5.02.2014x (178681)

5.02.2014
«Объём конуса»
Усеченный конус
Усеченный конус — это часть конуса, заключенная
между его основанием и сечением, параллельным
ПОВТОРЕНИЕ
Конус — это тело, ограниченное одной полостью
основанию.
конической поверхности и пересекающей её
Усечённый конус состоит из:
плоскостью, не проходящей через вершину S.
1) Большее основание – окружность радиуса R.
2) Меньшее основание – окружность, образованная сечением, радиусом r.
Конус состоит из:
1) Основание – окружность радиусом r.
3) Направляющие усеченного конуса – отрезки усеченного конуса,
2) Вершина конуса S
соединяющие точки окружности меньшего основания с точками большего
3) Направляющие конуса l – это отрезки,
основания.
соединяющие вершину конуса с точками
4) Высота усеченного конуса – прямая, соединяющая центр меньшего
окружности основания.
основания с центром большего основания.
4) Высота конуса – прямая соединяющая вершину
Свойства усеченного конуса:
конуса с серединой основания.
1) Осевое сечение - равнобедренная трапеция.
Свойства конуса
2)
𝑆бок = 𝜋(𝑅 + 𝑟)𝑙, 𝑆ниж.осн = 𝜋𝑅 2 𝑆верх.осн = 𝜋𝑟 2
1) Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
𝑆пол = 𝜋(𝑅 2 + 𝑟 2 + (𝑅 + 𝑟)𝑙)
2
𝑆бок = 𝜋𝑟𝑙,
𝑆осн = 𝜋𝑟 ,
𝑆полн = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙)
где r – радиус основания, l – длина образующей.
ОБЪЁМ КОНУСА
2) Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину конуса с
1) Вычисление объёмов тел, с помощью определенного интеграла
центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
Для того, чтобы вычислить объём тела, с помощью интеграла, следует
воспользоваться формулой:
𝑏
3) Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.
𝑉
=
∫
𝑆пол 𝑑𝑥
4) Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым
𝑎
сечением.
2) Объём усеченного конуса
5) Прямой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении Теорема:
прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на
6) Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом.
высоту.
Возможны три основных типа конических сечений: эллипс, парабола,
1
𝑉 = 𝑆осн ℎ
гипербола.
3
Доказательство:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ:
Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания
R, высотой h и вершиной в точке О.
Введём ось Ох так, чтобы она проходила через
вершину О и центр окружности основания М, причем
содержала в себе высоту h.
Проведём произвольное сечение конуса плоскостью,
перпендикулярное к оси Ох. Сечение будет осевым =>
сечением является окружность с центром М1.
Обозначим радиус сечения как R1, а площадь как S(x).
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Рассмотрим треугольники ОА1М1 и ОАМ.
Данные треугольники будут подобны (доказать подобие дома).
1) Выучить теорему об объёме конуса С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ!!!
Из подобия треугольников следует, что:
2) Доказать в теореме, что треугольники подобны.
3) №№ 701 в; 704
4) Заполнить таблицу объёмов и площадей
Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел, с помощью
интеграла имеем:
ℎ
ℎ
𝜋𝑅 2
𝜋𝑅 2 ℎ
𝜋𝑅 2 𝑥 3 ℎ
𝜋𝑅 2 ℎ3
𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ( 2 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∗ | = 2
ℎ
ℎ 0
ℎ
3 0
ℎ 3
0
0
1
= 𝜋𝑅 2 ℎ
3
Теорема доказана.
Следствие из теоремы:
Объём усеченного конуса, высота которого равна h, а площади основания S
и S1 вычисляется по формуле:
𝟏
𝑽ус.кон = 𝒉 ∙ (𝑺𝟏 + 𝑺 + √𝑺 ∙ 𝑺𝟏
𝟑
САЙТ С МАТЕРИАЛАМИ УРОКОВ:
www.shkola-492-matematika.webnode.ru
Вкладка 11 класс.
Материалы размещаются ежеурочно!!!!