    

21
Лекция 10 (19 ноября 2002 года).
Замечание. Пусть
X ,1 и X , 2 - пространства с разными топологиями 1 и  2 .
Определение1.
1   2 , если всякое открытое множество G в  2
Определение2.
1   2 , если из x  G2  2  G1 1
т.ч.
открыто в
 1.
x  G1  G2 .
Утверждение. Определения эквивалентны.
Доказательство. 2)  1) Пусть
G2   2  G2 
 G x 
1
G1 x  - открытые в  1 , но объединение
xG2
G1  x G2
открытых в
1
- открытое в
 1  G2
- открытое в
1 .
Пусть Х, У – топологические пространства.
 : X  Y называется непрерывным в точке x  X , если для любой
y   x  окрестность U x в Х, т.ч.  U x   Vy .   непрерывна на Х, если она
Определение. Отображение
окрестности V y в Y,
непрерывна
x  X .
Теорема.
 : X Y
непрерывно на Х
 прообраз    1 G  открыт для любого открытого
G  Y.
Доказательство.
 Пусть   непрерывна, G – открыто.    1 G  Пусть
окрестность точки у, т.ч. V y  G. Тогда т.к.
x  , y   x . Пусть V y
  непрерывна в точке х, то U x  окрестность точки х, т.ч.
 U x   Vy  G   1  U x   U x   1 Vy    1 G   
открыто. 
 Пусть x  X , y   x ,Vy  окрестность точки у, тогда положим U x   1 Vy   это множество открыто,
причём  U x   V y можно записать:  U x   V y . Это и есть условие непрерывности. 
Упражнение.
 : X Y
непрерывно
 прообраз    1 G  любого замкнутого множества
G  Y является замкнутым.
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Основных аксиом 4:
T1 , T2 , T3 , T4  четыре типа топологических пространств в зависимомти от того, какую
аксиому мы там приняли. Например:
T1  пространства: x, y  X , x  yOx  окрестность точки х, т.ч. y  Ox.
T2  пространства (или хаусдорфовы): x, y  X , x  yOx, Oy  окрестности точек х и у соответственно,
т.ч. эти окрестности не пересекаются, т.е. Ox  Oy  .
T4  пространства (или нормальные): для любых замкнутых M1 , M 2  X : M1  M 2  ,  открытые
G1  M1 , G2  M 2 , т.ч. G1  G2  .
Если говорится про топологическое пространство, но не оговариваются условия, то обычно полагается, что оно
хаусдорфово.
КОМПАКТНОСТЬ
Определение. Х – ,топологическое пространство, называется компактным, если из любого его
покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
22
Определение. Система
A  называется центрированной, если любое конечное покрытие элементов
n
этой системы:
 A  .
i
i 1
Теорема. Х – компактное пространство
множеств имеет непустое пересечение, т.е.
Доказательство.
 любая центрированная система A  замкнутых
 A  .
 Пусть A  центрированная,
определению они открыты. Предположим, что
A  A замкнутое. Рассмотрим: G  X \ A . Тогда по
 A  . По теореме двойственности  G  X , но Х –
n
компактное пространство
 можем выбирать Gj , т.ч.  Gj  X , 
j 1
n
 A
j
 . Противоречие, т.к. A 
j 1
центрированная система. 
 Пусть G 
открытое покрытие Х, т.е.
 G  X , тогда A  X \ G  замкнутое. Пусть нельзя из
n
n
j 1
j 1
G  выбрать конечное подпокрытие, т.е.  Gj  X   Aj  , т.е. A  центрированная система (по
определению).
  A  . Противоречие с тем, что
 G  X .

Определение. Х – предельная точка, если любая проколотая окрестность точки Х содержит хотя бы
одну точку. А точка прикосновения может совпадать с Х, т.е. класс предельных точек несколько уже.
Теорема. Пусть Х – компактное пространство. Тогда каждое его бесконечное множество имеет
предельную точку.
Доказательство. Пусть
  A  .M  X , M содержит бесконечное число элементов: x1 , x2 ,..., xn ,...  M .
M n xn , xn1 ,... . Если М не содержит предельные точки, то М1 тоже не содержит предельные точки,
не принадлежащие самому пространству Х (а не М1!!!). Тогда М1 не содержит предельной точки  все Мn
замкнуты (из определения) во всём Х; Мn – центрированные, M  множество точек прикосновения М  M 
множество предельных точек.  M n    противоречие, т.е. Х – не компактное пространство. 
Обозначим:
Теорема. Х – компактное пространство.
Доказательство. Пусть
M  X . Если М – замкнута, то М – компакт.
F  центрированная система замкнутых в М множеств. Тогда F  центрированная
система замкнутых множеств в Х
 F   в Х  М – компактно. 
 пересечение Fn 
Определение. Компактное хаусдорфово пространство называется компактом.
Теорема. Пусть К – компакт в хаусдорфовом пространстве Х. Тогда К – замкнут в Х.
Доказательство. Пусть К – компакт, x  K , y  K . Докажем, что Х\К – открыто, т.е.
точек х и у, т.ч. Ox  Oy  . Теперь у –fix, а х пробегает весь компакт К. Тогда
 окрестности Ox, Oy
K   Ox - открытое
xK
покрытие компакта. Выделим конечное подпокрытие: K 
n
O
i 1
–fix, а х пробегает К) т.к. O y  xi   K  , то y  V y 
xi
, но тогда (т.к. O y  x   Oy зависит от х , т.к. у
n
 O x ,V
y
i 1
i
y
 K    X \ K  открыто. 
23
Теорема. Пусть Х – компактное пространство.
пространство в У.
 : X  Y , 
Доказательство. Область компактного пространства есть компакт. Пусть
возьмём
непрерывна. Тогда
 x  
V  -открытое покрытие  x . Тогда
 V  открытое покрытие Х: т.е. X   V . Выделим конечное подпокрытие:
1
1

 1 Vi   Vi 
конечное подпокрытие
 x  . 


компактное