, имеющий круглый вырез, диаметр которого равен ,

Решить с максимально подробным решением WORD 2003, всё расписать! Оформить подробное
решение! Сделать цветной рисунок!
Описание
Подробное решение задачи.
R
,
2
подвешен на вбитый в стену гвоздь O' и колеблется в плоскости, параллельной стене.
Определить период колебаний диска.
34. Однородный диск радиуса R , имеющий круглый вырез, диаметр которого равен
(рис. 34)
Дано:
Решение:
R
R
2
O'
g  10
ì
ñ2
(рис. 34)
Найти:
T ?
Однородный диск представляет собой физический маятник
(твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил
относительно оси, не проходящей через центр масс этого тела).
Период колебаний физического маятника определяется выражением:
T  2  
J
, где:
m g l
J - момент инерции диска относительно горизонтальной оси, проходящей через вбитый в стену
гвоздь O' ;
m - масса диска;
g - ускорение свободного падения, g  10
ì
;
ñ2
l - расстояние между осью и центром масс диска.
Площадь всего диска:
S ÄÈÑÊÀ    R 2 .
Площадь выреза:
2
R2
R
R
R
S ÂÛÐÅÇÀ        
, где
- радиус круглого отверстия диаметром .
16
4
2
4
Тогда площадь диска с вырезом:
R 2 15
S    R  
    R2 .
16 16
2
Диск обладает равной толщиной во всех точках. Так как диск однородный, то плотность в любой
точке диска одинакова.
Тогда масса диска:
m    V    S  h    h  S , где:
 - плотность диска;
V - объём диска;
h - толщина диска.
Так как плотность и толщина являются величинами постоянными, то масса диска
пропорциональна его площади m ~ S (коэффициент пропорциональности равен   h ).
Масса диска пропорциональна его площади. Если масса диска с вырезом m , то масса всего диска
(cоставляем пропорцию):
Для диска с вырезом:
15
  R2 - m
16
Для диска без выреза:   R 2 - ?
Масса диска без выреза будет равна:
  R2  m
15
  R2
16

16
m.
15
Для диска с вырезом:
Для выреза:
15
  R2 - m
16
1
  R2 - ?
16
Масса выреза будет равна:
1
  R2  m
1
16
 m.
15
15
  R2
16
Так как диск с вырезом симметричен относительно оси OO ' , то центр масс диска будет находится
на прямой OO ' .
Обозначим расстояние от точки O до центра масс диска с вырезом через x .
Тогда:
R
1
R
 16
 m  g    x    m  g  x , где  x - расстояние от центра масс, то центра масс выреза;
4
15
4
 15
R

  x   16  x ;
4

R
 x  16  x ;
4
15  x 
x
R
;
4
R
.
60
Момент инерции диска с вырезом находим по формуле:
J  J ÄÈÑÊÀÁÅÇÂÛÐÅÇÀ  J ÂÛÐÅÇÀ.
Для определения момента инерции диска без выреза и момента инерции выреза относительно
горизонтальной оси, проходящей через O' , воспользуемся теоремой Гюйгенса - Штейнера
(центры масс диска без выреза и выреза не совпадают с положением оси, относительно которой
колеблется физический маятник):
2
16
 R  16 m  R 16
R
m   
 m  
15
2
15
 2  15
2
2
J ÄÈÑÊÀÁÅÇÂÛÐÅÇÀ  J 0, ÄÈÑÊÀÁÅÇÂÛÐÅÇÀ 
16
3  R2 4  m  R2
 m

15
4
5
2
;
2
R
m 
2
2
1
1
1
4
R
R

J ÂÛÐÅÇÀ  J 0,ÂÛÐÅÇÀ   m     
 m  
15
2
15
 4  15
 4  , где J 0, ÄÈÑÊÀÁÅÇÂÛÐÅÇÀ и
2
2
1
3 R
mR
 m

15
32
160
J 0,ÂÛÐÅÇÀ - моменты относительно оси, проходящей через центры масс соответствующих фигур,
следовательно получаем:
J  J ÄÈÑÊÀÁÅÇÂÛÐÅÇÀ  J ÂÛÐÅÇÀ 
4  m  R 2 m  R 2 127  m  R 2
.


5
160
160
Находим период колебаний T :
127
127 2
 m  R2
R
127  60  R
127  3  R
160
T  2    160
 2  
 2  
 2  

31  160  g
31  8  g
R

R R 
m  g   x
g   
.
2

 2 60 
 
381  R
62  g
Ответ: T   
381  R
.
62  g