Задание 1.
Случайная погрешность прибора для измерения сопротивления
изоляции имеет три независимые составляющие, средние
квадратические значения которых равны 0,6 МОм, 0,2 МОм и 1,5 МОм
соответственно. Определите значение результирующей средней
квадратической погрешности прибора и доверительный интервал для
однократного измерения сопротивления изоляции при доверительной
вероятности 0,95. Сколько наблюдений надо сделать, чтобы в три
раза уменьшить погрешность измерения среднего значения
сопротивления изоляции? Закон распределения случайной
погрешности прибора принять нормальным.
Решение:
Рассчитываем значение средней квадратической погрешности
прибора по формуле:
𝜎 = √𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 ,
(1.1)
где 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 – заданные СКО составляющих случайной погрешности
прибора.
𝜎 = √0,62 + 0,22 + 1,52 = 1,628 МОм.
В предположении нормальном законе распределения случайной
погрешности для определения доверительного интервала для
однократного измерения сопротивления изоляции справедлива
запись:
(1.2)
±𝐾н (𝑃дов ) ∗ 𝜎.
При заданной доверительной вероятности 𝑃дов = 0,95
соответствующее значение коэффициента 𝐾н (𝑃дов ) = 2.
Следовательно, искомый доверительный интервал может быть
представлен в виде:
±2 ∗ 1,628 = ±3,25 МОм.
Известно, что если за результат измерения взять среднее
арифметическое из 𝑛 измерений, то точность повышается в √𝑛 раз.
Таким образом, чтобы в три раза уменьшить погрешность
измерения среднего значения сопротивления изоляции (а это
означает, что √𝑛 = 3), необходимо сделать:
𝑛 = 32 = 9 наблюдений.
Задание 2.
Электронным вольтметром постоянного напряжения,
нормируемая относительная погрешность которого находится в
пределах ± 2,0 %, измеряют сигнал, форма которого показана на рис.
2.1.
Запишите результат измерения постоянной составляющей этого
сигнала с оценкой абсолютной погрешности.
Изобразите на графике, как изменится этот сигнал при
прохождении через RC – цепочку закрытого входа. Определите
показания электронного вольтметра переменного напряжения с
закрытым входом и выпрямительным преобразователем при
измерении такого сигнала. Предел измерения этого вольтметра 2,5 В,
а нормируемая относительная погрешность ± 1,5%.
Решение:
Вольтметр постоянного напряжения оперирует постоянной
составляющей измеряемого напряжения. Поэтому его показания
равны среднему значению 𝑈 исследуемого напряжения за период.
Рассматриваемый сигнал прямоугольной формы имеет период
𝑇 = 5 мс и характеризуется тем, что на части периода он равен
какому-то постоянному значению, а на оставшейся части периода он
равен нулю.
Математическая модель данного сигнала имеет вид:
6 В,
при 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
при 2 ≤ 𝑡 ≤ 3.
𝑢(𝑡) = {−2 В,
0,
при 1 ≤ 𝑡 ≤ 2; 3 ≤ 𝑡 ≤ 5
В соответствии с этим и определяем искомое среднее значение
напряжения за период по формуле:
2
𝑇
1
𝑈 = ∗ ∫ 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 , (2.1) [1, стр. 62]
𝑇
0
где 𝑈 – среднее значение напряжения за период; 𝑢(𝑡) – мгновенное
значение измеряемого сигнала; 𝑇 – период синала.
0,001
0,003
1
𝑈=
∗ ( ∫ 6 𝑑𝑡 − ∫ 2𝑑𝑡) =
0,005
0
=
0,002
1
0,004
∗ (6 ∗ 0,001 − 2 ∗ 0,001) =
= 0,8 В.
0,005
0,005
По условию задачи для вольтметра постоянного напряжения
известна его относительная погрешность 𝛿1 = ±2,0%.
Тогда предельно допускаемая абсолютная погрешность будет
равна:
𝛿1 ∗ 𝑈
∆1 =
. (2.2)
100%
2,0 ∗ 0,8
= ±0,016 В.
100
Записываем результат измерения:
𝑈 = (0,800 ± 0,016) В.
При прохождении через RC – цепочку закрытого входа исходный
сигнал будет выглядеть следующим образом:
∆1 = ±
3
Показания вольтметров с открытым (ОВ) и закрытым входом (ЗВ)
различаются тем, что вольтметр с закрытым входом отсекает
постоянную составляющую сигнала. Кроме того, наличие
выпрямительного преобразователя позволяет заключить, что
вольтметр переменного напряжения в данном случае будет измерять
средневыпрямленное значение переменной составляющей.
Таким образом, средневыпрямленное значение измеряемого
напряжения:
𝑈св =
𝑇
0,001
0
0
0,003
1
1
∗ ∫|𝑢(𝑡) − 𝑈| 𝑑𝑡 =
∗ ( ∫ |6 − 0,8| 𝑑𝑡 + ∫ |−2 − 0,8| 𝑑𝑡)
𝑇
0,005
0,002
=
=
1
0,008
∗ (5,2 ∗ 0,001 + 2,8 ∗ 0,001) =
= 1,6 В.
0,005
0,005
Для показаний вольтметра переменного напряжения
𝑈св пок = 1,11 ∗ 𝑈св = 1,11 ∗ 1,6 = 1,776 В
задан предел измерения 𝑈н = 2,5 В и нормируемая относительная
погрешность 𝛿2 = ±1,5%.
Тогда предельно допускаемая абсолютная погрешность будет
равна:
𝛿2 ∗ 𝑈св
1,5 ∗ 1,776
∆2 =
=±
= ±0,027 В.
100%
100
Записываем результат измерения:
𝑈св пок = (1,776 ± 0,027) В.
4
Задание 3.
На входы X и Y осциллографа поданы внешние развертывающие
сигналы, форма которых показана на рис. 3.1. Постройте
изображение, которое получится на экране осциллографа.
Решение:
Исследуемый луч подается к вертикально отклоняющим
пластинам и вызывает смещение луча по вертикали. Для получения
изображения необходимо, чтобы луч одновременно перемещался с
постоянной скоростью и по горизонтали (такое смещение луча
обеспечивает напряжение развертки). Таким образом, для каждого
выбранного момента времени мы определяем точку,
соответствующую определенному смещению луча и по вертикали, и
по горизонтали. По мере нарастания или убывания пилообразного
напряжения развертки луч отклоняется, светящаяся точка на экране
перемещается по горизонтальной оси от начала до конца экрана. В
момент спада пилообразного напряжения до нуля луч (светящаяся
точка) почти мгновенно возвращается в исходное положение.
Обратный ход луча полезной информации не несет, поэтому его
линия на осциллограмме занимает очень малое время (из-за
инертности глаз и экрана мы его не видим).
В начальный период времени пятно на экране находится в точке
0 координатной сетки. В момент времени 𝑡1 луч смещается по
вертикали на 𝑦1 , а по горизонтали – на 𝑥1 , что соответствует
положению пятна на экране в точке 1. Затем в момент времени 𝑡2 луч
смещается по вертикали на 𝑦2 , а по горизонтали – на 𝑥2 , что
соответствует положению пятна на экране в точке 2 и так далее.
В точке 12 будет иметь место обратный ход луча по экрану
осциллографа (падения напряжения развертки до нуля).
5
В течение последующих периодов луч и пятно на экране будут
повторять свое движение.
6
Задание 4.
Оцените, с какой абсолютной погрешностью можно измерить
период напряжения питающей сети, если отношение сигнал-шум в
измеряемом сигнале 40 дБ. В распоряжении имеется цифровой
частотомер со следующими характеристиками: относительная
погрешность опорного кварцевого генератора находится в
пределах ±5·10–6; частота меток времени, формируемых из
сигнала опорного генератора, может быть установлена равной 0,1;
1 или 10 МГц. Напишите формулу для суммарной абсолютной
погрешности измерения периода, назовите составляющие суммарной
погрешности, выберите частоту меток времени, оцените
абсолютную погрешность измерения периода частоты сети,
запишите в соответствии с правилами возможный результат
измерения.
Решение:
Результирующая (суммарная) предельная относительная
погрешность измерения периода 𝛿𝑇 определяется тремя
составляющими:
𝛿𝑇 = ±(𝛿0 + 𝛿кв + 𝛿з ),
−6
где 𝛿0 = 5 ∗ 10 – предельная погрешность опорного генератора;
𝛿кв = 𝑇0 ⁄𝑇𝑥 – предельная погрешность квантования (дискретности); 𝛿з
– погрешность уровня запуска.
Погрешность уровня запуска в свою очередь складывается из
нескольких составляющих: погрешности срабатывания формирующих
устройств прибора, погрешности вследствие наличия шумов в
измеряемом сигнале и т.п. При измерении периода синусоидального с
амплитудой Uc при наличии шума с пиковым значением Uш
максимальная относительная погрешность уровня запуска может быть
оценена по формуле:
𝑈ш
𝛿з = ±
.
𝜋 ∗ 𝑈с
Объединим все перечисленные составляющие погрешности в
одну формулу:
𝑇0
𝑈ш
𝛿𝑇 (𝑇𝑥 ) = 𝛿0 + 𝛿кв + 𝛿з = 5 ∗ 10−6 + +
.
𝑇𝑥 𝜋 ∗ 𝑈с
Выразим отношение напряжения сигнала к напряжению шума из
величины 𝑝:
𝑈с
20 ∗ 𝑙𝑔 ( ) = 𝑝 = 40 дБ;
𝑈ш
𝑈с
40
𝑙𝑔 ( ) =
= 2;
𝑈ш
20
7
Тогда:
𝑈ш
= 10−2 .
𝑈с
𝛿0
1
+
).
𝛿𝛿 𝛿 ∗ 100
Соответствующая предельная абсолютная погрешность периода
определится следующим выражением:
𝛿0
1
∆𝛿 (𝛿𝛿 ) = 𝛿𝛿 (𝛿𝛿 ) ∗ 𝛿𝛿 = ± (5 ∗ 10−6 +
+
) ∗ 𝛿𝛿 =
𝛿𝛿 𝛿 ∗ 100
𝛿𝛿 (𝛿𝛿 ) = ± (5 ∗ 10−6 +
𝛿𝛿
).
𝛿 ∗ 100
Частоту меток времени выбираем из условия минимизации
погрешности, то есть наибольшую из возможных и равную 10 МГц.
Тогда выражение для абсолютной погрешности периода примет
вид:
1
𝛿𝛿
∆𝛿 (𝛿𝛿 ) = ± (5 ∗ 10−6 ∗ 𝛿𝛿 +
+
)=
10 ∗ 106 𝛿 ∗ 100
= ± (5 ∗ 10−6 ∗ 𝛿𝛿 + 𝛿0 +
= ±[(5 ∗ 10−6 + 3,18 ∗ 10−3 ) ∗ 𝛿𝛿 + 10−7 ] = ±(0,368 ∗ 10−4 ∗ 𝛿𝛿 + 10−7 ).
Таким образом, в частности принимая 𝛿𝛿 = 10−3 с, получаем:
∆𝛿 (𝛿𝛿 ) = ±(0,368 ∗ 10−4 ∗ 10−3 + 10−7 ) = ±1,368 ∗ 10−7 .
Записываем результат измерения:
𝛿𝛿 = (1,00000 ± 0,00014) мс.
Задание 5.
Найдите в соответствующем законе указания на принципиальное
различие требований, содержащихся в технических регламентах (с
одной стороны) и в стандартах (с другой стороны).
Решение:
Федеральный закон от 27.12.2002 N 184-ФЗ (ред. от 02.07.2021)
"О техническом регулировании"
Статья 2. Основные понятия.
«стандарт - документ, в котором в целях добровольного
многократного использования устанавливаются
характеристики продукции, правила осуществления и
характеристики процессов проектирования (включая
8
изыскания), производства, строительства, монтажа, наладки,
эксплуатации, хранения, перевозки, реализации и утилизации,
выполнения работ или оказания услуг. Стандарт также может
содержать правила и методы исследований (испытаний) и
измерений, правила отбора образцов, требования к
терминологии, символике, упаковке, маркировке или этикеткам
и правилам их нанесения;».
При этом:
«технический регламент - документ, который принят
международным договором Российской Федерации, подлежащим
ратификации в порядке, установленном законодательством
Российской Федерации, или в соответствии с международным
договором Российской Федерации, ратифицированным в
порядке, установленном законодательством Российской
Федерации, или федеральным законом, или указом Президента
Российской Федерации, или постановлением Правительства
Российской Федерации, или нормативным правовым актом
федерального органа исполнительной власти по техническому
регулированию и устанавливает обязательные для
применения и исполнения требования к объектам
технического регулирования (продукции или к продукции и
связанным с требованиями к продукции процессам
проектирования (включая изыскания), производства,
строительства, монтажа, наладки, эксплуатации, хранения,
перевозки, реализации и утилизации);».
9
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Ленцман В.Л. Метрология, техническое регулирование и
радиоизмерения: учебное пособие. – СПб.: Издательство «Теледом»
ГОУВПО СПбГУТ, 2010.
2. Метрология, стандартизация, сертификация и
электроизмерительная техника: Учебное пособие. Ким К.К., Анисимов
Г.Н., Барбарович В.Ю., Литвинов Б.Я., СПб: Питер, 2008.
3. Метрология, стандартизация и сертификация. Терегеря В.В.,
М.: Юрайт, 2011.
4. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебное пособие.
Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В., М.: Логос, 2005.
5. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных
системах: Учебник для ВУЗов. В.И. Нефедов, В.И. Хахин, Е.В.
Федоров и др. Под ред. В.И. Нефедова, М.: Высшая школа, 2005.
10
