Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Конспект – протокол занятия по теме «Генеральная совокупность и выборка. Вариационные
ряды» по дисциплине
«Математика»
для студентов 1 курса специальности 050141 Физическая культура
Петрова Любовь Юрьевна,
преподаватель математики
КГБОУ СПО «Ачинский педагогический колледж»
Красноярского края
Тема: Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды (Раздел «Методы математической
статистики», 1 – 2 урок)
Цель: сформировать у студентов представление
о понятиях «генеральная совокупность»,
«выборочная совокупность», «дискретный вариационный ряд», «интервальный вариационный ряд»;
умение по данным интервального вариационного ряда строить полигон и гистограмму относительных
частот.
Тип занятия: изучение нового материала.
Оборудование: Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред.
спец. учеб. заведений. – М.: Высш. шк., 2001, интерактивная доска.
Методы обучения: объяснительный, иллюстративный, частичнопоисковый.
Продолжительность занятия: 90 минут.
Ход занятия
1. Изучение нового материала.
Учитель: Сегодня на занятии мы будем изучать новую тему «Генеральная совокупность и
выборка. Вариационные ряды».
Что вы знаете по данной теме?
Каждый студент индивидуально отвечает на поставленный вопрос.
На интерактивной доске записана тема урока и вынесены все основные термины, вводимые при
объяснении новой темы: генеральная совокупность, выборочная совокупность, объем совокупности,
повторная и бесповторная выборки, простой случайный отбор, типический отбор, механический
отбор, серийный отбор, вариант, варьирование, частота варианта, частость, полигон частот,
гистограмма частот, способы выборки, а также дискретный и интервальный вариационные ряды,
на которые учитель по мере необходимости обращает внимание студентов во время урока (Рис.1).
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Учитель: Допустим, необходимо изучить совокупность однородных объектов относительно
некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например,
если имеется класс учащихся, то качественным признаком может служить предрасположенность
учащихся к занятиям спортом, а количественным - контролируемый результат спортивных
достижений учащихся.
Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности
относительно признака, которым интересуются. На практике сплошное обследование применяют
сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то
провести сплошное обследование физически невозможно. В таких случаях случайно отбирают из всей
совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и
выборочную совокупности:
(Внимание студентов обращается на интерактивную доску и выделяется определение
генеральной совокупности).
Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число
достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная
совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем,
что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не
сказывается на результатах обработки данных выборки.
(Внимание студентов обращается на интерактивную доску и выделяется определение
выборочной совокупности).
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой
совокупности (определение на интерактивной доске).
Например, если из 1000 учащихся отобрано для обследования 100 детей, то объем генеральной
совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.
Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n (определение
на интерактивной доске).
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и
над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную
совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего)
возвращается в генеральную совокупность (определение на интерактивной доске).
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не
возвращается (определение на интерактивной доске).
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем
признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его
представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной
совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной
(представительной).
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы выборки
можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся:
а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:
а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор (способы выборки на
интерактивной доске)
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей
генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или
возвращают (повторный отбор) в генеральную совокупность (определение на интерактивной доске).
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной
совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если в классе есть учащиеся,
занимающиеся баскетболом, волейболом, теннисом и плаванием, то отбор производят не из всей
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
совокупности детей класса, а из учащихся, занимающихся отдельным видом спорта (определение на
интерактивной доске).
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на
столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект
(определение на интерактивной доске). Например, если нужно отобрать 20 % учащихся класса, то
отбирают каждого пятого ученика; если требуется отобрать 5% учащихся, то отбирают каждого
двадцатого ученика, и т. д.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по
одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию (определение на
интерактивной доске). Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется
в различных сериях незначительно.
Отметим, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются
указанные выше способы.
Теперь введем понятие дискретного вариационного ряда.
Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в
беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, трудно выявить какую-либо закономерность
их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной
величины опытные данные подвергают обработке. Рассмотрим пример:
В спортивном зале проводились наблюдения над числом Х забитых баскетбольных мячей в кольцо в
минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2;
1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1;
1; 5. Здесь число X является дискретной случайной величиной, а полученные о ней сведения
представляют собой статистические (наблюдаемые) данные.
Опытные данные группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины
будут одинаковы. Расположив приведенные выше данные в порядке неубывания, и, сгруппировав их,
получают ряд данных наблюдения.
Из ряда чисел видно, что все 60 значений случайной величины разбиты на семь групп, в пределах
каждой из которых все значения случайной величины одинаковы. Таким образом, имеется семь
различных значений случайной величины: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. Каждое такое значение обычно называют
вариантом. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного
ряда наблюдаемых данных, называется вариантом, а изменение этого значения варьированием.
Варианты будем обозначать малыми буквами конца латинского алфавита с соответствующими
порядковому номеру группы индексами. Для каждой группы сгруппированного ряда данных можно
подсчитать их численность, т.е. определить число, которое показывает, сколько раз встречается
соответствующий вариант в ряде наблюдений. Такие числа называют частотой варианта. Численность
отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой или
соответствующего варианта и обозначается mi , где i—индекс варианта.
В ряде случаев представляет практический интерес относительная частота того или иного
варианта, называемая частостью.
Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью
или долей этого варианта и обозначается рi, где i—индекс варианта, т.е.
Нетрудно заметить, что частость является статистической вероятностью появления варианта.
Естественно считать частость выборочным аналогом (вычисленной по выборочным данным)
вероятности рi появления значения ХI, случайной величины X. Подсчитав частоты и частости для
каждого варианта, наблюдаемые данные представляют в виде таблицы, которую называют
дискретным вариационным рядом. В первой строке расположены - варианты, во второй соответствующие частоты, в третьей - соответствующие частости.
Дискретным вариационным рядом распределения называется совокупность вариантов хi с
соответствующими им частотами или частностями.
Понятие дискретного вариационного ряда и его вид на интерактивной доске (Рис.2).
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Рис.2
По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот:
ломаную линию, отрезки, которой, соединяют точки
(Полигон частот на интерактивной доске закрыт шторкой).
Сейчас вам необходимо на интерактивной доске построить полигон частот для данного
дискретного вариационного ряда. Студент выходит к интерактивной доске и строит полигон частот,
после чего остальные студенты высказывают свое мнение по выполненному построению, исправляют
его.
Учитель открывает шторку и дает возможность студентам сравнить их построение с
правильным. Студенты исправляют допущенные недочеты при построении полигона частот.
Введем понятие интервального вариационного ряда.
Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то группировка наблюдаемых
значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это
объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут, как угодно мало, отличаться
друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут
встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.
Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины,
число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный
(вариационный) ряд распределения. Для построения такого ряда весь интервал варьирования
наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и
подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.
Внимание студентов обращается на определение интервального вариационного ряда и пример
для построения интервального вариационного ряда на интерактивной доске (Рис.3).
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Рис.3
Считая, что все частичные интервалы имеют одну и ту же длину, для каждого интервала следует
установить его верхнюю и нижнюю границы, а затем в соответствии с полученной упорядоченной
совокупностью частичных интервалов сгруппировать результаты наблюдении. Длину частичного
интервала h следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким, и, в то же время,
позволял выявить характерные черты изменения значений случайной величины.
Просматривая результаты наблюдений, находим, что наибольшим значением случайной
величины х наиб является 4,83, а наименьшим х наим - 4,68. Найдем размах варьирования R:
R = 4,83 - 4,68=0,15.
Выберем число интервалов. Для того чтобы вариационный ряд не был слишком громоздким, обычно
число интервалов берут от 7 до 11. Положим предварительно v=7, тогда длина частичного интервала
За начало первого интервала рекомендуется брать величину: хнач = хнаим - 0,5h.
В данном случае хнач = 4,67.
Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного
интервала h (в рассматриваемом случае h = 0,02).
Теперь, просматривая результаты наблюдений, определяем, сколько значений признака попало в
каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины,
большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы.
В таблице частота mi , показывает, в скольких наблюдениях случайная величина приняла значения,
принадлежащие тому или иному интервалу, причем нижний конец интервала входит в него, а верхний
- нет.
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
При вычислении интервальных частостей округление результатов следует проводить таким
образом, чтобы общая сумма частостей была равна 1:
Для данного примера интервальный вариационный ряд имеет вид:
№
xi - xi+1
mi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4,67-4,69
4,69-4,71
4,71-4,73
4,73-4,75
4,75-4,77
4,77-4,79
4,79-4,81
4,81-4,83
4,83-4,85
2
15
17
44
52
44
14
11
1
200
mi/h
0,01
0,075
0,085
0,22
0,26
0,22
0,07
0,055
0,005
1
100
750
850
2200
2600
2200
700
550
50
/h
0,5
3,75
4,25
11
13
11
3,5
2,75
0,25
(Интервальный вариационный ряд записывается на интерактивной доске).
По данным интервального ряда строят гистограмму частот или гистограмму относительных
частот:
Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - частичные интервалы,
высоты равны отношению частоты к длине частичного интервала (плотность частоты) (частости к
длине частичного интервала (плотность частости)). Для гистограммы частот: площадь каждого
прямоугольника равна частоте интервала, сумма площадей всех прямоугольников равна объему
выборки.
Гистограмма частот на интерактивной доске закрыта шторкой (Рис.4).
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
Рис.4
Аналогично, студентам необходимо на интерактивной доске построить гистограмму частот для
данного интервального вариационного ряда. Студент выходит к интерактивной доске и строит
гистограмму частот, после чего остальные студенты высказывают свое мнение по выполненному
построению, предлагают свои варианты.
Учитель открывает шторку и дает возможность студентам сравнить их построение с
правильным. Студенты исправляют допущенные недочеты при построении гистограммы частостей.
Вариационные ряды задают статистическое распределение выборки: соответствие между
вариантами и частотами или частостями.
2. Закрепление нового материала.
На интерактивной доске с левой стороны экрана записаны определения основных терминов,
изученных на уроке, а с правой стороны – названия этих терминов, которые закрыты шторкой
(Рис.5).
Рис.5
Студенты на чистых листах бумаги по определениям записывают названия терминов, после чего,
обмениваются в парах своими работами. Учитель открывает шторку и осуществляется
взаимопроверка.
Критерии оценивания задаются учителем: если студент правильно назвал все тринадцать
терминов – отметка «отлично», если студент правильно назвал от десяти до тринадцати терминов –
отметка «хорошо», если студент правильно назвал от семи до десяти терминов – отметка
«удовлетворительно», если студент правильно назвал менее семи терминов – отметка
«неудовлетворительно».
3. Домашнее задание: изучение лекционного материала.
4. Подведение итога урока.
Работа участника всероссийского интернет-проекта «Педагогический опыт. Инновации, технологии, разработки»
всероссийского педагогического портала МЕТОДКАБИНЕТ.РФ (www.методкабинет.рф)
5. Рефлексия:
Какое настроение и эмоциональное состояние у студентов после этого урока?
Что студентам было наиболее трудным при изучении нового материала?
Что студенты хотели бы изменить в структуре или проведении этого урока?
Студенты по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из
рефлексивного экрана на доске:
1. сегодня я узнал…
2. было интересно…
3. было трудно…
4. я выполнял задания…
5. я понял, что…
6. теперь я могу…
7. я почувствовал, что…
8. я научился…
9. у меня получилось…
10. я смог…
11. я попробую…
12. меня удивило…
13. урок дал мне для жизни…
14. мне захотелось…
Скачать

Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды