Открытый урок по теме "Новые способы решения квадратных уравнений". 8-й класс

Открытый урок по теме "Новые способы решения квадратных уравнений".
8-й класс
Цели урока:
образовательные: обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме,
формирование умения решать квадратные уравнения;
развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений,
умения обобщать;
воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, взаимоуважения и
математической культуры.
Ход урока.
Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Новые
способы решения квадратных уравнений”. Вы уже достаточно знаете и умеете по этой
теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения,
которыми вы владеете.
Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов:
Слайд
В класс вошел – не хмурь лица,
Будь разумным до конца.
Ты не зритель и не гость –
Ты программы нашей гвоздь.
Не ломайся, не смущайся,
Всем законам подчиняйся.
А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку
за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат
карты результативности, в которые вы будете фиксировать свои успех в баллах. И еще
один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни
в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.
Карта результативности.
Ф.И.
Разминка
Тест
Вопросы
теории
Решение уравнений
Сам. работа
ИТОГО
Количество
баллов
Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться
предлагаю вам небольшую устную разминку.(слайд ) Но вопросы будут не только по
теме урока, проверяем ваше внимание, и умение переключаться. За каждый правильный
ответ в колонку “Разминка” вы по моему указанию ставите 1 балл.
1. Какое название имеет уравнение второй степени?
2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
3. Когда начался XXI век?
4. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
5. Очень плохая оценка знаний?
6. Что значит решить уравнение?
7. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент - 1?
8. Сколько раз в году встает солнце?
9. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
10. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?
Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского
поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом
нашего урока ( Слайд )
Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.
Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для
других наук. Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?(слайд)
- Равенство, содержащее неизвестное.
Является ли уравнением выражение (х + 1)(х – 4) = 0?
 Да
Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?
 Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из
множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Хорошо.
Решите, пожалуйста, это уравнение. ( решение на интерактивной доске)
- х = -1 и х = 4.
А можно ли его решить другим способом?
 Да, его можно привести к квадратному.
Напомните, какие уравнения называются квадратными?
 Уравнения вида ах2 + вх + с = 0.
Приведите наше уравнение к такому виду. (Продолжаем решать на доске)
х2 – 3х – 4 = 0
Назовите его коэффициенты. А что еще вы можете сказать об этом уравнении?
- Оно полное и приведенное.
А какие еще виды квадратных уравнений вам известны?
Отвечают
Хорошо. (слайд )
Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных
уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны, пять уравнений.
Напротив каждой колонки вы ставите плюс, если оно принадлежит к данному виду.
Тест “Виды квадратных уравнений”
Ф.И.
полное
1. х2 + 8х +3 = 0
2. 6х2 + 9 = 0
3. х2 – 3х = 0
4. –х2 + 2х +4 = 0
5. 3х + 6х2 + 7 =0
Критерий оценивания:
Нет ошибок – 5 б.
1 – 2 ош. – 4б.
3 - 4 ош. - 3б.
5 - 6 ош. – 2б.
Более 6 ош. – 0 б.
Ключ к тесту:
1.
2.
+
+
+
+
неполное
приведенное
неприведенное
Общий балл
3.
+
+
4.
+
+
5.
+
+
( слайд )
Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда
появились первые квадратные уравнения?
Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа три года назад
отпраздновала 800летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году
итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И
лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли
современный вид.
А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных
уравнений?
 С дискриминантом
А вот понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже
“математическим Адамом” за множество придуманных терминов. А зачем он нам нужен?
 Он определяет число корней квадратного уравнения.
И как количество корней зависит от Д?
Дети перечисляют случаи.
Итак, давайте еще раз проговорим алгоритм решения полного квадратного уравнения.
Проговаривают.
III. Изучение нового свойства квадратных уравнений.
Один из учащихся читает рукопись, которую нашли:
« Ребята, вы решали квадратные уравнения различными способами: выделением
квадратного двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз
убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня вы должны
познакомиться с ещё одним способом решения, который позволит устно и быстро
находить корни квадратного уравнения. Смотрите на экран».
1.
Задание (устно)
- Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.
Сумма коэффициентов.
2
1) х -5х+1=0
1-5+1= -3
2) 9х2-6х+10=0
9-6+10=13
2
3) х +2х-2=0
1+2-2=1
4) х2-3х-1=0
1-3-1= -3
При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет
сумма коэффициентов.
Рассмотрим это на уравнениях.
2. (На экране записаны квадратные уравнения)
Сумма коэффициентов.
2
х +х-2=0;
х1=1;
х2= -2
0
х2+2х-3=0;
х1=1;
х2= -3
0
2
х -3х+2=0;
х1=1;
х2 = 2
0
5х2-8х+3=0; х1=1;
х2= 3/5
0
Учитель:
- Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.
- Попробуйте найти какую-то закономерность:
1) в корнях этих уравнений; (первый корень равен 1);
2) в соответствии между отдельными коэффициента и корнями; (второй корень с или с/а);
3) в сумме коэффициентов (сумма коэффициентов равна 0).
Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило.
Учитель слушает ответы учеников и делает вывод:
Если в уравнениях ах2+вх+с=0; а+в+с=0,
х1=1; х2=с/а (если а=1, то х1=1; х2=с)
Учитель: это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.
Рассмотрим это на следующих примерах.
Выберите из уравнений те, которые решаются с помощью нового свойства и решите их:
2х2-8х+3=0
х² +8х +16=0
3
х +4х-5=0
8х – 4х² =4
х2+2х=0
7х - х² -2 =0
2
3х -6х+3=0
х²-3х =0
-х2-5х+6=0
х² -3х=0
4. Теорема Виета ( слайд )Посмотрите внимательно на таблицу.
Таблица.
Уравнение
Корни
Произведением корней
2
x -2х-15=0
5 и –3
-15
x2+3х-28=0
4 и –7
-28
2
y -14y+48=0
6и8
48
2
x +15x+36=0
-12 и –3
36
x2+px+g=0
х1 и х2
-?
Сумма корней
2
-3
14
-15
?
2. Открытие нового знания.
Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведением корней с
коэффициентами уравнений. Какая существует зависимость между корнями приведенного
квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните
последнюю строку таблицы.[Сумму корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену].
Сформулированное утверждение называется теоремой Виета – по имени
выдающегося французского математика Франсуа Виет. Давайте послушаем историческую
справку об этом ученом,. (слайд )
Историческая справка: Впервые зависимость между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения установил французский ученый Франсуа Виет (1540-1603). Ф.
Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя
математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он
добился в нем больших результатов. Виет в 1591г. ввел буквенные обозначения для
неизвестных и коэффициентов уравнений, что дало возможность записывать общими
формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета была то, что он признавал только положительные
числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал
искусственные приемы решений, что отнимало много времени, усложняло решение и
часто приводило к ошибкам.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше
всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».
Рассмотрим доказательство теоремы Виета. ( слайд )
Дано приведенное квадратное уравнение: х2+рх+g=0. Пусть х1=(-р+√D)/2 и х2=(-р-√D)/2,
где D=p2-4g. Найдем их сумму и произведение:
х1+х2= (-р+√D)/2 +(-р-√D)/2=(-р+√D-р-√D)/2=-2р/2=-р.
х1*х2=(-р+√D)/2*(-р-√D)/2=((-р2)-(√D)2)/4=(р2-D)/4=(р2-(р2-4g))/4=g
Таким образом, теорема доказана.
х1+х2=-р
формулы Виета.
х1*х2=g
Закрепим теорему Виета.
Проверим, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:
а) х2+3х-40=0, х1=-8, х2=5;
б) х2-2х-3=0, х1=-1, х2=3;
в) х2-2=0, х1=-√2, х2=√2;
г) х2-2х-9=0, х1=1-√10, х2=1+√10.
Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:
а) х1=-3, х2=1; б) х1=-3, х2=-4; в) х1=5, х2=6.
Продолжим изучение нового материала. И рассмотрим теорему Виета для не
приведенного квадратного уравнения.
ах2+bx+c=0.
Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение:
х2+bx/a+c/a=0, которое имеет те же корни. Отсюда, х1+х2=-b/a; x1*x2=c/a.
Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к
формуле корней.
Например, подберите корни уравнения х2-8х+15=0 (5;3). Решение квадратного уравнения
путем подбора его корней основано на теореме, обратной теореме Виета.
Теорема: Если числа m и n таковы, что m+n=-p, a m*n=g, то эти числа являются
корнями уравнения х2+рх+g=0.
Выразим через m и n: p=-(m+n) и g=m*n. Значит, уравнение можно записать в таком виде:
х2-(m+n)x+m*n=0.
Подставим в уравнение вместо x поочередно m и n:
m2-(m+n)m+mn=m2-m2-mn+mn=0
n2-(m+n)n+mn=n2-mn-n2+mn=0, таким образом, эти числа – корни уравнения.
Закрепление изученного материала : 29.2, 29.4, 29.6.
Задание на дом: 29.3,29.5,29.8.