Теоретические основы площади и объема 

(Класс 11, модуль XII, урок 2)
Теоретические основы площади и объема
Урок 2. Мера Жордана
План урока






2.1. Определение меры Жордана
2.2. Пример фигуры, не измеримой по Жордану
2.3. Свойства меры Жордана
2.4. Измеримость круга
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке рассматривается дальнейшее развитие представлений об
измерении площадей для новых классов плоских фигур. Определяется
измеримость множеств точек плоскости по Жордану, мера измеримых
множеств, которая и называется площадью, изучаются свойства площади,
для некоторых из свойств приводятся полные доказательства.
Теоретический материал иллюстрируется наглядными примерами и
задачами.
2.1. Определение меры Жордана
Приближая произвольные геометрические фигуры элементарными,
можно распространить понятие площади на очень широкий класс множеств.
Такой идеей руководствовались еще древнегреческие ученые Евдокс,
Евклид и Архимед, которые использовали ее как эвристический прием,
позволяющий вычислять площади (или меры) некоторых конкретных фигур.
В строгую теорию меры эта идея оформилась на рубеже XIX–XX веков
благодаря работам таких крупнейших математиков как Камилл Жордан,
Анри Лебег и др. Однако, построенные ими теории оказались не совсем
одинаковы. Мы будем следовать теории Жордана, а соответствующее
понятие площади называть мерой Жордана.
Пусть F — произвольная геометрическая фигура (ограниченное
множество точек) на плоскости. Для всякого натурального n составим две
элементарных фигуры F  n и F n рангов n по правилам: F  n образована
всеми квадратами n -го ранга, целиком содержащимися в F (рис. 1), а
F n — всеми квадратами ранга n , имеющими с F хотя бы по одной общей
точке (рис. 2). В частности, фигура F  n может оказаться пустой. Даже F n
будет пустой, если F  % . Тем не менее, во всех случаях
F n  F  F n
Понятно также, что с увеличением номера n фигура F  n может только
расшириться, а F n — только сузиться:
F n  F n 1  F  F n 1  F n
Отсюда и из монотонности меры элементарных фигур вытекает, что
S ( F 1)  S ( F n)  S ( F n 1)  S ( F n 1)  S ( F n)  S ( F 1)
Иными словами, числовая последовательность S ( F  n ) не убывает и
ограничена сверху, а числовая последовательность S ( F n) не возрастает и
ограничена снизу. По теореме о пределе монотонных последовательностей
существуют пределы
S ( F )  lim S ( F n) ,
n 
S ( F )  lim S ( F n) ,
n 
причем S ( F )  S ( F )
Фигура F плоскости называется измеримой по Жордану, если

S ( F )  S ( F ) .
Иногда предел S ( F ) называют внутренней мерой, предел S ( F )
n 
называют внешней мерой фигуры F . Для краткости фигуру называют
измеримой, если из контекста ясно, что эта фигура измерима по Жордану.
Если значения S ( F ) и S ( F ) не совпадают, то такую фигуру
называют неизмеримой. Для измеримой фигуры F общее значение S ( F ) и
S ( F ) называются мерой Жордана фигуры F . Меру Жордана плоской
фигуры чаще всего называют площадью этой фигуры.
Для площади измеримой фигуры F сохраним то же обозначение
S ( F ) , что и для площадей элементарных фигур.
2.2. Пример фигуры, не измеримой по Жордану
Приведем пример неизмеримого по Жордану множества точек на
плоскости. Рассмотрим единичный квадрат
E  {( x y )  0  x  1 0  y  1}
и выберем в нем подмножество F , состоящее из всех точек с
рациональными координатами.
Понятно, что никакой квадрат ранга n не может целиком
принадлежать множеству F , так как в любом квадрате есть точки с
иррациональными координатами. Значит, F n  % при любом натуральном
n , поэтому
S ( F )  lim S ( F n)  S (%)  0
n 
С другой стороны, любой заключенный в E квадрат ранга n
обязательно содержит точки с рациональными координатами. Поэтому
всякий такой квадрат войдет в состав фигуры F n . Следовательно, E  F n
и
S ( F )  lim S ( F n)  S ( E )  1
n 
Итак, значения S ( F ) и S ( F ) внутренней и внешней меры различны,
а потому фигура F не имеет площади.
Вопрос. Что можно сказать об измеримости дополнения к построенному
множеству F до единичного квадрата E ?
(Предполагаемый ответ. Для фигуры E  F можно провести
рассуждения по аналогии с тем, как это сделано в пункте. В результате
также получается, что внешняя мера не равна внутренней мере).
2.3. Свойства меры Жордана
Непосредственно из определения вытекает монотонность меры
Жордана. Иными словами, если фигуры F и G измеримы, причем G  F ,
то S (G )  S ( F ) .
В самом деле, из G  F вытекает, что Gn  F n при всех
натуральных n . Согласно свойству монотонности площади для
элементарных фигур имеем S (Gn)  S ( F n) . Устремляя n к бесконечности,
по теореме о предельном переходе в неравенстве в пределе получим
S (G )  S ( F ) .
Приведем простой критерий измеримости, который может быть
использован не только для доказательства существования площадей у тех
или иных фигур, но и для вычисления приближенных значений площади.
Для измеримости фигуры F необходимо и достаточно, чтобы для
всякого   0 существовали такие измеримые фигуры F  и F  , что
F   F  F  и S ( F  )  S ( F  )   .
Доказательство.
F
Необходимость. Пусть фигура
измерима. Тогда пределы
последовательностей S ( F  n ) и S ( F n) равны. Это значит, что разность
S ( F n)  S ( F n) стремится к нулю. Возьмем произвольное   0 и подберем
такой номер N , чтобы S ( F  N )  S ( F  N )   . Теперь в качестве искомых
фигур F  и F  можно взять соответственно F  N и F  N .
Достаточность. Возьмем произвольное   0 и подберем такую пару
измеримых фигур F  3 и F  3 , что F  3  F  F  3 и S ( F  3) 
 S ( F  3)   3 .
Так как фигура F  3 измерима, то она содержит некоторую элементарную
фигуру Gm ранга m , площадь которой отличается от S ( F  3) менее чем на
3 :
S ( F  3)  3  S (Gm )  S ( F  3)
Аналогично, можно подобрать некоторую элементарную фигуру H k ранга
k , содержащую F  3 и такую, что
S ( F  3)  S ( H k )  S ( F  3)  3
Если взять теперь n  max(m k ) , то очевидно получится
Gm  F m  F n  F  F n  F k  H k 
откуда
S ( F n)  S ( F n)  S ( H k )  S (Gm )  [S ( F  3)  3]  [ S ( F  3)  3] 
 S ( F  3)  S ( F  3)  2 3   3  2 3   
Следовательно, по определению предела
lim[ S ( F n)  S ( F n)]  0  S ( F )  S ( F )
n 
Поэтому фигура F имеет площадь.
Из критерия измеримости, в частности, вытекает, что если имеются
две последовательности Gn и H n измеримых фигур, для которых
выполнены условия
Gn  F  H n  lim[ S ( H n )  S (Gn )]  0
n 
то фигура F измерима. Более того,
S ( F )  lim S (Gn )  lim S ( H n )
n 
(1)
n 
Для доказательства этого утверждения возьмем любое   0 ,
подберем номер n так, чтобы S ( H n )  S (Gn )   , а затем положим F   Gn ,
F   H n . Тем самым, для F будет выполнен критерий измеримости.
Теперь из соотношения Gn  F  H n и монотонности площади получаем
S (Gn )  S ( F )  S ( H n )
Следовательно,
0  S ( F )  S (Gn )  S ( H n )  S (Gn )
0  S ( H n )  S ( F )  S ( H n )  S (Gn )
Переходя в этих неравенствах к пределам при n   и пользуясь теоремой
о пределе промежуточной последовательности (теоремой о "двух
милиционерах"), непосредственно получим формулу (1).
С измеримыми фигурами можно совершать обычные теоретикомножественные операции: объединение, пересечение, разность. При этом
снова будут получаться измеримые фигуры.
Объединение, пересечение и разность измеримых фигур являются
измеримыми фигурами.
В дальнейшем это утверждения частично доказывается.
Сформулируем еще
Жордана — аддитивность.
одно
фундаментальное
свойство
меры
Если измеримые по Жордану фигуры F
внутренних точек, то S ( F  G )  S ( F )  S (G ) .
и G не имеют общих
Отсюда элементарно получаются следующие свойства.
Пусть F и G измеримы, причем G  F . Разложим F в объединение
непересекающихся фигур
F  G  ( F  G )
а затем применим аддитивное свойство. В итоге получим
S ( F )  S (G )  S ( F  G )
или
S ( F  G )  S ( F )  S (G )
Если F и G — произвольные измеримые фигуры, то
F  G  F  [G  ( F  G )]
Заметим, что F и G  ( F  G ) не пересекаются, кроме того, F  G  G ,
поэтому
S ( F  G )  S ( F )  S (G  ( F  G ))  S ( F )  S (G )  S ( F  G )
Важным свойством площади является следующее:
если две фигуры равны, то измеримость одной из них влечет
измеримость другой, причем их жордановы меры совпадают.
Доказательство этого утверждения достаточно сложно и обычно
рассматривается в университетских курсах математического анализа.
Поэтому мы доказательство опускаем.
В итоге, рассмотрев свойства измеримых множеств на плоскости, мы
получаем, что мера Жордана обладает всеми свойствами площади,
сформулированными в начале предыдущего урока.
В завершение этого параграфа докажем существование площади у
объединения измеримых фигур, а также проверим аддитивное свойство
меры Жордана.
Доказательство. Пусть фигуры F и G измеримы. Зафиксируем
произвольное   0 и заметим, что по определению измеримости для всех
достаточно больших n выполнены неравенства
S ( F n)  S ( F n)   2 S (Gn)  S (Gn)   2
Положим H n  F n  Gn , H n  F n  Gn . Тогда
H n  F  G  H n
причем
e
e
e
H n H n  ( F n F n)  (Gn Gn)
Отсюда и из свойств площади элементарных фигур вытекает, что
e
e
e
S ( H n)  S ( H n)  S ( H n H n)  S ( F n F n)  S (Gn Gn) 
 [ S ( F n)  S ( F n)]  [ S (Gn)  S (Gn)]   2   2   
В силу критерия измеримости фигура F  G имеет площадь, причем
0  S ( F  G )  S ( H n)  
для всех достаточно больших n . Это означает, что
S ( F  G )  lim S ( H n)  lim S ( F n  Gn)
n 
n 
Если дополнительно известно, что фигуры F и G не имеют общих
внутренних точек, то это же самое будет верно и для фигур F  n и Gn .
Вновь обращаясь к свойствам элементарных фигур, заключаем
S ( F  G )  lim S ( F n  Gn)  lim S ( F n)  lim S (Gn)  S ( F )  S (G )
n 
n 
n 
Тем самым установлена аддитивность меры Жордана.
Мини-исследование
С младших классов хорошо известна формула площади
прямоугольника: S  ab , где a и b длины его сторон. Однако, рассматривая
различные прямоугольники на координатной плоскости, получаем, что
далеко не все из них являются элементарными фигурами.
Предлагается доказать формулу площади прямоугольника по
следующей схеме.
1.
Рассмотреть
прямоугольник
с
вершинами
ABCD
A(0;0), B(a;0), C (a; b), D(0; b) , где a и b положительные двоичнорациональные числа, и показать, что S  ab .
2.
Рассмотреть
прямоугольник
с
вершинами
ABCD
A(0;0), B(a;0), C (a; b), D(0; b) , где a и b положительные действительные
числа, и показать, что S  ab .
3. На основании того, что площади равных фигур равны, сделать
вывод о справедливости указанной формулы для любого прямоугольника.
2.4. Измеримость круга
Покажем, что круг является измеримой фигурой. До сих пор это не
было строго доказано, хотя в младших классах мы уже пытались
приближенно вычислять площадь круга при помощи палетки и даже
привели (без обоснования) точную формулу площади круга. Теперь с учетом
развитой теории меры Жордана появилась возможность математического
обоснования этих эмпирических рассуждений.
Пусть F — круг радиуса r , а Gn и H n — правильные n -угольники,
соответственно вписанный в данный круг (рис. 3) и описанный около него
(рис. 4). Очевидно, что эти многоугольники имеют площади, причем
Gn  F  H n . В силу критерия измеримости для доказательства
существования площади круга F достаточно убедиться, что
lim[ S ( H n )  S (Gn )]  0
n 
Для проверки этого равенства соединим все вершины данных
многоугольников с центром круга. В результате каждый многоугольник
разделится на n равнобедренных треугольников с углами при вершинах,
равными 2 n  2n радиан. При этом вписанный многоугольник Gn
разделится на треугольники, боковые стороны которых равны r , а
описанный многоугольник H n — на треугольники, у которых высота равна
r . Нетрудно понять, что площадь треугольника первого типа равна
1 2
r 2tg n .
2 r sin 2 n , а площадь треугольника второго типа составляет
Следовательно,
n
S (Gn )  r 2 sin 2 n  nr 2 sin  n  s n 
2
S ( H n )  nr 2tg n  nr 2
Отсюда
S ( H n )  S (Gn )  nr 2  sin  n  (
sin  n

cos  n
sin  n
1
1
 cos  n )   r 2 
(
 cos  n )
cos  n
n
cos  n
и
lim[ S ( H n )  S (Gn )]   r 2 lim
n 
n 
sin  n
n
(
1
 cos  n ) 
cos  n
2
(limsin lphan )
sin  n  sin 2  n 
sin  n
0
2
n 
  r lim



r
lim

lim
  1  0

n  
n  
n 
limcos  n
1
n
n
 cos  n 
n 
2
sin 
так как ранее доказывалось, что limsin  n  0 . limcos  n  1 и lim n n  1
n 
n 
n 
Таким образом, последовательность S ( H n )  S (Gn ) имеет нулевой
предел. Значит, как вытекает из сказанного в пункте 2.4, круг F имеет
площадь.
Проверь себя. Мера Жордана
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Чему равна площадь равностороннего треугольника со стороной 4a ?
 1. a 2 3
 2. 2a 2 3
 3. 4a 2 3
 4. 16a 2 3
(Правильный вариант: 3)
Чему равна площадь треугольника с периметром 10 и радиусом вписанной
окружности 2?
 1. 5
 2. 10
 3. 15
 4. 20
(Правильный вариант: 2)
Чему равна площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5?
 1. 4
 2. 6
 3. 8
 4. 10
(Правильный вариант: 2)
Чему равна площадь параллелограмма со сторонами 6, 8 и углом между
ними в 300 ?
 1. 12
 2. 18
 3. 24
 4. 32
(Правильный вариант: 1)
Чему равна площадь окружности радиуса R ?
 1.  R 2
 2.  R
 3. 2 R
 4. 0
(Правильный вариант: 4)
Чему
равна
площадь
A(3; 4), B(1; 4), C (1; 5) ?
 1. 1
 2. 2
 3. 3
 4. 4
(Правильный вариант: 2)
треугольника
ABC
с
вершинами
Чему
равна
площадь
A(2;3), B(2;7), C (5; 2) ?
 1. 6
 2. 7
 3. 8
 4. 9
треугольника
ABC
с
вершинами
(Правильный вариант: 1)
Проверь себя. Мера Жордана
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных плоских фигур имеют меру Жордана, равную 0?
 1. Квадрат
 2. Граница квадрата
 3. Круг
 4. Окружность
(Правильные варианты 2, 4)
Какие из указанных плоских фигур измеримы по Жордану?
 1. Треугольник со всеми внутренними точками
 2. Квадрат со всеми внутренними точками
 3. Четырехугольник со всеми внутренними точками
 4. Подмножество F единичного квадрата E  {( x y)  0  x  1 0  y  1} ,
состоящее из всех точек с рациональными координатами.
(Правильные варианты 1, 2, 3)
Какие из указанных пределов равны 1?
 1. lim sin x
n 
 2. lim cos x
n 
 3. lim sin x
x
2
 4. lim cos x
x
2
(Правильные варианты 2, 3)
Какие из указанных пределов равны 1?
sin x
 1. lim
n 
x
1  cos x
 2. lim
x 0
x
x
 3. lim
x  0 sin x
tgx
 4. lim
x0 x
(Правильные варианты 1, 3, 4)
Домашнее задание
1. Найдите площадь треугольника ABC , если известно, что AB  1 , BC  2 ,
а угол ABC в два раза больше угла BAC .
2. Площадь остроугольного треугольника ABC равна 12, его медианы AN и
CM имеют длину 6 и 3 2 соответственно. Найдите стороны треугольника
ABC .
3. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а длина средней
линии равна l . Найдите площадь трапеции.
4. Площадь трапеции с основаниями длины m и n равна S . Найдите
площадь четырехугольника с вершинами в серединах диагоналей и
оснований этой трапеции.
5. Боковая сторона AD трапеции ABCD перпендикулярна основаниям AB
и CD , AB  3 , CD  1. Окружность, построенная на стороне BC как на
диаметре, касается стороны AD . Найдите площадь трапеции.
6. Найдите, при каком значении высоты равнобедренная трапеция с острым
углом 45 и периметром 8 имеет наибольшую площадь.
7. Через середину стороны ромба перпендикулярно этой стороне проводится
прямая, которая делит ромб на части, площади которых равны 12 и 27.
Найдите сторону ромба.
8. Внутри равностороннего треугольника ABC со стороной a выбрана
точка M так, что площади треугольников ABM , ACM и BCM
пропорциональны числам 1, 2 и 3 соответственно. Найдите длину отрезка
AM .
9. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD биссектриса угла B
перпендикулярна боковой стороне AD и пересекает ее в точке E . В каком
отношении прямая BE делит площадь трапеции, если известно, что
AE  2 DE ?
10. На плоскости заданы две окружности радиусов 3 и 1, расстояние между
центрами которых равно 2 2 . Прямая l — общая касательная этих
окружностей. Найти площадь треугольника, вершинами которого являются
точки касания и ближайшая к l точка пересечения окружностей.
11. В треугольнике ABC проведена медиана BD . Известно, что угол ABC
равен 135 , окружность, описанная около треугольника BCD , касается
прямой AB , и ее радиус равен R . Найдите площадь треугольника ABC .
12. Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Через середину M
стороны AB проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке N и
продолжение стороны BC в точке D . Найдите длину отрезка MN , если
известно, что площади треугольников AMN и NCD равны.
13. Равносторонние треугольники ABC и AMN расположены так, что
стороны AB и AM образуют угол в 30 . Известно, что площадь
пересечения треугольников ABC и AMN равна 638 3 , а площадь их
объединения равна 215
8
14. Основания BC и
сторонах AB и CD
и прямая MN делит
3 . Найдите площадь каждого из треугольников.
AD трапеции ABCD таковы, что AD  3BC . На
выбраны точки M и N так, что BM  2 AM
площадь трапеции пополам. Найдите отношение
CN  ND .
15. Найдите, при каком значении высоты равнобедренная трапеция с острым
углом 45 и площадью 10 имеет наименьший периметр.
16. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC  2 , BC  3 . На
прямую, проходящую через точку C , опущены перпендикуляры AH и BK .
Известно, что точка H лежит между точками C и K , причем CK  3CH .
Найдите площадь трапеции AHBK .
17. Внутри квадрата ABCD взята точка E так, что угол BEC прямой.
Найдите площадь треугольника BCE , если известно, что BC  10 , а
расстояние от центра квадрата до точки E равно 1.
18. В равнобедренной трапеции ABCD угол при вершине A равен 60 , а
длина диагонали AC равна 2 3 . Найдите площадь трапеции, если известно,
что прямая, параллельная AC и делящая площадь трапеции пополам,
пересекает трапецию по отрезку, длина которого равна 3.
19. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD .
Известно, что биссектриса угла C параллелограмма делит треугольник
AMD на две части равной площади. Найдите длину стороны AD , если
CD  4 .
Словарь терминов
Внутренняя мера. Пусть F — произвольная ограниченная геометрическая
фигура на плоскости. Для всякого натурального n составим элементарную
фигуру F  n ранга n , которая образована всеми квадратами n -го ранга,
целиком содержащимися в F . Тогда числовая последовательность S ( F  n )
не убывает и ограничена сверху, а поэтому существует предел
S ( F )  lim S ( F n) , который называется внутренней мерой фигуры F .
n 
Внешняя мера. Пусть F — произвольная ограниченная геометрическая
фигура на плоскости. Для всякого натурального n составим элементарную
фигуру F n ранга n , которая образована всеми квадратами n -го ранга,
имеющими с F хотя бы по одной общей точке. Тогда числовая
последовательность S ( F n) не возрастает и ограничена снизу, а поэтому
существует предел S ( F )  lim S ( F n) , который называется внешней мерой
n 
фигуры F .
Измеримая по Жордану фигура на плоскости. Фигура F
плоскости называется измеримой по Жордану, если его внутренняя мера
равна внешней мере, то есть S ( F )  S ( F ) .
Мера Жордана фигуры на плоскости. Для измеримой фигуры F
общее значение S ( F ) и S ( F ) называются мерой Жордана фигуры F .
Меру Жордана плоской фигуры чаще всего называют площадью этой
фигуры.
Аддитивность площади. Если фигуры F и G на плоскости не
имеют общих внутренних точек, то
S ( F  G )  S ( F )  S (G )
Это свойство играет принципиальную роль в теории меры, и его называют
специальным термином — аддитивность.
Монотонность площади. Если фигура F на плоскости содержит
элементарную фигуру G , то S ( F )  S (G ) . Это свойство называется
монотонностью площади и в символической форме может быть записано
так:
G  F  S (G )  S ( F )
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Рисунок 4.
Fig05.eps
Fig06.eps
Fig07.eps
Fig08.eps