Решения заданий Олимпиады учителей математики

Решение заданий олимпиады учителей математики
2010 год
Задание 1.
Докажите, что система неравенств:
| x |  | y  z  t |
| y |  | x  z  t |


| z |  | x  y  t |
| t |  | x  y  z |
не имеет решений.
РЕШЕНИЕ:
Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t.
Тогда, в частности,
x2 > (y − z + t)2, т.е. (y − z + t − x)(y − z + t + x) < 0.
Аналогично получаем:
(x − z + t − y)(x − z + t + y) < 0,
(x − y + t − z)(x − y + t + z) < 0,
(x − y + z − t)(x − y + z + t) < 0.
Перемножим все полученные неравенства.
С одной стороны, произведение четырёх отрицательных чисел положительно.
С другой стороны, это произведение равно:
− (x − y + z − t)2(x + y − z + t)2(x − y + z + t)2(x − y – z + t)2 ≤ 0.
Приходим к противоречию.
Задание 2.
Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим область допустимых значений:
1).
2).
, следовательно,
, что означает, что функция
, то есть
Сравнивая области значения левой и правой части, получаем
, откуда получаем
Итого, ответ
Задание 3.
Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников совпадают. Докажите,
что их площади равны.
Подсказка.
Какую
часть
площади
четырехугольника составляет
площадь
четырехугольника с вершинами в серединах его сторон?
РЕШЕНИЕ:
Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD.
Тогда KL – средняя линия треугольника ABC, поэтому KL параллельна AС и равна AC/2.
Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2, LM параллельна BD и равна BD/2 и
NK параллельна BD и равна BD/2.
Таким образом, KLMN – параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям
четырехугольника ABCD и равны соответственно половинам этих диагоналей.
По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника KLMN равна
(ACBDsin)/2, где  – угол между диагоналями AC и BD.
Площадь параллелограмма KLMN равна KLLMsin = (AC/2)(BD/2)sin =
(ACBDsin)/4.
Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площади
четырехугольника ABCD.
Из доказанного легко следует утверждение задачи: площади обоих четырехугольников
равны удвоенной площади четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их
общими серединами сторон.
Задание 4.
Два квадрата
и
направлении) имеют общую вершину
общую точку.
РЕШЕНИЕ:
на плоскости (вершины перечислены в одном
. Докажите, что прямые
,,
имеют
Пусть
- точка пересечения прямых
и
. Покажем, что эти прямые
перпендикулярны друг другу. Действительно, при повороте вокруг точки
на
по
часовой стрелке точка
переходит в точку
, точка
-- в точку
, а, значит, и
переходит в
. Следовательно,
, то есть углы
и
-прямые.
Опишем около квадратов окружности. Они пройдут через точку и пересекутся в точке
, ибо
опирается на диаметр
и является прямым, а
опирается на
диаметр
и тоже является прямым. В силу этого,
, ибо
опирается на хорды
и
соответственно, на которые опираются углы
и
,
равные,
очевидно,
.Но
.
Следовательно,
, что означает, что точки
лежат на одной
прямой, то есть прямая
также проходит через точку M, в которой пересекаются
прямые
и
. Таким образом, все эти три прямые имеют общую точку, что и
требовалось доказать.
Задание 5.
Найти все значения параметра
, при которых область значений функции
содержит только одно целое число.
РЕШЕНИЕ:
Преобразуем функцию:
Так как при
,
, то есть
является асимптотой функции, то для
того, чтобы область значений функции содержала только одно целое число,
необходимо, чтобы выполнялось условие
То есть, чтобы
Но
, при любых
, следовательно, эта система эквивалентна системе
, откуда
Чтобы эти условия выполнялись при любых значениях , дискриминанты
квадратных уравнений должны быть отрицательны, то есть
Решая, находим ответ:
Задание 6. В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом
(100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы
выполнялись следующие условия: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного
другого пня (деревья можно считать достаточно тонкими)?
РЕШЕНИЕ:
Разобьём деревья на 2500 четвёрок размера 2 на 2 дерева. В каждой такой четвёрке нельзя
срубить более одного дерева. С другой стороны, мы можем срубить все деревья,
расположенные в левых верхних углах соответствующих квадратов, образованны нашими
четвёрками деревьев. Таким образом, наибольшее количество деревьев, которые можно
срубить, не нарушая условия, равно 2500.