1 - Институт цветных металлов и материаловедения СФУ

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский федеральный университет»
ИНСТИТУТ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ И ЗОЛОТА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов-заочников всех специальностей
Красноярск
СФУ 2008
УДК 511
Высшая математика: Контрольные задания для студентовзаочников всех специальностей академии / Сост. Т.П. Мансурова (переработано и дополнено); ГУЦМиЗ. - Красноярск, 2005. - 40 с.
Печатается по решению редакционно издательского
совета института
Красноярск
СФУ 2011
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Ниже приведены таблицы номеров задач, входящих в задания на
контрольные работы, по учебным планам. Студент должен выполнять
контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его номера студенческого билета (шифр).
.
Студенты групп ЗМЛ, ЗМЦу (прием 2012) изучающие высшую математику 3 семестра, выполняют:
Контрольные работы № 1, № 2 (1 семестр).
Контрольные работы № 3, № 4 (2 семестр).
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Контрольная работа №1
11
31
51
71
12
32
52
72
13
33
53
73
14
34
54
74
15
35
55
75
16
36
56
76
17
37
57
77
18
38
58
78
19
39
59
79
20
40
60
80
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Контрольная работа №2
121
141
151
122
142
152
123
143
153
124
144
154
125
145
155
126
146
156
127
147
157
128
148
158
129
149
159
130
150
160
3
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
Контрольная работа №3
221
231
251
261
222
232
252
262
223
233
253
263
224
234
254
264
225
235
255
265
226
236
256
266
227
237
257
267
228
238
258
268
229
239
259
269
230
240
260
270
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Контрольная работа №4
371
391
372
392
373
393
374
394
375
395
376
396
377
397
378
398
379
399
380
400
4
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1 – 10. Даны векторы а (а1; а2; а3), b (b1; b2; b3), с (c1; c2; c3) и
d (d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а , b , c образуют
базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
1.
а (2; 1; 3),
b (3; –2; –1),
с (4; 1; 2),
d (9; 0; 4).
2.
а (3; 1; 4),
b (2; 1; –2),
с (–1; 5; –7),
d (7; 2; 2).
5
3.
а (4; 2; 1),
b (–1; 3; 2),
с (3; –1; 1),
d (12; 0; 1).
4.
а (1; 2; 3),
b (2; 3; 5),
с (–1; 3; –2),
d (2; –1; 5).
5.
а (5; 7; 1),
b (–2; 1; –4),
с (3; 2; 1),
d (8; 1; 6).
6.
а (2; 1; 3),
b (–5; 3; –2),
с (4; 2; 1),
d (17; 2; 10).
7.
а (4; 1; 5),
b (3; –5; 1),
с (1; 2; –3),
d (6; 5; –1).
8.
а (1; 3; 4),
b (–2; 1; 3),
с (2; –7; 0),
d (3; 3; 15).
9.
а (6; 1; 3),
b (2; 3; –1),
с (–1; 2; –2),
d (8; 8; –3).
10.
а (6; 3; 1),
b (–1; 3; 4),
с (2; –1; 9),
d (–2; –10; 0).
11 – 20. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между
ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8)
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать
чертеж.
11. А1 (2; 1; –4), А2(1; –2; 3), А3(1; –2; –3), А4(5; –2; 1).
12. А1 (2; –1; 3), А2 (–5; 1; 1), А3(0; 3; –4), А4(–1; –3; 4).
13. А1 (5; 3; 6), А2 (–3; –4; 4), А3(5; –6;8), А4(4; 0; –3).
14. А1 (5; 2; 4), А2(–3; 5; –7), А3(1; –5; 8), А4(9; –3; 5).
15. А1 (7; –1; –2), А2(1; 7; 8), А3(3; 7; 9), А4(–3; –5; 2).
16. А1 (–2; 3; 4), А2(4; 2; –1), А3(2; –1; 4), А4(–1; –1; 1).
17. А1 (0; 4; –4), А2(5; 1; –1), А3(–1; –1; 3), А4(0; –3; 7).
18. А1 (0; –6; 3), А2(3; 3; –3), А3(–3; –5; 2), А4(–1; –4; 0).
19. А1 (2; –1; 3), А2(–5; 1; 1), А3(0; 3; –4), А4(–1; –3; 4).
20. А1 (2; 1; –4), А2(1; –2; 3), А3(1; –2; –3), А4(5; –2; 1).
21. Даны вершины треугольника: А(1; –1), В(–2; 1), С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану,
проведенную из вершины В.
6
22. Даны вершины треугольника: А(2; 1), В(–1; –1), С(3; 2). Составить уравнения его высот.
23. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; –2), С(1; 0).
24. Даны вершины треугольника: А(1; 4), В(3; –9), С(–5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В.
25. Даны три вершины А(2; 3), В(4; –1), С(0; 5) параллелограмма
АВСD. Найти его четвертую вершину D, противоположную вершине В.
26. Даны вершины четырехугольника: А(–2; 14), В(4; –2), С(6; –2),
D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и ВD.
27. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х + 3у + 1 = 0,
2х + у – 1 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 3х + 2у + 3 = 0. Определить координаты вершины этого параллелограмма т.р. (–5, 13).
28. Найти точку Q, симметричную относительно прямой
2х – 3у – 3 = 0.
29. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х – 2у = 0,
х – у – 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3; –1). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.
30. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х + 2у –7= 0,
5х + 2у – 36 = 0 и уравнение его диагонали 3х + 7у – 10 = 0. Составить
уравнения остальных сторон этого прямоугольника.
31 – 40. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить график кривой.
31. x2 + у2 – 4x + 2у = 4;
32. x2 – у2 – 4у – 13 = 0;
2
33. x – 4x + 2у + 2= 0;
34. x2 + 4x + 4у2 + 8у – 5 = 0;
2
2
35. x – 6у – 12x + 36у – 54 = 0;
36. 2x2 + 4x + 18у2 – 16= 0;
37. 2x2 + 2у2 + 4x – 8у – 8 = 0;
38. –x + у2 + 2у = 0;
2
2
39. 3x + 5у + 12x – 10у + 2 = 0;
40. 4x2 – 3у2 – 8x – 6у – 11 = 0.
41 – 50. Линия задана уравнением r = r() в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от =0 до
=2и придавая значения через промежутки /8; 2) по рисунку определить тип линии.
41. r 
16
5  3 cos 
42. r 
7
16
3  5 cos 
5
1  cos 
2
45. r 
1  cos 
3
47. r 
4  4 cos 
3
49. r 
2  cos 
15
4  cos 
3
46. r 
1  2 cos 
6
48. r 
2  cos 
8
50. r 
3  cos 
43. r 
44. r 
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
51 – 60. Дана система линейных уравнений
 a11x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
Доказать ее совместность и решитьтремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления.
Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
51.
53.
55.
57.
2 х  3 y  4 z  9

 x  2y  z  0
 3x  y  2 z  4

4 х  y  3z  12

 2x  3 y  z  0
 x  2y  z  1

5 х  2 y  3z  8

 7 x  y  2z  3
 x  4y  z  6

 4х  3 y  z  6

 x  5 y  2z  5
5 x  y  3z  1

52.
54.
56.
58.
8
 3х  2 y  z  7

 x  y  5z  3
4 x  2 y  7 z  0

 х  2y  z  2

2 x  3 y  3z  1
 3x  5 y  2 z  5

2 х  5 y  4 z  17

 x  3 y  2z  3
 3x  2 y  z  10

х  2 y  2z  3

3x  y  7 z  3
 4 x  3 y  15

 6х  2 y  z  8

 x  3 y  2 z  11
3x  y  2 z  3

59.
60.
 6 х  y  2 z  2

3x  3 y  z  10
 x  4 y  9z  0

61 – 70. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
61.
63.
65.
67.
69.
 1

А 1
1

 4

А 1
 3

3

А   2
 4

2
2
3
3
2
2
2
3
3
 1 3

А   1  3
 1 2

 4 1

А   3 1
 1
1

3 

1 
 4 
1

1
 1
1

 1
 1
4 

 2
 3 
3 

 2
 2 
62.
64.
66.
68.
70.
 2

А   2
 3

 1

А 1
1

3

А   2
 3

3

А 4
 2

 1

А 1
 1

1
1
1
3
4
1
2
3
4
1
1
1
4
3
2
1 

3 
 4 
 2

3 
 2 
 1

1
 1
 2

3 
 3 
3 

 2
 3 
71 – 80. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z
в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения w3 + z = 0.
71.
74.
2 2
1 i
2 2
z
1 i
z
72.
z
75.
z
4
1 i 3
4
1 i 3
9
73.
z
76.
z
2 2
1 i
1
3 i
77.
z
80.
z
4
1 i 3
1
78.
z
2 2
1 i
z
79.
4
3 i
3 i
3.ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
81 - 85. Построить график функции
y  A  sin(ax  b) преобразо-
ванием графика функции y  sin x .
x 
y  2sin   1
2 


y  3sin  2 x  
3

y  2sin( x  1)
81.
83.
85.
82.
y  3sin(2 x  2)
84.
1
y  sin( x  1)
2
86 - 90. Построить график функции y  A  cos(ax  b) преобразованием графика функции y  cos x .
5
cos  2 x  1
2
3
y   cos  x  1
2
3
y  cos  2 x  2 
2
y
86.
88.
90.
87.
89.
1
y   cos(3x  2)
2
x 
y  2cos   1
2 
91 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
91. a) lim
4  х 2  3x3
x 
в) lim
x 0
х3  3
3x
2 x  6 х3
; б) lim
x 1
x 2  3x  2
x2  х
;
arctg5 x
 х4
; д) lim 

x 0 sin 2 x
x   х  1 
; г) lim
10
4х
.
92. a) lim
7 x 2  3x  7
x2  5
x 
5x 2
в) lim
x 0
; г) lim
5x 2
9 x 4  5 х 2  3х
2 х  х6
x2  2х
x 2
94. a)
lim
в) lim
x 5
x 2  25
95. a) lim
x 0
10 x 3  2 х  3
4x2
96. a) lim
x2  1
1  cos 4 x
4x2
; б) lim
x  1
2 х 1
.
;
 х7
; д). lim 

x   х 
x3  3х 2  2 х
х2  х
5 х 1
;
 2х2  3 

; г) lim
; д) lim 
x   2 х 2  5 
x 0 cos 5 x  cos3 5 x
7  2 х  3x 2
4  х 2  16
x 0
 4х  1 
; д) lim 

x   4 х  1 
4х2
x  6 x 2  х  5
в) lim
; б) lim
;
x 1 3 x 2  4 х  7
; г) lim
x  4  x 2  5 х 3
4х  5  5
x3  8
cos2 x  cos4 x
x  3 x 4  5 х  7
в) lim
2 x 2  3x  2
x 2
x 0
x2  4  2
93. a) lim
; б) lim
; б) lim
x3  8
x  2 3х 2  7 х  2
arcsin 9 x
 2х  3 
; д) lim 

x 0 tg 3 x
x   2 х  5 
x  2 x 3  х 2  х
; б) lim
х 2  5х  4
x  1 3 x 2  5 х  2
4 х 5
.
.
 3х 2  7 
2  3х  4  х

в) lim
; г) lim sin 4 x  ctg8 x ; д) lim 
4x  4
x  3 х 2  5 
x 0
x 1
11
.
;
; г) lim
5  3х  4 х3
х2 4
6 х 2 1
.
97. a)
8х 4  5х 2  2
lim
3x  2 х 4
x 
х3  5 х
в) lim
x 1
3x 2  3
;
x 2 2 x 2  3x  2
14 х  3
arctg5 x
 7х  2 
; д) lim 

x  0 sin 10 x
x  7 х  1 
; г) lim
5х3  7 х 2  3
98. a) lim
х 4  16
; б) lim
x  x 3  9 х  9
5х 2  8х  4
; б) lim
x3  8
x 2
.
;
 2х2  1 
arcsin 2 4 x

в) lim
; г) lim
; д) lim 
x  2 х 2  3 
x 3 3х  8  х  2
x 0 x  tg 2 x
х2  9
99. a) lim
2 х 3  3х  7
x  4 x 3  х 2  2
x  2  2x
в) lim
x 2
x3  4 x
; г) lim
2х  2  7  х
x 3
x  arcsin 5 x
4  3х  5 х 2
x  x 2  х  1
2 x 2  18
х2  2х  1
x  1 x 2  3х  4
x 0
100. a) lim
в) lim
; б) lim
tg 2 3 x
; б) lim
x 2
6 х 2 5
.
;
 8х  3 
; д) lim 

x   8 х  1 
x 4  3х3  2 х 2
x2  4х  4
6х7
.
;
10 х 3
 5х  2 
 1

; г) lim 
 ctgx  ; д) lim 

x  5 х  1 
x 0 sin x

.
101 – 110. Задана функция y = f(x) и два значения аргумента x1 и x2.
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или
разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
1
101. f ( x)  8 х  3 ,
102. f ( x) 
1
2

4 x
,
x1 = 0, x2 = –3.
x1 = 0, x2 = 2.
12
1
103. f ( x)  9 4  х ,
x1 = 2, x2 = 4.
104. f ( x) 
1
3 х 1
,
x1 = 1, x2 = –1.
105. f ( x) 
1
2 6 х
,
x1 =4, x2 = 6.
106. f ( x)
1
 16 3 х
,
x1 = 1, x2 = 3.
107. f ( x) 
1
4

4 х
108. f ( x) 
1
9 х 1 ,
x1 = 1, x2 = –1.
109. f ( x) 
1
3 4 х
,
x1 = 2, x2 = 4.
110. f ( x) 
1
2 3 х
,
x1 = 1, x2 = 3.
,
x1 = 2, x2 = 4.
111 - 120. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции,
если они существуют. Сделать чертеж.
 x  2, x  0

111. f ( x)   x 2 , 0  x  2 ;
 2 x, x  2

 sin x, x0

112. f ( x)  3x, 0  x  1 ;
 1, x  1


 x, x  0


113. f ( x)  tgx, 0 x  ;
4

 3, x  

4
 cos x, x  0

114. f ( x)  1  x, 0  x  1 ;

2, x  1

 2x , x  0

115. f ( x)  1, 0  x  1 ;
 3  x, x  1

 x 2  1, x  0

116. f ( x)   x  1, 0  x  1 ;

2, x  1

13
 3х , x  0

118. f ( x)   x 2  1, 0  x  1 ;

x, x  1

 x 2  2, x  0

117. f ( x)  2  x, 0  x  2 ;

x, x  2

sin x, x  0

119. f ( x)   x, 0  x  3 ;
 1, x  3


 x3 , x  0


120. f ( x)  sin x, 0  x  .
2

 0, x  

2
4. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
121 - 130. Найти производные
121.
a) у 
x3  4 x
2  3  х4
dy
данных функций.
dx
;
б) y  ctg ln 2 5 x 3 ;
3
в) y  x3  e sin 4 x   ;
д) y 3  cos x 
122.
а) y 
y
.
x
x5  4 x 2  3
3
2
г) y  (arcsin 3x  5) x ;
1 7x
2
б) y  ln(tg 3 x ) 
;
1
x5
;
г) y  (cos 2x  5)3x2 ;
в) y  (arcsin x2  7)5 ;
2
д) x4  y5  e3xy .
123.
а) у 
в) y 
1  х2
1 х
2
3  sin 2 x
5
2
б) ln arctg5x4 ;
 x  e tgx ;

г) y  x 2  5
;
cos x
д) x 2  arcctg y 3 
y
.
x
14

arcsin 4 x
;
124.
7
а) y 
x  3x  4
3
2

 5 2  sin x ;
б) y  ln ctg7 x2 ;

г) y   x  3
5
2
в) y  earcsin 9 x  4 ;

cos 4 x
;
x

д) sin x 2  y 2  e y .
125.
а) y 
в) y 
4
3  5x2
7x
б) y  ln arccos 9 x 2 
;
3
sin 2 x
г) y   tgx  5 
;
3  cos 9 x
3
2 x 1
8
x2
;
д) e xy  y  ctg  x  y  .
2
126.
а) y 
3x
5
 e2 x
5x  7
2
3 1
б) y  ln 3 1  sin 5 x  ;
;

г) y  x 2  7
в) y  2cos3x  tg ln 3 x2 ;



arccos5 x
;
д) y 2  sin x3  y3 .
127.
в) y 
д)
128.
3
3sin 5 x
4x  5
;
2
4  cos3 4 x

б) y  ctg ln
7 sin 3 x
e
;
x
x3
г) y   arcsin x  2  ;
;

3
x
 sin x 2  y 2  e xy .
y
7  4x
а) y  3
8  9x
в) y  ln
4
а) y 

 2  sin 4 x  ;
5x  3
3
б) y  arctg
 tg7 x ;
2
д) y 3  ctg  xy  
129.
2
а) y  4 5 x 2  3 
4  5x
2
3x
;
7  5x
г) y  x 2  5

tg3 x
;
y
.
x
б) y  ln sin
;
15
3  4x
;
2x  1
;
в) y  9arctg

x
2
5
а) y  x3arctg
в) y  5
1
3 x3  5
г) y   ctg2 x 
;
;
y2
 ln  xy  .
x
д) x 4  cos
130.
2 3x
3 x
2
tg2 x
4  5sin x
2

;

3
б) y  ln  arcsin

3 2
x

;
г) y   x  1
ln x

;


;

д) y 2 sin x  cos x 2  y 2 .
131 - 140. Найти y , y  для заданных функций:
а), б) y  f  x  ; в) y    t  , y    t  .
5
131.
а) y  8 x 4 
132.
а) y  ln x 2  4 ;
133.
а) y 
134.
а) y  x 2 ln  x  2  ;
135.
а) y  x 2  7 sin 3x ;
б) y  et  3 ;
136.
а) y  x2arctg4 x ;
б) y 
137.
а) y  ln tg5x ;
б) y 
3
x2

4;

1 x
;
1 x

б) y  cos2 x ;
б) y  5 x 4 
sin 2 t
б) y  e

2
 x  13
2
 x  arctgt
в) 
.
2
 y  t  1
 x  5  t  sin t 
в) 
.
 y  5  t  cos t 
 x  t  sin t
в) 
.
 y  t  cos t
;
б) y  2tg3x ;


2
5
 3x  1
1
x  3x
16
2
4
;
 x  e2t  cos3t

в) 
2t

 y  e  sin 3t
 x  cos 2 t
в) 
.
 y  tgt
;

 x  cos 4t
в) 
.
2

 y  sin 2t
3
 x  t  3t
в) 
.
2
 y  2t  1
x
4x
138.
а) y  sin 3x  e ;
б) y 
139.
а) y   x  2 cos 4x ;
б) y  ctg2 2 x ;
140.
а) y 
7x  2
x 2  3x
;
x2  5
б) y  3arctgx ;
;
 x  ln t 2

в) 
1 .
 y
t

 x  2sin t  3cos t
в) 
.
y  sin 3t

 x  ln t
в) 
.
2
 y  3t  5
141 – 150. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y  f  x  на отрезке [a;b].
142. y  x3  3x2  1 ; [–2; 1].
141. y  2 x2  x4 ; [0; 2].
143. y 
x
 
 cos x; 0,  .
2
 2
1 
144. y  x ln x;  , e  .
e 
146. y  xe2 x  1; [–1; 0].
145. y  x  arctgx ; [–1; 1].
147. y  x4  4 x3  2 ; [–1; 1]. 148. y  6x3  2x  1 ; [0; 1].
149. y  x5  5x4  2 ; [–1; 2]. 150. y  x3  2x2  7 x ; [–2; 0].
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
151 – 160. Исследовать методами дифференциального исчисления
функцию y  f  x  и, используя полученные результаты, построить её
график.
151. y 
153. y 
3x 2  3
x 1
2

x3
.
152. y 

. 154. y 
2 x2  1
2 x2  1
x4
x2  1
.
x
17
.
155. y 
157. y 
x
x2  1
x3
3  x2
x2
.
156. y 
.
158. y 


159. y  ln 1  x 2 . 160. y 
x2  1
.
x2  9
.
2x
x4
1  x 3
.
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
161 – 170. Найти а)

z z
u u u
,
,
,
; б)
.
x y z
x y

161.
a) z  x 2 tg 3x  4 y 2 ,
162.
а) z  arcsin3 5 x 2 y 4  3 ,
3 x2


arctg xy 2 z3
б) u  5

.


б) u  x 2 z 3  ln y 2  z 2 .

б) u  5 x  4 y
 ln y3  sin 2 y ;
3
9
 ctg z
3 2
163.
а) z  e
164.
а) z 
165.
а) z  arcctg3 x 2  2 y 4 ;
166.
а) z  5 sin 4 x 2  5 y 3  7 ;
167.
а) z 
168.
а) z  3
169.
а) z  4 x 2 y  7 log3 y 2  4 ;
б) u 
170.

1
2 y3 
а) z  ln 2  x 4  2  ;

5
x 


y2 
б) u  3 ctg 2  5 x  2  .
z 

x 2 cos3 y
2y  7
3
;







y
z
ln x3  y 2 ln .
z
x
б) u 
x z3
2
   x  z .
z y
y

б) u  log 4  x2 z 2   .
z

2 x3  5
 tg  2 xy  ;
y
x 2  sin 3 2 xy 2
б) u 

б) u  arccos  2 x
б) u 
;

18

x3
 ln 2 y3  z 2 .
2y
4

.
2

 3 y3  4 z .
3 2
z2
 ex y .
x
171 – 180. Дана функция z  f ( x, y) .

z z  2 z  2 z  2 z 
Показать, что F  x, y, z, , , 2 , 2 ,
0.

x y x y xy 

x
2 z 2 z
171. z  2cos2  y   , F  2 2 
.

x
y
172. z  e , F 
173. z 
xy
x
2
z z
2 z
.
  y
x y
xy
x2 y 2
2 z
2 z
z
, F  x 2  y
2 .
x y
xy
x
x


174. z  ln x 2  y 2 , F 
2 z
x 2

2 z
y 2
175. z  e x  x cos y  y sin y  , F 
176. z  ln
177. z 
1
x2  y 2
y
y2  a2 x
, F
, F
2
2 z
x
2 z
x 2
178. z  sin 2  x  3 y  , F  9 
2

x 2
y 2
2 z
x 2
y
2 z 2 z
179. z  arctg , F  2  2 .
x
x
y
19
2 z
2 z
 a2
.
.
2 z
y 2


.
2 z
y 2
.
2 z
y 2
.
180. z  cos y  ( y  x)sin y, F  ( x  y)
 2 z z
 .
xy y
181 – 190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z  f ( x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
181. z  x2  2xy  4x  8 y; 0  x  1; 0  y  2. ;
182. z  x2 y(4  x  y); x  0; y  0; y  6  x.
183. z  x3  y3  6xy;  3  x  1;  3  y  2.
184. z  x3  y3  3xy; 0  x  2;  1  y  2.
185. z  x  2 y  5; x  0; y  0; y  1  x.
186. z  x2  y 2  xy  x  y; x  0; y  0; y  3  x.
187. z  3x  4 y  7; x  0; y  0; y  1  x.
188. z  x2  3 y 2  x  18 y  4; 0  x  4; 0  y  4.
189. z  x2  y 2  6x  4 y  2; 1  x  4;  3  y  2.
190. z  x2  xy  2 y 2  3x  2 y  1; x  0; y  0; y   x  5.
191 – 200. Даны функция z  f ( x, y) , точка A( x0 , y0 ) и вектор
a (a1 , a2 ) . Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по
направлению вектора a .
191. z  x2  2xy  3 y 1; A(1, 2); a (3, 4).
192. z  3x2  6xy  y 2 ; A(2,1); a (1,1).
193. z  x2  2xy  3 y 1; A(1, 2); a (2, 2).
194. z  4  x2  y 2 ;
A(2,1); a (3, 4).
20


195. z  ln x 2  4 y 2 ;
196. z  arctg xy;
A(6, 4); a (2,1).
A(1,1); a (3, 4).
197. z  x3  3x2 y  3xy 2  1; A(3,1); a (3, 4).
198. z  x2 y 2  xy3  3 y  1; A(2,1); a (1, 2).


199. z  ln 2 x 2  y 2 ;
200. z  x2  y 2 ;
A(1,1); a (2, 5).
A(3, 4); a (1, 1).
7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ
201 – 210. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием.
201.
202.
203.
a)
sin 4 x
 5  3cos 4 x dx ;
x3  2
dx ;
е)

 cos 3xdx ;
б)
 arcsin xdx ;
г)

е)
 x 2  2 x  2 dx .
б)
e
д)
  cos x  4
a)
e
в)
x
д)
 cos
a)
 cos2 x(3tgx  5) ;
dx ;
dx
2
3
1 3 x 1

 x3  4 x
x
 ( x  2) ln xdx ;
г)
в)
sin 3 x
б)
2

2
;
5 x  sin 2 5 xdx ;
dx
21
dx ;
x 1
3x  2
dx .
x2  2 x  5
dx
x3 x
;
x2
4 x
(3  8 x)dx ;
204.
4x  2
 x2 ( x2  4) dx ;
г)

д)
 cos 5x  sin 4 xdx ;
е)
 4 x 2  4 x  17 dx .
a)
7x
 1  e 
б)
 x arctg xdx ;
г)

е)

б)
 (7 x  1) sin(3x  2)dx ;
в)
5
 e7 x dx ;
dx
 6 x3  7 x 2  3 x
;
д)  sin 2 4 x  cos 2 4 xdx ;
205.
dx
x 3 x 6 x

x 1 3 x

2x  5
9 x2  6 x  2
dx .
 x3  1 ;
xdx
г)

cos3 x
е)
 5 x 2  6 x  18 dx .
б)
 cos 2 x ;
г)
 3 x  9dx ;
е)

б)
e
г)
 3 x  4dx ;
е)
 x 2  x  20 dx .
a)
(5ln x  7) 4
dx ;

x
dx

 x  1 x
2
2
x
;

д)  sin 5 x  sin 3xdx ;
a)

 5  7 arcsin x 3
1 x
2
dx ;
2 x2  1
в)
 x3  5x2  6 xdx ;
д)
 4sin x  3cos x  5 ;
dx
22
;
dx ;
в)
 5 sin 3 x dx ;

3x  1
 x 3 4  ln x ;
в)
207.

x  4 1 3 x  4
a)
д)
206.
dx
в)
xdx
;
x3 x
4  3x
xdx
x
x 1
3 x  12 x  2
2
2x
(4  3x)dx ;
x 4
x  12
dx .
208.
209.
210.
a)
x5

dx ;
б)
 arctg2xdx ;
x5  2 x  1
г)
 4 3 x4 ;
е)

б)
 (4  x) cos xdx ;
г)

е)
 x 2  2 x  8 dx .
б)
 x  ln(4 x  5)dx ;
г)

x2  1
в)

д)
 4  3cos2 x  5sin 2 x ;
a)

x x
3
2
dx ;
dx
ex
1  e2 x
dx ;
2 x2  4 x  5
в)
 ( x  1)( x2  2 x  2) dx ;
д)
 17  15cos x ;
a)

в)
д)
dx
sin x
x
dx ;
x4  2
 x3  x2 dx ;
dx
x4
x  2x  8
2
dx .
dx
x4 3 x4
5x  1
dx
x 5  4 x 5
x  18
dx .
е)  2
x  5x  4
cos5 x
 sin 4 x dx ;
;
;
211 – 220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость.

211.
а)
xdx
 4 x4  1
1
б).
;
1
3

ln 3 x
dx ;
а) 
x
2
0
213.
а)


xdx
x 9
2
.
0
0
212.
dx
 5 (1  x)2
б).
dx
  3x  12
.
2
2
б).
;
1
23
dx
 ( x  1) ln3 ( x  1) .

214.
а)



215.
а)

0
x  2x  2
2
x3 dx
9x  1
4

216.
а)


217.
б).
;
0
218.
x  2x  5
б).
;
219.
а)

0
0
а)

б).
;
x  4x  9
2
dx
 x  2 x  10
2
xdx

1
dx

220.
dx
 3 ( x  5)4
б).
0

.
.
0
3
 5 ( x3  9)6
.
dx
5
2
x 2 dx
ln x
3
2
x
 x  e dx ;

dx
 5 ( x  3)2
б).
0
а)
x
1
;
dx

а)
e
dx
2 3

0
1
. б).
;
( x  1)3
.
ln(2  x)
dx .
2 x
xdx
 x4  1 .
0
1
5
;
б).
dx
 (5 x  1)2 .
0
221. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y   x2  4
и прямой 2x  y  4  0 .
222. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y  x2  2
и прямой x  y  4 .
223. Найти длину дуги данной линии
2


 x  5cos t
0t  .

2
2

 y  5sin t
224. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ox кривой x2  y  0 , x = –1, y = 0.
225. Вычислить площадь фигуры, ограниченной y  x , y  x3 .
226. Вычислить длину дуги данной линии
 x  4(t  sin t )
0  t  2 .

 y  4(1  cos t )
24
227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Oх
кривой x  y 2  0 , x = 0, y = 1.
228. Найти длину кардиоиды   4(1  cos ) .
229. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
Оy фигуры, ограниченной парабалами y  x2 , 8x  y 2 .
230. Найти длину дуги полукубической парабалы y  x x , концами которой являются точки с абсциссами x1  0 и x2  1 .
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
231 – 240. Найти общее решение дифференциального уравнения.
б) y sin x  y cos x  1 .
231.
а) 4xdx  3 ydy  3x2 ydy  2xy 2 dx ;
232.
а) y  
233.
а) 6xdx  6 ydy  2x2 ydy  3xy 2dx ;
234.
а) y  
235.
а) 2 x  2 xy 2  2  x2 y  0 ;
236.
а) 1  e x y   ye x ;
б)
237.
а) x 4  y 2 dx  y 1  x2 dy  0 ;
б)
238.
а) y sin x  ( y  4) cos x ;
б)
239.
а) y  102 x3 y ;
б) xy  
240.
а) yy  
4  y2


y x2  1
ye2 x
e2 x  6

б) y  ytgx  y 2 cos x  0 .
;
б) y  
б) y  
;

б)
y
y
 sin .
x
x
x 2  xy  y 2
x2
y
xy   y ln .
x
2y
y 
  x2
x
xy   y
y
 tg .
x
x
y  2xy  2x3 y3 .
y
 x.
x 1
y
1
б) y   
.
x arctg y
x
1  2x
.
y
25
241. xy  y ln y .
243. y  
242. yy    y    y 2 y  .
2
y
x.
x
244.  y    2 yy   0 .
2
245. y  x2  sin 3x .


246. 2 yy    y    1
2
247. 1  x 2 y   2 xy   0
248. 2 yy   y 2   y  
249. y (1  y )   y    y 
250. 1  x 2 y   2 xy   x3
2

2

251 – 260. Найти частное решение дифференциального уравнения
y  a1 y  a2 y  f ( x) , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y0,
y' (0)=y'0. ( Задача Коша).
251. y'' – y'  2(1  x) ;
y (0)  1 , y(0)  1 .
252. y'' + y  4e x ;
y(0) = 4; y (0)  3 ;
253. y'' +7y'+12y = e4x ;
y(0) = 1, y' (0) = 1;
254. y'' –2y' = x2–1;
y(0) = 1, y' (0) = 1;
255. y''- 2 y  y  2e x ;
y(0) = 1, y' (0) = 1.
256. y'' + 9y  15sin 2x
y(0) = 7 ; y' (0) = 0.
257. y'' – 4y' +8y  8 x 2  4 ;
y(0) = 2, y' (0) = 3.
258. y'' – 2y' = ex ( x2  x  3) ;
y(0) = 2, y' (0) = 2.
259. y'' +2y' +10y   sin 2x ;
y(0) = 0, y' (0) =
260. y'' – 6y' +9y = 9 x 2  12 x  2 ;
y(0)=1, y' (0)=3.
3
.
4
261 – 270. Дана система линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
26
 dx
 dt  a11 x  a12 y
.

 dy  a x  a y
21
22
 dt
Найти общее решение системы.
261.
263.
265.
267.
269.
 dx
 dt  y  1
;

 dy  x  1
 dt
 dx
 dt  y  x
;

 dy   x  3 y
 dt
 dx
 dt  4 x  10 y
;

 dy  x  2 y
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y
;

 dy   x
 dt
 dx
 dt  x  3 y
;

 dy  x  y
 dt
262.
264.
266.
268.
270.
 dx
 dt  x  2 y
;

 dy  x  y
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y
;

 dy  5 x  6 y
 dt
 dx
 dt  3 x  y
;

 dy  x  y
 dt
 dx
 dt  12 x  5 y
;

 dy  5 x  12 y
 dt
 dx
 dt  3 x  y
;

 dy  4 x  2 y
 dt
9. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
271 – 280. Изменить порядок интегрирования.
271.
1
2  x2
1
x
 dx 2
f ( x, y)dy ;
272.
27
2
4 y2
0
2 y
 dy 
f ( x, y)dx .
273.
1
2 x2
0
x
 dx 
1
275.
 dx
2
3
279.
 dx
0
1 y 2
1
y 1
 dy 2
2

f ( x, y )dy ;
276.

2
x
x
 dx  f ( x, y)dy ;
1
274.
2 x
0
277.
f ( x, y )dy ;
1
278.
1
x
25 x 2

f ( x, y )dy ;
280.
0
f ( x, y )dx .
1
dx  f ( x, y )dy .
x2
4
4
 dy
10  y

0
y
2
x2
1
x2
 dx

f ( x, y )dx .
f ( x, y )dy .
281 – 290. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного
тела и его проекции на плоскость xOy.
281.
z  x2  y 2 ;
x  0, y  0, z  0, x  y  1 .
282.
y  2 x , z  0, x  z  6 .
283.
y  x,
x  0,
y  0, z  0, x  4, y  4, z  x2  y 2  1 .
284.
x  y  2z  2 ,
z  0, y  x, y  x2 .
285.
z  4  y2 ,
286.
z  x2  y 2 ,
287.
288.
x2  y 2  2x,
z  5x ,
x2
,z0 .
2
y  x2 , y  1, z  0 .
2x  z  0, 4x  z  0 .
289.
( x  1)2  y 2  z ,
2 z  x2  y 2 , z  2, z  0 .
290.
x2  y 2  2ax ,
x2  y 2  z 2 , z  0, 2x  z  2 .
y
x2  y 2  9, z  0 .
291 – 300. Вычислить криволинейные интегралы. Сделать чертёж.
28
291.
 3xydx  (2x  y)dy
вдоль ломаной OBA, где 0(0,0) A(1,1).
L
292.
 ydx  xdy,
L
293.
 x  5cos t
где L - дуга окружности 
.
 y  5sin t
 2xydx  x dy, где
2
L -дуга парболы y  2x2 от т.О(0,0) до
L
т.В(1,2).
294.
 (x
2
 y 2 )dx  xy dy вдоль отрезка L  AB прямой от точки
L
А(1,2) до точки В(2,4).
 x  cos t

0t  .
ydy  y 2 xdx, если 
2
 y  sin t
L
 x  4 cos t
dy dx
296.  
если L - окружность 
.
x
y
 y  4sin t
L
295.
x
297.
 (x
2
2
 2 xy) dx  (2 xy  y 2 )dy , где L - дуга параболы y  x3
L
от точки А. (1,1) до точки В(2,8).
298.
 y(3x  y)dx  4xdy , где
L - дуга параболы y 2  4 x от точки
L
О(0,0) до точки А(1,2).
299.
 2 x( y  1)dx  x dy по контуру фигуры, ограниченной линия2
L
ми y  x2 , y  9 в полажительном напровлении (против часовой стрелки).
300.
 (3x  2 y)dx  3xydy , где
L дуга Эллипса
L
 x  cos t

0t  .

y

2sin
t
2

29
10. РЯДЫ
301 – 310. Исследовать сходимость числового ряда


n 1

301.

n n
 n 3  2n  1 ;
302.
n 1

303.
2n  1
 n ! 8n


n 1

;
304.
n5 (n3  1)
;

 2n
n
307.  
 7 ;
n


n 1

4n  3
n 1
n3

n
3n
 (2n  1)! .
n 1

1
306.
;
7n
 (n  2)  9n
n 1
n
309.
1
 (n  1) ln 4 (n  1) .
n 1
n 1
305.
un .

308.
2n  1
 (n3 1) (n2  1) .
n2

310.
1
 n  ln n .
n2
311–320. Найти область сходимости ряда.

311.
3n
 n(n  1)  xn ;

312.
n 1

313.
n!
 2n  1x n ;
n 1

314.
n 1
316.
n 1

317.  2n-1  x 2( n 1) ;
n3  x n
n 1
2n

32n  x n
n=1


(n  1) x n
;
n!
n 1


318. 
n=1
319. 
xn
 n 10n1 .
n 1

315.  n ! x n ;
n 1
 5n (n  2) xn .
320.
2n
n2
 n(n  1) xn .
n 1
321–330. Вычислить интеграл с точностью до 0.001, разложив
подынтегральную функцию в степенной ряд .
30
1
321.

1
x  sin xdx ;
322.
0


x
325.

0
0,5
327.

0
0,1
329.

0
;
1  e x
 x dx
0
0,1
x  e 4 dx ;
324.
0
0,2
x2
2 dx
0
0,4
323.
e

1
arctgx
dx
x
326.
cos x 2
dx
4
328.
ln(1  x)
dx
x
330.
 cos
2xdx .
0
1
3
x cos x dx .
0
0,5

0
1  cos x
x2
dx
331 – 340. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения
в степенной ряд решения y  y ( x) дифференциального уравнения
y  f ( x; y) , удовлетворяющего начальному условию y(0)  y0 .
331.
y  2cos x  xy 2 ; y(0)  1 .
332.
y  x2 y3  1; y(0)  1
333.
y  x  x2  y 2  cos x; y(0)  1
334.
y  e y  2xy ; y(0)  1
335.
y  5e x  y cos x ; y(0)  0
336.
y  y 4  x2 ; y(0)  1
337.
y  xe x  2 y 2 ; y(0)  0
338.
y '  2x  y 2  e x ; y(0)  1
339.
y '  e x  x2 y 2 ; y(0)  1
340.
y '  2 x  cos y ; y(0)  0
341 – 350. Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье в интервале [a; b].
341.
343.
345.
0
f ( x)  
2 x
0
f ( x)  
3
f ( x)    x
  x  0
0 x
342.
3  x  0
0 x3
344.
(, )
346.
31
 x
f ( x)  
0
2
f ( x)  
 1
  x  0
0 x
f ( x)  3x
(, )
1  x  0
0  x 1
347.
f ( x)  2 x  5
349.
2
f ( x)  
3
(, )
348.
 3
f ( x)  
3  x
1  x  0
0  x 1
350.
f ( x)  x  1
3  x  0
0 x3
(2, 2)
11. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
351. Среди 25 студентов группы, в которой десять девушек,
разыгрывается пять билетов. Определить вероятность того, что среди
обладателей билетов окажутся две девушки.
352. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них два выиграша по 500 руб., пять по 200 руб., десять по 100 руб. и 25 по 50 руб.
Некто покупает один билет. Найти вероятность: 1) выигрыша не менее
200 руб.; б) какого-либо выигрыша.
353. Техническое устройство, состоящее из трёх узлов, работало в
течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается
неисправным с вероятностью 0,1, второй с вероятностью 0,15, третий – с
вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы
один узел технического устройства станет неисправным.
354. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность
того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только
в двух справочниках; в) во всех трёх справочниках.
355. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для
лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
356. Имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1 и 2
коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартная равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик
наудачу извлёк деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность
32
того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика стандартная.
357. В четырёх попытках разыгрываются некоторые предметы.
Вероятность выиграша в каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность
выиграша трёх предметов?
358. Предприятие изготовило и отправило заказчику 100000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что бутылка может оказаться
битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии
будет пять битых бутылок.
359. В микрорайоне девять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не менее восьми машин были в
исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для
всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебойной
работы технической службы в микрарайоне.
360. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого
потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность
того, что это произойдет не более чем в трёх случаях.
361 – 370. Дискретная случайная величина X может принимать
только два значения: x1 и x2 , причем x1  x2 . Известны вероятность p1
возможного значения x1 , математическое ожидание M (X ) и дисперсия
D(X ) . Найти закон распределения этой случайной величины.
361. p1  0,9; M ( X )  3,1; D( X )  0,09.
362. p1  0,8; M ( X )  3,2; D( X )  0,16.
363. p1  0,7; M ( X )  3,3; D( X )  0,21 .
364. p1  0,6; M ( X )  3,4; D( X )  0,24.
365. p1  0,5; M ( X )  3,5; D( X )  0,25 .
366. p1  0,4; M ( X )  3,6; D( X )  0,24.
33
367. p1  0,3; M ( X )  3,7; D( X )  0,21 .
368. p1  0,2; M ( X )  3,8; D( X )  0,16.
369. p1  0,1; M ( X )  3,9; D( X )  0,09.
370. p1  0,9; M ( X )  2,2; D( X )  0,36 .
371 – 380. Случайная величина Х задана функцией распределения
F (x) . Найти плотность распределения вероятностей, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
371.
 0 при x  0
x
F ( x)   при 0  x  4
4
 1 при x  4
373.
 0 при x  1
 x 1
F ( x)  
при 1  x  3
 2
 1 при x  3
375.
377.
372.
374.

 0 при x  1

1

F ( x)  2 x при  1  x 
376.
2

1

 1 при x  2

 0 при x  0

2
1

F ( x)  3 x 2  при 0  x 
3
3 378.

1

 1 при x  3
34
 0 при x  1
 x  1
F ( x)  
при  1  x  1
 2
1 при x  1

 0 при x  0
 2
x
F ( x)  
при 0  x  8
 64
 1 при x  8
 0 при x  2
x
F ( x)   при  2  x  2
2
 1 при x  2
 0 при x  0

F ( x)   x при 0  x  1
1 при x  1

379.

 0 при x  0



F ( x)  sin x при 0  x 
2



1 при x  2
380.
 0 при x  0

F ( x)  cos 2 x при 0  x  
 1 при x  

381 – 390. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал
(; ).
381. a  15;   2;   16;   25. 382. a  14;   4;   18;   34.
383. a  13;   4;   15;   17.
384. a  12;   5;   17;   22.
385. a  11;   3;   17;   26. 386. a  10;   2;   11;   13.
387. a  9;   4;   15;   19.
388. a  8;   2;   6;   13.
389. a  7;   5;   2;   22.
390. a  6;   3;   0;   9.
391 – 400. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0.95, зная
выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение .
391.
393.
395.
397.
399.
x  84,21;   15; n  225.
x  84,23;   13; n  169.
x  84,25;   11; n  121.
x  84,27;   9; n  81.
x  84,29;   7; n  49.
392.
394.
396.
398.
400.
35
x  84,22;   14; n  196.
x  84,24;   12; n  144.
x  84,26;   10; n  100.
x  84,28;   8; n  64.
x  84,30;   6; n  36.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Элементы линейной алгебры
Введение в математический анализ
Производная и её приложения
Приложение дифференциалього исчисления
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Ноепределенный и определенный интеграл
Дифференциальные уравнения
Кратные и криволинейные интегралы
Ряды
Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольные задания
36