Математический анализ - Северный Государственный
advertisement
Структура учебно-методического комплекса дисциплины I. Рабочая -учебная программа (приложение 1) Тематический план лекций (приложение 2) Тематический план практических занятий (приложение 3) II. Методические рекомендации для преподавателей по (приложение 4) дисциплине III. Методические указания для студентов по дисциплине (приложение 6) IV. Средства оценки компетенций (приложение 7) 1. Цель и задачи освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются овладение математическими методами для решения интеллектуальных задач и приобретение навыков использования универсального понятийного аппарата и широкого арсенала технических приемов математики при дальнейшем изучении профильных дисциплин, построении математических моделей различных явлений и процессов. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного образования и обладание перечисленными ниже общими и предметно-специализированными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в самых разнообразных сферах (научно-исследовательская деятельность, аналитическая поддержка процессов принятия решений и проч.). 2.Место дисциплины в структуре ООП Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 060601 «Медицинская биохимия». Настоящая дисциплина относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла по этому направлению подготовки. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» (программа средней общеобразовательной школы). Студенты должны владеть знаниями и компетенциями, соответствующими школьной программе по математике. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении всех естественнонаучных дисциплин, в числе которых: теория вероятностей и математическая статистика, информатика и медицинская информатика, механика и электричество, оптика и атомная физика, органическая и физическая химия, биология, общая и медицинская биофизика, медицинская электроника, физиология, микробиология и вирусология, фармакология, а также при изучении медико-биохимических дисциплин: общая биохимия, медицинская биохимия, принципы измерительных технологий в биохимии. 3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины: Коды формируемых компетенций Компетенции ОК-№ Общекультурные компетенции ОК-1 Способность и готовность анализировать социальнозначимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественных, медикобиологических и клинических наук в различных видах профессиональной деятельности ОК-5 Способность и готовность к логическому и аргументированному анализу, публичной речи, ведению дискуссии и полемики, редактированию текстов профессионального содержания, к осуществлению воспитательной и педагогической деятельности, к сотрудничеству и разрешению конфликтов, к толерантности ПК -№ Профессиональные компетенции ПК -1 Способность и готовность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, анализировать результаты естественнонаучных исследований ПК -2 Способность и готовность к анализу медицинской информации при помощи системного подхода, к восприятию инноваций в целях совершенствования своей профессиональной деятельности, к использованию полученных теоретических, методических знаний и умений по фундаментальным естественнонаучным дисциплинам в научноисследовательской, лечебно-диагностической, педагогической и других видах работ ПК -4 способность и готовность анализировать закономерности функционирования отдельных органов и систем, использовать основные методики оценки функционального состояния организма человека, принципы тестирования психологических свойств личности человека, понимание процессов старения организма, физиологических особенностей стареющего организма для более успешной лечебнодиагностической деятельности ПК -5 способность и готовность интерпретировать результаты современных диагностических технологий, понимать стратегию нового поколения лечебных и диагностических препаратов, методов диагностики и лечения ПК -6 способность и готовность интерпретировать результаты оценки иммунного статуса, обосновать проведение клинико-иммунологического обследования больного, оценивать эффективность иммунокоррегирующей терапии, выполнять основные врачебные диагностические мероприятия при оказании первой врачебной помощи при неотложных и угрожающих жизни состояниях, связанных с иммунными нарушениями ПК -19 способность и готовность использовать методы оценки и коррекции естественных природных, социальных и других условий жизни, проводить санитарнопросветительскую работу, консультирование пациентов по медицинским проблемам, лежащим в сфере своей профессиональной деятельности ПК -21 способность и готовность к научно-обоснованному применению современных методик сбора и обработки информации о состоянии здоровья населения, деятельности различных типов медицинских организаций, к медико-статистическому анализу информации, характеризующей состояние здоровья населения в целях разработки научно-обоснованных рекомендаций по его улучшению, к анализу показателей деятельности различных медицинских учреждений, направленных на оптимизацию их функционирования, к использованию современных организационных технологий ПК -24 способность и готовность прогнозировать направление и результат биохимических и физико-химических процессов и явлений, химических превращений биологически важных веществ, происходящих в клетках различных тканей организма человека, а также методы их исследования, решать ситуационные задачи, моделирующие физико-химические процессы, протекающие в живом организме ПК -25 способность и готовность понимать и анализировать биохимические, физико-химические, молекулярнобиологические механизмы развития патологических процессов в клетках и тканях организма человека ПК -27 способность и готовность анализировать информацию, полученную с помощью методов светооптической и других видов микроскопии, оценивать морфологические изменения при различных заболеваниях и патологических процессах ПК -28 способность и готовность проводить аналитическую работу с источниками научной, научно-практической, аналитической, справочной, нормативной информации, провести патентный поиск и регламентированные процедуры, необходимые для защиты интеллектуальной собственности ПК -30 способность и готовность разрабатывать и внедрять в практику новые методы исследования и анализа, основанные на современных и перспективных технологиях ПК -31 способность и готовность к чтению лекций, проведению лабораторных, практических, клинико-практических занятий с обучающимися по естественнонаучным, медико-биологическим и клиническим проблемам в медицинских вузах и колледжах ПК -33 способность и готовность к проведению научнопопулярной деятельности по актуальным вопросам медицинской биохимии, медицины среди различных слоев общества В результате освоения дисциплины студент должен: Знать: - Математический анализ - Линейную алгебру и аналитическую геометрию - Теорию дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных - Элементы прикладной математики и математического моделирования Уметь: - Применять необходимые методы математического анализа и обработки экспериментальных данных - Выбрать соответствующий математический аппарат для решения и контроля правильности решения Владеть: - Основными математическими методами 4. Объем дисциплины и виды учебной работы: Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачётных единиц. Вид учебной работы Всего часов Семестр 144 1-2 48 96 1-2 1-2 72 36 1-2 2 252 1-2 Аудиторные занятия (всего) В том числе: Лекции (Л) Практические занятия (ПЗ) Семинары (С) Лабораторные практикумы (ЛП) Клинические практические занятия (КПЗ) Самостоятельная работа (всего) Экзамен Общая трудоемкость (час.) 5. Содержание дисциплины: 5.1. Содержание разделов дисциплины № п/п 1 1. Наименование раздела дисциплины Содержание раздела 2 3 Функции, пределы непрерывность их Множества. Функции, их задание, монотонность и и ограниченность. Композиция функций (сложная функция). Обратная функция. Предел функции. Свойства пределов. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства, сравнение и взаимосвязь. Замечательные пределы. Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции и их нахождение. Непрерывность функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность композиции функций и обратной функции. Элементарные функции и их непрерывность. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её механический смысл. Дифференцируемость функции, её связь с производной, дифференциал. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Арифметические свойства производной. Производная композиции функций и производная обратной функции. Таблица производных. Нахождение производных. Дифференцирование степенно-показательной функции. Дифференцирование неявно заданных функций. Производные параметрически заданных функций. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Касательная и нормаль к графику функции. Геометрические смыслы производной и дифференциала. Дифференциал композиции функций. Инвариантность формы (первого) дифференциала. Свойства функций, дифференцируемых на промежутках. Правило Лопиталя. Взаимосвязи монотонности функции и знака её производной на интервале. Точки экстремума (максимума и минимума) функции. Необходимое условие точки экстремума. Достаточные условия точки экстремума. Выпуклость функции вверх (вниз) на интервале. Условия выпуклости. Точки перегиба функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточные условия точки перегиба. Исследование функций и построение их графиков. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. 3. Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная функции на промежутке. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределённых интегралов. Основные методы интегрирования: элементарный, «по частям», подстановкой, заменой переменного. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его геометрическое и механическое истолкование. Необходимое условие интегрируемости функции (ограниченность). Достаточные условия интегрируемости функции (непрерывность, монотонность). Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменного в определенном интеграле. Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы 1 рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций по ограниченным промежуткам (несобственные интегралы 2 рода). Некоторые приложения определенных интегралов: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел, длин кривых, площадей поверхностей вращения. 4. Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и теории комплексных чисел Матрицы и действия над ними. Определители квадратных матриц. Обратные матрицы. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы, методом Крамера, методом Гаусса. Комплексные числа, различные формы их представления. Действия над комплексными числами. Векторная алгебра. Метод координат на плоскости. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка. Метод координат в пространстве. Плоскости и прямые в пространстве. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Квадратичные формы. 5. Ряды Числовые ряды и условия их сходимости. Функциональные ряды. Степенные ряды. 6. Элементы дифференциального и интегрального исчислений функций Функция нескольких переменных, её предел и непрерывность. Частные производные (первые) и дифференциал. Частные производные высших порядков. Дифференцирование сложных функций. Производная по направлению и градиент. 7. нескольких переменных Экстремумы функции нескольких переменных, условия экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику и междуграфику. Замена переменных в двойном интеграле. Применения двойного интеграла. Тройной интеграл. Криволинейные и поверхностные интегралы. Дифференциальные уравнения и элементы математического моделирования Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, его решение и задача Коши для него. Дифференциальное уравнение первого порядка и теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для него. Общее и частное решение; общий и частный интеграл. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными; однородные относительно x и y; линейные. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в частных производных. 5.2. Разделы дисциплин и виды занятий № п/п Наименование раздела дисциплины 1 2 1. Функции, их пределы непрерывность и Л ПЗ 6 16 С Л П КПЗ СРС Всего часов 11 33 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 8 16 12 36 3. Интегральное исчисление функций одной переменной 10 16 13 39 4. Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и 12 теории комплексных чисел 22 17 51 5. Ряды 2 4 3 9 6. Элементы дифференциального и интегрального исчислений функций нескольких переменных 6 10 8 24 Дифференциальные уравнения и элементы математического моделирования 4 12 8 24 итого 48 96 72 216 2. 7. 6. Интерактивные формы проведения занятий № п/п Наименование раздела дисциплины Интерактивные формы проведения занятий Длительность (час.) 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Занятие с малыми группами на тему «Исследование функций и построение их графиков» 2 2. Интегральное исчисление функций одной переменной Занятие с малыми группами на тему «Нахождение площадей плоских фигур с помощью интеграла» 2 3. Элементы дифференциального и интегрального исчислений функций нескольких переменных Занятие с малыми группами на тему «Нахождение объёмов тел с помощью двойного интеграла» 2 4. Дифференциальные уравнения и элементы математического моделирования Занятия с малыми группами на тему «Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений» 4 Итого (час.) 10 Итого (% от аудиторных занятий) 7 7. Внеаудиторная самостоятельная работа студентов Наименование раздела п/п дисциплины № Виды самостоятельной работы Формы контроля 1. Функции, их Выполнение домашних пределы и заданий. Подготовка к непрерывность практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольной работе № 1, зачётной работе за 1 семестр, к коллоквиуму и к экзамену. Опросы по теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Коллоквиум. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольная работа № 1. Зачётная работа за 1 семестр. Экзамен. 2. Дифференциаль ное исчисление функций одной переменной Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольной работе № 2, к зачётной работе за 1 семестр и к экзамену. Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Коллоквиум. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольная работа № 2. Зачётная работа за 1 семестр. Экзамен. 3. Интегральное исчисление функций одной переменной Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольной работе № 3, к Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Коллоквиум. Выборочная проверка и зачётной работе за 1 семестр разбор домашних и к экзамену. заданий. Контрольная работа № 3. Зачётная работа за 1 семестр. Экзамен. 4. Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и теории комплексных чисел Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов и презентаций. Подготовка к контрольным работам № 4 и № 5, к зачётной работе за 2 семестр и к экзамену. Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольные работы № 4 и № 5. Зачётная работа за 2 семестр. Экзамен. 5. Ряды Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольной работе № 5, к зачётной работе за 2 семестр и к экзамену. Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольная работа № 5. Зачётная работа за 2 семестр. Экзамен. 6. Элементы дифференциаль ного и интегрального исчислений функций нескольких переменных Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольным работам № 5 и № 6, к зачётной работе за 2 семестр и к экзамену. Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольные работы № 5 и № 6. Зачётная работа за 2 семестр. Экзамен. 7. Дифференциаль ные уравнения и элементы математического моделирования Выполнение домашних заданий. Подготовка к практическим занятиям: изучение лекций, учебной литературы. Подготовка рефератов. Подготовка к контрольной работе № 6, к зачётной работе за 2 семестр и к экзамену. Опросы теории на практических занятиях. Индивидуальные собеседования на консультациях. Выборочная проверка и разбор домашних заданий. Контрольная работа № 6. Зачётная работа за 2 семестр. Экзамен. 8. Формы контроля 8.1. Формы текущего контроля - опросы теории на практических занятиях - выборочная проверка и разбор домашних заданий - индивидуальные собеседования на консультациях - контрольные работы - зачётные работы - коллоквиум 8.2. Формы промежуточной аттестации - экзамен Этапы проведения экзамена: 1 этап. Зачётная практическая работа за 1 семестр (письменно). 2 этап. Зачётная практическая работа за 2 семестр (письменно). 3 этап. Экзамен по теории за 1 и 2 семестры (устно письменно). 9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 9.1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 9.2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. 9.3. Программное обеспечение и Интернет ресурсы Операционная система Windows XP, набор офисных программ MS Office 2003. 10. Материально-техническое обеспечение дисциплины Занятия проводятся в четырех аудиториях кафедры медицинской и биологической физики, в том числе в одном компьютерном классе. Имеются справочные таблицы производных, распределений и др. для проведения занятий по математике. интегралов, Автор(ы): Занимаемая должность Фамилия, инициалы Доцент Постников Б.М. Рецензент(ы): Подпись Место работы Занимаемая должность Фамилия, инициалы Подпись Приложение 2 Тематический план лекций Учебная дисциплина –« Математический анализ» Направление подготовки – 060601 «Медицинская биохимия» Семестр – 1 Курс –1 № лекции 1. 2. 3. Тема лекции Количество часов Множества. Функции, их задание, 2 монотонность и ограниченность. Композиция функций (сложная функция). Обратная функция. Предел функции. Свойства пределов. 2 Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства, сравнение и взаимосвязь. Непрерывность функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность композиции функций и обратной функции. Элементарные функции и их непрерывность. 2 4. Задачи, приводящие к понятию производной. 2 Производная, её механический смысл. Дифференцируемость функции, её связь с производной, дифференциал. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Арифметические свойства производной. Производная композиции функций и производная обратной функции. 5. Касательная к графику функции. Геометрические смыслы производной и дифференциала. Дифференциал композиции функций. Инвариантность формы (первого) 2 дифференциала. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Свойства функций, дифференцируемых на промежутках. Взаимосвязи монотонности функции и знака её производной на интервале. Точки экстремума (максимума и минимума) функции. Необходимое условие точки экстремума. 2 Достаточные условия точки экстремума. Выпуклость функции вверх (вниз) на интервале. Условия выпуклости. Точки перегиба функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточные условия точки перегиба. Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции и их нахождение. 2 Первообразная функции на промежутке. Неопределенный интеграл и его основные свойства. 2 Основные методы интегрирования 2 (элементарный, «по частям», подстановкой, заменой переменного). Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его геометрическое и механическое истолкование. Необходимое условие интегрируемости функции (ограниченность). Достаточные условия интегрируемости функции (непрерывность, монотонность). Свойства определенного интеграла. 2 Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменного в определенном интеграле. Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы 1 рода). 2 12. Несобственные интегралы от 2 неограниченных функций по ограниченным промежуткам (несобственные интегралы 2 рода). Некоторые приложения определенных интегралов (вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел, длин плоских кривых, площадей поверхностей вращения). ИТОГО 24 Семестр – 2 Курс –1 № лекции Тема лекции Количество часов 1. Матрицы и действия над ними. Определители 2 квадратных матриц. 2 2. Обратные матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. 2 3. Комплексные числа, различные формы их представления. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера. 2 4. Векторы и арифметические действия над ними. Скалярное и векторное произведения векторов. Метод координат на плоскости. Прямые на плоскости. 2 5. 6. Кривые второго порядка. 2 7. Числовые ряды. Функциональные ряды. 2 2 8. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Функция нескольких переменных, ее предел и непрерывность. 2 9. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных. Общее понятие площади фигуры. 2 10. Задачи, приводящие к двойному интегралу. Двойной интеграл. 2 11. Достаточное условие существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Некоторые применения двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов. 12. Задачи, приводящие к дифференциальным 2 уравнениям. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, его решение и задача Коши для него. Дифференциальное уравнение первого порядка, его общее и частное решение. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. ИТОГО 24 Рассмотрено на заседании кафедры медицинской и биологической физики "___"_____________ 2012 г. протокол № ____________ Зав. кафедрой, доцент С.Е. Ефимовский Приложение 3 Тематический план практических занятий Учебная дисциплина – « Математический анализ» Направление подготовки – 060601 «Медицинская биохимия» Семестр – 1 Количество часов – 48 Курс –1 № занятия Тема занятия Количество Часов 1. Установки. Инструктажи. Входной тест по математике. 2. Числовые функции, их области определения, 2 множества значений, чётность и нечётность, периодичность. 2 3. Графики элементарных функций. Преобразования графиков. Пределы функции. 4. Вычисление пределов. 2 5. Замечательные пределы. 2 6. Замечательные пределы. Наклонные и 2 вертикальные асимптоты графика функции и их нахождение. 7. Непрерывность функции и точки разрыва. 2 8. Контрольная работа №1. 2 2 9. Таблица производных. Нахождение производных. Дифференцирование степенно-показательной функции. 2 10. Дифференцирование неявно заданных функций. Дифференциал. Производные высших порядков. 2 11. Производные параметрически заданных функций. Дифференциалы высших порядков. 12. Приложения производной: касательная, нормаль, скорость, ускорение. Правило 2 2 Лопиталя. 2 13. Промежутки монотонности и точки экстремума функции. Интервалы выпуклости и точки перегиба функции. 14. Исследование функций и построение их графиков. 2 15. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. 2 16. Контрольная работа №2. 2 2 17. Таблица неопределённых интегралов. Элементарное интегрирование. Метод интегрирования «по частям». 18. Методы интегрирования подстановкой и заменой переменного. 2 2 19. Формула Ньютона- Лейбница. Нахождение определённых интегралов методом «по частям». Нахождение определённых интегралов 2 20. подстановкой и заменой переменного. Несобственные интегралы. 2 22. Нахождение площадей плоских фигур с помощью интеграла. 2 2 23. Нахождение длин кривых, объёмов тел, площадей поверхностей вращения с помощью интеграла. 24. Контрольная работа №3. 2 21. ИТОГО 48 Семестр – 2 Количество часов – 48 Курс –1 № занятия Тема занятия Количество Часов 1. Матрицы и действия над ними. 2 2. Определители квадратных матриц. Обратные матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Комплексные числа, различные формы их представления. Действия над комплексными числами. 2 6. Векторная алгебра. Метод координат на плоскости. 2 7. Прямые на плоскости. 2 8. Контрольная работа № 4. 2 9. Метод координат в пространстве. Плоскости 2 и прямые в пространстве. 10. Изучение поверхностей второго порядка методом сечений. 2 11. Квадратичные формы. 2 Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. 2 3. 4. 5. 12. 13. 14. 2 2 2 2 2 Степенные ряды. Функция нескольких переменных. Частные производные (первые) и дифференциал. 2 15. Частные производные высших порядков. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. 16. Контрольная работа № 5. 2 17. Вычисление двойного интеграла по междуграфику. 2 18. Замена переменных в двойном интеграле. 2 19. Нахождение объёмов тел с помощью двойного интеграла. 2 2 20. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения, однородные относительно x и y. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 2 21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 2 22. Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений. 2 23. Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений. 24. Контрольная работа № 6. 2 ИТОГО 48 Рассмотрено на заседании кафедры медицинской и биологической физики "___"_____________ 2012 г. протокол № ____________ Зав. кафедрой, доцент С.Е. Ефимовский Приложение 4 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» 2014г. 1. Современные подходы к проблематике дисциплины Современные подходы к решению проблем математики: 1) систематичность исследований, 2) строгая логическая обоснованность решений, 3) большая общность и широкая применимость результатов в различных науках и при решении практических задач, 4) возможность использования компьютерных технологий в приложениях математики. 2. Образовательные технологии При реализации различных видов учебной работы используются: информационные технологии, технология развития критического мышления, технология проблемного обучения, технологии организации группового взаимодействия. 2.1. Активные и интерактивные формы проведения занятий Интерактивные формы проведения занятий реализуются в виде практических занятий в малых группах (4 – 5 студентов), которые соревнуются между собой. Каждая группа совместными усилиями решает поставленные преподавателем задачи. 2.2. Организация и контроль самостоятельной работы студентов Самостоятельная работа студентов реализуется в следующих формах: 1) решение специальных заданий на практических занятиях, 2) выполнение домашних заданий, 3) теоретическая подготовка (чтение лекций и учебной литературы) к практическим занятиям, 4) подготовка к контрольным и зачётным семестровым работам, 5) подготовка к экзамену. Контроль самостоятельной работы осуществляется в следующих видах: 1) опросы теории на практических занятиях, 2) выборочная проверка и разбор домашних заданий, 3) контрольные работы, 4) зачётные семестровые работы, 5) экзамен. 3. Принципы и критерии оценивания результатов обучения Результаты контрольных и зачётных работ оцениваются в баллах (по пятибалльной, десятибалльной и другим шкалам). Результаты экзамена оцениваются по пятибалльной шкале. Приложение 6 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математический анализ» 2014 г. Практические занятия 1 семестр Практическое занятие № 1 1. Тема: «Установки. Инструктажи по пожарной безопасности и по технике безопасности. Входной тест по математике» Практическое занятие № 2 1. Тема: «Числовые функции, их области определения, множества значений, чётность и нечётность, периодичность» Цели и задачи: Изучить понятие числовой функции и некоторые её специальные свойства - чётность и нечётность, периодичность. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: числовая функция, её область определения, множество значений; чётность и нечётность, периодичность числовой функции. 3. Вопросы к занятию: числовые функции, их области определения, множества значений; чётность и нечётность, периодичность числовой функции. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение числовой функции. 2) Дайте определение чётной числовой функции. 3) Дайте определение периодической числовой функции. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 3 1. Тема: «Графики элементарных функций. Преобразования графиков. Пределы функции» Цели и задачи: Научиться строить графики элементарных функций и осуществлять простейшие их преобразования; изучить понятие предела функции. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: график числовой функции; элементарные функции; преобразования графиков; предел функции. 3. Вопросы к занятию: графики основных элементарных функций; преобразования графиков; определение предела числовой функции. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Изобразите графики основных элементарных функций. 2) Дайте определение предела числовой функции. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 4 1. Тема: «Вычисление пределов» Цели и задачи: Изучить понятие предела функции в точке и научиться вычислять простейшие виды пределов, раскрывать некоторые типы неопределённостей. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: предел функции в точке; понятие неопределённости. 3. Вопросы к занятию: определение предела функции в точке (на языке ); арифметические свойства предела. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте определение предела функции в точке (на языке ). 2) Сформулируйте арифметические свойства предела. 3) Какие типы неопределённостей возникают при вычислении пределов? 4) Приведите примеры неопределённостей каждого типа. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 5 1. Тема: «Замечательные пределы» Цели и задачи: Научиться применять первый и второй замечательные пределы и их следствия при вычислении пределов. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: замечательные пределы и их следствия. 3. Вопросы к занятию: первый замечательный предел и его следствия; число е как предел последовательности (1 1 / п) п ; второй замечательный предел и его следствия. 4. Вопросы для самоконтроля: 1)Сформулируйте первый замечательный предел. 2) Сформулируйте следствия первого замечательного предела. 3) Сформулируйте второй замечательный предел. 4) Сформулируйте следствия второго замечательного предела. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 6 1. Тема: «Замечательные пределы. Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции и их нахождение» Цели и задачи: Продолжить изучение и усвоение замечательных пределов; научиться находить асимптоты графика функции. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: замечательные пределы; наклонные и вертикальные асимптоты графика функции. 3. Вопросы к занятию: замечательные пределы и их следствия; определения наклонных и вертикальных асимптот графика функции; критерий наклонной асимптоты графика функции и алгоритм её поиска. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение наклонной асимптоты графика функции. 2) Сформулируйте критерий наклонной асимптоты графика функции и алгоритм её поиска. 3) В каких случаях у графика функции есть вертикальные асимптоты? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 7 1. Тема: «Непрерывность функции и точки разрыва» Цели и задачи: Изучить понятие непрерывности функции в точке и понятие точки разрыва функции. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: непрерывность функции в точке; точки разрыва функции 1 и 2 рода. 3. Вопросы к занятию: непрерывность функции и точки разрыва функции. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение непрерывности функции в точке. 2) Дайте определения точек разрыва функции 1 и 2 рода. 3) Что такое точка устранимого разрыва функции? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 8 1. Тема: «Контрольная работа № 1» (по материалам занятий № 1-7) Практическое занятие № 9 1. Тема: «Таблица производных. Нахождение производных. Дифференцирование степенно-показательной функции» Цели и задачи: Усвоить понятие производной; изучить арифметические свойства производных; усвоить правило нахождения производной сложной функции; изучить таблицу производных; научиться находить производные элементарных функций; научиться дифференцировать степенно-показательную функцию. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: производная; таблица производных; производная сложной функции; степенно-показательная функция. 3. Вопросы к занятию: определение производной; таблица производных; арифметические свойства производных; определение композиции функций (сложной функции); теорема о производной композиции функций; правило её использования; дифференцирование степенно-показательной функции. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте определение производной. 2) Сформулируйте теорему о производной композиции функций и правило её использования. 3) Что такое степенно-показательная дифференцируют? функция? Как её 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 10 1. Тема: «Дифференцирование неявно заданных функций. Дифференциал. Производные высших порядков» Цели и задачи: Научиться дифференцировать неявно заданные функции; изучить понятие дифференциала функции одной переменной; научиться вычислять производные высших порядков. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: неявно заданная функция; приращение функции; дифференциал функции; производные высших порядков. 3. Вопросы к занятию: дифференцирование неявно заданных функций; определение дифференциала; производные высших порядков. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение неявно заданной функции. 2) Дайте определение приращения функции. 3) Дайте определение дифференциала. 4) Как находится вторая производная функции? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 11 1. Тема: «Производные параметрически заданных функций. Дифференциалы высших порядков» Цели и задачи: Научиться вычислять производные параметрически заданных функций и находить дифференциалы высших порядков функций. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: параметрически заданная функция; дифференциал второго, третьего и т.д. порядков функции. 3. Вопросы к занятию: производные параметрически заданных функций; дифференциалы высших порядков. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение параметрически заданной функции. 2) Сформулируйте правило дифференцирования параметрически заданной функции. 3) Дайте определение дифференциалов второго, третьего и т.д. порядков функции. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 12 1. Тема: «Приложения производной: касательная, нормаль, скорость, ускорение. Правило Лопиталя» Цели и задачи: Изучить механический и геометрический смыслы и приложения производной; научиться применять правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: касательная к графику функции; нормаль к графику функции; скорость изменения функции; правило Лопиталя. 3. Вопросы к занятию: механический смысл производной; определение касательной к графику функции; критерий существования касательной; уравнение касательной; определение нормали к графику функции; уравнение нормали; правило Лопиталя. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) В чём заключается механический смысл производной? 2) В чём заключается геометрический смысл производной? 3) Сформулируйте определение касательной к графику функции. 4) Напишите уравнение касательной к графику функции. 5) Напишите уравнение нормали к графику функции. 6) Сформулируйте правило Лопиталя. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 13 1. Тема: «Промежутки монотонности и точки экстремума функции. Интервалы выпуклости и точки перегиба функции» Цели и задачи: Научиться исследовать функции на монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба с помощью производных. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: строгое возрастание (убывание) функции на промежутке; точки максимума и минимума функции (точки экстремума); выпуклость функции вверх (вниз) на интервале; точки перегиба функции. 3. Вопросы к занятию: достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале; точки максимума и минимума функции (точки экстремума); необходимое условие точки экстремума; достаточное условие точки экстремума; достаточное условие выпуклости функции вверх (вниз) на интервале; точки перегиба функции; необходимое условие точки перегиба функции; достаточное условие точки перегиба функции. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале. 2) Дайте определение точки максимума (минимума) функции. 3) Сформулируйте достаточное (минимума) функции. условие точки максимума 4) Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. 5. Практическое занятие № 14 1. Тема: «Исследование функций и построение их графиков» Цели и задачи: Научиться исследовать функции на монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба с помощью производных; научиться находить асимптоты графика функции; научиться строить графики функций по итогам исследований этих функций. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: строгое возрастание (убывание) функции на промежутке; точки максимума и минимума функции (точки экстремума); выпуклость функции вверх (вниз) на интервале; точки перегиба функции; асимптоты графика функции. 3. Вопросы к занятию: достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале; точки максимума и минимума функции (точки экстремума); необходимое условие точки экстремума; достаточное условие точки экстремума; достаточное условие выпуклости функции вверх (вниз) на интервале; точки перегиба функции; необходимое условие точки перегиба функции; достаточное условие точки перегиба функции; критерий наклонной асимптоты графика функции и алгоритм её поиска. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале. 2) Дайте определение точки максимума (минимума) функции. 3) Сформулируйте достаточное (минимума) функции. условие точки максимума 4) Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции. 5) Сформулируйте критерий наклонной асимптоты графика функции и алгоритм её поиска. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 15 1. Тема: «Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции» Цели и задачи: Научиться находить наибольшее и наименьшее значения числовой функции. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: наибольшее и наименьшее значения числовой функции на отрезке и алгоритм их поиска. 3. Вопросы к занятию: теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на отрезке числовой функцией своего наибольшего и наименьшего значений; алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений непрерывной числовой функции на отрезке. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте теорему Вейерштрасса о достижении непрерывной на отрезке числовой функцией своего наибольшего и наименьшего значений. 2) Сформулируйте алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений непрерывной числовой функции на отрезке. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 16 1. Тема: «Контрольная работа № 2» (по материалам занятий № 9-15) Практическое занятие № 17 1. Тема: «Таблица неопределённых интегралов. Элементарное интегрирование. Метод интегрирования «по частям»» Цели и задачи: Изучить таблицу основных неопределённых интегралов; научиться вычислять простейшие неопределённые интегралы с помощью таблицы интегралов и свойств неопределённого интеграла; усвоить метод интегрирования «по частям». 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: первообразная (для) функции на промежутке; неопределённый интеграл функции; метод интегрирования «по частям». 3. Вопросы к занятию: первообразная (для) функции на промежутке; теорема о структуре множества всех первообразных; неопределённый интеграл функции; свойства неопределённого интеграла (4 свойства); формула интегрирования «по частям». 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение первообразной (для) функции на промежутке. 2) Дайте определение неопределённого интеграла функции. 3) Сформулируйте свойства). свойства неопределённого интеграла (4 4) Напишите формулу интегрирования «по частям». 5) Какова стратегия частям»? применения формулы интегрирования «по 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 18 1. Тема: «Методы интегрирования переменного» подстановкой и заменой Цели и задачи: Усвоить методы интегрирования подстановкой и заменой переменного в неопределённом интеграле и научиться применять их при вычислении неопределённых интегралов. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: методы интегрирования подстановкой и заменой переменного в неопределённом интеграле. 3. Вопросы к занятию: формулы интегрирования подстановкой и заменой переменного в неопределённом интеграле. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу интегрирования подстановкой (подведения под знак дифференциала). 2) Объясните сущность метода подстановки. 3) Напишите формулу интегрирования заменой переменного в неопределённом интеграле. 4) Объясните сущность метода замены переменного. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 19 1. Тема: «Формула Ньютона - Лейбница. определённых интегралов методом «по частям»» Нахождение Цели и задачи: Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления простейших (определённых) интегралов. Усвоить метод интегрирования по частям в определённом интеграле. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: формула Ньютона-Лейбница; метод интегрирования по частям в определённом интеграле. 3. Вопросы к занятию: определённый интеграл; формула НьютонаЛейбница; формула интегрирования по частям в определённом интеграле. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу Ньютона-Лейбница и сформулируйте условия её применения. 2) Напишите формулу интегрирования по частям в определённом интеграле и сформулируйте условия её применения. 3) Какова стратегия применения формулы интегрирования «по частям» в определённом интеграле? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 20 1. Тема: «Нахождение определённых интегралов подстановкой и заменой переменного» Цели и задачи: Усвоить методы интегрирования подстановкой и заменой переменного в определённом интеграле. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: подстановка; замена переменного; методы интегрирования подстановкой и заменой переменного в определённом интеграле. 3. Вопросы к занятию: формулы интегрирования подстановкой и заменой переменного в определённом интеграле. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу определённом интеграле. интегрирования подстановкой в 2) Напишите формулу интегрирования заменой переменного в определённом интеграле. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 21 1. Тема: «Несобственные интегралы» Цели и задачи: Изучить понятие несобственного интеграла (1 и 2 рода). Научиться исследовать несобственные интегралы на сходимость (расходимость) и находить их значения. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: понятие несобственного интеграла по лучу а, , по лучу , а , по всей числовой оси , ; по полуинтервалу à, b , по полуинтервалу (a, b] , по интервалу ( a, b) ; сходимость и расходимость несобственного интеграла. 3. Вопросы к занятию: несобственные интегралы 1 и 2 рода. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение несобственного интеграла по лучу а, . 2) Дайте определение несобственного интеграла по всей числовой оси , . 3) Дайте определение несобственного интеграла по полуинтервалу ( a, b] . 4) В каком расходящимся? случае несобственный интеграл называется 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 22 1. Тема: «Нахождение площадей плоских фигур с помощью интеграла» Цели и задачи: Научиться вычислять площади подграфиков и междуграфиков, площадей фигур в полярной системе координат. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: подграфик, междуграфик, фигура в полярной системе координат. 3. Вопросы к занятию: формулы для вычисления площади подграфика, междуграфика, фигуры в полярной системе координат. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу для вычисления площади подграфика 2) Напишите формулу для вычисления площади междуграфика. 3) Напишите формулу для вычисления площади фигуры в полярной системе. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. 5. Практическое занятие № 23 1. Тема: «Нахождение длин кривых, объёмов тел, площадей поверхностей вращения с помощью интеграла» Цели и задачи: Научиться находить длины кривых, объёмы тел, площади поверхностей вращения с помощью определённого интеграла. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: длина кривой; объём тела; площадь поверхности вращения. 3. Вопросы к занятию: формулы для нахождения длин кривых, объёмов тел вращения, объёмов тел с известными площадями поперечных сечений, площадей поверхностей вращения с помощью интеграла. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу для нахождения длины графика функции. 2) Напишите формулу для нахождения объёма тела с известными площадями поперечных сечений. 3) Напишите формулу для нахождения площади поверхности вращения с помощью интеграла. 4) Каковы условия выполнения приведённых выше формул? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 24 1. Тема: «Контрольная работа № 3» (по материалам занятий № 17-23) 2 семестр Практическое занятие № 1 1. Тема: «Матрицы и действия над ними» Цели и задачи: Научиться совершать действия над числовыми матрицами. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: матрица; умножение матрицы на число; сложение и вычитание матриц; умножение матриц; транспонированная матрица. 3. Вопросы к занятию: матрица и её размерность; операции над матрицами. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Что такое числовая матрица? 2) Как осуществляется умножение матрицы на число? 3) Как осуществляется сложение и вычитание матриц? 4) Как осуществляется умножение матриц? 5) Как осуществляется транспонирование матриц? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 2 1. Тема: «Определители квадратных матриц. Обратные матрицы» Цели и задачи: Научиться вычислять определители квадратных матриц и находить обратные матрицы для невырожденных квадратных матриц. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: минор элемента матрицы; алгебраическое дополнение элемента матрицы; определитель квадратной матрицы; обратная матрица. 3. Вопросы к занятию: правила нахождения определителей первого, второго и третьего порядков; разложение определителя по строке или по столбцу; свойства определителей; определение обратной матрицы; правило нахождения обратной матрицы. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Как вычисляются определители первого, второго и третьего порядков? 2) Как осуществляется разложение определителя по строке или по столбцу? 3) Что такое обратная матрица для заданной квадратной матрицы? 4) Как находится обратная матрица? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 3 1. Тема: «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера.» Цели и задачи: Научиться решать системы линейных уравнений указанными выше методами. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: матричная запись системы линейных уравнений и матричная запись её решения. 3. Вопросы к занятию: решение систем линейных матричным методом. уравнений 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Что такое матрица системы линейных уравнений? 2) Как выглядит матричная запись системы линейных уравнений? 3) При каких условиях можно применять матричный метод для решения систем линейных уравнений? 4) Как выглядит матричная запись решения системы линейных уравнений? 5) При каких условиях можно применять метод Крамера для решения систем линейных уравнений? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 4 1. Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса» Цели и задачи: Научиться решать системы линейных уравнений последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: расширенная матрица системы линейных уравнений; элементарные преобразования системы линейных уравнений; последовательное исключение неизвестных. 3. Вопросы к занятию: равносильные системы линейных уравнений; элементарные преобразования системы линейных уравнений. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Какие системы уравнений называются равносильными? 2) Какие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными? 3) Как осуществляется последовательное исключение неизвестных? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 5 1. Тема: «Комплексные числа, различные представления. Действия над комплексными числами» формы их Цели и задачи: Изучить понятие комплексного числа, научиться осуществлять действия над комплексными числами в различных формах. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: комплексное число; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. 3. Вопросы к занятию: комплексные числа в алгебраической форме и их изображение на координатной (комплексной) плоскости; тригонометрическая форма комплексного числа; арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме; действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в целую степень, извлечение корней n – ой степени; формулы Эйлера; показательная форма комплексного числа. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение комплексного числа. 2) Что называют модулем комплексного числа? 3) Что называют аргументом комплексного числа? 4) Напишите тригонометрическую форму комплексного числа. 5) Как перемножают комплексные числа в тригонометрической форме? 6) Напишите формулы Эйлера. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 6 1. Тема: «Векторная алгебра. Метод координат на плоскости» Цели и задачи: Научиться находить сумму и разность векторов, произведение вектора на число; изучить скалярное и векторное произведения векторов, научиться применять их; научиться применять метод координат при решении геометрических задач на плоскости (нахождение расстояний, уравнений прямых, углов и т.п.); 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: сумма и разность векторов, произведение вектора на число; скалярное и векторное произведения векторов; координаты вектора и точки; деление отрезка в данном отношении. 3. Вопросы к занятию: определения суммы и разности векторов, произведения вектора на число, скалярного и векторного произведений векторов; прямоугольная декартова система координат на плоскости; координаты вектора и точки; деление отрезка в данном отношении. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определения суммы и разности векторов. 2) Дайте определение скалярного произведения векторов. Как оно вычисляется? 3) Дайте определение векторного произведения векторов. Как вычисляются его координаты? 4) Как находятся координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат? 5) Как находятся координаты точки, делящей отрезок в данном отношении? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 7 1. Тема: «Прямые на плоскости» Цели и задачи: Изучить различные типы уравнений прямой на плоскости; научиться находить уравнения прямых, заданных различными условиями. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: общее уравнение прямой; уравнение прямой «в отрезках»; уравнение прямой с угловым коэффициентом; каноническое уравнение прямой; расстояние от точки до прямой; угол между прямыми. 3. Вопросы к занятию: общее уравнение прямой; уравнение прямой «в отрезках»; уравнение прямой с угловым коэффициентом; каноническое уравнение прямой; формула расстояния от точки до прямой; нахождение угла между прямыми. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите общее уравнение прямой. 2) Напишите уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. 3) Напишите каноническое уравнение прямой, заданной некоторой своей точкой и направляющим вектором. 4) Напишите формулу расстояния от точки до прямой. 5) Как находится угол между прямыми с заданными уравнениями? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 8 1. Тема: «Контрольная работа № 4» (по материалам занятий № 1-7) Практическое занятие № 9 1. Тема: «Метод координат в пространстве. Плоскости и прямые в пространстве» Цели и задачи: Изучить различные типы уравнений плоскости в пространстве; изучить различные типы уравнений прямой в пространстве. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: уравнение поверхности в заданной п.д.с.к.; цилиндрическая поверхность, её направляющая и её образующие; линейное уравнение как общее уравнение плоскости, смысл вектора n ( A, B, С ) ; нахождение расстояния от точки до плоскости в п.д.с.к.; задание линии в пространстве системой двух уравнений, задающих некоторые поверхности; параметрическое задание линии в пространстве; задание прямой в пространстве системой двух линейных уравнений (общие уравнения прямой). 3. Вопросы к занятию: уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору; нахождение расстояния от точки до плоскости в п.д.с.к.; канонические уравнения прямой, заданной некоторой своей точкой и направляющим вектором; параметрические уравнения прямой. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. 2) Как вычисляется расстояние от точки до плоскости? 3) Напишите уравнение плоскости с заданными направляющими векторами, проходящей через заданную точку. 4) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. 5) Напишите канонические уравнения прямой, заданной некоторой своей точкой и направляющим вектором. 6) Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 7) Напишите параметрические уравнения прямой. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 10 1. Тема: «Изучение поверхностей второго порядка методом сечений» Цели и задачи: Изучить невырожденные поверхности второго порядка по их каноническим уравнениям методом сечений. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: поверхность второго порядка; невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения; метод сечений. 3. Вопросы к занятию: поверхности второго порядка и их изучение методом сечений. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение поверхности второго порядка. 2) Перечислите 9 типов невырожденных поверхностей второго порядка. 3) Опишите суть метода сечений. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 11 1. Тема: «Квадратичные формы» Цели и задачи: Изучить понятие квадратичной формы и научиться исследовать её на знакоопределённость. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: квадратичная форма (к.ф.) одной, двух, трёх и более переменных; положительно (отрицательно, неотрицательно, неположительно) определённая к.ф., знаконеопределённая к.ф. 3. Вопросы к занятию: квадратичная форма и её общий вид; матрица к.ф.; определение положительно (отрицательно, неотрицательно, неположительно) определённой к.ф., знаконеопределённой к.ф.; критерий Сильвестра распознавания к.ф. на знакоопределённость. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите общий вид к.ф. трёх переменных. 2) Напишите общий вид матрицы к.ф. четырёх переменных. 3) Какова специфика матрицы к.ф.? 4) Дайте определение неположительно определённой к.ф. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 12 1. Тема: «Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения положительных рядов» Цели и задачи: Изучить понятие числового ряда; научиться исследовать числовые ряды на сходимость с помощью необходимого условия сходимости ряда и признаков сравнения положительных рядов. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: числовой ряд, частичные суммы ряда, сходящийся ряд и его сумма, расходящийся ряд; гармонический ряд, ряды Дирихле, геометрические ряды; признаки сравнения положительных рядов (допредельный и предельный). 3. Вопросы к занятию: числовой ряд, частичные суммы ряда, сходящийся ряд и его сумма, расходящийся ряд; невлияние отбрасывания или добавления любого конечного числа членов ряда на его сходимость и расходимость; теоремы об умножении сходящегося ряда на число и о сумме двух сходящихся рядов; необходимое условие сходимости ряда и его следствие (достаточное условие расходимости ряда); гармонический ряд, ряды Дирихле, геометрические ряды; признаки сравнения положительных рядов (допредельный и предельный). 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение числовоого ряда, сходящегося ряда и его суммы, расходящегося ряда. 2) Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда. 3) Сформулируйте признаки сравнения (допредельный и предельный). положительных рядов 4) Какие ряды называются рядами Дирихле? Когда они сходятся? 5) Какие ряды называются геометрическими рядами? Когда они сходятся? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 13 1. Тема: «Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница» Цели и задачи: Научиться исследовать положительные числовые ряды на сходимость с помощью признаков Даламбера и Коши; научиться исследовать знакопеременные числовые ряды на абсолютную и условную сходимость, применять теорему Лейбница. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: знакопеременный ряд; знакочередующийся ряд; абсолютная и условная сходимость ряда. 3. Вопросы к занятию: признаки Даламбера и Коши для положительных рядов; сходимость ряда, у которого сходится ряд из его модулей; абсолютно и неабсолютно (условно) сходящиеся ряды; знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте признаки Даламбера и Коши для положительных рядов. 2) Когда ряд называется абсолютно сходящимся? 3) Когда ряд называется неабсолютно (условно) сходящимся? 4) Какой ряд называется знакочередующимся? 5) Сформулируйте теорему Лейбница. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 14 1. Тема: «Степенные ряды. Функция нескольких переменных. Частные производные (первые) и дифференциал» Цели и задачи: Изучить степенные ряды, научиться находить их интервалы сходимости; изучить понятие функции двух и более переменных; научиться находить области определения и линии с уровня функции двух переменных; научиться находить частные производные и дифференциал функции двух и более переменных. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: функциональные ряды; степенные ряды и их интервалы сходимости; признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда; функция нескольких переменных, её область определения и множество значений; график и линии с - уровня функции двух переменных; частные производные и дифференциал функции двух и более переменных. 3. Вопросы к занятию: определения функционального и степенного рядов; определение интервала сходимости степенного ряда; определение функции двух переменных, её области определения и множества значений; график и линии с - уровня функции двух переменных; определения частных производных и дифференциала функции двух переменных. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Какой ряд называется степенным рядом? 2) Дайте определение интервала сходимости степенного ряда. 3) Сформулируйте признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда. 4) Дайте определение функции двух переменных. 5) Дайте определение линии с - уровня функции двух переменных. 6) Дайте определения частных функции двух переменных. производных и дифференциала 7) Каковы правила нахождения частных производных? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 15 1. Тема: «Частные производные высших порядков. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных» Цели и задачи: Научиться вычислять частные производные второго порядка функции двух переменных; научиться находить экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: частные производные второго порядка функции двух переменных; экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. 3. Вопросы к занятию: определение частных производных второго порядка; необходимое условие экстремума; достаточное условие экстремума; алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Дайте определение частных производных второго порядка функции двух переменных 2) Как обозначаются частные производные второго порядка функции двух переменных? 3) Сформулируйте необходимое условие экстремума 4) Сформулируйте достаточное условие экстремума. 5) Сформулируйте алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 16 1. Тема: «Контрольная работа № 5» (по материалам занятий № 9-15) Практическое занятие № 17 1. Тема: «Вычисление двойного интеграла по междуграфику» Цели и задачи: Научиться вычислять двойные интегралы по междуграфикам. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: повторный интеграл; сведение двойного интеграла по междуграфику к повторному. 3. Вопросы к занятию: формулы для вычисления двойного интеграла по междуграфикам 1-го и 2-го типов. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу для вычисления двойного междуграфику 1-го типа. Каковы условия её 2) Напишите формулу для вычисления двойного междуграфику 2-го типа. Каковы условия её 5. Основная и дополнительная литература к теме интеграла по применения? интеграла по применения? 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 18 1. Тема: «Замена переменных в двойном интеграле» Цели и задачи: Научиться вычислять двойные интегралы с помощью замены переменных «переход к полярным координатам». 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: преобразование множеств на координатной плоскости по формулам замены переменных в двойном интеграле. 3. Вопросы к занятию: формула замены переменных «переход к полярным координатам» в двойном интеграле. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите формулу замены переменных «переход к полярным координатам» в двойном интеграле. 2) Каковы условия её применения? 3) Как найти новую область интегрирования, т.е. прообраз исходной области интегрирования при соответствующем преобразовании? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. . Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 19 1. Тема: «Нахождение объёмов тел с помощью двойного интеграла» Цели и задачи: Научиться вычислять объёмы тел с помощью двойного интеграла. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: подграфик функции двух переменных. 3. Вопросы к занятию: формула для нахождения объёма подграфика функции двух переменных. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Сформулируйте переменных. определение подграфика функции двух 2) Напишите формулу для нахождения объёма подграфика функции двух переменных. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 20 1. Тема: «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения, однородные относительно x и y. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка» Цели и задачи: Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения первого порядка, однородные относительно x и y, линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: дифференциальное уравнение (д.у.) и его решение; д.у. первого порядка; д.у. первого порядка, разрешённое относительно производной; д.у. первого порядка в дифференциалах; общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; частное решение и частный интеграл; д.у. с разделёнными переменными и метод его решения; д.у. с разделяющимися переменными; замена переменного в дифференциальном уравнении; линейные дифференциальные уравнения первого порядка; метод вариации постоянной. 3. Вопросы к занятию: понятие об обыкновенном д.у. и д.у. в частных производных; определения (обыкновенного) д.у. п - го порядка и его решения; д.у. первого порядка; д.у. первого порядка, разрешённое относительно производной; д.у. первого порядка в дифференциалах; общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; частное решение и частный интеграл; д.у. с разделёнными переменными и метод его решения; д.у. с разделяющимися переменными; дифференциальные уравнения первого порядка, однородные относительно x и y; линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Что называют общим решением д.у. 1-го порядка? 2) Каков метод решения д.у. с разделёнными переменными? 3) Напишите вид дифференциального уравнения первого порядка, однородного относительно x и y. 4) Каков метод решения дифференциального уравнения первого порядка, однородного относительно x и y? 5) Напишите вид линейного дифференциального уравнения первого порядка. 6) Каков метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 21 1. Тема: «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами» Цели и задачи: Научиться решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами; характеристическое уравнение; общее решение соответствующего однородного уравнения; метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения исходного неоднородного уравнения. 3. Вопросы к занятию: решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Напишите общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 2)Напишите вид характеристического соответствующего однородного уравнения. уравнения для 3) Напишите вид общего решения соответствующего однородного уравнения в трёх различных случаях корней характеристического уравнения. 4) Опишите сущность метода неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения исходного неоднородного уравнения. 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 22 1. Тема: «Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений» Цели и задачи: Научиться решать практические задачи с помощью дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений. 3. Вопросы к занятию: дифференциальные уравнения с разделёнными переменными и метод их решения; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Что такое математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений? 2) Каков метод решения дифференциальных уравнений с разделёнными переменными? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 23 1. Тема: «Математическое моделирование в естествознании и медицине с помощью дифференциальных уравнений» Цели и задачи: Научиться решать практические задачи с помощью дифференциальных уравнений первого порядка, однородных относительно x и y, и с помощью линейных дифференциальных уравнений первого порядка. 2. Основные понятия, которые должны быть усвоены студентами в процессе изучения темы: математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений. 3. Вопросы к занятию: дифференциальные уравнения первого порядка, однородные относительно x и y, и метод их решения; линейные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения. 4. Вопросы для самоконтроля: 1) Что такое математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений? 2) Каков метод решения дифференциальных уравнений первого порядка, однородных относительно x и y? 3) Каков метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка? 5. Основная и дополнительная литература к теме 1. Основная литература 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. - М.: ВЛАДОС, 2003. 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики.- М.: Медицина, 2004. 3. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2005. 2. Дополнительная литература 1. Баврин И.И. Высшая математика.-М.:Академия, 2008. 2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1и Ч.2. –М.: Высшая школа, 2007. 3. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Ч.1и Ч.2. –М.: Айрис-пресс, 2009. 4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2006. 5. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 2007. Практическое занятие № 24 1. Тема: «Контрольная работа № 6» (по материалам занятий № 17-23) Приложение 7 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации СРЕДСТВА ОЦЕНКИ КОМПЕТЕНЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математический анализ» 2012 г. 1. Карта оценки компетенций Коды формируемых компетенций Наименование компетенции Средства оценки Общекультурные компетенции ОК-1 Способность и готовность Экзамен анализировать социальнозначимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной деятельности ОК-5 Способность и готовность к Экзамен логическому и аргументированному анализу, публичной речи, ведению дискуссии и полемики, редактированию текстов профессионального содержания, к осуществлению воспитательной и педагогической деятельности, к сотрудничеству и разрешению конфликтов, к толерантности Профессиональные компетенции ПК -1 Способность и готовность Экзамен выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, анализировать результаты естественнонаучных исследований ПК -2 Способность и готовность к Экзамен анализу медицинской информации при помощи системного подхода, к восприятию инноваций в целях совершенствования своей профессиональной деятельности, к использованию полученных теоретических, методических знаний и умений по фундаментальным естественнонаучным дисциплинам в научно-исследовательской, лечебно-диагностической, педагогической и других видах работ ПК -4 способность и готовность анализировать закономерности функционирования отдельных органов и систем, использовать основные методики оценки функционального состояния организма человека, принципы тестирования психологических свойств личности человека, понимание процессов старения организма, физиологических особенностей стареющего организма для более успешной лечебно-диагностической деятельности Экзамен ПК -5 способность и готовность интерпретировать результаты современных диагностических технологий, понимать стратегию нового поколения лечебных и диагностических препаратов, методов диагностики и лечения Экзамен ПК -6 способность и готовность Экзамен интерпретировать результаты оценки иммунного статуса, обосновать проведение клиникоиммунологического обследования больного, оценивать эффективность иммунокоррегирующей терапии, выполнять основные врачебные диагностические мероприятия при оказании первой врачебной помощи при неотложных и угрожающих жизни состояниях, связанных с иммунными нарушениями ПК -19 способность и готовность Экзамен использовать методы оценки и коррекции естественных природных, социальных и других условий жизни, проводить санитарно-просветительскую работу, консультирование пациентов по медицинским проблемам, лежащим в сфере своей профессиональной деятельности ПК -21 способность и готовность к Экзамен научно-обоснованному применению современных методик сбора и обработки информации о состоянии здоровья населения, деятельности различных типов медицинских организаций, к медико-статистическому анализу информации, характеризующей состояние здоровья населения в целях разработки научнообоснованных рекомендаций по его улучшению, к анализу показателей деятельности различных медицинских учреждений, направленных на оптимизацию их функционирования, к использованию современных организационных технологий ПК -24 способность и готовность Экзамен прогнозировать направление и результат биохимических и физико-химических процессов и явлений, химических превращений биологически важных веществ, происходящих в клетках различных тканей организма человека, а также методы их исследования, решать ситуационные задачи, моделирующие физико-химические процессы, протекающие в живом организме ПК -25 способность и готовность понимать Экзамен и анализировать биохимические, физико-химические, молекулярнобиологические механизмы развития патологических процессов в клетках и тканях организма человека ПК -27 способность и готовность анализировать информацию, полученную с помощью методов светооптической и других видов микроскопии, оценивать морфологические изменения при различных заболеваниях и патологических процессах ПК -28 способность и готовность Экзамен проводить аналитическую работу с источниками научной, научнопрактической, аналитической, справочной, нормативной информации, провести патентный поиск и регламентированные процедуры, необходимые для защиты интеллектуальной собственности ПК -30 способность и готовность разрабатывать и внедрять в практику новые методы исследования и анализа, основанные на современных и Экзамен Экзамен перспективных технологиях ПК -31 способность и готовность к чтению Экзамен лекций, проведению лабораторных, практических, клиникопрактических занятий с обучающимися по естественнонаучным, медикобиологическим и клиническим проблемам в медицинских вузах и колледжах ПК -33 способность и готовность к Экзамен проведению научно-популярной деятельности по актуальным вопросам медицинской биохимии, медицины среди различных слоев общества 2. Оценочные средства для проведения текущего контроля успеваемости студентов: - перечень заданий для контрольных работ; - перечень тем курсовых работ; - тесты; - ситуационные задачи; - кейсы; - алгоритмы выполнения манипуляций; - перечень тем рефератов, эссе, докладов; - перечень вопросов для коллоквиумов. Примерные варианты некоторых контрольных работ: Контрольная работа № 5 . Вариант 1. 1. Прямая l перпендикулярна плоскости : 2 x y 4 z 5 0 и проходит через точку пересечения прямой m : x 1 y 3 z 2 0 1 0 с плоскостью : 3x 5 y z 0 . Найдите канонические уравнения прямой l . Исследуйте квадратичную форму L( x1 , х2 , х3 ) 2 х12 х22 6 х32 2 х1 х2 2 х1 х3 2 х2 х3 на знакоопределённость. 2. 3. Исследуйте числовой ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения. 4. Найдите интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда с помощью признаков Коши или Даламбера абсолютной сходимости. 5. Найдите область определения и линию 2-уровня функции f ( x, y) 2 y x и изобразите их на координатной плоскости. 3. Оценочные средства для промежуточной аттестации студентов: - перечень зачетных и экзаменационных вопросов. Программа экзамена 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Функции и способы их задания. 3. Монотонные числовые функции. Ограниченные функции. 4. Композиция функций (сложная функция). Обратная функция. 5. Предел функции в точке; случаи бесконечных точек. Предел числовой последовательности как частный случай. Арифметические свойства пределов. Односторонние пределы. 5+. Определения наклонной и вертикальной асимптот графика функции. Критерий наклонной асимптоты. Алгоритм поиска наклонных асимптот (см. ПЗ № 6 первого семестра). 6. Первый и второй замечательные пределы; их следствия. 7. Бесконечно малые функции (б.м.ф.) в точке. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции (б.б.ф.) в точке. Теорема о связи б. м.ф. и б.б.ф. Свойства бесконечно больших функций. 8. Сравнение б.м.ф. и б.б.ф. Теоремы о замене б. м. ф. (б.б.ф.) в их отношении и в их произведении на эквивалентные им б.м.ф. (б.б.ф.). Таблица эквивалентных б.м.ф. в точке 0. 9. Непрерывность функции в точке (на «языке », на «языке пределов», на «языке приращений»). Примеры ( f ( x) C , f ( x) x , f ( x) sin x ). Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного и композиции непрерывных функций. 10. Точки разрыва I и II рода функции. Скачок функции. Точка устранимого разрыва. 11. Свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема Больцано -Коши, теорема Вейерштрасса, их следствия). 12. Теорема о непрерывности обратной функции. Элементарные функции и их непрерывность. 13. Задачи, приводящие к понятию производной (о скорости прямолинейно движущейся точки; о силе тока; о скорости химической реакции). 14. Определение производной. Механический смысл производной. 15. Определение дифференцируемости функции. Дифференциал. Критерий дифференцируемости. Единственность дифференциала. Непрерывность как необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости. 16. Арифметические свойства производной. 17. Теоремы о производной композиции функций (сложной функции) и о производной обратной функции; их механические смыслы. 17+. Производные основных элементарных функций («таблица производных»). Дифференцирование степенно-показательной функции (см. ПЗ № 9 первого семестра). 18. Определение касательной (наклонной и вертикальной) к графику функции. Критерий существования касательной. Уравнение касательной. Геометрические смыслы производной и дифференциала. Примеры вертикальных касательных. 19. Производная n-го порядка. Механический смысл второй производной. 20. Дифференциал композиции функций (сложной функции). Инвариантность формы (первого ) дифференциала. 21. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность n–го дифференциала при n 2 . 22. Свойства функций, дифференцируемых на промежутках (теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа ). 23. Теорема о взаимосвязях монотонности функции и знака её производной на интервале. Критерии постоянства и нестрогой монотонности функции на интервале. Случаи присоединения концов к интервалу монотонности. 24.Точки максимума и минимума функции (точки экстремума). Необходимое условие точки экстремума, его недостаточность. Критические точки, стационарные точки функции. 25. Первое достаточное условие точки экстремума (в терминах f ). Второе достаточное условие экстремума (в стационарной точке; в терминах f ). 26.Определение выпуклости функции вверх (вниз) на интервале (в терминах касательных). Критерий выпуклости дифференцируемой функции (в терминах f ). Достаточное условие выпуклости функции (в терминах f ). Определение точки перегиба функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба (в терминах f ). 27.Задача о нахождении закона движения точки по её известной скорости как пример одной из основных задач интегрального исчисления. Определение первообразной функции на промежутке. Теорема о структуре множества всех первообразных функции на промежутке; её геометрическая иллюстрация. 28.Неопределённый интеграл функции. 29.Свойства неопределённого интеграла. 29+.Некоторые основные интегралы («таблица интегралов»). «Неберущиеся» интегралы, их примеры (см. ПЗ № 17 первого семестра). 30.Основные методы интегрирования: элементарный способ интегрирования; метод интегрирования по частям; метод интегрирования подстановкой (подведением под знак дифференциала); метод интегрирования заменой переменного. 31. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: задача о площади криволинейной трапеции; задача о работе переменной силы. 32. Определение (определённого) интеграла функции по отрезку (подробно). Геометрическое и механическое истолкования (определённого) интеграла. 33. Необходимое условие интегрируемости функции и его недостаточность. Достаточные условия интегрируемости (непрерывность, монотонность и др.) Интегрируемость элементарных функций. 34. Свойства определённого интеграла: вынесение постоянного множителя (однородность); аддитивность интеграла по функции; интегрируемость по подотрезку; . аддитивность интеграла по отрезку; обобщённая аддитивность интеграла по отрезку; интегрирование неравенств; теорема о среднем. 35. Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. 36. Интегрирование по частям в определённом интеграле. 37. Интегрирование заменой переменного в определённом интеграле. 38. Несобственные интегралы (несобственные интегралы 1 рода). по неограниченным промежуткам 39. Несобственные интегралы от неограниченных функций по ограниченным промежуткам (несобственные интегралы 2 рода). 40. Некоторые приложения определённых интегралов: вычисление площадей плоских фигур (площадь подграфика, площадь междуграфика; площадь фигуры в полярной системе координат); вычисление объёмов тел (объём тела с известными площадями параллельных сечений; объём тела вращения); вычисление длины плоской кривой (длина параметрически заданной кривой; длина графика функции); вычисление площади поверхности вращения (для вращающейся параметрически заданной кривой; для вращающегося графика функции). 2 семестр 1. Матрицы и действия над ними: матрицы размера m n , матрица-строка и матрицастолбец, квадратная матрица и её порядок, равные матрицы, сумма матриц, коммутативность и ассоциативность сложения матриц, нуль-матрица, разность матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, некоммутативность умножения матриц, ассоциативность умножения матриц, единичная матрица как нейтральная относительно умножения, транспонированная матрица к заданной матрице. 2. Определители квадратных матриц: определители квадратных матриц 1-го и 2-го порядка; определители квадратных матриц 3-го порядка, правило «треугольников» и правило Саррюса; свойства определителей; миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы; теорема о разложении определителя по строке (столбцу); определители n-го порядка, их свойства, свойство: А В А В . 3. Обратная матрица: обратная матрица для заданной квадратной матрицы, вырожденные и невырожденные матрицы, теорема о существовании и нахождении обратной матрицы для заданной невырожденной матрицы. 4. Решение систем линейных уравнений матричным методом: система линейных уравнений (с.л.у.) из n уравнений с n неизвестными, её матрица и главный определитель, решение системы, совместные и несовместные системы; матричный вид с.л.у. и её решение в матричном виде. 4+. Совместные и несовместные с.л.у., определённые и неопределённые с.л.у.; равносильные с.л.у., преобразование с.л.у. к равносильной ей с.л.у. с помощью элементарных преобразований; метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения с.л.у. (см. ПЗ № 4 второго семестра). 5. Комплексные числа, различные формы их представления. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера: комплексные числа в алгебраической форме и их изображение на координатной (комплексной) плоскости; тригонометрическая форма комплексного числа; арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме; действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в целую степень, извлечение корней n – ой степени; формулы Эйлера; показательная форма комплексного числа. 6. Метод координат на плоскости: прямоугольная декартова система координат на плоскости (п.д.с.к.), координаты точки в п.д.с.к.; нахождение координат вектора по координатам его начала и конца; нахождение расстояния между двумя точками; уравнение линии в заданной п.д.с.к. 7. Уравнения прямых на плоскости: направляющий вектор прямой; параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку и с заданным направляющим вектором; каноническое уравнение прямой с заданным направляющим вектором; общее уравнение прямой, смыслы векторов p( B, A) и n( A, B) для прямой l : Ax By C 0 ; каноническое уравнение прямой, заданной двумя точками; уравнение прямой «в отрезках»; уравнение прямой с угловым коэффициентом. 7+. Вычисление расстояния от точки до прямой; нахождение угла между прямыми (см.ПЗ № 7 второго семестра). 8. Кривые второго порядка: кривая второго порядка и её невырожденные случаи: эллипс, гипербола и парабола, их геометрические определения, канонические уравнения и основные свойства. 8+. П.д.с.к в пространстве , координаты точки в п.д.с.к.; нахождение координат вектора по координатам его начала и конца; нахождение расстояния между двумя точками; уравнение поверхности в заданной п.д.с.к.; линейное уравнение как общее уравнение плоскости, смысл вектора n ( A, B, С ) ; уравнение плоскости «в отрезках»; уравнение плоскости с заданными направляющими векторами, проходящей через заданную точку; уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору; задание прямой в пространстве системой двух линейных уравнений (общие уравнения прямой); канонические уравнения прямой, заданной некоторой своей точкой и направляющим вектором; канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (см. ПЗ № 9 первого семестра). 8++. Квадратичные формы: квадратичная форма (к.ф.) одной, двух, трёх и более переменных, её общий вид; матрица к.ф.; положительно (отрицательно, неотрицательно, неположительно) определённая к.ф., знаконеопределённая к.ф.; критерий Сильвестра (см. ПЗ № 11 второго семестра). 9. Числовые ряды: числовой ряд, частичные суммы ряда, сходящийся ряд и его сумма, расходящийся ряд; невлияние отбрасывания или добавления любого конечного числа членов ряда на его сходимость и расходимость; теоремы об умножении сходящегося ряда на число и о сумме двух сходящихся рядов; необходимое условие сходимости ряда и его следствие (достаточное условие расходимости ряда); гармонический ряд, ряды Дирихле, геометрические ряды; сходимость ряда, у которого сходится ряд из его модулей; абсолютно и неабсолютно (условно) сходящиеся ряды. 9+. Положительный ряд; первый признак сравнения положительных рядов (допредельный) и его следствие; второй признак сравнения положительных рядов (предельный); признак Даламбера для положительных рядов; признак Коши для положительных рядов; знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница (см. ПЗ № 12 и № 13 второго семестра). 10. Функциональные ряды. Степенные ряды: функциональный ряд (ф.р.), его точки сходимости и расходимости, множество сходимости и сумма ф.р.; степенной ряд (с.р.), теорема о существовании интервала сходимости с.р., интервал и радиус сходимости с.р. 10+. Признак Даламбера абсолютной сходимости ряда; признак Коши абсолютной сходимости ряда; их применения к нахождению интервалов и радиусов сходимости с.р. (см. ПЗ № 14 второго семестра). 11. Функция нескольких переменных, её предел и непрерывность: определение функции двух переменных (ф.2 п.), её области определения и множества значений; график ф.2 п., линии с - уровня; определение предела и непрерывности ф.2п.; непрерывность элементарных ф.2 п. 12. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных: определение частных производных и дифференциала ф.2 п. 12+. Частные производные второго порядка (см. ПЗ № 15 второго семестра и учебник). 13. Общее понятие площади плоской фигуры: верхняя грань числового множества; многоугольная фигура; внутренняя площадь фигуры; внешняя площадь фигуры; квадрируемая фигура и её площадь; внутренние, внешние и граничные точки фигуры; граница фигуры; замкнутая фигура; неперекрывающиеся фигуры; аддитивность площади. 14. Некоторые задачи, приводящие к двойному интегралу: задача о массе плоской неоднородной материальной пластины; задача об объёме подграфика ф.2 п. 15. Двойной интеграл и егосвойства: разбиение плоского множества и его мелкость; набор, подчинённый разбиению; интегральная сумма функции по разбиению и набору; предел интегральных сумм; интегрируемая по множеству функция и её (двойной) интеграл; неинтегрируемая по множеству функция; физический и геометрический смыслы двойного интеграла; достаточное условие интегрируемости (существования двойного интеграла); свойства двойного интеграла (однородность, аддитивность по функции, аддитивность по множеству интегрирования). 16. Некоторые применения двойных интегралов: нахождение массы плоской неоднородной материальной пластины; нахождение объёма подграфика ф.2 п.; нахождение площади плоской фигуры; нахождение площади поверхности в пространстве (площади графика ф.2 п.). 17. Вычисление двойных интегралов: междуграфики 1-го и 2-го типов и вычисление двойного интеграла по ним. 17+. Формула замены переменных «переход к полярным координатам» в двойном интеграле (см. ПЗ № 18 второго семестра). 18. Дифференциальные уравнения и некоторые задачи, приводящие к ним: понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении (д.у.) и д.у. в частных производных; простейшие задачи, приводящие к д.у. 19. Обыкновенное дифференциальное уравнение n - го порядка, его решение и задача Коши для него: определение (обыкновенного) д.у. n - го порядка и его решения; задача Коши для д.у. n - го порядка и его частные случаи (при n=1 и при n=2). 20. Дифференциальное уравнение первого порядка: общий вид д.у. первого порядка; д.у. первого порядка, разрешённое относительно производной; д.у. первого порядка в дифференциалах; общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; частное решение и частный интеграл. 21. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: д.у. с разделёнными переменными; д.у. с разделяющимися переменными; случаи приведения д.у. первого порядка в дифференциалах и д.у. первого порядка, разрешённого относительно производной, к д.у. с разделёнными переменными. 21+. Интегрирование д.у. с разделёнными переменными; дифференциальные уравнения, однородные относительно x и y; линейные дифференциальные уравнения первого порядка; линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; некоторые применения дифференциальных уравнений первого порядка в математическом моделировании (радиоактивный распад, размножение бактерий, увеличение фермента, динамика численности популяции) (см. ПЗ № 20, 21, 22, 23 второго семестра). Замечания: 1. Номера вопросов и выделенные подчёркиванием слова соответствуют номерам и названиям параграфов лекций. 2. Вопросы, номера которых содержат знак +, рассмотрены на практических занятиях (на лекциях они не рассматривались). 3. При изложении конкретного вопроса надо уметь привести соответствующие примеры (см. лекции и учебники). 4. Необходимо уметь доказывать те утверждения, доказательства которых приведены на лекциях или даны в качестве упражнений. Примеры экзаменационных билетов: Экзаменационный билет № 1 1. Непрерывность функции в точке (на «языке пределов», на «языке приращений»). », на «языке 2. Определение производной. Механический смысл производной. 3. Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная. 4. Вычисление двойного интеграла по междуграфику 1-го типа. 5. Некоторые применения дифференциальных уравнений первого порядка: задача о размножении бактерий.
