Системный анализ-метод имитационного моделирования

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)”
В.М. Панченко
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
МЕТОД ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано Министерством
образования РФ в качестве учебного пособия для
студентов,
обучающихся по специальности
"Кибернетика"
МОСКВА 2004
2
ББК 1.402.050.000
П16
УДК 51.303.115; 65.0.12.122
Рецензенты:
Кудинов.
д.т.н., проф. Л.А Шуриков, д.э.н., проф. Л.Г.
П16 Панченко В.М.. Системный анализ. Метод
имитационного
моделирования:
Учебное
пособие
/
Государственное
образовательное
учреждение
высшего
профессионального образования “Московский государственный
институт радиотехники, электроники и автоматики (технический
университет)”– М., 2004. – 132 с.
ISBN 5-7339-0186-1
Системный анализ и имитационное моделирование
относятся к современным методам решения проблемных
творческих задач, лежащих на грани науки и искусства. Они
составляют основу методологии решения системных задач
теории систем (эпистемологии) и ее составляющих: теории
решения и исследовании операций.
Основное внимание в пособии уделено составлению
имитационных моделей на примерах конкретных задач для
систем массового обслуживания, а также основам системного
анализа объекта на стадии формирования его системологического
описания.
Пособие предназначено для студентов специальности
220200 и тем, кто связан с разработкой имитационных моделей и
системным анализом результатов моделирования.
Табл.16, Ил.22, Библиогр.: 30 назв.
© В.М. Панченко,
2004
3
Введение
В основе системного анализа лежит системный подход. При
системном подходе объект /реальная система/ рассматривается
как комплекс систем рационально- эмпирического типа, полнота
которого проверяется практикой взаимодействия субъекта с
объектом.
Системный анализ как совокупность методов и средств
подготовки и обоснования решений применяется к системам,
выделенным для описания объекта.
Системный анализ образует базис для изучения наук о
системах: «Исследования операций», «Теории систем», «Теории
принятия решений», «Системологии» ...
Термины «реальная система» и её «модели» являются
частным случаем понятий «объект» и «система». Например,
пространство состояний и переходов, граф гибели-размножения,
матрица смежностей и инциденций графа являются системами,
которые могут применяться для описания объекта наблюдений.
В данном пособии объектом наблюдений является реальная
система массового обслуживания, для описания которой
применяется комплекс рационально-эмпирических систем теории
массового обслуживания и имитационного моделирования
систем.
Из совокупности методов и средств системного анализа в
пособии выделен метод имитационного моделирования, как
инструмент формирования процессов стохастической природы,
протекающий в исследуемых объектах. Имитационный
эксперимент, проводимый с применением ПЭВМ, стал мощным
средством изучения сложных процессов поведения объектов
различной природы.
В ходе имитационного эксперимента формируется комплекс
эмпирических систем для системного анализа, проводимого в
условиях неопределённости, нечёткости или риска.
4
Пособие предназначено для студентов специальностей
220200 дневного и вечернего отделения МИРЭА. Оно может
быть полезным для студентов, инженеров и аспирантов,
интересующихся
проблемами
системного
анализа
и
имитационного моделирования.
Глава 1. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.1. Основные понятия
Имитационное моделирование в широком смысле
определяет методологию исследований, в основу которой
положен способ имитации реальных процессов и явлений.
Методология - это учение о структуре, логической
организации, методах и средствах деятельности. В случае
имитационного моделирования задач она включает в себя:
 создание имитационной модели реальной системы или
организуемой операции;
 проведение экспериментальных исследований на модели в
соответствии с решаемыми задачами;
 оценку и анализ экспериментальных данных, полученных в
ходе имитационного моделирования;
 принятие решений о возможности распространения
полученных результатов на реальную операцию (систему) с
целью повышения эффективности управления и в
соответствии с принятым критерием качества.
Методология имитационного моделирования опирается на
теорию вероятностей как науку о принципах построения, формах
и способах познания явлений стохастической природы. Методы
исследований, разработанные в теории вероятностей, начиная от
исходного понятия «вероятность» и до исследования случайных
процессов в сложных системах, являются основополагающими и
для имитационного моделирования.
На рис. 1.1 схематично показана последовательность
действий, применяемая при исследовании и имитации случайных
5
событий. Схема содержит две пересекающиеся части,
названные блоками: блок А - исследование процессов в реальной
операции (системе), блок Б - имитация подобных процессов.
Очевидно, что при отсутствии экспериментальных данных
стохастическая модель операции может быть построена на
концептуальной основе, как результат экспертного анализа
системы. Имитационное моделирование в этом случае
проводится в условиях неопределенности.
Если имеются априорные данные о реальной операции, то
имитационное моделирование осуществляется в условиях
стохастически определённой модели, т.е. в условиях риска.
В результате имитационного моделирования (ИМ) получают
выборки данных и их ансамбли, анализ которых средствами
математической статистики аналогичен анализу реальных
выборок и их ансамблей. Статистические значения параметров,
взятые в виде их математических ожиданий, позволяют анализ
операции
из
условий
риска
перевести
в
условия
детерминированных оценок.
По исходным данным решение задачи ИСО ведется по
цепочке:
неопределенность
случайность
(риск)
детерминированность
(определенность).
Однозначность
принимаемых решений растет от неопределенности к
детерминированности. В то же время имитационное
моделирование можно рассматривать как специфический метод
поиска решений, целесообразность применения которого растет
от детерминированных условий к условиям неопределенности.
Имитационное моделирование выступает как средство
исследования операций для оценки эффективности решений в
условиях неопределенности и риска.
Как правило, проведение прямых экспериментов на системе
для задач ИСО затруднительно. Имитационное моделирование,
по существу, является в ряде случаев единственным методом
изучения процессов в реальной системе.
6
Блок А
Блок Б
Реальная
система
/операция/
Случай
ные
процессы
Данные
наблюдений
Параме
тры
Стохастичес
кая модель
реальной системы
Проверка на
адекватность
Система
получения случайных
или псевдо- случайных
чисел
Последо
ва-тельности
случ. чисел
Имита
Механ
торы
измы
случайных случайного
Последо
событий
выбора
ва-тельность
событий
Система
механизмов
случайного выбора
Моделиров
ание
случ.
процесса
Данные имитационного
эксперимента /выборки и их
ансамбли/. Анализ данных
Обоснование и выбор решения по результатам
наблюдений и/или имитации процессов в соответствии с
принятыми критериями оценки эффективности
Рис. 1.1 Исследование и имитация операций в условиях риска.
7
Понятия «случайное число» и «единичный жребий»
составляют концептуальную основу метода имитационного
моделирования.
1.2. Случайные числа и единичный жребий
Случайное число х из множества X(x ∈X) с равновероятным
законом распределения можно получить с помощью физических
устройств случайного выбора (монеты, кубика, барабана для
лотерей, рулетки ... ) или алгоритмически.
Полученные алгоритмически случайные числа называют
псевдослучайными числами.
Выбор случайного числа х из множества X осуществляется с
помощью процедуры единичного жребия:
 подбрасывание монеты или кубика;
 вращение барабана или рулетки...
Для монеты имеем X = (решка, герб); число элементов
множества исходов m (X) = 2 .
Для кубика имеем Х= {1,2,3,4,5,6}; m(Х) = 6,
Для барабана число элементов множества X определяется
конструкцией устройства. Известны лотерейные барабаны,
рассчитанные на несколько десятков шариков от пинг-понга.
Например, лотерея 6 из 49 имеет X - {1,2,...,49}; m (X) = 49.
Для рулетки предельное число элементов множества X
определяется точностью отсчета положения стрелки на
размеченной дуге окружности (от числа секторов).
Псевдослучайные числа получаются последовательно в
результате реализации одного цикла расчета по принятому
алгоритму вычислений. Предельное число элементов множества
в этом случае определяется разрядностью получаемых чисел: для
одноразрядных m (X) =10; для двухразрядных m (X) - 100 и т.д.
Для примера: требуется составить таблицу из 400
двухразрядных, случайных чисел с помощью рулетки с
вращающейся стрелкой-указателем. Пространство под стрелкой
разобьем на 100 одинаковых секторов 360/100=3,6° на сектор.
8
Установим взаимно однозначное соответствие между 100
числами множества {00;01;02;...;99} = X и 100 секторами
(допустим, в порядке следования чисел и секторов). Проведем
400 единичных жребиев; полученные результаты сведем в
таблицу. В приложении приведена таблица двухразрядных,
случайных чисел, которая, в принципе, могла быть получена и с
помощью рулетки (табл.П. 1).
Очевидно, что для рулетки с идеальной конструкцией
реализуется
равновероятный
закон
распределения
с
вероятностью получения любого числа x ∈{00;01;...;99} при
единичном розыгрыше, равной р(х) =0,01.
Таблицы случайных чисел, в частности, с равновероятным
законом распределения, обладают следующим существенным
свойством: выборка чисел из таблицы может производиться
любым способом, а не только в порядке их получения в процессе
«генерации» чисел. Например, выбор через одно число, выбор
ходом шахматного коня, выбор по диагонали или по адресному
(позиционному) алгоритму, в общем, по усмотрению
экспериментатора.
Однако правила выборки не должны быть связаны с
абсолютной величиной числа.
При любом адресном алгоритме выборки чисел из таблицы
обеспечивается в конечном итоге присущий таблице закон
распределения для статистически значимой выборки. Заметим,
что с этой точки зрения выбор множества случайных чисел R или
его дополнений до универсума I - R статистически равнозначен.
Итак, основополагающей процедурой метода ИМ является
единичный жребий. Цель единичного жребия заключается в
имитации случайного выбора элементарного события ej из
универсума ie. Множество элементарных событий разбиверсум ie
на попарно непересекающиеся подмножества элементарных
событий:
Ei  E j = θ; U Ei = I E.
i
9
U
п
Т2
Т1
Тn
~
x3
~
x2
~
x1
…
….
Т3

x  (~
x1; ~
x2 ; ~
x3 ;....~
xn )
~
xn
~
xi {0;1}
;
p  (~
xi  1)  p( ~
xi  0)  0,5
а
М
К
С
0
0 00 0
0
0 0 0
0
0
2n  0;
2 n1  0.
>
С
ч
{T }  N  {~
x1; ....; ~
xn }
0
Э
0
0 0 0
0 1
2 34
5
n
2 2
n+1
ВМ
б
Рис. 1.2 Получение случайных чисел на основе сигнала типа
белый шум:
а—линейка из триггеров (триггер вместо монеты);
б—эффект лопающихся пузырьков
10
Если каким-либо способом (экспертно или экспериментально)
определена вероятностная мера для элементарных событий, т.е.
Op(Ei)1; ∑p(Ei ) = 1; p(I) = 1;
i
то можно сконструировать имитационную процедуру случайного
выбора EiI в соответствии с вероятностью p(Ei)
Случайный выбор в теории игр называют исходом. В двух
альтернативных случаях, если равновероятны оба решения
операции, процесс определения исхода можно промоделировать с
помощью
единичного
жребия,
реализуемого
путем
подбрасывания монеты, для которой приняты равновероятными
исходы выпадения решки (Р) или герба (Г). Монета является
конструктивным воплощением двухальтернативного равновероятного механизма случайного выбора; процесс ее
подбрасывания является реализацией единичного жребия.
Монета и кубик - самые распространенные механизмы
случайного выбора (МСВ) для имитации последовательности
равновероятных элементарных, случайных событий, заданных
дискретными законами распределения. Введем обозначения:
МСВ - М - механизм случайного выбора, состоящий из
одной монеты;
МСВ - К - механизм случайного выбора, состоящий из
одного кубика, размеченного по граням символами от 1 до 6 (или
другим способом, например, раскраской).
МСВ - М - разбивает универсум I на две части, попадание в
каждую из которых равновероятно и равно одной второй (0,5).
МСВ - К - разбивает универсум на шесть равных частей
(шесть элементарных событий), попадание в каждую из которых
равновероятно и равно одной шестой (0,166(6)).
Если одновременно применять две монеты, то получим
механизм, разбивающий I на четыре части, определяемые
равновероятными кортежами событий из множества {(ГГ), (ГР),
11
(РГ) ,(РР)} c исходом каждого кортежа ( i , j ) с равной
вероятностью 0,25; здесь i - грань 1-й монеты; j - грань 2-й
монеты (например, первая монета-пятак, а вторая - полтинник; в
данном случае монеты различимы).
Для МСВ из двух монет можно ввести обозначение МСВ2хМ.
Если монеты неразличимы, то имеем не равновероятную
систему элементарных событий I={E1;E2;E3} например, при
соответствии
E1 ~ ГГ; E 2 ~ ГР ∨РГ; E 3 ~ РР
p(E1 ) = p(E 3 ) = 0,25; p(E 2 ) = 0,5
Рассмотренный случай имитационного моделирования,
применяемый в азартных играх, послужил началом изучения
законов теории вероятностей. Развитие вычислительной техники
и
теории
вероятностей
привели
к
распространению
имитационного моделирования в качестве средства решения
сложных задач стохастической природы. В настоящее время
метод имитационного моделирования широко применяется в
исследовании операций для изучения и анализа множества
стохастических процессов, объединяемых реальной системой
(операцией).
1.3. Способы получения случайных и
псевдослучайных чисел на ЭВМ
Простейшие МСВ (монета, платоновские тела [10])
работают в гравитационном поле земли. Случайность
определяется устройством МСВ и способом реализации
розыгрыша (подбрасывание).
Для автоматизации получения случайных чисел с помощью
ЭВМ применяется сигнал типа белый шум, отличающийся
постоянством спектральной плотности в широком диапазоне
частот. Рассмотрим для примера две схемы реализации МСВ на
основе
сигнала
типа
белый
шум
(рис.
1.2).
12
Первая схема представляет собой линейку не связанных
между собой триггеров. Если опираться на гипотезу о том, что в
момент включения триггер с равной вероятностью может иметь
на выходе сигнал из множества {0; 1}, то с помощью линейки из
n триггеров можно формировать n - разрядное двоичное,
случайное число. Всего таких чисел 2n. Здесь белый шум
работает на уровне р - n переходов.
Вторая схема включает в себя компрессор К, нагнетающий в
сосуд С воздух, пузырьки которого, выходя из воды, лопаются,
создавая звук (белый шум). Через микрофон М звук усиливается,
и на счетчике Сч ведется подсчет числа пересечений случайного
сигнала с напряжением уставки Uc* за время наблюдений Т. Если
на счетчике четное число, то считывается, допустим, 0 , если
нечетное, то 1 . Элементы множества {0,1} последовательно
заполняют регистр ЭВМ, содержащий n разрядов. По заполнении
регистра сформировавшееся случайное число считывается в
память ЭВМ, счетчик обнуляется, цикл повторяется.
Поступившее в память ЭВМ случайное число может
непосредственно включаться в имитационный процесс или
поступать на запись в банк случайных чисел и использоваться по
мере необходимости.
Для имитационного моделирования в настоящее время
применяют псевдослучайные числа, получаемые алгоритмически,
а не путем длительной имитации случайных процессов, при
которой требуются большие объемы памяти для хранения таблиц
случайных чисел.
Алгоритмические способы получения случайных чисел
опираются на рекуррентные правила построения последующего
случайного числа из предыдущего (или из нескольких
предыдущих):
rn +1 = f (rn); rn +1 = f (rn ;...; rn i )
13
Первый известный метод Неймана, метод середины
квадратов, формирует 4-разрядные случайные числа по
следующим правилам:
1. Взять 4-значное число, rj.
2. Возвести его в квадрат, rj2 .
3. При необходимости приписать слева (или справа) нули до
образования 16-значного числа.
4. Выбрать средние 4 разряда этого числа и принять их за rj+1
5. Повторить цикл до заданного n для получения множества
чисел {r1; ...; rn}.
Например, для r1 = 0921 имеем:
7921; 7422; 0860; 7396; 7008; 1120; 2544; 4719; 2689; 2307;
3222; 3812; 5313; 2279; 1938; 7558; 1233;5202;0608;3696; 6604;
6128; 5523; 5035; 3512; 1628; 6503; 2890; 3521; 3974...
Нетрудно видеть, что приведенные числа распределяются на
интервале [0,1] после нормирования весьма неравномерно:
[0; 0,1] - 2; [0,1; 0,2] - 4; [0,2; 0,3] - 5; [0,3; 0,4] - 7;
[0,4; 0,5]-1 ; [0,5; 0,6] - 4;[0,6; 0,7] - 3;[0,7; 0,8] - 5;
[0,8;0,9]- 0; [0,9; 1] - 0,
всего 31 число.
Исследования,
проведенные
при
различных r1 ∈R H = {(x1,..., x 4 )} где x i ∈{0,1,...,9 } , показали, что
при удачных r1 «зацикливание» последовательности происходит
через несколько десятков тысяч чисел, числа распределяются
относительно неравномерно на интервале [0,1] с количественным
преобладанием малых чисел и недостатком больших чисел.
Метод
Неймана
отличается
простотой
получения
псевдослучайных чисел, имеет существенные недостатки по
равновероятности их распределения.
Последовательное применение нескольких рекуррентных
формул
привело
к
созданию
более
совершенных
мультипликативных конгруэнтных методов, в основе которых
лежит идея блуждания по классам вычетов. Так, например, один
14
из мультипликативных конгруэнтных методов опирается на
арифметическую процедуру вида
Ri+l = a Ri (mod m),
где а и m - положительные числа, выбираемые в
зависимости от типа ЭВМ. Из аддитивного конгруэнтного
метода, основанного на рекурсии Ri+1 = (Rj + Ri-1)(mod m),
при Ro=0 и R1=l и m=l получается, в частности,
последовательность чисел Фибоначчи:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
На основе сравнения чисел на эквивалентность по
заданному модулю был построен и испытан ряд генераторов
псевдослучайных чисел как конгруэнтного, так и смешанного
конгруэнтного типа, например:
Ri+l = aRi + с (mod m),
а также различные комбинации генераторов [1].
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИМИТАЦИОННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
2.1. Последовательности случайных чисел с
произвольным законом распределения
Как преобразовать последовательность случайных чисел rp ,
с равновероятным законом распределения в последовательность
случайных
чисел
с
произвольно
заданным
законом
распределения с плотностью f(r)?
rx
rp =
f ( x )dx
∫
∞
Для этого необходимо решить аналитически или графически
следующее интегральное уравнение:
где rх - случайное число с плотностью распределения f(х);
15
rp - случайное число с равновероятным распределением.
Функция ƒ(х) может быть задана аналитически или
графически. Решением уравнения является, например, значение rх
= f(rp), т.е. значение верхнего предела интегрирования,
соответствующее нормированному значению числа rp ∈[0,1].
Поиск rх = f(rр) можно осуществить в общем случае
графически.
Рассмотрим графическую иллюстрацию решения задачи
преобразования случайного числа из таблицы случайных чисел с
равновероятным законом распределения rр в соответствующее
ему число rх для произвольно заданного закона распределения.
F
1
1(rp)
F
0
2(rp)
,75
9
9
0
r
x(rp)
r
x
Рис.2.1. Графическое решение задачи
На первом шаге преобразования берется случайное число rp
из таблицы случайных чисел (например, rр = 75 на рис.2.1). Затем
оно нормируется, т.е. умножается на масштабный коэффициент
(в нашем случае 0,01); геометрически это соответствует
отображению
числа
rр
через
прямую
F1(rp)
в
16
значение F2(r). На следующем шаге берется обратная функция
F2-1(r) при значении F2 (r) = F1 (rp): F2-1 (F1 (rp)) = rх .
Геометрически взятие обратной функции равносильно
определению значения аргумента rх при известном значении F2(r).
Вся цепочка построений:
rр F1( rp)  F2( rx)  F2-1 ( rх )rх ,
где F1(r)=F2(rx); F2-1(rx) = rx .
В
случае
нормированного
распределения с нормой
нормального
закона
z2
2
1
x μ
e
имеем f (z) =
δ
2π
Подставив f(z) в интегральное уравнение, получим:
z=
rн
rp =
rн
∫f (z)dz = 0.5 + ∫f (z)dz
∞
0
или
rH
rp
0.5 =
∫f (z)dz = Ф(z)
0
где Ф(z) - функция «интеграл Лапласа», значения которой
табулированы [2, с.658].
Вычисление rн сводится к следующему:
 определить значение rр - 0.5, принять его в качестве значения
Ф(z) ;
 по таблице значений функции Лапласа определить rн= z, при
котором rр - 0,5 - Ф(z).
Таким образом, определение rH сводится к поиску значения
обратной функции Лапласа: Ф-1 (rр - 0.5) = rн
17
Пример. Для rp ∈{0,1,2,... .9} определить соответствующее
значение rн.
Решение.
Нормируем значение rр:
rp ∈[0,1) = X
(X - множество чисел универсума).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф-1 для r:
RP;X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ф-1=rH
-3.6
-1.281
-0.842
-0.525
-0.254
0
+0.25
RP -0.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
+0.1
4
0.7
+0.2
+0.52
5
0.8
+0.3
+0.84
2
0.9
+0.4
+1.28
1
Пример.
Одноразрядную последовательность случайных чисел
(3;5;1;2;8;6;7;0;9;4) из таблицы с равновероятным законом
распределения требуется преобразовать в последовательность
случайных чисел с нормированным нормальным законом
распределения (σ = 1, μ = 0).
Решение.
Согласно таблице из предыдущего примера, имеем - (после
нормировки чисел):
0,3
0,5
0,1
0,2
0,8
0,6
0,7
0,0
0,9 0,4
18
-0,53
-3,6
-1,28 -0,84 +0,84
+0,25
+0,52
0,0
При μ=0 получим последовательность чисел:
+1,28-0,25
19
(-0,53 ;  3 ; - 1,28 ;-0,84 ;  0,84 ;  0,25 ;  0,52 ; 0;-1,28 ;-0,25 ).
2.2. Равномерные последовательности
При ограниченной выборке получение равномерного
заполнения интервала [0,1] является сложной задачей.
Вместо псевдослучайных чисел в этом случае можно
применять так называемую равномерно распределенную
последовательность чисел, гарантирующую, что в каждый
интервал Δp(x i ) ∈[0,1] попадет количество чисел (точек),
пропорциональное длине отрезка Δp.
Физически бросание жребия заменяется выбором
очередного числа равномерной последовательности.
Рассмотрим, например, алгоритм получения равномерной
последовательности на основе матрицы Паскаля [3,с.11]:
1000000 ...
M=
1100000
...
1210000
...
1331000
...
1466100
...
.
.......... ..... ...
Матрица Паскаля М представляет собой бесконечную
матрицу, в которой легко узнать одну из форм записи
треугольника Паскаля. Элементами матрицы mnr являются
биномиальные коэффициенты Сnr , r ∈{0,1,2,...n} с известными
свойствами mnr = Сnr .
Если к матрице М применить преобразование mnr (mod 2) =
anr то получим направляющую матрицу А:
20
100000
A0
110000
A1
101000
A2
A[a nr ]  111100
A3
100010
A4
110011
A5
..
.......... ...
в которой нечетные элементы  Паскаля заменяются 1, а
четные - 0; А - направляющая матрица, образованная из М.
В каждой строке направляющей матрицы А количество
единиц конечно и не равно нулю.
Определим каждой строке в соответствие, следующее
двоично-рациональное число:
А= 0, аn1,аn2,аn3,... ani
Получим последовательность направляющих чисел:

a = (A 0 ; A1; A 2 ;; A n ).
Последовательность двоично-рационального типа
последовательность) строится по следующему алгоритму:
А. Если i=0,
r(0)=0.
Б. Если i=2n,
r(i)=An+1.
В.Если 2n<i<2n+1
(i)=r(2n)+r(i-2n),
(ДР
где операция  определяется как сравнение кодов,
исключающее «или», поразрядное сложение по модулю 2
функции r(i). Эта функция ложна тогда и только тогда, когда все
разряды кодов r(2n) и r(i-2n) совпадают: r(2n) = r(i-2n ), что
соответствует двоичной арифметике: 0 + 0 = 0; 1 + 1=0. В
противном случае хотя бы в одном разряде имеем:
0+1 = 1 + 0=1.
21
ДР - последовательность определяет порядок заполнения
двоичных участков числам последовательности из {0,1}.
Алгоритм формирования ДР последовательности можно
записать более компактно.
Пусть i - номер числа в равномерно заполняемой
последовательности чисел, например i(10) = 19. Соответствующее
двоичное число равно i(2) - 10011, т.е.
i(2)= bm bm-i .... b0 ;
bm= bs=l....
Тогда
r(i) = b0 A0 ⊕b1A1 ⊕b 2 A 2 ⊕b m A m , (2.2)
следовательно, для i(2)= 10011 получим:
b 0 = b1 = b 4 = 1
; r(i) = A 0 A1A 4 ,
Для матриц А имеем:
A0 = 10000
⊕
A1 = 0,11000
⊕
.
A 2 = 0,10001
r(i) = 0,11001 = 25/32 ≈0,78
На I = [0,1] это соответствует попаданию Хр в точку с
координатой 0,78.
Согласно (2.2) и направляющей матрице А в табл. 2.1
определены числа, равномерно заполняющие отрезок [ОД], и
имитируемая ими равномерная последовательность чисел i(2).
Процедура реализации единичного жребия при этом
заключается в формировании последовательности чисел и
определении точки их попадания в мишень, представленную в
виде континуума [0,1].
Важным является выполнение требования к закону
распределения последовательности цифр.
Равномерное распределение цифр в рассмотренном случае
отвечает требованию равновероятности их распределения.
22
Поэтому частота моделируемых решений при достаточной
длине выборки чисел всегда будет соответствовать вероятности
ожидаемого события, соответствующего заданному дискретному
закону распределения, а также всегда в случае, если длина
выборки кратна 2n .
Таблица 2.1
Равномерная последовательность чисел
i(10)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(A3A2A1A0)
I(2)
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
r(i)=f(A)
A0
A1
A0+A1
A2
A0 +A2
A1+A2
A0+ A1+A2
A3
A0+ A3
A1+A3
XP[0.1]
0.1000=8/16=0.5
0.1100=12/16=0.75
0.0100=4/16=0.25
0.1010=10/16=0.625
0.0010=2/16=0.125
0.0110=6/16=0.375
0.1110=14/16=0.875
0.1111=15/16=0.9375
0.0111=7/16=0.4375
0.0011=3/16=0.1875
2.3. Последовательности чисел и потоки событий
Системы
массового
обслуживания
характеризуются
потоками событий на входе и выходе.
Если потоки событий пуассоновского типа, то описание
пространства состояний и переходов системы строится на
решении системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
В частном случае простейших потоков событий в системе ее
граф состояний и переходов представляется графом гибелиразмножения.
Для имитационного моделирования простейших потоков
событий в системе необходимо последовательность случайных
чисел с равновероятным законом распределения отобразить в
поток событий, подчиняющийся экспоненциальному закону
распределения:
23
F( t ) = 1 e
λt
= rp
т.е. преобразовать кортеж случайных чисел rp в кортеж
интервалов времени t = f(rp) между отдельными моментами
наступления событий.
Эта задача решается аналогично задаче преобразования rр в
rх(rр) при заданном законе распределения F2(rx), если вместо rх
рассматривать параметр t(rp). Задача имеет аналитическое
решение.
Действительно, пусть t(rp) = tr = rх; тогда
e
λt
= rp 1 = r*; ln e
1
tr =
ln r *
λ
λtr
= λt r = ln r *
Т.к. r* также случайное число с равновероятным законом
распределения, то при расчете tr можно пользоваться той же
таблицей значений rр, т.е. принято по существу, rp ≡r * .
При λ ≠1 получаем tr = - In r* , r*∈[0,1], следовательно,
значение ln r* отрицательно и tr всегда положительно или равно
нулю.
При λ≠1имеем l/λ = t r = m t ,
tr = - trlnr*,
где m t = t r - математическое ожидание tr.
Пример.
Дать графоаналитическое решение для преобразования
rp → tr при различных λ.
23
Решение.
При λ= 1 имеем tr = ƒ(r) = Cn r:
R 0
Tr
0,1
2,3
0,2
1,6
0,3
1,2
0,4
0,9
0,5
0,7
0,6
0,5
0,7 0,8
0,6 0,2
0,9
0,1
1
0
Изменение λ, равносильно умножению значения tr при λ=1
на коэффициент λ-1, что можно выполнить графически с
помощью линейного преобразования.
На рис 2.2 показан график для преобразования rр в
соответствующее tr при различных λ.
Графически определение tr при заданном λ, например,
λ=1,14 , сводится к определению точки пересечения прямой tr=l/λ
(в нашем случае t r ≈0,7 ) с вертикальной линией, проходящей
через точку tr при λ=1.
На рис.2.2 штрих пунктиром показан процесс поиска
искомой точки для λ = 1,14 ; при этом значение tr = 0,2.
2.4. Длина выборки случайных чисел на входе в СМО
Определим длину выборки при равновероятном законе
распределения. Учтем, что процессы в реальных СМО
ограничены по времени своей работы длиной принятого рабочего
дня, перерывами на обед и отдых и другими нестационарностями
в графике работы системы. Изучение подобных систем лишь в
первом приближении допустимо на основе теории Марковских,
случайных процессов. Метод имитационного моделирования в
какой-то мере позволяет исследовать влияние отдельных
нестационарностей на ход переходных процессов, характерных
для реальной системы.
Одним из существенных показателей СМО является
соответствие ее пропускной способности входному потоку
24
tN=maxtr=t
max
.9
.8
.7
.6
.5
.4
.3
.2
.1
0
0.
1028
0
0.
02206
0.
0 3541
0.
0 5082 0.
0 6906 0.
9137
0
1.
0
2014 1.
rp 6069
0
=0.1
0
tmax
=5 мин
trN=tr/
tN
tr=-ln
l
3016
0.
0
0
.32 0
.40 0
.46
0
.60
0
.70
0
.80
115
1
.20
3
tr
при =1

0.
23
2

2.
0.4
6/1.15
0.4
6tN
=4
t r  0.25

=2
t r  0.5
4
5
trN tr
tr=f
()

=1.14
Рис.2.2 Преобразование rp в tr
rp—из табл. П.1; tr интервал времени; trN нормированные по

принятой величине среза.
=1
25
запросов. Входной поток запросов в определенной степени
является не зависимым от состояния СМО.
Для примера рассмотрим случай, когда на входе в систему
поток запросов имеет равновероятный закон распределения с
плотностью λ.
Примем 7-часовой рабочий день. Допустим, λ = 6 s/час
(событий в час), математическое ожидание времени наступления
cобытий λ-1
Легко ответить на вопрос, сколько событий в этом
случаедолжно произойти за 7 часов работы системы: 6 s/ч*7ч=42s.
Другой вопрос: сколько потребуется случайных чисел, чтобы
промоделировать 7-часовой рабочий день по входному потоку в
систему? Очевидно, следует оценить эту выборку в среднем
числом событий, ожидаемых на входе в систему, т.е.
n (Фвх ) = λ • T = T t λ .
При λ = 6 s/ч получим n(Фвх)=42.
При λ = 1 имеем
n (Фвх ) = T .
6 s ч = 1s / 10мин = λ
Если
время
отсчитывать
в
единицах t λ то имеем в нашем примере
В семичасовом рабочем дне получим 42 интервала по 10 мин.
Длина выборки из n исел при известном законе
распределения с математическим ожиданием mn равна
( n, m) = n(Фвх ) mn .
Для равновероятного закона распределения имеем
mn ∈{0,5,5,50,500,....}
где 0,5 - для нормированных чисел в интервале [0,1];
5 - для одноразрядных случайных чисел;
50 - для двухразрядных случайных чисел и т.п.
26
Таким образом, чтобы ответить на вопрос, сколько
потребуется случайных чисел для моделирования Фвх в течение 7
часов, можно воспользоваться значением ( n, m) и следующим
правилом:
-сумма цифр выборки случайных чисел, достаточная для
моделирования входного потока, должна быть более или равна
значению ( n, m) .
Рассмотрим задачу определения длины выборки при
произвольно заданном законе распределения потока событий на
входе в СМО.
В этом случае можно использовать полученные
результаты, если учесть, что каждое случайное число с
равновероятным распределением претерпевает нелинейное
преобразование, отображающее его в соответствующее число,
являющееся параметром заданного закона распределения.
Графоаналитическое решение задачи строится по цепочке:
rp → F1 (rp ) → F2 (r) → F2-1 (r) → r → x ,
где х - искомый параметр имитационной модели,
соответствующий случайному числу rр из последовательности
чисел с равновероятным законом распределения.
В силу нелинейности преобразования F2(r) в общем случае
при оценке длины выборки можно воспользоватьсянеравенством
типа
∑x i (rip ) n (Ф)mx
∀i
где xi(rip) - значение параметра х для случайного числа rр для iго жребия; n (Ф) - среднее число ожидаемых событий; mхмасштабный коэффициент, зависящий от разрядности
применяемых случайных чисел, равный математическому
ожиданию для заданного закона распределения.
27
2.5. Моделирование СМО типа М/М/1
СМО типа М/М/1 является простейшей одноканальной
системой массового обслуживания с отказами.
Пространство состояний и переходов представляется двумя
состояниями:
S0 - система свободна; S1 - система занята. Интенсивность
потока заявок А; интенсивность потока обслуживания μ .
Законы распределения потоков событий показательные с
плотностью f λ (t) = λe- λt ; f μ (t) = μe-μt .
Поток заявок на входе не зависит от состояния системы.
Состояние системы разделяет входной поток на два: поток
обслуживаемых заявок и поток отказов.
Поток обслуживаемых заявок зависит от интенсивности
потока заявок на входе в систему и интенсивности
обслуживания.
Аналитическое решение для описания переходных
процессов и определения параметров СМО получается из
решения дифференциальных уравнений Колмогорова
dp 0 /dt = - λp 0 + μp1, dp1/dt = - μp1 + λp 0 .
и нормирующего условия p0(t)+p1(t)=l.
По существу, решение сводится к решению одного линейного
дифференциального уравнения относительно p0(t) . При Р0(0)=1 имеем, в
частности,
p0 (t ) = (μ (λ + μ))e
(μ + λ ) t
.
При t→ (для установившегося процесса) имеем
p 0 = (μ (λ + μ )); p1 = 1 p 0
Абсолютная и относительная пропускные способности
системы равны соответственно A = λq, q = p 0 .
28
Вероятность отказа Ротк = p1 = 1-q.
Рассмотрим процесс имитационного моделирования СМО
типа М/М/1 при λ=μ=1.
При моделировании будем пользоваться приложением:
табл.П.1 двухзначных случайных чисел, табл.П.2. и П.З
отображения их в параметр t.
Условимся для λ выборку чисел производить с адреса А1 в
порядке чтения цифр (слева направо и сверху вниз), а для μ
выборку чисел производить с адреса Ф20 справа налево и снизу
вверх.
Результаты процесса моделирования представлены в форме
табл.2.2. Для определенности отсчета времени принято:
λ=μ=1за 5 мин.
Моделирование ведется с отсчетом времени в виде пятиминутных
интервалов, что соответствует 12 s/ч.
Ограничим моделирование 24-мя событиями на входе
системы (24 заявки). Это соответствует в оценке по
λ = 1 s 5мми интервалу времени
T = 24/λ = 120 мин .
Начало моделирования: p(S0)=1 - система свободна.
Выбираем первое число из табл. П.1. Это число 85 с адресом А1 .
Согласно таблице П.З. ему соответствует время прихода
очередной заявки через 0,16λ, при λ=1 имеем просто 0,16 (в
единицах измерения [λ]).
В момент времени 0,16 СМО приступает к
обслуживанию первой заявки (номера заявок указаны в графе I
табл. 2.2). Время обслуживания определяется случайным числом r1
(по адресу Ф20, как было принято ранее) и равно 0,34 в
единицах[μ].
Следовательно, канал освободится через время
0,16+0,34=0,5, что и отмечено в столбце 7 табл. 2.2.
Заявка 2, пришедшая ранее этого времени (0,46 < 0,5),
29
получает отказ.
Далее процесс моделирования развивается аналогично:
заявка получает обслуживание или отказ в зависимости от
состояния системы, которое определяется сравнением времени
прихода очередной заявки (столбец 4 табл.2.2) с временем
освобождения канала от обслуживания (столбец 6).
Таблица 2.2
Результаты имитационного моделирования СМО типа М/М/1 для
заданной выборки случайных чисел
I
R
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
85
74
54
90
40
69
01
63
12
41
12
70
37
61
48
87
84
86
93
70
45
75
62
76
0.16
0.30
0.62
0.11
0.92
0.37
4.61
0.46
2.12
0.89
2.12
0.36
0.99
0.49
0.73
0.14
0.17
0.15
0.07
0.36
0.80
0.29
0.48
0.27

t
R
t
0.16
0.46
1.08
1.19
2.11
2.48
7.09
7.55
9.67
10.56
12.68
13.04
14.03
14.52
15.39
15.53
15.70
15.85
15.92
16.28
17.08
17.37
17.85
18.12
71
0.34
58
02
43
12
07
30
86
93
62
0.54
3.91
0.84
2.12
2.66
1.2
0.15
0.07
0.48

t+ t
0.16+0.34=0.5
Отказ 0,5+0,46
1,08+0,54=1,62
Отказ1,62+1,19
3,91+2,11=6,02
Отказ6,02+2,48
7,09+0,84=7,93
Отказ
9,67+2,12=11,79
Отказ
12,68+2,66=15,34
Отказ
Отказ
Отказ
15,39+1,2=16,59
Отказ
Отказ
Отказ
Отказ
Отказ
17,08+0,15=17,23
17,37+0,07=17,44
17,85+0,48=18,33
17,08+0,15=17,23
+
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
В итоге для данной выборки случайных чисел rλ и rμ десять
заявок получают обслуживание и 14 получают отказ.
30
Относительное число отказов 14 / 24 ≈ 0,58 что на 8%
больше ожидаемого теоретически при
λ = μ = 1; p 0 = p1 = 0,5
Среднее время обслуживания в СМО t μ = 1,231,что больше на
23,1% ожидаемого теоретически для значения λ = 1.
При достаточно большой выборке rλ . следует ожидать
значений
p 0 ≈0,5; tμ ≈1
1
2
0
0
,16
0
S
4
1
,5
t[
]
,0
–
1
0
3
–
3
S
S
0
1
1
S
0
S
S
t[
]
1

Рис.2.3. Форма циклограммы процесса имитации работы СМО
типа М/М/1
Идею процесса имитационного моделирования СМО можно
иллюстрировать графически в форме циклограммы процесса
прихода и обслуживания. На оси времени представить
31
моменты поступления заявок в систему, т.е. поток Фвх(t). На оси
состояний системы показать интервалы обслуживания заявок.
Ось состояний выступает в роли случайного фильтра,
пропускающего заявку в систему или формирующего отказ.
На рис. 2.3 на оси 2 состояние, когда канал занят, показано
прямоугольниками. Свободному состоянию СМО соответствует
тонкая осевая линия. Если в этот момент приходит заявка, она
занимает канал.
2.6. Замена непрерывных процессов их дискретными
аналогами
2.6.1. Время обслуживания при нормальном законе
распределения
Процесс имитации на основе непрерывных законов
распределения можно упростить, если учесть реальные условия и
требования к точности имитации.
Рассмотрим пример разработки дискретного аналога
имитатора (МСВ) для имитации параметра t μ с законом
распределения при mt = 20 мин и σ = 5 мин, если по условиям
исследований
реальной
системы
приняты
следующие
ограничения по точности:
1)t:= 20 мин, если t ∈(17,5/22,5),
2)t:= 25 мин, если t ∈(22,5/27,5),
3)t:= 30 мин, если t ∈(27,5/32,5).
Другими словами, принимается дискретный ряд
Значений t μ : t i ∈{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} = T ;при
попадании t μ в интервал (ti-2,5; ti+2,5) принимается среднее
значение параметра t μ = t i , т.е., где t i ∈T , Т- заданное множество
значений. Кроме того, принята гипотеза о нормальном
распределении t μ на непрерывном интервале [5/35] с t μ = 20 и
σ = 5.
32
В этом случае можно перейти к описанию имитатора в
отрезках, оценив вероятность попадания t в каждый из отрезков:
t i +Δt
pi = p[ t i
Δt i ; t i + Δt ] =
p( t )dt ;∀i
∫
t i +Δt
Для заданных параметров получается следующий ряд
значений
 (t - 20)2 
1 7,5
 dt - 0,01
p(2,5;7,5) = p(32,5;37,5) =
∫exp 
5 2 π 2,5
 2 25 
p(2,5;7,5) ≈p(32,5;37,5) ≈0,24;
p(12,5;17,5) ≈p(22,5;27,5) ≈0,24
p(17,5;22,5) ≈0,38.
При этом надо проверить, чтобы при принятых
приближенных результатах выполнялось точное равенство
единице
суммы
всех
вероятностей:
2-0,01+2-0,06+2-0,24+0,38=1.
В нашем случае дискретный MCB-tμ можно представить
виде
5 10 15
20
25
30
35
Значение вероятности на универсуме I = [0,1]pi = [pi H ; pi k ]
МСВ -tμ на универсуме [0,1]и соответствующие
интервалы двухзначных случайных чисел:
[Rи;Rк]
[00;00] 1 
t  5мин  r  [0;0,01);
t  5мин  r  [0,01;0,07); [01;06] 6 


t  5мин  r  [0,07;0,31); [07;30] 24


t  5мин  r  [0,31;0,69); [31;68] 38
t  5мин  r  [0,69;0,93); [69;92] 24


t  5мин  r  [0,93;0,99); [93;98] 6 
t  5мин  r  [0,99;1);
[98;99] 1 

[p iH ; p iK ]∈[0,1]; ∑= 100чисел
33
2.6.2. Число поступивших заявок при показательном
законе распределения
При моделировании потока событий с показательным
законом распределения определяется время наступления
очередного события.
Рассмотрим случай, когда задан интервал наблюдений и
требуется оценить количество заявок, которые могут поступить в
систему в этот интервал. Предположим простейший поток
событий с интенсивностью λ(t) на входе в систему. Известно, что
пуассоновское распределение получается из биномиального при
n → ∞и p → 0 :
ξ ξ
p ( ) = e ,
!
где ξ - ожидаемое или среднее число событий,
M[] = D() = ξ;
ℓ- число событий.
Для стационарного потока событий имеем ξ = λτ ; значение 4
пропорционально интервалу времени наблюдений и плотности
потока событий. Заметим, что для нестационарного
tH +τ
случая
(t)dt значение ξ зависит от времени начала
∫
tH
наблюдения t μ на оси временя Т.
Подставив вместо ξ, его значение в формулу для расчета
p( ) , получим зависимость для оценки вероятности наблюдения
ℓ событий на участке τ.
Сумма вероятностей ∑p() должна быть равна 1.
∀
Соответствующий МСВ -ℓ позволит имитировать число
событий ℓ как функцию от случайного числа r на заданном
интервале τ.
Рассмотрим пример.
Пусть время наблюдений τ = 5 мин. Известно, что в
34
среднем в час приходит 6 заявок в систему, а в часы пик - в два
раза больше (12 заявок), т.е.:
λ1 = 6s/ч ; λ2 = 12s/ч .
Требуется
разработать
МСВ–λ1
и
МСВ–λ2
в
предположении действия пуассоновского закона распределения.
Для τ = 5мин удобно вести измерение времени в единицах
τ:
6
6
λ1 = s мин = s τ = 0,5 s τ ; τ = 5мин
12
12
λ2 =
12 5 s
1sτ.
τ
60
В стационарном случае имеем ξ = λτ ∈{0,5s,ls}, т.е.ξ,равно
значению λ, с размерностью s, и при измерениях в единицах τ
имеет место зависимость
λ1 λ
p(l ) = e
l!
где размерность λ определяется числом событий, наблюдаемых
на интервале τ. Для конструирования МСВ -λ. можно
воспользоваться таблицами значений p() [4]:
l
l
l
l
l
l
l
0
0=2 0=3 0=4 -=5 -=6 1
 =0 =1
0
1
=0,5 ,6 0 ,3 0 ,09 0 ,01 0
=1 ,37 ,37 ,19 ,06 ,01
Для двухразрядных ненормированных случайных чисел МСВ -λ,
имеют вид:
l=0
l=1
l=2
l=3
=0,5
=1
l=0
l=1
l=2
l=3
l=4
35
Глава 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РЕАЛЬНЫХ СМО
3.1. Этап изучения и математического описания системы
Вспомним, что под операцией понимают функцию действие (любое мероприятие или систему действий),
осуществляемое некоторой организацией в соответствии с
определенными условиями и правилами. Под организацией в
широком смысле понимается человеко-машинная система (ЧМС),
в составе которой могут быть подсистемы. В некотором смысле
выполняется основное свойство бесконечных множеств: часть
обладает свойствами целого.
Моделирование
операции,
по
существу,
является
моделированием процессов в исследуемой системе (подсистеме),
управляемой с помощью команд в виде принятых правил и
инструкций,
определяющих
допустимые
процессы
функционирования системы (подсистемы).
Этап изучения операции начинается с исследования
организационных принципов и правил функционирования
реальной системы, определения структуры и модели системы,
описания ее работы и связей с внешней средой, а также сбора и
обработки, доступных исследователю статистических априорных
и апостериорных данных о системе.
В результате изучения и анализа системы должна быть
построена математическая модель. Согласно обшей теории
систем, построение модели начинается с лингвистического
описания системы как множества правильных высказываний о
ней.
Экспертный подход при составлении лингвистического
описания системы является на начальном этапе основным
средством достижения качественного и непротиворечивого
36
результата.
Дальнейшая формализация лингвистического описания
связана с формализацией его представления на теоретикомножественном уровне, когда отношение "включения" позволяет
выделить множества подмножеств из лингвистического
описания, т.е. представить хотя бы частично описания в виде
системы типа
X s ⊆X = X1 * X 2 * * Xn
Здесь система Xs выступает как результат классификации и
распознавания на теоретико-множественном уровне абстракции.
В дальнейшем ведется формализация множества отношений
между элементами множеств множества X:
R={R0;R1;R2;...;Rm}.
Это позволяет описание системы строить в понятиях
математических структур:
S = <Хs,R> ,
где Xs - основное, базовое множество понятий, определенное
на теоретико-множественном уровне; R – система отношений,
справедливая для элементов Xs (при этом понимается: R0 нульарные, r1 - унарные, R2 - бинарные, Rm- m-арные отношения
элементов множеств).
Введение
дополнительных
пространственно-подобных
отношений и метрик позволяет формализовать описание системы
на более строгих уровнях абстракции:
- абстрактно-алгебраическом;
- логико-математическом;
- теоретико-информационном;
- топологическом;
- динамическом.
На каждом из указанных уровней имеются свои формальные
средства
для
формирования
математического
описания системы, за исключением эвристического, на котором
37
человеческий фактор проявляется в виде эвристических процедур
принятия решений, свойственных только человеку (экспертные
подходы, догадки, компромиссы, озарения). В настоящее время
эвристические способности человека пытаются эффективно
использовать в экспертных системах обоснования и принятия
решений.
На рис.3.1 приведена схема абстрактных уровней описания
систем по мере уточнения операций и введения пространственноподобных отношений,
В дальнейшем этапы имитационного моделирования будем
иллюстрировать на примере системы типа G/G/3/3, где n=m=3,
т.е. имеются три канала обслуживания и три места в очереди.
Для
систем
массового
обслуживания,
напомним,
применяется позиционная система кодирования вида А1/А2/Аз [по
Кендалу] [5]:
A1 - описание входного потока;
А2 - описание выходного потока;
A3 - число каналов обслуживания.
Характеристики потоков A1 А2 определяются, в частности,
из множества принятых обозначений:
A1;A2{M;П;GI;G;...},
где М - Марковский поток;
П - пуассоновский поток;
GI - рекуррентный поток общего вида;
G - произвольно заданный поток.
Удобно пользоваться расширенной позиционной
системой
А1/А2/А3/А4/А5...,
добавляя
позиции
по
усмотрению исследователя, например: А4 - число мест в очереди;
A5 - характер взаимопомощи и т.д.
Обозначение G/G/3/3 соответствует СМО с тремя каналами
обслуживания (n=3) и равным числом мест в очереди
38
Лингвистический уровень описания системы
Определение множества правильных
высказываний
Теоретико-множественный уровень
Применение операции выделения и разбиения
множеств на множество подмножеств
Абстрактноалгебраический
уровень
Аддитивная и
мультипликативная
операции
Логико-алгебраический
системы
Информац
Топологи
ионный
чес- кий
уровень
уровень
Информац
Метрика
ионная мера по
расстояний
Р.Шеннону
Логикоматематический
уровень
Операции
логические
уровень
.
описания
Динамиче
…
ский уровень
…
.
Рис.3.1.Схема уровней описания систем
Метрика
времени
39
(m=3), с потоками типа G на входе и выходе. Реально это может
быть, например, информационно-поисковая система на базе 6
терминалов, три из которых могут обслуживаться одновременно
одной ЭВМ с общей базой данных.
Это может быть и служба связи или быта (парикмахерская,
буфет, местная телефонная сеть...).
Для наглядности рассмотрим работу парикмахерской [7].
Чтобы
описать
на
лингвистическом
уровне
работу
парикмахерской, проведем операцию по сбору информации,
определяющей порядок организации труда в ней, и анализ
имеющихся априорных данных, зафиксированных в отчетнофинансовой документации.
Допустим, что в результате обследования системы,
получены следующие данные.
Время работы [10,00, 17.00], причем время окончания
фиксируется по моменту обслуживания клиентов, успевших
попасть до 17.00 на рабочее место мастера. Другими словами,
заявка, попавшая в обслуживающий канал до 17.00,
обслуживается и после 17.00. Математически это обозначено в
виде закрытого справа и открытого слева интервала.
Обеденный перерыв равен 30 мин и осуществляется без
закрытия системы по условному скользящему графику:
1-й канал - ] 11.30; 12.00 [ (интервалы времени на
2-й канал - ] 12.00; 12.30 [ перерыв
3-й канал - ] 14.00; 14.30 [ открыты справа и слева).
Условия скользящего графика заключаются в следующих
соглашениях. Перерыв начинается в указанный интервал при
условии освобождения канала от обслуживания очередного
клиента, если он занял этот канал до начала данного интервала. В
период обеда одного из мастеров двое других продолжают
обслуживание.
Анализ априорных данных показал, что среднее время
обслуживания одного клиента равно t μ = 20 мин при
среднеквадратичном отклонении σμ = 5мин .
40
Предположительно
справедлив
нормальный
закон
распределения при обслуживании заявок.
Поток заявок поступает неравномерно. В интервале [12.00;
13.45] наблюдаются часы пик, когда число заявок равно 12 /час; в
остальное время поступает в два раза меньше заявок, т.е. 6 s/час.
Интересны закономерности поведения заявки в очереди:
- клиент, попавший в очередь первым, с вероятностью 90%
будет ждать обслуживания;
- 70% клиентов, попавших в систему в очередь вторыми,
будут ждать обслуживания; 30% сразу покидают систему;
- 50% на 50% - таков расклад для клиентов, попавших в
очередь третьими.
Если очередь движется медленно, то через 15 мин ожидания
50% клиентов уходит из системы не обслуженными.
Исследуемая система с отказами имеет всего 3 места в
очереди.
Результаты обследования СМО позволяют представить ее в
виде обобщенной альтернативной и структурной схемы системы
(рис.3.2).
3.2. Этап синтеза имитационной модели
На
лингвистическом
уровне
описания
системы
определяются ее структура, правила функционирования и
характеристики потоков событий в системе.
Наличие априорных данных позволяет применить методы
вероятностного анализа и представить статистические данные в
виде, например, гистограмм.
Аналитическое
описание
гистограмм
в
форме
математически известных кривых распределения вероятностей
позволяет приступить к процессу конструирования имитаторов
случайных процессов.
Таким образом, альтернативная схема и структура системы
отображаются в систему структурно связанных
41
Источники заявок
системы разомкнутого типа
–
v
+отк
P

1

(R:T)
+

–
{
P2 }

+
(t)
1
3 2 1
m

(t)
2
3
Рис.3.2. Обобщенная альтернативная и структурная схема
системы G/G/3/3;
P1-решение посетить систему, P1 {да; нет}
{P2}-множество решений типа: оставаться в очереди и
дожидаться обслуживания или покинуть систему сразу при R
{1,2,3} или при Т>15 минут ожидания;
~r -средняя длина очереди;
k -среднее число занятых каналов;
-входной поток заявок
v-поток нетерпеливых заявок, покинувших систему без
обслуживания;
отк- поток отказов
-поток обслуженных заявок
42
механизмов случайного выбора, совместное функционирование
которых будет однозначно определять текущее состояние
имитируемой системы в функции от входного потока. Входной
поток имитируется последовательностью случайных чисел.
При создании имитационной модели могут наблюдаться две
крайности:
- излишний изоморфизм имитационной модели; попытка
учесть всевозможные существенные и несущественные связи,
возникающие в реальной системе;
чрезмерный гомоморфизм, заключающийся в упрощении
отношений, существующих в системе, до такой степени, что
имитационная модель перестает быть средством, отображающим
в необходимой мере реальные процессы в реальной системе.
Изоморфизм ведет к потере наглядности и обозримости
получаемых результатов; экспериментирование на модели
порождает поток информации, не поддающейся анализу.
Гомоморфизм ведет к "пустой" имитационной модели, не
представляющей практического интереса для исследования.
Не существует формальных средств оценки излишнего
изоморфизма или чрезмерного гомоморфизма. Многое зависят от
индивидуальных
особенностей
исследователя,
целей
исследования, времени и средств, отпущенных на него.
Анализ модели на чувствительность по интересующим
параметрам,
применение
нескольких
параллельно
разрабатываемых моделей (спор моделей), использование
экспертных оценок при анализе результатов и планировании
многофакторных экспериментов являются теми практическими
средствами, которые позволяют исследователю оценить
достоинства полученных на имитационной модели результатов.
Из средств, упрощающих имитационные модели, можно
ориентироваться на следующие:
переход от распределенных параметров к сосредоточенным,
в частности, переход от непрерывных законов
43
описания процессов в системе к их дискретным аналогам;
- линеаризация
нелинейностей
дискретно-линейными
аппроксимациями;
- проведение исследований при условии стационарности
системы с применением средств оценки влияния нестационарности на результаты моделирования;
- переход от непрерывного времени к дискретному и выбор
шага дискретизации с учетом реально необходимой точности
наблюдений;
- замена несущественных статистических данных их
математическими
ожиданиями
(переменные
заменить
константами);
- исключение несущественных факторов или учет их
влияния в виде одного комплексного фактора;
- введение дополнительных условий и ограничений на
работу системы.
Хорошая имитационная модель должна обладать рядом
свойств:
- быть простой и понятной исследователю;
- являться средством более глубокого изучения и познания
процессов, протекающих в реальной системе (обычно трудно
доступных для натурных наблюдений);
- быть непротиворечивой с точки зрения ее реализации, т.е.
воздействия должны лежать в реально допустимом диапазоне их
изменений;
- отличаться достаточной полнотой и доступностью для
исследования и экспериментов;
- иметь (желательно) модульную, гибко-изменяемую
структуру, позволяющую имитировать изменение возможных
реальных отношений в системе;отличаться чувствительностью к
исследуемым параметрам, а также допускать легкость
управления моделью, сбором, обработкой и представлением
получаемой информации. Поэтому разработка имитационных
моделей сложных
44
систем и процессов занимает длительный период и связана с
большими ресурсными затратами, требует соответствующего
опыта и квалификации участников разработки, большого
желания каждого участника идти навстречу друг другу для
достижения общей цели.
Для синтеза имитационной модели в нашем случае
необходимо иметь результаты анализа данных по потокам.
Пусть при анализе априорных данных и реальных
наблюдений группой исследователей операции по составлению
имитационной модели получены следующие результаты:
- наблюдения в системе, работающей непрерывно с 10 до 17
часов (7 часов в день), достаточно вести с интервалом 5 минут,
т.е. минимум в течение 7*60/5=84 интервалов времени;
- поток Ф λ при Δt = 5 мин описывается пуассоновским
законом распределения;
- поток Фμ близок к нормальному закону распределения. С
учетом описания системы G/G/3/3 укрупненная структура
взаимодействия МСВ представлена на рис.3.3.
Проследим путь заявки под номером ni.
Если R<3, заявка с номером ni попадает в систему. Система
может с позиций пользователя находиться в одном из следующих
состояний:
S0 - система свободна, условно запишем это как n=0, m=0,
т.е. все три канала свободны и все три места в очереди свободны;
S1 - один канал занят (любой из трех), т.е. n=l; m=0;
S2 - два канала заняты (любые два из трех), т.е. условно n=2,
m=0;
S3 - все три канала заняты, т.е. n=3, m=0;
S4 - n=3, m=1 (все каналы заняты, занято одно место в
очереди);
S5 - n=3, m=2 (занято два места в очереди);
S6 - n=3, m= 3. (если заявки приходят в этот момент, они
45
r r{{ r M
M r M
R M Си
M[
T C
 C
стема
CC 0;0B
B
сбора
BB ,5)иобрабо
-- пр T
T и

тки
R
инфор
}i: Т<
} 15
мации
в
бл
Бло
к анализа
ок
А

[
0;1
)
пр
и
Т>
15
в
бл
ок
A
Рис.3.3 Укреплённая структура МСВ для G/G/3/3
46
получают отказ; причина отказа - система занята, т.е. R=3).
В зависимости от состояния системы S j ∈S = {S0 , S1,..., S6 }
приход заявки под номером ni порождает соответствующую
цепочку реакций имитационной модели, определяющей
движение этой заявки в системе в зависимости от выпавших на ее
долю случайных чисел в процессе единичных жребиев.
Чтобы наглядно проследить за поведением заявки ni с
помощью случайных двухразрядных чисел, представим систему
жребиев ненормированным пространством МСВ, как показано на
рис.3.4.Выборку случайных чисел r ∈{00, 01, 02, ..., 98,99}будем
проводить из табл. П. 1: ri ∈{rλ , rR , rτ , rμ } .
Если пространство МСВ в отрезках рассматривать как
исходные данные, состояние которых зависит от текущего и
прогнозируемого подмножества состояний системы, то имитация
превращается в процесс выбора необходимого МСВ в
соответствии с исходными данными, проведения розыгрыша с
его помощью, уточнением прогнозируемого подмножества
состояний, исходных данных, выбора очередного МСВ и т.д.
Случайность в этом процессе определяется не только
выбором очередного случайного числа, но и текущим состоянием
системы, т.е. исходными данными при этом выборе.
Процесс взаимодействия МСВ в результате моделирования
будет рассмотрен ниже.
3.3 Этап составления алгоритмов и программ для
имитационного моделирования
Имитационное моделирование можно осуществить вручную,
с помощью средств вычислительной и аналоговой техники.
Моделируя вручную, трудно достигнуть статистически
значимых результатов даже для простых имитационных моделей.
Однако этот процесс позволяет исследователю глубже понять
47
r
Последовательная
заявок
нумерация
MCB
(t)
-
(Δ) → n()
Определение
текущего
состояния системы в момент
поступления заявки ni
1
<3
00%
9
0%
99]
R=0
n
[10;
R=1
n
MCB-
<3
R1
MCB-
m
n
R=1
=0
[30; =3
R2
0%
m
R=1
MCB99]
5 =1 n
[50; =3
R3
0%
m
n
Отказать в
99]
=2
=3
обслуживании по условию
m
Ф
=3
R>3
7
T  15
MCB-T
1
00%
<15
1
0% [0
0;09]
3
0% [0
0;29]
5
0% [0
0;49]
Счет
отк
чик –
T>15; MCB-T
5
0% [0
отказов
0;49]
T
5
0%
MCB-
+
[5
0;99]
Счетчик обслуженных
заявок с их реквизитами
Рис.3.4. Развернутая схема модели G/G/3/3
48
возможности создаваемой модели и в дальнейшем более
осознанно действовать в условиях машинного эксперимента,
опираясь на хорошо отлаженный вариант решения.
Машинные имитационные эксперименты можно проводить
на аналоговых, цифровых и гибридных технических средствах.
Достоинство
аналоговых
вычислительных
средств
обеспечивается той непосредственной обратной связью, которую
получают исследователи, оперируя непрерывными аналоговыми
сигналами, поступающими в процессе моделирования.
Проигрывая в точности, исследователь выигрывает в
наглядности и оперативности. Кроме того, в имитационную
модель легче включить отдельные структуры и блоки реальных
устройств, проверяя их работу в условиях имитации
недостающей части системы.
Достоинство цифровых вычислительных средств для
имитационного моделирования - в той точности и способности
перерабатывать большой поток информации, с которой не
сможет справиться ни один наблюдатель аналоговой системы
моделирования. Однако дискретная техника моделирования
требует более строгой проработки алгоритмов и программ, а
также знания специальных языков программирования.
Известно к настоящему времени около 170 языков
программирования, которые могут быть применены в
имитационном моделировании. Сравнительный анализ и
рекомендации по их выбору можно найти в [1, с. 128-172].
Цифровые методы моделирования ориентируются на
универсальные или специальные языки
программирования, разработанные для научноисследовательских целей и для обработки экономических
данных. Многоцелевые модели, использующие базы знаний,
опираются на языки логического программирования .
Специализированные языки применяют для моделирования
как непрерывных, так и дискретных процессов.
50
моделирования на ЭВМ, удобство работы с системой для
пользователя.
Укрупненная
блок-схема
алгоритма
моделирования
представлена на рис.3.5 (см. также рис.3.6). Время
моделирования
отсчитывается
в
единицах
Δt,
т.е.
пятиминутными
интервалами,
обозначенными
своими
порядковыми номерами i:
i = 0 соответствует моменту /10.00-10.05/;
i = 84 соответствует моменту /17.00-17.05/,
В момент i = 0 выбирается первое случайное число.
В момент i = 84 прекращается выбор случайных чисел.
Значение λ = 0,5 соответствует i  {0-23; 44-83}
Значение λ = 1,0 соответствует i  {24-43}
3.4. Моделирование процессов в системе G/G/3/3
Представим результаты моделирования одного рабочего дня
системы. Описание процессов будем строить в форме
циклограмм по каждому часу функционирования системы с
указанием и анализом особенностей принимаемых решений.
Условимся о правилах выбора случайных чисел изтабл.П.1
по ходу реализации эксперимента. Несмотря на простоту
проведения эксперимента, которая станет очевидной через
несколько шагов, рекомендуем внимательно проследить за ходом
эксперимента, т.к. логика принимаемых решений при
моделировании вручную является важным этапом формирования
машинных моделей, формирования требований к представлению
результатов при машинном моделировании.
Циклограмму имитационного процесса будем строить в
форме, принятой при описании работы переключающих схем:
наличие сигнала (в нашем случае - "канал или место в очереди
заняты") будет соответствовать значению 1 в пространстве
двухзначной функции типа (0,1).
51
Можно
присвоить
R{-3;2;…;+3}
t<10.00-система свободна,
Начало
состояние S0;
n1=n2=n3=m1=m2=m3=0; I=-1.
i:=
i+1
A
1.Взять очередное r в качестве r
2.Определить количество l по МСВ-
3.Перенумеровать заявки
Определить процесс прохождения
очередной заявки ni в соответствии с
состоянием системы и структурой МСВ
Зафиксировать результаты
имитационного моделирования согласно
плану исследований системы
A
ет
Н
I=
84; S0
Обработать
результаты
моделирования.
Определить
параметры системы
Конец
Рис.3.5. Укрупнённая блок-схема алгоритма моделирования
52
Бло
к2
Д
а
МС
В-
n
R 1=0
=-3
Н
ет
n
R 2=0
=-2
ет
n
R 3=0
=-1
ет
R
=1
ет
R
=2
ет
R
=3
Д
а
Н
MCBT
Д
а
Н
Tет
=15
Д
а
Н
Д
а
Н
Д
а
Н
Д
а
МС
В-R1
МС
В-R2
МС
В-R3
R3
Бло
к4
Рис.3.6. Альтернативная часть блока 3(см.рис.3.5)
+ - +
53
Системное время будем откладывать пятиминутными
интервалами с указанием порядкового номера интервала i  {0, …,
84 …}.
На рис.3.7 представлена циклограмма для интервала [10.00;
11.00]. Выборка случайных чисел для rλ из табл.П.1 начинается с
адреса А1 слева направо. В соответствии с МСВ – λ при λ=0.5 s/5
мин определено значение ℓ на каждом интервале i. Заявки
перенумерованы в порядке их поступления. В первый час
поступило 7 заявок на обслуживание.
Заявка 1 заняла канал nl на время rμ: 81, т.е. согласно МСВ μ на 25 мин, или 5 Δt , где Δt = 5 мин (пять
пятиминутных интервалов). Выборку чисел rμ условимся
производить с адреса Ф1 (см. табл. П.1) слева направо и с нижней
строки к верхней:
r  {Ф1; Ф2; … Ф20; У1; У2; … У20; …}.
В конце 1-го пятиминутного интервала в систему на второй
канал n2 поступит вторая заявка (rμ = 74, см.А.2). Время
обслуживания ее соответствует числу rμ= 53, взятому по
обусловленному порядку выборки по адресу Ф2. Это, согласно
МСВ - μ, равно 4 интервалам Δt. Аналогично поступим и с
заявкой 3. Заявка 4 поступит в момент, когда все три канала
будут заняты. Остается ли она в очереди? Для проверки этого
факта условимся выбирать числа, начиная с адреса К1. По этому
адресу находим в табл.П.1 число 57, т.е. при R=0 и nl=n2=n3=l
(заняты) очередная заявка 4 останется в очереди (согласно МСВ R1).
Продолжая этот процесс, мы определим поведение всех
семи заявок, поступивших в течение первого часа в систему.
На рис.3.8 представлена циклограмма для интервала
[11.00;12.00], полученная с учетом переходящего процесса
обслуживания 7-й заявки, которая обслуживается в общей
сложности с 10.55 до 11.15. На втором часе работы системы
54
N(t)
r
I
N(S)
1
85
1
1
A1
2
74
1
2
A2
3
54
0
A3
4
90
2
3,4
A4
5
40
0
A5
6
69
1
5
A6
7
01
0
A7
8
63
1
6
A8
9
12
0
A9
10
41
0
A10
11
12
0
A11
12
70
1
7
A12
=0,5 s/мин
n1
1
5/81
2
4/53
n2
n3
4
4/58
5
5/84
Ф1
Ф2
3
5/77
4
5/77
m1
7
4/31
Ф7
Ф4
Ф5
6
3/28
Ф3
Ф6
6
57
K1
S4
S4
35 K2
m2
m3
S0
S1
S2
S2
S3
S3
S4
S3
S2
S1
S1
Рис.3.7.Циклограмма для [10.00;11.00]
N(t)
r
I
N(S)
13
37
0
A13
14
61
1
8
A14
=0,5
15
42
0
A15
7
17
84
1
10
A17
9
3/10
n1
n2
16
87
1
9
A16
8
3/10
Ф8
18
86
1
11
A18
10
4/47
22
75
1
15
A22
23
62
1
16
A23
24
76
1
17
A24
m2
S2
S3
S5
Ф12
13
5/86
15
38
Ф11
12
53
13
50
m1
S2
21
45
0
A21
12
Ф10 6/93
11
4/62
T/03(ж1)N14
Покидает систему
S1
S2
S2
20
70
1
14
A20
Ф9
n3
m3
S0
19
93
2
12,1
A19
К3
S5
К6
16
56
К4
14
98
S6
Ф13
К5
S5
Рис.3.8.Циклограмма для [1100;1200]
Т/03
S5
К7
17
52
S6
55
следует обратить внимание на судьбу заявки 14. Волей жребия,
она ждала 15 мин обслуживания в очереди и, так как за это время
не попала под обслуживание, вынуждена была покинуть систему
(это определил МСВ - Т, в который было введено очередное
число с адреса Ж1, т.е. 03). Число 03 попадает в 50-% интервал
уходящих заявок [00;49] при условии Т>15 мин.
Уходу заявки 14 способствовал также перерыв в работе
канала nl, когда фактически система трехканальная превращается
в двухканальную систему (существенно нестационарный
переход).
Итак, из 17 поступивших заявок за 2 часа работы пока что
только одна (14) покинула систему при условии Т>15. Заявка
шестая прождала в очереди 5 мин, заявки 4 и 12-по 10 мин,
заявки (1,2,3,5,6,7,8,9,10,11) сразу поступили на обслуживание.
Если условиться выборку rτ делать с отличного от Ж1 адреса, то
поведение заявки 14 может измениться.
Случайный процесс смены состояний показан на рисунках
последовательностью S0; S2; S2; S4; S4; S3 ... и определяется
принятыми условиями выборки случайных чисел.
Циклограмма работы системы в часы пик [12.00;13.45]
при λ=1,0 s/5 мин представлена на рис.3.9 и частично на
рис.3.10. Здесь следует ожидать максимальное количество
событий в системе и быть особенно внимательным при
построении циклограмм.
На первый час времени пик [12.00;13.00], однако, выпала
следующая последовательность случайных чисел (см. табл.П1):
rλ = (27,09,47,38,03,01,87,30,16,72,84,74) с преобладанием
малых значений двухразрядных чисел, что определило для
данной выборки поступление всего семи заявок, как и в час
открытия системы. Наличие второго перерыва в канале n2 (со
смещением в 10 мин) с 12.10 до 12.40, определившегося
моментом окончания обслуживания заявки 12, привело к росту
времени ожидания в очереди для заявок 16, 17 сверх 15минутного контрольного
56
N(t)
r
I
N(S)
25
27
0
-
26
09
0
-
27
47
1
18
28
38
1
19
29
03
0
-
30
01
0
-
31
87
2
20
21
32
30
0
-
33
16
0
-
34
72
1
22
35
34
0
-
36
74
2
23
24
=1,0
n1
n2
n3
15
3/30
12
2
13
2
17
Ф14 3/12
16
3/07
18
36
m1
m2
m3
S0
16
1
17
2
S5
16
T87
T
S5
Ж2
17
99
S5
19
98
Ж3
S5
19
20
Ф16 2/02 Ф18 4/58
21
П Е РЕ Р Ы В
5/71
18
22
Ф15 4/43
Ф17 3/14
20
K9
53
K11
21
К10 65
К12
S5
S4
S5
S5
S3
S3
Ф19
Ф20
Y1
23
15K13
24
80К14
S3
S5
Рис.3.9.Циклограмма для [12.00;13.00]
N(t)
r
I
N(S)
n1
n2
n3
37
15
0
-
23
6/94
21
1
24
5/71
38
85
2
25
26
39
12
0
-
25
3/29
Y4
S3
Y2
26
5/76
28
K15 26
-27
26
-32
m2
m3
S0
41
49
1
28
Y3
26
70
m1
40
37
1
27
S4
S4
S4
S4
42
99
4
29
32
43
88
2
33
34
=1,0
29
3/29
28
5/73
-33(31)
29
34
30
65
30
92
31
80
S6
S6
44
29
0
-
45
02
0
-
46
91
2
35
Y5
36
] =0,5
30
Y7 3/19
34
4/49
Y6
T
T
S6
30
94
-31
01
S5
47
02
0
-
48
58
0
-
Y8
Y9
35
3/07
Y10
S3
S3
35
87
36
80
S5
Рис.3.10.Циклограмма для [1100;1200]
57
времени (согласно МСВ - Т, соответственно получены r
{87;99} по адресам Ж2 и ЖЗ). Все заявки были обслужены,
включая 16 и 17.
Более напряженная обстановка сложилась в интервале
времени [13.00; 14.00]. По разным причинам 4 заявки покинули
систему без обслуживания. Это 27 (при условии R2), 33(при
условии R3), 31 (при условии Т>15), 32 (при условии R≥3, отказ).
И это при трех работающих каналах! Есть над чем подумать
исследователю операции, чтобы рационализировать работу
системы в часы пик.
В оставшиеся три часа работа системы протекала в
соответствии с циклограммами, представленными на рис. 3.11 3.13:
ΔТ=[14;15] час - здесь наблюдается с запаздыванием в 5 мин
перерыв в работе канала nЗ (из-за обслуживания заявки 35); уход
заявки 38 при ожидании сверх нормы и заявки 40 при условии
RO; ΔТ=[15;16] час - из 8 поступивших в этот час заявок одна
(51) покинула систему при условии R(rR= 44  [00;49]);
ΔТ=[16;17] час - все 7 поступивших заявок были обслужены
системой, канал nl задержался с окончанием работы до 17.10
(заявка 59).
Таким образом, принятая система адресации при выборе
случайных чисел из табл. П.1 отобразилась в один из возможных
случайных процессов обслуживания 59 заявок.
Циклограмма работы системы является удобной формой
представления процессов имитации для относительно несложных
систем при моделировании вручную, на АВМ и гибридных
средствах при наличии многоканальных устройств вывода
сигналов.
При моделировании на ЦВМ следует учитывать
особенности средств отображения цифровой информации и
устройств ввода-вывода.
Предварительный анализ времени нахождения заявок в
системе представлен в табл. 3.1.
58
N(t)
r
I
N(S)
49
94
2
37
38
M2
36
4/55
34
1
35
1
37
15
38
72
M3
S0
S5
n1
n2
n3
M1
50
30
0
-
51
12
0
-
52
81
1
39
53
81
1
40
54
48
0
-
55
76
1
41
56
95
2
42
43
39
4/39
58
15
0
-
59
31
0
-
60
12
0
-
43
3/11
37
5/89
44
4/51
41
5/83
42
5/84
43
44
65
29
ПЕРЕРЫВ
39
-40
14
S4
57
60
1
44
38
T
03
S4
S5
S2
S2
S2
S4
S4
S4
S4
S2
Рис.3.11.Циклограмма для [14.00;15.00]
N(t)
r
I
N(S)
n1
n2
61
76
1
45
62
27
0
-
63
60
1
46
44
3
45
4/53
64
90
2
47
48
47
3/07
66
72
1
51
67
04
0
-
68
16
0
-
69
12
0
-
70
78
1
52
71
47
0
-
72
03
0
-
S1
S1
49
4/61
48
3/29
50
1/00
52
4/38
46
5/73
n3
48
12
M1
M2
M3
S0
65
95
2
49
50
S2
S2
S3
S4
49
74
50
48
S5
-51
 44
S5
S4
S2
S1
S2
Рис.3.12.Циклограмма для [1500;1600]
59
N(t)
r
I
N(S)
73
97
2
53
74
64
1
55
75
31
0
-
76
71
1
56
77
75
1
57
78
67
1
58
79
12
0
-
80
10
0
-
81
43
0
-
82
15
0
-
83
57
0
-
84
78
1
59
54
n1
n2
n3
53
3/26
52
1
54
3/08
56
6/93
55
3/26
S3
S3
59
3/24
57
4/34
58
5/76
m1
m2
m3
S0
S3
S2
S2
S3
S3
S3
S2
S1
S0
S1
Рис.3.13.Циклограмма для [1600;1700]
Таблица 3.1
Частота событий t=t+tR по результатам моделирования в
единицах t=5 мин (матрица[nR])
tR
0
1
2
3
4
5
6

t ;[t]=tмин/5 мин
0 1 2 3 4 5
5 0 0 9 7 7
0 0 0 5 1 3
0 0 0 0 3 1
3 1 1 1 4 2
0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
8 1 1 18 15 13

6
1
1
1
0
0
0
0
3
S
29
10
5
12
3
0
0
59
60
tσ=tR + tμ,
где tσ время нахождения заявки в системе; tR. время в очереди; tμ время на обслуживание.
При tR= 0 имеем 29 заявок, которые поступили сразу в
каналы обслуживания; из них 9 заявок обслуживались 3
пятиминутных интервала(15 мин); 7 заявок обслуживались по 20
мин; 7 - по25 мин и 1 - 30 мин.
Самое длительное tσ= 40 (tR=2 ; tμ = 6); самое короткое tσ=
15мин.
3.5. Пути организации статистических испытании
При построении циклограммы одного рабочего дня системы
мы придерживались правила последовательной выборки
случайных чисел по мере необходимости по системе
обусловленных адресов.
При этом для удобства имитации было принято лишь одно
соглашение:
выборка
из
таблицы
случайных
чисел
производилась для каждого вида МСВ от своего начального
адреса: для rμ - с А1; А2 ...; для rμ -с Ф1; Ф2 ...; для R- с К1;
К2...;для Т- с Ж1;2...).
Можно было бы обойтись и без этого соглашения, выбирая
числа последовательно с любого начального адреса вне
зависимости от типа МСВ. Назовем подобный путь организации
статистических испытаний последовательным. В этом случае для
нашего примера наблюдалось бы следующее соответствие между
последовательностью случайных чисел и их использованием в
процессе имитации на начальном этапе моделирования в
сравнении с адресным выбором: А1, А2, АЗ,А4, А5...
А1,Ф2,А2,Ф2...
Однако
установить
дальнейшее
соответствие
без
проведения имитационного эксперимента в этом случае не
представляется возможным из-за случайности протекающего
процесса, в функции которого производится выборка случайных
чисел из таблицы, т.е.
61
f({r};  ; P) = S  S ,
где rv - принятая последовательность случайных чисел до
шага v; ∑ - структура системы; Р - правила функционирования,
принятые при моделировании; S - состояние системы на шаге ;
f - функция от случайной последовательности случайных чисел r
и констант ∑, Р, определяемых моделью системы и правилами
проведения имитационного моделирования.
Разделив общую последовательность случайных чисел r на
ряд последовательностей rV(); rμ (); rR(); rT() с выборкой
чисел в зависимости от потребности, т.е. в функции S(), мы
получим возможность исследовать зависимость ri= f(s).
Очевидно для нашего примера, что кортеж rλ ≠ f(s) и зависит
только от числа интервалов моделирования. Для выборки
последовательности rλ между адресами [А1;Д4] при заданных
законах поступления заявок с плотностью λ=0,5 и λ=1,0 всегда
будем иметь 59 заявок за рабочий день (=84). Случайность
фактически определяется началом адреса и правилами выборки, а
также алгоритмом отображения этой выборки посредством МСВ
- λ в последовательность количества поступающих заявок.
В табл.3.2 приведены результаты для выборки чисел в
адресном интервале [А1;А4] и соответствующие им порядковые
номера заявок (с 1-й по 59-ю). Следовательно, часть процесса
моделирования
G/G/3/3,
связанную
с
идентификацией
поступающих на вход в систему заявок, можно изучать
независимо от структуры и правил функционирования системы.
При дискретном времени длина последовательности гλ
детерминирована и зависит только от интервалов моделирования
(в нашем случае - от длительности рабочего дня системы).
62
Таблица 3.2.
Отображение {r} через МСВ- типа XY, где xX={r},
yY={l}.
N(t)
0
5
1
10
2
15
3
20
4
25
5
10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00
85 1 37 0 21 0 15 0 94 2 76 1 97 2
1
1
37;38
45
53;54
74 1 61 1 9 0
2
2
8
-
90 2 87 1 38 1 81 1 81 1 90 2 71 1
4
3
9
19
39
39
47;48
56
40 0 84 1 3 0
5
10
-
81 1 81 1 95 2 75 1
40
40
49;50
57
69 1 86 1 1 0
6
5
11
-
48 0 48 0 72 1 67 1
51
58
1
93 2 87 2 76 1 76 1 4 0
12;13 20;21
41
41
-
12 0
-
63 1 70 1 30 0 95 2 95 2 16 0
8
6
14
42;43 42;43
-
10 0
-
7
40
8
45
9
50
10
55
27 0 64 1
55
54 0 42 0 47 1 12 0 12 0 60 1 31 0
3
18
46
-
30
6
35
7
85 2 30 0
25;26
-
0
-
12 0 45 0 16 0 60 1 60 1 12 0 43 0
9
44
44
41 0 5 1
10
15
72 1 15 0 15 0 78 1 15 0
22
52
-
12 0 61 1 34 0 31 0 31 0 47 0 37 0
11
16
-
63
Окончание таблицы 3.2
N
1
1
1
1
1
1
1
1
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00 5.00 6.00
7.00
(t)
1
7
7
7
5
1
3
7
1
0 1
6 1
4 2
8 0
2 0
0 8 1
1
2 7
17
23;24
45
59
6
0
Относительно длины последовательностей rμ ,rR rT без
проведения моделирования ничего сказать нельзя, т.к. они
являются функциями случайного состояния системы.
Тем не менее при разработке моделей и ручных прогонах
можно существенно уменьшить трудоемкость имитации за счет
последовательно-параллельной
организации
процесса
моделирования путем разделения последовательности r на ряд
последовательностей типа ri(). Это позволит для каждой
последовательности ri() заранее заготовить таблицы типа
табл.3.2, применяя, например, возможности персональных
компьютеров по формированию электронных таблиц и векторноконвейерные принципы обработки информации [8].
При использовании персональных компьютеров вместо
циклограмм удобнее применять табличную форму представления
процесса моделирования, оформляя их программно в виде
электронных таблиц.
3.6. Этап анализа результатов имитационного
моделирования
В моделируемый день в систему поступило 59 заявок.
Первый канал обслуживал 20 заявок; из 80 пятиминутных
интервалов он был свободен 6 интервалов, не
считая перерыва, т.е. всего 12 раз был в состоянии S0
(свободен от обслуживания).
Второй канал обслужил 17 заявок, был свободен 10+6
(перерыв) = 16 интервалов.
64
Третий канал обслужил 14 заявок и был свободен 20+6
(перерыв)=26 интервалов.
Всего обслужено 51 заявка. Покинуло систему необслуженными 8 заявок при разных условиях: • одна при R0
(заявка 40);
одна при R1 (заявка 27);
две при R2 (заявки 33 и 51);
одна при R3 (заявка 32);
три при Т>15 (заявки 14,31,38).
В систему при условии R0 поступило 16 заявок,
относительное число уходов при R0 составило 1/16, около 6%,
что меньше ожидаемого априорного значения, равного 10%.
В систему при условии R1 поступило 12 заявок,
относительное число уходов при условии R1 составило 2/12 =
1/6, т.е. 16,6% вместо 30%.
В систему при R2 поступило 6 заявок, что соответствует
при 4 уходах 66% вместо ожидавшихся априори 50%.
Общее число уходов заявок необслуженными составило в
день моделирования 8/59 ≈ 0,136, т.е. 13,6%.
Три заявки ждали в очереди более 15 мин (16,17 и 30);
три заявки отказались ждать сверх 15 мин (14,31,38); таким
образом, уход по причине Т>15 составил 50%(равно априорным
данным).
Из статистических данных ожидался приход в среднем 52,5
заявок в рабочий день, что вытекает из следующих расчетов: на
интервале времени (часы пик) [с 12.00 до 13.45] плотность
входного потока равна 12s/час; на интервалах [10.00;12.00] и
[13.45;17]-6 S/час; следовательно,(2+3,25)час * 6 S/час +
1,75час *
12S/час = 31,5+21=52,5s.
В моделируемый день поток заявок превысил норму на
12,4%:
59,0-52,5=6,5; 6,5/52,5* 100%=12,4%.
Обобщенные
результаты
моделирования
и
схема
прохождения заявок представлены на рис.3.14.
65
m
3
m
2
R
2
1
R
1
1
7
n
m
1
2
R
6/80
0
0
2
1
1
7
n
2
1
5
9
1
7
R
3
1
2
1
1
n
3
1
20/78
4
№3
2;34
№
51
27
T
>15
№
№
40
3
{27;32;34;40;
8 51}R
{14;31;38}T
Рис.3.14.Схема прохождения заявок
5
10/78
66
Для анализа средних величин временных параметров
t = t R+ t ,
где t  - среднее время нахождения заявки в системе; t R - среднее
время ожидания в очереди; t  - среднее время обслуживания, а
также связанных с ними параметров, в частности r и k (средняя
длина очереди и среднее число занятых каналов), представим
результаты моделирования в виде табл.3.3. Измерение
временных параметров дано в пятиминутных интервалах.
Общее время обслуживания и его составляющие
определяются суммированием данных, приведенных в табл.3.1:
 t =  nR, (tR+t) =  nRtR +  nRt =  tR +  t;
 (R, μ)
R, μ
где
R
μ
R
μ
 tR - суммарное время, проведенное заявками в
R
очереди;
 t - суммарное время обслуживания заявок,
μ
Если учесть, что ∑nR,μ при R≠O определит общее число
заявок, пребывающих в очереди, то в нашем случае (см. рис.3.14
и табл.3.3) число таких заявок
n(R) =∑ nR,μ = 10+5+12+3 = 30. Число обслуженных заявок
n(μ) = ∑nR,μ -1+1+18+15+13+3-51. С учетом принятых
обозначений получим
t R= t ож = 1/n(R) ∑ nR,μ tR ; t  = t обсл = 1/n()∑ nR,μ t.
Подставим данные эксперимента:
t R = (1*10+2*5+3*12+4*3) / 30 = 2,26(6) пятиминутных
интервала, или 11,33(3) мин;
t =(1*1+1*2+18*3+15*4+13*5+3*6) / 51 = 19,61 мин/s.
67
Таблица 3.3
Число кортежей “n” вида (tR ;t ;t ) в день моделирования работы
системы

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Всего
tR
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
t
0
3
4
5
6
3
4
5
6
4
5
6
0
1
2
3
4
5
3
t
0
3
4
5
6
4
5
6
7
6
7
8
0
4
5
6
7
8
7
n
2
9
7
7
1
5
1
3
1
3
1
1
3
1
1
1
4
2
3
59
№ событий
27;32;33;40;51
8;9;22;25;47;53;54;55;59
2;7;10;11;45;52;57
1;3;5;41;42;46;58
56
6;29;35;43;48
39
24;28;37
23
4;20;49
21
12
14;31;38
50
19
15
18;34;36;44
13;26
16;17;34
68
Ожидалось по заложенным в модель исходным данным 20
мин/s.
В очереди потрачено время 68*5 мин = 340 мин; на
обслуживание затрачено время 200*5 мин = 1000 мин; среднее
время, проведенное заявкой в системе, составило
t = (11,33+19,61) мин ≈ 31,04 мин.
Работу отдельных каналов обслуживания можно оценить,
представив
данные
эксперимента
в
виде
табл.3.4:
производительнее всех в среднем работал 1-й канал (18,5 мин/s),
обслуживший 20 заявок.
Таблица 3.4
Данные эксперимента
T
n1
[t]
Коли
честв
о ед.
0
1
9
7
1
2
0
20
1
2
3
4
5
6
7
 мин
n2
Коли
честв
о t
0
2
27
28
5
12
0
74
370

n3
Коли
честв
о ед.
1
0
4
6
5
1
0
17
Коли
честв
о t.
1
0
12
24
25
6
0
68
340
Коли
честв
о ед.
0
0
5
2
7
0
0
14
Коли
честв
о t.
0
0
15
8
35
0
0
58
290
Коли
честв
о ед.
1
1
18
15
13
3
0
51
Коли
честв
о t.
1
2
54
60
65
18
0
200
Минт
ы
5
10
279
30
325
90
0
1000
19,61 m/s
t
18,5m/s
20,0
m/s
20,7m/s
Очевидно, при сдельной оплате труда по затратам времени,
если общий фонд зарплаты принять равным единице, заработок q
следует распределить:
1-й канал-370/Q; q1=0,37;
2-й канал -340/Q; q2=0,34;
69
3-й канал - 290/Q; q3 =0,29;
Q=1000мин.
Для выравнивания загрузки по числу обслуженных за день
заявок можно ввести очередь между каналами на обслуживание
очередной заявки. Это равносильно изменению правил
функционирования
системы
и
потребует
проведения
самостоятельных имитационных исследований системы.
Среднее число занятых каналов к определим через
коэффициент перегрузки одного канала:
к = t ср() / t ср(),
где t ср() - среднее время обслуживания заявки в
моделируемый день (19,61мин/s); t ср() - среднее время
поступления одной заявки.
Т.к. в систему поступило 59 заявок в течение 7x60 = 420
мин. (один рабочий день), то
t ср() = 420/59 = 7,12мин/s.
По плану ожидалось 52,5 S , т.е. t п() = 420 мин / 52,5 s = 8
мин / s.
Таким образом, получим:
к = (19,61 мин/s) / (7,12мин/s)=2,75 против ожидавшегося
значения 2,5;
к п = (20 мин/s) / (8 мин/s) = 2,5.
Оценка вероятности загрузки каналов была различной:
P1 св = 6/(84-6+2) = 6/80 =0,075;
P1 зан = 1-P1= 1-6/80 = 0,925;
Р2 св = 10/(84-6) = 10/78 = 0,128;
Р2 зан =1-10/78 = 0,872; Рз св = 20/(84-6) = 20/78 = 0,256;
Р3 зан =1-20/78 = 0,744.
Построим граф состояний и переходов системы G/G/3/3. По
данным эксперимента в системе наблюдаются следующие
состояния:
So - система свободна; S1 - один канал занят; S2 – два канала
занято; Sз - три канала занято; S4 - одно место в очереди
70
занято; S5 - два места в очереди занято; S6 - три места в очереди
занято.
*
S4
Кроме этого, в часы перерывов число каналов уменьшается
на один, т.е. система из трехканальной превращается в
двухканальную: G/G/3/3G/G/2/3, что равносильно появлению
дополнительно состояний S*4 ; S*5 ; S*6 :
S4(μ = 3; R = 1) → S*4 (μ = 2; R = 1);
S6(μ = 3;R = 3) → S*5 (μ= 2;R = 3);
S5(μ = 3;R = 2) → S*6 (μ= 2;R = 2).
Таким образом, имеем
S = {S0;S1;S2;…;S6; S*4 ; S*5 ; S*6 }
Рабочий день можно представить в виде случайного
процесса, показанного на рис. 3.15. Внизу на рисунке
суммировано число интервалов Δt, когда система находится в
данном состоянии. В табл. 3.5 указаны данные о количестве
переходов типа Si→Sj.
Для оценки условных вероятностей перехода для каждого Si
следует принять в качестве нормы число, равное сумме событий
в строке i или столбце j, например:
~ (
P 21 S2  S1)  4 / 18
~ (
P 22 S2  S2)  9 / 18
~ (
P 23 S2  S3)  3 / 18
 Pij(Si  Sj)=1
(i,j)
......................................
Нетрудно построить граф состояний и переходов вx
соответствии с его матрицей смежностей, представленной
табл.3.5, а также провести оценку вероятностных параметров
системы по данным эксперимента.
71
Таблица 3.5
Количество переходов типа Si Sj
Si S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S4 * S5 * S6 * 
P(Si)
2
0,034
Si
S0
S1
2
2
5
3
1
4
9
3
2
S3
3
8
3
2
S4
2
2
7
1
2
1
3
S2
S5
11 0,125
S6
18 0,205
1
1
1
13 0,148
1
1
2
S4 *
1
2
S5 *
1
5
S6 *

17 0,193
2
1
2
11
18
17
13
8
3
3
10
8
0,090
3
0,034
3
0,034
10 0,114
2
2
0,023
87 1,000
72
S
0
S
1
0
S
2
S
3
S
S
4
5
S
6
S
4
*
S
5
*
S
6
*
S
0
S1
1
S
0
3
S3
S
3
S5*
2
0
S
3
3
S5*
0
4
0
S
5
2
0
S5*
S
2
6
4
S4
S
S4
0
7
0
8
0
S
8
6
3
1
0
S
1 1 1
8
7
1
1
3
8
3
3
0
1
8
7
Рис.3.15.Процесс смены состояний в ходе имитационного
моделирования системы
2
73
Глава 4. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ИМИТАЦИОННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
4.1. Аксиоматический подход
Аксиоматический подход является средством логического
упорядочения математических знаний на основе понятия
выводимости следствий из системы правильных посылок.
Исходные посылки играют роль постулатов и образуют
систему аксиом
К (α).
Множество "К" должно обладать тремя свойствами по
совокупности
аксиом
{α}:
независимостью,
непротиворечивостью и полнотой.
Наличие
указанных
свойств
является
системным
доказательством правильности объединения множества { α } в
систему аксиом К (α).
В качестве а выступают описания элементарных свойств
системы.
На теоретико-множественном уровне любая система
описывается множествами. Основные множества называются
базисными. Объединение основных множеств образует всю
совокупность элементов математической системы со свойствами
{α}.
Если между элементами системы можно установить
определеные отношения (реляционного или формального типа) ,
то совокупность базовых множеств совместно с системой аксиом
К(а) и множеством отношений R определяет понятие
математической структуры:
Str = S = (M1;...;Mn; r1;...;rℓ),
где Str - обозначение математической структуры; {М}базовые множества, удовлетворяющие системе К(α); R={r}система отношений, определяемая на элементах базовых
множеств.
Аксиоматика теории вероятности по Колмогорову
74
включает следующие 4 аксиомы для определения понятия
"вероятность":
α1 (аксиома отождествления): каждому случайному
событию X из множества подмножеств F, образуемых на
множестве элементарных событий U, принятом за базовое (или
универсум), можно поставить в соответствие число Р(Х) ,
определенное на интервале [0;1] и называемое вероятностью
(вероятностной мерой) события X; α2 (аксиома достоверного
события): если U- достоверное событие, то вероятность
достоверного события равна единице ( U - достоверное событие;
Р(U)=1); α3 (аксиома аддитивности): несовместные события
(Х1;Х2) не пересекаются, и для них справедлив закон
аддитивности по вероятностной мере, т.е.
(X  U)( X i  X j  )  {P(X1  X 2  ...  X n )  P(X1)  P(X2)  ...  P(Xn)}.
В частности, как следствие, если  Xi  U , и Xi  X j  ,
i
имеем  P(Xi)  1;
i
α4 (аксиома непрерывности): для убывающей
последовательности X1  X 2  ...  Xq из F при условии
 X q   справедлив предельный переход lim P(X q)  0
q
i
Аксиомы α1, α2, α3, α4 образуют независимую и
непротиворечивую систему аксиом К ( α1, α2, α3, α4)
В интервальной практике система аксиом К (α1, α2, α3, α4)
трансформируется в общее понятие вероятностной меры:
(X  F  U)  0  P(X)  1 ;  P(X)  1 ;
U
X - случайное событие X  U , Р(Х) ; U – достоверное
событие, Р( U ) =1; 0 - невозможное событие , Р ( Ø ) = 0 ;
X  U/X - противоположное событие, Р( X )= 1- Р(Х).
Математическая структура аксиоматической теории
вероятности с учетом принятых обозначений имеет вид
Str(U)=(U;R), где U - базовое множество; R - набор допустимых
операций над элементами базового множества F(X)  U;
75
F - множество подмножеств базового множества U.
Аксиоматическим подходом с помощью
математической
абстракции, отождествления (аксиом α1)вводится понятие
"вероятность" Р(Х) путем установления взаимно однозначного
соответствия между вероятностной мерой P[0,1] и базовым
множеством элементарных событий U:
P()  0; P(X) [0,1]; P(Fi  F  U)  P(Fi); P(U)  1.
Таким образом , элементарные события, образующие
универсум U , отображаются на универсальное множество точек
K()
интервала континуума [0,1]  I : U  I; U  
 I;
(U;R(U)) ↔ (I;R(I))  Str(U) ↔ Str(I).
Ha
U
с
помощью
теоретико-множественных
операций(объединение, пересечение, дополнение, дизъюнктивная
сумма, разность) образуют множество подмножеств F  U ,
которое определяет множество событий F на заданном
универсуме U .
Множество F называют также полем событий.
При справедливости аксиомы α4, имеем бесконечное
множество F ,так называемое борелевское поле событий,
соответствующее σ - алгебре событий.
При R , ограниченном операциями объединения,
пересечения и дополнения, структура
Str  (F, R)  (F;,; )
образует булеву алгебру случайных событий.
При R , заданном одним из наборов операций (пересечение
и дизъюнктивная сумма или объединение и дизъюнктивная
сумма), имеем коммутативное кольцо, в котором U выступает в
роли единицы
Str  (F;R) {(F;,)  (F;,)}.
Аксиоматика теории вероятностей служит логической
основой для вычисления вероятностных параметров в
задачахсистемного анализа.
Имитационное моделирование является средством оценки
вероятностных параметров системы.
Рассмотрим это подробнее через установление связи между
вероятностным пространством и пространством состояний.
76
4.2. Вероятностное пространство и пространство
состояний
Под вероятностным пространством понимается тройка
<U;Su;SI>, где U- множество элементарных событий (или
исходов); SU=Str(U) - алгебра событий на U;SI=Str(I) – алгебра
мер событий на I=[0,1].
Для упрощения обозначений условимся:
SU{F;Fσ}; S1(P;()) или P:
Fσ - в случае булевой алгебры событий- дискретный случай,
F - в случае сигма- алгебры событий- непрерывный случай;
P≡Q - нормированная счетно-аддитивная мера событий F ,
т.е. Q(U)=l; Q(F)=Q(F1+QF2)+..... если
Fi F j;  Fi F .
i
Для булевой алгебры событий имеем вероятностное
пространство [5, с.637]: < U; F; Р> .
В ИСО широко применяется понятие "пространство
состояний и переходов", которое можно представить графом:
G=(S;LX где S - множество состояний системы (вершины графа);
L -множество допустимых переходов (дуги графа).
Рассмотрим связь вероятностного пространства с
пространством состояний и переходов.
Множество состояний S можно принять в качестве
множества элементарных событий U , отвечающих условию
разбиения множества U на непересекающиеся подмножества Si :
U  S={S0;S1,;...;Sn};
где S0 - начальное состояние системы; Si - промежуточное
состояние системы; Sn - конечное состояние системы.
Состояние системы является функцией случайных событий
в системе. Для СМО, например, такими событиями могут быть:
X1 - моменты прихода заявок в систему; Х2 – моменты
продвижения заявок по системе; Х3 - время обслуживания заявки;
Х4 -влияние брака на обслуживание ...
77

Предыстория изменений вектора случайных событий X
зависит от выборки случайных чисел и алгоритма имитационного
моделирования системы.

Каждому ансамблю X соответствует
свой случайный

процесс смены состояний системы S , оцениваемый по p(s). Это
позволяет разметить граф G по частоте событий и частоте
переходов из Si в Sj , т.е. исследовать условные и безусловные
вероятности случайных событий в пространстве U.
Матрица смежностей графа G после нормирования по
p ((Si→Sj)/Si),
каждой строке даст оценки условных вероятностей ~
а нормированный итоговый столбец по общему числу
наблюдавшихся состояний определит оценки безусловных
p (Si).
вероятностей состояний системы ~
Произвольно взятое подмножество состояний пространства
S отвечает, в частности, алгебре событий F для дискретного
пространства состояний и переходов.
На основе введенных понятий можно следующим образом
определить задачу имитационного моделирования в общем виде:
на заданном пространстве элементарных состояний S ,
эквивалентных множеству элементарных событий или исходов
U, отвечающих заданной алгебре событий F; , определить оценки
~
значений вероятностей P , т.е.
~
p { pi ; pij }.
Чтобы решить данную задачу, необходимо разработать
модель системы, алгоритм имитационного моделирования
процессов в ней, определить модели, соответствующие алгебре Fi
и целям моделирования. Соответствия математических понятий
78
вероятностного пространства и понятий пространства состояний
и переходов реальной системы имеют вид:
φ:
U;F;P
S;A;P
где U - непустое множество элементарных событий; S пространство состояний реальной системы; F - алгебра событий;
~
А-алгоритм P - функционирования системы; Р - вероятность как
мера элементарных событий; - оценки вероятностей для
состояний системы.
Пример.
Непустое пространство элементарных событий для S можно
представить диаграммой Эйлера и описать как символ Венна для
булевой алгебры событий соответствующей схемой:
S0 = S1
P0
S
S0
S
1
P01
P1
P12
P10
P21
S1
Р2
S2
Для случая гибели -размножения
2
S
S0
0
P
S
1
S1 ∩S2 = S0
0
S
P
2
P
2
1
S
2
В общем случае
S
1
79
Здесь S0 - система свободна; S1 канал занят; S2- место в
очереди занято.
Очевидно, граф состояний и переходов является графом
пересечения, построенным на диаграмме Эйлера (отдельные
области диаграммы представлены вершинами графа; дуги
соединяют вершины, для которых области на диаграмме имеют
протяженную границу).
Отметим здесь, что процесс имитационного моделирования
основан на пошаговой процедуре определения состояния
системы, базирующейся на понятии единичного жребия.
Процедура поиска состояния системы в момент времени v
осуществляется (по схеме гибели-размножения) последовательно
по цепочке
Sv=Sv+1+1.
4.3. К оценке точности и определению числа реализаций
Для примера рассмотрим платоновское тело с множеством
граней q.
Вероятность выпадения любой грани платоновского тела
равна р = q-1. Рассмотрим имитатор, выполненный идеально, т.е.
q-1- const для любой его грани.
Пусть N - число жребиев. С ростом N, согласно
центральной предельной теореме теории вероятностей,
справедливо уравнение
p(|~
p i pi| ε) 2Ф Q
где Р - вероятность выполнения условия ΔP |~
p i pi| ε ;
~
p i = ki / N частота наблюдений события Si (оценка
вероятностной меры по эксперименту); Pi = q-1 – вероятность
события Si для симметричного тела с числом граней q ;
ε - задаваемая экспериментатором величина разности
(обычно 0,05 ; 0,01; 0,005); Ф -функция Лапласа; Q – уровень
добротности (степень доверия).
Значение
ΔP |~
p i pi| определяет точность оценки
вероятности события Si по частоте наблюдений Pi.
80
Можно рассмотреть две задачи:
-оценить вероятность Р = f (ε) при известном числе
испытаний N;
-при заданной добротности Q, определяющей допустимый
уровень доверия, определить требуемое количество испытаний.
Рассмотрим первую задачу. В случае р = q-l имеем
k 1
P( i - ) < ε)=2Ф, Ф=Ф( ε N
)
Pi(1-Pi)
N q
Пусть N=100; P=0,5; ε=0,05:
2 Ф(1) = 0,95450.
1 x -t 2
Значение функции Лапласа Ф(x)=  e
dt при х=1 равно
2
2π 0
Ф (2) = 0,3413 и может быть найдено из таблицы [2,3].
В результате утверждается, что при N = 100 и ε = 0,05 для q
= 2 ( например, идеальная монета ) в 68,26% случаев наше
=0,01Ki не будет отличаться от своего предельного значения
более чем на е. При 0,5±ε мы попадаем в интервал значений 0,450,55. В 32,74% случаев для выборки N = 100 мы окажемся вне
интервала 0,5 ± 0,05.
Рассмотрим вторую задачу.
Пусть ε = 0,05; Q = 0,95; q = 2. Требуется определить
соответствующее N.
Согласно центральной предельной теореме ,имеем:
2Ф(x) = Q;
x= ε N
Ф(x)=0,5Q;
x=Ф -1 (0,5Q),
P(1-pi)
;
где Ф-1- функция, обратная функции Лапласа , взятая при
значении Ф(х) = 0,5Q = 0,5 * 0,95 = 0,475.
Из таблицы значений функции Лапласа (или таблицы
интеграла вероятностей) находим по значению Ф (х) значение х=
1,96: следовательно,имеем
К=Р(1-Р)[Ф-1(Х)]2/ε2=Р(1-Р)Х2/ε2=0,5(1-0,5)1,962/0,052=400.
Необходимо провести 400 опытов с подбрасыванием
81
монеты, чтобы результаты испытаний P =Кi/100 соответствовали
уровню доверия Q=0,95, т.е. с вероятностью 0,95 выполняется
условие
ΔР<(ε=0,05).
Геометрическая интерпретация центральной предельной
теоремы в случае p=q-l иллюстрируется по Гауссу процессом
измерения отрезка P(Si) на интервале [0,1]:
S
1
S
2
0
/q
S
S
q
j
1
2
/q
……
…
0
q
1
-1/q
,4
S
0
i
/q
i
1
/q
i
+1/q
Будем измерять, например, длину отрезка [S1) на интервале
[O,q ) = p (S1) по относительному числу попаданий в него, т.е.
значением p = О, 01Ki при i=1. Если серию из N опытов повторять
многократно (Nc), то, согласно центральной предельной теореме,
плотность распределения значений p определится законом φ(Р) ,
имеющим
вид
нормального
закона
распределения с
-l
математическим ожиданием m(p) =p=q и средним квадратичным
отклонением
-1
p(1-p)
q-1

Nc
q 2 Nc
Другими словами, множество значений p j , соответствующих
длине
отрезка
[0,q-1),
отвечает
нормальному
закону
распределения.
σ(p)=
82
Для оценки значений
σ(P) можно воспользоваться
результатами единичного эксперимента из N опытов при
достаточно большом значении N :
p(1-p)
N
Для реальных моделей платоновских тел имеет место
отклонение от значений q-1 в силу конструктивных особенностей
и точности изготовления.
Можно считать, что значения q-1(Si) для каждой грани
уточняются
в
ходе
эксперимента,
точные
значения
математических ожиданий и дисперсий неизвестны.
Пусть имеется размеченный цифрами имитатор (не
обязательно платоновского типа):
σ(p)=
Номер
интервала i
Значение x
1
1
1
.. i ..
q
x
x
.. xi ..
x
2
4
Если в общем случае считать, что длина интервала на
отрезке 0,1 неизвестна, то статистические значения Xi можно
уточнить в результате имитационного эксперимента и принять в
первом приближении
1 N
1 N 2
m x =  Xij ;D x =  (Xij  m 2x ),
N j=1
N j=1
где m x =x i - среднее арифметическое значение;
σx = Dx - среднеквадратичное отклонение.
Расчеты P(p) и N(Q) в этом случае ведутся по
формулам [3,4]
Расчеты P(p) и N(Q) в этом случае ведутся по формулам
[3,4]
ε N 
P=( m x -m x  ε)=2Ф 
Q;
σ
 x 

N  x 1 (0,5Q)

При этом считается, что точное значение mх нам известно.
83
Глава 5. ЭПИСТЕМОЛОГИЯ И СИСТЕМНЫЙ
АНАЛИЗ
5.1. Основные понятия
Эпистемология - словосочетание от греческих слов: знание
(эпистемо) и логия (слово, учение). В науке это одна из
составляющих теории познания: эпистемология, гносеология,
онтология [II, с. 1322].
Центральный вопрос теории познания - "изучение
закономерностей и возможностей познания, исследование
ступеней и форм процесса познания, выделение условий и
критериев определения понятий достоверности и истинности
наших знаний".
Эпистемология
является
основой
для
создания
системологических технологий обработки эмпирических и
рациональных систем данных, и систем знаний, объединяемых в
предмет инженерии знаний.
Понятия объекта и субъекта являются базовыми в
эпистемологии.
На
рис.
5.1
приведена
диаграмма,
иллюстрирующая взаимоотношения этих понятий и их
системные свойства.
Объект как философская категория представляет собой
единство трех составляющих: предмета (А), сущности (В) и
явления (С). Системное свойство объекта - пассивность.
"Природа не выражает себя свободно, но говорит, только
будучи спрошенной", - отмечал в свое время Френсис Бекон.
Субъект, по сути, отличается от объекта активным началом
по функции целеполагания.
Получая по каналам наблюдения информацию от объекта и
уточняя её путем воздействия на объект, исследователь (субъект)
формирует системное описание объекта, как комплекса
рационально-эмпирических систем.
Конкретизируя философскую абстракцию "предмет сущность - явление" по отношению к субъекту под субъектом
можно, в частности, понимать систему из понятий: "организация
84
ОБЪЕКТ
Объект
пассивен по
Сущ
отношению к
целеполагани
P
ю
C
B
Bность
Я
C
влени T
A
е
BC
A
A
B
C
A ПредG
мет /вещь/

Носитель

/организация
субъекта
А
A
A
B
C
B
C
A
BC
Содержание
/знания/
РС
УC
B
Проявление
/Дей
ствия/
У
ЭС
СУБЪЕКТ
Субъект активен по функции целеполагания
Рис 5.1.Диаграммы к определению базовых понятий
эпистемологии /теории познания/
85
(носитель) - система рациональных и эмпирических знаний
(содержание) - конкретная система эмпирических данных
наблюдений (проявление)".
Относительность
степени
конкретизации
субъекта
пропорциональна
принятым
уровням
рациональных
и
эмпирических систем, принятым для описания объекта, и
раскрывается в логико-историческом процессе познания явлений
и сущностей предмета исследований.
К примеру, Р. Карни утверждал, что "система с поведением
существует для того человека, который задаёт маску" [14]. Здесь
под субъектом понимается конкретный исследователь, который
разрабатывает конкретную систему обработки данных на основе
системных технологий и функций поведения.
Функция - действие, распространенное понятие в
"системном анализе и исследовании операций" является
обобщенным понятием по отношению к функции - поведения,
применяемых в бихевиористических дисциплинах.
Итак, объект и субъект являются антиподами по отношению
к функции целеполагания.
На рис.5.1. области А, В, С представлены в виде трёх
пересекающихся шестигранников, образующих диаграмму
Эйлера. Множество - сумма для множества ABC имеет
мощность, равную 8, включая пустое множество: М {А,В,С} =
{{Ø};{А};{В};{С};{АВ};{АС};{ВС};{АВС}}; (5.1)
Идентификация объекта ведётся в трёх базисах: групповом
(G), пространственном (Р) и временном (Т). Выбор системы баз
из указанных базисов должен однозначно идентифицировать
объект по описанию его трёх составляющих. Например:
"G" - это класс предметов, имя конкретного предмета,
наименование конкретного единичного эксперимента...;
"Р" - это описание пространственно-подобных
86
операций и отношений; описание системы как совокупности мер
и метрик в нормированном пространстве, описание системы в
пространстве состояний и переходов и т.п.;
"Т" - это описание объекта на основе введения время подобных отношений, это последовательность смены событий
или состояний входных и выходных переменных...
Полный базис идентификации объекта определяется
параметрическим описанием вида:
W = WG *WP *WT ={( w G ; w P ; w T )} ,
(5.2)
т.е. представляет собой множество кортежей, элементами
которых являются кортежи wg, wp и wt.
Базис объекта подобно системе аксиом должен обладать
комплексом свойств: совместностью составляющих его частей,
непротиворечивостью, полнотой и допускать применение
системологических правил вывода следствий.
Базис объекта является основой разработки конкретных баз
эмпирико-рациональных комплексов и систем на различных
уровнях конкретизации - абстрагирования объекта при решении
задач исследования и проектирования.
Пример
Определить базис эмпирической системы наблюдений,
представленной циклограммой рис.3.8.
В первом приближении можно выделить следующие
составляющие базиса.
Групповой базис. Идентификатор системы по Кендалу
G/G/3/3 и правила работы системы, полученные в ходе
наблюдений за объектом исследований.
Пространственный базис. Общая схема состояний и
переходов, представленная в виде структуры МСВ (см. рис.3.3) ,
ее конкретные составляющие, (см. рис.3.4).
Временной базис. Т = [10.00; 17.00); Δt = 5 мин;
NT=N84= (1,2, ...84). Правила выборки случайных чисел из
таблицы случайных чисел. Логические правила представления
переменных в каналах обслуживания и ожидания.
87
Очевидно, полный базис по отдельным компонентам может
быть описан комплексом баз:
К (G;P;T) - (Ø; G; Р; Т; GP; GT; РТ; GРТ}.
(5.3)
5.2. Таксономия уровней системного анализа объекта
"Термин "таксономия" предложен в 1813 г. Швейцарским
ботаником О.Декандолем и длительное время употреблялся как
синоним систематики. Развитие систематики привело к
конкретизации термина как раздела систематики, связанного с
системой
таксономических
категорий,
обозначающих
соподчиненные группы объектов - таксоны" [II, с. 1304].
На рис.5.2 приведена таксономия уровней рационально эмпирических систем. Она конкретизирует схему рациональных
уровней описания систем [12].
Уровни описания рациональных систем представлены
семью таксонами:
"у1 - знаково-лингвистическим;
"У2 - теоретико-множественным;
"У3 - абстрактно -алгебраическим;
"У4 - логико-математическим;
"У4 -топологическим;
"У5 - информационным;
"У6 -динамическим.
На уровнях "У1"У4 формируется, в частности, групповой
базис, теоретико-множественная и логико-алгебраическая
системы отношений, а также реляционные отношения типа
отношений равенства, порядка, толерантности, эквивалентности,
доминирования для описания реального объекта.
На уровнях "У5 и "У6 формируется описание
пространственно-подобных отношений.
На уровне "У7 формируется описание время-подобных
отношений и комплекса вида понятия "динамическая система"
[12.13].
УРС представлены в форме, принятой в абстрактной
88
А
х
х
В
х
“ Y0 Объект /Ъх/ Э0”
С
Ъх
=/Ax;Bx;Cx/
I
0
и среда объекта
Сущ
ность Вх
Уровн
и описания
рациональн
ых систем.
УРС
Пред
мет,
Вещь
Ах
k
a
S
=/I0;Ik;Ia/
Сх
Цели.
Задачи
cистемы:
Уровн
и описания
эмпирическ
их систем.
УЭС
S= /A;
R/
 “
1 Y1
“

2 Y2 “
“

3 Y1 “ Y1 “
“
Y1
Y1
Y1



5
6
7
Г
П В
Явл
ение
I
“
X
Э1
c
m
“
X
Э2 Xc
c
c
“
2
2
Э3 X c m … X …
c
3
3
X
.. X ..
X
Xm/E/;
…………………………
……. E=/S;Д;F/
Субъект
S
Д F
и его среда
Модель субъекта как
комплекс рациональноэмпирических систем
Рис.5.2. Таксономия уровней рационально-эмпирических
систем описания реального объекта
I
89
теории систем. Описание объекта (Ъх) строится по схеме
комплекса:
опр
Ъx 
(A x ;Bx ;Cx ),
в системе следующих обозначений: Ах — предмет, вещь: Вх
- сущность; Сх - явление.
Уровни описания эмпирических систем строятся по
следующим основным таксонам по Клиру [14]:
X  (S,D,F) ,
где S - исходная система; Д - система данных; F – система
порождений.
Описание реального объекта наблюдений связано с
понятием комплекса "исходная система":
опр
S 
(I0 ;Ik ;Ia ), ,
где I0 - система объекта; IК- конкретная система; Iаабстрактная или общая система.
Под системным анализом в общем понимается выбор
отдельных элементов системы с позиций интересов всей системы
в целом.
Рассмотрим пример системного анализа при интуитивном
конструировании понятий "исходная система", характерном для
системологии по Клиру[14]:
С позиций системного анализа конструирование описания
исходной системы S следует вести с позиций описания её
отдельных составляющих Io;Ik;Ia так, чтобы обеспечить наиболее
полную совместимость описания всей системы S в целом.
В системологии предлагается рассматривать исходную
систему как математическую структуру вида:
S=(Io;Ik;Ia;φ;η),
где: а/ система множеств:
Io=({ai;Ai};{bj;Bj});
IK =({yi ;Yi };{x j ;X j});
Ia =({yi ;Yi };{x j ;X j});
i  N m ={1,2,...,n};
j  N m ={1,2,...,m};
б/ система отношений элементов множеств;
90
  {(; )};
i : AiYi;
i : BjXj;
  ( ; );
 i : YiYi;
i : XjXj.
В (5.6) приняты следующие обозначения:
{ai;Ai}- наблюдаемые свойства (ai) и множества их
проявлений {Ai};
{bj;Bj}- свойства баз наблюдений (bj) и множества их
проявлений (Вi).
Аналогично определяются пары составляющих для Ik и 1а
при замене понятия "свойства" на понятие "переменная": для IК конкретная переменная, для Iа- абстрактная или общая
переменная.
Согласно (5.6) исходная система определена, как
математическая структура на базовых множествах Аi ; Yi ; Ýi и
системе отношений: внутрисистемных (φ) и внешних
наблюдаемых (η).
Диаграмма преобразований для исходной системы имеет
вид:
F
F
0
F
k
I0

-1


a
Ik


-1
Ia
Ком

0
-1
позиция


кана
лов
- каналы наблюдений; - каналы абстрагирования
0 -1
91
Выбор наблюдаемых свойств объекта (ai и свойств баз (bj)
проводится субъектом на дометодологическом уровне.
Множество проявлений свойств объекта (Ai) и множество
проявлений свойств баз (Вj) определяется допустимой точностью
наблюдений и обработки информации.
В дальнейшем понятие базы конкретизируется в понятие
параметров наблюдений {(xj, Xj)}, а понятие свойств
конкретизируется в понятие переменных наблюдений {(уi, Yi)}.
Для дискретной системы примитивных данных число
переменных определяет число строк в таблице результатов
наблюдений, а число баз наблюдений, определяет число
отдельных экспериментов, их параметрическим описанием для
идентификации подъиспытаний.
При единственной базе каждая страница данных
вырождается в столбец данных при заданном параметре w j
Совместимость составляющих S достигается на уровне
принятой индексной системы упорядочения данных Nn и Nm,
независимо от типа подсистемы Yo, Yk, Ya.
Системы являются упорядоченными множествами из
кортежей. Так для Ya имеем:
Y≤Y1*Y2*….*Yn={(y1;y2;…,yn)}
X≤X1*X2*....*Xm={(x1;x2;...;xm)};
где Y- полное состояние переменных;
Х-полное значение параметра;
опр
(Y;X)  A -множество элементов системы Ya.
Упорядоченное представление данных эксперимента
отличается от исходной системы примитивных данных
методологически тем, что допускает конструирование так
называемых систем порождения. Правильно построенная система
данных (D) не определяет всех функций порождения
непосредственно, но способствует формированию классов
индуктивно-порождаемых систем, в которых вскрываются
зависимости между Y=f(X). В ряде случаев конкретных систем
подобные зависимости отражают причинно-следственные связи
92
или определяются математическими свойствами,
существующими в комплексах отношений:
F  {F : X  Y }  {W   V  };
F  {F : X  Y }  {W   V  }; (5.7)
Fo  {Fo : B  A}  {Wo  Vo}.
Элементами
комплексных
отношений
являются
математические свойства составляющих абстрактных и
конкретных систем: {(Vi; Wj); (Vi; Wj)}[14].
Отношения вида {Woj→Voi} определяются на бесконечном
множестве свойств и отношений реального объекта на основе
нечетких семантических операций типа интуиции и эвристик, т.е.
субъективно,
говорят,
на
дометодологическом
уровне
абстрагирования - конкретизации.
5.5. Объект моделирования как комплекс
рационально-эмпирических, систем
Объект и среда объекта являются взаимосвязанной
системой, определяющей характер проявления объектом таких
важных свойств как адаптация и эволюция. Субъект, меняя среду
объекта или непосредственно воздействуя на объект,
способствует проявлению объектом полезных для него качеств и
свойств. Цели и задачи, решаемые субъектом, сводятся к
переводу объекта в такое подпространство состояний, где
критерий полезности достигает экстремального значения.
Имитационное моделирование поведения объекта в
различных условиях среды объекта является инструментом
анализа и синтеза при проектировании реальных систем.
Применение таксономического анализа и построение на его
основе многоуровневых комплексов рационально-эмпирических
систем описания реальных процессов и систем способствуют
синтезу индуктивно-порождаемого комплекса систем, поведение
которых в большой степени адекватно поведению реального
93
объекта в условиях решаемой субъектом задачи.
На примере объекта G/G/3/3 можно показать процессы
таксономического проектирования различных уровней в
комплексе рационально-эмпирических систем.
Цель проектирования имитационной модели объекта
G/G/3/3 - создание системы данных дня индуктивного
моделирования порождающих систем с поведением в условиях
нечеткого поведения, определяемого вероятностными законами
поведения реального объекта наблюдений.
Системный анализ системных технологий решения
проблемных задач показывает наличие множества циклов в
структуре организации мыслительных процессов решения
творческих задач [15,с.28].
Условно процесс решения проблемной творческой задачи
можно назвать "скользящим планированием".
Суть скользящего планирования процесса решения
И.Мюллер определил так: "Подробный план всего процесса
решения задачи определяется только тогда, когда заканчивается
работа".
В нашем конкретном случае решение задачи моделирования
одного рабочего дня системы типаG/G/З/З выполнена в первых
трех главах пособия. Теперь можно перейти к разработке
системологических технологий для анализа и синтеза подобных
объектов.
Для начала обобщим условие задачи. На рис.5.3 приведена
система "Ф" для порождения конкретных данных эксперимента
системами с поведением для объекта G/G/3/3 при принятых и
описанных ранее правилах и условиях вывода следствий. Рис.5.3
конкретизирует поведение системы в зависимости от случайных
воздействий и текущего состояния объекта моделирования.
Структура системы "Ф" проведена ранее на рис.3.3. Очевидно,
что на логико-математическом уровне "У4" структура системы
"Ф" может быть описана в виде системы логических утверждений
(импликаций,
продукций)
типа:
"если...,
то...".
С
94
н

.у.
1
0.00
t
H
Ф
t
к
dt=t
+; =1
tT
.у.
7.00
t
5 1
0t
5
2
1
2
0
0
9
[00
;09]/R1 0
,37
l
0
1
=0 [
2 00;36]
3
4 l
P 
0
1
2
3
4
0

!
2
0 [
31;68]0
5
e
0 5
2
0
,6
=0 [
00;59]
3 3
0
[
,38 0
2
69;92]0
М
5
,24 0
,24 [
3
0 СВ-
,06
93;98]
0
,06
0
0
3
,01
,01; 5 r t
4 5 6 7 [00]
8 9 9
0 0 0 0 0 9
М
4 [00
СВ-T
9 ;49]/T>1
4 5[00
2
9 ;49]/R3
М
[00
СВ-R
;29]/R2
r 0
0
0
0
,37
,09 ;r ,06
R T
,01
[
l
М
37;73]l
=2 [
3СВ[
74;92]
=1
2[
93;98] l
99]
=4
[07
1
;30]
5
[
1 0
0 ,06 01;06]
5 [
00];
0,01
0 1 2 3
0 0 0 0 0
0
Ф
k
[
00]
1
l
0
5
,3
,09
9
l
0
,01
0
М
l СВ[
=1 [
1[
=2
l
60;8
90;98]
99]
=3
9]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9 r
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

Рис.5.3. Система для порождения данных поведения объекта
95
помощью языков логического программирования система
высказываний переводится в описание логического блока
выводов ЛБВ для заданной структуры МСВ.
На рис.5.3 процесс имитации связан с дискретным временем
= 5 мин. В этих единицах правило сдвига имеет вид rw=w+1 при
Δt=l. Для запуска системы и получения, например, циклограммы
процесса необходимо определить начальные условия (Н.У.),
конечные условия (К.У.), правила поведения системы "Ф" на
каждом шаге и правило сдвига для "Ф".
Циклограмма (см. рис. 3.8) является примером конкретной
системы Ya для объекта Yk , построенной на принятой системе
обозначений , т.е. в совокупности -это комплекс двух систем Yk
и Ya, входящий в понятие "исходная система". Система объекта
Yo определяется эмпирическими данными наблюдений,
полученными при исследовании реального объекта.
Система для порождения новых данных и знаний
определена такими предметными областями знаний (ПОЗ), как
теория вероятностей и теория систем массового обслуживания, в
частности на метапонятиях (см.п.3.6) :
случайный процесс смены состояний;
пространство состояний и переходов;
безусловные и условные вероятности, их оценки (табл.3.5);
математическое ожидание дискретной случайной величины;
оценки средних значений параметров систем массового
обслуживания (k; r; t r ;t  и др.).
Итак, уровень исходной системы определен в виде
примитивной системы данных (см. рис.3.12). Одна из возможных
форм представления данных моделирования, упорядоченная по
адресному принципу, приведена в т.5.1. Адресная система
данных в отличие от циклограммы позволяет строить различные
системы порождения, как индуктивно-порождаемые системы
новых данных и метазнаний на основе указанных выше ПОЗ. В
96
этом смысле табл.5.1 является системой данных Д, полученной из
исходной системы S.
В нашем случае система данных является изоморфным
отображением исходной системы, которая уже обладает новыми
системологическими свойствами. Адресная компонента является
примитивной формой структуризации примитивной системы
данных. Системы порождения теперь могут строиться на
понятиях масок без памяти и с памятью, систем адресных
уравнений, выборочных переменных, систем с поведением,
порождаемых систем с поведением и других, характерных для
системологических технологий обработки информации [14].
5.4. Пример конкретизации системы данных для
G/G/3/3
Рассмотрим конкретную систему данных т.5.1.
Адреса в строке А1 в системе данных отведены для отсчета
базы времени. Отчет времени ведется в единицах Δt=5 минут. В
табл.5.1 данные представлены до момента №39 включительно,
т.е. до t = 40*Δt = 40*5 мин = 200 мин = Зчаса 20 мин, с момента
10.00 до 13 час 20 мин. Для практики предлагается продолжить
составление системы данных в соответствии с циклограммой для
остальных моментов времени.
В строке А2 (условия) применяется логическая система
перечисления особенностей работы объекта во времени:
Ко
д
0

n3
n2
n1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
8
9
10
12
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
Смысл
Л1К1К2
К3
Л1К1К2
К3
Л1К1К2К3
Л1К1К2К3
Л2К1К2К3
Л2К1К2К3
Л2К1К2К3
Л2К1К2К3
Примечание
=1
перерыв n1
перерыв n2
перерыв n3
час пик
Логическая функция частично определена!
97
Таблица 5.1
Адресная система данных при t минут
А1
А2
Б1
Б2
Б3
Б4
№№
Усл.
Адр.
Число
Х/С
№1
1
0
А1
85
1/1
1/к1
2
0
А2
74
1/2
2/к2
3
0
А3
54
0/2
-
4
0
А4
90
2/4
3/к3
5
0
А5
40
0/4
-
6
0
А6
69
1/5
5/к2
7
0
А7
01
0/5
-
8
0
А8
63
1/6
9
0
А9
12
0/6
6/R -
1
Б5
№2
4/R1
Б6
№3
Блок «Б» определяет число событий «Х» на входе в
систему и их распределение СМО
Б7
№4
В1 И.С.
0
1
3
3
15
5
7
7
7
В2 Адр.
Ф1
Ф2
Ф3
Ф5
В3
Ч/п
81/5 53/4
77/5
84/5
В4
№
1
2
3
5
В5
Блок «В» определяет входной поток при отсутствии очереди
Г1
К1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
Г2
К2
2
2
2
2
5
5
5
5
Г3
К3
3
3
3
3
3
6
Г4
Блок «Г» определяет потоки заявок и периоды их
обслуживания в каналах К1, К2, К3
Г5
Д1
№
4
6
Д2 Адр.
Ф4
Ф6
Д3
Ч/п
58/4
28/3
Д4
Поток заявок из очереди на обслуживание
Е1
К1
К2
Е2
Е3
Адресная выборка чисел при ненулевой очереди
Ж1
К1
4/1 4/2
6/1
Ж2
К2
Ж3
К3
Блок «Ж» определяет поведение заявок в очереди
И1 Адр.
И2 Число
И3
№
И4
Блок «И» определяет поведение заявки после 15 минут
ожидания в очереди
98
Продолжение таблицы
А1
А2
Б1
Б2
Б3
Б4
10
0
А10
41
0/6
11
0
А11
12
0/6
12
0
А12
70
1/7
7/к1
13
0
А13
37
0/7
14
0
А14
61
1/8
8/к2
15
0
А15
42
0/8
6
4
0
Ф7
31/4
7
7
1
1
Ф8
10/3
8
7
8
3
Б5
Б6
Б7
В1
В2
В3
В4
В5
Г1
Г2
Г3
Г4
Г5
Д1
Д2
Д3
Д4
Е1
Е2
Е3
Ж1
Ж2
Ж3
И1
И2
И3
И4
7
7
8
16
17
18
19
0
0
0
9
А16 А17 А18 А19
87
84
86
93
1/9 1/10 1/11 2/13
9/к1 10/к 11/к 12/R
2
3
1
13/R
2
2
1
3
Ф9 Ф10 Ф11
10/3 47/4 62/4
9
10
11
9
9
9
8
10
10
11
7
0
10
11
99
А1
А2
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
В1
В2
В3
В4
В5
Г1
Г2
Г3
Г4
Г5
Д1
Д2
Д3
Д4
Е1
Е2
Е3
Ж1
Ж2
Ж3
И1
И2
И3
И4
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
9
9
9
9
9
8
10
10
10
10
А20 Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Б8
Б9
70
45
75
62
76
27
09
47
38
03
1/14 0/14 1/15 1/16 1/17 0/17 0/17 1/18 1/19 0/19
14/R
15/R 16/R 17/R
18/R 19/R2
3
1
2
3
2
61
31
31
31
31
31
31
15
15
31
0
10
11
0
12
11
0
12
13
0
12
13
0
12
13
15
12
13
15
12
13
15
0
16
17
0
16
17
0
16
12
13
Ф12 Ф13
93/6 86/5
К5
98
К6
30
15
Ф14
30/3
К7
56
К8
52
16
17
Ф15 Ф16
07/3 12/3
К9
36
К10
98
12/2 13/3 14/3 15/2 15/3 16/3 16/4 17/4 18/2 18/3
13/2 14/2 15/1 16/1 16/2 17/2 17/3 18/1 19/1 19/2
14/1
17/1
Ж1
Ж2 Ж3
03
87
99
14
100
А1
А2
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
В1
В2
В3
В4
В5
Г1
Г2
Г3
Г4
Г5
Д1
Д2
Д3
Д4
Е1
Е2
Е3
Ж1
Ж2
Ж3
И1
И2
И3
И4
Продолжение таблицы
30
31
32
33
10
10
10
8
Б10 Б11 Б12 Б13
01
87
30
16
0/19 2/21 0/21 0/21
20/R
1
21/R
2
65
15
7
18
19
17
0
18
19
0
18
31
19
0
18
18
19
Ф17 Ф18
43/4 02/2
31
Ф20
71/5
20/2
1
20
21
18
34
8
Б14
72
1/22
35
8
Б15
34
0/22
36
8
Б16
74
2/24
23/R
1
24/R
2
37
8
Б17
15
0/24
38
8
Б18
85
2/26
25/к
2
16/R
1
3
7
У1
14/3
22
7
5
15
У4
29/3
25
20
21
22
20
21
22
7
У3
71/5
23/2
4
23
21
24
20
21
22
23
25
24
23
25
24
К13/
К14
15/8
0
К15
К16
70
26
23/1
24/1
26/1 26/2
20
Ф19
58/4
К11/
К12
53/6
5
19/3 20/1 20/2 21/3
21/1 21/2
39
8
Б19
12
0/26
У2
94/6
101
Например, условие 9 в строке А2 определяет принадлежность
интервала к часу пик и возможность канала К1 уйти на перерыв при
выполнении дополнительных условий, зависящих от ухода случайного
процесса смены состояний в системе.
В блоке Б определяется число событий на входе в систему и
характер их распределения по структуре каналов и очередей в
СМО. Система адресных уравнений определяется принятой
маской обработки данных и правил сдвига, Например:
(Б1=А4)→(Б2=90)→(Б3=2/4)→(Б4=3/КЗ)→(Б5=4/R1), (5.7)
это означает следующее: "Если в Б1 записан адрес случайного числа,
находящегося по адресу А4, то это число равно 90 (см. табл. П. 1),
следовательно, в систему поступит 2 запроса, что в совокупности с ранее
поступавшими составит 4 запроса, третий запрос поступает в третий
свободный канал на обслуживание, а 4-й попадает в очередь R1". Здесь
приведено описание многоступенчатой многошаговой обработки данных в
форме примитивной тождественной маски сдвига при р=0, т.е. в одном
столбце. Формально, подобная обработка данных без участия субъекта не
может быть реализована: строки Б4 и Б5 непосредственно ориентированы
на участие человека.
В столбце №№ для блока Б принята следующая система
обозначений: адр. - адрес случайного числа, определяемый
заданными правилами выборки случайных чисел; число двухразрядное случайное число, находящееся по указанному
адресу; х/с - число заявок, поступивших в начале интервала в
систему/общее число поступлений; 1, 2, 3, 4 - номера и
перемещение заявок, поступивших на данном интервале 3/КЗ;
4/R1.
В блоке В определяется входной поток при отсутствии
очереди.
102
Bl - И.С. (исходное состояние) системы в полном
пространстве параметров n+m=3+3=6, т.е. 26=64;
{Si}={S0;S1;…:S63}
B2 - адрес числа, определяющего время обслуживания.
B3 - случайное число/число интервалов обслуживания
запроса.
B4 - номер заявки, поступившей на обслуживание. В5 отведено для дополнительных данных.
В блоке Г определяется характер обслуживания заявки в
системе, аналогичен данным циклограммы по каналам
обслуживания. Строки Г4 и Г5 для дополнительных данных.
В блоке Д определяются данные по потоку заявок,
поступающих на обслуживание из очереди: аналог блока В для
потока заявок, поступающих на обслуживание, когда очередь
отсутствует.
В блоке Е и Ж определяется возможность поставки заявки в
очередь или отказа, а также характер передвижения заявки по
очереди до обслуживания или ухода через 15 мин ожидания.
В блоке И определяется поведение заявки после 15 мин
ожидания, если к этому моменту ни один из каналов не
освободился.
Рассмотренная
система
данных
рассчитана
на
моделирование процессов в системе, которое выполняется
человеком, как начальная система для обучения моделированию,
альтернативная по отношению к циклограмме. При
моделировании здесь встречаются семантические операции
интуитивного, эвристического и формального характера.
Для моделирования на ПЭВМ число интуитивных операций
должно быть сведено к нулю, а эвристические операции сведены
к минимуму и представлены в виде системы логических правил
вывода,
описанной
на
логико-математическом
уровне
абстрагирования в виде логического блока выводов.
103
Если интуитивные операции не удается свести к нулю, то
потребуется участие человека для принятия решений в
конкретных тупиковых для ПЭВМ ситуациях.
Глава 6. СИСТЕМА ДАННЫХ ДЛЯ ОБЪЕКТА ТИПА
M/G/3/3
6.1. Марковский входной поток событий
Объект типа M/G/3/3 представляет собой СМО, в которой
входной поток событий простейший (М - Марковский), т.е.
f λ ( t ) = λ( t )
λt
∞
; Pλ ( t ) = ∫
λ(t) * e
λt
* dt (6.1)
0
Для конкретной системы имеем:
λ1=6 s/час или 0,1 s/мин;
λ2=12 s/час паи 0,2 s/мин (в час пик).
Простейший поток событий можно рассматривать как
частный случай пуассоновского закона распределения.
Стационарность, ординарность и отсутствие последствия основные свойства марковского или простейшего потока
событий.
В общем виде закон распределения Пуассона определяет
вероятность числа событий ℓ при заданном значении константы
а:
ae -a
P(a, l) = Pl = e (6.2)
e!
Для процессов во времени принимается значение a=λ*t;
( λt )e - λt
P( λ ,l,t) = Pλ (t) =
*e ;
e!
(6.3)
104
Если время дискретно заданная величина, принятая за единицу
отсчета, например, Δt = 5 мин, то (6.3) примет вид:
λe - λ
Pl = * e , при t=1 (6.4)
e!
Зависимость (6.4) применялась ранее для определения числа
событий, приходящихся на интервал дискретного времени (Δt = 5
мин.)<=>(t = 1).
Очевидно, что чем меньше значение Δt, принятое за единицу
отсчета, тем меньше вероятность прихода "ℓ" событий на этот
интервал времени. В пределе при Δt → 0 из (6.3) имеем Pl=0
Из (6.4), в частности, следует:
а)
ℓ =0 имеем Pl=e-λt
б) ℓ =1 имеем
Pl=te-λt
в)
ℓ=1 имеем Pl =1-e-λt
В
предположении
Марковского
комплекса
свойств
вероятность наступления более чем одного события мала (свойство
ординарности), т.е. для Марковского потока событий принимается:
P l =1-e λ t и ƒ 1 =λe - λ t (6.5)
Из (6.5) можно определить время прихода очередного события в
функции случайного числа:
rλ = 1 - e
- λt r
tr
=∫
Pl ( t )dt ;
(6.6)
0
1
1
tr = - ln( 1 - r) = - ln r* .
λ
λ
В табл. Приложения П.4 приведены данные для
моделирования входного потока событий в случае применения
двухразрядных чисел rλ для параметров 0,1 и 0.2 3/мин.
105
В данном случае (табл.П.4) задача имеет аналитическое
решение (6.6).
Для общего случая можно записать:
tr
P( t ) = ∫
Ф(t)dt = r, (67)
-∞
где P(t) - вероятность появления события в момент времени
t;
rt - случайное число, в функции которого требуется
определить время наступления события tr;
Ф(t)=P(t)/dt - плотность потока событий, заданная или
полученная экспериментально.
6.2. Поток обслуживания в системе с непрерывным
временем
Решение интегрального уравнения относительно верхнего
предела интегрирования не всегда может быть проведено
аналитическими методами. Для аналитического решения
необходимо аппроксимировать Ф(t) интегрируемой функцией.
Рассмотрим решение задачи для нормального закона
распределения, когда функция Ф(t) табулирована в виде
значений интеграла Лапласа.
Дано:
P( x ) =
1
σ x 2π
exp( -
(x - mx )
),
2σ x 2
где х - случайная величина; σ x = Dx - среднеквадратичное
отклонение;
+∞
Dx =
x 2 p( x )dx - m 2 x
∫
-∞
Dx- дисперсия случайной величины; mx- математическое
ожидание.
106
Для определения
уравнение вида (6.7):
значения
х(r)
необходимо
решить
x( r )
rx =
Ф( x )dx = p( r ) (69)
∫
-∞
здесь х = t
Известна нормированная форма PH(Z):
1
z2
PH ( Z ) =
exp( - ),
2
2π
для которой имеются таблицы значений интеграла в виде
Ф(z) [2,с.658]:
1 z
z2
FH =
exp( - )dz.
∫
2
2π 0
1 z
z2
Ф( z ) =
exp( - )dz .
∫
2
2π 0
Для конкретных данных mх= 20, σх = 5 и для двухразрядных
случайных чисел результаты решения сведены в табл.П.4 в
столбце tμ.
6.3. Система для порожденных данных
Схема, поясняющая процесс имитационного моделирования
в этом случае, представлена на рис.6.1 в виде системы,
состоящей из двух частей:
структуры блока «Ф» с учетом непрерывности законов
распределения потока заявок и обслуживания;
пространство времени, как базы для перемещения блока
«Ф», с условиями работы каналов обслуживания, часов пик,
определенных в дискретных единицах измерения Δt = 5 мин на
рабочем участке [10.00 + 17.00].
Согласно логической системе кодов, принятой для
обозначения условий работы объекта моделирования, имеем:
107
У
1 8
N
[
7.0 4
t Ф
час
0
7
]
M
8
CB-t
7
t μ =f( tμ ;σ;rμ )=
21
6.
6
rμ
 (t-tμ ) 2 
1
6
dt;
exp 

2
6
σ 2π 0
 2σ 
1
0
5.
5
K
44
3
4
18 “ 4
4.-” 5 4
2 t   f (;r ) 
3*
16 r
1
1
t
*


e
dt

ln(1

r
)

ln r;
3.

3


0
0
1 2
*
2. 4 K r  1  r .
2
2
1
K
18 “
3
1
-”
M

21“
CB-t
1.
=0,1
6
-”

=0,2
0
сл.
1
0.0
0
1
,0
99
R>3
0
,5 4
9
R
3 49
T
>15
N T
3
t7 M
5 [
мин.
6 ] 3
t  2
0
5 2
t5 
4 0t
2

3 1
t5 
2
1
t  2
0
1 5
t  3
00
0
0
,0
0
R2
R
29
R1 99
=0
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Рис.
6.1.
Схема
системы
для
моделирования
обьекта
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
108
на интервале [0;12] и [54;84] плотность потока заявок
равна 0,1 s/мин (условное обозначение "О");
на участке [13; 18] первый канал при наличии
дополнительных условий уходит на перерыв, что показано на
рис.6.1 в виде ступеньки К1 "-";
далее согласно ранее принятой частично определенной
логической функции (см.п.5.3).
Структура Ф является системой механизмов случайного
выбора. Она определяет причинно-следственные связи в
соответствии с принятыми при моделировании правилами
поведения реального объекта.
По оси времени (см.рис.6.1) структура "Ф" перемещается
снизу-вверх, начиная с момента начала работы объекта. В этом
смысле структура "Ф" является комплексом систем порождения
для исходной системы объекта.
Порождение может строится с целью получения исходной
системы примитивных данных и для накопления знаний и опыта
исследователя.
Если априорных знаний исследователя достаточно для
построения упорядоченной системы данных, то построение
примитивной системы данных уже не является обязательным
этапом.
Исходя из принципа "плавающего планирования", если
задача четко определена исследователем в ходе проведенных
ранее экспериментов, то можно строить непосредственно
систему упорядоченных данных (Д), включая в нее, по
возможности, функции порождения систем более высокого
эмпирико-рационального уровня описания систем. Здесь
просматривается принцип относительности уровней описания
введенных системных понятий (S;Д;F). Относительность
определяется характером процессов решения творческих задач
субъектом.
Рассмотрим процесс порождения примитивных данных в
конкретной системе с заданной структурой "Ф".
-
109
6.4. Пример системы данных в случае M/G/3/3
Пусть структура «Ф» находится в начале рабочего
интервала времени 10.00. В этот момент система свободна от
обслуживания.
Определим время прихода первой заявки. Входной поток
заявок будем имитировать потоком случайных чисел с адресами
М1,М2,МЗ,... и т.д.
По адресу Ml (см. табл.П1) находим число 17.
Согласно табл.П4, этому числу соответствует время
прихода первой заявки, т.е. через 17.7 мин. Заявка 1 поступает в
первый канал на обслуживание. Фильтры очередей (R) и
критического времени ожидания в очереди проходить не
требуется, т.к. система находится в состоянии S0 и переходит в
состояние S1
Условимся время обслуживания определять с помощью
чисел, начиная с адреса А1, т.е. А1,Б1,В1,...
По адр есу А1 нах одим число 8 5 , ко то р о му,
согласно табл.П.4, соответствует время обслуживания
25.5 мин. Следовательно, первый канал будет занят до
момента 42.9 мин = 17.7 мин+ 25.2 мин.
Далее процесс имитации продолжаем по аналогии с
процессом с дискретным временем моделирования.
Основные отличия в следующем: 1) отсчет ведется не в
дискретных единицах измерения Δt = 5 мин, а в непрерывном
времени, заданном с определенной точностью; 2) определяется
время прихода очередной заявки, а не количество заявок,
поступающих на обслуживание в очередной интервал времени.
Система данных для M/G/3/3
Опыт, полученный при составлении системы данных для
дискретных процессов, можно применить при разработке
адресной системы упорядоченных данных в случае
моделирования процессов с непрерывным временем.
110
В табл.5.2 приведены результаты моделирования системы
типа M/G/3/3 в форме, упорядоченной по адресному принципу
системных данных.
При моделировании системы введены новые правила
поведения реальной системы:
рабочий день реального объекта организован в две смены;
длительность работы каждой смены 4 часа;
перерывы в работе каналов исключены.
Остальные правила поведения объекта остались прежними.
По данным правилам процесс имитационного моделирования
рассмотрен до 39 заявки включительно: она поступила в
систему на 213.1 минуте (213 минут 6 секунд). Рассмотрим
систему адресного типа подробнее. В блоке А определяется
номер события в порядке их поступления в систему.
В Блоке Б формируются данные о входном потоке Ф1:
Б1-адрес числа rλ; Б2-значение числа; БЗ-интервал
времени поступления очередной заявки; Б4-текущее
интегральное время поступления заявки.
В Блоке В группируются данные о процессе
обслуживания заявки при условии поступления заявки на
обслуживание:
В1-адрес (а) числа rμ; В2-значение числа; ВЗ-время
обслуживания; В4-время ухода из системы обслуженной
заявки.
В Блоках Г,Д и Е определяется время освобождения
каналов соответственно К1Д2 и КЗ от обслуживания
очередной заявки (будущее в прошедшем).
В Блоке Ж формируются данные, связанные с
переходом заявки из очереди в канал обслуживания: в Ж1очередной
освобождающийся
канал,
в
Ж2 -время
освобождения этого канала.
111
Таблица 5.2
Результаты моделирования системы типа G\G\3\3
А
Б1
Б2
Б3
Б4
1
А
Ч
Ф1
т
1
М1
17
17,7
17,7
2
М2
91
0,9
18,6
3
М3
38
9,7
28,3
4
М4
93
0,7
29,0
5
М5
70
3,6
32,6
6
М6
19
16,6
49,2
7
М7
35
10,5
59,7
А1
85
25,2
42,9
Б1
45
19,35
37,9
В1
49
19,9
48,2
Г1
76
23,55
52,5
Д1
43
19,9
51,7
Е1
69
22,5
71,7
Ж1
03
10,6
70,7
42,9
42,9
42,9
42,9
62,0
62,0
62,0
0
37,95
37,95
61,5
61,5
61,5
72,5
К3
48,2
К2
48,2
К1
48,2
К3
71,7
К2
71,7
К1
А2
74
Б2
75
37,95
В2
99
42,9
Г2
27
29,0
8,95
48,2
Д2
15
37,95
4,95
61,5
Е2
87
62,0
Ж2
37
59,7
0,8
А3
54
Б3
62
В3
88
Г3
60
Д3
57
32,6
9,7
Е3
80
Ж3
99
А4
90
Б4
76
В4
29
Г4
90
Д4
78
Е4
55
Ж4
94
А5
40
Б5
27
В5
02
Г5
95
Д5
15
Е5
00
Ж5
01
Ф
В1
В2
В3
В4
А
Ч
Ф2 т
Ф
Г1
Г2
Д1
Д2
Е1
Е2
Ж1
Ж2
И1
И2
И3
И4
К1
К2
К3
К4
Л1
Л2
Л3
Л4
М1
М2
М3
К1
К2
К3
Кт
а
т
R1 а
Ч
К2;К
3
т
0
R2 а
Ч
т
0
R3 а
Ч
т
Т
0
а
Ч
т
112
Продолжение таблицы
А
Б1
Б2
Б3
Б4
В1
В2
В3
В4
8
М8
30
12,0
71,7
З1
55
20,65
92,35
Г1
Г2
Д1
Д2
Е1
71,7
92,35
72,1
72,1
82,5
Е2
71,7
Ж1
Ж2
К3
71,7
104,4
5
К2
72,1
К1
92,35
И1
И2
И3
З2
81
И2
31
К2
35
И4
К1
К2
К3
К4
Л1
Л2
Л3
Л4
М1
М2
М3
З3
21*
9
М9
34
10,8
82,5
И1
65
21,95
104,4
5
“
И3
87
10
М10
63
4,6
87,1
К1
57
20,9
108,0
92,35
87,1
108,0
“
К3
53
11
М11
61
4,9
92,0
Л1
60
21,25
113,2
5
92,35
113,6
12
М12
65
4,3
96,3
М1
17
15,25
111,5
5
108,0
108,0
104,4
5
119,6
104,4
5
К3
104,4
5
Л2
92
92,0
0,35
Л3
09*
13
М13
90
1,1
97,4
Н1
97
29,4
126,8
14
М14
63
4,6
102,0
О1
01
15
М15
52
6,5
108,5
П1
09
13,3
121,8
“
108,0
137,4
113,6
113,6
126,9
“
137,4
“
“
119,6
К2
108,0
К1
113,6
К1
113,6
К3
119,6
М2
91
96,3
Н2
46
104,4
5
3,55
Н3
52
97,4
О2
18
108,0
П2
86
108,5
0
О3
13*
104,4
5
0
О4
48*
102,0
0
О5
67
5,1
П3
38
“
8,15
М3
38
З4
84
И4
80
К4
50
Л4
79
М4
93
7,05
Н4
48*
З5
97
И5
15*
К5
98
Л5
61
0,35
М5
70
8,15
Н5
38*
10,6
П4
88
П5
42*
5,1
113
Продолжение таблицы
А
Б1
Б2
Б3
Б4
В1
В2
В3
В4
Г1
Г2
Д1
Д2
Е1
Е2
Ж1
Ж2
И1
И2
И3
И4
К1
К2
К3
К4
Л1
Л2
Л3
Л4
М1
М2
М3
16
17
18
19
20
21
М16 М17 М18
М19
М20
Н1
92
42
24
43
45
97
0,8
8,7
14,3
4,2
4
0,15
109,3 118 132,3 136,5 140,5 140,65
Р1
С1
Т1
У1
Ф1
А6
80
51
29
14
81
69
24,2 20,1 17,25
14,6
24,4
133,5 138,1 149,55
126,9
147
126,9 147
147
147
171,4 171,4
154,65
179,05
137,4 137,4 137,4 154,65 154,65 179,05
119,6
143,8
143,8 143,8 143,8 158,4 158,4 158,4
К1
К2
К3
К1
К2
К3
126,9 137,4 143,8
147 154,65 158,4
Р2
С2
Т2
У2
Ф2
А7
57
61
61
94
53
01*
109,3 118 132,3 137,4
147 154,65
10,3
8,9
5,1
9,6
7,65
0
Р3
С3
Т3
У3
Ф3
А8
97
03
03
71
77
63
136,5 140,5
147
0,9
6,5
0
Р4
С4
Т4
У4
Ф4
А9
06*
03*
38*
29*
58
12*
140,65
0
Р5
С5
Т5
У5
Ф5
А10
14*
40*
26*
76
84
41*
10,3
10,5
14,15
22
Н2
46
3,9
144,55
Б6
9
13,3
23
Н3
52
3,25
147,8
В6
91
26,7
171,4
171,4
179,05 179,05
185,1
158,4 158,4
К3
К3
158,4 158,4
Б7
В7
47
02*
154,65 154,65
0
3,75
Б8
В8
38
58
147
147,8
0
6,85
Б9
В9
03*
94
144,55
0
Б10
В10
01*
30*
10,6
114
А
Б1
Б2
Б3
Б4
В1
В2
В3
В4
Г1
Г2
Д1
Д2
Е1
Е2
Ж1
Ж2
И1
И2
И3
И4
К1
К2
К3
К4
Л1
Л2
Л3
Л4
М1
М2
М3
24
25
26
27
Н4
Н5
Н6
Н7
48
38
66
37
3,65
4,85
2,1
4,95
151,45 156,3 158,4 163,35
Г6
Д6
Е6
Ж6
72
8
26
3
12,95 16,8
171,4
188,2 188,2
171,4 171,4
“
28
Н8
97
0,15
163,5
З6
63
29
Н9
80
1,1
164,6
И6
72
30
Н10
70
1,8
166,4
К6
30
31
Н11
52
3,25
169,65
Л6
90
26,4
“
“
“
188,2
182,3
179,05
179,05
“
“
“
“
“
“
185,1
185,1
“
“
“
“
“
“
185,1
К1
К1
К1
К2
К2
К2
К2
К2
171,4 171,4 171,4 179,05
“
“
179,05 182,3
Г7
Д7
Е7
Ж7
З7
И7
К7
Л7
04*
94
80
37
81
14
56
24
158,4 158,4 171,3 171,4 171,4 178,5 178,5 178,5
0
12,9
0,1
0
7,1*Т
6,6
Г8
Д8
Е8
Ж8
З8
И8
К8
Л8
16*
66
93
5
60
0
52
10
154,65 156,3 158,4 167,95 167,95 171,4 171,4 171,4
0
2,1
12,9
0
3,45
7,1
Г9
Д9
Е9
Ж9
З9
И9
К9
Л9
12*
70
71
42*
59
65
36
6
151,45
163,35 163,35 167,95 167,95 169,65
0
0
4,45
0
0
1,75
Г10
Д10 Е10
Ж10
З10
И10
К10
Л10
78
12*
12*
52
17*
29*
98*
50
1,51
13
17,4
15,45
115
А
Б1
Б2
Б3
Б4
В1
В2
В3
В4
Г1
Г2
Д1
Д2
Е1
Е2
Ж1
Ж2
И1
И2
И3
И4
К1
К2
К3
К4
Л1
Л2
Л3
Л4
М1
М2
М3
32
33
34
Н12
Н13 Н14
21
25
95
7,8
6,95 0,25
177,45 184,4 184,7
М6
Н6
О6
19
66
51
15,6 22,05 20,1
35
Н15
20
8,05
192,7
П6
52
20,25
36
37
38
Н16
Н17
Н18
72
13
34
1,65
10,2
5,4
194,35 204,55 209,95
Р6
С6
Т6
2
73
8
9,7
23,05 12,95
39
Н19
53
3,15
213,1
У6
73
23,05
212,95
225,9
188,2
“
188,2 188,2 212,95
“
212,95 225,9
197,9
218,15
241,2
182,3 197,9 197,9 197,9 218,15
“
“
218,15
205,2
212,9 245,95
185,1 185,1 185,1 205,2 205,2 212,9
“
“
К2
К3
К1
К2
К3
К3
К1
К2
182,3 185,1 188,2 197,2 205,2 212,9 212,95 218,15
М7
Н7
О7
П7
Р7
С7
Т7
У7
35
37
4
57
13
74
26
29
178,5 184,4 185,1 192,7 197,2 205,2 212,9 213,1
3,8
0,7
5,2
8
7,7
0,05
5,05
М8
Н8
О8
П8
Р8
С8
Т8
У8
30
97
97
36
54
34
93
19
177,45
194,35 204,55 209,95
1,05
2,85
0,65
2,95
М9
Н9
О9
П9
Р9
С9
Т9
У9
34
80
43
70
37
73
34
49
М10
63
4,85
Н10
70
0,7
О10
76
П10
93
5,2
Р10
1
10,85
С10
56
8,35
Т10
76
3
У10
07*
116
В Блоках И,К,Л определяется характер перемещения
заявок, попадающих в систему при условии образования
очереди и времени ожидания в ней. Первая строка блокаадреса чисел для принятия решений. Запрос числа по адресу
может осуществляться при необходимости или регулярно, в
зависимости от принятой технологии обработки информации.
Вторая строка блока - содержимое адреса, указанного в
первой строке. Третья строка блока - время поступления
заявки в очередь. Четвертая строка-время нахождения заявки в
данном состоянии в очереди.
Например, заявка 4 поступила в очередь R1 на 29
минуте и через 8,95 минуты заняла канал К2 ,
освободившийся в момент времени 37,95 мин от
обслуживания 2-й заявки. В очереди №4 была меньше 15
минут, и ей не потребовалось обращаться к данным блока М.
В Блоке М определяется поведение заявки, не
попавшей на обслуживание за время ожидания в очереди,
равное 15 мин, т.е. при tR>15 мин. Здесь: а-адрес; ч-число;
Т- время (по усмотрению исследователя). Это может быть и
время ухода, суммарное время ожидания в очереди, (см.
позиции А19; А20; А23) или только интервалы ожидания, как в
позициях А26 и А31.
Общие свойства адресных систем представления
данных
1.Адресный способ базирования данных является основой
для разработки порождающих систем обработки системы
данных эксперимента.
2.Поблочная нумерация адресных позиций принята для
наглядности и упрощения описания системы данных, т. е. с
целью структуризации описания.
117
3.Заполнение адресной системы при поблочном
кодировании
дает
преимущества,
характерные
для
иерархических структур. В частности, расширение отдельного
блока не влияет на состояния остальных блоков.
4.Адресная система представления данных в большой
степени совместима с идеями базирования данных и их
обработкой,
применяемой
в
табличных
процессорах
современных ПЭВМ.
5.Совершенствование
адресной
системы
данных
непосредственно связано с системой знаний, которую
пользователь собирается применять для обработки результатов
эксперимента.
6.Создание системы данных в наибольшей степени
совместимой с системами порождения является творческой
задачей и связано с проблемой "плавающего планирования"
хода решения задачи.
7.Наглядность и удобство применения адресной системы
данных формируется и определяется, в конечном счете,
пользователем системы в ходе эксплуатации системы и ее
совершенствования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обследование 1000 крупнейших фирм США показало,
что имитационное моделирование стоит на одном из первых
мест по частоте использования. Простота и доступность
метода для решения многих практических задач, наличие
технических и программных средств, привели к тому, что в
инженерной практике при внутрифирменном планировании в
условиях рыночной экономики 29% опрошенных поставили
его на первое место; на втором месте – линейное
программирование /21%/;сетевые методы на третьем месте
/14%/.
Имитационное моделирование относится к прикладным
методам системного анализа, применение которого на
118
практике однозначно связано с решением задач творческого
характера. В процессе решения подобного рода задач
исследователь должен проявить знания в конкретной
предметной области деятельности и умение применять на
практике формализованные модели и методы современной
математики.
Итак, имитационное моделирование систем по Р.
Шеннону является искусством и наукой. Для формирования
подобного представления очень полезным будет знакомство с
первоисточником [1].
Методология решения проблемных творческих задач в
настоящее время приобретает новую остроту, связанную с
процессами информатизации общественной жизни людей;
разрабатываются новые технологии обработки и накопления
информации на базе логики накопленных знаний. Идея
плавающего планирования, высказанная И. Мюллером в 1984
году / в русском переводе его книги о применении
эвристических методов в инженерных разработках /,
определяет основу подобной методологии, выделяет класс
системных задач. Системология в интерпретации по Клиру
намечает пути автоматизации решения системных задач на
основе массочных технологий обработки данных
эксперимента, на пути создания УРСЗ – универсального
решателя системных задач. Своей книгой [14] Дж. Клир
приглашает читателя переосмыслить роль системологии как
науки, определяющей новое измерение накопленных знаний.
УРСЗ - это не готовый программный продукт, а скорее
программа для дальнейших исследований в области решения
системных задач, т. е. и в области системного анализа.
Участие в подобной программе исследований
потребует от экспериментатора и разработчика прочных
знаний в области современной математики. Язык дискретной
математики в настоящее время получил широкое
распространение в литературе, связанной с инженерной
119
деятельностью. Множества и теория отношений, матрицы и
системы матричных уравнений, графы и сетевые модели и
методы решения, математическая логика, исчисления
высказываний и предикатов, вероятности и их применение в
различных приложениях определяют необходимейший аппарат
математических знаний инженера. Книга В. П. Сигорского [2],
выдержавшая несколько стереотипных переизданий, вполне
соответствует критерию: настольная книга инженерасистемотехника.
По проблемам принятия решения имеется много
полезных книг, малая часть которых приведена в списке
литературы. Для целей обучения рекомендуются книги,
написанные Е. С. Венцель, в частности, по исследованию
операций [4].
Основным средством решения системных задач является
современный компьютер и его программно-математическое
обеспечение. Перспективы применения ПЭВМ изложены в
справочном пособии [27]. Знакомство с первыми книгами
позволит судить об информационных семантических системах и
задачах
интеллектуализации
ЭВМ.
Компьютеризация
обучения при массовом применении ПЭВМ - актуальная
задача века информатизации. С состоянием проблемы
компьютеризации обучения за рубежом и у нас в стране
знакомит книга [26]. Следует отметить недостаточную
педагогическую направленность современных описаний
пакетов программных продуктов в имеющейся продаваемой
литературе. Выделяется книга [24], которую можно принять в
качестве примера изложения материала в удобной
структурированной форме, с продуманной системой
оформления текста.
120
Приложения
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА
Таблица П.1
Выборка случайных чисел с равновероятным законом
распределения [9, с.59]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
А 85 74 54 90 40 69 01 63 12 41 12 70 37 61 42 87 84 86 93 70
Б 45 75 62 76 27 09 47 38 03 01 87 30 16 72 34 74 15 85 12 37
В 49 99 88 29 02 91 02 58 94 30 12 81 81 48 76 95 60 15 31 12
Г 76 27 60 90 95 72 04 16 12 78 47 03 97 64 31 71 75 65 12 10
Д 43 15 57 78 15 08 94 66 70 12 18 45 64 74 40 83 96 69 91 71
Е 69 87 80 55 00 26 80 93 71 12 80 61 04 52 29 84 69 16 60 10
Ж 03 87 99 94 01 03 37 05 42 52 58 06 13 01 48 48 99 49 10 27
З 55 81 21 84 97 63 81 60 59 17 18 51 34 64 66 26 89 04 10 04
И 65 31 87 80 15 72 14 00 65 29 12 74 48 44 96 49 09 76 46 98
К 57 35 53 50 98 30 56 52 36 98 53 65 15 80 70 26 26 30 92 80
Л 60 92 09 79 61 90 24 10 06 50 32 11 24 02 47 20 93 14 40 13
М 17 91 38 93 70 19 35 30 34 63 61 65 90 63 52 92 42 24 43 45
Н 97 46 52 48 38 66 37 97 80 70 52 21 25 95 20 72 13 34 53 98
О 01 18 13 48 67 51 04 97 43 76 25 43 38 98 05 34 43 08 21 71
П 09 86 38 88 42 52 57 36 70 93 81 66 18 69 46 80 05 64 86 16
Р 80 57 97 06 14 02 13 54 37 01 86 28 93 53 39 09 57 33 64 73
С 51 61 03 03 40 73 74 34 73 56 13 05 48 98 16 45 36 46 59 86
Т 29 61 03 38 26 08 26 93 34 76 24 40 29 77 21 74 74 37 90 74
У 14 94 71 29 76 73 29 19 49 07 55 89 39 83 84 11 51 53 73 07
Ф 81 53 77 58 84 28 31 10 10 47 62 93 86 30 17 12 43 02 58 71
Порядок выборки случайных чисел при моделировании
СМО G/G/3/3:
121
1. Варианты с 1 по 10:числа выбираются по столбцам,
начиная с А.
2.Варианты с 11 по 30:выборка чисел ведется по строкам в
соответствии с таблицей:
11
А1
21
Л1
12
Б1
22
М1
13
В1
23
Н1
14
Г1
24
О1
15
Д1
25
П1
16
Е1
26
Р1
17
Ж1
27
С1
18
З1
28
Т1
19
И1
29
У1
20
К1
30
Ф1
Отображение чисел в числа с нормальным нормированным
законом распределения
Величина
ЕДИНИЦЫ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Д
0 -3 -2,33 -2,06 -1,88 -1,75 -1,65 -1,56 -1,48 -1,41 -1,34
Е
1 -1,28 -1,23 -1,18 -1,13 -1,08 -1,04 -0,99 -0,95 -0,92 -0,88
С
2 -0,84 -0,81 -0,77 -0,74 -0,71 -0,68 -0,64 -0,61 -0,58 -0,55
Я
3 -0,52 -0,5 -0,47 -0,44 -0,41 -0,39 -0,36 -0,33 -0,31 -0,28
Т
4 -0,25 -0,23 -0,2 -0,18 -0,15 -0,13 -0,1 -0,08 -0,05 -0,02
К
5
0 0,02 0,05 0,08 0,1 0,13 0,15 0,18 0,2 0,23
И
6 0,25 0,28 0,31 0,33 0,36 0,39 0,41 0,44 0,47 0,5
7 0,52 0,55 0,58 0,61 0,64 0,68 0,71 0,74 0,77 0,81
8 0,84 0,88 0,92 0,95 0,99 1,04 1,08 1,13 1,18 1,23
9 1,28 1,34 1,41 1,48 1,56 1,65 1,75 1,88 2,06 2,33
Значения в таблице заданы в единицах σ, т.е.σ=1.
При произвольном σ и μ=0 значение следует умножить на
σ.
В случае μ0 следует к результату прибавить μ:
x=σz+μ
при σ=1 и μ=0 x=z
122
Например:122 z=R=54→х=0,10,
Таблица П.З
Отображение чисел для экспоненты
Деся
тки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2,3
1,61
1,2
0,92
0,69
0,51
0,36
0,22
0,11
1
4,61
2,21
1,56
1,17
0,89
0,67
0,49
0,34
0,21
0,09
2
3,91
2,12
1,51
1,14
0,87
0,65
0,48
0,33
0,2
0,08
3
3,51
2,04
1,47
1,11
0,84
0,63
0,46
0,31
0,19
0,07
Единицы
4
5
3,22
3,6
1,97
1,9
1,43 1,39
1,08 1,05
0,82
0,8
0,62
0,6
0,45 0,43
0,3 0,29
0,17 0,16
0,06 0,05
Например: R=45→t=0,8 усл.ед.
6
2,81
1,83
1,35
1,02
0,78
0,58
0,42
0,27
0,15
0,04
7
2,66
1,77
1,31
0,99
0,76
0,56
0,4
0,26
0,14
0,03
8
2,53
1,71
1,27
0,97
0,73
0,54
0,39
0,25
0,13
0,02
9
2,41
1,66
1,24
0,94
0,71
0,53
0,37
0,24
0,12
0,01
123
Таблица П.4
Данные для моделирования системы М / G / n / m
r
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
T
=0.1 =0.2


46.1 23.05
39.1 19.55
35.1 17.55
32.2 16.1
30.0 15.0
28.1 14.05
26.6 13.3
25.3 12.65
24.1 12.05
23.0 12.5
22.1 11.05
21.2 10.6
20.4 10.2
19.7 9.85
19.0 9.5
18.3 9.15
17.7 8.85
17.1 8.55
16.6 8.3
16.1 8.05
15.6 7.8
15.1 7.55
14.7 7.35
14.3 7.15
13.9 6.95
13.5 6.75
13.1 6.55
12.7 6.35
12.4 6.2
tM
5.0
8.35
9.7
10.6
11.25
11.75
12.2
12.6
12.95
13.3
13.6
13.85
14.01
14.35
14.6
15.8
15.5
15.25
15.4
15.6
15.8
15.95
16.15
16.3
16.45
16.6
16.8
16.95
17.1
17.25
r
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
T
=0.1 =0.2
12.0
6.0
11.7
5.85
11.4
5.7
11.1
5.55
10.8
5.4
10.5
5.25
10.2
5.1
9.9
4.95
9.7
4.85
9.4
4.7
9.2
4.6
8.9
4.45
8.7
4.35
8.4
4.2
8.2
4.1
8.0
4.0
7.8
3.9
7.6
3.8
7.3
3.65
7.1
3.55
6.9
3.45
6.7
3.35
6.5
3.25
6.3
3.15
6.2
3.1
6.0
3.0
5.8
2.9
5.6
2.8
5.4
2.7
5.3
2.65
tM
17.4
17.5
17.65
17.8
17.95
18.05
18.2
18.35
18.45
18.6
18.75
18.85
19.0
19.1
19.25
19.35
19.5
19.6
19.75
19.9
20.0
20.1
20.25
20.4
20.5
20.65
20.75
20.9
21.0
21.15
124
T
r
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
=0.1
5.1
4.9
4.8
4.6
4.5
4.3
4.2
4.0
3.9
3.7
3.6
3.4
3.3
3.1
3.0
2.9
2.7
2.6
2.5
2.4
2.2
2.1
2.0
1.9
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
=0.2
2.55
2.45
2.4
2.3
2.25
2.15
2.1
2.0
1.95
1.85
1.8
1.7
1.65
1.55
1.5
1.45
1.35
1.3
1.25
1.2
1.1
1.05
1.0
0.95
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
T
tM
21.25
24.4
21.55
21.65
21.8
21.95
22.05
22.2
22.35
22.5
22.6
22.75
22.9
23.05
23.2
23.4
23.55
23.7
23.85
24.05
24.2
24.4
24.6
24.75
24.85
25.2
25.4
25.65
25.9
26.15
r
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=0.1
1.1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
=0.2
0.55
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
tM
26.4
26.7
27.05
27.4
27.8
28.25
28.75
29.4
30.3
31.65
λ=6s/ч=0.1 s/ч
λ=12s/ч=0.2
s/ч
σ=5мин
μ=20мин
[tλ]=[tμ]=мин
125
Приложение 5
Пространство состояний и переходов.
Пространство состояний СМО типа X1/X2/3/З определяется
структурой системы и правилами работы. В системе с
обслуживанием по правилу "первым пришел, первым
обслуживается” т.е. без приоритетов в обслуживании и без
взаимопомощи между каналами, мощность множества состояний
системы равна сумме числа сочетаний из (n + m) чисел. При n = m
= 3 имеем  Ciq  26  64.
Множество состояний системы {Si} может быть перечислено
в виде алгебраической системы, заданной соответствием типа табл.
П.5.1:{(000000): (000001): ... (111111)}  {(mЗ;m2; ml; n3; n2;
nl)}.
Здесь приведен частный случай позиционной системы
кодирования при интерпретации кортежей, характерной для
положительной логики, а именно: нулевое значение соответствует
свободному каналу (ni) или свободному месту в очереди (mj),
единичное значение - условию "занято".
Для перечисления в пространстве состояний в дальнейшем
будет использован десятичный эквивалент двоичного кортежа.
Переходы в пространстве состояний СМО можно разделить
на два вида:
связанные с перемещением заявки в системе/внутрисистемные
операции /;
связанные с поступлением очередных заявок в систему и
уходом обслуженных из системы //
СМО может быть описана как динамическая система на
соответствующем уровне абстрагирования /Y7/.
Внутреннее состояния системы можно разделить на
устойчивые и не устойчивые по отношению к исходящему потоку
обслуженных заявок. Например, неустойчивое состояние 62
переходит в устойчивое состояние 31:
62  111110 
55  110111 


 :

-трехшаговый
переходной
47

101111


31  011111  процессперемещения заявок в системе.
Очевидно, внутренне-устойчивыми являются состояния:
63,31,15,7,6,5,4,3,2,1,0.
Пошаговый процесс смещены состояний можно иллюстрировать с
помощью таблиц и графов состояний и переходов. Восстановительные
процессы в системе /операция /
I(S)
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
M3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
m1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
n3
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
N2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
n1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
*
5
4
3
2
1
0
*
0
0
0
0
0
0
*
0
0
0
0
0
0
*
1
1
0
0
0
0
*
0
0
1
1
0
0
*
1
0
1
0
1
0
*
62,
61,
60,
59,
58,
Состояние SHSK
СМО заполнена
55,
47,
55,
47,
53,
39,
52,
47,
51,
39,
51,
39,
49,
35,
47,
39,
39,
37,
39,
35,
33,
39,
39,
37,
33,
39,
*
*
*
31
31
15
31
15
15
7
31
15
15
7
15
7
7
3
31
15
15
7
7
7
7
3
15
7
7
5
7
*
СМО-свободна
3
2
2
1
9
5
7
1
0
9
7
3
5
6
6
5
5
4
4
3
3
8
2
6
2
5
2
1
0
8
7
5 4
6 5
5
56
9
4
9
3
5
1
5
41
2
0
3
4
42
54
3
5
4
4
3
7
5
8
7
5
2
21
29
2
1
7
4
2
0
7
2
2
6
531
5
5
3
4
6
0
8
3
3
3
4
4
3
2
3
4
1
1
3
6
2 1 1
8
3
1
1
1
9
8
7
5
3
1
6
5
3
3
3
5
7
5
1
7
1
5
3
1
Рис.П.5.2. Фрагменты графа для процессов
заполнения системы заявками: 1,2,3,4,-число заявок
на входе
6
3
4
2
1
0
0
6
1
7
1
12
10
Рис.5.1. Фрагменты графа восстановительных
процессов в системе /операции ф/
1
2
4
3
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство
инаука.-М.:Мир, 1978. - 418с.
2. Сигорский ВЛ. Математический аппарат инженера. - Киев:
Техника,1977. -768с.
3. Соболев И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерный
куб. - М.: ЗнаниеД985. - 32с.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио,
1972.-552 с.
5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.:
Машиностроение, 1979. - 432 с.
6. Колесников Г.С. Моделирование сложных систем: Учеб.пособие/
МИРЭА. - М., 1986. - 95 с.
7. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.:
Мир, 1971.-534 с.
8. Современный компьютер: Сб.науч.-попул.статей /Под ред. В.М.
Курочкина. Предисловие Л.Н. Королева, - М.: Мир, 1986.-212с.
9. Вентцель Е.С. Исследование операций - М.: Знание, 1976, - 64с.
10.
Вентцель
Е.С.
Исследование
операций:
задачи,
принципы,методология. - М.: Наука, Главная ред. ФМЛ, 1980. - 208
с.
11. Советский энциклопедический словарь /Гл.ред. A.M. Прохоров;
редкол. А.А. Гусев и др. - Изд.4-е - М.: Сов.энциклопедия, 1987. 1600 с.
12.Систем общая теория /см.: Энциклопедия кибернетики. - Киев:
Главная ред. Украинской советской энциклопедии 1975. - с. 335339.
13.В.Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической
теории систем: Пер.с англ. - М.: Мир, 1971. - 400 с.
14.Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных
задач. - М.: Радио и связь, 1990. - 540 с.
15. Мюллер И. Эвристические методы в инженерных разработках:
Пер. с нем. - М.: Радио и связь, 1984. - 144с.
16. Джонсон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ,
и принятие решений.-М. Мир, 1969.-440с.
17. Гиг Дж. Ван. Р\Прикладная общая теория систем. – М.: Мир,
1978-730с.
18. Месарович М., Такахаро Я. Общая теория систем:
математические основы.-М.:Мир, 1978.-312с.
19. Панченко В.М. Имитационное моделирование процессов в
системах массового обслуживания: Учеб. Пособие.-М.:МИРЭА,
1995-119с.
20. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознования: Учеб.
пособие.-М: Высш. школа, 1977-222с.
21. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной прогрессивный анализ: В 2-х
кн. 1:Пер. Сангл. – Финансы и статистика, 1986-366с
22. Бауер Ф., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: Пер. с нем. –М:
Мир, 1976-484с.
23. Исследование операций: Пер. с англ. /Под ред. Дж. Маудера, С.
Эльмаграби. Том 1: Методические основы и математические методы
-712с.; Том 2: Модели и их применение. – 677с.-М.: Мир, 1981-1389с.
24. Аглицкий Д.С., Любченко С.А. Работа на персональном
компьютере для всех. Изд. 2-е , стереотипное – М.: Филинь, 1995288с.
25. Схемы алгоритмов программ, данных и систем. Условное
обозначение и правило выполнения. ГОСТ 19.701-90/ИСО 5807-85
26. Афанасьев М.Ю. Компьютеризация обучения экономистов .Учеб. пособие /Под ред. Суворого Б.П. -М: Изд-во МГУ, 1993-182с.
27. Перспективы развития вычислительной техники: В 11 кн. Справ.
Пособие /Под ред. Смирного Ю.М.: кн.1 : Информационные
семантические системы /Саламатин Н.М.-М: Выш. школа, 1989-127с.
Кн2: Интелектуализация ЭВМ/Кузин Е.С. и др.- М: Выш. школа,
1989-159с.
28. Кудрявцев Е.М. … [см. 29, с. 109: [8]]29. Панченко В.М. Теория
систем: Учеб. пособие.- М.: МИРЭА, 1996.- 128с.
30. Отчет о научно-исследовательской работе. ГОСТ 7.32-81.-М:
Изд. Стандарты, 1991.
Содержание
Введение
Глава 1. Имитационное моделирование
Глава 2. Элементы имитационного моделирования
Глава 3. Имитационное моделирование реальных СМО
Глава 4. Системный анализ имитационного моделирования
Глава 5. Эпистемология и системный анализ
Глава 6. система данных для объектов типа М/G/3/3
Приложения
Библиографический список
3
4
3
4
14
35
73
83
103
120
128