Математика» для всех специальностей Тема

Областное государственное бюджетное образовательное
учреждение
среднего профессионального образования
«Смоленский политехнический колледж»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по дисциплине
«Математика»
для всех специальностей
Тема «Производная и ее применение»
Смоленск
2013
Рассмотрено и утверждено на заседании методического совета колледжа
Составитель: Фатов В.В.,
политехнического колледжа.
преподаватель
математики
Смоленского
Рецензенты: Абрамова Г.М., преподаватель математики Смоленского
политехнического колледжа.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» тема «Интеграл и его
приложения» для студентов 1 курса всех специальностей.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначена для
организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
Рабочая тетрадь включает в себя систему упражнений, ориентированных на
закрепление теоретических знаний по данной теме и содержит исторических
материал, краткие теоретические сведения, набор заданий для аудиторной и
внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
© Смоленский политехнический колледж
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рабочая тетрадь представляет собой сборник упражнений
по дисциплине «Математика» тема «Производная и ее
применение» и предназначается для студентов 1 курса всех
специальностей.
Настоящая рабочая тетрадь позволяет решить следующие
задачи:
 сформировать
профессионально
–
прикладную
компетенцию будущих специалистов;
 повысить
уровень
математической
подготовки
студентов;
 научить систематизации, обобщению, структурированию
знаний, а также их адекватному применению как в предметных
областях, так и в практической деятельности;
 помочь студентам научиться математически правильно
выражать свои мысли;
 формировать учебную мотивацию
В каждое занятие включены: комплексная задача, которая
включает в себя применение теоретического материала,
изученного на занятии, краткий теоретический материал,
показаны образцы решения конкретных заданий, задания для
аудиторной работы студентов. Отдельным блоком выделены
задания для внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
В каждый блок-занятие включены упражнения разного
характера: от репродуктивных до творческих. Такая система
упражнений, различных по объему и степени трудности,
способствует повышению математической подготовки студентов.
Преподаватель по своему усмотрению может выбрать
материал для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной
работы студентов, дифференцируя его с учетом индивидуальных
особенностей студентов.
.
3
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
1. О происхождении терминов и обозначений.
Раздел математики, в котором изучаются производные и их
применение
к
исследованию
функций,
называется
дифференциальным исчислением. Приращения вида f ,
представляющие собой разности, играют заметную роль при
работе с производными. Естественно поэтому появление
латинского корня differentia (разность) в названии calculis
differentialis нового исчесления, которое переводится как
исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII
в., т.е. при рождении нового метода.
Термин «производная» является буквальным переводом на
русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж.
Лагранж (1736 – 1813); он же ввел современные обозначения
y  , f  . Такое название отражает смысл понятия: функция
f ( x) происходит из f (x)
является производным от f ( x) . И.
Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию –
флюентой. Г. Лейбниц (1646 – 1716) говорил о
df
дифференциальном отношении и обозначал прозводную как
dx .
Это обозначение также часто встречается в современной
литературе.
Рассказ о происхождении терминологии, принятой в
дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия
предела, т.к. производная определяется во всех руководствах как
,
f
 x 0  x
предел. Пишут f ( x)  li m
f ( x0 ) при  x  0.
4
,
вместо принятого обозначения
Обозначение l i m  сокращение латинского слова limes
(межа, граница); уменьшая, например,
 x , мы устремляем
f
x
к «границе» f ( x0 ) . Термин предел ввел Ньютон.
Дифференциальное исчисление создано И. Ньютоном (1643
– 1727) и Г. Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII
столетия в связи с необходимостью решения ряда задач из
физики, механики и математики, но в первую очередь следующих
двух: определения скорости прямолинейного движения и
построения касательной к кривой. Тем более поразительно, что
задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение
касательной к такой сложной кривой, как спираль (применяя при
этом предельные переходы), но и сумел найти максимум
функции f ( x)  x2 (a  x) . Эпизодически понятие касательной
(которое, как вы знаете, связано с понятием производной)
встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи (ок.
1500 – 1557) – здесь касательная появилась в ходе изучения
вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивалась
наибольшая дальность полета. И. Кеплер рассматривал
касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме
параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.
В XVII в. на основе учения о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные варианты
изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже в
работах Р. Декарта (1596 – 1950), французского математика
Робенваля (1602 – 1675), английского ученого Д. Грегори (1638 –
1675), в работах И. Барроу (1630 – 1677) и, наконец, И. Ньютона,
К рассмотрению касательной и нормали (так называется
прямая, перпендикулярная касательной и проведенной в точке
касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств
линз. С помощью методов аналитической геометрии и
изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он
5
сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в
том числе к эллипсу.
В 1629 г. П. Ферма (1601 – 1665) предложил правило
нахождения
экстремумов
многочленов.
Существенно
подчеркнуть, что фактически при выводе этих правил Ферма
активно применял предельные переходы, располагая простейшим
дифференциальным условием максимума и минимума.
Подводя итоги приведенных рассуждений, можно
утверждать, что дифференциальное исчисление и его основные
принципы – это граница между античной наукой и наукой нового
времени. Ведь именно в рамках развития данного метода была
совершена переоценка взглядов на математику, преобразившая не
только отдельно взятую научную дисциплину, но и методологию
науки в целом. Одной из самых значимых особенностей истории
развития дифференциального исчисления как важнейшего
научного метода было его изначальное возникновение как
прикладного метода у многих известных ученых XVI-XVII вв.
6
Тема: Определение производной. Свойства производной.
Правила дифференцирования. Основные формулы
дифференцирования.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Найдите производную функции
y
x3  5 x
.
x2  4
2x
2.Найдите производную функции y  arctg e .
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение производной.
Производной функции f ( x ) точке x0 называется предел
отношения приращения f функции в этой точке к приращению
 x аргумента, когда последний стремится к нулю:
f ( x0 )
f ( x0  x )  f ( x0 )
lim
 lim
.
x
x0 x
x0
f ( x ) , имеющая производную в каждой точке
Функция
некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом
промежутке.
y  f ( x)
Для производной функции
употребляются
следующие обозначения y , f ( x ),
dy
. Нахождение производной
dx
называется дифференцированием.
Вычисление производной функции y  f ( x ) производится по
общему правилу дифференцирования:
1. Придавая аргументу x приращение  x и поставляя в
выражение функции вместо аргумента x наращенное значение
xx
,
находим
наращенное
значение
функции:
y  y  f ( x  x )  f ( x ) .
7
2. Вычитая из наращенного значения функции ее
первоначальное значение , находим приращение функции: .
3. Делим приращение функции  y на приращение аргумента
 x , т.е. составляем отношение f ( x )
 x f ( x   x)  f ( x)

.
y
x
4. Находим предел этого отношения при  x  0 , т. е .
y
f ( x  x )  f ( x )
lim
 lim
.
x
x0 x x0
производная от функции y  f ( x ) .
Этот
предел
и
есть
Основные правила дифференцирования.
Обозначения: C  постоянная, x  аргумент, u , v, w  функции от
x , имеющие производные.
1. Производная алгебраической суммы функций
(u  v  w)   u   v   w .
(1)
2. Производная произведения двух функций
(u  v )   u  v  u v  .
(2)
3. Производная произведения постоянной на функцию
(Cu )   C u  .
(3)
4. Производная частного (дроби)
 u 
 
v

u v  u v
.
2
v
(4)
5. Частные случаи формулы (4):
 u 
 
C
 C 
 
v
8

1
C

u ;
(5)
C
.
v2
(6)
При вычислении производных необходимо помнить, что (по
определению)
a0  1 (a  0) ;
a  n  1 an (a  0) ;
n
am
mn
(a  0) ,
и знать следующие правила действий со степенями и корнями
a
a n  a m  a n m ; a n a m  a n m ;
n m
(a )
n ab  n a n b  a1 n b1 n ( a  0, b  0);
na
a
(9)
3. ( sin x)   cos x ;
(cos x )    sin x ;
2
;
(e )   e ;
x
2
cos x
;
9
(12)
6.
x
(14)
8.
(15)
9.
;
4.
(13)
x
1
x
(10)
1
7. (a )  a lna, a  0 ;
(ln x ) 
2. C   0 ,
1
sin x
x
.
(11)
5. (tg x )  
(ctg x )   
;
a
 
x  1 ;
nm
1n

 1 n ( a  0, b  0)
b nb b
Здесь m и n  любые рациональные числа.
Основные формулы дифференцирования.
Таблица производных основных функций:
n 
n 1
nx ;
1. x
(8)
n
a
(l o ga x) 
(17)
1
x ln x
;
(16)
10.
1
11. (arcsin x)  
( arccos x )  
1
1
1 x2
;
(18)
12.
(20)
14.
; (19)
1 x2
( arctg x) 
13.
(arcctg x)  
1 x2
1
1 x2
(21)
.
Производная сложной функции.
Если y есть функция от u : y  f (u ) , где u , в свою очередь,
есть функция от аргумента x : u   ( x) , т. е. если y зависит от x
через промежуточный аргумент u , то y называется сложной
функцией от x (функцией от функции): y  f ( ( x )) .
Производная сложной функции равна произведению ее
производной по промежуточному аргументу на производную
этого аргумента по независимой переменной:
y ( x)  y (u )  u ( x) .
(22)
Геометрический смысл производной.
Касательная к графику дифференцируемой функции в точке x0
функции f  это прямая, проходящая через точку ( x0 ; f ( x0 )) и
имеющая
угловой
коэффициент
f  ( x0 ) .
Следовательно,
уравнение касательной в точке с абсциссой x0 имеет вид:
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
(23)
Физический смысл производной.
При прямолинейном движении точки скорость v в данный
момент t  t0 есть производная
ds
от пути s по времени t , вычисленная при t  t0 , т.е.
dt
v(t )  s (t ) .
10
Ускорение a в данный момент времени t  t0 есть производная
dv
от скорости по времени t вычисленная при t  t0 , т.е.
dt
a  v (t ) .
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример 1. Найти y (3) , если y  x 2  5 x .
Находим производную по общему правилу:
Р е ш е н и е. 1. Находим y  y  ( x  x)2  5( x  x)
2. Находим приращение функции
y  ( x  x ) 2  5( x  x )  ( x 2  5 x ) 
2
2
2
 x  2 x x  x  5 x  5x  x  5 x 
 2 x x  5x
3. Делим приращение функции y на приращение аргумента x ,
составляя отношение
y

2 xx  5x  x
2
 2 x  5  x .
x
x
4. Находим предел этого отношения при  x  0 :
lim (2 x  5  x)  2 x  5 .
 x0
Итак, y   2 x  5 . Найдем y (3)  2  3  5  1
Пример 2. Найти производную функции y  3x 2 3 x .
Р е ш е н и е. Преобразуем функцию к виду y  x n , а затем
воспользуемся соотношениями (3) и (8):
y  3x
23
2 13
x  3x x
 3x
73
;
7
73
73
7 31
43
y   (3 x )   3( x )   3  x
 7x  7x 3 x .
3
Пример
3.
Найти
производную
сложной
функции
y  ( x  5 x  8) .
2
6
Р е ш е н и е. Полагая u  x 2  5 x  8 , получим y  u 6 .
формуле (8) находим
11
По
y   6u 5 u   6( x 2  5 x  8)5 ( x 2  5 x  8)   6( x 2  5 x  8)5 (2 x  5) .
Такая подробная запись производится только в процессе
освоения
техники
дифференцирования.
При
навыке
промежуточные вычисления производятся в уме.
Пример 4. Найти производную функции y  3 ( x3  1) 2 .
Р е ш е н и е. Заменим кубический корень дробным показателем
и по формуле (8) найдем производную степени:
y
y 
3
( x 3  1) 2  ( x3  1) 2 3 ;
2
3
( x3  1) 1 3 ( x3  1)  
2
3
( x3  1)
1 3
2 x2
3x 2 
3
x3  1)
.
Пример 5. Найдем уравнение касательной к графику функции
f ( x)  x3  2 x 2  1 в точке с абсциссой 2.
Р е ш е н и е. В этом примере
x0  2, f ( x0 )  f (2)  23  2  22  1  1, f ( x)  3x 2  4 x,
f (2)  3  22  4  2  4
Подставляя эти числа в уравнение (23) получаем уравнение
y  1  4( x  2) , т.е. y  4 x  7 .
Пример 6. Материальная точка движется прямолинейно по
1
x(t )   t 3  2t 2  5t . а) найдите скорость в момент
3
времени t  2 c . (Перемещение измеряется в метрах.) б) Через
закону
сколько секунд после начала движения тело остановится?
Р е ш е н и е. а) Найдем скорость движения точки в любой
момент
времени
1
1
v  x (t )  (  t 3  2t 2  5t )     3t 2  2  2t  5  t 2  4t . Вычислим
3
3
скорость движения точки в момент времени t  2 c ;
v(2)  22  4  2  4 ( ì ñ) .
12
б) Полагая v  0 , получим t 2  4t  0,  t (t  4)  0,  t  0 или
t  4  0, t  0 или t  4 . Таким образом скорость точки равна
нулю в конце 4-й секунды.
Найти производные следующих функций:
1. y  x 4 .
2. y  2 x3 .
3. y  3x 6
4. y  x 7 5
5. y  5 x 4 5
6. y  4 x 3
7. y  
13
1
x2
8. y 
3
x4 3
9. y 
3
x3
10. y  2 x 3 3 x
11. y 
12. y 
14
2x 3
x3
63 x
x
13. f ( x)  x 2 x 3 x
14. y 
t 3 t2
t t
15. f ( x ) 
1
; вычислите f ( )
2
x
1
3
16. f ( x)  3 x 4 ; вычислите f (8) .
17. f ( x )  x x 3 x ; вычислите
15
f (1) .
18. y 
1
4
x4 
1
3
x3 
1
2
x 2  1 ; вычислите
19. y  3x 5  15x4  2 x3  x 1  2 .
20. y  4 x3 
21. y  2 x 
3
3
x

3
2 3 x2
2 1
 7.
x2 x

2
x

1
4.
x
22. f ( x)  (2 x  1)( x 2  3x  1) .
23. f ( x)  (3x 2  1)(2 x 2  3) .
16
f (3) .
24. f ( x) 
x2
.
3  x2
25. f ( x) 
x2  x  1
.
x2  x  1
26. y  3ln x  x 2 ; вычислите f (1) .
27. y  x 2 ln x .
28. y 
17
ln x  2
ln x
.
29. y 
30. y 
5  ex
ex  2
.
1  sin x
1  cos x
.
31. y  sin x(1  cos x) .
32. y  sin x  tg x) .
33. y  sin2 x .
18
34. y  2 arcctg x  arctg x .
35. y  2arccos 3 x .
Найдите производные следующих функций:
36. f ( x)  ( x3  1)6 .
37. f ( x) 
1
(3  x 2 )5
.
38. f ( x)  x 2  4 x  5
19
39. f ( x)  x x 2  5 .
40. f ( x) 
1  2x
1  2x
.
41. f ( x)  sin (2 x  8) .
42. f ( x)  cos x .
43. f ( x)  e x
20
2
5 x
.
44. f ( x)  ln(2 x 2  3) .
45. f ( x)  arcctg (2 x   4) .
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке
x0 .
3
46. f ( x)  , x0  1, x0  1 .
x
47. f ( x)  2 x  x 2 , x0  0 x0  2 .
21
48. f ( x)  x3  x 2 , x0  0 x0  2 .
49. f ( x)  2 sin x, x0 

4
,
x0 

.
3
Найдите точки графика функции f , в которых касательная
параллельна оси абсцисс.
50. f ( x)  x3  3x 2  3x .
22
51. f ( x)  3x 4  6 x 2  2 .
52. f ( x)  x3  3x  1 .
Под каким углом пересекается с осью Ox график функции
53. f ( x)  3x  x3 .

54. f ( x)  sin ( x  ) .
4
Под каким углом пересекается с осью Oy график функции
55. f ( x ) 
23
1
x 1
.
1

56. y  tg ( x  ) .
2
4
57. Найдите скорость в указанный момент времени для точки,
движущейся прямолинейно, если движение точки задано
уравнением
а) s  t 3  5t 2  4, t  2 .
б) s  t , t  1
в) s  t 2  11t  30, t  3
58. Найдите ускорение точки в указанные моменты времени, если
скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением:
а) s  t 2  t  1, t  3 ;
24
б) s  t 2  5t  1, t  3 .
59. Точка движется прямолинейно по закону s  2t 3  t  1 . Найти
ускорение в момент времени t . В какой момент времени
ускорение будет равно: а) 1 ñì / ñ2 , б) 2 ñì / ñ2 ?
60. Вращение тела вокруг оси совершается по закону
 (t )  3t 2  4t  2 . Найдите угловую скорость  (t ) в произвольный
момент времени t и при этом t  4 c . (  (t )  угол в радианах,
 (t )  скорость в радианах в секунду, t  время в секундах).
61. Маховик, задерживаемый тормозом, за время t
поворачивается на угол  (t )  4t  0,3t 2 . Найдите : а) угловую
скорость  (t ) вращения маховика в момент времени t  2c ; б)
такой момент времени , когда маховик остановится. (  (t )  угол
в радианах, t  время в секундах)
25
62. Точка движется прямолинейно по закону s  
t2
 3t 2  5
6
(время измеряется в секундах, координата – в метрах). Найдите:
а) момент времени t , когда ускорение точки равно нулю; б)
скорость движения точки в этот момент.
63. Найдите силу F , действующую на материальную точку с
массой m  3 êã , движущуюся прямолинейно по закону
s (t )  2t 3  t 2 при t  2c .
64. Тело массой
2 êã движется прямолинейно по закону
s (t )  t  t  1 . Координата s измеряется в сантиметрах, время
t  в секундах. Найдите а) действующую силу; б) кинетическую
2
энергию E тела через 2 c после начала движения.
65. Известно, что для любой точки C стержня AB длиной
20 ñì , отстоящей от точки A на расстоянии l , масса куска
стержня AC в граммах определяется по формуле m(l )  3l 2  5l
Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка AB ;
б) в конце B стержня.
26
66. По прямой движутся две материальные точки по законам
s1 (t )  4t 2  3 и s2 (t )  t 3 . В каком промежутке времени скорость
первой точки больше скорости второй точки?
67. Из пункта O по двум лучам, угол между которыми 60 ,
движутся два тела: первое – равномерно со скоростью 5êì ÷ ,
второе – по закону s(t )  2t 2  t . С какой скоростью они
удаляются друг от друга? ( s измеряется в километрах, t  в
секундах)
27
Тема: Возрастание и убывание функции
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Найдите промежутки монотонности функции y  x  x 2 .
2. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на
каждом из указанных промежутков P1 и P2 :
а) x3  27 x  2  0, P1  1;1 , P2  4;6 ;
б) x4  4 x  9  0, P1  2;0 , P2  2;3 .
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Функция y  f ( x ) называется возрастающей в промежутке
a  x  b , если для любых x1
промежутку и таких, что
и
x2 , принадлежащих этому
x1  x2 , имеет место неравенство
f ( x1 )  f ( x2 ) .
Функция
y  f ( x)
называется убывающей в промежутке
a  x  b , если для любых x1
промежутку и таких, что
и
x2 , принадлежащих этому
x1  x2 , имеет место неравенство
f ( x1 )  f ( x2 ) .
Как возрастающие, так и убывающие функции называются
монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или
убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции y  f ( x ) характеризуется
знаком ее производной: если в некотором промежутке f ( x)  0 ,
то функция возрастает в этом промежутке; если же f ( x)  0 ,
то функция убывает в этом промежутке.
28
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример 1. Найдите промежутки монотонности функции
f ( x)  x 2  8x  12 .
Р е ш е н и е. Находим производную: f ( x)  2 x  8 ; имеем
2 x  8  0, x  4 . Последующие рассуждения представим в
таблице:
x
  x  4 4 4  x  

0


f ( x)
f ( x)
Таким образом, данная функция в промежутке   x  4
убывает, а в промежутке 4  x   возрастает.
Пример 2. Найдите промежутки монотонности функции
f ( x)  ln x .
Р е ш е н и е. Область определения функции – промежуток
1
в этом
x
промежутке положительна. Следовательно функция f ( x)  ln x
0  x   . Очевидно, что производная
f ( x) 
в промежутке 0  x   возрастает.
Найдите промежутки монотонности следующих функций:
1.
29
f ( x)  x 2  6 x  5 ;
2.
f ( x)  2 x 2  4 x  5 ;
3.
f ( x)  x 3  3x 2  1 ;
30
4.
1
1
f ( x)   x 3  x 2  2 ;
3
2
5.
f ( x)  x 4  4 x  3 ;
31
6.
f ( x)  x 4  32 x  40 ;
7.
f ( x)  2 x3  9 x 2  12 x  15 ;
32
8.
f ( x)  2 x3  15x2  36 x  20 ;
9.
f ( x) 
33
1
;
3x  2
1 2
x  ln x ;
2
10.
f ( x) 
11.
f ( x)  ln x 2 ;
34
12.
1
f ( x)  ln x  x 3 ;
3
13.
f ( x)  e  x ;
35
14.
f ( x)  ex
15.
f ( x)  x  2 x 2 ;
36
2
16.
37
f ( x)  x 2  3 x .
Тема: Исследование функции на экстремум
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Исследовать на экстремум функцию
f ( x)  3 x 2 ( x  5) .
x2  2x  2
2. Исследовать на экстремум функцию f ( x) 
.
x 1
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Точка x0 из области определения функции f ( x ) называется
точкой минимума этой функции, если существует окрестность
x0 , что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
Точка x0 из области определения функции f ( x ) называется
точки
точкой максимума этой функции, если существует окрестность
x0 , что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
точки
Точки минимума и максимума функции называются
экстремальными значениями (или точками экстремума) данной
функции, а значения функции в этих точках – минимумом или
максимумом (или экстремумами) функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки,
т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в
которых производная f ( x) обращается в нуль или не существует.
x0 , производная
имеет в точке x0 экстремум:
Если при переходе через критическую точку
f ( x) меняет знак, то функция f ( x )
минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса
на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при
38
x0 производная f ( x) не
в точке x0 не имеет экстремума.
переходе через критическую точку
меняет знака, то функция f ( x )
Правило нахождения экстремумов функции y  f ( x )
1. Найти производную f ( x) .
2. Найти критические точки функции y  f ( x ) , т.е. точки в
которых f ( x) обращается в нуль или не существует.
3. Исследовать знак производной f ( x) в промежутках, на
которые найденные критические точки делят область
определения функции f ( x ) . При этом критическая точка x0 есть
точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором
f ( x)  0 , от промежутка, в котором f ( x)  0 , и точка максимума
– в противном случае. Если же в соседних промежутках
x0 , знак производной не
разделенных критической точкой
меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет.
4. Вычислить значение функции в точке экстремума.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример
1.
Исследовать
на
экстремум
функцию
f ( x)  x  4 x .
2
Р е ш е н и е. Находим f ( x)  2 x  4 . Полагая f ( x)  0 ,
получим единственную критическую точку x  2 . Дальнейшие
рассуждения представлены в таблице:
x
f ( x)
39
  x  2

2
0
2x

ì èí èì óì
f ( x)
f min  f (2)  4
Пример
2.
f ( x)  x  3 x
3
Р
е
Исследовать
2
на
экстремум
.
ш
е
н
и
е.
Находим
f ( x)  3x  6 x; 3x  6 x  0; x  0 èëè x  2 .
2
2
таблицу:
  x  0
x
0
f ( x)
0x2
0
ì àêñèì óì
f màx  f (0)  0
ì èí èì óì
f min  f (2)   4
Исследуйте на экстремум следующие функции:
40
f ( x)  x 2  x ;
Составим
2
0
f ( x)
1.
функцию
2x
3.
f ( x)  x 2  8x  12 ;
4.
f ( x)  x 2  4 x  3 ;
41
5.
f ( x)   x 2  x  6 ;
6.
f ( x)  2 x 4  x ;
42
7.
1
f ( x)   x 4  8 x ;
4
8.
1
f ( x)  x3  4 x ;
3
43
9.
10.
44
1
f ( x)  x3  4 x ;
3
1
f ( x)  x3  x 2 ;
3
11.
f ( x)  2 x3  9 x 2  12 x  8 ;
12.
f ( x)  2 x3  9 x 2  12 x  2 ;
45
13.
f ( x)  5  2 3 x 2 ;
14.
f ( x)  6 3 x 2 ( x  1) ;
46
15.
f ( x)  e x  e  x ;
16.
f ( x)  x 2 e  x ;
47
17. f ( x)  x  ln x ;
18. f ( x)  x ln x .
48
49
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Найдите наибольшее значение функции
промежутке
f ( x) 
x2  4
4; 1 .
x
на
2. Из квадратного листа жести со стороной a надо изготовить
открытую коробку, вырезав по углам квадратики и загнув
образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания
коробки, чтобы ее объем был максимальным?
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1. Найти критические точки, принадлежащие заданному
промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
2. Найти значения функции на концах промежутка;
3. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и
наибольшее из них являются соответственно наименьшим и
наибольшим
значениями
функции
в
рассматриваемом
промежутке.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x)  x 2  4 x  3 в промежутке 0  x  3 .
Р
е
ш
е
f ( x)  2 x  4; 2 x  4  0;
н
и
е.
x  2  критическая
Имеем
точка.
f (2)  1 ; далее, вычисляем значения функции на
концах промежутка: f (0)  3, f (3)  0 .
Находим
50
Наименьшее значение функции равно 1 и достигается ею во
внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и
достигается на левом конце промежутка.
Пример 2. Из всех прямоугольников данного периметра
найдите тот, у которого площадь наибольшая.
Р е ш е н и е. Пусть периметр прямоугольника равен p .
Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x .
Тогда длина другой стороны равна
площадь
y  x(
прямоугольника
x
f ( x)
2

p
 x . Обозначив
2
через
y,
имеем
p
p
p
 x)  x  x 2 (0  x  ) . Исследуем функцию на
2
2
2
максимум
y 
p  2x
и
минимум
с
помощью
производной
p
 2 x;
2
p
p
 2 x  0; x  . Строим таблицу:
2
4
p
p
p
  x 
x
4
4
4


0
ì àêñèì óì
f ( x)
p
2
f max  f ( )  0
Функция в точке
x
p
имеет максимум. Таким образом, из всех
4
прямоугольников данного периметра наибольшую площадь
имеет квадрат.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции на
указанных промежутках:
1. f ( x)  x
51
2
 6 x  13, 0  x  6 ;
2. f ( x)  8  0,5 x
3. f ( x ) 
52
2
,  2  x  2;
1 2 1 3
x  x , 1  x  3;
2
3
4. f ( x)  6 x
5. f ( x) 
53
2
 x3 ,  1  x  6 ;
x3  2 x2  9 x  35,  4  x  4 ;
6. f ( x)   x
3
 9 x2  24 x  10, 0  x  3 .
7. Сумма двух положительных чисел равна a . Найдите эти
числа, если сумма их кубов является наименьшей.
54
8. Произведение двух положительных чисел равно a . Чему
равны эти числа , если их сумма является наименьшей.
9. Из всех прямоугольников данного периметра 2 p найдите тот,
у которого диагональ наименьшая.
55
10. Из всех треугольников, у которого сумма основания и высоты
равна a , найдите тот, у которого площадь наибольшая.
11. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны a и
b , вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из
его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон
прямоугольника.
56
12. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением
s  t 3  3t 2  9t  3 . Найдите
максимальную
движения тела ( s  в метрах, t  в секундах).
скорость
13. Материальная точка движется по прямой согласно закону
2
s (t )  12t 2  t 3 , где s  в метрах, t  в секундах. В какой
3


момент времени из промежутка 4;10 скорость движения точки
будет наибольшей и какова величина этой скорости?
57
14. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно,
измеряется по закону v (t ) 
1
6
t 3  12t (скорость измеряется в
метрах в секунду). В какой момент времени ускорение движения
будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток
от t1  10 c до t2  50 c ?
58
Тема: Направление выпуклости графика функции.
Точка перегиба.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1.
Исследуйте
на
направление
выпуклости
кривую
f ( x)  x  3 x5  2 и найдите точки перегиба.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
y  есть производная от функции y  f ( x) , то
производная от y  по x (если она существует) называется второй
Если
производной. Для второй
обозначения y  или f ( x) .
производной
употребляются
Кривая y  f ( x) называется выпуклой вниз в промежутке
a  x  b , если она лежит выше касательной в любой точке этого
промежутка.
Кривая y  f ( x) называется выпуклой вверх в промежутке
a  x  b , если она лежит ниже касательной в любой точке этого
промежутка.
Промежутки, в которых график функции обращен
выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками
выпуклости графика функции.
Выпуклость вверх или вниз кривой, являющейся графиком
y  f ( x) , характеризуется знаком ее второй
функции
производной: если в некотором промежутке f ( x)  0 , то кривая
выпукла вниз в этом промежутке, если же f ( x)  0 , то кривая
выпукла вверх в этом промежутке.
Точка графика функции y  f ( x) , разделяющая промежутки
выпуклости противоположных направлений этого графика,
называется точкой перегиба.
59
Точками перегиба могут служить только критические точки,
принадлежащие области определения функции y  f ( x) , в
которых вторая производная равна нулю или не существует.
Если при переходе через критическую точку x0
вторая
производная f ( x) меняет знак, то график функции имеет точку
перегиба ( x0 ;
f ( x0 )) .
Правило нахождение точек перегиба
графика функции y  f ( x) .
1. Найти вторую производную f ( x) .
2. Найти критические точки функции y  f ( x) , в которых
f ( x) обращается в нуль или не существует.
f ( x)
3. Исследовать знак второй производной
в
промежутках, на которые найденные критические точки делят
область определения функции y  f ( x) . Если при этом
x0 разделяет промежутки выпуклости
противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки
критическая точка
перегиба.
4. Вычислить значение функции в точках перегиба.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба
кривой f ( x) 
x 4  2 x3  6 x  4 .
Р
н
е
ш
е
и
f ( x)  12x 2  12 x ,
Очевидно,
60
что
в
е.
Находим
12 x( x  1)  0 ,
промежутках
f ( x)  4 x3  6 x 2  6 ,
x  0 èëè x  1 .
  x  1 и 1  x  
выполняется неравенство f ( x)  0 , т.е. в этих промежутках
кривая выпукла вниз, а в промежутке 0  x  1 , имеет место
неравенство f ( x)  0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла
вверх.
Точки x  0 è x  1 являются критическими. В промежутке
  x  1 имеем f ( x)  0 , а в промежутке 0  x  1 имеем
f ( x)  0 , то x  0 точка перегиба. В промежутке 0  x  1
имеем f ( x)  0 , а в промежутке 1  x   имеем f ( x)  0 , то
x  1 точка перегиба. Найдем ординаты этих точек f (0)  4 ,
(0; 4)  точка перегиба, f (1)  1 , (1;1)  точка перегиба.
Найти промежутки выпуклости кривых:
1. y  2 x ;
3
2. y   x  1 ;
2
61
3. y 
x3  6 x 2  2 x  6 ;
4. y 
x 4  2 x3  12 x 2  24 x  8 .
62
Найдите точки перегиба следующих кривых:
5. f ( x) 
x3  x ;
6. f ( x) 
x4  10 x3  36 x2  100 ;
63
7. f ( x) 
x4  8x3  18x2  48x  31 ;
8. f ( x) 
xe x ;
64
9. f ( x)  e
65
 x2
.
Тема: Построение графиков функций.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Постройте график функции f ( x)  x
2 x
e
.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Общая схема построения графиков функций.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или
периодической.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если
это не вызывает затруднений).
4. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
5. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки
перегиба.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Построить график функции y  x  6 x  9 x  3 .
Р е ш е н и е. 1. Функция определена на всей числовой прямой,
т.е. D( y)  R .
2.
Данная функция не является ни четной, ни нечетной
(докажите это самостоятельно); кроме того, она е является
периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью Oy : при x  0 ,
3
2
получим y  3 , т.е. (0; 3) . Точку пересечения с осью Ox
найти затруднительно.
4. Найдем производную: y   3x
2
 12 x  9 , D( y )  R , поэтому
критических точек, для которых y  не существует, нет. y   0 ,
66
3x  12 x  9  0, x  1 èëè x  3 . Рассматриваемая
если
функция имеет две критические точки. Составим таблицу:
2
x
f ( x)
  x  1
1
1 x  3
3
0

0

f ( x)
ì àêñèì óì
ì èí èì óì
f max  f (1)  1
f max  f (3)  3
x
  x  2
f ( x )


2x
2
0
ò î ÷êà ï åðåãèáà


f (2)  1
Используя полученные данные, строим искомый график.
y
(1;1)
2;-1)
О
(-3;0) 
(3;-3)

67

y   6 x  12 ; 6 x  12  0 ;
5. Найдем вторую производную:
x  2 . Составим таблицу:
f ( x)
3 x
x
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
1. y  3x  12 x ;
2
2. y  x  5 x  4 ;
2
68
3. y 
69
1
3
x3  9 ;
4. y  3x  x ;
3
70
5. y  x  6 x  9 x  8 ;
3
71
2
6. y  x  6 x  16 ;
3
72
2
7. y  x  5 x  4 ;
4
73
2
8. y   x  8 x  4 ;
4
74
2
9. y 
75
x
x 4
2
;
10. y 
76
1
x  7 x  12
2
;
11. y 
77
x3
x2  1
;
12. y  x 
78
x;
13. y  xln x ;
79
14. y  e
80
 x2
.
81
Содержание.
1. Тема: Определение производной. Свойства производной.
Правила
дифференцирования. Основные формулы дифференцирования.
2. Тема: Возрастание и убывание функции.
3. Тема: Исследование функции на экстремум.
4. Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Тема: Направление выпуклости графика функции. Точка
перегиба.
6. Тема: Построение графиков функций.
82