Контроль успеваемости [DOC, 117 КБ]

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
Текущая аттестация проводится еженедельно. Критерии формирования оценки –
посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень
подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий.
Примеры домашних задач содержатся в разделах «Задачи для самостоятельного
решения» в учебном пособии Волков В.Т., Ягола А.Г. «Интегральные уравнения.
Вариационное исчисление (методы решения задач).» М.: КДУ, 2009., доступном по
адресу http://yagola.professorjournal.ru/integral_equation
Промежуточная аттестация проводится в середине (по 1 части курса - интегральным
уравнениям) и в конце семестра (по второй части курса – вариационному исчислению)
в форме контрольных работ с оценкой. Критерии формирования оценки – уровень
знаний пройденной части курса.
Примерные варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1 (интегральные уравнения)
1.
Найти характеристические числа и собственные функции

y ( x)     sin x sin s  s  y ( s) ds .

2.
Исследовать разрешимость при различных значениях 
и решить интегральное
1
уравнение Фредгольма 2-го рода
y ( x)    (2 xs 3  5 x 2 s 2 ) y( s) ds  x 2 .
1
3.
Решить
уравнение
Фредгольма
y ( x)  
1
2
 K ( x, s) y(s) ds  sin 2 x
с
0
симметрическим
непрерывным
 x (1  s),
K ( x, s)  
 s(1  x),
ядром
x, s0;1 .
0 x  s
s  x 1
,

4.
Построить резольвенту уравнения Фредгольма
y ( x)    cos( x  s) y ( s) ds  f ( x) .
0
5.
Проверить, что   0 не является собственным значением оператора L[ y ]  y  с
указанными граничными условиями, и свести задачу Штурма-Лиувилля к
интегральному
уравнению
Фредгольма
с
симметрическим
ядром:
2x


y  e  y  0, 0  x  1;
y(0)  0, y(1)  2 y (1)  0 .
6.
Найти собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля:
y(0)  0,
y (2)  0 ;
а) y   y  0 ,


y (0)  y (0),
y( )  0 ;
б) y   y  0 ,
y (0)  y (l ),
y(0)  y(l ) .
в) y   y  0 ,
Контрольная работа №2 (вариационное исчисление)
2
1.
Исследовать на экстремум функционал V [ y ]   ( x 2 y ' 2 12 y 2  sin 3x)dx в
1
задаче с закрепленными концами y (1)  1 , y (2)  8 .
Достаточные условия проверить с помощью функции Вейерштрасса.
1
2.
Исследовать на экстремум функционал V [ y ]   ( y '3  y ' 2 )dx в задаче с
1
3.
y (1)  1 , y (1)  3 .
закрепленными концами
Достаточные условия проверить в форме Лежандра.
Найти минимальное расстояние от прямой y  2 x  4 до параболы
y  x2  1 .
1
4.

Исследовать на экстремум функционал V [ y, z ]  ( y '2  z '2  1)dx с условиями
0
y (0)  0 , y (1)  2 , z (0)  0 ,
z (1)  0 и голономной связью
y  z  2x2
1
5.
Исследовать на экстремум функционал V [ y, z ]   ( y'z ' )dx с условиями
0
1
1
 xydx  0 ,  xzdx  0 ,
0
y (0)  0 , y (1)  0 , z (0)  0 , z (1)  1 .
0
Итоговая аттестация - экзамен.
Экзамен по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление" состоит из
2-х частей.
1-я часть экзамена – письменная работа на знание определений, формулировок
теорем и имение решать простые задачи.
2-я часть экзамена - теоретическая. К ней допускаются только студенты, успешно
выполнившие первую. Для получения оценки "хорошо" и "отлично" необходимо уметь
доказывать утверждения и теоремы, включенные в изучаемый курс.
Полный перечень вопросов и задач к первой и второй части экзамена доступен по адресу:
http://yagola.professorjournal.ru/integral_equation
Образец билета первой части экзамена
1.
2.
Записать интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.
Найти норму функции y  sin x  cos x в пространстве C[0, 2 ] .
3.
Найти характеристические числа и собственные функции y ( x)   cos( x  s) y ( s) ds .


0
4.
5.
Сформулировать определение сжимающего оператора.
Сформулировать теорему о необходимом условии
экстремума
функционала
b
V [ y ]   F ( x, y, y) dx в задаче с закрепленными концами y (a)  A,
y (b)  b .
a
6.
Сформулировать
постановку
задачи
поиска
экстремума
функционала
b  B[ y ]
V [ y] 

1  y2 dx ,
считая, что левый конец закреплен, а правый - подвижен.
a
Образец билета второй части экзамена:
1.
Описать процесс построения собственных значений и собственных функций
вполне непрерывного самосопряженного оператора A , действующего в
бесконечномерном евклидовом пространстве.
2.
Доказать, что любое интегральное уравнение Фредгольма 2 рода y   A y  f с
невырожденным ядром при фиксированном  можно заменить эквивалентным
интегральным уравнением с вырожденным ядром.
3.
Доказать, что необходимым условием экстремума функционала является
равенство нулю его вариации при условии, что вариация существует.