Класс 11. Модуль 6. Производная

Класс 11. Модуль 6. Производная
Урок 2 Основные правила вычисления производной
План урока
1. Таблица производных основных элементарных функций
2. Производная суммы функций
3. Производная произведения функции на константу
4. Непрерывность функции, имеющей производную
5. Производная произведения функций
6. Производная частного функций
Таблица производных основных элементарных функций
В предыдущем параграфе мы ограничивались простейшими примерами на вычисление
производных. Использование производных от других элементарных функций и правила
вычисления производных значительно расширяют наши возможности применения понятия
производной. Приведем таблицу основных элементарных функций и их производных и в
каждом случае укажем множество М тех значений аргумента, при которых производная
существует.
f(x)
f (x)
M
с
0
при всех x
x ,n N
n
nx
n-1
при всех x
xk , k  Z, k  0
kx k-1
при x  0
x a , a  R, a  Z
sin x
ax a-1
при x > 0
cos x
при всех x
cos x
- sin x
при всех x

ех
1
cos 2 x
еx
aх
a x  ln a
при всех x
ln x
1
x
при x > 0
1
x ln a
1
при x > 0
tg x
logax
arcsin x
arccos x
arctg x

1 x2
1
1 x2
1
1 x2
 k , где к  Z
2
при всех x
при x 
при -1 < x < 1
при -1 < x < 1
при всех x
В этой таблице особо выделяются производные для показательной функции у = ех и
логарифмической функции у = ln x = loge x, где в качестве основания выбрано число е. Это
число имеет особое значение в математике, называется числом Эйлера и определяется как
1
lim (1  ) n . Число е — иррациональное число. Приближенно
n 
n
е = 2,718281828459045...
Вопрос. Чему равно значение производной функции f(x) = arctg х в точке а =
3?
Покажем, каким образом можно получить некоторые результаты, записанные в
таблицу производных.
Докажем, что ( x 2 )(a)  2a при любом а  R.
Доказательство.
(a  x) 2  a 2
2ax  (x) 2
 lim
 lim (2a  x)  2a
x 0
x 0
x 0
x
x
( x 2 )(a)  lim
Этот результат можно записать кратко как ( x 2 )  2 x что совпадает с записанным в
таблице равенством ( x n )  nx n1 при n = 2.
Вопрос.
Как доказать, что ( x 3 )  3x 2 ?
Производная суммы функций
Когда функции f(x) и g(x) имеют производные в точке а, функция f(x) + g(x) также
имеет производную в точке а, причем
( f ( x)  g ( x))(a)  f (a)  g (a) .
Это правило можно сформулировать следующим образом.
Производная суммы двух функций f(x) и g(x) равна сумме их производных:
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x) .
Пример 1.
(sin x  cos x)  (sin x)  (cos x)  cos x  sin x .
Производная произведения функции на константу
Пусть с — число, и функция f(x) имеет производную в точке а. Тогда функция
cf(x) также имеет производную в точке а, причем
(cf ( x))(a)  c  f (a) .
Это правило можно сформулировать следующим образом.
Производная произведения функции f(x) на постоянное число с равна произведению
производной функции f(x) на число с:
(cf ( x))  cf ( x) .
Пример
2.
( x 3  5x 2 )  ( x 3 )  ((5) x 2 )  3x 2  (5)  2 x  3x 2  10 x .
Вопрос.
Как доказать рассмотренные в этом пункте правила?
Непрерывность функции, имеющей производную
При доказательстве дальнейших правил вычисления производных иногда используется
следующее утверждение.
Если функция f(x) имеет производную в точке а, то f(x) непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из определения производной следует, что
 f (a  x)  f (a)

lim 
 f (a)   0
x


x 0
Если обозначить
f (a  x)  f (a)
 f (a)   (x)
x
то
lim  (x)  0 .
x 0
Используя обозначение  (x) , получаем:
f (a  x)  f (a)
 f (a)   (x) ,
x
f (a  x)  f (a)  x  ( f (a)   (x)) ,
f (a  x)  f (a)  f (a)  x   (x)  x .
Поэтому
lim f (a  x)  lim ( f (a)  f (a)  x   (x)  x) 
x 0
x 0
 lim f (a)  lim ( f (a )  x)  lim ( (x)  x) 
x 0
x 0
x 0
 f (a )  f (a )  0  0  0  f (a ).
Обозначив z = a + Δx, приходим к равенству lim f ( z )  f (a ) , что и требовалось
xa
доказать.
Вопрос. Какой из рассмотренных ранее примеров показывает, что функция может
быть непрерывной в точке, но не иметь в этой точке производной?
Производная произведения функций
Когда функции f(x) и g(х) имеют производные в точке а, функция f(x)g(x) также
имеет производную в точке а, причем
( f ( x) g ( x))(a)  f (a)  g (a)  f (a)  g (a) .
Это утверждение называют правилом вычисления производной произведения и кратко
записывают в следующем виде:
( f ( x) g ( x))  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) .
Пример 3. Установив, что ( x)  1, ( x 2 )  2 x , можно вычислить производную от х3
следующим образом:
( x 3 )   ( x 2  x)   ( x 2 )   x  x 2  ( x)   2 x  x  x 2  1  3 x 2 .
Производная частного функций
Пусть функции f(x), g(x) имеют производные в точке а и g(а)  0.
f ( x)
Тогда функция
также имеет производную в точке а, причем
g ( x)

 f ( x) 
f'(a)g(a)  f(a)g'(a)

 (a) 
.
( g (a)) 2
 g ( x) 
Это утверждение называют правилом вычисления производной частного и кратко
записывают в следующем виде:

 f ( x) 
f'(x)g(x)  f(x)g'(x)

 
( g ( x)) 2
 g ( x) 
Пример 4.

(sin x)  cos x  sin x  (cos x) cos 2 x  sin 2 x
1
 sin x 
.
(tg x)  




2
2
cos x
cos x
cos 2 x
 cos x 
Задание 1. Выбрать из предложенных ответов правильные. Правильных ответов
может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Выбрать функции, имеющие производную в точке x = 1
1. y  tg
x
2
3
2. y  1  x 2
2
3. y  1  x 3
4. y  ( x  1 ) sin(  ( x  1 ))
Ответы: 2, 4.
Выбрать функции, производная которых в точках x = 1 и x = 0.5 равна нулю
1. y  e
2. y  arcsin x  arccos x
3. y  ( x  1) 2  (2 x  1) 2
4. y  1019
Ответы: 1, 2, 3, 4
Выбрать верно вычисленные производные
1. ( ex 2 )  2ex
e
2. ( 2 x )  2ex
3. ( ex 2e )  2ex 2e1
4. ( x 2e )  2ex 2e1
Ответы: 1, 4.
Выбрать функции, касательные к графикам которых при х = 1 параллельны прямой
y  3 x  10
1
sin 3x

2. y   cos 3 x
1. y 
3. y  
3

sin x
1
tg3x

Ответы: 3, 4.
4. y 
Задание 2. Проверь себя. Выбери правильный ответ.
Под каким углом график функции у = ln х пересекает ось Ох?
1. 30
2. 45
3. 60
4. 90
Ответ: 2.
Под каким углом график функции у = arctg x пересекает ось Oy?
1. 30
2. 45
3. 60
4. 90
Ответ: 2.
Производная функции вида
1
равна
f ( x)
1
f ( x )
f ( x )
2.
f(x)
f ( x )
3. 2
f (x)
 f ( x )
4.
f 2( x )
Ответ: 4.
1.
Указать уравнение касательной к графику функции у = ln х в точке с абсциссой
а=
1
.
2
1. y  2 x  1
2. y  x  2
3. y  2 x  ln 2  1
4. y  2 x  ln 2  1
Ответ: 4.
Миниисследование
Выяснить, имеются ли точки, в которых дифференцируема функция
p
1
 , если х - рационально и равно ( дробь несократима ),
f ( x )  q
q

 0, если х - иррационально?
Домашнее задание
1. Найти производную функции:
а) 10x;
б) lg x;
г) ln x;
ж) хe;
к) 3х-3;
н) sin х — cos х;
1
р)  arctg x ;
x
2.
3.
4.
д)
з)
3
в) ех;
x;
е) x
1
;
x
1
л)
;
7x7
о) х5 - 3х2 + 2х - 1;
1
с)
 x3 .
x x
3
2
;
и) ln x ;
м) 3х;
п) arcsin х — arccos x;
Найти производную произведения:
а) x (2 x  1) ;
б) х ln х;
в) хех;
г) sin x·cos x;
д) x sin x.
Найти производную частного:
x 1
а) sin 2 x ;
б)
;
x
x 1
ln 2 x
г)*
;
д)
;
x 1
x
Найти производную функции:
а) sin 2 x ;
б) (ln x) 1 ;
в)
ln x
;
x
е)
1 x
;
x
в) cos 2x;
г) ln 3x.