ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется решением ДУ?
Какое решение ДУ называется общим и какое частным?
Каков геометрический смысл общего и частного решений ДУ?
Что называется порядком ДУ?
Напишите общий вид ДУ первого порядка.
Какой вид имеет ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной?
Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение ДУ первого порядка? Третьего
порядка? n-го порядка?
Чем отличается ДУ от алгебраического уравнения?
Назовите известные вам типы ДУ.
Каков общий вид ДУ первого порядка с разделенными и с разделяющимися переменными?
Как решается уравнение с разделенными переменными?
Чем отличается уравнение с разделяющимися переменными от уравнения с разделенными
переменными? Как разделяют переменные?
В чем заключается задача Коши?
Какая функция называется однородной?
Что называется однородным линейным ДУ первого порядка?
Решение однородного ДУ.
Какое линейное ДУ первого порядка называется неоднородным?
Каков общий вид линейных ДУ первого порядка?
С помощью какой подстановки решается линейное ДУ первого порядка и к какому
уравнению сводится его решение?
Какой вид имеет уравнение Бернулли и обобщенное уравнение Бернулли?
Напишите общий вид ДУ n-го порядка.
Какой вид имеет ДУ n-го порядка, разрешенное относительно производной?
Какой вид имеет простейшее ДУ n-го порядка? Как оно решается?
Что называется общим решением ДУ n-го порядка?
Что называется частным решением ДУ n-го порядка?
Сформулируйте задачу Коши для ДУ n-го порядка.
Какой вид имеет простейшее ДУ второго порядка? Как оно решается?
Уравнения, допускающие понижение порядка. (уравнения, явно не содержащие искомой
функции у; уравнения, не содержащие независимой апеременной х). Методы их решения.
Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное ДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами?
Что такое характеристическое уравнение?
Какой вид имеет общее решение линейного ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами, если корни характеристического уравнения действительные и различные?
Какой вид имеет общее решение линейного ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами, если корни характеристического уравнения действительные и равные?
Какой вид имеет общее решение линейного ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами, если корни характеристического уравнения комплексные сопряженные?
Как определяется и как записывается в общем виде линейное неоднородное ДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами?
y неоднородного линейного ДУ n-го порядка в зависимости
36. Нахождение частного решения ~
от вида правой части.(если
f ( x)  P( x)ex , если
f ( x)  M cos x  N sin x , если
f ( x)  P( x)ex cos x  Q( x)ex sin x
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Какой вид имеют нормальные системы ДУ?
Что называется общим решением системы?
Что называется частным решением системы?
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
К чему сводится решение такой системы?
Задачи, приводящие к ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:
1. Примеры задач, приводящих к ДУ. Задача о движении материальной точки. Материальная
точка движется так, что скорость её движения пропорциональна пройденному пути. В
начальный момент точка находилась от начала отсчета на расстоянии 1 м, а через 2 сек- на
расстоянии e м. Найти закон движения материальной точки.
2. Примеры задач, приводящих к ДУ. Задача о скорости размножения бактерий. Скорость
размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству в рассматриваемый
момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 ч. Найти зависимость
количества бактерий от времени.
3. Примеры задач, приводящих к ДУ. Задача о скорости распада радия. Скорость распада радия
пропорциональна его количеству в данный момент времени. Найти закон радиоактивного
распада, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества
радия.
4. Примеры задач, приводящих к ДУ. Задача о скорости охлаждения тела. Согласно закону
Ньютона, скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между
температурой тела Т и температурой воздуха Т0. Определить закон изменения
температуры тела в зависимости от времени, если опыт проводится при Т0=200С, причем
тело за 20 мин охладилось от 1000 до 600С.
5. Примеры задач, приводящих к ДУ. Задача о составлении уравнения кривой. Требуется найти
уравнение кривой, проходящей через точку М(1;3), если известно, что угловой коэффициент
касательной, проведенной в любой точке кривой равен 2х.