09-02-02_Lineinoe_neravenstvo_s_dvumja_neizvestnymi

Тема 2. Линейные неравенства
09-02-01. Линейное неравенство с двумя неизвестными
Теория
2.1. Линейным неравенством с двумя неизвестными называется неравенство одного из
следующих видов:
ax  by  c  0
ax  by  c  0
ax  by  c  0
ax  by  c  0
где a , b , c – некоторые числа и x , y – неизвестные.
Пара чисел ( x0  y0 ) называется решением неравенства ax  by  c  0 , если
ax0  by0  c  0 — верное неравенство. Аналогично определяется решение линейного
неравенства ax  by  c  0 .
Два неравенства с двумя неизвестными называются равносильными, если они имеют
одно и то же множество решений.
Решить неравенство это значит найти множество всех его решений.
Каждое решение ( x0  y0 ) неравенства ax  by  c  0 можно изобразить точкой
координатной плоскости, имеющей абсциссу x0 и ординату y0 . Наша задача состоит в
том, чтобы научиться изображать на плоскости множество всех решений любого
линейного неравенства.
2.2. Подробно разберем, как на координатной плоскости изображаются решения
линейного неравенства вида
ax  by  c  0
Для этого по очереди рассмотрим шесть возможных случаев.
Случай 1. Пусть a  0 , b  0 и c  0 , например, c  5 . В этом случае неравенство
ax  by  c  0 запишется в виде 0  x  0  y  5  0 . Нетрудно понять, что любая пара чисел
( x0  y0 ) является решением этого неравенства, так как при подстановке получаем 5  0 —
верное числовое неравенство. Поэтому множеством всех решений неравенства
0  x  0  y  5  0 является вся плоскость.
Аналогичные рассуждения можно провести при любом значении c  0 и получить,
что при a  0 , b  0 и c  0 множеством решений неравенства ax  by  c  0 является вся
плоскость.
Случай 2. Пусть a  0 , b  0 и c  0 , например, c  1 . В этом случае неравенство
ax  by  c  0 запишется в виде 0  x  0  y  1  0 . При подстановке вместо неизвестных
любой пары чисел ( x0  y0 ) получим 1  0 . Но это неверное числовое неравенство.
Поэтому множество решений неравенства 0  x  0  y  1  0 пусто.
Аналогичные рассуждения можно провести при любом значении c  0 и получить,
что при a  0 , b  0 и c  0 множеством решений неравенства ax  by  c  0 является
пустое множество.
2.3. Перейдем к случаям решения неравенства ax  by  c  0 при b  0 .
Случай 3. Пусть b  0 , а числа a и c – произвольные. Например, пусть a  2 , b  3 ,
c  1 . Тогда неравенство имеет вид 2 x  3 y  1  0 .
Перенесем слагаемые 2 x и 1 в неравенстве 2 x  3 y  1  0 в правую часть с
противоположными знаками и получим равносильное неравенство 3 y  2 x  1 . Затем,
разделив обе части полученного неравенства на число 3, большее 0, мы получим
следующее неравенство, равносильное данному неравенству 2 x  3 y  1  0 :
1
2
y    x  
(1)
3
3
Изобразим на координатной плоскости прямую l , заданную уравнением
1
2
y    x  
3
3
Координаты x и y всех точек этой прямой удовлетворяют неравенству (1), так как
если y   23   x  13 , то тем более y   23   x  13 .
Возьмем теперь на рисунке 1 произвольную точку A выше прямой l и проведем
через нее прямую, перпендикулярную оси Ox . Она пересечет прямую l в некоторой точке
B . Пусть точка A имеет координаты ( x0  y0 ) . Тогда точка B будет иметь координаты
( x0  y1 ) , причем y1  y0 .
Поскольку точка B лежит на прямой l , то ее координаты ( x0  y1 ) удовлетворяют
уравнению прямой l , то есть
1
2
y1     x0  
3
3
Благодаря неравенству y0  y1 , получаем
1
2
y0     x0  
3
3
Таким образом, координаты всех точек плоскости, лежащих выше прямой l и на
самой прямой l , удовлетворяют неравенству (1), а значит, удовлетворяют и
равносильному неравенству 2 x  3 y  1  0 .
Возьмем теперь произвольную точку A( x0  y0 ) , лежащую ниже прямой l (рисунок 2).
Аналогичные рассуждения показывают, что в этом случае выполняется неравенство
1
2
y0     x0   и поэтому координаты x0  y0 ) точки A удовлетворяют неравенству
3
3
2 x  3 y  1  0 , а значит, не удовлетворяют неравенству (1) и равносильному ему
неравенству 2 x  3 y  1  0 .
Итак,
множество решений ( x0  y0 ) неравенства 2 x  3 y  1  0 есть полуплоскость,
состоящая из точек графика линейной функции y   23   x  13 и всех точек,
лежащих выше этого графика (рисунок 3).
Аналогичные рассуждения можно провести при любом положительном значении b и
получить, что при b  0 множеством решений неравенства ax  by  c  0 является
полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y   ba x  bc и всех точек,
лежащих выше этого графика (предполагается, что положительное направление оси
ординат на чертеже идет вверх).
2.4. Разберем очередной случай при решении неравенства ax  by  c  0 .
Случай 4. Пусть b  0 , а числа a и c – произвольны. Например, пусть a  2 , b  2 ,
c  1 . Тогда неравенство имеет вид 2 x  2 y  1  0 . Умножив обе части неравенства на
число -1, получим равносильное неравенство
2x  2 y 1  0 .
Этому неравенству не удовлетворяют такие пары чисел ( x0  y0 ) , для которых
2 x0  2 y0  1  0 , то есть все решения неравенства 2 x  2 y  1  0 .
Неравенства такого вида рассматривались в предыдущем пункте.
Поэтому для представления решений неравенства
2x  2 y 1  0
нужно рассмотреть уравнение 2 x  2 y  1  0 , выразить y как функцию от x в виде
y  12  x , построить прямую m — график этой функции (рисунок 4) и рассмотреть часть
координатной плоскости, которая расположена выше прямой m .
При этом решениями неравенства 2 x  2 y  1  0 будут все точки заштрихованной на
рисунке 5 полуплоскости за исключением ее границы.
Теперь для получения решений неравенства 2 x  2 y  1  0 нужно из всех точек
плоскости удалить те, которые являются решениями неравенства 2 x  2 y  1  0 , то есть
удалить точки, полученные на рисунке 5. Оставшиеся точки изображены на рисунке 6,
которые и представляют все решения неравенства 2 x  2 y  1  0 , а значит и все решения
начального равносильного ему неравенства 2 x  2 y  1  0 .
Итак,
множество решений ( x0  y0 ) неравенства 2 x  2 y  1  0 есть полуплоскость,
состоящая из точек графика линейной функции y  12  x и всех точек, лежащих
ниже этого графика (рисунок 6).
Аналогичные рассуждения можно провести при любом отрицательном значении b и
получить, что при b  0 множеством решений неравенства ax  by  c  0 является
полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y   ba x  bc и всех точек,
лежащих ниже этого графика.
2.5. Перейдем к случаям решения неравенства ax  by  c  0 при b  0 и a  0 .
Случай 5. Пусть b  0 , a  0 и c –произвольное число. Например, пусть a  4 , b  0 ,
c  5 . Тогда неравенство имеет вид 4 x  0  y  5  0 . Обе части неравенства 4 x  5  0
можно разделить на число 4 с сохранением знака неравенства. Прибавив затем к обеим
частям неравенства число  54 , получим x   54 . Мы видим, что множество решений
неравенства 4 x  5  0 изображается правой полуплоскостью, ограниченной прямой
x   54 (рисунок 7).
Случай 6. Пусть b  0 и a  0 . Тогда неравенство ax  c  0 аналогично преобразуется
к равносильному неравенству x   ac , и множество решений неравенства изображается
левой полуплоскостью относительно прямой x   ac (рисунок 8).
Вопрос. Как изображается множество решений неравенства 0  x  5 y  3  0 ?
2.6. Итак, при a  0 или b  0 множество решений любого из неравенств вида
ax  by  c  0
ax  by  c  0
ax  by  c  0
ax  by  c  0
изображается полуплоскостью, ограниченной прямой с уравнением ax  by  c  0 . В
случае нестрогих неравенств эта прямая содержится в множестве решений, а в случае
строгих неравенств — исключается из множества решений. Есть простой способ
определения нужной полуплоскости при решении линейного неравенства с двумя
неизвестными. Продемонстрируем его на примерах.
Пример 1. Решим неравенство x  2 y  2  0 .
Запишем уравнение x  2 y  2  0 . Выразим y  1  12 x . Построим график линейной
функции y  1  12 x (рисунок 9).
Теперь возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой y  1  12 x , например,
точку (0;0). При подстановке ее координат в начальное неравенство получим
0  2  0  2  0 . Это неверное неравенство, а значит точка O(0 0) не входит в множество
решений неравенства x  2 y  2  0 .
Отсюда делаем вывод, что множеством решений данного неравенства является
полуплоскость с границей y  1  12 x , которая не содержит точку O(0 0) (рисунок 10). Так
как неравенство нестрогое, то граница полуплоскости включается в множество его
решений.
Пример 2. Решим неравенство x  y  2  0 .
Запишем уравнение x  y  2  0 . Выразим y  x  2 . Построим график функции
y  x  2 (рисунок 11).
Так как пара координат точки O(0 0) является решением неравенства x  y  2  0 , то
множеством решений данного неравенства является содержащая точку O(0 0)
полуплоскость с границей y  x  2 за исключением самой границы.
Мы для простоты выбирали точку O(0 0) , и ее координаты подставляли в левую
часть неравенства и проверяли истинность неравенства при этих значениях.
Можно было взять любую точку, не лежащую на прямой, и провести аналогичные
рассуждения как в примере 1, так и в примере 2.
2.7.** Решим систему неравенств
2 x  y  1

 x  2 y  2
 x  2 y  3

Сначала решим каждое неравенство в отдельности, а затем найдем пересечение
полуплоскостей, изображающих множества решений данных неравенств.
Первое неравенство равносильно неравенству y  2 x  1 , второе — неравенству
y   12 x  1 и третье — неравенству y  12 x  1 .
Строим прямые y  2 x  1 , y   12 x  1 и y  12 x  1.
Берем нижнюю полуплоскость относительно первой прямой y  2 x  1 , нижнюю
полуплоскость относительно второй прямой y   12 x  1 и верхнюю полуплоскость
относительно третьей прямой y  12 x  1. Пересечением этих полуплоскостей является
плоский треугольник, изображенный на рисунке 12. Этот треугольник и служит
изображением множества решений данной системы.
Контрольные вопросы
1. Что называют решением линейного неравенства с двумя неизвестными?
2. Что значит решить неравенство ax  by  c  0 ?
3. Какие неравенства с двумя неизвестными называются равносильными?
4. Каков вид может иметь множество решений неравенства ax  by  c  0 при a  0 и
b  0?
5. Как изображается на координатной плоскости множество решений неравенства
ax  by  c  0 при a  0 или b  0 ?
6.** Как решить систему линейных неравенств с двумя неизвестными?
Задачи и упражнения
1. Решить уравнение и изобразите множество его решений на координатной
плоскости:
а) 2 x  3 y  1 ;
б) x  12 y  2 ;
в) x  y  x  y ;
г) 6 x  5 y  1  0 ;
д)   1 .
2. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной
плоскости:
а) y  12 x  32 ;
б) y   23 ;
в) x  2 y  3 ;
г) 5 x  y  3x  2 ;
д) 6 x  7 y  11  x  3 y  6 ;
x
2
y
3
е)  ( x  1)2  ( y  2)2  ( x  2)2  ( y  3)2 .
3.** Изобразите на плоскости множество решений системы неравенств:
 2 x  3 y  13  0

 x  y  6  0
 4 x  y  19  0

4.** Покажите, что следующая система неравенств несовместна, то есть не имеет ни
одного решения:
 2 x  3 y  13  0

 x  y  6  0
 4 x  y  19  0

5.** Изобразите множество решений системы неравенств:
 x  0 y  0

 x  y  1  0
 y  x

6. ** Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы
плоским треугольником с вершинами:
а) (-1;0), (0;1), (1;0);
б) (-1;4), (3;1), (-3;-2).
7. ** Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы:
а) отрезком оси Ox с абсциссами от 0 до 1;
б) интервалом оси Oy с ординатами от -3 до 2;
в) полуинтервалом оси Ox с абсциссами из (1;3].
8. ** Докажите, что если две точки A и B координатной плоскости принадлежат
множеству M решений некоторой системы линейных неравенств
a1 x  b1 y  c1  0


a x  b y  c  0
n
n
 n
Ответы и указания
Задача 3 . Изобразите на плоскости множество решений системы неравенств:
 2 x  3 y  13  0

 x  y  6  0
 4 x  y  19  0


Указание. Получается внутренность треугольника с вершинами A(1 5) , B(51) и C (7 9) .
Для проверки можно рассмотреть точку (2 5) , расположенную внутри этого
треугольника, и показать, что координаты этой точки удовлетворяют всем неравенствам
системы.
Задача 4  . Покажите, что следующая система неравенств несовместна, то есть не
имеет ни одного решения:
 2 x  3 y  13  0

 x  y  6  0
 4 x  y  19  0

Указание. Геометрически это можно пояснить следующим образом. Если изобразить
прямые x  y  6  0 и 4 x  y  19  0 , то множество решений системы из двух неравенств
x  y  6  0 , 4 x  y  19  0 в виде выпуклого плоского угла, ограниченного лучами этих
прямых. Если затем изобразить полуплоскость 2 x  3 y  13  0 , то можно увидеть, что
полученный ранее плоский угол целиком расположен в другой полуплоскости,
ограниченной прямой 2 x  3 y  13  0 .
Задача 5  . Изобразите множество решений системы неравенств:
x  0 y  0 x  y  1  0 y  x
Указание. Получается плоский угол между положительным лучом оси Ox и биссектрисой
первого координатного угла, включая лучи.
Задача 6  . Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось
бы плоским треугольником с вершинами:
а) (1 0) (01) (1 0) ;
б) (1 4) (31) (32) .
Указание. Сначала нужно составить уравнения прямых, проходящих через пары вершин, а
затем для каждой из прямых определить полуплоскость, в которой расположен
треугольник. В результате получится:
 y  0
 x  2 y  1


а) ( y  x)  1
б) 3x  4 y  13
( x  y )  1
3x  y  7


Задача 7  . Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось
бы:
а) отрезком оси Ox с абсциссами от 0 до 1 ;
б) интервалом оси Oy с ординатами от 3 до 2 ;
в) полуинтервалом (1 3] оси Ox .
 y  0
 x  0
 y  0
Указание. а) 
б) 
в) 
0  x  1
3  y  2
1  x  3

Задача 8 . Докажите, что если две точки A и B координатной плоскости принадлежат
множеству M решений некоторой системы линейных неравенств
a1 x  b1 y  c1  0


a x  b y  c  0
n
n
 n
то все точки отрезка AB принадлежат этому же множеству, то есть докажите,
что M - выпуклое множество.
Указание. Пусть A(m n) , B ( p q ) и C  m  t ( p  m) n  (t (q  n) , где t  [01] — любая
точка отрезка AB . Для каждого 1  k  n при подстановке в выражение ak x  bk y  ck z
координат точки C вместо x и y получаем:
ak (m  t ( p  m))  bk (n  t (q  n))  ck 
 (1  t )(ak m  bk n  ck )  t (ak m  bk n  ck )  (1  t )0  t 0  0
что и требовалось доказать.