СПб ГОУ СПО «КОР №1» Материал для дистанционного обучения Нарижная Ольга Борисовна

СПб ГОУ СПО «КОР №1»
Материал для дистанционного обучения
«Определение производной, ее физический и
геометрический смысл»
Учитель: Нарижная Ольга Борисовна
Санкт-Петербург
2012-2013 уч.год
1
Определение производной, ее физический и
геометрический смысл.
Определение. Производной функции y  f  x  по аргументу х, называется предел отношения
приращения функции y к приращению аргумента x , когда x стремится к нулю.
y   lim
y
y  x  x   y  x 
.
 lim
x
x
x 0
x 0
Так как мгновенной или истинной скоростью называется предел, к которому стремится v ср. 
S 2  S1
t 2  t1
,
когда интервал времени, на котором она измеряется, стремится к нулю, т.е.
S
 S t . Следовательно, физический смысл производной состоит в том, что
t 0 t
lim v ср.  v мгн.  lim
t 2 t1
производная есть скорость изменения данной функции.
Рассмотрим график произвольной функции y  f  x  :
0.8
0.6
0.4
B
y
0.2
A


0
0
C
x
1
2
3
4
5
  BAC
k AB tg  tgABC 
BC y

AC x
y
 y  x   k кас
x
Следовательно, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в
точке касания равно тангенсу угла наклона касательной проведенной к графику функции в эту точку.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Для нахождения производной от данной функции y  f  x  необходимо провести следующие
действия: 1) дать аргументу x приращение x , вычислить наращенное значение функции
y  y  f x  x ;2)найти соответствующее приращение функции: y  f x  x  f x ;3) составить
Если x  0 ,то B  A;   0 Прямая AB  касательной α  tg o  lim
2
отношение приращения функции к приращению аргумента:
y
f  x  x   f  x 
;4) найти предел

x
x
данного отношения при x  0 .
Вычислим производные от некоторых элементарных функций.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где C=const, то y  0 .
док-во: y=C, следовательно, при любом значении x y  f x  C
y  y  f x  x   C  y  f x  x   f x   C  C  0
y
y
 0  y  lim
 0  y  0
x
x
1
1
2. y  log a x , то y  log a e 
x
x ln a
Доказательство:
y  y  log a x  x 
x  x
x 

y  log a x  x   log a x  log a
 log a 1 
,
x
x 

y 1
x 


log a 1 

 x x
x 

Домножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:
x
y 1 x

x
1

x



 x

log a 1 
  log a 1 

x x x
x  x
x 


x
Обозначим величину
через α. Очевидно, что   0 при x  0 и данном x. Следовательно:
x
1
1
y 1
 log a 1    т.к. lim 1     e
x x
 0
1 1
y
1
1
y  lim
 lim log a 1     log a e 
. ч.т.д.
x
x
x
x ln a
x 0
 0
Доказывая аналогичными способами можно вывести производные всех элементарных функций.
Таблица производных элементарных функций:


1.  x n   nx n1
6.  e x   e x
 
 

2. sin x   cos x
7.  a x   a x ln a
 

3. cos x    sin x
4. tgx 
1
cos2 x
5. ctgx  
1
sin 2 x
1
8. ln x  
x
9. log a x  
1
x ln a
Приведем примеры вычисления производных:




x÷  1 ; 2 x   2 ; 5 x   5 ; 7 x  1  7 ; 3  4 x   4 , следовательно к таблице производных
необходимо добавить производную линейной функции:
3
kx  b  k
Правила дифференцирования.
Теорема 1. Постоянный множитель выносится за знак производной.
Доказательство:
y  C  U x 
y  y  C  U  x  x 
y  C  U  x  x   C  U  x   C U  x  x   U  x 
y
C U  x  x   U  x 
U
y  lim
 lim
 C  lim
 CU 
x
x
x 0 x
x 0
x 0
ч.т.д.
Теорема 2.
Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме
производных этих функций.
U x   V x   W x   U x   V x   W x 
Теорема 3.
Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной
первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную от второй,т.е. если
y  U  V  y  U   V  V   U
Теорема 4.
Производная частного равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя исходной
дроби,а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и
произведением числителя на производную знаменателю, т.е.
U V  UV 
U
если y  , то y 
.
V
V2
Теорема 5.
Если функция U   x , имеет в некоторой точке х производную U x   x  , а функция y  F x 
имеет при соответствующем значении U производную yu  F U  , тогда сложная функция
y  F  x в указанной точке х, также имеет производную, которая равна
y x  Fu U  x 
Приведем несколько примеров нахождения производных:
Пример 1.
f x   x 2  x



1
1
f x    x 2  x    x 2    x1 / 2   2 x  x 1 / 2  2 x 

   

2
2 x
Пример 2.
4
f  x   x 3  3x




f x   x 3  3x   x 3   3x   3x 2  3x   3x 2  3
Пример 3.
1
1
1
f x   

x
x 3x

1
1
f x    x 1  x 1 / 2  x 1 / 3   1x  2  x 3 / 2  x  4 / 3


2
3
Пример 4.
2x
f x  
1  x2

f  x  
2 x  1  x 2   1  x 2  2 x

 
1  x 2 



2
21  x 2    2 x 2 x
2  2x2  4x2
2  2x2





2
2
2
1  x 2 
1  x 2 
1  x 2 






Пример 5.
f x   2  x 2 cos x  2 x sin x




f x   2  x 2  cos x  2  x 2 cos x   2 x  sin x  2 x sin x  
 2 x cos x   2  x 2  sin x   2 sin x  2 x cos x  2 x cos x  2 sin x  x 2 sin x  2 sin x  2 x cos x  x 2 sin x


Пример 6.



f x   e x  cos x  e x  cos x   e x   sin x   e x  sin x
Пример 7.
5
f  x   log 2 4 x 
1 x

5 
1


1 

2

f  x    log 2 4 x 
 4 x   5   11  x  1  x  
  log 2 4 x   51  x  
1 x 
4 x ln 2

4
1
5
2

 5  1  x   1 

4 x ln 2
x ln 2 1  x 2

  


Пример 8.
f x   sin 5 x  e 3 x 1 





f x   sin 5 x  e 3 x 1   sin 5x   e 3 x 1   cos 5 x  5x   e 3 x 1 3x  1  5 cos 5x  3e 3 x 1
Пример 9.
5
1
f  x   ln
4
x2  1
x2  1




  
 
 
  
  


 2
2
2
2
 x2  1
1 1
x

1
x

1

x

1
x  1 2x x2  1  2x x2  1


f  x  




2
2
2
4 x 2  1  x 2  1  4 x 2  1
2
4 x 1 x 1
x 1
x2  1
2 x3  2 x  2 x3  2 x



4 x4  1


4x

4 x4  1

x
x4  1
Если вы смогли разобраться как берутся производные, попробуйте сами отработать тренажеры по
взятию производной.
Найдите производную функции :
1. x
7
1. x
11
2. x
3. 4 x
4.
4.
x3
3
2
5. 2 x  3x
3 2
6. 3 x
8.
4
x
1 1

x x2
8.
3
3x
3
 x  3
2x  3
11.
x 1
10. x
12.


x  1 x  4
3
x6
4
3
5. 3x  2 x
8 3
6. 4 x
7.
9. 2 x 
6
5
2. x
3. 5 x
2
7.
Найдите производную функции:
6
3 2
x
2
x3

4
4x
4
3
9. 3 x 
4
x
10. 3 x  4  x 
11.
x2
x2  1

4
2
12. x  x

x 7

6
Найдите производную функции:
4
Найдите производную функции:
x
x3
x 8
2x2  3
4 x  2x  3
3
x
4 3
x
5
x2
2 x3  6
x 1
6
5 x 2  3x  2
2 x3
7
 2 x 1
x3
5x  2 x  3

4x

2 3

x 3x
3
9x 
x2
x  2 x  4
4 3
x x  2
x
5 4
x 4
x
x2
2x  1x3 
x

x2  2
x3  x 3 x  5
Применение производной.
Одним из основных направлений применения производной является исследование поведения
функций. Сформулируем необходимые для этого теоретические положения.
Первый признак существования экстремума: пусть функция f x  непрерывна в некотором
интервале содержащем критическую точку x , и дифференцируема во всех точках этого интервала.
0
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при
x  x функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x слева направо производная
0
0
меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Второй признак существования экстремума: Если первая производная в точке x равна нулю, а
0
вторая производная отрицательна, то при x  x функция имеет максимум. Если вторая производная
0
положительна, то минимум.
7
3
Пример: исследовать на экстремумы функцию y   x  1 x 2
3
y  x 2 
y   0;
y
2 x  1
5x  2
33 x
+
33 x

 0; x 
max
-
5x  2
33 x
2
5
min
+
---------------.---------------.---------------------------


0
2/5
y
Так как при х=0 производная не существует, эта точка также является критической. Точка х=0
2
является точкой максимума функции, а точка x 
точкой минимума функции.
5
Пример: y  2 sin x  cos 2 x Исследовать функцию на экстремумы .
y  2 cos x  2 sin 2x  2cos x  2 sin x cos x  2 cos x1  2 sin x
Исследуем эту функцию на экстремумы на отрезке 0;2 , так как она периодическая с периодом
2π .
Решая уравнение, y  0 или 2 cos x1  2 sin x  0 , находим критические точки


5
3
Находим вторую производную:
x1  ; x2  ; x3 
; x4 
6
2
6
2
y   2 sin x  2 cos 2 x
1
1

y x1  2  4  3  0  x1  максимум
2
2
6
y x 2  2  1  4 cos  2  0  x 2 

2
минимум
1
1
5
 4  3  0  x3 
максимум
2
2
6
3
y x 4  2 1  4 1  6  0  x 4 
минимум
2
y x3  2 
С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики,
биомеханики.
Если вы смогли разобраться, как решаются задачи на применение производной попробуйте выполнить
следующие задания:
Найдите экстремумы функций:
8
1. y  x 2  1
2. y  3 x 2  4 x
3. y  x 3  3 x 2
4. y  2 x 3  24 x  5
5. y  2 x 3  3 x 2  12 x  5
6. y   x  2 2 3 x  1
7. y  x 4  4 x 3  4 x 2
8. y  2 x1  3 x 3
x2  1
9. y 
x
10. y 
x3  4
x2
11. y  x 2 
1
x2
12. y  x  4
13. y  x 
14. y 
15. y 
2
x
2x
x2  9
6 x  1
x2  3
x2  2x  2
16. y 
x 1
17. y   x  1 x
18. y  2 x 2  x
3
19 y  x 2  1
20. y  x 2 1  2 x
9
Связь свойств функции и производной
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [1;3], если задана ее производная
Свойство
функции
---------------------Производная
Возрастает
Имеет максимум
Имеет минимум
Постоянна
Убывает
y   5
y  2  x
y  1  2 x
y  0
y  5
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;0], если задана ее производная
Свойство
функции
---------------------Производная
Возрастает
Имеет максимум
Имеет минимум
Постоянна
Убывает
y  3
y  3x  5
y  3x  5
y  0
y  3x 2  5
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [2;8], если задана ее производная
Свойство
функции
---------------------Производная
Возрастает
Имеет максимум
Имеет минимум
Постоянна
Убывает
y  7
y   x  6
y  3x  5
y   -x+1
y   -x²
10
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;-5], если задана ее производная
Свойство
функции
---------------------Производная
Возрастает
Имеет максимум
Имеет минимум
Постоянна
Убывает
y  7 x
y  2x  6
y   x  4
y  0
y   x²+2
Текстовые задачи на наибольшее, наименьшее значение
функции
Задача: В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее
значение площади боковой поверхности
Схема решения задачи
Ввести неизвестное
Решение конкретной задачи
Пусть х – сторона основания призмы
Пояснения
За х принимается любая из
неизвестных величин
Выразить все
необходимые для
решения задачи
величины через
введенное
неизвестное
Рассмотрим треугольник
Пифагора
Составить О.Д.З.
Составить функцию
BCC1 , тогда по теореме
CC1  4  x 2
x  0;2
S x   3x 4  x 2
Учитываются не только
алгеброические
ограничения, но и
физические
За функцию принимается
та величина, о наибольшем
наименьшем которой идет
речь
11
Исследовать функцию
на наибольшее,
наименьшее на
интервале

S  x   3 x  4  x 2   4  x 2  3 x 


3 x   2 x 
 3 4  x2 

2
2 4x



3 4  x 2  3x 2
4  x2
S  x   0
12  6 x 2  0
x   2 ; 2  0;2 
_______________________
На промежутке (0;
промежутке [
2 ] функция возрастает, а на
2 ,2) убывает, следовательно в точке х=
2
функция имеет максимум, а значит принимает в
этой точке наибольшее значение на данном интервале
 2 2 
Найти все значения
необходимые для
ответа на вопрос
CC1  4 
Записать ответ
Ответ: наибольшее значение площади равно 6
2
S x   3  2  2  6
Если вы смогли разобраться в решении текстовых задач попробуйте сделать следующие задачи
самостоятельно:
1.Рассматриваются квадраты, вписанные в различные равнобедренные треугольники с боковыми
сторонами, равными 1. (одна сторона квадрата лежит на основании). Найдите сторону наибольшего
квадрата.
2. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, описанного
около единичного шара.
3. Два корабля движутся по параллельным прямым, находящимся на расстоянии 4 км друг от друга. В
какой-то момент времени отрезок, их соединяющий, перпендикулярен их курсам. Скорость первого
равна 16 км\час, скорость второго 20 км\час. С первого корабля отправляется посыльный катер,
скорость которого 28 км\час. Катер доплывает до второго корабля и тут же возвращается обратно.
Какое наименьшее время может продолжаться поездка катера, если: а) оба корабля идут в одном
направлении; б) корабли идут в противоположных направлениях?
4. В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосудналито 5 кг, а во второй – 20
кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз,а во втором
сосуде в q| раз. Известно, что pq=9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из
обоих сосудов?
12