s

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа
Самая общая формулировка закона движения системы с s степенями свободы дается
принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу,
каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция
Лагранжа зависит от обобщенных координат qi t  , обобщенных скоростей q i t  и времени t :
L (q1, q2,....qs; q1, q2,....q s; t )  L (qi ; q i ; t )
i
 1,2,....s
(1)
Для сокращения записи обычно пишут:
L (q1, q2 ,....qs; q1, q 2 ,....q s; t )  L (q; q; t )
(2)
Пусть в начальный и конечный моменты времени t  t 1 и t  t 2 , положение всех точек
системы
qi t
характеризуются
 t 1   q1 и
qi t
двумя
наборами
i
 t 2   q2 ;
значений
обобщенных
координат:
 1,2,....s . Тогда интеграл по времени
t2
S   L qt ; q t ; t dt
(3)
t1
называется действием для данной механической системы.
Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция
; t  для данной системы. Тогда, между начальным q
Лагранжа L q; q
1
и конечным
q2 положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел
наименьшее значение:
t2
S   L qt ; q t ; t dt  min
(4)
t1
Только те функции q1 t ,....qs t  , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут
являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для
истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы.
Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.
Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы:
s  1; q1  qt  . Пусть в моменты времени t  t 1 и t  t 2 система находилась в заданных
положениях qt  t 1   q
1
и qt  t 2   q
2
~t  , «близкую» к
. Рассмотрим траекторию q
~t   qt   gt 
qt  и проходящую через те же самые точки q1 и q2 q
1
q
Функция gt  является «малой» добавкой к qt  :
qt   gt   qt  .
Понятно,
что
2
q(2)
q(t)
для
q+g
начального и для конечного положения системы
gt 1   gt 2   0 (см. рисунок). Тогда, для новой
q(1)
1
~ t  будем иметь
обобщенной скорости q
~ t   q t   g (t )  q t   dg(t )
q
dt
t1
Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:
S  Sq  g; q  g; t   Sq; q; t   0
t2
(5)
Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции f x  : в
тех точках, где функция f x  имеет минимум или максимум, её производная df x  / dx  0 .
Следовательно, равен нулю и её дифференциал: df  0 . Формула (5) фактически обобщает
признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.
Вычислим эту вариацию S . Учитывая, что при gt   0
L q  g; q  g; t   L q; q; t  
L
L d g
,
g(t ) 
q
q dt
запишем
t2
  L
L d g 
S    gt  
dt


q

q
dt


t1
Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что gt 1   gt 2   0 :
t2
t2
t2
t2
t1
t1


  L d g 
L
d  L  
d  L  







dt


g
t

g
t
dt


g
t


  dt







 q dt

q
dt

q
dt




 q  





t1
t1
Теперь условие экстремальности действия запишется так:
t2

 L
d L 
S   gt 

dt  0

 q dt q 
t1
2
(6)
Поскольку функция gt  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в
случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:
d  L q; q; t   L

 
0
dt 
q

q

(7)
Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид
уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф.
Лагранжа речь пойдет ниже.
Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка,
его общее решение зависит от двух произвольных констант: q  qt ; c1, c2  . Чтобы определить
эти константы необходимо задать два начальных условия: qt  0  q0 и q t  0  q 0 .
Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы
необходимо решить задачу Коши:
d  L q; q; t   L

 
; qt  0  q0 ; q t  0  q0
dt 
q

q

(8)
Если система имеет s степеней свободы ( L  L (qi ; q i ; t ) i  1,2,...s), то вариацию действия
нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате qi t  . В результате
получим систему однотипных s уравнений с 2s начальными условиями:
 d  L 
 
 

dt

q


1

 d  L 
 

s  dt  q 2 
     

 d  L 

 
 dt  q s 
L
;
q1
L
;
q2
L
;
qs
q1 t  0  q10 ; q1 t  0  q10 ;

q2 t  0  q20 ; q 2 t  0  q 20 ;
2s 
. . . . . .
qs t  0  qs ; q s t  0  q s
0
0

(9)
В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:
d  L

dt  q i
 L
 
; qi t  0  qi 0 ; q i t  0  q i 0

q

i
i  1,2,3........
s
Основные свойства функции Лагранжа:
3
(10)
1. Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не
изменяются.
2. Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.
Пусть
система
АВ
состоит
из
двух
подсистем:
А и
В.
Её
Функция
Лагранжа
L АВ (qА , q А ; qВ , q В ; t ) будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц
подсистемы А, т.е. от (qА , q А ) , и всех частиц подсистемы В, т.е. от ( qВ , q В ) . Предположим
теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое
расстояние: r АВ   (см. рисунок).
A
A
B
B
r AB  
B
Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо
и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ
должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В,
соответственно:
d L qА ; q А ; t 
L

dt
q А
qА
и
d L qВ ; q В ; t 
L

dt
q В
qВ
Для этого необходимо, чтобы
lim L АВ (qА , q А ; qВ , q В ; t )  L А (qА , q А ; t )  L В (qВ , q В ; t )
r АВ  
(11)
3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной
производной по времени от произвольной функции координат и времени.
 ; t   L q, q ; t   df qt ; t  / dt , где f q; t  - произвольная
Действительно, пусть L q, q
; t  :
функция. Запишем действие S , используя ф. Лагранжа L q, q
S 
df qt ; t 
 dt dt
t
t2
t2
t2
t1
t1
1
 L q, q; t dt 
 L q, q; t dt 
Следовательно
4
S  S  f qt 2 ; t 2   f qt 1 ; t 1 
Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации
действия. Поэтому S  S при любом виде функции f q; t  , а уравнения Лагранжа будут
; t  или
иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа L q, q
L q, q; t  мы выбираем.
5