Методичка по тригонометрическим уравнениям

Федеральное агентство по образованию
Нижегородский государственный педагогический университет
Тригонометрические уравнения,
неравенства, системы
Часть 2
Учебно-методическое пособие
для студентов факультета математики,
информатики и физики
Нижний Новгород
2009
Печатается
по
решению
редакционно-издательского
Нижегородского государственного педагогического университета
совета
Кузнецова Л.И.
Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть 2:
Учебно-методическое пособие
для студентов факультета математики,
информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ, 2009, 60 с.
В пособии содержатся основные теоретические положения о
преобразованиях уравнений, приводящих к потере или приобретению корней,
о применении тригонометрических подстановок, о приемах, методах,
способах решения тригонометрических неравенств и систем уравнений,
приведен список задач для индивидуальной работы.
Предназначено для студентов факультета математики, информатики и
физики, обучающихся по специальности «032100.00 – Математика с
дополнительной специальностью».
Рецензент: С.В. Кириллова, доцент кафедры теории и методики обучения
математике
Отв. за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор кафедры теории
и методики обучения математике
3
Введение
В пособии представлена вторая часть темы «Тригонометрические
уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с одним
неизвестным, системы уравнений с двумя и более неизвестными». Учебно –
методическое пособие по первой части темы издано в 2008 году (Н.
Новгород: НГПУ, 2008).
Пособие включает в себя примерный тематический план изучения
темы, требования к знаниям и умениям студентов, содержательную часть,
упражнения для индивидуальной работы и список использованной
литературы.
В содержательной части выделены преобразования уравнений,
приводящие к приобретению коней, к потере корней, типы алгебраических
уравнений и систем, сводящихся к тригонометрическим с помощью
соответствующих
подстановок,
рассмотрены
методы
решения
тригонометрических неравенств в сравнении с методами решения уравнений,
приемы и методы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными и
трех уравнений с тремя неизвестными. Все теоретические положения
иллюстрированы большим числом примеров.
Методы и приемы решения, которыми должны овладеть студенты,
отмечены в тексте курсивом.
К каждому пункту пособия прилагается список задач для
индивидуальной работы. Все задачи имеют общую нумерацию и идут после
теоретической части под рубрикой «Упражнения». Задачи частично
заимствованы из литературы, частично составлены автором. В конце пособия
даны ответы ко всем задачам.
Теоретический и задачный материал представлен в пособии в
достаточном количестве для организации индивидуальной работы студентов
на различных уровнях.
Нумерации пунктов, задач в них, рисунков, упражнений продолжают
соответствующие нумерации первой части пособия.
4
Примерный тематический план изучения темы
№
п/п
10
11
12, 13
14, 15
16
Тема занятия
Преобразования уравнений, приводящие к
потере или приобретению корней
Решение алгебраических уравнений
методом тригонометрических подстановок
Методы решения тригонометрических
неравенств
Методы решения тригонометрических
систем
Контрольная работа
Число часов
лекционных
практич.
занятий
1
1
1
1
1
3
1
3
2
Требования к знаниям и умениям студентов
Цель изучения темы – формирование у студентов умений в решении
тригонометрических уравнений, неравенств и систем уравнений.
В результате изучения темы студент
знает
- какие преобразования уравнений могут привести к потере или к
приобретению корней;
- способ получения решения тригонометрического неравенства на всей
области его определения;
- сущность методов разложения на множители и замены переменных
применительно к тригонометрическим неравенствам;
- способ решения однородных тригонометрических неравенств первой и
второй степени;
- сущность метода интервалов для решения тригонометрических
неравенств;
- теоремы о равносильности систем уравнений;
- сущность способа подстановки для решения тригонометрических систем;
- приемы преобразования уравнений и способы их комбинирования для
уменьшения числа неизвестных в системе;
- сущность метода замены переменных для решения систем;
умеет применять перечисленные выше методы, способы, приемы при
решении тригонометрических уравнений, неравенств, систем;
имеет представление о решении алгебраических уравнений, неравенств,
систем с помощью тригонометрических подстановок.
5
Содержание темы
«Тригонометрические уравнения, неравенства,
системы уравнений»
3.4. Потеря и приобретение корней
при решении тригонометрических уравнений
Некоторые из приведенных примеров показывают и в большинстве
случаев именно так и бывает, что уравнения предлагаются в таком виде, по
которому не сразу можно установить метод решения. Чтобы обнаружить
метод, приходится выполнять преобразования выражений, входящих в
уравнение, преобразование уравнений.
Виды тождественных преобразований тригонометрических выражений
описаны в части первой методического пособия. Какие из них следует
применить,
подсказывают
на
первых
порах
рекомендации,
сформулированные в конце п. 1.3., а затем накопленный опыт и интуиция.
К преобразованиям уравнений относятся перенос слагаемых из одной
части в другую, прибавление к обеим частям уравнения одного и того же
выражения, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение,
нахождение функции от обеих частей уравнения.
Не все из перечисленных преобразований безобидны. Некоторые из
них могут привести к приобретению корней или, хуже того, к потере.
Поскольку не то, не другое недопустимо, то такие преобразования и
возможности выхода из складывающихся ситуаций мы и рассмотрим в
данном пункте.
1. Метод рационализации, как было показано ранее (см. п. 3.3.5)
сужает область определения уравнения и, следовательно,
может привести к потере корней. Такая ситуация и выход из нее
наблюдались при решении задач 15 и 16.
2. Применение формул тангенса и котангенса суммы или разности
аргументов сужает область определения уравнения и может
привести к потере корней.

Задача 30. Решить уравнение 2 ctg x  5 tg  x    5 .

4
Решение. Область определения уравнения: x  R, x  n, x 
n, k  Z .

4
 k ,

Выражая ctg x и tg  x   через tg x , преобразуем уравнения к виду

4
tg x  1
2
5
 5. Область определения этого уравнения: x  R, x  n,
tg x
1  tg x
6
n  Z,
x

4
 k , k  Z , x 

2
 m, m  Z .
Из
области
уравнения исключается множество чисел

2
определения
 m, m  Z , которые могут
оказаться его корнями. Сделаем проверку: если



2 ctg x  2 ctg   m   2 ctg  0 ;
2
2

Значит,

2
исходного
x

2
 m, m  Z , то

3


5 tg  x   m   5  5tg
 5  5  5  0 .
4
4


 m, m  Z , - корни уравнения.
После упрощения преобразованного уравнения получим, что исходное
уравнение равносильно следующей совокупности:


x

 m, m  Z ,

2



x   m, m  Z ,

2
 x  n, n  Z , x    k , k  Z , или, 

4
 x  arctg 1  n, n  Z .


6
tg x  1 ,

6


1
 m, arctg  m, m  Z .
Ответ.
2
6
Уравнение в задаче 30 можно было решить и другим способом: если
1  ctg x


tg  x   заменить дробью
, то после упрощений получим уравнение
4
ctg x  1

ctg 2 x  6 ctg x  0 , равносильное исходному на его области определения;
последнее имеет корни

2
 m, arcctg 6  m, m  Z , совпадающие с корнями,
полученными при решении уравнения первым способом.
3.
Если применение формулы расширяет область определения
уравнения, то это может привести к приобретению корней. К формулам,
расширяющим область определения, относятся формулы, выражающие
тангенс и котангенс суммы и разности углов через тангенсы углов, если
осуществлять переход во всех этих формулах от правой части к левой
(см. формулы 9  13 в Приложении 2), а также при замене разности
ctg   2 ctg 2 на tg  (следствие из формулы 48 ). Корнями уравнения будут
только те значения неизвестного, полученные в процессе решения,
которые входят в область определения исходного уравнения.
Способы отбора корней рассмотрены в п. 3.2.
Задача 31. Решить уравнение
2 tg x
 cos x .
1  tg 2 x
Решение. По формуле синуса двойного угла левая часть есть sin 2 x .
Однако переход от данного уравнения к уравнению sin 2x  cos x расширяет
область определения уравнения. Область определения данного уравнения:
7
x  R, x 

2
 n, n  Z , а область определения полученного - x  R. Поэтому
исходное уравнение равносильно системе
sin 2 x  cos x,



 x  2  n, n  Z .
Решая уравнение системы, получим:
1

2 cos x sin x    0,
2

2 sin x cos x  cos x  0,


 x  2  k , k  Z ,

 x   1m   m, m  Z .

6
cos x  0,

sin x  1 ,
2

Ясно, что в область определения уравнения входит только второе множество
корней.
Ответ.  1m

6
 m, m  Z .
Задача 32. Решить уравнение 2 ctg 2 x  ctg x  sin 2 x  3 sin x .
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
2 ctg 2 x  ctg x  2 
Область
1  tg 2 x
1
1  tg 2 x  1


  tg x.
2tg x
tg x
tg x
определения
исходного
уравнения:
x  R, x 


2
n.
Область
 m, m  Z .
2
Следовательно, приобретенными могут оказаться корни k , k  Z . Чтобы
определения уравнения
 tg x  sin 2 x  3 sin x есть x  R, x 
этого не произошло, прейдем от заданного уравнения к равносильной ему
системе:


 x  n, n  Z ,
2

tg x  2 sin x cos x  3 sin x  0,
решая которую, находим


x

n, n  Z ,

2

sin x  0,

2 cos 2 x  3 cos x  1  0,
или,


 x  2 n, n  Z ,


 x  k , k  Z ,

cos x  1,

cos x   1 ,

2
8


 x  2 n, n  Z ,

 x    2l , l  Z ,

2
 x  
 2m, m  Z .
3

Решением системы является множество 
Ответ. 
2
 2m, m  Z .
3
2
 2m, m  Z .
3
Итак, в рассмотренных в п. 1 - 3 ситуациях речь шла практически об
одних и тех же формулах, содержащих тангенс и (или) котангенс. В одних
случаях их применение может привести к потере коней, в других – к
приобретению. Поэтому в работе с этими формулами нужно быть предельно
внимательными, чтобы не допустить ни потери, ни приобретения.
4. Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель
дробей, входящих в уравнение, расширяет область определения уравнения
и может привести к приобретению корней.
Как поступать в случаях с неизвестным в знаменателе, показано в п.3.2.
5. Известно, что уравнения
и
1
2
f x   g x 
f x x  g x x
равносильны на области определения уравнения 1 , если функция  x 
определена на этой области и отлична от нуля. Если же условие  x  0 не
выполняется, то уравнение 2 - следствие уравнения 1 ; оно имеет корни
уравнения  x  0 , которые могут не быть корнями уравнения 1 .
Таким образом, умножение обеих частей уравнения на функцию  x  ,
определенную на области определения данного уравнения, может
привести к приобретению корней – значений x , при которых функция
 x  равна нулю. Если проверка показывает, что корни уравнения  x  0
не являются корнями заданного уравнения, то на последнем шаге
решения их следует исключить из множества корней.
В тригонометрических уравнениях встречаются ситуации, когда
приходится применять прием умножения уравнения на функцию.
Рассмотрим примеры.
Задача 33. Решить уравнение 16 cos x cos 2x  cos 4x cos 8x  1.
Решение. Левую часть уравнения легко преобразовать, если в ней
появится множитель sin x. Умножим обе части уравнения на sin x :
16 sin x cos x cos 2x  cos 4x cos 8x  sin x.
Область определения уравнения – множество R . Функция sin x также
определена на R , но обращается в ноль при x  n, n  Z . Проверим, не
являются ли числа n, n  Z , корнями исходного уравнения:
16 cos n cos 2n cos 4n cos 8n  16 cos n ;
если n  2k , то 16 cos n  16 cos 2k  16  1;
если n  2k  1, то 16 cos n  16 cos2k     16  1.
9
Итак, числа n, n  Z , не являются корнями заданного уравнения.
Значит, они могут быть приобретены в результате умножения на sin x , их
следует исключить.
Преобразуя новое уравнение, последовательно получим:
8 sin 2 x cos 2 x cos 4 x cos 8 x  sin x,
4 sin 4 x cos 4 x cos 8 x  sin x,
2 sin 8 x cos 8 x  sin x,
sin 16 x  sin x  0,
17
15
2 cos x sin
x  0,
2
2
17
15
cos x  0 или sin x  0.
2
2
17

15
x   k , k  Z ,
x  l , l  Z ,
2
2
2
 2
2
x

k, k  Z.
x
l, l  Z .
17 17
15
Уравнение имеет две серии корней. Проверим, нет ли среди этих корней
чисел вида n, n  Z :

2
k  n,
17 17
2k  17n  1.
Если n  2t  1, то k  17t  8,
2
l  n,
15
2l  15n.
Если n  2 p, то l  15 p,

т.е. при k  17t  8, t  Z , корни имеют т.е. при l  15 p, корни имеют вид n.
вид n.
Ответ.


2
k , k  17t  8, t  Z , k  Z ,
17
17
2
l,
15
l  15 p, p  Z , l  Z .
Задача 34. Решить уравнение cos x  cos 2 x  cos 3x  cos 4 x  0,5.
x
2
Решение. Умножим уравнение на функцию 2 sin , которая обращается
в ноль при x  2k , k  Z . Числа вида 2k , k  Z , не являются корнями
данного уравнения, то есть они могут быть приобретены и, следовательно, их
нужно на последнем шаге решения исключить.
После умножения уравнения на функцию получим:
x
x
x
x
x
cos x  2 sin cos 2 x  2 sin cos 3x  2 sin cos 4 x   sin .
2
2
2
2
2
Каждое слагаемое преобразуем в сумму (по формуле 33 , см. Приложение 2):
2 sin
3
5
7
9
x
 x
 3 
 5 
 7 
sin     sin x  sin   x   sin x  sin   x   sin x  sin   x   sin x   sin .
2
2
2
2
2
 2
 2 
 2 
 2 
10
9
2
После приведения подобных слагаемых получим уравнение sin x  0 ,
которое имеет корни
2
n, n  Z . При n  9t корни имеют вид 2t , t  Z , и не
9
являются корнями исходного уравнения.
Ответ.
2
n, n  9t , t  Z , n  Z .
9
1
2
x
2
Задача 35. Решить уравнение sin x  sin 2 x  sin 3x  ctg .
Решение.
Умножим уравнение на функцию 2 sin
x
.
2
Область
определения исходного уравнения: x  R, x  2k , k  Z . Область определения
x
2
выражения 2 sin : x  R . Полученное после умножения и данное уравнение
равносильны только на области определения данного уравнения, т.е.
уравнение равносильно системе
 x  2k , k  Z ,


x
2 sin x sin 2  2 sin x sin 2 x  2 sin x sin 3x  cos x.
Заменяя произведение синусов разностью косинусов (по формуле 32 ,
Приложение 2) и приводя подобные слагаемые, придем к уравнению
7
 2
cos x  0 , решением которого является серия x  
n, n  Z .
2
7
7
 2

n  2k , n  Z , k  Z ,
Уравнение
равносильно уравнению
7
7
14k  2n  1 . Оно не имеет решений в целых числах. Следовательно, в
полученной серии нет корней вида x  2k , k  Z .
 2
Ответ.  n, n  Z .
7
7
Рассмотренные примеры показывают, что при умножении уравнения
на функцию можно приобрести корни, но можно и не приобрести. В решении
вопроса о приобретении или неприобретении корней необходимо учитывать
соотношение области определения уравнения и области определения
функции и условие равенства функции нулю.
6. Наряду с чисто тригонометрическими уравнениями существуют
комбинированные уравнения – это уравнения в которых неизвестное
находится не только под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса,
но и эти функции содержатся под знаками корня, логарифма, в показателе
степени. В этих случаях приходится применять методы, характерные для
решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений.
Тогда следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения в
четную степень и при потенцировании могут появиться посторонние
корни, а при логарифмировании возможна потеря корней.
При использовании свойств логарифмов нужно внимательно следить за
выполнимостью всех условий, при которых применимы свойства.
11
Если в процессе решения производится возведение в четную степень
или потенцирование, то можно идти двумя путями: либо на последнем шаге
решения делать проверку, либо на каждом шаге заменять уравнение
равносильным ему уравнением или системой, состоящей из уравненияследствия и неравенств, которыми задается область определения
предшествующего уравнения.
Задача 36. Решить уравнение 1  2 sin x  1  ctg x .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и умножим на sin x ,
получим уравнение 2 cos 2 x  cos x  2  0 , откуда находим: cos x 
x   arccos
1  17
 2n, n  Z
4
.
В
ходе
решения
применялись
1  17
,
4
только
преобразования, которые могут привести к приобретению корней. Поэтому
необходима проверка. Выполнить ее подстановкой в уравнение найденных
значений x довольно трудно. Поступим иначе.
Область допустимых значений неизвестного в данном уравнении
определяется системой
1  2 sin x  0,

sin x  0,
sin x  0,5,

sin x  0.
или,
Проверим, какие из найденных значений x удовлетворяют этой системе.
17  1
. Очевидно, что отрицательный
8
корень отличен от нуля и меньше, чем, 0,5 . Сравним квадрат положительного
1
корня с :
4
17  1 1
17  1 1
17  3
 
 0, т.е.
 .
8
4
8
4
8
Так как cos x 
1  17
, то sin x  
4
17  1 1
 и sin x не может принимать значение
8
2
Тогда
17  1
.
8
Таким образом, корнями уравнения являются те из найденных
значений x , при которых и cos x  0 и sin x  0 , т.е. x принадлежит третьей
четверти
и,
значит,
x   arccos
1  17
 2n, n  Z ,
4
или,
17  1
17  1
)  2n  arccos
  2n  1, n  Z .
4
4
17  1
  2n  1, n  Z .
Ответ. arccos
4
x  (  arccos
Задача 37. Решить уравнение
cos 3x  3 sin 3x  3 cos 2 x  cos x 
13
1
 3 sin x  .
4
2
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и в процессе
упрощений последовательно получим:
12
13
1
 3 sin 2 x  3 sin x  ,
4
4
cos 3x  3 sin 3x  cos x  3 sin x  0,
cos 3x  3 sin 3x  3 cos 2 x  cos x 




sin  3x    sin  x    0,
6
6



 


2 x  2  n, n  Z ,
 x  4  2 n, n  Z ,


 x    k , k  Z ,
 x     k , k  Z .
6
6


Отметим найденные значения x на числовой окружности (рис. 15).
v
3
 2n
4

5
 2n
6
4
 2n
0


3
 2n
4


4

6
u
 2n
 2n
Рис.15
Приобретенными корнями здесь могут оказаться только те значения x ,
при которых правая часть уравнения отрицательна, т.е. те значения x , при
которых sin x  0 . Поэтому проверим на корни значения x , находящиеся в III
и IV четвертях.
3
 2n, то
4
1
6 1

  0,
2
2
2
1
6 1

если x    2n, то 3 sin x      0,
4
2
2
2
1
3 1

если x    2n, то 3 sin x      0.
2
2 2
6

3
5
 2n,
 2n, n  Z .
Ответ.  2n,
4
4
6
Задача 38. Решить уравнение 1  log 2 cos x  log 2 3  3 sin x  .
Если x  
3 sin x 
Решение. Применяя свойства логарифмов, заменим выражение в левой
части выражением log 2 2  log 2 cos 2 x  log 2 2 cos 2 x . Это возможно только если
cos x  0 . После потенцирования получим уравнение 2 cos 2 x  3  3 sin x, но при
условии, что 3  3sin x  0. Таким образом, исходное уравнение равносильно
системе
2 cos 2 x  3  3 sin x,

cos x  0,
3  3 sin x  0.

13
Последнее неравенство можно опустить, т.к. оно выполняется, если
выполняются первые два условия. Уравнение приводится к квадратному
1
или sin x  1 . Так как cos x  0 , то
2
sin x  1, т.е. значения x , при которых sin x  1, не являются корнями исходного
1

уравнения. Уравнение sin x  имеет два множества корней: x   2n и
2
6
5
x
 2n , n  Z . Условию cos x  0 удовлетворяет только первое множество.
6
относительно sin x и имеет корни sin x 
Ответ.

6
 2n,
n  Z.
Задача 39. Решить уравнение log sin x 1  cos 2 x   2 cos 8 x  log sin x 2 .
Решение. Для упрощения выражения в левой части применим формулу
1  cos 2 x  2 sin 2 x и свойства логарифмов (логарифмирование). Поскольку
подлогарифмические выражения могут быть только положительными и
сужение области определения уравнения недопустимо, используем свойство
2
модуля: sin 2 x  sin x . Получим: log sin x 1  cos 2 x   log sin x 2 sin 2 x   log sin x 2 
 2 log sin x sin x .
Так как sin x является основанием логарифма, то sin x  0 и sin x  1 .
Тогда sin x  sin x и log sin x sin x  log sin x sin x  1 . Таким образом, заданное
уравнение равносильно системе
sin x  0, sin x  1,

cos 8 x
 log sin x 2,
log sin x 2  2  2
sin x  0, sin x  1,
 cos 8 x
 2.
2
или
Решая показательное уравнение, находим:
cos 8 x  1, 8 x  2n, x 

4
n, n  Z .
Для решения системы
окружность (рис. 16).
(отбора
корней)
используем
числовую
v
3
 2n
4

4
0
 2n
u
Рис.16

4
Условиям sin x  0 , sin x  1 удовлетворяют только два множества чисел:
 2n и
3
 2n , n  Z .
4
14
Ответ.

4
 2n ;
3
 2n , n  Z .
4
В заключение заметим, что предусмотреть все случаи потери или
приобретения корней вряд ли возможно. При решении уравнений нужно
быть предельно внимательными к выполняемым преобразованиям.
Если преобразование приводит к сужению области определения
уравнения, то следует установить, какие числа исключаются из области
определения исходного уравнения, и проверить, не являются ли они корнями.
Если производилось умножение уравнения на функцию  x  , заданную
на области определения исходного уравнения, то могут быть приобретены
корни – значения x , при которых  x  0 . Их наличие можно обнаружить
также с помощью проверки непосредственной подстановкой в уравнение.
Если выполнялось преобразование, расширяющее область определения
уравнения, то на последнем шаге решения следует произвести отбор корней
непосредственной подстановкой найденных значений неизвестного в
уравнение. Расширение области определения уравнения можно избежать,
если на каждом шаге решения заменять уравнение равносильными ему
уравнением или системой, состоящей из уравнения-следствия и неравенств,
определяющих область допустимых значений неизвестного в уравнении.
Способы решения таких систем рассмотрены в п. 3.2.
3.5. Тригонометрические подстановки
Среди методов решения тригонометрических уравнений был выделен
метод замены переменной, который позволяет свести тригонометрическое
уравнение к алгебраическому. Возможен и обратный ход: алгебраическое
уравнение или систему уравнений можно заменить тригонометрическими
уравнением или системой уравнений. При этом используются
тригонометрические подстановки.
Рассмотрим некоторые тригонометрические подстановки и примеры их
применения при решении уравнений.
1. Если известно, что корень алгебраического уравнения по модулю
не превосходит единицы, т.е. x  1 , то возможна подстановка
x  cos t , где 0  t  
или
x  sin t ,
где


2
t 

2
.
Это обосновано следующими положениями.
Так как x  1 и cos t  1 , то можно считать, что x  cos t . Тогда t  arccos x .
Поскольку arccos x  0;   , то и t  0;   .
Аналогичные рассуждения можно провести для замены x  sin t .
Задача 40. Решить уравнение 8x2 x 2  18x 4  8x 2  1  1 .
Решение. Покажем, что корень этого уравнения по модулю меньше
единицы.
15
В самом деле, если предположить, что x  1 , то получим:
2 x 2  1  1, 8x 4  8x 2  1  8 x 2 x 2  1  1  1 , 8 x2 x 2  18 x 4  8 x 2  1  8 .


Сделаем замену: x  sin t , t    ;

.
2
2
Тогда:
2 x 2  1  2 sin 2 t  1  1  cos 2t  1   cos 2t ;


2
8 x 4  8 x 2  1  2 2 x 2  1  1  2 cos 2 2t  1  cos 4t .
Уравнение примет вид:
 8 sin t cos 2t cos 4t  1,

 

 2  t  2 .
Умножим обе части уравнения на cos t . Приобретения корней не произойдет,
так как значения t 
  
 n, n  Z , не принадлежат интервалу   ;  .
2
 2 2

Последовательно получим уравнения:
 8 sin t cos t cos 2t cos 4t  cos t ,
 sin 8t  cos t ,


sin 8t  sin   t   0,
2 
  9  
7
2 sin  t   cos t    0,
4 2
4
2
 7

sin  2 t  4   0,

 
 9

cos t    0,
4
 2
 2

t   14  7 n, n  Z ,

t    2 m, m  Z .

6 9

 
Из найденных значений t интервалу   ;  принадлежат числа  ;

2
2
14
3
5  7

5
; ; ;
; ; .
14
14 6 18
18
18

3
5 1
7

5
Ответ.  sin , sin ,  sin , , sin ,  sin ,  sin .
14
14
14 2
18
18
18
Заметим, что если бы ввели подстановку x  cos t , t  0;   , то получили
4
2
6 1

5
7
бы ответ cos , cos , cos , , cos , cos , cos , то есть те же самые
7
7
7 2
9
9
9
числа, но записанные другим способом.
2. Если алгебраическое уравнение содержит выражение вида
a 2  x 2 , a  0 , то возможна подстановка
x  a cos t , 0  t   , тогда a 2  x 2  a sin t ,
или
x  a sin t , 

2
t 

2
, тогда a 2  x 2  a cos t .
16
Действительно, область допустимых значений x в этом выражении
удовлетворяет условию x  a , т.е.
t  0;   или

x
x
 1 . Тогда можно считать, что  cos t ,
a
a
x
  
 sin t , t   ;  . В первом случае имеем: x  a cos t ,
a
 2 2

a 2  x 2  a 2 1  cos 2 t  a sin t  a sin t , т.к. при t  0;   выполняется условие
sin t  0 . Во втором случае x  a sin t ,
a 2  x 2  a cos t  a cos t , т.к. если
  
t   ;  , то cos t  0 и cos t  cos t .
 2 2
Задача 41. Решить уравнение 1  x  2x 2  1  2x 1  x 2 .
Решение. Область определения уравнения задается условием x  1 .
Тогда введем подстановку, например, x  cos t , t  0;   . Получим систему

 1  cos t  2 cos 2 t  1  2 cos t 1  cos 2 t ,


0  t   .
Упрощая уравнение, последовательно будем иметь:
2 sin 2
t
 1  cos 2t  1  2 cos t sin t ,
2
t
2 sin  cos 2t  sin 2t ,
2
t


sin  sin  2t  .
2
4

Используя условия равенства синусов, находим
 4

t   6  3 n, n  Z ,

t  3  4 n, n  Z .
 10 5
3
3
Условию 0  t   удовлетворяет только t  , тогда x  cos .
10
10
3
Ответ. cos .
10
1
Задача 42. Решить уравнение x 2 1  x 2  x 3  x 
.
2
Решение.
Так как для x необходимо выполнение условия x  1 и
 t

2t  4  2  2n, n  Z ,

2t    t    2n, n  Z ,
4 2

x 2  x , x 3  x , то введем подстановку x  cos t , 0  t 
2
3
1
 2
3
cos t sin t  cos t  cos t  2 ,

0  t   .

2
17

2
. Получим систему:
Уравнение приводится к виду sin t cos t sin t  cos t  
1
. Сделаем замену
2
2
a 1
переменных еще раз: sin t  cos t  a , тогда sin t cos t 
и уравнение примет
2
вид a 3  a  2  0 . Подбором (или разложением на множители) находим
корень a  2 . Других корней уравнение не имеет. Уравнение sin t  cos t  2



имеет корни t   2n, n  Z . Условию 0  t  удовлетворяет только t  .
4
2
4

2
2
Тогда x  cos 
, x .
4
2
2
2
Ответ. 
.
2
3. Если алгебраическое уравнение содержит выражение вида a 2  x 2 ,
a  0 , то можно использовать подстановку
x  a tg t , 

2
t 

2
a
, тогда a 2  x 2 
,
cos t
или
x  a ctg t , 0  t   , тогда
a2  x2 
a
sin t
.
Обоснование: область определения выражения a 2  x 2 есть множество
действительных чисел; множество значений выражения a tg t есть также
множество R ; тогда можно считать, что x  a tg t
и t  arctg
  
t  ; ;
 2 2
a
a 2  x 2  a 2  a 2 tg 2 t  a 1  tg 2 t 
a
cos 2 t

cos t

a
cos t
x
, значит,
a
.
Аналогичные рассуждения можно провести и для подстановки x  a ctg t .
Задача 43. Решить уравнение x 2  1  x 
Решение.
Область
определения
5
2 x2 1
.
уравнения
действительных чисел. Введем подстановку x  tg t , 
x2 1 

2
–
t 
множество

2
, тогда
1
.
cos t
Получим систему
5
 1
 cos t  tg t  2 cos t ,

   t   ,
 2
2
3

sin t   5 ,
или,

   t   .
 2
2
Поскольку нас интересует tg t , то найдем сначала cos t , который в заданном
4
3
интервале положителен: cos t  1  sin 2 t  . Следовательно, x  tg t   .
5
4
3
Ответ.  .
4
5 sin 2 t  2 sin t  3  0,

 

  t  ,
2
 2
18
4. Если алгебраическое уравнение содержит выражение вида
x  a 2 , a  0 , то можно использовать подстановку
2
x
a
cos t
, 0t

2
, тогда x 2  a 2  a tg t ,
или
x
a
sin t

, 0t
2
, тогда x 2  a 2  a ctg t .
Покажем, что такая замена правомерна. Область допустимых значений
неизвестного x в выражении x 2  a 2 определяется неравенством x 2  a 2 , или
xa,
x
a
что x 
a
1
 1 , cos t  0 ,
 a . Тогда можно считать,
cos t
cos t
 1 . Известно, что
a
cos t
, или, x  
a
cos t
. Так как 0  cos t  1 , то достаточно выбрать

, т.е. t  0;  .
x
 2
Аналогичные рассуждения можно провести для второй подстановки.
только те значения t , при которых 0  cos t  1 , t  arccos
Задача 44. Решить уравнение x 
x
x2 1

a
35
.
12
Решение. Область определения данного уравнения определяется
неравенством x  1 . Так как правая часть положительна, то равенство
возможно только при x  0 . Таким образом, x может принимать значения
только из интервала 0; 1 . Введем подстановку x 
1

, 0  t  . Получаем
sin t
2
систему:
1
35
 1
 sin t  sin t  ctg t  12 ,

0  t   ,

2
или,
35

sin t  cos t  12 sin t cos t ,

0  t   .

2
Для решения уравнения введем новое неизвестное:
sin t  cos t  a,
2 sin t cos t  a 2  1.
Уравнение примет вид 35a 2  24a  35  0 , тогда a  
5
7
или a  .
7
5
Уравнение из системы равносильно совокупности двух уравнений
5

sin t  cos t   7 ,

sin t  cos t  7 .
5

Первое уравнение из совокупности не имеет корней, так как согласно
условию 0  t 

2
значения sin t и cos t положительны и, следовательно, их
19
сумма положительна. Второе уравнение решим как иррациональное
относительно sin t :
sin t  1  sin 2 t 
7
,
5
7
 sin t ,
5
49 14
1  sin 2 t 
 sin t  sin 2 t ,
25 5
25 sin 2 t  35 sin t  12  0 ,
3

sin t  5 ,

sin t  4 .

5
1  sin 2 t 
Оба значения синуса положительны и меньше единицы, им соответствуют
1
5
5

 или x  .
значения t из промежутка  0;  . Тогда x 

Ответ.
2
sin t
3
4
5 5
; .
3 4
В заключение рассмотрения уравнений решим еще одно
алгебраическое
уравнение
с
использованием
тригонометрической
подстановки.
Задача 45. Решить уравнение x  1  x 2  2 2 x 2  1 .
Решение. Введем подстановку x  cos t , t  0;   .
Получим систему:


 cos t  sin t  2 2 cos 2 t  1 ,

0  t   .

Учитывая что cos t  sin t  2 sin  t   и 2 cos 2 t  1  cos 2t , уравнение приведем

4
к виду
 
cos 2t  cos t   .
4

Последнее уравнение имеет решение только тогда, когда cos 2t  0 , т.е.


 n , n  Z . Из этих значений t условию 0  t   удовлетворяют
4

3
два отрезка: 0;  и  ;   . Таким образом, имеем систему
 4

 4

4
 n  t 
20

 
cos 2t  cos t  ,
4



 
cos 2t   cos t  ,

4




 0  t  4 ,

 3  t   ,
 4

 2
t  12  3 n, n  Z ,

t     2m, m  Z ,

4

t  5  2 k , k  Z ,

или,  12 3
t  3  2l , l  Z ,

4

 0  t   ,
4

 3
 t  .

 4
Решением системы являются только два значения t : t 
Тогда
x  cos

12
или
x  cos
3
2

4
2
половинного аргумента, выразим cos
cos

12

1  cos
2
2
Ответ. 
;
2

6 
1
2
3
2 

12
.
Используя

12
формулу
и t
3
.
4
косинуса
:
2 3

2
6 2
.
4
6 2
.
4
Рассмотрим тригонометрические подстановки и примеры их
применения при решении систем уравнений.
5. Если решением системы уравнений является n  ка чисел, каждое
из которых по модулю не превосходит единицы, то одно из неизвестных


можно принять за cos t , где t  0;   , или за sin t , где t   ;  . Подобных
 2 2
подстановок можно ввести n .
Задача 46. Сколько решений имеет система уравнений
x  3 y  4 y 3 ,

3
 y  3z  4 z ,
 z  3x  4 x 3 ?

Решение. Покажем, что если x; y; z  - решение системы, то x  1 ,
y  1, z  1.
Пусть x - не меньшее из значений x, y, z , т.е. пусть, например, x  y  z .
Если предположить, что x  1 , то z  4 x 3  3x  x4 x 2  3  x . Но z  x
противоречит условию x  z .
Пусть x - не большее из значений x, y, z , т.е., например, x  y  z . Если
предположить, что x  1 , то z  4 x 3  3x  x4 x 2  3  x , т.е. z  x , что
противоречит условию x  z .
21
Таким образом, x  1 . Аналогично можно доказать, что y  1 и z  1 .
Введем подстановку x  cos t , где t  0;   . Из уравнений 3, 2 и 1
системы соответственно получим
z  4 x 3  3x  4 cos 3 t  3 cos t  cos 3t ,
y  4 z 3  3z  4 cos 3 3t  3 cos 3t  cos 9t ,
x  4 y 3  3 y  4 cos 3 9t  3 cos 9t  cos 27t .
Заданная система равносильна системе
cos t  cos 27t ,

0  t   ,
 x  cos t , y  cos 9t , z  cos 3t.

Решая первое уравнение, находим: t 

14
n, n  Z или t 

13
m, m  Z .
отрезку 0;   принадлежат 27 значений t
n  0, 1, 2, , 14; m  1, 2, 3, , 12 . Следовательно, система имеет 27
решений.
Ответ. 27.
6. Если в задаче о системе уравнений присутствует уравнение вида
2
2
x  y  a 2 , то в решении может быть использована подстановка
x  a cos t , y  a sin t , t  0; 2  .
Область определения уравнения – множество пар чисел x; y  , таких,
что x  R , y  R . Однако решениями уравнения могут быть только пары x; y  ,
в которых x   a ; a  , y   a ; a  . Поэтому можно считать, что
x  a cos t , y  a sin t (или наоборот). Тогда x 2  y 2  a 2 cos 2 t  sin 2 t   a 2 .
Поскольку x и y могут быть оба неположительными, оба неотрицательными
или x  0 , y  0 , или x  0 , y  0 , то t следует брать из промежутка 0; 2  .
Из
этой
совокупности
2
2

 x  y  4,
Задача 47. Решить систему уравнений 
2

 xy y  2  3.


Решение. Введем подстановку x  2 sin t , y  2 cos t , t  0; 2  . Второе
уравнение системы примет вид


4 sin t cos t 4 cos 2 t  2  3 ,

0  t  2 ,
или,

 
t  12  2 n, n  Z ,

t     n, n  Z ,

6 2

0  t  2 .

3
,
sin 4t 

2
0  t  2 ,

Из найденных корней уравнения полуинтервалу
следующие значения t :
t1 

12
,
t2 
7
,
12
t3 
13
,
12
t4 
19
,
12
22
0;
2  принадлежат
t5 

6
,
t6 
2
,
3
t7 
7
,
6
t8 
5
.
3
В соответствии со значениями t получим 8 пар значений x и y :
x1  2 sin t1  2 sin

12
y1  2 cos t1  2 cos
2

12
2
1  cos
2

6  2  3;
1  cos
2

6  2  3.
Аналогично найдем другие решения системы.
Ответ.  2  3 ; 2  3  ,  2  3 ;  2  3  ,   2  3 ;  2  3  ,

 
  2  3 ;  2  3  , 1;



 
3 ,
 
 
 


3;  1 ,  1;  3 ,  3; 1 .
Задача 48. Среди всех решений x; y; z; t  системы
 x  y 2  9,
 2 2
 z  t  16,
 xt  yz  12

2
найти такие, при которых выражение y  t принимает наименьшее значение.
Решение. Учитывая первое и второе уравнения, введем подстановки
x  3 cos  , y  3 sin  ,   0; 2 , z  4 cos  , t  4 sin  ,   0; 2 .
Неравенство примет вид: 12 sin  cos   12 sin  cos   12, или sin      1,
откуда следует, что sin      1. Тогда, с учетом ограничений,    

2
или
5
. И в том, и в другом случаях sin   cos  и cos   sin  .
2
Найдем значение выражения y  t :
3
4
y  t  3sin   4 sin   3sin   4 cos   5 sin    , где cos   , sin   .
5
5
Так как 5 sin      5 , то y  t  5 . Наименьшее значение  5 получим при
3
4
условии 5 sin      5 , т.е. 3sin   4 cos  5 ;  sin   cos   1. Последнее
5
5
3
4
равенство возможно при условиях sin   
, cos   
. Тогда
5
5
12
9
12
16
x  3 cos    , y  3 sin    , z  4 cos   4 sin    , t  4 sin   4 cos    .
5
5
5
5
12
9
12
16
Ответ.   ;  ;  ;  .
5
5
5
 5
7. Если решением системы уравнений является n -ка чисел, каждое
  
из которых может принимать любое значение из множества
действительных чисел, то одно из неизвестных можно принять за tg t ,

где t    ;

2

 . Подобных подстановок можно ввести n .
2
23
Задача 49. Решить систему уравнений
 

1
1 
1
3 x    4 y    5 z  ,
x
y 
z
 

 xy  yz  zx  1.

Решение. Из первых уравнений системы следует, что числа x , y и z
одного знака и что если x0 ; y0 ; z 0  - решение системы, то  x0 ;  y0 ;  z 0  также решение системы. Поэтому достаточно найти сначала положительные
решения.
Пусть x  tg  , y  tg  , z  tg  , где    0;


,
2


   0;



   0;
,
2

.
2
Система примет вид:
3tg   ctg    4tg   ctg    5tg   ctg  ,

tg  tg   tg  tg   tg  tg   1.
В результате равносильных преобразований уравнений получим
4
5
 3
 sin 2  sin 2   sin 2 ,


tg   1  tg  tg  .

tg   tg 

Из второго уравнения следует, что tg  ctg     , или, tg   tg       .
2
Учитывая ограничения на  ,  и  , находим:      

2

, или,
2  2   2   , т.е. 2 , 2 , 2 - углы треугольника. Из первого уравнения
следует, что стороны треугольника с углами 2 , 2 , 2 пропорциональны
числам 3, 4 и 5 . Этот треугольник прямоугольный. В нем 2  90  , т.е.   45 ,
sin 2 
3
4
1  cos 2
 cos 2  , sin 2    cos 2 . Тогда x  tg  

5
5
1  cos 2
4
5 1 ,

4 3
1
5
1
3
5  1 , z  tg   tg 45  1 .
y  tg  
3 2
1
5
1 1
1 1
Ответ.  ; ; 1 ,   ;  ; 1 .
3 2   3 2

1
Тригонометрические подстановки могут быть использованы не только
при решении алгебраических уравнений и систем, но и при решении задач
других типов.
24
3.6. Методы решения тригонометрических неравенств
Решение неравенств типа sin f x  0
 0,  0,  0 , cos f x  0
 0,  0,  0 , tg f x  0
 0,  0,  0 , ctg f x  0
 0,  0,  0 и
непосредственно сводящиеся к ним рассмотрены в п. 3.1. Методы решения
более сложных неравенств разнообразны. Среди них есть методы,
аналогичные методам решения уравнений, и метод интервалов, основанный
на решении уравнений.
Прежде
чем
переходить
к
описанию
методов
решения
тригонометрических неравенств подчеркнем, что при решении неравенств
вида f x   0  0,  0,  0 , где f x  - периодическая функция с периодом T ,
следует сначала решить это неравенство на одном отрезке длины T ,
исключив один из концов (например, для 0  x  T или 
T
T
x
и т.д.), а
2
2
затем получившееся решение периодически продолжить. Один из концов
необходимо исключить воизбежание повторения решений, т.к. один конец
получается из другого прибавлением или вычитанием T , т.е. он
автоматически рассматривается при продолжении решения.
3.6.1. Сведение неравенства к решению простейшего неравенства.
В некоторых случаях довольно сложное с виду неравенство с помощью
равносильных преобразований сводится к решению элементарного
неравенства. Рассмотрим примеры.
Задача 50. Решить неравенства а) 3 sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0 ;
5
8
б) sin 6 x  cos 6 x  .
Решение. а) С помощью элементарных преобразований неравенство
приводится к виду cos 2x7  3 cos 2x  0 . Поскольку второй множитель
положителен при любом x , неравенство равносильно неравенству cos 2x  0 ,
т.е. 2n 

2
 2x 
3

3
 2n, n  Z , или, n   x 
 n, n  Z .
2
4
4
б) Разложим левую часть неравенства на множители по формуле
суммы кубов:
sin


5
x  cos 2 x sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 4 x  .
8
Первый множитель равен 1 . Во втором множителе выделим квадрат суммы
2
5
3
sin 2 x и cos 2 x . Получим: sin 2 x  cos 2 x  3 sin 2 x cos 2 x  ,  3 sin 2 x cos 2 x   ,
8
8
1


1
1
sin 2 2 x  ,
n   2 x   n, n  Z ,

 sin 2 x 
,
2
4
4
2
2
2



8



8


n, n  Z .
2

3
  

  
 n , n  Z ; б)   n;  n, n  Z .
Ответ. а)   n;
4
8 2 
4

 8 2
2
nx

25
3.6.2. Метод разложения на множители.
С
помощью
равносильных
преобразований
выражений
тригонометрическое неравенство f x   0
 f x  0 может быть
приведено к виду f1 x  f 2 x  0  0 . На области определения исходного
неравенства неравенство f1 x  f 2 x  0 равносильно совокупности двух
систем
 f1 x   0,
 f x   0,
или  1

 f 2 x   0
 f 2 x   0,
а неравенство f1 x  f 2 x  0 равносильно совокупности двух систем
 f1 x   0,
 f x   0,
или  1

 f 2 x   0
 f 2 x   0.
Задача 51. Решить неравенство 4 sin x cos 2x  1  2 cos 2x  2 sin x .
Решение. Перенесем слагаемые из правой части в левую, разложим
выражение в левой части на множители, получим неравенство
2 sin x  12 cos 2x  1  0.
Оно равносильно совокупности двух систем:
1

sin x  2 ,

cos 2 x   1

2
1

sin x  2 ,
или 
cos 2 x   1 .

2
Решим эти системы, учитывая, что период функции f x  2 sin x  12 cos 2x  1
равен 2 :

5
7



2n  6  x  6  2n,
2k  6  x  6  2k ,


2n  2  2 x  2  2n, n  Z .
2k  2  2 x  4  2k , k  Z .


3
3
3
3

5
7



2n  6  x  6  2n,
2k  6  x  6  2k ,


n    x    n, n  Z .
k    x  2  k , k  Z .
3
3
3
3


Для нахождения решений систем используем рисунки 17 и
соответственно.
26
18
v
2
3

3
5
6

6
0
4
3
v
2
3

7
6

6
0
u


3


3
2
3
u


3
Рис.18
Рис.17
Решение первого неравенства на них выделено жирной дугой, решение
второго – заштрихованными дугами. Дважды выделенными окажутся
следующие дуги:



2n  6  x  3  2n, n  Z .
2

2k 
 x    2k , k  Z .

3
3
2n  2  x  5  2n, n  Z .
3
6


5

  2

 2n;
 2n  
Ответ.
  2n;  2n   
3
6
6
  3


 2

 
 2n;   2n , n  Z .
3
 3

Если в неравенстве f x  0  f x  0 функция f x  раскладывается в
произведение более чем двух множителей, зависящих от x , то заменять
неравенство совокупностью систем нерационально. Систем может оказаться
слишком много. Основным методом решения тригонометрических
неравенств в такой и многих других ситуациях является метод интервалов.
Он будет рассмотрен позднее.
3.6.3. Метод замены переменных.
Если в неравенстве f x  0  f x  0 левая часть f x  представляет
собой функцию от некоторого тригонометрического выражения, то
целесообразно заменить это выражение новой переменной, решить
полученное
неравенство,
затем
решить
совокупность
тригонометрических неравенств, подставляя вместо новой переменной
обозначенное ею выражение.
27
При решении тригонометрических неравенств используются те же
замены, что и в уравнениях:
- если f x  есть функция от sin  x cos  x, tg  x, ctg  x , то
используется замена sin  x  t cos  x  t, tg  x  t, ctg  x  t  ;
- в неравенстве с функцией f sin  x  cos  x, sin  x  cos  x
используется замена sin  x  cos x  t ;
неравенство
-
с
функцией

b
b2 
f  at  ; a 2 t 2  2 
t
t 

,
где
t
-
b
t
тригонометрическая функция, решается с помощью замены at   y .
Рассмотрим в качестве примеров некоторые уравнения из пункта 3.4.2,
заменив знак равенства на знак неравенства, строгого или нестрогого.



3 tg 3
x

2




x
x
 2  3 tg 
2
2
1
1
 4 cos 2 x 
6.
 3  0 ; б) 2  2 cos x  3sin x cos x  2 sin x ; в) 2 cos x 
cos x
cos 2 x
x
Решение. а) Сделаем замену tg  y . Получим неравенство 3y 3 
2
2
 3  2 y  2  3 y  3  0 . Функция f  y  в левой части неравенства имеет
1
3 . Поскольку y - функция тангенса, то решим
корни 
; 1;
3
алгебраическое неравенство относительно y методом интервалов на оси
Задача 52. Решить неравенства а)
3  2 tg 2

тангенсов (рис. 19).
y
+
3
_
v

3
1

+
4
u
0




1
3
6

_
2
Рис.19
Находим, что решением неравенства f  y   0 является совокупность
1

y   3 ,

1  y  3.
28
x
вместо y и решим полученную совокупность:
2
1
 x
 tg 2   3 ,

x

1  tg 2  3.
 x




n  2  2   6  n,
   2n  x   3  2n,


n    x    n, n  Z ;
   2n  x  2  2n, n  Z .

 2
4 2 3
3
Подставим tg
Таким образом, решением неравенства является объединение двух
множеств промежутков.
б) Перенося слагаемые из правой части в левую, получим неравенство
3sin x cos x  2sin x  cos x  2  0 . Введем подстановку sin x  cos x  t , тогда
sin x cos x 

1
1 t2
2

и неравенство примет вид 3t 2  4t  1  0 . Решением
последнего неравенства является объединение двух лучей: t 
1
или t  1 .
3
Исходное неравенство равносильно совокупности
1

sin x  cos x  3 ,

sin x  cos x  1,
или,
 

2
,
sin  x   
4
6
 
 
 1
.
sin  x   
4
2
 
Решая ее, последовательно находим:

2

2
 x   arcsin
 2n,
2n    arcsin
6
4
6


 3

2n  4  x  4  4  2n, n  Z ;
 3
2

2
 arcsin
 2n  x   arcsin
 2n,

4
6
4
6


 2  2n  x    2n, n  Z .
1
1
 t , тогда 4 cos 2 x 
 t2  4 и
в)
Сделаем замену 2 cos x 
2
cos x
cos x
получим неравенство t 2  t  2  0 , решением которого служит отрезок
 1  t  2 . Сделаем еще одну замену: cos x  y . Полученное двойное
неравенство, и следовательно исходное неравенство, равносильно системе
двух неравенств

2 y 


2 y 

1
 1,
y
1
 2,
y
или,
2y2


 2
2y

 y 1
 0,
y
 2y 1
 0.
y
Решая каждое из неравенств методом интервалов, находим решение системы:
29

1 3
,
 1  y 
2

1
1 3
,
 y
2
2
или,

1 3
,
 1  cos x 
2

1
 2  cos x  1.
Для x получим два множества отрезков:

1 3
3 1
 x    arccos
 2n,
2n  arccos
2
2




2n  3  x  3  2n, n  Z .


2

 2n , n  Z ;
Ответ. а)     2n;   2n    2n;
3
3

 2

 3
 
2

2

 2n;  arcsin
 2n     2n;   2n , n  Z ;
б)    arcsin
6
4
6

 4
 2

  
1 3
3 1


 2n;   arccos
 2n     2n;  2n, n  Z .
в) arccos
2
2
3


  3
Заметим, что в задаче под буквой б был использован метод введения
вспомогательного аргумента, т.е. при решении тригонометрических
неравенств этот метод тоже имеет место.
3.6.4. Метод деления обеих частей неравенства на выражение,
содержащее неизвестное. (Решение однородных неравенств).
Деление обеих частей неравенства на выражение с неизвестным –
операция еще более опасная, чем деление уравнения, т.к. здесь приходится
учитывать не только равно или не равно выражение нулю, но и его знак, т.е.
положительно оно или отрицательно.
Необходимость выполнения такой операции возникает при решении
однородных неравенств.
Определение. Неравенство вида a0 sin n x  a1 sin n1 x cos x 
 a 2 sin n 2 x cos 2 x    a n cos n x  0
( 0,  0,  0) ,
3.15
где a0 , a1 , , an - вещественные числа и сумма показателей степеней у sin x и
cos x в каждом слагаемом равна n , называется однородным степени n
относительно sin x и cos x .
Методы решения однородных неравенств (на примере неравенств со
знаком «  »):
- если в неравенстве 3.15 a0  0 или an  0 , то оно решается
методом разложения на множители;
- если a0  0 и n - четное число, то неравенство равносильно
совокупности, состоящей из системы и неравенства
30
cos x  0,

n
a sin x  0,
a tg n x  a tg n 1 x    a tg x  a  0;
1
n 1
n
 0
- если a0  0 и n - нечетное число, то неравенство равносильно
совокупности трех систем
cos x  0,
или

n
a sin x  0
cos x  0,

 tg x   0
или
cos x  0,

 tg x   0,
где  tg x   a0 tg n x  a1 tg n1 x    a n1 tg x  a n .
Обратим еще раз внимание на случай cos x  0 . Если a0  0 , то система
cos x  0,
cos x  0,
не совместна, а система 
имеет решение.

n
n
a sin x  0  0,  0,  0
a sin x  0
Поэтому, если a0  0 , то уравнение можно делить на cos n x , а неравенство


нельзя, т.к. в этом случае теряется серия решений  2n или   2n ,
2
2
n  Z.
Очевидно, что однородное неравенство первой степени целесообразнее
решать методом введения вспомогательного аргумента.
Задача 53. Решить неравенство а) 3 sin 2 x  8 cos 2 x  1 ;
б) 2 sin 3 x  3 sin 2 x cos x  2 sin x cos 2 x  3 cos 3 x  0 .
Решение. а) С помощью элементарных преобразований неравенство
приводится к однородному второй степени:
sin 2 x  6 sin x cos x  7 cos 2 x  0 .
Оно равносильно совокупности
cos x  0,
 2
или,
sin x  0,
 tg 2 x  6 tg x  7  0,



 x  2  n, n  Z ,

 tg x  1,
 tg x  7,




n  arctg 7  x  2  n,

n    x     n, n  Z .
2
4

б) Имеем однородное неравенство третьей степени. Оно равносильно
совокупности трех систем
cos x  0,

3
2 sin x  0,
cos x  0,
cos x  0,
 3
 3
2
2
2tg x  3tg x  2tg x  3  0,
2tg x  3tg x  2tg x  3  0.
Функция
имеет
наименьший
f tg x   2tg 3 x  3tg 2 x  2tg x  3
положительный период  , а cos x - период 2 . Поэтому решим каждую из
систем на отрезке длины 2 . Например, используем числовую окружность, а
для решения неравенств f tg x  0 и f tg x  0 - ось тангенсов, учитывая, что
3
уравнение f tg x  0 имеет корни tg x   , tg x  1 , tg x  1 (см. задачу 14,в).
2
31
Рассмотрим промежуток   ;   . Решением первой системы является

число  .
2
Решения неравенств относительно тангенса показаны на оси тангенсов
(рис. 20).
tg x
+
v
  arctg
3
4
3
2
1

4
u
0

3
4




2
 arctg
_
4
3
2
1
+

Рис. 20
3
2
_
Чтобы решить вторую систему, для значений tg x , при которых
f tg x  0 , найдем на числовой окружности соответствующие дуги в правой
полуокружности, где cos x положителен. На рисунке 33 они выделены более
жирной линией.
Чтобы решить третью систему, для значений tg x , при которых
f tg x  0 , найдем на числовой окружности соответствующие дуги в левой
полуокружности, где cos x отрицателен. На рисунке эти дуги отмечены
штриховкой.
Теперь можно записать ответ для одного периода:

3
3
 x  arctg ,
4
2


4
x

4
,
  arctg
3
3
x
.
2
4
Окончательный ответ получим, прибавляя к граничным значениям 2n, n  Z .



Ответ. а)  arctg 7  n;  n    n;   n , n  Z ;

2

 2

4
3
3


3
3

 2n,
б)   2n;  arctg  2n    2n;  2n    arctg  2n;
 4
n  Z.
2

 4
4
32


2
4

3.6.5. Метод рационализации.
Как
и
уравнение,
неравенство
относительно
разных
тригонометрических функций одного и того же аргумента можно
привести к рациональному неравенству относительно тангенса
половинного аргумента. При этом происходит сужение области
определения неравенства, следовательно, возможна потеря решений.
Чтобы этого не произошло, необходимо проверять, не принадлежат ли
множеству решений те значения неизвестного, которые «выпали» из
области определения неравенства при применении формулы.
8
3
Задача 54. Решить неравенство tg 2 x  sin 2 x  ctg x .
Решение. Область определения неравенства: x  R,
x

4


2
n,
x  n ,
nZ .
Выразим все функции, входящие в неравенство, через tg x :
2 tg x
2 tg x
8


 0.
2
2
1  tg x 1  tg x 3tg x
Решения x 

2
 l , l  Z , могут быть потеряны. Проверка показывает, что эти
значения x принадлежат решению неравенства.
Так как 1  tg 2 x  0 при любом x из области определения неравенства,
то обе части неравенства можно умножить на 1 tg 2 x , оставив знак
неравенства без изменения. Введем подстановку tg x  t .
После упрощений неравенство примет вид
2t  3t  2
 0,
t 1 t2
4
2


или,
1 
1 

t 
 t 

2 
2

 0.
t t  1t  1
Наименьший положительный период функции f x   tg 2 x  sin 2 x  ctg x
8
3
 
равен  . Используем отрезок числовой окружности  ;  и ось тангенсов
 2
2
для решения методом интервалов неравенства относительно t (рис. 21).
33
t
_
v

2

4
1
+
1
2
_
0
0


u
+


2

4
_
1
1
2
+
Рис. 21
Для значений t , при которых функция от t неотрицательна, найдем


дуги на полуокружности  ;  . На рисунке 21 эти значения t и
 2 2
соответствующие им дуги выделены. Отметим также точки 
для одного периода имеет вид


2
x

4
;  arctg
1
2
 x  0,
 arctg
1
2
x

4
, x

2
и

. Ответ
2

.
2
Окончательный ответ получим, прибавляя к граничным значениям в
неравенствах n, n  Z , а к


следует прибавить 2n, т.к.   2n  1 есть
2
2
левая граница первого полуинтервала.


1
1


 

Ответ.   n;   n    arctg
 n; n   arctg
 n;  n  
 2
4


2


2
4



   2n , n  Z .
2

3.6.6. Метод интервалов.
Наиболее распространенным методом решения тригонометрических
неравенств является метод интервалов. Он основан на следующем свойстве
функции: Если функция y  f x на интервале a; b определена, непрерывна и
нигде не обращается в нуль, то она на этом интервале имеет только
положительные или только отрицательные значения.
Учитывая сформулированное свойство и свойство периодичности
тригонометрических функций, можно выделить последовательность
действий при решении тригонометрического неравенства методом
интервалов.
Чтобы
решить
тригонометрическое
неравенство
f x  0  0;  0;  0 методом интервалов, надо
34
1) найти область определения неравенства;
2) найти наименьший положительный период T функции f x  ;
3) решить уравнение f x   0 ;
4)
выбрать отрезок длины T , изобразить его на рисунке,
исключив один конец (это может быть окружность, дуга окружности,
отрезок прямой), отметить на нем корни уравнения, принадлежащие
полученному полуинтервалу, и точки, не входящие в область определения
уравнения (получим полуинтервал-образец);
5)
определить знак функции f x  на каждом из промежутков, на
которые поделили полуинтервал отмеченные точки;
6) записать ответ для одного периода;
7)
записать окончательный ответ, прибавив к граничным
значениям число Tn, n  Z .
Например, решим методом интервалов неравенство из задачи 51:
4 sin x cos 2x  1  2 cos 2x  2 sin x .
Решение. Как и при решении методом разложения на множители,
приведем с помощью равносильных преобразований неравенство к виду
2 sin x  12 cos 2x  1  0.
Рассмотрим функцию f x  2 sin x  12 cos 2x  1 . Область определения
неравенства (функции f x  ) – множество всех действительных чисел.
Функция f x  непрерывна на области определения. Период функции sin x
равен 2 , период функции cos 2x -  . Следовательно, наименьший
положительный период функции f x  равен 2 .
Уравнение f x   0 равносильно совокупности двух уравнений: sin x 
1
2
5

 2n , x    n , n  Z .
6
6
3
В качестве образца выберем полуинтервал   ;   , изобразим его на
 5

2
числовой окружности и отметим корни ;
; ;
(рис. 22).
3
3
6 6
v
_ 
2
1
2
или cos 2 x   , т.е. имеет корни x 

 2n , x 
3
3
+
+

6
5
6
0
_
u
_

2
3
+
Рис. 22
35


3
Получили шесть промежутков, на каждом из которых функция либо
положительна, либо отрицательна. Чтобы определить знак функции на всем
интервале, достаточно установить его в какой-нибудь точке промежутка.


Например, нетрудно подсчитать, что f 0  0 , f    0 , f    0 ,
4
2
 3 
 3 
 
 
f    0 , f    0 , f  
  0 , f     0 , f     0 . Тогда знаки на
 4 
 4 
 2
 4
промежутках распределятся так, как показано на рисунке 22.
Поскольку исходное неравенство строгое, то все корни уравнения на
рисунке показаны выколотыми, т.е. они не принадлежат решению
неравенства. На одном периоде решение неравенства имеет вид:

2

x ;
3
3

6
x

3
;
2
5
x
.
3
6
Окончательный ответ запишем, прибавив к граничным значениям
неравенств 2n, n  Z .
2



2
5

 2n .
Ответ.    2n;   2n     2n;  2n     2n;

3
3

6
3

 3
6

Как видим, при решении тригонометрических неравенств методом
интервалов важно уметь находить область определения неравенства
(функции), период функции, уметь решать уравнения и уметь определять
знак функции на интервале.
Остановимся на приемах установления знака функции на промежутке.
Если известно, что функция имеет на промежутке постоянный знак, то
достаточно установить его в какой-нибудь точке промежутка. В
рассмотренной выше задаче сделать это было легко, так как каждый
промежуток содержал табличное для тригонометрической функции значение
аргумента ( 0;

4
;

2
;  ). Когда такие значения на промежутке отсутствуют,
задача усложняется. Здесь могут помочь знания о том, меняет или не меняет
знак функция при переходе через отмеченную точку.
Рассмотрим различные ситуации на достаточно наглядных примерах из
курса алгебры.
Известно, что если x 0 - не кратный корень функции, то график
функции пересекает ось абсцисс в точке x 0 и функция меняет знак при
переходе через точку x 0 (см., например, линейную функцию, квадратичную
функцию, если дискриминант квадратного трехчлена положителен). Если x 0
- корень четной кратности, то график функции касается оси абсцисс в точке
x 0 и функция не меняет знака при переходе через точку x 0 (см., например,
квадратичную функцию, у которой дискриминант равен нулю, или функцию
4
y  x  2 ). Если x 0 - корень нечетной кратности, то график функции
пересекает ось абсцисс в точке x 0 и функция меняет знак при переходе через
точку x 0 (см., например, y  x  13 ).
36
Случай, когда функция не определена в точке x 0 , аналогичен тому, что
x 0 - корень знаменателя Qx  функции f  x  
Px 
. Поэтому если функция
Q x 
f x  не определена в точке x 0 нечетное число раз, то она меняет знак при
1
1
переходе через x 0 (см. функции y  , y 
); если же функция не
x
x  23
определена в точке x 0 четное число раз, то она не меняет знака при переходе
1
1
через x 0 (см., например, y  2 , y 
). Если x 0 - корень функции n раз и
x
x  14
в этой точке она не определена m раз, то при переходе через точку x 0
функция меняет знак, если n  m - нечетное число, и не меняет знака, если
n  m - четное число (см., например, функции
x  1 , в которых
x 1
, y 2
2
x 1
x 1
2
y
сумма n  m для x  1 равна соответственно 2 и 3 ).
Аналогичные
правила
применяются
в
тригонометрических
неравенствах для выяснения вопроса о том, меняет или не меняет знак
функция при переходе через некоторое значение аргумента x 0 .
Сформулируем их кратко. Значение x 0 , при котором функция не определена,
будем называть выколотой точкой.
Если у функции y  f x x 0 является корнем p раз или выколотой
точкой g раз или одновременно x 0 - корень p раз и выколотая точка g
раз, то при переходе через x 0
- функция f x  меняет знак, если соответственно p нечетно, g
нечетно, p  g нечетно,
- функция f x  не меняет знака, если соответственно p четно, g
четно, p  g четно.
Так в неравенстве из задачи 51 функция f x  2 sin x  12 cos 2x  1
всюду определена и не имеет кратных корней. Поэтому при переходе через
каждый из корней она меняет знак (рис. 22). Достаточно было установить
знак функции на одном интервале, остальные знаки определяются
автоматически.
Рассмотрим другие примеры неравенств, не усложняя их
необходимостью предварительно выполнять упрощение выражений.
Задача 55. Решить неравенства а)
б)
2 cos x  12 sin x 
sin 2 x
3
  0;
2 cos x  1 cos x  0 ; г) 2 cos x  1 sin x  cos x  2  0 .
2 cos x  1
 0 ; в)
sin 2 x cos x
sin 2 x

Решение.

а) Область определения неравенства – множество R ,

n . Наименьший положительный период функции f x  ,
2
стоящей в левой части неравенства, 2 . Решим уравнение f x   0 . В области
исключая точки
37
определения исходного уравнения оно равносильно совокупности cos x  
1
2
3
2

2
 2n , n  Z .
и имеет корни x    2n , x   2n , x 
3
3
3
2
В качестве образца возьмем полуинтервал   ;   на числовой


2 
окружности. Отметим на нем точки 0; ;  ;  ;  ;
(рис. 23). На
2
2
3
3
или sin x 
рисунке все точки выколоты, т.к. неравенство строгое.
2
3
v
_

+
2
_

3
_

u
0
0
+
+
2

3
_


2
Рис. 23
Отмеченные точки поделили отрезок   ;   на 7 интервалов. В
каждом из них функция f x  непрерывна и не обращается в ноль,
следовательно имеет один и тот же знак.
Определим
 
f 
4


2 1
знак
2 3
на
интервале
замечаем, что число
  
 
  0; 
 0;  :
3
4  3

;
  0 . На интервале  0;   функция отрицательна. Далее

1
числителя, т. е.
функции
3
2
является корнем и первого, и второго множителей
3
2
- корень кратности 2 . Других кратных корней и кратных
3
выколотых точек функция не имеет. Следовательно, при переходе через
точку
2
функция не меняет знака, а при переходе через другие выделенные
3
точки функция меняет знак. Тогда знаки на интервалах распределяются так,
как показано на рисунке 23.
 
 2   2

; 
Определять знаки функции на интервалах  ;  ,  ;
 , 
3
2 2
3  
3
2
довольно затруднительно, т.к. на этих интервалах нет табличных значений
 2 
аргумента. Посмотрим, например, как определить знак на интервале  ;
.
2
3 
Сначала нужно найти удобное значение x 0 из промежутка. Это можно
сделать так:
38

2
 x0 
2
,
3
3
4
 x0 
,
6
6
3 3,5 4


,
6
6
6

2

7 2

.
12
3
Далее установим знаки каждого из множителей числителя и
знаменателя при x 
cos
7
:
12
2
7

 cos
 cos ,
3
12
2
sin
2
7

 sin
 sin ,
3
12
2
sin
7
 0.
6
3
7
 sin
1 ,
2
12
7
0  2 sin
 3  2 3.
12
1
7
 cos
 0,
2
12
7
0  2 cos
 1  1.
12

Теперь можно определить знак функции: произведение двух
положительных чисел, деленное на отрицательное число, есть число
отрицательное.
Как видим, использование правила о смене или не смене знака функции
при переходе через точку значительно облегчает решение задачи.
Итак, знаки функции на интервале определены. Запишем решение
неравенства на одном периоде:
0 x

3

,
2
 x ,
x
2
,
3

2

x .
3
2
Окончательный ответ:
2n  x 

3
 2n ;

2
 2n  x    2n , x 
2
2

 2n , 
 2n  x    2n ,
3
3
2
nZ .
б)
Область определения неравенства, т. е. область определения
2 cos x  1

есть множество R , x  n , n  Z . Наименьший
sin 2 x cos x
2
положительный период функции - 2 . Корнями уравнения f x   0 являются
2
множества   2k , k  Z . В качестве образца возьмем отрезок   ;   на
3
функции f x  
числовой окружности, исключив   . Отметим на нем точки 0;
2
2


; 
, причем точки 0 , ,  ,  выколоты, а
3
2
3
2
решаем нестрогое неравенство (рис. 24).
39



; ;  ;
2
2
2
- черные, т. к.
3
v
2
3

2
+
+
_

u
0
0
+
_

2
3
_


2
Рис. 24
На каждом из получившихся интервале функция f x  непрерывна и не
обращается в ноль, значит, имеет один и тот же знак.

Нетрудно установить, что на интервале  0;  функция положительна.

2



и  дважды выколоты, т. к. числа 
2
2
2
являются корнями множителей sin 2 x и cos x , стоящих в знаменателе дроби.
Замечаем, что точки
Тогда при переходе через эти точки функция не меняет знак, а при переходе
через каждую из других меняет. Знаки функций на интервалах показаны на
рисунке 37. Окончательный ответ имеет вид:
2n  x 

2
 2n ,

2
 2n  x 
2
 2n ,
3
   2n  x  
2
 2n ,
3
nZ .
в) Область определения функции, стоящей в левой части неравенства
(область определения неравенства), есть множество R , x 

2
k , k  Z . Период
2

 2n , n  Z ,  l , l  Z .
3
2
без точки   на числовой окружности.
функции 2 . Корни функции – множества 
Выберем отрезок   ;  
Отмечаем на нем корни и выколотые точки. Замечаем, что точки


и 
2
2
отмечаются дважды: с одной стороны, это корни уравнения, а с другой – это
выколотые точки. Значит, при переходе через точки


и  функция не
2
2
меняет знак. После определения знаков функции на интервалах получаем ту
же картину, что и в задаче б) (рис. 24). Сейчас нас интересуют промежутки,
на которых функция неположительна. Окончательный ответ имеет вид:
2
2


 2n  x    2n , 
 2n  x    2n ,   2n  x  2n , n  Z .
3
3
2
2
г) Область определения функции f x   2 cos x  1 sin x  cos x  2 есть


множество R . Наименьший положительный период - 2 . Уравнение f x   0
равносильно совокупности уравнений cos x  
40
1
или sin x  cos x  2 . Корни
2
первого уравнения - 
2
 2n , n  Z . Второе уравнение равносильно
3


уравнению sin  x    1 и имеет корни  2k , k  Z .

4
4
В качестве образца возьмем отрезок   ;   , исключая, например,
точку   ; на числовой прямой. Отметим на нем точки 

_
_
+

2
3

+
+
2
3
4
2

и (рис. 25).
3
4

4
3
x
Рис. 25
Подсчитывая знаки на получившихся промежутках, обнаруживаем, что при

функция f x  не меняет знака. Это объясняется тем,
4


что функция sin  x   в точке имеет максимум и, следовательно, корень
4
4


имеет кратную четность.
4
переходе через точку
Чтобы записать ответ в более компактном виде, отметим на числовой
оси корень первого уравнения, следующий за корнем
2
4
, число
. Тогда
3
3
2
4
x
 2n , n  Z .
3
3
Таким образом, если функция  x  - делитель или множитель функции
ответ можно записать так: 2n 
f x  , и
x 0 является одновременно и корнем, и точкой экстремума
функции  x , то она не меняет знака при переходе через точку x 0 .
2



2

 2n  
Ответ. а)    2n;   2n    2n;  2n     2n;

3
 2


 2n;   2n  ;
 3

2


   2n;
 2n ;
3
2

 2


 2n;   2n  ;
 3

3
3

 2
2

б)     2n;   2n   2n;  2n  
3
2

 

2


в)   2n;   2n      2n; 2n  
2
 3
  2

2


2
4

 2n  , n  Z .
г)   2n;
 3

3
Приведем еще пример на применение метода интервалов.
Задача 56. Решить неравенство
1
1
1
1



.
cos x cos x cos 2 x sin x cos 2 x cos 3x
Решение. Область определения неравенства находим, исходя из
следующих условий:
cos x  0 ;
sin x  0 ;
cos 2x  0 ;
cos 3x  0 , т. е.
x

2
 n ;
x  n ;
x

41
4


2
n;
x

6


3
n,
nZ .
Период функции f x  
1
1
1
1



равен 2 .
cos x cos x cos 2 x sin x cos 2 x cos 3x
В качестве образца выберем отрезок 0; 2  числовой прямой,
исключив, например, 2 . Отметим на этом отрезке выколотые точки,
 3
; 0;
получая их из каждого зачеркнутого равенства последовательно: ;
2
2
 3 5 7   5 7 3 11

3
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. Замечаем, что точки
и
4
4
4
6 2
6
2
6
2
4
6
2
попали в список дважды. Отметим их на числовом отрезке двумя
концентрическими окружностями.
Решим уравнение f x   0 . Для этого умножим обе его части на общий
знаменатель дробей sin x cos x  cos 2x cos 3x . Получим последовательно
уравнения, равносильные данному на его области определения:
sin x  cos xcos 2x cos 3x  cos 3x  cos xsin x  0 ,
sin x cos 3x  cos x cos 3xcos 2x  2 cos 2x cos x sin x  0 .
cos 2 x  0,
1
 sin  2 x   sin 4 x   cos x cos 3 x  sin 2 x  0.
2
Решением уравнения cos 2x  0 является множество

4


2
k, k  Z .
Однако эти числа не входят в область определения неравенства.
Следовательно, они отмечены дважды – выколотые точки и корни. Отметим
их на числовой оси двумя концентрическими окружностями.
Второе уравнение совокупности преобразуем:
1
sin 4 x  sin 2 x   cos x cos 3x   0,
2
sin 3x cos x  cos 3x cos x  0,
cos xsin 3x  cos 3x  0.

Последнее уравнение имеет корни
Точки

2
 l
отмечаем
2
 l , l  Z и
уже
в

12
третий


3
k, k  Z .
раз,
т.
е.
третьими
концентрическими окружностями, они выколоты. Корнями могут быть


k . Из них отрезку 0; 2  без точки 2
12 3

5
3 13 17
7
3
7
;
;
;
;
принадлежат ;
. Точки
и
отмечаются в
4
12
4
4
4
12 12
12
только числа из множества

третий раз.
Окончательная картина распределения корней и выколотых точек на
отрезке 0; 2 , их кратность показана на рисунке 26.
42

_12+ _
0
_
5
12
_
+
 

6
2
4
+
3 5
4 6
13
12_
_
+

+
7 5
6 4
+
17
12 _
_
+
3
2
7 11
4 6
+
2
x
Рис. 26
Отмеченные точки делят интервал 0; 2  на 16 интервалов, на каждом
из которых функция f x  непрерывна и не обращается в ноль, следовательно
имеет постоянный знак.

5
и
выделены четное число раз, а все другие – один или три
4
4

5
раза. Поэтому при переходе через и
функция f x  не меняет знака, а во
4
4

2
 5 
всех других случаях меняет. Так как f      0 , то на интервале  ;

3
3
 4 12 
Точки
функция отрицательна, знаки на других промежутках показаны на рисунке 26.




5

 2n 
Запишем ответ:  2n;  2n    2n;  2n     2n;

12
4
 6
3


 5

   2n;
 2n  
 2n;   2n  

4
2

 6

3
11
17
  7


 2n;
 2n   
 2n;
 2n  , n  Z .
2
6
 12
  4


12
4

7
13

 12  2n; 6  2n  
Подведем итоги. Существуют методы решения неравенств,
аналогичные методам решения уравнений, и метод интервалов. В первом
случае решение неравенства сводится к решению простейшего неравенства,
системы или совокупности простейших неравенств и систем и неравенств. Во
втором случае сначала решается уравнение, а затем определяются знаки
функции
на
промежутках.
Метод
интервалов
для
решения
тригонометрических неравенств аналогичен методу интервалов для решения
рациональных неравенств. Применяя его, важно знать, в каких случаях
функция меняет знак или не меняет знак при переходе через то или иное
значение аргумента. При любом способе решение находится сначала на
одном отрезке, длина которого равна длине периода T функции f x  в
неравенстве f x  0  0,  0,  0 , а затем оно распространяется на все
периоды прибавлением к граничным значениям промежутков числа Tn , n  Z .
Решение на одном периоде осуществляется всегда, но в записях этот этап
может быть опущен.
Метод интервалов можно считать основным методом решения
тригонометрических неравенств, т. к. он применим практически для любого
неравенства. В частности, из каждого уравнения (см., например, №№ 118 –
230 в упражнениях) можно получить неравенство, заменив знак равенства на
знак неравенства, строгого или нестрогого, и решить его методом интервалов.
43
3.7. Решение систем тригонометрических уравнений
При решении систем любых уравнений, в том числе и тех, среди
которых есть тригонометрические, используются теоремы о равносильности
систем. Сформулируем их для систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Их легко обобщить на системы n уравнений с n неизвестными, где n  3 .
Т. 1. Любое уравнение системы можно заменить на равносильное ему.
Т. 2. Любое уравнение системы можно заменить на алгебраическую
сумму его с другим уравнением.
Т. 3. Любое неизвестное можно выразить из одного уравнения и
подставить
полученное
выражение
вместо
соответствующего
неизвестного в другое уравнение.
Т. 4. К системе уравнений можно присоединить уравнение-следствие
данных уравнений.
 f x, y   0,
равносильна совокупности
 g  x, y   h  x, y   0
 f x, y   0,
 f x, y   0,
систем 
или 
 g x, y   0
hx, y   0.
Т. 5. Система уравнений 
Основные методы и приемы решения систем, содержащих
тригонометрические уравнения, те же, что и для алгебраических систем. Вопервых, это метод исключения неизвестных. Он реализуется двумя путями:
1) из одного уравнения выражают неизвестное или его функцию и
подставляют в остальные (метод подстановки); 2) преобразуют данные
уравнения и составляют их комбинации (сумму, разность, произведение,
частное), чтобы уменьшить число неизвестных. Во-вторых, это метод замены
переменных, позволяющий тригонометрическую систему свести к
алгебраической.
Особенности в приемах и в записи ответов при решении
тригонометрических систем рассмотрим на примерах, выделяя жирным
курсивом текст, отражающий применяемый прием.
tg x  tg y  1,
Задача 57. Решить систему уравнений 
2 cos x cos y  2 .
Решение. В условиях данной задачи имеем cos x  0, cos y  0 . Применяя
формулы тригонометрии и теоремы о равносильности, получим
следующую цепочку равносильных систем:


 x  y  4  2n,



x  y   2n,


1

cos x cos y  1 ,
4


 sin x  y 
sin
x

y

,




2
3
2

 cos x cos y  1,
 2n,  
 
  x  y 


4
3

cos x cos y  1

2 cos x cos y  2
x

y

 2n,





1
2
4

cos x cos y 
2

cos x cos y  1 .

2
44
Решим отдельно первую и вторую системы совокупности. Систему, в
которой одно уравнение алгебраическое, а другое тригонометрическое,
можно решать двумя способами.
Первый способ. Из алгебраического уравнения выразить одно
неизвестное через другое, подставить в тригонометрическое и решить
его относительно одного неизвестного.
Второй способ. Из тригонометрического уравнения найти еще одну
алгебраическую зависимость между неизвестными и затем решить
систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
Используем, например, первый способ.
3

 y  x  4  2n,
2) 
cos x cos x  3   1 .

4 
2



 y  x  4  2n,
1) 
cos x cos x     1

4
2

Во вторых уравнениях преобразуем произведение косинусов в сумму.
Получим:


 cos 2 x    2,
4
4

 1

cos 2 x   
,
4
2

cos

2x 

4


4
cos
3
3 

 cos 2 x 
  2,
4
4 

3

cos 2 x 
4

 2k .
2

 1.
 2
2

Уравнение, а значит и система, не


 x  4  k ,

 y   k  2n , k  Z , n  Z .

 x  k ,


 y     k  2n , k  Z , n  Z .
4

имеет решения.


Ответ.   k ;  k  2n ,  k ;    k  2n , k  Z , n  Z .
4
 

4
Приемы, которые использовались или могли использоваться, в
процессе решения системы, выделены в тексте жирным курсивом.
Подчеркнем еще одну очень важную деталь: в ответе участвуют два
параметра, «пробегающие» независимо друг от друга множество целых
чисел. Очевидно, что использование только одного параметра приводит к
потере решений. В самом деле, или, например, вместо k взять параметр n , то

первое множество решений примет вид   n;  n  . Здесь каждому
4

значению x соответствует единственное значение y . Так, в первом случае
45

есть только пара  ; 0  , а при разных параметрах – множество пар с первым
4
элементом

 
:  ;  2n , n  Z .
4 4

Преобразования систем тригонометрических уравнений либо
заключается в прямом использовании формул тригонометрии (как было в
задаче 57), либо направлены на получение выражений, к которым можно
применить формулы тригонометрии.

3
Задача 58. Решить систему уравнений cos x cos y  4 ,
tg x tg y  1.

Решение. Выражая тангенсы через синусы и косинусы и учитывая

3
,
cos x cos y 

4
первое уравнение, получим систему 
равносильную данной.
sin x sin y  3 ,

4
Заменим уравнения их суммой и разностью, чтобы использовать
формулы косинуса разности и косинуса суммы аргументов. Получим


 3
систему cos x  y  2 ,
cos x  y   0.

Решая ее, приходим к совокупности двух тривиальных
алгебраических уравнений, равносильной данной системе:
систем




 x  y   6  2n, n  Z ,
 x  y  6  2n, n  Z ,
или 


 x  y   k , k  Z
 x  y    k , k  Z .


2
2
 
 
 
 
Ответ.   2n  k ;  k  2n ,   2n  k ;  k  2n ,
3 2
6 2
6 2
 3 2

n  Z , k  Z.
1
 sin y
Задача 59. Решить систему уравнений sin x 
sin x
1
cos x 
 cos y .
cos x
и
Решение. Возведем обе части каждого уравнения в квадрат и
сложим их, чтобы использовать основное тригонометрическое
тождество. В результате получим уравнение
данных уравнений. Оно имеет корни x 
46

4


2
1
 4 - следствие
sin x cos 2 x
2
n, n  Z . Присоединим его к
системе. Таким образом, исходная система равносильна системе из трех
1

sin x  sin x  sin y,

1
уравнений: cos x 
 cos y,
cos x

 

 x  4  2 n, n  Z .

Последняя, в свою очередь, равносильна совокупности четырех систем, т.к.
для третьего уравнения целесообразно рассмотреть случаи x 
x

4
 2k , x 
3
3
 2k и x  
 2k , n  Z .
4
4

4
 2k ,
Получим системы:


 x   2k ,
4

1

1) sin y   ,
2


1
,
cos y  
2



 x    2k ,
4

1

,
2) sin y 
2


1
,
cos y  
2


3
 2k ,
x 
4

1

3) sin y   ,
2


1
,
cos y 
2


3
 2k ,
x  
4

1

,
4) sin y 
2


1
.
cos y 
2

Решением систем являются соответственно следующие множества пар:
5


 2m 
,
  2k ;
4
4


 3

 2k ;  2m , k  Z ,

4
 4

3
 

 2m 
   2k ;
4
 4

,

 3

 2k ;   2m 

4
 4

,
mZ .
Можно
заметить, что в каждой паре выполняется равенство
y  x    2 m  k  , т.е. y  x    2l , l  Z . Тогда ответ можно записать короче.

4

5
n 

   2l   , n  Z , l  Z .
2
4
2 

4 sin 3x  2 y   sin x  0,
Задача 60. Решить систему 
4 sin 2 x  3 y   sin y  0.
Ответ.   n;
Решение. У слагаемых, стоящих на диагоналях, одна и та же сумма
аргументов 3x  3 y  и есть коэффициент 4 . Поэтому запишем систему иначе:
4 sin 3x  2 y    sin x,

sin y  4 sin 2 x  3 y .
Перемножим соответственно левые и правые части уравнений, чтобы
использовать формулы преобразования произведений в суммы для
получения равных слагаемых:
sin 3x  2 y sin y  sin 2x  3 y sin x,
cos3x  y   cos3x  3 y   cosx  3 y   cos3x  3 y ,
cos3x  y   cosx  3 y   0,
sin 2x  2 y sin x  y   0.
47
Полученное уравнение – следствие уравнений исходной системы. Оно
2 x  2 y  n, n  Z
равносильно совокупности алгебраических уравнений 
 x  y  k , k  Z .
Если 2 x  2 y  n, n  Z , то из второго уравнения системы имеем:
4 sin  y  k   sin y  0   4 sin y  0  sin y  0.
Если x  y  k , k  Z , т.е. x  y  k , то из второго же уравнения получим:
3
или cos 2 y  
4 sin 5 y  sin y  0  sin y16 cos 2 2 y  8 cos 2 y  3  0  sin y  0
4
1
или cos 2 y  .
4
Таким образом, второе уравнение системы равносильно совокупности
трех уравнений.
Далее заметим, что если во втором уравнении системы x заменим на y ,
а y на x , то получим первое уравнение. Значит, оно равносильно
совокупности уравнений соответственно sin x  0 , cos 2 x  
3
1
, cos 2 x  .
4
4
Следовательно, заданная система уравнений равносильна совокупности трех
систем:
sin x  0,

sin y  0,
1

cos 2 x  4 ,

cos 2 y  1 .

4
3

cos 2 x   4 ,

cos 2 y   3 ,

4
Решениями их являются соответственно следующие множества пар: n; k  ,
3 
1
3 
 1

  arccos   n;  arccos   k  ,
4 2
2
4 2
 2

Заметим, что, например, 
во втором множестве число

2
1
1
1
 1

  arccos  n;  arccos  k  .
4
2
4
 2

 l 

2
   l 

2
  l  1 

2
 k . Поэтому

достаточно взять либо со знаком плюс, либо
2
со знаком минус.
Ответ.
n; k 
,
3 
1
3 
 1

  arccos   n;  arccos   k 
4 2
2
4 2
 2

1
1
1
 1

  arccos  n;  arccos  k , n  Z , k  Z . .
4
2
4
 2


sin x  sin 2 y 
Задача 61. Решить систему 
cos x  cos 2 y 

,
3
,
2
1
.
2
Решение. В левых частях уравнений преобразуем суммы функций в
произведения. Получим систему, равносильную данной:
48

x  2y
x  2y
cos

2 sin
2
2

2 cos x  2 y cos x  2 y 

2
2
3
,
2
1
.
2
Очевидно, что ни один из множителей в этих уравнениях не может
быть равен нулю. Поэтому разделим первое уравнение на второе и
рассмотрим систему, состоящую из полученного от деления уравнения и,
 x  2y
tg 2  3 ,
например, первого уравнения системы: 
Она равносильна
sin x  sin 2 y  3 .

2
исходной системе. Способ ее решения легко просматривается.
2

Ответ.   2k ; l  ,  2k ;   l , k  Z , l  Z .
 3
 

3
Как и при решении других систем, при решении систем
тригонометрических уравнений используется метод замены переменных.
Рассмотрим примеры.
1

sin x  y sin x  y    4 ,
Задача 62. Решить систему 
cos 2 x cos 2 y  1 .

2
Решение. Преобразуем произведение функций в первом уравнении в
сумму, а второе уравнение умножим на  1 . Получим систему
1

cos 2 y  cos 2 x   2 ,
Сделаем замену:  cos 2 x  u, cos 2 y  v . Система примет

cos 2 y   cos 2 x    1 .

2
1

u  v   2 ,
1
1
вид 
Тогда u и v - корни квадратного уравнения t 2  t   0 .
2
2
uv   1 .

2
1
Они равны  1 и . Исходная система равносильна совокупности двух систем:
2
1

cos 2 x  1,

cos 2 x   ,
2

1 или 
cos 2 y  1.
cos 2 y  2






Ответ.  n;  k  ,  n;   k  ,   n;  k  ,    n;  k  ,
6
2
6
2
 3


 
  3
n  Z , k  Z.
cos x  sin x  1  cos y  sin y,
Задача 63. Решить систему 
3
3 sin 2 x  2 sin 2 y  4 .
Решение. Сделаем замену: cos x  sin x  u, cos y  sin y  v . Тогда
49
u  v  1,

sin 2 x  1  u , sin 2 y  1  v . Система примет вид  2
1
2
2v  3u   4 .
2
2
Применяя метод подстановки, получим совокупность двух систем:
1

u ,

u  4,5,

2
или
Возвращаясь к переменным x и y , имеем


v  5,5
v   1 .

2
1

cos
x

sin
x

,
cos x  sin x  4,5,

2
совокупность 
или 
cos y  sin y  5,5
cos y  sin y   1 .

2

Так как cos x  sin x  2 cos x    2 , то первая система решений не

4
 

2
,
cos x   
4
4
 
имеет. Вторая система равносильна системе 
решением
cos y      2 ,

 
4
4
которой служат четыре множества пар.
Ответ.
 

2

2
   arccos
 2n;   arccos
  2k  1
 4
4
4
4


,
n  Z, k  Z
(знаки одинаковые или разные).
Приведем примеры решения систем трех уравнений с тремя
переменными.
sin x  sin z  2 cos y,

Задача 64. Решить систему cos x  cos z  2 sin y,
cos 2 y  cos 2 z  sin 2 x.

Решение. Рассмотрим сначала систему первых двух уравнений.
Возведем их в квадрат и сложим. Получим уравнение cosz  x  0 - следствие
данных уравнений. Из него следует z  x 

2
 n , n  Z , или z  x 

2
 n , n  Z .
Присоединим это уравнение к первым двум и выразим y через x .
Результат будет зависеть от четности или нечетности n .
Если
1) n  2k
2) n  2k  1,
то последовательно получим:


 z  x  2  2k ,

sin x  cos x  2 cos y,

cos x  sin x  2 sin y;



 z  x  2  2k ,

sin x  cos x  2 cos y,

cos x  sin x  2 sin y;

50


 z  x   2k ,
2

 

cos x    cos y,
4
 
 

sin   x   sin y;

 4





 z  x  2  2k ,




 y   x    2l ,
4




 y   x  2m,
4


3
 y  x  4  2m;



 z  x  2  2k , k  Z ,

 y   x    2m, m  Z .

4


 z  x   2k ,
2




 cos x    cos y,
4


 

sin  x    sin y;
4
 





 z  x  2  2k ,


 3

 x   2l ,
 y  
 4




 y  x   2m,
4


3
 y   x  4  2m;



 z  x  2  2k , k  Z ,

 y   x  3  2m, m  Z .

4
Теперь подставим выражения для y и z через x в третье уравнение
исходной системы. Решим полученное уравнение относительно x и затем
найдем y и z :
cos 2 x  0,
1
tg 2 x   ,
2

 
x


t
,
t

Z
,


1
1 
4 2

 x   arctg  t , t  Z ,
2
2 2

t


 y    2m  , m  Z ,

3 1
1
t

2


 arctg    2m  , t  Z ,
y 
4 2
2
2



t


 z     2k  , k  Z .

 1
1
t

4
2


 z    arctg    2k  , k  Z .
2 2
2
2


 
t 
t 
Ответ.   t ,   2m  ,    2k    ,
2 4
2 


4 2
 1
1  3 1
1
t
 1
1
t 


  arctg  t ,
 arctg    2m  ,   arctg    2k   ,
2 2
4 2
2
2
2 2
2
2 


 2
t  Z , m  Z , k  Z.
tg x  tg y  tg z  6,

Задача 65. Решить систему tg x tg y  2,
x  y  z   .

Решение. Из третьего уравнения следует, что z    x  y  , т.е.
tg z   tg x  y  . Так как tg x tg y  1 , то из формулы тангенса суммы углов x и
51
y получим равенство
tg x  tg y   tg z 1  tg x tg y  , или
tg x  tg y  tg z 
tg z  3,

 tg x tg y tg z  6 . Учитывая, что tg x tg y  2 , приходим к системе tg x  tg y  3,
tg x tg y  2,

равносильной исходной системе и равносильной совокупности двух систем:
 tg x  1,

 tg y  2,
 tg z  3

или
tg x  2,

tg y  1,
tg z  3.


3

 arctg 2   n  k ,
Ответ.   n, arctg 2  k ,
4

4

3


 k ;
 arctg 2   n  k , n  Z , k  Z .
 arctg 2  n,
4
4


3
Замечание. Нетрудно подсчитать, что tg   arctg 2   n  k   3 .
 4

Подведем итоги. Приведенные примеры иллюстрируют разные
методы и приемы решения систем, содержащих тригонометрические
уравнения. Те же методы и приемы применяются при решении
алгебраических систем. При этом используются приведенные в начале
пункта теоремы о равносильности систем.
Для тригонометрических систем можно выделить две существенные
особенности. Во-первых, в тригонометрической системе решение – результат
всегда содержит параметры, причем для каждого неизвестного параметр свой,
он либо ни от чего не зависит, либо является функцией других параметров.
Во-вторых, преобразования и комбинирования уравнений чаще всего
направлены на получение в частях нового уравнения выражений, для
которых можно применить те или иные формулы тригонометрии (основное
тригонометрическое
тождество,
формулы
сложения,
формулы
преобразования произведений в суммы и другие).
52
Упражнения
Решите уравнение (241 – 245):
241. 8x1  2 x 2 8x 4  8x 2  1  1.
242. 4 2 x x 2  12 x 4  4 x 2  1  1.
243. 1  x 2  4x 3  3x.
244.
245.
1 x
2
 2 x 2  1.
1  2x 1  x 2
 2 x 2  1.
2
Решите систему уравнений (246 – 249):
2 x  x 2 y  y ,

247. 2 y  yz  z ,
2 z  z 2 x  x.

 x  y  1,
246. 
2
2
2


4 xy 2 y  1  1.
 xy  yz  zx  1,
248. 1  x 2
2y
1 z2
1  x 2  1  y 2  1  z 2 .

249. Среди всех решений x; y; z; t  системы
 x 2  y 2  4,
 2 2
 z  t  9,
 xt  yz  6

найдите такие, при которых выражение x  z принимает наибольшее
значение.
Решите неравенство (250 – 290):
3
4
250. cos 2x  sin 2x  1,5.
251. cos 2 x  sin x  2.
252. cos 2 x  cos
3x
 2.
4
254. 2 sin x  tg x  2 cos x  1  0.
253. sin 2x  sin 4x  0.
256. 2 sin x  3tg x  2 3 cos x  3  0.
255. 2 cos x  ctg x  2 sin x  1  0.
257. tg x  3 cos x  3  cos 2 xtg x.
258.
260.
262.
264.
266.
268.
270.
272.
tg x
 2.
1  tg x
259. sin x  cos x 
cos 2 x  cos 2 4 x  0.
2 sin 2 2 x  2 cos 2 x  3.
2 sin 2 x  cos x  2  0.
sin x  sin 2x  sin 3x  0.
2 sin 2 x  5 cos x  4  0.
3tg 2 x  4tg x  3  0.
261. sin 2 x  cos 2 2 x  0.
263. 2 cos 2 x  sin x  2  0.
265. sin 2x sin 3x  cos 2x cos 3x  sin 10x.
267. 2 cos 2 x  sin x  1  0.
269. 2  cos 2x  3cos x.
271. tg x  2ctg x  3.
273. sin 2x  5cos x  sin x  1  0.
sin 2x  4sin x  cos x  1  0.
15
 11  2 sin x.
274.
sin x  1
1
.
sin x
275. 2 sin x  cos x   tg x  ctg x.
53
1
1
 sin 2 x 
.
277. sin 2 x  3 sin 2 x  cos 2 x  0.
2
sin x
sin x
2
278. 2 sin x  3 sin x cos x  3 cos 2 x  1.
279. 4 cos 3 x  sin 2 x sin x  4 sin 3 x  5 sin 2 x cos x  0.
16
280. sin 2x  1  2 cos x  cos 2x.
281. tg 2 x  sin 2 x  ctg x.
15
2
1 
cos 2 x
282. cos x  sin x  2tg x 
283.
 3tg x.
  2  0.
cos x 
cos 2 x

276. sin x 
284. cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x  2.
285. 2 cos x  3ctg x  2 3 sin x  3  0.


286. ctg x  ctg  x    2ctg  x    0.

2

287.
3
tg x  sin x  1  tg x sin x.
3
1

.
cos x sin x
1
1
1
1



.
289.
sin x cos 2 x sin 3x cos x sin x cos 2 x


1  ctg  3 x  

8

.
290. tg  5 x   

8


1  ctg  3 x  
8

288. 8 sin x 
Решите систему уравнений (291 – 315):


x  y  ,
6
291. 
2 3 cos y  4 cos x  1.



x  y  ,
292. 
4
sin 2 x  sin 2 y  1.

 
  
 1
sin  x  18  sin  y  9   2 ,
 

293.  
x  y   .

18
 x  y  60  ,
295. 
1
tg x tg y  .
3

1

sin x  cos y   ,
297. 
2
tg x ctg y  1.


x  y  ,
294. 
6
5sin 2 x  sin 2 y   2 1  cos 2  x  y  .


cos x  y   2 cos x  y ,
296. 
3
cos x cos y  4 .
cos x cos y  0,25,
298.  x  y
x y
cos 2 cos 2  0,5.
sin 2 y  2 sin x cos y  1,
300.  2
cos y  2 cos x sin y  0.
tg x  tg y  1  tg x tg y,
299. 
sin 2 y  2 sin x  1.
 2 cos x  1  cos y,
301. 

 2 sin x  sin y.
sin  y  3 x   2 sin 3 x,
302. 
cos y  3 x   2 cos 3 x.
 sin 2 x
  cos y,

cos x
304.  2
 cos x   sin y.
 sin x
4 sin x  2 sin y  3,
2cos x - cos y  0.
303. 
54


1 3
,
sin x  sin y 

2
305. 
cos x  cos y  1  3 .

2
1

2 sin x  cos y  2,
307. 
 sin x  0,5.
 cos y
sin 4 x  2 y   2 sin 3x  y   0,
306. 

 2 sin 2 x  y   sin 3x  2 y   0.
cos x  cos y  1,
308.  x
y
2 2
.
cos  cos 
2
2
2

y
2
 x
,
tg 2  tg 2 
3
309. 
tg x  tg y  2 3.

310. 
sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  1,

311. cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  1,
tg 2 x  tg 2 y  tg 2 z  1.

cos x : cos y : cos z  3 : 4 : 5,
312. 

 x  y  z  2 .
sin x cosx  y   sin x  y   3 cosx  y ,
4 sin x  5 ctg x  y .
 tg x
 tg y  2,

 tg y
 3,
314. 
 tg z
x  y  z   .


tg x tg z  2,

313. tg y tg z  18,
x  y  z   .

sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  2,

315. sin x  sin y  sin z  1,
x  y  z   .

Ответы
4
2
5
3

1
, cos , cos , cos , cos ,  .
9
9
7
7
7
2

2
1
242.  cos ;  cos
;  . Указание. Докажите, что
9
7
2

подстановку x  2 cos t , t  0;  .
 2
241. cos

2 2
.
244.  cos .
5
2
 2 2
 2 2
2  2 
2 2
246. 
, 
;
; 



2
2
2
2





 2  2 ; 2  2  .


2
2


243. 
2
2 2
,
,
2
2
55
245. 

 ,


x  2 , введите
2
,
2
6 2
.
4


 2  2 ;  2  2  ,


2
2


tg  ;
247.
tg 2 ; tg 4  ,


подстановку x  tg  ,     ;
 4
249. 
 13
;
6
13
;
9
13
;
 2
6 
 .
13 

7
n  0;  1;  2;  3.
n ,
Указание.
Введите
248. 2  3; 3; 2  3  .

.
2
В следующих далее ответах на неравенства для сокращения записей
указывается период и решение на одном периоде, знак объединения
промежутков, если их не один, не ставится.
 5 
250. T   ;  ;
.
 24 24 
251. Нет решений.
252. 8n , n  Z .
2


2
253. T  2 ;  ;   ; 0;  ;  ;
2  2  3
 3


.
3
2
 
 2 
254. T  2 ;  ;   ;   ;  ;  ;
.
3   2 4   2 3 
 4

 3
5
255. T  2 ;  ; 0  ;  ;  ;  ;   .
 4
 6 4   6

5
2
 
 5 
256. T  2 ;  ;   ;   ;  ;  ;
.
3   2 3   2 6 
 6
2 
  
258. T   ; arctg ;  .
 ; .
3 4
3 2

   
  5 3 
T  2 ;  0;  ;  ;   ;  ;
.
4 2
2 

  4
     2 3   2 4 
;
;
T  ;
 ; ; 
; 
.
5   3
5 
5 3  5


 
  5 
262. T   ;   ;   ;  ;  .
T  ;
 ;
.
6 6 4
 4
6 6 

 
 3 
 5
;   ; 0;   .
264. T  2 ;   ;  ;  ;
T  2 ;  
.
6
 6
 3 3 2 2 
2


 7 
T
;   ;   ;  ;
.
5
 10 30   10 30 
2   

   2 
T  2 ;    ; 
 ;   ; 0 ;  ;
.
3   2

 2 3 
2 4 
      7 
268. T  2 ;  ;
T  2 ;   ;  ;  ;
.
.
3 
 6 2 2 6 
 3
257. T   ;
259.
260.
261.
263.
265.
266.
267.


269. T  2 ;   ; 0  ;  0;  .
270. T   ;
271. T   ;
272. T  2 ;
273. T  2 ;
3
 3
 

  
 0;  ;  arctg 2;  .
2
4 



; .
2

274. T  2 ;
56
      
 ; ;  ; .
 2 6 3 2
 

 2 ;   .
  5 
 ;
.
6 6 
275. T  2 ;
       

   ;   ;  0;  ;  ;  .
2 
4 4 2

276. x  R, x  n, x 
277.

6

2
 2n, n  Z .
 n, n  Z .


 ;  - arctg 4  .
4

1
 arctg 2;   arctg  .
2
278.
3
1 
279. T  2 ;  ;  arctg 2 ; arctg ;  ; 
2 4 
 4
 
T  ;
 5    13 
280. T  2 ;  ;
; ;
.
 2 12   2 12 
1 
1   
 
  ;  arctg  ;  0; arctg   ;  .
2 
2  4 2 
 4
5 
 13 
      3 
283. T   ;  ;  ;  ;
.
T  2 ;  ;  ;  ;
.
 3 3  2 2 
 12 2   2 12 
  3
        3 
;   ;  ;
; ;
.
T   ;  ; 
2  10
4   10 10   4 10 
    2 5   11 
;  ;
.
T  2 ;  0;  ;  ;
6 
3  3
6  

 2    5   2 8 
;
T   ;  0;
;  ;
; 
.
9  2 9   3
9 

    
 3
;   ;  ; .
T  2 ;  
2 4 2
 4
    5    11
  7 17   3 23 
;
;  ; 
T  2 ;  0;  ;  ;  ; 
;  ;
.
12   2
12 
 6   12 2   12
  6
        7 2  11
  3 4   3 19 
;  ;  ;
;
T  2 ;
 0;  ;  ;  ;  ;
; 
;  ;
4   3 2   12 3   12
3   2
12 

  4
 5 7   7 23 
;
.
 ;
; 
12 
4   4
 3
         13   3 11    21   5 17 
T  ;
0; 24  ;  24 ; 8  ;  4 ; 40  ;  8 ; 24  ;  2 ; 40  ;  8 ; 24  ;
 17 29   3 19   7 37 
;
;
;
.

;
;
40 
40   4
24   8
 24
281. T   ;
282.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
В ответах у систем для краткости не указывается, что параметры
n, k , l и другие принадлежат множеству целых чисел.


5
291.   2n;   2n  ,    2n;   2n  .
6
6

3
 
3 
 
7 
5  
 n .
292.   n;   n  .
293.   n;
36 2 
2
8 2 
 36 2
 8




294.   n;   n  ,    n;  n  .
12
4
4
  12

295. 30   180  n; 30   180  n.
57




296.    k  n ;   k  n  ,     k  n ;    k  n  .
6
6
6
  6

1 1
1 1
297.    n  k ;  n  k  .
4 2
 4 2







298.   2n;  2k  ,    2n;  2k  ,   2n;   2k  ,
3
3
3
3
  3
 3


 

   2n;   2k  .
3
 3



299.  n;   k  n  ,    2m  1;  k  2m  1 .
4

 4



1
1
300.    2k  1;  l  ,   arctg   2k  l ;  arctg  l  ,
2
2
2

2
 

1
1
 
 

    2k  l ;  l  ,  arctg   2k  l  1; arctg  l  .
2
2
2
 2
 





301.   2n;  2k  ,    2n;   2k  .
2
2
4
  4

 
302.   n;   2k  .
4 2

7
1
7
1
303.  arcsin  2n; arcsin  2m  ,   arcsin   2n  1;  arcsin   2m  1 .
8
4
8
4

 

 

3
1
304.   n;     n  2k   .
4
2

4 2


1 3

1 3
 2k ;  arccos
 2l  ,
305.   arccos
306.
307.
308.
309.
4
2 2
2 2
4



1 3

1 3
  arccos
.

2

k
;

arccos

2

l
4

4
2
2
2
2


n; k  ,  2m; 3  2k  ,  2m;  3  2k  ,   2m  1;   2k  ,
4
4
4
 


 



  2m  1;   2k  .
4




  5
 2n; 2k  .
  2n; 2k  , 

6
  6


  
 

  4n; 2 1  2k  ,    4n; 2 1  2k  ,  2 1  2n ;  4k  ,
2
2
  2
 




 2 1  2n ;   4k  .
2




1  10
1  10
 2 arctg
 2n; 2 arctg
 2k  ,

3
3



 
1  10
1  10


 2 arctg
 2n; 2 arctg
 2k  ,   2n;  2k  .

3
3
3


 3
58

2 
5
2 5
310.   2n; arcctg    k  2n  ,   2n; arcctg    k  2n  .
5 6
5 6
6
  6




 
311.    n;   m;  k  -четыре множества решений (знаки у
6
6
4 2 
 6
одинаковые и разные).
4
3
312.   1n arcsin  n;  1k arcsin  k ; m  .
5
5


1
313.  arctg  k ; arctg 4,5  n; arctg 4  m  ,
2


1


  arctg  k ;  arctg 4,5  n;  arctg 4  m  .
2




5
 m  ,
314.  arctg 2 5  k ; arctg 5  n; arctg
3




5
  arctg 2 5  k ;  arctg 5  n;  arctg
 m  .

3



 
5 
5 
  
  
 k  4n  ,    2n;
 k  4n ;  k  ,
315.    2n;  k ;
4 2
4 2
4 2
4 2 
 2
  2

5 
5 

 
  

 k  4n  ,   k ;
 k  4n ;   2n  ,
  k ;   2n;
2
4 2
4 2
2
4 2
 4 2

 


  
 5 
  5 
 k  4n ;  k ;   2n  , 
 k  4n ;   2n;  k  .

4 2
2
2
4 2 
 4 2
  4 2
59
Список литературы
1. Заборонков Н.А. Задачник-практикум по тригонометрии. – Горький,
1975.
2. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа /Б.М.
Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд. – М., 1990.
3. Мерзляк
А.Г.,
Полонский
В.Б.,
Рабинович
Е.М.,
Якир
М.С.
Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М., 1998.
4. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. – М., 1956.
5. Справочное пособие по методам решения задач по математике для
средней школы /А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. – М., 1983.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике:
Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М., 1991.
60
Содержание
Введение…………………………………………………………………………...3
Примерный тематический план изучения темы ……………………………..…4
Требования к знаниям и умениям студентов……………………………………4
Содержание темы…………………………………………………………...…… 5
3.4. Потеря и приобретение корней при решении тригонометрических
уравнений ………………………………………………………………..5
3.5. Тригонометрические подстановки…………………………………….14
3.6. Методы решения тригонометрических неравенств………………….24
3.7. Решение систем тригонометрических уравнений……………………43
Упражнения…………………………………………………………………….. 52
Ответы…………………..…………………………………………………… ….54
Список литературы………………………………………………………………59
61