплантации, мы пренебрегли отраженными ионами. Рассмотрим процесс отражения несколько подробней. В результате последовательных процессов
упругого рассеяния часть ионов первичного пучка приобретает направление вектора скорости к
поверхности образца. Если их энергия достаточна, чтобы выйти из образца, то такие ионы
называются отраженными (обратнорассеянными). Интегральной характеристикой, описывающей процесс отражения, является коэффициент отражения
RN 
N отр
N 0
,
где Nотр – все отраженные ионы с любыми энергиями и в любом зарядовом состоянии, вылетевшие из образца, облученного N0+ ионами первичного пучка.
Как показывают эксперименты и результаты компьютерного моделирования, коэффициент отражения является функцией приведенной энергии Линдхарда и может быть аппроксимирован при облучении по нормали к по-
RN
11
верхности следующим выражением
RN = [(1 + 3,2120,34)3/2 + (1,3881,5)3/2]-2/3.
10-10.1
На рис. 6.2 приведена построенная в
10-20.01
соответствие с этим выражением зависимость коэффициента отражения ионов
-33
1 10
10
0
50
50
100
100
Е, кэВ
150
150
200
200
Рис. 6.2
бора при имплантации в кремний от энергии ионов, переход к приведенной энергии Линдхарда осуществляется в соответ-
ствие с (7.4). Как видно из графика, в данном случае отражением ионов можно пренебречь при
Е ~ 50 кэв. В случае ионов больших масс эта граница сдвигается в сторону меньших энергий.
Поскольку ионная имплантация проводится, как правило, при энергиях ионов > 100 кэВ, то
наше пренебрежение отражением при расчете профиля имплантации является вполне законным.
Отраженные ионы могут иметь разный зарядовый состав: однократно и многократно заряженные положительные и отрицательные ионы; нейтральные атомы, в том числе в возбужденном состоянии (снятие возбуждения осуществляется за счет высвечивания фотона видимого
света). Характеристикой зарядового состояния является вероятность вылета в том или ином
зарядовом состоянии (i) при данной энергии
i
W i ( E )  N отр
( E ) / N отр ( E ), причем W i  1 .
i
В дальнейшем, при рассмотрении конкретных методов анализа, нас будет интересовать
зарядовый состав отраженных ионов гелия. Как показывают многочисленные эксперименты,
при энергиях отраженных ионов гелия > 100 кэВ практически все они отражаются в виде однократно заряженных положительных ионов, т.е. W+(E) = 1.