Математика» для студентов технических

ГОУ СПО ТО «Тульский колледж профессиональных технологий и сервиса»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
к выполнению самостоятельной работы студента
по дисциплине ЕН.01 «Математика»
для студентов технических специальностей
Тула, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................................................................................... 4
1 Рекомендации по распределению времени на ВСР .............................................. 5
2 Содержание внеаудиторной самостоятельной работы......................................... 7
2.1 Задания к выполнению самостоятельных работ ............................................ 8
Самостоятельная работа №1. Типовой расчёт №1 «Предел и непрерывность
функции» .................................................................................................................. 8
Самостоятельная работа №2.Типовой расчёт №2 «Дифференциальное
исчисление» ........................................................... Error! Bookmark not defined.
Самостоятельна работа №3. Типовой расчёт №3 «Интегральное исчисление»24
Самостоятельная работа №4. Домашняя контрольная работа « Простейшие
дифференциальные уравнения» ........................................................................... 22
.........................................................................................................................................
3 Критерии оценки внеаудиторной самостоятельной работы .............................. 24
3.1 Рейтинговая карта оценки самостоятельной работы по дисциплине
«Математика» ........................................................................................................ 24
3.2 Критерии оценки самостоятельных работ .................................................... 24
Литература ................................................................................................................. 26
Приложения ............................................................................................................... 27
3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время актуальным становятся требования к личным
качествам современного студента – умению самостоятельно пополнять и
обновлять знания, вести самостоятельный поиск необходимого материала, быть
творческой личностью. Ориентация учебного процесса на саморазвивающуюся
личность делает невозможным процесс обучения без учета индивидуальноличностных особенностей обучаемых, предоставления им права выбора путей и
способов обучения. Появляется новая цель образовательного процесса –
воспитание личности, ориентированной на будущее, способной решать
типичные проблемы и задачи исходя из приобретенного учебного опыта и
адекватной оценки конкретной ситуации.
Решение этих задач требует повышения роли самостоятельной работы
студентов над учебным материалом, усиления ответственности преподавателя
за развитие навыков самостоятельной работы, за стимулирование
профессионального роста студентов, воспитание их творческой активности и
инициативы.
Введение в практику учебных программ и модулей с повышенной долей
самостоятельной работы активно способствует модернизации учебного
процесса.
В соответствии с ФГОС СПО по техническим специальностям в учебный
процесс введена дисциплина «Математика». Данная дисциплина состоит из
двух разделов: раздел 1 «Математический анализ», раздел 2 «Основы теории
вероятностей и математической статистики», позволяющих сформировать
необходимые общие и профессиональные компетенции.
Методические рекомендации для
внеаудиторной самостоятельной
работы (ВСР) по дисциплине «математика» составлены в соответствии с
ОПОП.260807 ЕН.01, утвержденной 30.05.2012, и предназначены для студентов
второго курса специальности Технологий продукции общественного питания.
Внеаудиторная самостоятельная работа студентов является обязательной для
каждого студента, определяется учебным планом, и составляет 50% от
общего объема часов.
Основными целями внеаудиторной самостоятельной работы студентов
являются:
 овладение знаниями, профессиональными умениями и навыками
деятельности по профилю специальности;
 формирование готовности к самообразованию, самостоятельности и
ответственности;
 развитие творческого подхода к решению проблем учебного и
профессионального уровня.
4
Распределение видов и объема внеаудиторной самостоятельной работы
между разделами дисциплины «Математика»
Согласно ОПОП.260807 ЕН.01 «Математика» на внеаудиторную
самостоятельную работу студента отводится 28ч. Распределение времени по
темам дисциплины приведено в таблице 1.
Таблица 1 – Распределение видов и объема внеаудиторной самостоятельной работы
между разделами дисциплины
Раздел
дисциплины
Объем
часов
на
раздел
Раздел 1 «Математ
ический анализ»
Объем
ВСР
(час)
Вид ВСР
Типовой расчёт №1 «Предел функции»
Типовой расчёт №2 «Дифференциальное исчисление»
Типовой расчёт №3 «Интегральное исчисление»
46
22
Домашняя контрольная работа
дифференциальные уравнения»
«
Простейшие
Решение задач по разделу
Раздел 2 «Основы
теории
вероятностей
и
математической
статистики»
Общий объем
аудиторных часов
по дисциплине
10
5
Решение задач по разделу
Общий объем ВСР
56
28
Выполнение студентами ВСР способствует формированию общих
компетенций:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести
за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
5
ОК 5. Использовать
информационно-коммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных),
результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в
профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением
полученных профессиональных знаний (для юношей).
6
1 Рекомендации по распределению времени на ВСРС
Распределение времени на выполнение самостоятельной работы
студентами осуществляется согласно программе дисциплины равномерно по
занятиям. Результаты распределения времени на ВСР представлены в таблице
2.
Таблица 2 – Распределение времени на ВСРС
№п
/п
1
2
3
4
5
Время на
выполнение
(час)
Наименование самостоятельной
практической работы
Типовой расчёт №1 «Предел и непрерывность
функции»
Типовой расчёт №2 «Дифференциальное исчисление»
8
6
Типовой расчёт №3 «Интегральное исчисление»
Домашняя
контрольная
работа
дифференциальные решения»
Решения задач по разделам.
2
«Простейшие
2
2
Итого:
145
2 Содержание внеаудиторной самостоятельной работы
2.1 Задания к выполнению самостоятельных работ
Самостоятельные работы выполняются индивидуально в свободное от
занятий время.
Студент обязан:
 перед
выполнением
самостоятельной
работы,
повторить
теоретический материал, пройденный на аудиторных занятиях;
 выполнить работу согласно заданию;
 по каждой самостоятельной работе представить преподавателю отчет
в виде письменной работы или модели геометрического тела;
 ответить на поставленные вопросы.
При выполнении самостоятельных работ студент должен сам принять
решение об оптимальном использовании возможностей программного
обеспечения. Если по ходу выполнения самостоятельной работы у студентов
возникают вопросы и затруднения, он может консультироваться у
преподавателя. Каждая работа оценивается по пятибалльной системе. Критерии
оценки приведены в конце методических рекомендаций.
7
Самостоятельная работа №1.
Типовой расчёт №1 «Предел и непрерывность функции»
Цель работы: отработка навыков вычисления пределов функций
Краткие теоретические сведения
Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке x0, если для
всех значений х, достаточно близких к x0 и отличных от x0, значения функции
f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
Пишут: lim f x   b .
x x0
Свойства пределов. Пусть существуют пределы lim f x  a и lim g x  b .
xx0
x x 0
Тогда:
1. Предел
константы
равен
самой
константе:
lim c  c .
x x0
2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
lim  f x   g x   a  b .
xx0
3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих
функций:
lim  f x  g x   a  b .
xx0
4. Постоянный множитель выносится за знак предела:
lim k  f x   k  a .
x x0
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
f x  a
lim
 , если g x   0 .
x  x0 g  x 
b
6. Показатель
степени
можно
выносить
за
знак
предела:
n
n
lim  f x    lim f x   a n .
 xx0

x x0
Задания: Повторить правила раскрытия неопределённостей
0 
, , первый и
0 
второй замечательные пределы.
Непосредственное вычисление пределов
х  2 ; 2) lim 3х 2  2 х ; 3) lim
1) lim
х 5
х 4
х 2


х2  2х
7х  5
; 4) lim
; 5) lim х3  3х 2 ;
х 5 10  2 х
х2
х 3
8
х2  2х  2
5х 2  2 х  4
5х  4
х2  2
; 7) lim
;
8)
;
9)
;
lim
lim
2
х 0 ,1 1  х
х 0 2 
х 1
х 2  х  1 х  1
х 1
х
6) lim
х  3х  2 ; 11)
10) хlim
 1
х2
2 х 2  5х  3
х3  4 х  5
3х 2  х
;
12)
;
13)
;
lim
lim
х 1 4 х 2  13 х  3
х 2
х 0 4 х 3  х  10
х2  6
lim
4 х 2  5х 1
3
14) lim
; 15) lim 2
.
х 3 2 х  6
х 1 2 х  х  1
Раскрытие неопределенности вида
0
0
х2  4
х2  6х  9
х 4  16
х4  4х2  4
І. 16) lim 2
; 17) lim 2
; 18) lim
; 19) lim
;
х 2 х  2 х
х 3
х  2 х  2
х 2
х  3х
х3  2 х
4х2  9
х 2  5х  6
х 2  7 х  10
3х 3  х
; 21) lim3
; 22) lim
; 23) lim 2
;
х 5 х  9 х  20
х 0
х 2
х
х 2 х  3
20) lim
х 2
2
24) lim
х2  9
х2  4
3х 2  11х  6
3 х
;
25)
;
26)
;
27)
;
lim
lim
lim
х 3 х 3  27
х  2 х  2
х 3 2 х 2  5 х  3
х2  2х  3
28) lim
3х 2  8 х  4
4х2  7х  2
х 4  25
х 3
lim
;
29)
;
30)
;31)
;
lim
lim
х 3 х 2  9
х  2 5 х 2  14 х  8
х2 5 х 2  9 х  2
х2  5
х 3
х 5
ІІ. 32) lim
х 0
х
2 х  2 х
; 33) lim
; 34) lim
х 0
х

0
5х
1  3х  1
х 5
х 1 1
; 35) lim
;
х

5
х
2  х 1
36) lim
х 6
х6
х
х  2 3
1 х  1 х
; 37) lim
; 38) lim
; 39) lim
;
2
х

7
х

0
х

0
х  49
3х
х 3 3
х4 2
40) lim
х 7
1 1 х2
1  3х  1  2 х
х  2 3
х х
lim
; 41) lim
;
42)
;
43)
;
lim
2
2
х 0
х 1 х  х
х 0
х  х2
х 7
х
44) lim
1  3х 2  1
х2
2х 1  5
1  3х  2 х  6
lim
; 45) lim
;
46)
;
47)
lim
2
2
3
х 3
х 5
х 2
х 3
х  5х
х х
2х  2
х 0
Раскрытие неопределенности вида
48) lim
х 


5х3  2 х 2  3
2 х 3  3х 2  5 х  7
2х  3
4х  9
; 49) lim
; 50) lim
;
51)
;
lim
х  2 х 2  3 х  5
х 
х  3 х 3  4 х 2  х  2
5х  7
7х  4
9
х4  х2  2
10 х 2  х  6
х3  2 х  6
х3  х 4
;
53)
;
54)
;
55)
;
lim
lim
lim
х  х 3  х  1
х 
х  3 х 3  х 2  26
х  х 5  х 6
3х  х 2
52) lim
10 х 4  8 х 2  3
х2  4х  3
х2  2х  5
3х 3  4 х  8
;
57)
;
58)
;
59)
;
lim
lim
lim
х  5 х 4  3 х 3  5
х 
х  х 3  3 х  7
х  5 х 3  27 х 2  х
х5
56) lim
5х3  4 х 2  1
х  8 х 2  6 х  3
60) lim
І замечательный предел
sin 5 x
4tgx
2arctg 5 x
sin 3 x
arcsin 3 x
; 62) lim
;
63)
;
64)
;
65)
;
lim
lim
lim
х 0 9 х
х 0 3 arcsin 2 х
х 0
х  0 5 х cos x
5х
5х
1  cos 4 x
1  cos 4 x
1  cos x
1  cos 8 x
lim
lim
66) lim
;
67)
;
68)
;
69)
.
lim
2
2
х 0
х 0
х 0 1  cos 6 x
х 0 2 хtg2 x
х
5х
61) lim
х 0
ІІ замечательный предел
х
 2
70) lim
1   ;
х 
 х
3х
 4
71) lim
1   ;
х 
 х
х
 х 
72) lim

 ;
х  х  1


1
3 х х
73) lim 
 .
х 0
 3 
Непрерывность функции
х  1,
 х  4, если
 2
74) f х    х  2, если  1  х  1,
 2 х,
если
х  1.

х  0,
  х, если

75) f х   sin x, если 0  х   ,
 х  2, если
х  .

если
х  0,
  х,

2
76) f х    х  1 , если 0  х  2,
 х  3,
если
х  2.

х  0,
 2 х, если

77) f х    х , если 0  х  4,
 1,
если
х  4.

Вопросы для самопроверки
1. Что называется функцией одной независимой переменной?
10
2. Перечислить основные элементарные функции.
3. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
4. Что такое предел функции y = f(x) при x→ a?
5. Дайте определение правого и левого пределов функции y = f(x)
6. Дайте определение предела последовательности.
7. Какая функция называется бесконечно большой величиной при x→ a и
x→ +∞?
8. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой
величинами?
9. Сформулировать правила предельного перехода в случае арифметических
действий.
10.В чём состоит правило предельного перехода для непрерывной функции?
Самостоятельная работа №2.
Типовой расчёт №2 «Дифференциальное исчисление»
Цель работы: отработка навыков вычисления производной функций и
практического применения производной.
Краткие теоретические сведения
Определение. Производной функции y = f(x) называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении
последнего к нулю.
f ′ (x) 
dy
f ( x  x)  f ( x)
y
= lim
= lim
x0
x  0  x
x
dx
Формулы дифференцирования
с  0
sin x   cos x
х  1
cos x    sin x
Правила
дифференцирования
u  v   u   v
uv   u v  vu
11
Применение
производной
f x  tg  k
vt   S t 
х   пх
п
tgx 
п1
at   vt 
cu   cu 
1
cos 2 x
ctgx   12
sin x

 u  u v  vu
, v0
  
v2
v

1
1
   2
х
 х
arcsin x  
 f g x   f g x   g x 
a   a
arccos x   
kx  k 
x

e   e
x
x


1
х 
2 х
ln a
x
log a x  

arctgx  
1
x ln а
1
1 x2
y  f x0   f x0 x  x0 
f (x) возрастает на I, если
f ′ (x) > 0 на I.
1
1 x2
f (x) убывает на I, если
f ′ (x) < 0 на I.
1
1 x2
arcctgx  
ln x   1
Уравнение касательной:
Выпуклость графика
функции и его перегибы:
1
1 x2
у" > 0, выпуклость вниз
x
у" _> 0, выпуклость вверх
Задания:
І. Вычислить производные следующих функций:
1) у = 2х2 – 3х + 5; 2) у = 4 – х4; 3) у = х4 – х2; 4) у = 5х4 – 7х2 + х – 3; 5) у = х4 +
4х3 – 8х2 + 9х – 5;
6) у 
9) у 
2х3
3х 6
1
х
3
; 8) у  2   5 х 2  2 ;
 3х 2  6 х  1 ; 7) у 
 4х5  2х3 
3
2
2х
2
х
х5  2х3  9х  7
5 х 6  4 х 5  7 х 4  3х 3  3х 2  6 х  11
;10) у 
; 11) у  2 х  32 ;
2
х
3х
12) у  2 х  33х  5х  8; 13) у  3х ; 14) у  4 х ; 15) у  3х ; 16) у  5 х ;
4
2
3

2
3
17) Найти f  1, если f х   4 х3  2 х 2  х  5 ;
18) Найти f 0,5, если f х    х3  9 х 2  х  2 ;
19) у  х3  2х 2  х  1; 20) у  х  22 х3  х  ; 21) у 
22а) у = ехх2; 22б) у = 3х4sinx.
12
х2 1
1  х5
;
22)
;
у

х3  1
1  х5

3
5
ІІ. Вычислите производные сложных функций:
х
2
23) у  3 sin 5 х ; 24) у  4 cos ; 25) у  arccos 3x ; 26) у  ln 2 х  1 ;
27) у  х 4  х  1 ;
4
28). у  х3  2 х  5 ; 29) у  1  х 2  ; 30) у  cos 2 х ; 31) у  sin 3 x ; 32) у  ln sin 3x ;
2
33) у  ln 2 х  1 ; 34) у  3sin x  22 x  е5 х ; 35) у  3 х  47 х  3е2 х ; 36) у  arcsin ln x ;
37) у  arctgх3 ; 38) у  arctg cos x .
ІІІ. Вычислите производные высших порядков:
39) f х , если f х   4 х3 ; 40) f 5  х , если
f х  
1 7
х ;
7
41) f х, если f х  cos x ; 42) f 4  х , если f х   2 sin 3x .
ІV. Вычислите производные показательно-степенных функций:
1
43) y  x x ; 44) y  x x ; 45) y  x x ; 46) y  x ln x ; 47) y  x tgx ; 48) y  arctgx ln x ;
x
49) y  arctgx x ; 50) y  x  x 2  .
x
V. Геометрический и физический смысл производной.
51) Составьте уравнение касательной к параболе у  х 2  4 х в точке с абсциссой
a) х0  1 ; б) x0 = 0; в) x0 = 1.
52) Дана кривая у  2 х 3  4 х 2  5х  1. Составьте уравнение касательной в точке,
абсцисса которой равна а) −1; б) 0; в) 1.
1
3
53) В какой точке касательная к кривой у  х 3  3х 2  8 х  4 параллельна прямой
а) 2 х  2 у  5  0 ;
б) y – 3x -5 =0;
в) y + x =0?
54) В какой точке касательная к кривой у  х 2  2 образует с осью Ох а) угол 30о;
б) угол 450;
в) угол 1350 ?
55) Составьте уравнения касательных к кривой у = х2–4х, проходящих через
точку А (0; -1). Выполните чертеж.
13
56) Найдите скорость и ускорение материальной точки в конце третьей
секунды, если движение точки задано уравнением S t   t 2  11t  30 .
57) Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S t   2t 2  3t  1. Найдите
кинетическую энергию тела (
mv2
) через 3 с после начала движения.
2
VІ. Проведите исследование функций и постройте их графики:
58) у  8  2 х  х 2 ; 59) у  х3  3х 2  4 ; 60) у  3  3х  х 3 ; 61) у  4 х 2  х 4  3 ; 62) у =
х3 – 12х; ;
63) у = х4 + 2х3 – 5х2; 64) у 
67) у =
х2 1
; 65) у  х 2  х ; 66) у  ln х 2  1 ;
2
х 1

х
; 68) у  х 2 1  х ; 69) y =2x4 – 8x2 +3
х 1
2
71) y = 3x – x3; 72) у =

70) y = 2x3 – 9x2 + 15x -6;
х
1
; 73) y = х 3  2 х 2  3
3
х 1
2
VIІ. Вычислите приближенно:
74) 2,0054 ; 75) 2,9955 ; 76) 1,99510; 77) 1,07 ; 78) 0,84 ; 79) 25,4 ; 80) 81,8 ;
81) 36,7 ; 82) cos 61 ; 83) sin 603 ; 84) 2 2,98 .
VІІІ. Решите задачи на наибольшее и наименьшее значение функции:
85) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у  х 3  6 х на отрезке
 3; 4.
86) Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из
которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение
всех слагаемых было наибольшим.
87) Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает
наименьшую сумму.
88) Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
89) Найти такое положительное число, чтобы разность между этим утроенным
числом и его кубом была наибольшей.
14
90) Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны,
чтобы периметр был наименьшим?
91) Требуется вырыть силосную яму объемом 32м3, имеющую квадратное дно,
так, чтобы на облицовку ее дна и стен пошло наименьшее количество
материала. Каковы должны быть размеры ямы?
92) Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением
наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения
бревна равен 20см.
93) Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с
квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах
бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?
ІX. Дополнительные задачи:
94) При каком k длина интервала, на котором функция y 
x3
 kx2  x убывает,
3
равна 4?
95) Исследуйте функцию у  sin 2 x  sin x и постройте ее график.

96) Вычислить f 0   f   , если f x   x 2  3x cos 3x .
3
97) Сколько корней имеет уравнение x 3  3x 2  a , если a   4;0 ?
98) Найти наибольшее значение функции y   x 2  px  q , если ее график
проходит через точки P1;13 и Q3;1 .
99) Найдите все положительные значения параметра а, при которых функция
y  ax 2  ln x убывает в интервале (0; 5).
Вопросы для самоконтроля
1. Дать определение производной функции y =f(x).
2. Каковы геометрический и механический смыслы производной?
3. Как найти производную сложной функции?
4. Дать определение дифференциала функции y =f(x).
5. Какой геометрический смысл имеет дифференциал?
15
6. Что называется производной второго порядка от функции y
=f(x)?
7. В чём состоит достаточный признак экстремума?
8. Какие точки называются точками перегиба функции y =f(x)?
9. Сформулировать правило Лопиталя и привести примеры его
применения.
10. Что называется асимптотой функции y =f(x)?
11.Что называется функцией двух независимых переменных?
12.Что называется графиком функции двух независимых
переменных?
13.Дать определение частных производных функции двух
независимых аргументов.
Самостоятельная работа №3.
Типовой расчёт №3 «Интегральное исчисление»
Цель работы: отработка навыков вычисления рервообразной функций и
практического применения интеграла.
Краткие теоретические сведения
Определение. Первообразной для функции y =f(x) на некотором промежутке
называется функция F(x), производная которой равна исходной функции, т.е.
F  (x) = f(x)
Отыскание первообразных называется неопределённым интегрированием, а
выражение, охватывающее совокупность всех первообразных для данной
функции f(x), называется неопределённым интегралом и обозначается так:
 f x dx
І. Основные формулы интегрирования
 dx  x  C

dx
 2 x C;
x
16
dx
 sin
2
x
 ctgx  C ;
n
 x dx 
x n1
 C , n  1 ;
n 1
dx
1
 x2   x  C ;
ax
a
dx

C ;

ln a

dx
 ln x  C ;
x
 e dx  e
x
x
C;
 sin xdx   cos x  C ;
x
dx
 cos

2
x
 tgx  C ;
dx
1 x2
dx
 1 x
2
 arcsin x  C ;
 arctgx  C .
 cos xdx  sin x  C ;
 e dx  e
x
x
C;
ІІ. Основные свойства интегралов
10. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
 f x dx   f x .
20. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
d  f  x dx  f  x dx .
30. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме
интегралов от этих функций:   f x   g x dx   f x dx   g x dx .
40. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак интеграла:
 kf x dx  k  f x dx .
17
50. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной постоянной С:  df x   f x   C .
60. Интеграл от сложной функции с линейным аргументом вычисляется по
формуле:
 f kx  b dx  k F kx  b   C .
1
ІІІ. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов:
b

a
b
f x dx  F x   F b   F a  .
a
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Используется таблица интегралов,
свойства неопределённых интегралов и различные преобразования
подынтегрального выражения.
2. Интегрирование по частям. Данный способ состоит в том,
подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух
множителей u и dv и заменяется двумя интегрированиями: 1) отыскание
v из выражения для dv; 2) отыскание интеграла для vdu:
 udv  uv   vdu .
3. Метод замены переменной. Его применяют в том случае, если исходный
интеграл сложно или невозможно с помощью алгебраических и иных
преобразований свести к одному или нескольким табличным интегралам.
Способ заключается в том, что заменяется новой переменной такая часть
подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается
оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного
множителя).
Задания по теме «Интегральное исчисление»:
І. Непосредственное интегрирование.
18
dx
 x 2 ; 3.
1.  х 6 dx ; 2.
 4 x
3
2
 x 3 dx ; 4.

x dx ; 5.
 5x
3

 2 x 2  3x  8 dx ; 6.

 15 x 2  14 x  3 dx ;
7.  2 x  1 dx ; 8.  x 3 1  5 x dx ; 9.
3
3x 3  2 x 2  5 x
dx ; 10.

2x
x 3  3x 2  4 x
dx ;

x
4x 4  2x3  x 2
11. 
dx ;
x2
12.
3x  12 dx ; 14. dx ; 15. 2 xdx ; 16. xdx ; 17.
 1 x
 1 x2
 x 2 1
 x
x 3  2 x 2  3x  4
dx ; 13.

x2
x 2 dx
 x3  5 ;
x 3 dx
18.  4
; 19.
x 2
3
2

x
x
5 



;
20.
2
x

4

e
dx

8
e

5

x

 x
dx ; 21.


x
3x
2
x
x


2 x
2
  sin 2  cos 2  dx ; 23.   cos 2  sin
x
dx ; 24.  sin  4 x dx ; 25.
2
sin 2 x
 cos x dx ;
 x sin x
2
22.
dx ; 26.
cos 2 x  3
 cos5  2 x dx ; 27.  cos 2 x dx ;
28.
4  cos 3 x
 cos 2 x dx ; 29.
cos 2 x
2
 cos 2 x sin 2 x dx ; 30.  tg xdx ; 31.
3
2dx
1 x2
; 32.
x 2 dx
 x 2 1 ; 33.
x 4 dx
 1 x2 ;
34.
1  x 2  3 cos 2 x
 1  x 2 cos 2 x dx .


ІІ. Способ подстановки.
35.  7  2t  dt ; 36.  5u  1 du ; 37.  1  x 5  x 4 dx ; 38.
3
 4x
40.
4
7

 9  2 x  x dx ;
3 4
2
39.
2
 5 x 3 dx ;
xdx

 4 sin
3
1 x2
3
; 41.

1  ln x
dx ; 42.
x

x 3 dx
; 43.  sin 2 x cos xdx ; 44.  cos 3 xdx ; 45.
1 x
xdx ;
19
46.
 cos
dx
 5 x
52.
2
3

x  1 sin xdx ; 47.  tgxdx ; 48.  ctgxdx ; 49.
2
arctgx
 1 x
2
dx ; 50.
a
2
dx
; 51.
 x2
;
dx
 25  36 x 2 ; 53.
dx

a2  x2
; 54.
dx

9  x2
; 55.

dx
16  25x 2
; 56.
sin 4 xdx
 2 sin x cos x ; 57.
sin 3xdx
 2  cos 3x ;
x 2 dx
58. 
; 59.
1 x6
dx
dx
 x 1  ln 2 x ; 60.  ax  b ; 61.
2dx
 3x  4 ; 62.
3 x 6 dx
 x 5  4 ; 63.
x
2x 1
dx .
 x 1
2
ІІІ. Способ интегрирования по частям.
64.  x cos xdx ; 65.  xe x dx ; 66.  x 5 ln xdx ; 67.  xe2 x dx ; 68.  x 2 sin xdx ; 69.  arctgxdx ;
70.  xsin xdx ;
71.  x ln xdx ; 72.

 4 x
3

73.  x sin 2 xdx ; 74.  x cos 3xdx ; 75.  ln xdx ; 76.
 6 x  7 ln xdx ;
ln xdx
;
x2
ln xdx
; 78.
x3
77.

x
sin 4 xdx ;
2
 e ln 1  3e dx ;
x
x
79.  x3 x dx ; 80.  x 2 e 3 x dx ; 81.  x ln x 2 1dx ; 82.
83.  x ln 2 xdx .
ІV. Вычисление определенных интегралов.

5
1
2
1
4
2
3
dx
84.  dx ; 85.  хdx ; 86.  3х dx ; 87.  2 х  1dx ; 88.  cos xdx ; 89.  ; 90.  8 x 3 dx ;
x
0
1
1
1
3
0
0
2
1
91.
dx
 х2 ;
0
20


2
х
92.  3е3 х dx ; 93.  cos dx ; 94.
2
0
0
 х  3
5
2
4
 sin 4 xdx ; 95.
0
 2 х  3х
1
2

 4 х 3  5 х 4 dx ; 96.
1

 4 dx ;
1


4
3
4dx
97.  2 ; 98.
cos x
0
dx
 sin 2 x ; 99.
1

1  x dx ; 100.
0
e
3 ln 2 xdx
1 x .
4
V. Применение определенного интеграла.
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
101. Осью Ох, прямыми x  1, х  2 и параболой y  9  x 2 ;
x = 25, y = 0;
103. y = -x2 + 4 и y = 0;
8+2х-х2, у = х+6;
102. y2 = 9x, x = 16,
104. у = х2, у = 1/х, х є [1; е]; 105. у2 = х, у = х2; 106. у =
107. xy = 6 и x + y – 7 = 0; 108. x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0, y = 0.
109. Вычислите длину гладкой кривой у = ln(sinx) на отрезке [/3; /2].
110. Вычислите объем тела, образованного вращением кривых у2 = х и у = х2
вокруг оси ОХ.
Вопросы для самопроверки
1. Какая функция называется первообразной?
2. В чём состоит суть метода интегрирования по частям?
3. В чём состоит суть метода замены переменной?
4. Каков смысл определённого интеграла?
5. В чём состоит суть метода замены переменной в определённом
интеграле?
21
Самостоятельная работа №4.
Домашняя контрольная работа «Простейшие дифференциальные
уравнения»
Цель работы: развитие навыков решения простейших уравнений,
нахождение общих и частных решений.
Краткие теоретические сведения
Дифференциальными называются уравнения, которые содержат искомую
фукнцию, её производные и (или) дифференциалы различных порядков,
независимые переменные.
Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию,
подстановка которой в это дифференциальное уравнение превращает его в
тождество.
Решения, содержащие конкретные значения постоянных, называются
частными решениями дифференциального уравнения.
Задание:
№
1 вариант
2 вариант
1
Общим решением
Общим решением
дифференциального уравнения
дифференциального уравнения
является …
является …
22
2
3
Найти
общее
решение
дифференциального уравнения
(x + 5)dy – (y +10)dx = 0
Частными решениями
дифференциального уравнения
являются …
являются …
4
5
Найти
общее
решение
дифференциального уравнения
(x - 10)dy – (y -5)dx = 0
Частными решениями
дифференциального уравнения
От 1 г радия C через t минут Период
полураспада
осталось 0,125 г. Найти t, если его радиоактивного вещества равен 1
период полураспада равен 3 мин.
ч. Через сколько часов его
количество уменьшится в 10 раз?
Вычислите, какая доля радия
останется через 1000 лет, если
период его полураспада равен 1550
лет.

Одно тело имеет температуру 200 , Два тела имеют одинаковую
а другое – 100  . Через 10 мин температуру 100  . Они вынесены на
остывания этих тел на воздухе с воздух (его температура 0  ). Через
температурой 0  первое тело остыло 10 мин температура одного тела
до температуры 100  , а второе – до стала 80  , а второго - 64  . Через
80  .
Через
сколько
минут сколько минут после начала
температуры тел сравняются?
остывания разность их температур
будет равна 25 ?
Вопросы для самоконтроля
1. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным
уравнением первого порядка?
2. Что такое общее решение дифференциального уравнения первого
порядка?
3. Что такое частное решение и в чём суть начальных условий для
дифференциального уравнения первого порядка?
4. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными и каким методом его можно решить?
23
5. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются
линейными, каков метод их решения?
3 Критерии оценки внеаудиторной самостоятельной работы
3.1 Рейтинговая карта оценки
дисциплине «Математика»
самостоятельной
За выполнение заданий студентам
рейтинговой карты, приведенной в таблице 3.
выставляется
работы
балл
по
согласно
Таблица 3 – Рейтинговая карта
Тема
Деятельность студента
Мин.
кол-во
баллов
Макс.
кол-во
баллов
3
3
3
3
5
5
5
5
12
20
20
40
Раздел 1
Типовой расчёт №1 «Предел и непрерывность функции»
Типовой расчёт №2 «Дифференциальное исчисление»
Типовой расчёт №3 «Интегральное исчисление»
Контрольная работа «Простейшие дифференциальные уравнения»
Итого
Количество баллов по ВСР
3.2 Критерии оценки самостоятельных работ
За выполнение самостоятельной работы студенту выставляется балл
рейтинга по критериям, представленным в таблице 4.
24
Таблица4 – Критерии рейтинговой оценки самостоятельной работы студента
№
п/п
1.
2.
3.
Критерии оценки
Максимальный
Средний балл
Минимальный
балл рейтинга
рейтинга
балл рейтинга
Отношение к Фиксирован Работа сдана в Работа сдана с Работа сдана с
работе
ие
срока требуемые сроки задержкой на 1-2 задержкой на 3-4
сдачи
недели
недели
работы
Способность
Просмотр
Полное
Допускает одну
Допускает две,
самостоятельно файла в
выполнение
ошибку
три ошибки при
выполнять
личной
работы,
(неточность) при
выполнении
работу
папке
отсутствие
выполнении
работы
студента
ошибок
работы
Умение
Собеседова
Грамотно
Допускает
Допускает
отвечать на
ние (защита) отвечает на
незначительные
ошибки в
вопросы,
при сдаче
поставленные
ошибки в
изложении
пользоваться
работы
вопросы
изложении
алгоритма
профессиональ
алгоритма задания задания. Имеет
ной лексикой
ограничен
ный словарный
запас
Оцениваемые
навыки
Метод
оценки
25
Литература
Основная:
1. В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова Математика, учебное пособие для
среднего профессионального образования: Ростов-на-Дону, Феникс, 2009
г.
Дополнительная:
2. Филимонова Е.В. «Математика», учебное пособие для студентов средних
профессиональных учебных заведений, Ростов-на-Дону, Феникс, 2008 г.
3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика», учебное пособие для
студентов средних специальных учебных заведений, М., Высшая школа,
2011 г.
4. Е. С. Баранова, Н. В. Васильева, В. П. Федотов, Практическое пособие по
высшей математике. Типовые расчеты, учебное пособие, М., « Питер»,
2009
26
Приложение А
Методические рекомендации по выполнению практических занятий
Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу,
необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач
проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с
детальным разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует
подчеркнуть,
что
только
после
усвоения
лекционного
материала
с
определенной точки зрения (а именно с той, с которой он излагается на
лекциях) он будет закрепляться на практических занятиях как в результате
обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения
ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит
материал, но и научится применять его на практике, а также получит
дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.
При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать
каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если
студент видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить
их и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных
задач
составить краткий
проблемных
сопровождать
задач
или
план
решения
примеров
комментариями,
проблемы
следует
схемами,
(задачи).
излагать
чертежами
подробно,
и
Решение
нужно
рисунками,
инструкциями по выполнению.
Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно
доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и
по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить
способами, вытекающими из существа данной задачи.
27
Приложение Б
Методические рекомендации по выполнению контрольной работы
Контрольная работа — промежуточный метод проверки знаний студента
с целью определения конечного результата в обучении по данной теме или
разделу.
Домашняя контрольная работа дается 1-2 раза в учебном году по
дисциплине. Она призвана систематизировать знания, позволяет повторить и
закрепить материал. При ее выполнении студенты ограничены во времени,
могут использовать любые учебные пособия, консультации с учителем.
Каждому студенту дается свой вариант работы, в который включаются
творческие задания для формирования разносторонней развитой личности.
Цели выполнения контрольной работы: выявление качества усвоения знаний,
умений и навыков которые должны быть сформированы в результате обучения
и
их
коррекция
по
полноте,
глубине,
обобщенности,
осознанности.
Контрольная работа должна быть написана грамотно, грамматические и
синтаксические
ошибки
не
допустимы,
прослеживаться через всё решение.
28
смысловая
нагрузка
должна
ДЛЯ ЗАМЕТОК