Показательные уравнения с параметрами

Показательные уравнения с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям. Это связано с тем, что они
требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит
творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов
необходимо.
Материал статьи рассчитан на учащихся 11 классов. В статье нет очень сложных задач,
она предназначена для начального знакомства с предметом.
1. Решение уравнений
Рассмотрим некоторые эквивалентности, используемые при решении показательных
уравнений.
1. Уравнение 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒈(𝒙) при 𝒉(𝒙) > 0 равносильно совокупности двух
систем
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
𝒉(𝒙) = 𝟏
{
и{
.
𝒙 ∈ 𝑫(𝒇) ∩ 𝑫(𝒈)
𝒉(𝒙) > 𝟎, 𝒉(𝒙) ≠ 𝟏
2. В частном случае (ℎ(𝑥) = 𝑎) уравнение 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙) при 𝑎 > 0 равносильно
совокупности двух систем
𝒂=𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
{
и{
.
𝒙 ∈ 𝑫(𝒇) ∩ 𝑫(𝒈) 𝒂 > 0, 𝑎 ≠ 1
3. Уравнение 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, где 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, равносильно уравнению 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑏.
Примеры
Решить уравнения: 1). 𝟐𝟐𝒙 − (𝟐𝒂 + 𝟏) ∙ 𝟐𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒂 = 𝟎.
2). 𝒂𝟐𝒙−𝟒 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 + 𝟒√𝒂𝟐𝒙−𝟒 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 − 𝟔 = 𝟏𝟖
3) а х + 1 = b 3 – х
Решение.
(1) После замены 2𝑥 = 𝑡, 𝑡 > 0 получаем квадратное уравнение
𝑡 2 − (2𝑎 + 1)𝑡 + 𝑎(𝑎 + 1) = 0, корни которого 𝑡1 = 𝑎, 𝑡2 = 𝑎 + 1
2𝑥 = 𝑎. Если 𝑎 ≤ 0, то решений нет, при 𝑎 > 0 𝑥 = log 2 𝑎/
2𝑥 = 𝑎 + 1. Если 𝑎 ≤ −1, то решений нет, при 𝑎 > −1 𝑥 = log 2 (𝑎 + 1).
Ответ: Ø при 𝑎 ∈ (−∞; −1]; 𝑥 = log 2 (𝑎 + 1) при 𝑎 ∈ (−1; 0];
𝑥1 = log 2 𝑎 , 𝑥2 = log 2 (𝑎 + 1) при 𝑎 ∈ (0; +∞)
(2) Пусть 𝑦 = √𝒂𝟐𝒙−𝟒 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 − 𝟔, 𝑦 ≥ 0. Первоначальное уравнение примет вид
𝑦 2 + 4𝑦 − 12 = 0, корни которого 𝑦1 = 2, 𝑦2 = −6. Так как 𝑦 ≥ 0, то 𝑦2 не
удовлетворяет условию. Решим теперь уравнение √𝒂𝟐𝒙−𝟒 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 − 𝟔 = 2
𝒂𝟐𝒙−𝟒 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎. Снова введем обозначение 𝑎 𝑥−2 = 𝑡, 𝑡 > 0 и преобразуем
уравнение к виду 𝑡 2 + 3𝑡 − 10 = 0. Условию 𝑡 > 0 удовлетворяет только один корень
𝑡1 = 2 (𝑡2 = −5 ∉ (0; ∞)). Решая уравнение 𝑎 𝑥−2 = 2, получим 𝑥 = 2 + log 𝑎 2 (𝑎 ≠ 1),
Ø при 𝒂 = 𝟏.
Ответ: 𝑥 = 2 + log 𝑎 2 при 𝑎 ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞); Ø при 𝒂 = 𝟏
(3) ОДЗ уравнения: х
R, а > 0, b >0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а = b = 1, х
R.
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0
х = 3.
х = -1.
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х
х = 1.
6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение
по основанию а, получим: log 𝑎 𝑎 𝑥+1 = log 𝑎 𝑏 3−𝑥 , 𝑥 + 1 = (3 − 𝑥) log 𝑎 𝑏
𝑥=
3 log𝑎 𝑏−1
log𝑎 𝑏+1
.
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а = b = 1, х
R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3.
при а ≠ 1, b = 1 х = -1
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) 𝑥 =
3 log𝑎 𝑏−1
log𝑎 𝑏+1
2. Условия существования решений
Очень часто в задачах требуется установить, при каких а уравнение имеет решения
или не имеет их. Рассмотрим несколько примеров.
Примеры
1) При каких значениях параметра а уравнение 𝟒𝒙 − (𝟓𝒂 − 𝟑)𝟐𝒙 + 𝟒𝒂𝟐 − 𝟑𝒂 = 𝟎
имеет единственное решение?
Решение.
Пусть 2𝑥 = 𝑡, 𝑡 > 0. Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а
квадратное уравнение 𝑡 2 − (5𝑎 − 3)𝑡 + 4𝑎2 − 3𝑎 = 0 имеет один положительный
корень. По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения
𝑡1 = 𝑎, 𝑡2 = 4𝑎 − 3. Возможны следующие случаи:
𝑡 >0
3
𝑎>0
1) { 1
⇔ {
⇔0<𝑎<4
𝑡1 < 0
4𝑎 − 3 < 0
𝑡1 < 0
𝑎<0
2) {
⇔{
⇔Ø
𝑡2 > 0
4𝑎 − 3 > 0
𝑡 =𝑡
𝑎 = 4𝑎 − 3
3) { 𝑡1 > 02 ⇔ {
⇔𝑎=1
𝑎>0
1
4) Один из корней равен о, другой - положительный. В этом случае
2
𝑡 𝑡 =0
3
{ 1 2
⇔ {4𝑎 − 3𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 = 4.
𝑡1 + 𝑡2 > 0
5𝑎 − 3 > 0
3
Ответ: 0 < 𝑎 ≤ 4, 𝑎 = 1
2) При каких значениях параметра 𝒂 уравнение
(𝒂 − 𝟏)𝟒𝒙 + (𝟐𝒂 − 𝟑)𝟔𝒙 = (𝟑𝒂 − 𝟒)𝟗𝒙 имеет единственное решение?
Решение:
3
Перейдем к уравнению (3𝑎 − 4)𝑡 2 − (2𝑎 − 3)𝑡 − (𝑎 − 1) = 0, 𝑡 = (2)𝑥 > 0.
Зависимость t от x строго монотонна, поэтому каждому 𝑡 > 0 соответствует ровно
одно значение х. Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях 𝑎
квадратное уравнение имеет один положительный корень?
5
4
4
3
Ответ: 𝑎 ∈ (−∞; 1] ∪ { } ∪ [ ; +∞)
3) Найдите все значения параметра 𝒃, при которых уравнение
𝟗𝒙 + (𝒃𝟐 + 𝟔) ∙ 𝟑𝒙 − 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 = 𝟎 не имеет решения.
Решение.
Задача сводится к определению всех 𝑏, при которых квадратное уравнение
𝑡 2 + (𝑏 2 + 6) ∙ 𝑡 − 𝑏 2 + 16 = 0 не имеет положительных корней.
Ответ: [-4; 4]