Модуль №2

Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Московской области «Красногорский колледж»
Волоколамский филиал отделение №2
МОДУЛЬ №2
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»
Специальность 40.02.01
Право и организация социального обеспечения
по программе базовой подготовки
заочная форма обучения
квалификация: юрист
Волоколамск
2015
Рабочий учебник
Ф.И.О. студента_____________________________________
Специальность 40.02.01
Право и организация социального обеспечения
по программе базовой подготовки
заочная форма обучения
Н.П. Чернова
МАТЕМАТИКА
Модуль №2
«Основы дифференциального исчисления»
Волоколамск
2015г.
2
МАТЕМАТИКА
Модуль № 1 «Теория пределов»
Модуль № 2 «Основы дифференциального исчисления»
Модуль № 3 «Основы интегральное исчисление»
Составитель:
Н.П. Чернова - преподаватель высшей квалификационной категории
Рецензенты:
С.В.Чижова - преподаватель высшей квалификационной категории
О.Ю. Уханова - преподаватель высшей квалификационной категории
3
Базовое содержание модуля
Научно-технический обзор содержание модуля:
1. Задачи, приводящие к понятию производной
2. Производная функции. Геометрический и физический
смысл производной
3. Основные правила и формулы дифференциального исчисления. Производные элементарных и сложных функций
4. Понятие производной n-го порядка
5. Интервалы монотонности и экстремумы функции
6. Выпуклость и точки перегиба графика функции
7. Асимптоты графика функции
8. Исследование и построение графика функции с помощью производной
9. Повторение и обобщение пройденного материала
10. Литература
5 стр.
6 стр.
7 стр.
8 стр.
12 стр.
13 стр.
14 стр.
16 стр.
17 стр.
21 стр.
23 стр.
4
Базовое содержание модуля
В модуле рассматривается одно из основных понятий математического анализа – понятие производной.
Изложено понятие производной, способы ее вычисления, геометрический и механический смысл производной, а так же показано применение этого понятия при решении прикладных задач.
Производная характеризует скорость изменения функции по
отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного
прямолинейного движения.
5
Научно-тематический обзор модуля
1. Задача о скорости движения.
Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения
S=f(t),
(1)
определенное на множестве ( ,  ) . Зафиксируем последовательно два момента времени t0 и t1 (t0,1 ( ,  ) ) и обозначим  t = t1- t0.
Средней скоростью движения, соответствующей некоторому
промежутку времени  t называется отношение пройденного за этот промежуток пути  S к  t:
Vср =
S
,
t
Средняя скорость не характеризует движение в определенные моменты времени. Для того чтобы найти скорость движения в данный момент
времени t0 , необходимо уменьшать промежуток времени  t = t1– t0.
Чем меньше промежуток  t, тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т.е. мгновенной. Точное значение скорости vмгн равно пределу
S
t
при
ΔS
.
 t → 0, т.е. vмгн = Δlim
t →0 Δt
Так, как для уравнения движения свободно падающего (в пустоте)
тела, определяемого формулой S =
gt 2
, получим
2
g (t  t ) 2 - S
t →0
t
vмгн = lim
6
2. Производная функции
Пусть x1 и x2 – значения аргумента, a y1 = f(x1) и y2 = f(x2) – соответствующие значения функции y = f(x). Разность x = x2 – x1 называется
приращением аргумента, а разность y = y2 – y1 = f(x2) –f(x1) – приращением
функции на отрезке [x1;x2].
Определение: Производной от функции y = f(x) по аргументу x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента
f ( x )  lim
x 0
при
стремлении
последнего
к
нулю:
Δy
или
Δx →0 Δx
y′
= lim
f ( x  x )  f ( x )
dy
. Производная обозначается также
.
x
dx
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т.е. y  tg  .
Производная характеризует скорость изменения функции в точке x.
Операция отыскания производной называется дифференцированием
функции.
2.1 Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится
определение касательной к графику функции в данной точке.
Определение:
Касательной к графику функции y = f(x) в точке М называется предельное
положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).
Пусть точка М на кривой f(x)соответствует значению аргумента x0, а точка
n— значению аргумента x0+ Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x0 необходимо, чтобы существовал
φ( x ) = φ 0 , который равен углу наклона касательной к оси Оx. Из
предел Δlim
õ →0
треугольника MNA следует, что
7
Если производная функции f(x) в точке x0 существует, то, согласно (4.1), получаем tg0=f(x0).
Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f'(x0) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона k к положительному направлению
оси Ох) касательной к графику функции у = f(x) в Точке М(x0; f(x0)).
При этом угол наклона касательной определяется по формуле:
0 = arctg f'(x0).
2.2 Физический смысл производной
Предположим, что функция L = F(T) описывает закон движения материальной точки по прямой как зависимость пути L от времени T. Тогда разность
ΔL = F(T + ΔT) - F(T) — это путь, пройденный за интервал времени ΔT, а отношение ΔL/ΔT — средняя скорость за время ΔT. Тогда предел
lim (ΔL / ΔT) = f ′
(T) определяет мгновенную скорость точки в момент времени
Δt →0
T как производную пути по времени.
В определенном смысле производную функции у = f(x) Можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f'(x), тем
больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f(x) и быстрее
растет функция.
Напомним основные правила дифференцирования функций.
Пусть С – постоянная, u = u(x) и v=v(x) – функции, имеющие производные.
Тогда:
1)
производная постоянной равна нулю
С  0;
2)
производная аргумента равна единице
x  1;
3)
производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций
8
u  v   u   v  ;
постоянный множитель можно выносить за знак производной
С  u   C  u  ;
5)
производная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле
u  v   u   v  u  v  ;
6)
производная частного двух дифференцируемых функций может быть
найдена по формуле

 u  u   v  u  v
.
  
v2
v
7)
правило дифференцирования сложной функции:
если y = f(u), u = u(x), т.е. y = f [u(x)] – сложная функция и функции f(u) и
u(x) имеют производные, то
y x  y u  u x или y   f u   u  .
Исходя из определения производной и применяя правила дифференцирования, можно вывести формулы для производных основных элементарных
функций.
4)
Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Таблица 1.

1. с   0 ;

10. sin u   cos u  u  ;

2. х   1;

11. cos u    sin u  u  ;
 
n
n 1
3. u  nu  u ;
4.
 u  
1
2 u
 u ;

12. tgu  
1
 u ;
cos 2 u

13. ctgu   
1
 u ;
sin 2 u

1
1
5.     2  u  ;
u
u

14. arcsin u  

6. e u   e u  u  ;

15. arccos u   

7. a u   a u ln a  u  ;

16. arctgu  
 1
8. ln u    u  ;
u

17. arcctgu   
1
1 u2
 u ;
1
1 u2
 u ;
1
 u ;
1 u2
1
 u .
1 u2
9.
9
log u  
a
1
 u;
u ln a
Примечание: Здесь приведены формулы для случая, когда основная элементарная функция является внешней функцией композиции (сложной функцией) т.е. с учетом правила 7, где u=u(x). Если же вычисляется производная
функции обычного вида, например, f(x)=ln(x), то следует помнить, что х  1
 1
или просто ln x   .
x
Задача № 2.1
Вычислить производную по x следующей функции: y  5(tg x  x ).
Перепишем функцию в виде y  5 tg x  5 x.
Воспользуемся 3-им правилом дифференцирования: производная суммы
(разности) двух функций равна сумме (разности) их производных
y  (5 tg x )  (5 x ).
Пользуясь правилом 4, константы выносим за знак производной:
y  5(tg x )  5( x ).
Теперь задача свелась к отысканию производных основных элементарных функций, которые находим из таблицы 1: (tg x ) 
образом, получаем: y 
1
;( x )  1. Таким
cos 2 x
5
 5. Для получения ответа в более компактной
cos 2 x
форме его можно преобразовать, пользуясь известными формулами тригонометрии:
y 
 1  cos 2 x 
5
sin 2 x
 1


5

5

1

5

5
 5 tg 2 x.




2
2
2
cos2 x
cos
x
cos
x
cos
x




Ответ: y   5tg x .
2
Задача № 2.2
ex  x
Вычислить производную функции y 
.
x  ex
Выражение, задающее функцию у= у(х), представляет собой дробь, в числителе которой находится сумма двух элементарных функций, а в знаменателе
произведение. Следовательно, для нахождения ее производной необходимо
применять основные правила дифференцирования:



 e x  x  e x  x   x  e x  e x  x   x  e x 
.
y  
 
x
x  e x 2
 xe 
Применили правило дифференцирования дроби (6), а затем для вычисления производных в числителе последовательно применяем правило вычисления производной суммы (3) и производной произведения (5).
10
e   x  x  e  e  x   x  e

y 
x  e 
x
x
x
x

 x e x 

 
x 2
Задача сведена к отысканию производных основных элементарных
функций по таблице 1.
y 
e
x

 
x  e 
 1  x  ex  ex  x  1 ex  x  ex
x 2
.
Далее преобразуем выражение с целью его упрощения:
y 
xe2 x  xex  e 2 x  xex  xe2 x  x 2e x
x  e 
x 2



 e 2 x  x 2e x
x  e 
x 2

.
ex  ex  x2
ex  х2



.
х 2  е2 х
x2  ex
Ответ: y  
Задача № 2.3.
ex  х2
.
x2  ex
Вычислить y  для y  5 cos x .
Это задача на применение правила дифференцирования сложной функции
(см. правило 7). Внешней функцией здесь служит показательная функция: 5
возводится в степень, показатель которой равен cosx. Дифференцируя эту
показательную функцию по промежуточному аргументу (cosx), получим
5 cos x  cosx  5 u  u  5 u  ln 5  5 cos x  ln 5 ; но промежуточный аргумент cosx –
функция независимой переменной х. Таким образом, получим


y x  5 cos x  cos x  cos x  x  5 cos x  ln 5   sin x   5 cos x  sin x  ln 5 .
cos x
Ответ: y   5
 sin x  ln 5 .
Разумеется, нет никакой необходимости в таких излишне подробных
записях. Результат можно писать сразу, подставляя последовательно в уме
промежуточные аргументы. Проследите за последовательностью действий в
следующей задаче. (По существу, она полностью аналогична 3-ей.)
Задача №2.4.
Вычислить производную функции y  arcsin 1  x 2 .

1
1

y   arcsin  1  x 2  1  x 2 

 1  x 2  
2
2
2 1 x
1 1 x2

1



1
  2 x  
1  1  x 2  2 1  x 2


x
x  1 x
2

2
x
x  1 x
.
2
11
Ответ: у   
x
x  1 x
2
x  0 .
Задача №2.5.
Эта задача содержит в себе все элементы предыдущих 4-eх упражнений.
x
x
Проанализируйте этапы следующего решения: пусть у  ln tg 
, тогда
2 sin x




x  x 
1  x
x   sin x  x  sin  x
1
1
x


y    ln tg   
  tg  


  
 
x  2
x
2   sin x 
sin 2 x
2 x 2

tg
tg
cos
2
2
2
sin x  x  cos x
1
1
x  cos x x  cos x





.
2
x
x sin x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 sin  cos
2
2
Здесь для упрощения выражения использованы следующие формулы из
sin 
тригонометрии: tg 
и 2sincos  sin2 .
cos 
x  cos x
Ответ: y  
.
sin 2 x
3.Понятие производной n-го порядка
Производная f'(х) функции f(х) сама является функцией аргумента х,
и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной.
Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется
второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить.
Производные функции, начиная со второй, называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ...,
у(n) для второй и третьей производных соответственно еще и у(2)и у(3) или
вместо y пишут f(x): f"(x), f'" (х), ..., f(n)(x).
Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от
производной
(n — 1)-го порядка: у(n) = у(n-1) '
Рассмотрим несколько примеров на вычисление производных высших порядков.
Задача 3.1
Найти производную второго порядка от функции y= х3 + 2x.
Последовательно находим первую производную, а затем и производную от
нее:
Задача 3.2
12
Найти производную второго порядка от функции
.
Сначала находим первую производную сложной функции:
Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение
функций:
Задача 3.3
Найти производную третьего порядка от функции y = x ln x.
Последовательно находим
Задача 3.4
Найти производную n-го порядка от функции Y = e2x.
Находим
Т. е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функции сомножитель 2. Отсюда получаем
4. Интервалы монотонности и экстремумы функции
Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем.
Теорема
Если функция f(x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'([) ≤ 0) на интервале
(а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.
При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т. е.
функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака
производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.
Точки локального экстремума
Определение:
13
Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x),
если для любого x ≠ x0 в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x0)
Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием
локальный экстремум.
Теорема
(необходимое условие существования локального экстремума).
Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.
Геометрический смысл теоремы указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.
Точки, в которых касательные параллельны оси Ох, а значит, производная
равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0— точка возможного экстремума, т. е. f'(x0) = 0, то
она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции
f(x)= x3 производная при x = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, данная теорема не является достаточным
условием существования локального экстремума.
Теорема
(достаточное условие существования локального экстремума).
Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет
знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет
локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не меняет знака в δокрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума
в точке
5.Выпуклость и точки перегиба графика функции
Определение
Будем говорить, что график функции y = f(x) Имеет на интервале (a, b) Выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше)
любой касательной к графику функции на (a, b) (рис. 5.4).
14
Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказательства.
Теорема
Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и
f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость,
направленную вниз (вверх).
Определение
Точка М(x0, f(x)) называется Точкой перегиба графика функции У = F(X), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность
точки X0, в пределах которой график функции F(X) имеет разные направления выпуклости.
В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т. е. "перегибается" через
нее (рис. 5.5).
Теорема (необходимое условие существования точки перегиба).
Пусть график функции у = f(х) имеет перегиб в точке М(x0, f(x)) и функция
f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда f"(x0)=0.
Отметим, что не всегда условие f"(x0)=0 означает наличие точки перегиба на
графике функции у = f(х). Например, график функции y = x2n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при x= 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство f"(x0)=0 является только необходимым условием перегиба.
Точки графика, для которых условие f"(x0)=0 выполнено, будем называть
критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.
15
Теорема (достаточное условие существования точки перегиба).
Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции
у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x)).
Теорема верна и для случая, когда f"(x)существует в некоторой окрестности
точки x0 за исключением самой точки x0 и существует касательная к графику
функции в точке М. Например, функция f(x) = x1/3 в точке x = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку
вторая производная f"(x)= -2 /(9x5/3) имеет разные знаки слева и справа от
точки x= 0 (рис. 5.6).
6. Асимптоты графика функции
Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые называются асимптотами.
Неограниченность приближения графика функции к асимптоте означает, что
расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение
Прямая x = а называется вертикальной Асимптотой графика функции
16
f ( x ) или lim f ( x)
у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений xlim
x →a 
→a +
равно + или - .
Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода.
Например, график функции y = е/x имеет вертикальную асимптоту x = 0, так
как f(x)
при x 0+.
Определение
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y =
f(x) при x ± , если f(x)можно представить в виде f(x)=kx+b+(x)
Где α(х) 0 при x ± .
Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k равен
нулю.
Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной
асимптоты. Разделив обе части разделив обе части уравнения наклонной
асимптоты на х и перейдя к пределу при х
, получим
т. е. k =
. Затем находим:
7.Исследование и построение графика функции с помощью производной
Задача № 7.
2 x3
Исследовать функцию y  2
и построить её график по общей схеме.
x 4
Общее исследование функций и построение графиков удобно выполнять по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной, периодической.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и
выяснить характер разрывов.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в
этих точках. Установить интервалы монотонности функции в этих точках.
6. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции и значения производной в этих точках. Установить интервалы выпуклости графика функции.
7. Используя результаты исследований, построить график функции.
При необходимости уточнить отдельные участки кривой можно вычислить
координаты нескольких дополнительных точек. В частности, рекомендуется
вычислять координаты точек пересечения графика с осями координат, так
называемые ”нули” функции.
Применяем эту схему для заданной функции.
17
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 2, где
ее знаменатель обращается в ноль, т.е. область определения функции D(f) =
(-;-2)(-2;+2)(+2;+).
2.
Функция нечётна, т.к. f ( x) 
2( x)3
2 x3


  f ( x ) , следователь( x ) 2  4
x2  4
но, её график будет симметричен относительно начала координат, поэтому
достаточно исследовать функцию в промежутке [0;).
3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые
точки интересующей части области определения исследуем одновременно с
поиском асимптот.
4.
Вычисляем пределы xlim
2 0
2 x3
2 x3


;
lim
 . Следовательно
x 2 0 x 2  4
x2  4
прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x
= 2 является разрывом второго рода. Вычисляем предел lim
x 
2 x3
 . На
x2  4
основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной асимптоты вычисляем следующие пределы:
lim
x 
 2 x3

8x
f ( x)
2 x3
и
lim
(
f
(
x
)

kx
)

lim
 2 x   lim 2
 0.
 lim

2

2
2
x 
x  ( x  4)
x  x  ( x  4)
x

 x  ( x  4)
Итак, кривая имеет наклонную асимптоту
y = 2x, причём y  2 x 
8 x  0 при x  2,

x 2  4   0 при x  2.
5. Для определения экстремумов и участков монотонности функции
необходимо
вычислить
её
первую
производную
y 

x

 4
6x2 x2  4  4x4
2
2


2 x 2  x 2  12
x
2
4

2
. Она в промежутке [0;) обращается в ноль в
точках x = 0 и x  2 3  3, 46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность. Знаки производной на участках между этими характерными точками позволяют
выявить характер монотонности функции. Вычислим значения функции в
2  (2 3)3
2  03
6 3.
этих точках: f (0)  2
 0 и f (2 3) 
0 4
(2 3) 2  4
6. Характер выпуклости графика функции определяется на основе
анализа
её
второй
производной.
Вычислим
 2 x 2  ( x 2  12)  16 x  ( x 2  12)
y  
. Вторая производная обращается в ноль в
 
2
2
( x 2  4)3
 ( x  4)

точке x = 0 и в бесконечность при x = 2. Интервалы выпуклости графика
определяются знаками второй производной на участках между этими точками.
7. Для определения точек пересечения с осью x необходимо решить
2 x3
 0 , а для определения точек пересечения с осью у
уравнение f ( x )  2
x 4
18
вычислить f (0) 
2  03
. В данном случае график пересекает оси в единствен02  4
ной точке (0;0).
Для удобства и наглядности исследования составим следующую таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке возрастания.
x
0
(0,2)
2
(2, 2 3 )
( 2 3 ;+)
2 3
y’
0
0
+

y’’
0
+
+

3 3
2
y
6 3
0
Используя результаты исследования, строим график: оси координат,
асимптоты, характерные точки, затем, ориентируясь на отметки последней
строки таблицы, - кривую в области положительных x. Кривую в области
отрицательных x строим симметрично относительно начала координат.
Ответ:
y
10,4
4
x
-2
0
2
-4
-10,4
Рис. 1 График функции
19
Понятие производной широко применяется при исследовании характера взаимосвязей между переменными в различных областях науки и практики, в том числе в экономической теории. Производная в последнем случае
выступает в роли скорости изменения некоторого экономического объекта
(процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. С
помощью производной (предела отношения приращений зависимого и независимого параметров) определяются, в частности, предельные издержки
производства, предельная выручка, предельный доход, предельная полезность, предельный продукт и другие предельные величины. Многие, в том
числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем, сформулированных в курсе дифференциального исчисления. Например, сравните
математическую формулировку теоремы Ферма:
«Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает
наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю»
с её экономической интерпретацией:
«Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода».
Следующая задача контрольной работы №3 имеет своей целью практическое применение понятия экстремума функции в экономическом контексте. Чтобы предоставить студентам возможность самостоятельно подумать над смыслом используемых при её решении переменных, здесь для
примера приводится решение аналогичной задачи из смежной области.
Задача №4.
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало
наибольшее количество света.
1-ый этап решения подобных задач - это этап уточнения смысла задачи. В данном случае дополняем условие задачи следующими положениями:
наибольшее количество света окно будет пропускать при наибольшей площади остекления; форма окна такова, что оно состоит из двух простых геометрических фигур, которые сопряжены по одной из сторон прямоугольника, которая также является диаметром полукруга.
2-ой этап – этап формализации задачи. Прежде всего следует решить,
какую из переменных необходимо принять за независимую, а затем выразить через её значения характерный параметр задачи, желательно сразу тот,
экстремальное значение которого нужно найти. В нашем случае этот параметр – площадь окна.
Пусть длина общей стороны равняется х, тогда радиус полукруга равен x/2, а его площадь, соответственно, S1 
  x2
8
. Для определения площади
прямоугольника необходимо вычислить его вторую сторону. Известно, что
20
периметр окна задан, обозначим его через a. Из геометрии понятно, что эта
величина представляет собой сумму следующих величин: длины двух неизвестных сторон прямоугольника, длина стороны, обозначенной за x, и длина
полуокружности радиусом x/2. Следовательно, длина неизвестной стороны
прямоугольника
определяется
как
a  x   x / 2
,
2
а
его
площадь
a  x   x / 2
  x2
a  x   x / 2
. Общая площадь окна S  S1  S2 
 x

2
8
2
4ax  4 x 2   x 2
. Таким образом, площадь остекления окна определена как
8
S2  x 
функция переменной х – S(x).
3-ий этап – определение экстремальных величин. Для вычисления точек экстремума функции S(x) необходимо определить производную этой
функции и приравнять её к нулю.
(4ax  4 x 2   x 2 ) 4a  8 x  2 x
S 

. S’=0, если 4a  8 x  2 x =0.
8
8
2a
Решая последнее уравнение, получаем x 
– является стационар 4
ной точкой, в которой, согласно с теоремой Ферма, функция может иметь
максимум или минимум.
4-й этап – выяснение характера экстремума функции. Для этого необходимо вычислить вторую производную функции и определить её знак в
точке экстремума.
 4a  8 x  2 x  8  2
S   
. Получилось, что вторая производная от
 
8
8


2a
значения x не зависит и всегда отрицательна, в том числе и при x 
. Это
 4
означает, что данная точка является точкой максимума функции.
5-ый этап – вычисление величин, необходимых для ответа на поставленный вопрос задачи. В данном случае нет необходимости вычислять максимальное значение самой функции, так как спрашивается не о пропускной
способности окна, а о его размерах. Ранее мы уже определили длину одной
из сторон прямоугольника и одновременно диаметр полукруга x 
2a
, ко 4
торые обеспечивают наибольшую освещенность. Вычислим значение второй
стороны, подставляя найденное значение x в формулу
зультате вычислений получим
Ответ: Полукруг радиусом
ной
a  x   x / 2
. В ре2
a
.
 4
a
должен опираться на прямоугольник шири 4
2a
a
и высотой
.
 4
 4
21
6. Повторение и обобщение пройденного материала
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте понятие производной функции
2. В чем состоит геометрический смысл производной?
3.Чему равна производная от постоянной функции, от функции у = х?
4.Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и
частного двух функций.
5.Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.
6. Приведите правило дифференцирования сложной функции.
7. Дайте определение производной второго порядка.
8. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции на интервале.
9. Дайте определение максимума (минимума) функции.
10. В чем состоит необходимое условие существование экстремума?
11. В чем состоит достаточные условия существование экстремума?
12. Сформулируйте общее правило исследование функции на экстремум.
Задания для самостоятельной работы
Задание № 1. Найти производные следующих функций
№ п/п
Задание
Ответ
y=5x-7
5
y(0) - ?
1
2
8x-3
y(x) - ?
2
y  4x  3x  2
17
f (9)  ?
3
f ( x)  x 2  6 x
4
5
6
7
8
9
f ( x)  x 3  6 x  7
x 9
y 
4 x
x 4
y 
3 x
5 10
f ( x)  3  6
x
x
2
x 4
f(x) 
x2
1
f(x)  (  x)  x
x
f (2)  ?
18
y(x) - ?
1 9

4 x2
1 4

3 x2
45
y(x) - ?
f (1)  ?
f (1)  ?
f (1)  ?
10
f ( x)  2 x 2  5x  13
f (3)  ?
11
f ( x)  x 2  sin x
y(0) - ?
1
9
-2
7
8
1
22
12
f ( x)  3 cos( 2  5 x)
13
y  x  arccos x  1  x 2
sin x  1
f ( x) 
sin x
1  sin x
f ( x) 
1  cosx
y=ln(3x-2)
y=5ln(x+1)
x 1
y  ln
x -1
14
15
16
17
18
19
y  5x
20
f ( x)  3ln x
3
y(0) - ?
y(x) - ?
15sin2
arccosx
 
f    ?
3
 
f    ?
2
f (1)  ?
f (0)  ?
f (2)  ?
1
3
-1
y ( x )  ?
3
5
2

3
2
3 x  5 x 3  ln 5
f (1)  ?
Ln3
Задание №2 Решить задачи
1. Найти тангенс угла наклона касательной, приведенной к графику функции
y  f(x)  1  2x - 3x 2 в точке с абсциссой x0  1.
Ответ: 8
2. В какой точке графика функции f ( x)  7 x 2  6 x  5 тангенс угла наклона касательной равен 8?
Ответ: (1;-4)
3. В какой точке касательная к графику функции f(x)  2 - x 2  x параллельна
прямой y=5x-3?
Ответ: (-3;-4)
4. Написать уравнение касательной к линии y  9  x 2 в точке с абсциссой
x0  1 .
Ответ: 2x+y-8=0
x
2
5. Написать уравнение касательной к графику функции y  2 -  x 2 в точке
пересечения с осью ординат.
Ответ: у=-1/2х
6. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  x  e x1 в точке с
абсциссой х0=1.
Ответ: х-у+2=0
Задание №3 Исследовать и построить графики следующих функций
1. y  -x3  6 x
2. y  x 3  6 x 2
3. y 
4
x 2
2
23
1
x  2x  8
8
5y
4  x2
4. y 
2
Литература
Основная
1. Омельченко В.П., Э.В. Курботова «Математика» учебное пособие для
среднего профессионального образования - Ростов на Дону, «Феникс», 2013
– 377с
2. В.С. Михеев, О.В. Стяжкина, О.М. Шведова, Г.П. Юрлова «Математика»
учебное пособие для среднего профессионального образования – Ростов на
Дону, «Феникс», 2009 - 889с.Дополнительная литература:
1. Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. М.: Наука, 2005. - 464с
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие
для средних специальных учебных заведений. - М.: Высшая школа, 2003.
495 с.
3. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. пос- Изд. 3-е. - М.: Физматлит, 2000.
4. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1990.
6. Грешилов А.А., Дубограй И.В. Обучающее методическое пособие по математическому анализу: Исследование функций и построение графиков. / Под
ред. А.А. Грешилова. - М.: Радио-Связь, 2004. 175 с.
7. Михеев B.C. Краткий справочник по математике. - Красногорск, 1996.
8. Пискунов Н.К. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.:
Наука, 1996.
9. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для
средних специальных учебных заведений / Подольский В.А., Суходский
A.M. и др.- 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2005. 495 с.
10.Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. — М.: Высш. шк., 2000.
Электронные учебные и учебно-методические материалы, размешенные в электронно-библиотечной системе
1. Балдин К.В. Математика для гуманитариев: Учебник. Дашков и К, 2011.
510 с. http://www.knigafund.ru/books/16944
Компьютерные программы и Интернет-ресурсы
1. Поисковые системы сети Интернет: Яндекс. Рамблер, AltaVista, Апорт,
Filez, Archie и др.
2. Информационно-поисковые системы Консультант Плюс, Гарант, Кодекс и
др.
3. Сайт компании «Консультант Плюс»: http://www.consultant.ru
24