Поверхностные интегралы первого рода

2.Поверхностные интегралы первого рода
2.1. Определение поверхностного интеграла первого рода
и его свойства
Пусть на квадрируемой поверхности () определена ограниченная
функция f(M)=f(x,y,z), M. Разобьем поверхность () кусочно  гладкими
линиями на n квадрируемых частей:  1 ,  2 , . . . ,  n . Взяв в каждой части
 i  , i=1, 2, . . . , n произвольно точку M i xi , y i , zi  , вычислим в этой точке
значение функции : f M i   f x i , y i , zi  .
Составим интегральную сумму вида
n
J  i , Mi    f Mi si ,
i 1
где si  площадь участка разбиения  i  , i=1, 2, . . . , n. Пусть
  max d i ,где d i  диаметры частей  i  , i=1, 2, . . . , n.
Если существует конечный предел интегральных сумм J  i , M i , когда
 стремится к нулю и он не зависит ни от разбиения поверхности   на
участки , ни от выбора точек M i на участках разбиения, то такой предел
называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по
площади поверхности и обозначают его в виде
 f M ds   f x, y , z ds ,
 
(31)
 
где ds  элемент площади.
Теорема 1. Пусть ()  гладкая или кусочно  гладкая поверхность и
f(x,y.z )  непрерывная на () функция. Тогда функция f(x,y,z) интегрируема
по площади поверхности () , т. е. существует интеграл (31).
Замечание 1. Поверхностный интеграл первого рода является
обобщением двойного интеграла, поэтому для интеграла (31)
справедливы все свойства двойных интегралов.
2.2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
сведением его к двойному интегралу
Теорема 2. Пусть ()  гладкая поверхность, не имеющая особых точек,
заданная параметрически уравнениями (5):
x   u, v ,
y   u, v ,
z   u, v ,
u, v   D
и пусть f(x,y,z) непрерывная функция на поверхности (). Тогда
справедливо равенство:
 f x, y , z ds   f  u,v , u,v ,  u,v 
 
A2  B2  C 2 dudv ,
(32)
D 
где A, B, C определены формулами (16).
Чаще встречается явное задание поверхности (), поэтому следует
рассмотреть частные случаи этой теоремы.
Следствие 1. Пусть гладкая поверхность () определена явным
уравнением (2): z  f1x, y , x, y   G1. Пусть f(x,y,z) непрерывная на ()
функция, тогда
 f x, y , z ds 
 
   f   dxdy .
/ 2
 f x, y , f1x, y  1  f1x
G1 
/ 2
1 y
(33)
Доказательство. Если положить, что x и y параметры, тогда явное
уравнение (2) может быть записано в параметрической форме:
x  x,
y  y,
z  f1x, y .
Исходя из этого, определим по формулам (16), (27) элемент площади
ds:
A  f1 x ,
/
B  f1 y , C  1.
/
Тогда формула (32) примет вид (33).
Следствие 2. Пусть гладкая поверхность () определена явным
уравнением (3): y  f2 x, z , x, z   G2 . Пусть f(x,y,z) непрерывная на ()
функция, тогда
 f x, y , z ds 
 
   f   dxdz.
/ 2
 f x, f2 x, z , z  1  f2 x
G1 
/ 2
2 z
(34)
Следствие 3. Пусть гладкая поверхность () задана явным уравнением
(4): x  f3 y , z , y , z   G3 . Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда
 f x, y , z ds 
 
  f   dydz.
/ 2
 f f3 y , z , y , z  1  f3 y
G3 
/ 2
3 z
(35)
Замечание 2. Если поверхность () кусочно  гладкая, то можно
воспользоваться свойством поверхностного интеграла и представить
2
интеграл по поверхности () в виде суммы интегралов по гладким
поверхностям из объединения которых составлена поверхность ().
Пример. Найти
 y  z 

1  x 2 ds , где ()  поверхность цилиндра
 
x 2  y 2  1, заключенная между плоскостями z=0 и z=4.
Решение . Кусочно  гладкую поверхность () нельзя задать явным
уравнением. Но ее можно разбить на две гладкие поверхности
(рис. 9). Одна  1  расположена в полупространстве y>0 и ее явное
уравнение имеет вид
y  1 x2 ,
x, z   G2 :
 1  x  1,

 0  z  4,
другая  2  расположена в полупространстве y<0 и ее явное уравнение
имеет вид
y   1 x2 ,
x, z   G2 :
 1  x  1,

 0  z  4.
Z
4
Z
4
0
1
Y
G2
-1
X
0
1
Y
1
Рис. 9. Изображение
поверхности ()
Рис. 10. Проекция поверхности ()
на плоскость XZ
Тогда, воспользовавшись замечанием 8 (пункт 1.4) и формулой (34),
получим
 y  z 

 
  1  x

 y  z 
1  x 2 ds 
1  x 2 ds 
 1 
2
 z  1 x
G2 

 
G 2 

1 x2  z  1 x2 1
1
2

 y  z 

1  x 2 ds 
 2 
x2
1
 0 dxdz 
1 x2

x2
 0 dxdz   z  2 1  x 2
2
1 x
G 2 
4
1
 1 1x
2
dxdz 
4
 z

1
z
  z
dxdz   dx 
 2 dz   dx
dz 
2
2
2
1

x
1

x
1

x

G2 
1
0
1
0
1
1
1
 8

8
  
 8 dx  
dx  16 arcsinx  8 x   16  16.
2
2
1

x
1

x


1
1
1
Здесь область G2  изображена на рис. 10.
Ответ:
 y  z 

1  x 2 ds  16  1.
 
2.3. Приложения поверхностных интегралов первого рода
1). Площадь квадрируемой поверхности () можно вычислить по
формуле:
S
 ds .
(36)
 
Это следует из формул (26)  (30) и (32)  (35).
Рассмотрим механические приложения поверхностного интеграла
первого рода. Пусть ()  материальная поверхность и (M) 
поверхностная плотность распределения массы в точке M(x,y,z)
поверхности ().
2). Масса поверхности () вычисляется по формуле:
m    x, y , z ds .
 
4
(37)
3). Статические моменты поверхности относительно координатных
плоскостей XY, XZ, YZ вычисляются по формулам:
M XY   z x, y , z ds ,
(38)
M XZ   y x, y , z ds ,
(39)
MYZ   x x, y , z ds .
(40)

 
 
4). Координаты центра
определяются по формулам:
xc 
C xc , y c , zc 
тяжести
MYZ
,
m
yc 
M XZ
,
m
zc 
поверхности
M XY
.
m
()
(41)
5). Момент инерции поверхности (), например, относительно оси OX
определяется по формуле:


 X   x 2  y 2  x, y , z ds .
 
6). Момент
плоскости YZ :
инерции
поверхности
(),
например,
(42)
относительно
YZ   x 2 x, y , z ds . 43)
 
7). Момент инерции поверхности () относительно начала координат:


O   x 2  y 2  z 2  x, y , z .
 
44)
Замечание 3. Если (x,y,z)=const., то поверхность называется
однородной. Если (x,y,z)=1, то m=S.
Пример. Найти положение центра тяжести однородной конической
поверхности:
z
1 2
x  y2 ,
2
x2  y 2  4
и момент инерции относительно начала координат ((x,y,z) ==const.).
Решение.
Y
Z
1
Y
0
0
-2
2
X
G1
X
Рис. 11. Изображение
поверхности ()
Рис. 12. Проекция
поверхности ()
Так как поверхность () симметрична относительно оси OZ (рис. 11), то
центр тяжести этой поверхности расположен на оси OZ. Следовательно в
формулах (41) xc  0 , y c  0 . Для определения третьей координаты zc
найдем сначала статический момент по формуле (38):
1 2
1 x2
1 y2
2
   z ds   
x  y 1

dx dy 
2
2
2
2
2
4
4
x

y
x

y
 
G 
M XY
1
x   cos ,

2 
G 
y   sin ,
5
dx dy 

4
0    2 , 0    2 , x 2  y 2   2 ,
x2  y 2
1

4
2
dx dy   d d .
2
 d 
0
0
2
2
 5   3 2 
 5
4 5 
5   d 
d


8
d


.
 

2
4
0
3
0
12
0
3
Здесь для перехода от поверхностного интеграла к двойному
воспользовались формулой (33) и изображением области интегрирования
G1  (рис. 12).
Далее найдем массу по формуле (37):
6
5
5
m    ds   
dx dy 
2
 
G1  4
2
2
5
d


d


 
2
0
0
2
 2
  2
0
2
 d  2 5   .

0
Тогда по формуле (41) найдем:
zc 
M XY 4 5   2

 .
m
6 5  3
Таким образом, центр тяжести поверхности находится в точке C(0, 0, 2/3).
По формуле (44) найдем момент инерции относительно начала
координат:




1

 5
 0    x 2  y 2  z 2 ds     x 2  y 2  x 2  y 2 
dx dy 
4
4


 
G1 


5 5
5 5
2
2

x

y
dx
dy

8 
8
G1 
2

Ответ: C  0, 0,  ,
3

2
2
5 5
d



d


 
8
0
0
0  5 5  .
2
2
 4
  4
0
2
 d  5 5   .

0