Document 671470

Федеральное агентство по образованию
___________________
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ имени С. М. Кирова
Физика
Механика
Лабораторная работа № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
(МАЯТНИК ОБЕРБЕКА)
Методические указания к лабораторной работе
по разделу "Механика и молекулярная физика"
Санкт-Петербург
2011
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
методической комиссией факультета химической технологии и биотехнологии
Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии
24 февраля 2011 года
Составители
доктор физико-математических наук, профессор
С.М. Герасюта
кандидат физико-математических наук, доцент
Е.Е. Мацкевич
О т в. р е д а к т о р
кандидат физико-математических наук, доцент
И.А. Ферсман
Рецензент
кафедра физики СПбГЛТА
Аннотация
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся на
дневном и заочном отделениях по направлениям 240100, 280200, 200500,
220200, 250300, 150400, 190500, 230200, 250100, изучающих курс физики.
Физика
Механика
Лабораторная работа № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
(МАЯТНИК ОБЕРБЕКА)
Методические указания к лабораторной работе
по разделу "Механика и молекулярная физика"
Санкт-Петербург
2011
В В Е ДЕ Н И Е
Твердое тело – такое тело, расстояние между двумя любыми точками
которого во время движения остается неизменным. Если твердое тело
покоится или вращается с постоянной угловой скоростью (движется по
инерции), то изменить его состояние можно, приложив к нему силу,
создающую момент силы (вращающий момент). Момент силы равен
произведению силы F на плечо p (рис. 1):
M  Fp ,
где p  r  sin α .
Введем понятие углового
ускорения.
Угловое ускорение (по аналогии с ускорением
при поступательном движении) определяется
как изменение угловой скорости вращения тела
за единицу времени. Опыт показывает, что
угловое ускорение ε , приобретаемое телом,
прямо
пропорционально
вращающему
моменту, т. е.
M  Jε ,
(1)
где J – коэффициент пропорциональности,
получивший название момента инерции.
Из уравнения (1) вытекает, что чем больше
J , тем меньше при заданном значении M
приобретаемое телом угловое ускорение ε .
Следовательно, момент инерции служит
мерой инертности тела при вращательном
движении, т. е. выполняет такую же роль,
как масса при поступательном движении.
Момент инерции материальной точки J i относительно оси OO равен
произведению ее массы mi на квадрат расстояния до оси вращения ri :
J i  mi ri 2 .
Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции
входящих в его состав материальных точек:
J   Ji .
i
Момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму,
можно вычислить аналитически, в большинстве же случаев момент
инерции тела определяют экспериментально. Наиболее простые моменты
инерции приведены в таблице:
Тело
Положение оси вращения
Момент
инерции
Полый цилиндр
радиуса R
Ось симметрии
mR 2
Сплошной цилиндр
радиуса R
Ось симметрии
1
mR 2
2
Прямой тонкий
стержень длиной l
Ось проходит через
его середину
1
ml 2
12
Прямой тонкий
стержень длиной l
Ось проходит через
его конец
1 2
ml
3
Шар радиуса R
Ось проходит через
центр шара
2
mR 2
5
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей
через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой
параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
J  J c  ma 2 ,
Где J , J c моменты инерции относительно любой оси вращения и
относительно оси, проходящей через центр масс, соответственно, a –
расстояние между осями.
Уравнение (1) носит название основного уравнения вращательного
движения и аналогично второму закону Ньютона для поступательного
движения F  ma . Такая аналогия характерна для всех понятий,
описывающих вращательное и поступательное движения. Так,
кинетическая энергия при поступательном движении зависит от массы
(меры
инертности)
и
скорости:
Wk 
mυ 2
.
2
Кинетическая
энергия
вращающегося тела зависит от момента инерции (меры инертности) и
угловой скорости: Wk 
Jω 2
.
2
Цель работы и описание установки
Целью настоящей работы является изучение законов динамики
вращательного движения твердого тела с помощью прибора, называемого
маятником Обербека.
Общий вид прибора приведен на рис. 2. Основной его частью является
крестообразный маховик 1, закрепленный на горизонтальной оси 2. На
спицы крестовины насажены одинаковые по размерам и массе цилиндры 3,
положение которых можно менять. Когда цилиндры расположены на
равных расстояниях от оси вращения, маховик находится в безразличном
равновесии. На одной оси с маховиком находится шкив 4 с намотанной на
него нитью 5. Нить перекинута через неподвижный блок 6. К концу нити
привязана чашка 7, на которую можно помещать грузы.
Если, намотав нить на шкив, приподнять чашку с грузом над полом на
высоту h а затем опустить, позволив ей свободно падать, то на маховик
начнет действовать вращающий момент M .
M 
Td
,
2
где d диаметр шкива; T натяжение нити.
Под действием этого постоянного момента маховик начинает вращаться
с угловым ускорением ε . Очевидно, вращение маховика и поступательное
движение чашки с грузом происходят за счет потенциальной энергии
нагруженной чашки. Если не учитывать потерю энергии вследствие трения
в подшипниках осей маятника и блока, то можно считать, что
потенциальная энергия Wh постепенно переходит в кинетическую энергию
поступательного движения чашки с грузом Wk1 и кинетическую энергию
вращения маховика Wk 2 .
В момент, когда груз касается пола,
mgh 
mυ2 Jω2
,

2
2
(2)
где момент инерции маховика; m – масса чашки с грузом; g – ускорение
свободного падения; υ – скорость поступательного движения чашки
(скорость на поверхности шкива); ω – угловая скорость вращения
маховика (шкива).
Формулу (2) можно преобразовать, пользуясь связью между угловой и
линейной скоростями,
(3)
υ  ωr .
Подставляя уравнение (3) в формулу (2), находим:
mgh 
mυ 2 2 Jυ 2
 2 ,
2
d
Откуда
md 2(2 gh  υ 2 )
.
J
4υ2
(4)
Движение чашки с грузом равноускоренное и, следовательно,
υ  at 
2h
.
t
Подставив последнее выражение в формулу (4), получаем
окончательную расчетную формулу для определения момента инерции
маховика
J
md 2  gt 2 

 1 .
4  2h

(5)
Линейное ускорение a , с которым движется чашка с грузом, равно:
a
2h
.
t2
Соответственно этому, угловое ускорение маховика
ε
a 2a 4h

 2 .
r
d
t d
(6)
Вычислив момент инерции маховика J и угловое ускорение ε , можно из
основного уравнения вращательного движения определить момент силы
M . Зная момент силы M и диаметр шкива, d легко найти натяжение
нити T .
Опыт по определению момента инерции рекомендуется произвести
дважды при разных положениях цилиндров на крестовине маятника. В
первом случае следует расположить цилиндры у оси вращения, во втором
– на концах спиц.
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем диаметр шкива d .
2. Определить массу чашечки mч .
3. Закрепить цилиндры у основания крестовины.
4. Подвесить на нить чашку и поместить на нее гирьку mг .
Придерживая рукой маховик, намотать нить на шкив так, чтобы чашка
оказалась на высоте h над полом. Измерить линейкой высоту h .
5. Отпустить маховик и одновременно пустить секундомер. Выключить
секундомер в момент, когда чашка стукнется об пол. Повторить опыт не
менее 5 раз, сохраняя высоту h неизменной.
6. Переместить цилиндры на концы спиц и повторить операции,
указанные в пунктах 4 и 5.
7. Вычислить для обоих опытов:
а) моменты инерции маховика J1 и J 2 ;
б) угловые ускорения ε1 и ε2 ;
в) моменты силы M1 и M 2 ;
г) натяжение нити T1 и T2 .
8. Вывести формулы для подсчета погрешностей измерения J , ε , M и
T . Вычислить погрешности измерения J , ε , M и T по данным одного из
опытов.
Протоколы наблюдений
Однократные наблюдения
Δd
d
см
mч
mг
г
Δm
Δh
h
см
Многократные измерения
1. Цилиндры у оси вращения
№ п/п
Δt
t
с
1
2
3
4
5
Среднее
2. Цилиндры на концах спиц
№ п/п
Δt
t
с
1
2
3
4
5
Среднее
Результаты опытов занести в таблицу:
J1
J2
кг  м 2
ε1
ε2
с
2
M1
M2
Н м
T1
T2
Н
ΔJ 1
кг  м 2
Δε1
с 2
ΔM1
Н м
ΔT1
Н
Контрольные вопросы
1. Как должна быть направлена сила, чтобы она вызвала вращение
твердого тела? Что называют моментом силы?
2. От чего зависит инерция вращающегося тела? В чем смысл понятия
«момент инерции»? Чему равны: а ) момент инерции материальной точки,
б) момент инерции твердого тела?
3. Какова связь между моментом силы и моментом инерции тела?
4. Почему при падении чашки с грузом маятник вращается
равноускоренно?
5. Что называется угловым ускорением и как оно определяется в
рассматриваемой работе?
6. Выведите формулу для вычисления момента инерции маховика,
исходя из закона сохранения энергии.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Цель работы и описание установки
Порядок выполнения работы
Контрольные вопросы
3
5
7
10