Программа по курсу математического анализа

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. И.Г. Царьков
отделение механики
1 курс, 1 семестр
1. Понятие множества. Операции над множествами. Законы Моргана. Понятие отображения.
2. Множество действительных чисел. Аксиома непрерывности. Принцип полноты Вейерштрасса существования точной верхней и нижней граней.
3. Право и лево индуктивные множества и их свойства. Целые и натуральные числа.
4. Принцип Архимеда. Целая часть действительного числа. Принцип математической
индукции. Неравенство Бернулли, бином Ньютона.
5. Геометрическое представление множества действительных чисел. Принцип полноты
Кантора – теорема о вложенных отрезках.
6. Открытые и замкнутые множества. Лемма Бореля-Лебега.
7. Предельные и изолированные точки. Критерий замкнутости.
8. Понятие равномощности множеств. Счетность Q. Несчетность R.
9. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства.
Бесконечно малые последовательности.
10. Арифметические свойства предела последовательности. Теоремы о сохранении
знака и переходе в неравенствах к пределу. Теорема о 2-х милиционерах.
11. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности. Число e и его представление числовым рядом.
12. Расширенная числовая прямая. Пределы типа “e”.
13. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Верхний и нижний пределы. Критерий Коши сходимости последовательности.
14. Предел функций и его свойства. Эквивалентность определений предела в смысле
Коши и Гейне. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
15. Арифметические свойства предела. Теоремы о 2-х милиционерах, о сохранении
знака и о переходе в неравенствах к пределу. Критерий Коши существования предела
функции.
16. Односторонние пределы и их свойства. Пределы монотонных функций.
17. Функции, непрерывные в точке, и их свойства. Непрерывность сложной функции.
18. Классификация особых точек и точек разрыва. Особые точки и точки разрыва монотонных функций.
19. Промежутки и свойство выпуклости в R. Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.
20. Лемма о продолжении монотонной функции. Мощность множества точек разрыва
монотонной функции.
21. Критерий непрерывности монотонной функции и следствие из него. Непрерывность обратной функции.
22. Функции, непрерывные на компакте. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
23. Показательная функция и ее свойства. Непрерывность показательной функции.
24. Непрерывность степенных, тригонометрических и обратных к ним функций. Непрерывность элементарных функций.
25. Замечательные пределы. Эквивалентные функции. Таблица эквивалентностей.
26. Свойства эквивалентных функций. Значения эквивалентных функций.
27. Предел по базе и его свойства.
28. Арифметические свойства предела по базе, теорема о пределе композиции. Критерий Коши сходимости по базе.
29. Производная, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость
функции, дифференциал и его геометрический смысл. Непрерывность дифференцируемой
функции.
30. Свойства дифференцируемых функций. Производная сложной и обратной функции. Производные некоторых элементарных функций.
31. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница, инвариантность дифференциала 1-го порядка.
32. Экстремумы функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
33. Достаточные условия монотонности. Доказательство неравенств при помощи производных.
34. Раскрытие неопределенностей 0 0 ,   .
35. Формулы Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формулы
Тейлора некоторых элементарных функций.
36. Ряды Тейлора и их сходимость. Разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций.
37. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость и вогнутость функции в точке, точки перегиба.
38. Свойства функций с монотонной производной на интервале. Критерий выпуклости
функции на отрезке.
39. Неравенства Йенсена, Юнга, Гёльдера, Коши-Буняковского, Минковского.
40. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства. Таблица интегралов.
1 курс, 2 семестр
1. Суммы Дарбу и их свойства. Определенные интегралы Римана и РиманаСтильтьеса.
2. Критерии Дарбу для интегралов Римана и Римана-Стильтьеса. Базы B и B .
3. Интеграл Римана-Стильтьеса как предел сумм Римана-Стильтьеса по базам B  и
B  . Теорема Римана. Достаточные условия интегрируемости.
4. Критерий Лебега интегрируемости функции.
5. Теорема о композиции с непрерывной функцией. Арифметические свойства интеграла Римана-Стильтьеса.
6. Интегральные неравенства, неравенства Гёльдера, Коши-Буняковского и Минковского. Аддитивное свойство интеграла Римана-Стильтьеса как функции отрезка. 1-я теорема о среднем.
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена
переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле Римана.
8. Формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, формах Коши и Лагранжа. Оценка частичных сумм через интеграл. Вычисление интеграла РиманаСтильтьеса.
9. Функции, ограниченной вариации и их свойства. Функция полной вариации и ее
свойства. Тождество Абеля.
10. Интеграл Римана-Стильтьеса относительно функции ограниченной вариации.
Формула интегрирования по частям. 2-я теорема о среднем, формула Бонне.
11. Несобственные интегралы Римана. Критерий Коши сходимости несобственного
интеграла. Теоремы Вейерштрасса и сравнения.
12. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Теорема Фруллани.
13. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Формула Стирлинга.
14. Евклидовы и полуевклидовы пространства. Неравенство Шварца и треугольника.
Линейные нормированные пространства. Метрические пространства.
15. Открытые и замкнутые множества в метрических и топологических пространствах.
Критерий замкнутости. Предел по базе.
16. Пределы и непрерывность в метрических пространствах. Критерий непрерывности
функции на топологическом пространстве. Непрерывность сложной функции.
17. Полнота метрических пространств. Критерий Коши существования предела по базе.
18. Пределы и непрерывность в R n . Полнота R n . Арифметические свойства предела
по базе. Кратные и повторные пределы.
19. Кривая в R n . Критерий спрямляемости пути. Понятие длины кривой.
20. Компакты в метрических пространствах и их свойства. Критерий компактности в
метрических пространствах.
21. Компакты в R n . Критерий компактности в R n . Теоремы Больцано-Вейерштрасса.
22. Функции, непрерывные на компактах, и их свойства. Теоремы Вейерштрасса и
Кантора.
23. Связные и выпуклые множества. Теоремы о промежуточном значении непрерывного отображения.
24. Критерий связности открытого множества в R n . Сжимающие отображения в метрических пространствах.
25. Свойства линейных непрерывных отображений, понятие нормы линейного непрерывного отображения.
26. Дифференцируемость в точке. Производная и дифференциал и их свойства. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Производная по направлению.
27. Дифференцируемость в пространствах R n . Частные производные, матрица Якоби.
Теорема о дифференцировании сложной функции. Геометрический смысл градиента. Достаточное условие дифференцируемости.
28. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о равенстве
смешанных производных.
29. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка.
Теорема о равенстве смешанных производных высших порядков. Формулы Тейлора с
остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано.
30. Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума.
31. Формулы конечных приращений. Теорема о неявном отображении.
32. Теоремы об обратном отображении и локальном диффеоморфизме. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности.
33. Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума.
34. Зависимые функции.
2 курс, 3 семестр
1. Сходимость числового ряда. Критерий Коши и необходимое условие сходимости
ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Абсолютная сходимость. Формула Эйлера.
2. Интегральный признак. Ряд Дирихле. Критерий сходимости знакопостоянных рядов
и теоремы сравнения. Признаки Даламбера и Коши.
3. Признаки Раабе и Гаусса.
4. Знакопеременные ряды. Условная сходимость. Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля сходимости ряда.
5. Перестановка абсолютно и условно сходящихся рядов. Теоремы Коши и Римана.
6. Двойные и повторные ряды. Абсолютная сходимость двойных рядов и их свойства.
7. Произведение числовых рядов. Теорема Коши-Абеля и Мертенса.
8. Бесконечные произведения и их свойства. Критерий Коши сходимости бесконечного
произведения. Формула Валлиса. Критерий сходимости бесконечного произведения.
9. Абсолютная сходимость бесконечного произведения. Критерий абсолютной сходимости.
10. Разложение sin x в бесконечное произведение.
11. Гамма-функция и ее свойства. Формулы Вейерштрасса и Эйлера.
12. Интегральное представление Эйлера для гамма-функции. График гамма-функции.
13. Комплексная дифференцируемость. Свойства комплексно дифференцируемых
функций.
14. Степенные ряды, радиус сходимости. Формулы Даламбера и Коши-Адамара для
вычисления радиусов сходимости степенных рядов.
15. Дифференцируемость степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Функции e z , cos z , sin z и их свойства.
16. Функции ln z , Ln z и их свойства. Критерии сходимости и абсолютной сходимости
бесконечных комплексных произведений.
17. Почленное интегрирование степенных рядов. Теорема о единственности представления степенным рядом.
18. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. Критерий Коши и необходимое условие равномерной сходимости.
19. Признаки Вейерштрасса, Дини, Дирихле и Абеля равномерной сходимости.
20. Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля.
21. Равномерная сходимость параметрического семейства. Теоремы о перестановке
пределов. Критерий Коши равномерной сходимости параметрического семейства.
22. Полнота пространства непрерывных функций на компакте.
23. Критерий компактности в полных метрических пространствах.
24. Теорема Арцела-Асколи.
25. Интегрирование равномерно сходящихся функциональных рядов и последовательностей.
26. Дифференцирование функциональных семейств, рядов и последовательностей.
27. Пример Ван-дер-Вардена непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
28. Собственные интегралы от параметра. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости собственных интегралов от параметра.
29. Несобственные интегралы от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости
несобственного интеграла.
30. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле и Дини равномерной сходимости несобственного интеграла от параметра.
31. Предельные переходы под знаком несобственного интеграла. Теоремы о перестановке порядка интегрирования в повторных интегралах.
32. Вычисление интеграла Дирихле.
33. Свойства интегралов Эйлера: бета-функции, гамма-функции.
34. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их частичные суммы. Экстремальные
свойства частичных сумм Фурье.
35. Неравенства Бесселя, равенство Парсеваля. Единственность представления рядом
Фурье.
36. Пространства L [a, b ] , L 2 [a, b ] . Интегральное представление для тригонометрических частичных сумм Фурье. Ядро Дирихле и его свойства.
37. Плотность кусочно-постоянных финитных и непрерывных функций в L [a, b ] и
L 2 [a, b ] . Пределы lim
A 

b
a
f (x )e
iAx
dx , lim 
b  x 0 g ( x t )  g ( x  0)
0
0
A  0
t
sin At dt .
38. Поточечная сходимость рядов Фурье. Условия Дини и Гельдера. Теорема Дирихле.
Принцип локализации Римана. Поточечная сходимость рядов Фурье для функций ограниченной вариации.
39. Равномерные оценки S n ( f ,  ) и f  S n ( f , ) .
40. Суммы Фейера и их свойства. Теорема Фурье.
41. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Замкнутость тригонометрической системы в L 2 [a, b ] . Равенство Парсеваля.
42. Ядра Джексона и их свойства. Неравенство Джексона. Достаточное условие равномерной сходимости.
43. Ряд Фурье суммы равномерно сходящегося тригонометрического ряда. Простейший признак равномерной сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье. Скорость убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.
44. Почленное интегрирование рядов Фурье. Ряды Фурье 2 l -периодических функций.
Комплексная форма рядов Фурье.
45. Интеграл Фурье. Формула Фурье.
46. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, и их свойства.
2 курс, 4 семестр
1. Объем параллелепипеда. Теорема о стандартном разбиении параллелепипеда.
2. Элементарные фигуры и их свойства. Критерий измеримости множеств по Жордану.
3. Свойства множеств, измеримых по Жордану.
4. Мера Жордана цилиндроидов и параллелепипедов. Линейное преобразование множеств, измеримых по Жордану.
5. Суммы Дарбу, Ω-суммы, верхний и нижний интегралы Римана. Критерий ограниченности функции.
6. Интеграл Римана и его геометрический смысл. Критерий Дарбу интегрируемости по
Риману.
7. Суммы Римана и их свойства. Теорема Римана.
8. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
9. Свойства интеграла Римана. Теорема о среднем.
10. Теоремы Фубини.
11. Свойства С1-диффеоморфизмов. Лемма о верхней мере Жордана окрестности измеримого множества.
12. Теорема о замене переменных в интеграле Римана.
13. Несобственные кратные интегралы. Теорема об абсолютной сходимости несобственного кратного интеграла.
14. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов и их свойства.
15. Ориентация в n. Формула Грина.
16. Потенциальные векторные поля. Критерий потенциальности.
17. Понятие поверхности. Понятие ориентации гладкой поверхности.
18. Площадь С1-поверхности.
19. Понятие кусочно-гладкой поверхности. Ориентация кусочно-гладкой поверхности.
20. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов и их свойства.
21. Формула Гаусса-Остроградского.
22. Формула Стокса.
23. Физический смысл интегралов 1-го и 2-го родов, ротора и дивергенции.
24. Общая формула Стокса.