Астрономо-геодезические уклонения отвеса в некоторой точке

Методические указания к выполнению работы
по астрономо-гравиметрическому нивелированию
К
Астрономо-геодезические уклонения отвеса  АГ
в некоторой точке "К" можно
представить в виде суммы трёх слагаемых
К
 АГ
  К   К    ,
где  К - уклонение отвеса, обусловленное влиянием аномалий силы тяжести области
 ;  К - уклонение отвеса, обусловленное влиянием аномалий силы тяжести области
  ;   -угол в точке К между референц-эллипсоидом, принятым при обработке
триангуляции, и общим земным эллипсоидом, относительно которого определены
гравиметрические составляющие уклонения отвеса.
Принимая во внимание условие выбора областей  и   и то, что угол   мал
и изменяется от точки к точке плавно, разность между астрономо-геодезическим и
гравиметрическим уклонением отвеса для любого пункта “К”, расположенного
внутри области  , можно определять методом линейного интерполирования.
Прибавляя к полученным разностям  АГ     К гравиметрическое уклонение отвеса,
обусловленное влиянием аномалий силы тяжести области  , получим в любом
пункте "К", так называемые, интерполированные уклонения отвеса, которые можно
использовать для изучения фигуре квазигеоида.
М.С.Молоденским [4] разработан метод астрономо-гравиметрического
нивелирования, основанный на непосредственном определении разности высот
квазигеоида между пунктами А и В с известными астрономо-геодезическими
уклонениями отвеса путём вычисления интеграла вида:
   ВА  К ,  d l ,
где  ( К,  ) - интерполированное уклонение отвеса в текущей точке "К", лежащей
на линии АВ; dl - элемент длины линии АВ.
Вычисление интеграла 2  основано на использовании аcтрономогеодезических уклонений отвеса в пунктах А и В и аномалий силы тяжести в области
 . После преобразований М.С.Молоденским [6] получена следующая формула для
вычисления превышений квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами
методом астрономо-гравиметрического нивелирования:

В
АГ


А
  l  АГА  АГВ   , В   , А g , А g , Вl,
  АГ
В
А
 - превышение квазигеоида, полученное методом астрономогде  АГ
  АГ
гравиметрического нивелирования;  , А,  , В
- высоты квазигеоида в пунктах А и В, обусловленные аномалиями силы тяжести
области  ;  g , A ,  g , A -влияние аномалий силы тяжести области  на уклонения
А
В
отвеса в пунктах А и В;  АГ
,  АГ
- составляющие астрономо-геодезических уклонений
отвеса в пунктах А и В; 2l - расстояние между пунктами А и В.
 АГ   АГ cos A  АГ sin A
где  АГ ,  АГ - cоставляющие астрономо-геодезического уклонения отвеса в
плоскостях меридиана и первого вертикала; А - азимут линии нивелирования.
Первый член формулы (3)
А
В
cos A   АГА   АГВ sin A l sin 1
 0   АГ
  АГ
(4)
определяет превышение квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами А и
В из астрономического нивелирования. Второй член - учитывает нелинейность
изменения составляющих астрономо-геодезического уклонения отвеса от пункта к
пункту и называется гравиметрической поправкой.
Гравиметрическая поправка
 g   , B    , A   g , A   g , B  l
(5)
может быть вычислена двумя способами.
Первый способ состоит в том, что по формулам Молоденского или Стокса и
Венинг Мейнеса определяют гравиметрические высоты и составляющие уклонений
отвеса. Второй способ основан на применения специальных палеток, позволяющих
определять непосредственно саму гравиметрическую поправку методом численного
интегрирования аномалий силы тяжести.
При вычислении астрономо-гравиметрического нивелирования расстояния
между астрономо-геодезическими пунктами достигает 70-100 км, при этом
распределение силы тяжести должно быть известным вдоль линии нивелирования в
радиусе 4l –6l.
Исследования, выполненные М.С.Молодеяским [5] , показали, что с учетом
сферичности Земли, расстояния между астропунктами можно значительно увеличить.
Ошибка гравиметрической поправки
 g
2l sin 1
,
обусловленная неучтенными аномалиями силы тяжести области   ,
при 2 l = 1000 км не превосходит 0"I.
Для практического определения гравиметрических поправок применяется
второй способ, основанный на использовании специальных палеток, построенных
М.С.Молоденским [4] , [12] , И.М. Тироном [I0] , Фан-Цзюнем [II], А.К.Маловичко
[7], Л.П.Пеллиненом [2] и другими, в системах криволинейных или прямоугольных
координат.
Широкое применение нашла палетка, построенная М.С.Молоденским в 1937
году, в системе биполярных криволинейных координат. Для точек палетки,
положение которых определяется значениями полуосей эллипса и гиперболы,
проходящих через эту точку, вычислены коэффициенты Аn
влияния аномалий
силы тяжести в I мгл на превышение квазигеоида между пунктами А и В.
Гравиметрические поправки с использованием эллиптической палетки
М.С.Молоденского определяются по формуле:


 g 
 g   n
 g   0,0069l 
 
    g n An 2l sin 1 ,
 x  A  x  B  1


(6)
g   g 
где 
 ,
 горизонтальные градиенты аномалий силы тяжести в центральных
 x  A  x  B
зонах палетки, расположенных вблизи астрономо-геодезических пунктов А и В; g n значение аномалий силы тяжести в точках палетки, для которых определены
коэффициенте Аn .
М.И.Юркиной
[I2]
была
перевычислена
эллиптическая
палетка
М.С.Молоденского с некоторым изменением размеров центральных зон. В этом
случае гравиметрические поправки в результаты астрономического нивелирования с
использованием палетки М.С.Молоденского вычисляются по формуле:


 g  0.02849 g a0  g b0

  g
A
b0
 g a0
   g
n
B
1
n

An 2l sin l  .

(7)
Здесь g a , g b - аномалии силы тяжести в точках палетки ао, bo, расположенных
вблизи астропунктов А и В.
В 1958 году Фан-Цзюнем [II] построена палетка в прямоугольной системе
координат. Вся область интегрирования разбита координатными линиями на
прямоугольники, в каждом из которых, аномалии силы тяжести считаются
постоянными.
Коэффициенты Аn
влияния аномалий силы тяжести на превышение
квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами А и В вычислены по
формуле:
0
0
 
 a 3  
 a 3  
 x 2 ln tg    ln tg   
4
4 
 2
 2
 

 
 a  
a
 x1 ln tg 4    ln tg 4   
4
4 
 2
 2



a
a 
a
a

 y 2 ln tg 4  ln tg 3  ln tg 4  ln tg 3 
2
2
2
2


 
 a  
a
 x 2 ln tg 2    ln tg 2   
4
4 
 2
 2


 
 a  
a
 x1 ln tg 1    ln tg 1   
 2 4
 2 4 

a
a
a
a 

 y1 ln tg 1  ln tg 2  ln tg 1  ln tg 2 
2
2
2
2

An 

2
(8)
Гравиметрические поправки с использованием прямоугольной палетки ФанЦзюня определяются по формуле:


 g 
 g   n
 g   0,00257l 



    g n An 2l sin 1
 x  A  x  B  1


(9)
Для удобства вычислений гравиметрических поправок коэффициенты Аn
выбраны равными-100»х 10-5 для прямоугольников вблизи астропунктов и 10»х 10-5
«для остальных прямоугольников. В зависимости от выбранных коэффициентов
рассчитаны размеры прямоугольников, на которые разбивается область
интегрирования.
Не
приведена прямоугольная палетка Фан-Цзюня, на которой
сплошными
линиями
показаны
прямоугольники
с
коэффициентами
-5
-5
Аn = 100»х10 , а пунктирными – с Аn =10» х 10 .
В 1952 году А.К.Маловичко
рассчитал палетку с разбивкой области
интегрирования на квадраты ее сторонами 0,8l ; 0,4l ; 0,2l . Коэффициенты Аn этой
палетки вычислены по формуле:
x  12  y 2
x  12  y 2
y

An 
x ln
2
y
y ln
x 1
x 1
x  1  y
x  12  y 2
2
2

(10)
xi 1 yi 1
xi yi
xi , yi – прямоугольные координаты углов квадратов палет и, выраженные в
4
единицах половины расстояния между астропунктами.
Гравиметрические поправки с использованием
вычисляются по формуле:
палетки
А.К.Маловичко
 n

 g    g n An  N AB 2l sin 1 ,
 1

(11)
где N AB - влияние аномалий силы тяжеСТИ центральной зоны на превышение
квазигеоида между пунктами А и В.
N AB определяется с помощью круговой палетки .
В прямоугольной системе координат И.Н.Тироном [10] построена
прямоугольная палетка . Область интегрирования на этой палетке разбита
координатными
линиями
на
прямоугольники
одинаковых
размеров
x  x2  x1  0,0955l, y  y2  y1  0,0800l  за исключением центральной полосы,
расположенной вдоль оси x .
Коэффициенты Аn для прямоугольников палетки вычислены по формуле (10),
для центральной полосы, ввиду больших ошибок при определении углов
 и близких к 0 или 180°, вычисления выполнены по формуле: (12)

 y  y 2   x  12   y  y 2  x  12 
2
2
1
2
 2
  1

 
An 
 x2 ln
2 
 y  y   x  12   y  y 2   x  12 
2
1
2
2
 2
  1


 y  y 2  x  12   y  y 2   x  12 
2
1
1
1
 2
  1

x1 ln 
 y  y 2  x  12   y  y 2  x  12 
2
1
1
1
 2
  1

 x  1  y 2   x  12   x  1  y 2   x  12 
2
2
2
1
 2
  2

y2 ln 
 x  1  y 2   x  12  x  1  y 2   x  12 
2
2
2
1
 2
  2

 x  1  y 2   x  12  x  1  y 2   x  12 
1
2
1
1
 2
  1

y1 ln 
x  1  y 2  x  12   x  1  y 2   x  12 
1
2
1
1
 2
  21

(12)
где xj, yj- прямоугольные координаты вершин прямоугольников в масштабе половины
расстояния между астропунктами А в В.
Гравиметрические поправки с использованием прямоугольной палетки
И.М.Тирона определятся по формуле:
 n

 g    g n An 2l sin 1 .
 1

(13)
Наиболее удобной из палеток, построенных в системе прямоугольных
координат, является квадратная палетка ЦНИИГАиК, рассчитанная в 1954 году
Л.П.Пеллиненом [2] . Вся область интегрирования разбита на квадраты со сторонами:
0,4l ; 0,2l; 0,I l;0,05l . Размеры квадратов увеличиваются с удалением их от
астрономо-геодезических пунктов. Влияние центральных зон, расположенных вокруг
астропунктов, учитывается с помощью дополнительной палетки.
Для каждого квадрата палетки по формуле (10) вычислены коэффициенты Аn .
Гравиметрические поправки с использованием квадратной палетки ЦНИИГАиК
определяются по формуле:
n

  0,02949g 6  g a   g a  g b    g n An 2l sin 1,
1

(13)
где g a , g b - значения аномалий силы тяжести для точек ”a” и “b” палетки.
Превышения квазигеоида между двумя астропунктами методом аст-рономогравиметрического нивелирования с
использованием квадратной палетки
ЦНИИГАиК определяется по формуле:



В
AГ




    А  В  cos A   А  В  sin Al sin 1 




 АГ
АГ 
АГ 
АГ 
 АГ




А
(14)

 0 02949g b  g a

 A  g a
 g b
n

1

 B    g n A n 2 sin 1  .
С 1969 года для вычисления превышений квазигеоида с использованием ЭВМ
применяется новый способ, предложенный О.М.Остачем [13]. При применении этого
способа аномалии силы тяжести учитываются в области радиуса 3l-4l вокруг каждого
астропункта с помощью круговой палетки. Рабочая формула для вычисления
превышений квазигеоиада между двумя астропунктами имеет вид:
 B   A   0,00449 B   A B   B   A L cos Bm    Bg   gA , (15)
где
разности
слагаемых
астрономо-геодезических
и
 A ,  B ,  A ,  B гравиметрических уклонений отвеса в плоскостях меридиана и первого вертикала для
пунктов А и В ; B, L - разности широт и долгот астропунктов А и В.

g
R

4
 / 
  gS    S  sin ddA ,
0
(16)
0 0
где S   -функция Стокса в текущей точке, S  0  - функция Стокса на границе
круговой области интегрирования.
В следущих параграфах подробно изложена методика выполнения задания по
астрономо-гравиметрическому нивелированию с использованием квадратной палетки
ЦНИИГАиК.
Общий порядок выполнения астрономо-гравиметрического
нивелирования
Выполнение астрономо-гравиметрического нивелирования заключается в
последовательном вычислении превышений между соседними астропунктами по
результатам астрономического нивелирования (первый член формулы (14) и
гравиметрической поправки по гравиметрическим картам (второй член формулы (14).
Составляющие астрономо-геодезических уклонений отвеса в плоскостях
меридиана и первого вертикала вычисляются по разностям астрономических (  , 
) и геодезических ( B, L ) координат пунктов по формулам:
 АГ    B ;
 АГ    Lcos B
Длины линий и их азимуты определяются из решения обратной
геодезической задачи по формулам со средними аргументами 3 или любым другим
формулам, обеспечивающим получение длины линии нивелирования с точностью до
0,1 м и азамута – до I”.
При выполнении численного интегрирования следует иметь ввиду, что
аномалии силы тяжести зависят от рельефа местности. В горных и холмистых
районах изоаномалы до некоторой степени повторяют ход горизонталей. Карты
аномалий силы тяжести в свободном воздухе в горах бывают очень сложными, а
интерполирование по ним неточным. Поэтому аномалии силы тяжести в свободном
воздухе определяются
методом косвенной интерполяции, разработанным
М.С.Молоденским [6], [8].
Редукция Буге учитывает влияние на силу тяжести притяжения плоского
бесконечного слоя 2fDH   , толщина которого равна нормальной высоте H  пункта,
D-средняя плотность земной коры в исследуемом районе, f - гравитационная
постоянная
Аномалия Буге определяется по формуле:
g Буге  g    0,3086 H   0,0419 DH 
Аномалия в свободном воздухе
g с.в  g    0,3086H   g Буге  0,0419DH 
Таким образом, с помощью палетки вычисление гравиметрических поправок
в результаты астрономического нивелирования необходимо выполнять по двум
картам: гравиметрической в аномалиях Буге и топографической. Для этого, сначала
квадратная палетка ЦНИИГАиК, соответствующая длине линии нивелирования в
масштабе карты, накладывается на гравиметрическую карту аномалий Буге так,
чтобы точка А палетки совпала с началом линии нивелирования. Для квадратов
палетки, расположенной вокруг палетки, расположенных вокруг точки А
оцениваются значения аномалий Буге, которые записываются в ведомости для
вычисления гравиметрических поправок. Последовательность выборки g Буге указана
цифрами на палетке.
В ведомостях приняты следующие обозначения: в столбцы с обозначениями
В+, В- записываются значения аномалий силы тяжести Буге g Буге  , снятых с карты
для точек и квадратов палетки, расположенных выше линии нивелирования АВ и
имеющих знаки коэффициентов Аn плюс (В+) или минус (В-), в столбцы с
обозначениями Н+, Н- записываются значения g Буге для квадратов и точек палетки,
расположенных ниже линии нивелирования АВ и имеющих знаки коэффициентов Аn
плюс (Н+) или минус (Н-). Затем, совмещая точку В с концом линии нивелирования
(расстояниее АВ палетки может отличаться от длины линии нивелирования в
масштабе карты не более 10% длины), оцениваются значения аномалий Буге для
квадратов палетки, расположенных вокруг точка В. Запись значений аномалий
производится аналогично порядку, рассмотренному при совмещении точки А.
Значения аномалий Буге для квадратов и точек  и в центральных зон вокруг
астропунктов А в В оцениваются по палетке
путем наложения её на
гравиметрическую карту съёмка сгущения вокруг астропунктов. Значения аномалий
Буге для квадратов палетки записываются в ведомость вычисления гравиметрических
поправок в раздел "центральная зона" аналогично предыдущем записям, значения
аномалий Буге для точек  и в палетки и значения аномалий в пунктах А и В
записываются в столбцы с обозначениями А, В, А g а  , А g b  , Bg a  , Bg b  .
Например, обозначение A g a  показывает, что аномалия Буге выбрана для точки а
центральное зоны, расположенной вблизи астропункта А. Последовательность
выборки с карты g Буге - показана цифрами на палетке.
Гравиметрические поправка, обусловленные влиянием аномалий Буге на
превышение квазигеоида между астропунктами, определяются по формуле:
n
"






 Буге  0 .02949 gb  g a A  g a  gb B   g n An 2l sin 1 Буге .


,
1




(17)
Таким же путем, но уже по гипсометрической карте, определяются гравиметрические
поправки, обусловленные влиянием рельефа, окружающего линию астрономогравиметрического нивелирования.
Гравиметрические поправки, обусловленные влиянием рельефа, окружающего
линию нивелирования, вычисляются по формуле:
 g  H   0,11190.02949H b  H a  A  H a  H b B    H n An 2l sin 1 ,
n
(18)
1
где Нn - средняя высота квадрата с номером " n "; Нa ,Нb - высоты, снятые с карты для
точек а и b палетки.
Значение коэффициента 0,1119 получено при D=2.67г/см3, f=6.664.10 –8 см3/сек
гр.
Окончательно, гравиметрическая поправка определится как сумма двух
поправок:
 g   g ( Буге )   g  H  .
(19)
Высоты квазигеоида определяются суммированием уравненных превышений,
вычисленных по формуле (10), начиная от некоторого исходного пункта.
Основные источники ошибок астрономо-гравиметрического нивелирования
исследованы М.С.Молоденским [6], В.В.Броваром [I] ,Л.П. Пелланевом [9] и др.
В.В.Броваром получены следующие формулы для оценки точности астрономогравиметрического нивелирования:
    2 АГ   2 g
(20)
Случайные ошибки  АГ в превышение квазигеоида обусловлены ошибками
определения астрономических и геодезических координат
где
 АГ    2 астр   2 геод
(21)
 геод  2l B 2 cos 2 A  L2 cos 2  sin 2 A
(22)
 геод. - влияние ошибок геодезических координат на превышение квазигеоида; B, L -
случайные ошибки определения геодезических координат;
 астр  2l 2 cos2 A  2 cos2  sin 2 A
(23)
S астр. - влияние ошибок астрономических координат на превышение
квазигеоида;  ,  - случайные ошибки определения астрономических координат.
Случайные ошибки  g в превышении квазигеоида обусловлены ошибками
определения гравиметрических уклонений отвеса:
 g  2l
(24)
где  - ошибки гравиметрического вывода уклонений отвеса, обусловленные
ошибками интерполяции аномалий силы тяжести и ограничения области
интегрирования.
Ошибки  можно определить, исходя из густоты гравиметрических съемок,
по формуле [9] :
  0,15кg s ,
(25)
где g s - ошибка интерполяции, вычисленная по формулам:
gs =0,11 S
при S > 20 км ,
gs =0,11 S
при S < 20 км,
(26)
K - коэффициент, зависящий от рельефа местности (для равнинных районов можно
принять K =1, для всхолмленных - К = 2-3, для горных - K = 4).