Задания для самостоятельной работы по дисциплине

Кликунов Н.Д.
Материалы для самостоятельной работы аспирантов по дисциплине
«Микроэкономический анализ»
Функция полезности первого потребителя U (q1 , q2 )  (q1  2) * (q2  10) , функция
полезности второго потребителя U (q1 , q2 )  q15 * q2 7 , функция полезности
третьего потребителя U (q1 , q2 )  q1 * q2 . Доход (I) каждого потребителя равен
100, цена второго блага (P2) равна 1.
А) Задайте функцию индивидуального спроса на первое благо для каждого из
трех потребителей
Б) Задайте кривую рыночного спроса на первое благо для системы из трех
потребителей.
А) q1 D 
I  2 * P1  10 * P2
55
50
5 *100
D
 1  ; q 2 
; q3 D  ;
2 * P1
P1
P1
12 * P1
3
Б)  qi D  1 
i 1
146.67
P1
Пусть функция полезности задана как U ( X , Y )  
1 1
 .
X Y
А) Определите, пожалуйста, функцию спроса на товары X и Y
Б) Товары X
и Y являются комплементами, субститутами или нейтральны по
отношению друг к другу?
В) Какой будет объем потребления каждого блага, если начальный доход
равен 120, PX  1 и PY  4 ?
А) X D 
I
PX
0.5
* ( PX
0.5
 PY )
0.5
; YD 
I
PY
0.5
* ( PX
0.5
 PY )
0.5
;
Б) Комплементы;
В) X  40 ; Y  20
Пусть функция полезности задана как U ( X , Y , Z )  
1 1 1
  .
X Y Z
А) Определите функцию спроса на товары X, Y и Z.
Б) Какой будет объем потребления каждого блага если начальный доход
равен 120, цена товара X равна 1, цена Y равна 4, цена товара Z составляет 1?
Ответ
А) X D 
ZD 
PZ
PX
0.5
0.5
* ( PX
* ( PX
0.5
0.5
I
I
; Y D  0.5
;
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
 PY  PZ )
PY * ( PX  PY  PZ )
I
0.5
0.5
 PY  PZ )
Б) X D  30 ; Y D  15; Z D  30
Функция издержек совершенно конкурентной фирмы описывается
уравнением
0.2 * Q 2  10 * Q  20 , Q  8

ТС (Q)  
2

0.2 * Q  100 , Q  8
А) Чему равны постоянные издержки (FC) фирмы (обратите внимание, что
они не будут меняться с изменением объемов выпуска)?
Б) Нарисуйте функцию совокупных издержек фирмы
В) Нарисуйте функцию средних переменных издержек фирмы
Г) При какой минимальной рыночной цене фирма останется на рынке в
краткосрочном периоде времени (помните об условии P=AVC)
А) FC  20 ;
Б) при Q  8 , функция совокупных издержек не имеет производной и резко
меняет угол наклона
В) при Q  8 функция AVC(Q)  0.2 * Q  10 ; при Q  8, AVC(Q)  0.2 * Q 
80
;
Q
Г) P  min AVC  8
Покажите в общем виде, что для обычной (т.е. выпуклой вниз) функции
совокупных издержек работает правило: функция предельных издержек
пересекает функцию средних совокупных издержек в точке минимума
последней
Фирма работает на рынке совершенной конкуренции и имеет краткосрочные
совокупные издержки вида TC q   2,5 * q 2  20 * q  160 .
А) Определите функцию предложения фирмы.
Б) Найдите и изобразите графически излишек производителя (PS), если цена
единицы товара, который производит фирма, равна 50.
В) Правительство ввело косвенный специфический налог на товар,
производимый фирмой, в размере 10. Как изменится PS, если не изменится
цена? Сколько будет собрано налогов?
Г) Пусть цена, по которой потребители покупают товар, в результате
введения налога возросла на 10%. Найдите и изобразите графически излишек
производителя после введения налога и величину налоговых поступлений.
Сколько будет собрано налогов
А) q S  0.2 * P  4 , если P  40 ; q S  0 , если P  40 ;
Б) q  6 ; PS  90 ;
В) MC  5 * q  30  50 ; q  4; PS  40; T  40;
Г) 5 * q  30  55 ; q  5; PS  62.5; T  50
Фирма производит два товара, используя для производства каждого труд и
1
2
капитал. Первый товар производится по технологии q1 L, K   L3 K 3 . Второй
2
3
1
3
товар производится по технологии q L, K   L K . Эффективно ли
2
распределение ресурсов, в котором для производства первого товара
используется 6 единиц капитала и 3 единицы труда, а для производства
второго товара используется по 4 единицы труда и капитала? Если да, то
обоснуйте, если нет, то укажите способ перераспределения ресурсов,
повышающий эффективность производства.
MPL1 0.52 MPK 1 0.53 MPL2 0.66 MPK 2 0.33


;
;
;
. Чтобы увеличить объем


w
w
v
v
w
w
v
v
выпуска при заданном объеме ресурсов нужно забрать «труд» из
производства первого товара и перебросить его в производство второго. С
«капиталом» наоборот, нужно увеличить капитал в производстве первого
товара и сократить в производстве второго товара. Конкретные значения
оптимального распределения труда и капитала можно получить, лишь владея
информацией о ценах первого и второго товара.
ВУЗ получил от правительства госзаказ на выпуск 300 магистров. Выпуск
магистров за период определяется следующей функцией Q  K 0.25 L0.25 , где К площадь помещений, а L - количество аудиторных занятий в часах за весь
период обучения.
А) Найдите минимальный объем финансирования в расчете на одного
магистра,
который необходим ВУЗу для выполнения госзаказа, если арендная ставка
составляет 2 у.е. за единицу площади за рассматриваемый период, а один
аудиторный час работы преподавателя обходится ВУЗу в 8 у.е.
Б) Государство решило отменить систему госзаказа, и теперь ВУЗ может
самостоятельно решать, сколько набирать студентов. Государство за каждого
подготовленного магистра платит ВУЗу P у.е. В отличие от пункта (а)
считайте,
что не все студенты успешно сдают госэкзамены и защищают диплом. Пусть
4%
выпускников не справляются с финальными испытаниями, а потому не
получают
диплом магистра. При каком значении P ВУЗ будет выпускать столько же
магистров, сколько первоначально запрашивало государство в рамках
госзаказа?
А) min TC  720000 ;
Б) P  5000
В центре оперативной печати объем полиграфических услуг за час работы
описывается функцией Кобба-Дугласа q=10*K1/2L1/2, где К – количество
работающих ксероксов и L – количество персонала.
А) Используйте закон спроса на условные факторы производства при ответе
на следующий вопрос: как изменится спрос на труд полиграфистов, если их
почасовая оплата возросла, а стоимость аренды ксероксов осталась
неизменной? Считайте, что выпуск продукции остался на прежнем уровне.
Б) Найдите формулы, дающие условные факторы производства в общем
случае, т.е. когда почасовая стоимость труда равна w рублей, а стоимость
аренды ксероксов равна r. Найдите также совокупные издержки центра в
долгосрочном периоде при выпуске продукции q.
В) По условиям аренды центр не может в течение первого года работы
арендовать больше четырех ксероксов. Найдите общую формулу для
краткосрочных совокупных издержек, считая, что К=4, w и r не
фиксированы, а выпуск продукции равен q.
Г) Сравните краткосрочные и долгосрочные совокупные издержки при q=20,
30, 40, 50 и w=r=100 руб/час.
Предположим, что и производственная функция задана как

Q( L, K )  L  K 


, где α и β положительные константы
А) Как будет выглядеть функция TC в краткосрочном периоде, если w – цена
единицы труда и v – цена единицы капитала, и объем капитала фиксирован?
Б) Как будет выглядеть функция ТС в долгосрочном периоде времени, когда
все факторы переменны?
В) Объясните соотношения между долгосрочными и краткосрочными
кривыми средних издержек и предельных издержек. Изобразите схематично все
эти кривые на одном графике
А) TC  w * (Q1/   K  )1/   v * K
Б) TC  Q1 /   w * (1  ( ) /(1 ) )1/   v * (1  ( ) /(1 ) )1/  

w
v
v
w

В) Функция краткосрочных издержек всегда будет располагаться выше
функции долгосрочных издержек
В отрасли действуют две фирмы с одинаковыми технологиями с функциями
издержек вида c( qi )  0.5  ( qi )2 . Обратная функция спроса на продукцию
отрасли линейна P( Q )  8  Q .
А) Найдите равновесие в игре a-la Курно.
Б) Предположим, что одна из фирм, скажем первая фирма, получила право
продавать свой продукт и на другом рынке, где она будет единственным
продавцом данной продукции. Обозначим объем продаж на этом
~
дополнительном рынке через q~ . Спрос на этом рынке имеет вид P( q~ )  D  q~ ,
где D - параметр, отвечающий за емкость этого рынка. Предполагается, что
первая фирма на дополнительном рынке действует как чистая монополия. В
итоге в модифицированной игре первая фирма выбирает q1 и q~ , а вторая
лишь q 2 . Найдите равновесие для случая, когда первая фирма продает
ненулевой выпуск на обоих рынках.
В) Покажите, что при D  2 малое увеличение D приведет к падению
прибыли первой фирмы. Проинтерпретируйте этот результат. (Подсказка:
проверьте, будет ли работать дополнительный рынок при D  2 ? при D  2 ?).
На рынке со спросом Q D  1200  P действует устанавливающая цену фирмалидер, характеризующаяся более низкими издержками TC0 q0   q02  300q0  2000 , и 5
фирм конкурентного окружения, чьи издержки производства равны
TCi qi   5qi2  300qi  2000 .
А) Определите остаточный спрос на продукцию лидера
Б) Какую цену установит лидер с целью максимизации своей прибыли?
В) Какими будут объемы поставок лидера и конкурентов?
Г) Чему равны их прибыли?
Д) Смогут ли на рынке помимо лидера разместиться не 5, а 30 фирм
конкурентного окружения?
D
А) QЛИДЕР
 1350  1.5 * P ;
В) q ЛИДЕР  180 ; q КОНКУРЕНТ  48 ;
Б) P  780 ;
Г) П ЛИДЕР  52000 ; П КОНКУРЕНТ  9520 ;
Д) P  502.5 ; q ЛИДЕР  90 ; q КОНКУРЕНТ  20.25 ; ; П КОНКУРЕНТ  50.31; . Могут, т.к.
конкуренты получают положительную экономическую прибыль
Кривая рыночного спроса на продукцию отрасли описывается уравнением
Q D  53  P . Предположим, что в отрасли N фирм, предельные издержки
каждой постоянны и равны MC  5 . Конкуренция a-la Курно.
А) Определите кривую реакции первой фирмы в зависимости от объема выпуска
N 1 фирм
Б) Так как предельные издержки у каждой фирмы одинаковы, то в
равновесии по Нэшу объем производства каждой фирмы так же будет
одинаков. Включите данное условие в кривую реакции первой фирмы
В) Сколько будет выпускать каждая из фирм? Чему равен суммарный объем
выпуска? Какова будет рыночная цена? Какая прибыль будет у каждой из
фирм?
Г) Покажите, что при увеличении числа фирм N рыночная цена будет
приближаться к цене, которая существовала бы в условиях совершенной
конкуренции.
А) q1 
48   q j
j 1
2
Б) q1 
;
В) q1  q 2  ...  q N 
48  N  1 * q1
;
2
48 2
48
48 * N
5 * N  53
; Q
Q; P 
; П1 
;
N 1
N 1
N 1
( N  1) 2
53
5
0
N



Г) P 
, если N   , то P  5
1 
1  1 0 1 0

1   1  
 N  N
5
На рынке присутствуют три фирмы со следующей структурой предельных
издержек
MC1  1; MC 2  2 ; MC3  3 .
Эконометрические
исследования
позволили
определить спрос на продукцию трех фирм как Q D  10  P , потребители
воспринимают продукцию всех трех фирм как идентичную. Конкуренция a-la
Курно
А) Постройте кривую реакции для первой фирмы, предполагая неизменность
выбора объемов выпуска второй и третьей фирмами
Б) Постройте кривые реакции для второй и третьей фирмы
В) Решите систему из трех уравнений с тремя неизвестными и найдите объем
выпуска для каждой из трех фирм
Г) Определите рыночную цену и прибыль каждой фирмы
А) q1  4.5  0.5 * q2  0.5 * q3 ;
Б) q1  2 * q2  q3  8 ; q1  q2  2 * q3  7
В) q1  3; q2  2 ; q3  1;
Г) P  4 ; П1  9 ; П 2  4 ; П3  1;
На рынке присутствуют три фирмы со следующей структурой предельных
издержек
MC1  1; MC 2  2 ; MC3  3; MC 4  5 . Эконометрические исследования позволили
определить спрос на продукцию трех фирм как Q D  10  P , потребители
воспринимают продукцию всех трех фирм как идентичную. Конкуренция a-la
Бертран. Если на рынке остаются две и более фирм, то рынок делится
поровну
А) Какой будет прибыль первой, второй и третьей фирмы, если цена будет
равна 5?
Б) Какой будет прибыль первой и второй фирмы, если цена равна 3?
В) Какой будет прибыль первой фирмы, если цена снизится до 2 и она
останется на рынке одна?
Г) Каким будет исход этой игры при отсутствии кооперации между
фирмами? При наличии кооперации между первой и второй фирмами?
Д) А если фирмы конкурируют по типу a-la Курно?
Пусть обратная функция спроса монополиста задана как P  A  B * Q , кривая
предельных издержек постоянна и равна MC  C , где A  0 , B  0, A  C . На
продукт, производимый монополистом, введен косвенный специфический
налог размера Т. Чему будут равны цена, объем производства и прибыль
моноплиста после введения косвенного специфического налога?
Цена выбранной модели автомобиля равномерно распределена в диапазоне
от 360 до 400 тыс. руб. Изучение очередного автомобиля на предмет
приобретения и торговлю с продавцом покупатель оценивает в 400 руб.
Стратегия покупателя следующая: он определяет, сколько автомобилей стоит
посмотреть, смотрит их и покупает самый дешевый из вариантов.
Определить оптимальное количество просмотренных автомобилей и оценку
стоимости купленного варианта.
Вероятность того, что случайно выбранный автомобиль будет стоить больше
P  360; 400 , составляет 400  P 400  360  400  P 40  10  P 40 . Вероятность
того, что все n случайно выбранных автомобилей будут стоить дороже P,
равна 10  P 40n . Соответственно, F P   1  10  P 40n – вероятность того, что
хотя бы один из n автомобилей будет дешевле p.
Математическое ожидание цены купленного автомобиля в зависимости от
числа раундов поиска n равно
M ( Pn ) 
400
400
 Pf P dP   PdF P   PF P 
P 360
400
400
P 360
p 360

 F P dP 
P 360
n
n
400
 
 400
 

P
P


 P * 1  10    P 360   1  10   dP 
 
 
40  
40  
P 360 

n
n
400

 400
P
P P




 P  P10    P P 360  40  10   d   


40 
40   40 

P 360 


n
n 1

P
P




   P * 10    40 * 10  

40 
40 




n  1 400
P 360  360  40 n  1.

Издержки складываются из двух составляющих: цены автомобиля и
издержек поиска, равных 0,4n. Найдем, при каком значении n они будут
минимальны:
360  40 n  1  0.4 * n  min ,  40 n  1  0.4  0 , n  40 0.4  1  9 .
2
n
Таким образом, покупателю необходимо посмотреть 9 автомобилей,
затратив на это 400 * 9  3600 руб. В результате осмотра удастся найти
автомобиль с ожидаемой ценой P  360 
40
 364 тыс. руб.
10
Предположим, что потребителю известно, что цена плазменного телевизора
равномерно распределена в диапазоне между $300 и $400. Потребитель
обзванивает магазины с тем, чтобы выяснить в каком магазине цена
плазменного телевизора наиболее низка
А) Рассчитайте минимальную ожидаемую цену в зависимости от обзвона N
магазинов
Б) Покажите, что минимальная ожидаемая цена уменьшается по мере
увеличения числа обзвонов N
В) Предположим, что один звонок обходится потребителю в $2 c учетом
потерянного времени и усилий. Сколько звонков сделает индивид,
максимизирующий ожидаемый выигрыш?
N
 300 
А) Ожидаемая минимальная цена Pmin
100
N 1
N
Б) Pmin
/ N  100 * ( N  1) 2  0 ,
N
В) Pmin
/ N  100 * ( N  1) 2  2 ; N  6.07 ; нужно сделать семь звонков
Функция издержек фирмы имеет вид ТС  8 * Q , где TC – совокупные
издержки, а Q – выпуск. Руководство фирмы собралось для обсуждения
тарифов на следующий сезон. Известно, что функция спроса на
транспортные услуги имеет вид QD  20  b * P , где P –цена, Q – количество. К
сожалению, имеется неопределенность в отношении параметра b. С
вероятностью
1
эта величина останется такой, какова она на сегодняшний
3
день, а именно b  2 . Однако с вероятностью
2
последуют изменения в
3
налогообложении, которые приведут к снижению этого коэффициента и b
будет равно 1. Государственный чиновник обладает достоверной
информацией о том, будут ли иметь место эти изменения в налогообложении,
но эта информация на данный момент конфиденциальна. Чиновник
предлагает монополисту продать данную информацию. Какую
максимальную цену готов заплатить монополист за эту информацию, если он
нейтрален к риску, то есть максимизирует ожидаемую прибыль?
Если не покупать информацию, то ожидаемый объем продаж EQ 
60  4 * P
;
3
Q  4.67 ; EП  21.53
Если покупать информацию, то
с вероятностью
1
: Q  2; P  9; П  2;
3
2
3
с вероятностью :
1
2
Q  6 ; P  14 ; П  36 ; EП  * 2  * 36  24.67 . Готов заплатить 24.67  21.51  3.14
3
3
В экономической системе проживают 100 человек с идентичными
функциями полезности
U i  X i * Y , где Xi – объем индивидуального потребления частного блага Х
Предположим, что в экономической системе производится частное благо (Х)
и общественное благо (Y). Кривая производственных возможностей каждого
члена общества задана как X 2  100 * Y 2  5000
А) Если государственное регулирование отсутствует, все решения
принимаются частным образом и каждый будет обеспечивать сам себя
общественных благом Y, то какой объем производства Х и Y будет достигнут.
Чему будет равен уровень полезности типичного жителя?
Б) Каков оптимальный объем производства благ Х и Y?
В) Что нужно сделать, чтобы достичь данного результата?
Г) Во сколько раз увеличится полезность типичного жителя?
содержание одного козла равны MC  20 . Доход, получаемый от одного
козла, зависит от числа козлов, которые завели фермеры следующим образом
AR(G)  100  G 2 , где G  g1  g 2  g 3  g 4 .
А) Определите, пожалуйста, число козлов и суммарную прибыль фермеров
при кооперативном поведении фермеров
Б) Определите число козлов и суммарную прибыль при некооперативном
поведении фермеров в условиях «совершенной конкуренции»
В) Определите число козлов и суммарную прибыль при некооперативном
поведении фермеров в условиях игровой модели
А) G  5.16 , но так как полкозла завести нельзя то G  5;  П  325
Б) G  8;  П  128 ;
В) G  7 ;  П  287