Методика обучения геометрии в 5
advertisement
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В 5-6 КЛАССАХ Автор Локтионова Наталья Николаевна 1 ОГЛАВЛЕНИЕ: Введение. Методика обучения геометрии в 5-6 классах. §1. Психологические основы обучения младших школьников геометрии. §2. Стандарт знаний и умений школьников по геометрии. §3. Краткая характеристика приёмов математической деятельности. Уровни математического мышления. §4. Геометрический материал в курсе математики 5-6 классов. §5. Некоторые методические рекомендации по обучению геометрии в 5-6 классах по учебнику Г.В.Дорофеева. Заключение. Литература. 2 Введение. Геометрия, как наука, прошла долгий путь развития от первых практических правил для вычисления площадей и объемов, относящихся к глубокой древности, до оформления науки в строгую логическую систему. Первые попытки привести геометрические знания в систему, установить логические связи между отдельными предложениями осуществлены на много раньше, чем была поставлена подобная задача для других математических дисциплин. Создание математического курса геометрии Евклида относится к 3в. до н.э. в течение двух тысячелетий «Начала» Евклида считались безупречными в логическом отношении и служили образцом для построения учебников по геометрии. Только во второй половине XIX в., когда основания геометрии были подвергнуты глубокому анализу, что оказалось возможным благодаря работам великого русского геометра Н.И. Лобачевского, были выявлены те требования, которым должно удовлетворять строгое логическое построение математической дисциплины. В настоящее время научный курс геометрии является строго дедуктивным. В его основу положена некоторая система аксиом и определенное число основных или первоначальных понятий. Содержание этих понятий раскрывается в аксиомах. Все дальнейшее изложение курса осуществляется чисто логическим путем: каждому вновь вводимому понятию дается определение, каждое новое предложение доказывается. В таком курсе нигде не обращаются к опыту или непосредственной очевидности Требование, чтобы каждое предложение, если оно может быть логически выведено, было доказано, приводит к наличию очень отвлеченных, формальных доказательств фактов, не вызывающих сомнений. Например, доказывается теорема: Для данного отрезка существует одна и только одна середина. С другой стороны, требования внесения в число аксиом всякого предложения, которое само не может быть доказано, но необходимо для доказательства какой-либо теоремы, приводит к формулированию аксиом, очень сложных по конструкции (например, аксиома непрерывности). Понимание такого строго аксиоматически построенного курса требует от человека высокого логического развития и поэтому ясно, что преподавание чисто дедуктивного курса геометрии не может быть осуществлено в средней школе С современной научной точки зрения курс геометрии Евклида уже не является безупречным, так как в нем не дается перечисление всех аксиом, необходимых для его обоснования, и в некоторых случаях используется очевидность. Небезупречны некоторые определения, данные Евклидом, так как он не вводит основных понятий, считая, что всякое понятие должно быть определено. Все же построение геометрии и на этом уровне строгости дает стройную систему и может дать представление о логической зависимости одних геометрических фактов от других. Школьный курс геометрии, сложившийся под влиянием «Начал» Евклида, претерпевая значительные изменения как в отношении объема даваемого в нем материала, так и в отношении расположения отдельных тем, сохранил в основном тот же дедуктивный характер. Если рассмотреть распространенные 3 учебники геометрии для средней школы 19 и начала ХХ веков (русские и иностранные), то мы найдем в них следующие общие черты: материал располагается в систематическом порядке, чтобы следующие предложения могли быть логически выведены из предыдущих, даются понятия аксиомы и теоремы.;. излагаются дедуктивные доказательства теорем, однако не вводится система аксиом, и некоторые факты принимаются без доказательства, как очевидные. Так, например, при доказательстве теоремы о том, что диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам, само существование точки пересечения не обосновывается, так же считается очевидным, что прямая, проходящая через две точки, из которых одна лежит вне круга, а другая внутри круга, пересечет окружность и т.д. Определение геометрических понятий даются, но эти определения в некоторых случаях не являются логически строгими, представляя собой описание. Такой курс геометрии называют обычно «систематическим» курсом, противопоставляя его курсу наглядной геометрии, называемому «пропедевтическим». В дореволюционной средней школе ученики начинают изучать геометрию сразу с систематического курса. На отсутствие подготовки, как недостаток в изучении геометрии, указывали многие учителя математики еще в конце ХIХ в. и особенно в начале ХХ в. Один из выдающихся русских методистов С.И.ШохорТроцкий так говорил на I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 году: «Вся беда в том, что то количество и качество пространственных восприятий и представлений, которое находится в распоряжении всякого приступающего к занятиям геометрией, считается достаточным для прохождения с ним курса Евклидовой геометрии. Между тем, эти восприятия и представления недостаточны и количественном и в качественном отношениях для достижения цели. А эта высота логического усилия, на которую учитель хочет сразу поднять учащихся, для них недоступна. Учащиеся либо выучивают слова, либо падают духом, и дело кончается тем, что у учащихся по геометрии оказывается и мало познаний и мало навыков, что геометрия для них не была ни школой мышления и логического доказательства, ни школой пространственного воображения»./21, 473-476/ Отдельные попытки изучения с учениками вводного курса наглядной геометрии были осуществлены до революции преимущественно в частных заведениях; в 1911 г. начальный курс геометрии был введен в кадетских корпусах. Большое внимание курсу наглядной геометрии было уделено на I и IIВсероссийских съездах преподавателей математики (в 1911 и в 1913 гг.) / 31, 13/. Над содержанием и методикой преподавания такого курса еще до Октябрьской революции работали русские методисты-математики, продолжавшие эту работу и в советское время. Назовем из них А.М.Астряба, И.Н.Кавуна, А.Р.Кулишера. Введение после Великой Октябрьской революции пропедевтического курса геометрии в школьную программу по математике вызвано не только 4 необходимостью подготовки школьников к сознательному усвоению основного (систематического) курса геометрии, но и стремлением осуществить связь преподавания математики с жизнью, практической деятельностью людей, техникой, а также другими школьными предметами. Начальный (пропедевтический) курс геометрии был включен уже в первые программы по математике Наркомпроса, изданные в 1918 году, а затем и во все последующие. Практическое ознакомление учащихся с некоторыми фигурами давалось уже на уроках арифметики на первом и втором годах обучения. Содержание и объем курса наглядной геометрии неоднократно изменялся. В более ранних программах он охватывал большой круг вопросов. Так, например, по программе 1921 г ученики в V и VI классах изучали площадь параллелограмма и правильного многоугольника, длину окружности, площадь круга, объем прямой призмы и цилиндра, сведения об углах и их измерении, свойства смежных и вертикальных углов, параллельные прямые, понятие об осевой симметрии, равенстве треугольников, подобие треугольников и применение этих знаний к съемке планов на местности и измерению высоты предметов. Программы были перегружены материалом и в последующие годы неоднократно изменялись в сторону сокращения. Начиная с 1937/38 учебного года геометрический материал, содержащий преимущественно вычисление площадей и объемов, был включен в программу по арифметике III, IV,V иVI классов. Большое внимание данным проблемам уделялось в 56-59 годах в связи с принятием новой программы по математике, получившей широкое обсуждение на страницах журнала «Математика в школе», в которой подчеркивается необходимость введения пропедевтического курса геометрии, целесообразность издания отдельного учебника по наглядной геометрии. Эта идея нашла свое отражение в создании учебника «Наглядная геометрия» И.Ф.Шарыгина. К сожалению, этот учебник не нашел широкого применения, используется больше как дополнительный материал. По вопросу о содержании вводного или пропедевтического курса геометрии и о том, в каком классе начинать систематический курс существуют различные мнения, но необходимость начинать обучение с курса наглядной геометрии в настоящее время можно считать общепризнанной. Общеизвестны трудности, которые возникают у учащихся седьмых классов, приступающих к изучению систематического курса геометрии. Анализ постановки школьного геометрического образования показывает: что в курсе математики V –VI классов геометрия составляет не более 25%; понятийный геометрический аппарат фактически остается на уровне начальной школы; элементы теории даются в виде кратких объяснительных текстов; основными видами умозаключений является неполная индукция и аналогия; геометрический материал мало используется для формирования специальных приемов учебной деятельности. 5 При переходе к систематическому курсу в VII классе содержание учебников и теоретический уровень изложения материала резко качественно меняются / 24,19, /, / 32, 49/, / 34,11/, / 35,19/. Если учесть, что программа VII класса предусматривает знакомство на уроках геометрии с 40-50 определениями понятий и 20-30 теоремами, то становится понятными те затруднения, которые возникают у учащихся при осмыслении, запоминании и воспроизведении определений, формулировок теорем. Уникальность геометрии заключается в том, что позволяет наиболее ярко установить связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстракциями; формулировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного изучения данного предмета. В настоящее время мы являемся свидетелями творческих поисков по обновлению школьного математического образования в 1-6 классах /16,46/. В школах 45,69 г. Барнаула, где геометрия выделена в отдельный предмет в V-VI классах, обучение геометрии ведется по учебнику Дорофеева В.Г., как наиболее отвечающему концепции математического образования. В связи с этим мы рассматриваем методические особенности обучения геометрии в V-VI классах по учебнику Дорофеева В.Г., Цель моей работы - выявить специфику обучения геометрии в V-VI классах и, в частности, по учебнику Дорофеева В.Г. Достичь поставленной цели поможет решение следующих задач: 1. выявление психологических особенностей мышления школьников V-VI классов; 2. изучение программ и учебников по математике в V-VI классов; 3. изучение специфики обучения геометрии в V-VI классах; 4. экспериментальная работа в школе, разработка системы уроков. Для решения задач исследования применять следующие методы: изучение методической, педагогической, психологической литературы по данной теме; изучение опыта работы учителей Предмет исследования: методика преподавания геометрии в V-VI классах ГЛАВА 1. Методика преподавания геометрии в V-VI классах. §1 Психологические основы обучения школьников геометрии. Геометрия, отвечая внутренним потребностям детей 10-12 лет, может оказывать на них развивающее воздействие, дети же готовы заниматься пластом геометрии, который связан с познанием геометрических объектов путем созерцания и эксперимента. В этом параграфе авторская концепция В. Г. Дорофеева, составившая основу для отбора содержания методики изучения 6 геометрической составляющей курса. Изучение геометрии в школе начинается с измерения величин. Это соответствует историческому ходу развития геометрии, но не отвечает ходу развития геометрических представлений у детей. Еще. Ж Плаже отмечал, что постижение геометрии идет в направлении от «геометрии формы» к «геометрии измерений», т.к. от качественных операций по изучению формы предметов, составляющих его элементов, их взаимного положения, отношений и т.д. к количественным операциям по измерению их характеристик. Овладение пространством начинается в дошкольном возрасте с усвоения топологических отношений, в младшем школьном возрасте проходит через усвоение проективных отношений и завершается освоением метрических отношений. Для формирования метрических отношений Ж. Плаже отмечал возраст 10-14 лет. В то же время в современной школе формирование метрических отношений начинается значительно позже выделенных периодов. Следствиями этого является отличаемое в целом ряде исследований неудовлетворительное состояние с развитием пространственного воображения школьников, неумение произвести анализ заданной конфигурации (разбить целое на части и снова объединить), многочисленные ошибки при измерении геометрических величин, несостоятельность при решении задач, связанных с практическим содержанием. Психологи отмечают, что в плане умственного развития для детей 10-14 лет характерен переход от стадии конкретных операций к стадии формальных операций. Для него характерны конкретные операции над самим предметом, а не оправданно быстрый, не подкрепленный достаточным практическим опытом переход к формальному правилу приводит его к отрыву от усвоенного понятия и затрудняет практическое применение. Мышление ребенка сначала имеет практическую направленность. Оно возникает в форме наглядно-действенного мышления, основной спецификой которого является неразрывная связь с практическими действиями. Это мышление является ступенью для развития других форм мышления, и недостаточное развитие наглядно-действенного мышления отрицательно сказывается на дальнейшем умственного развития ребенка. Большое значение для развития наглядно-действенного мышления имеют графическая деятельность и конструирование. С течением времени возникает новая форма мышления – наглядно-образное мышление, характеризуемое способностью манипулировать образами без практических действий. Важнейшей особенностью детей 10-12 лет является приоритет образного мышления. На основе практического и наглядно-чувственного опыта у учащихся начинает развиваться логическое мышление, которое выступает в форме абстрактных понятий и суждений. Давно известно, что способность к оперированию образами не является непосредственным результатом усвоения ребенком знаний и умений. Успешный переход от наглядно-действенного к образному мышлению зависит от уровня специально организованной деятельности, в процессе же стихийного обучения наглядно-образного мышления формируется медленно и недостаточно полно. Однако в настоящее время геометрические объекты и изучение их свойств на основе предметно-практических и мысленных действий играют несущественную 7 роль в математическом образовании детей 7-12 лет, тогда как именно они адекватны психологии школьников этого возраста. Достижение развивающего эффекта в процессе изучения геометрии школьниками V-VI классов связано с такой их психологической особенностью, как сосуществование нагляднодейственного, образного мышления, и наличием в геометрии потенциальных возможностей для задействования и развития в процессе ее изучения всех типов мышления. Таким образом, мы убеждены, что изучение геометрии в V-VI классах должно происходить в процессе интеллектуально-практической деятельности учащихся через наблюдение и предметное преобразование геометрического объекта, его описание с использованием геометрической терминологии и осмысление производственных действий. Приоритет образного мышления определяет выбор основного носителя информации. Здесь им должен стать образ, а слово - служить закреплению образа в термине, описанию найденных или воспринимаемых свойств, выполненных действий и т.д. Отметим, еще, что адекватное восприятие вербального определения недоступно детям данного возраста в силу несформированности необходимого уровня словесно-логического мышления. Большое значение для уровня развития образных форм мышления имеют конструирование и изобразительная деятельность. Именно здесь у детей развивается способность представить результат действий, как в целом, так и поэтапно. Графическая деятельность, осуществляемая учащимися V-VI классов весьма разнообразна. Это может быть: во-первых, выполнение схематического рисунка к задаче от руки, во–вторых, построение фигуры или конфигурации с помощью инструментов по известному алгоритму, подразумевающее владение чертежными инструментами и знаниями алгоритма построения, в–третьих, воспроизведение заданного графического изображения, требующее самостоятельного создания алгоритма его построения на основе визуального анализа, в-четвертых, построение изображения по описанию, предполагающее сначала создание зрительного образа, а затем его построения. Какие же виды конструирования предлагаются школьникам V-VI классов при изучении геометрии? Они определяются доступностью для использования на уроке и дома, а так же наличием у учащихся определенных навыков. Ученикам предлагается изготовить модели пространственных тел, необходимые в процессе изучения их свойств. Например, для изучения свойств симметрии в пространстве каждому учащемуся необходимо вылепить из пластилина модели шара, конуса, цилиндра, куба. Эти модели легко разрезаются, что важно при изучении сечения тел. При изучении развертки куба учащиеся должны иметь несколько фигур, из которых можно, а также нельзя свернуть куб. Они изготавливают самостоятельно по данным им выкройкам или рисункам. Наиболее доступный для конструирования материал- это лист бумаги. Вырезанный из листа бумаги квадрат можно резать по диагонали на два равных прямоугольных треугольника и сложить из них новый равнобедренный треугольник, параллелограмм, можно 8 «перекроить» в прямоугольник и т.д. Можно еще строить геометрические фигуры путем перегибания листа бумаги. Без сомнений важным видом деятельности для развития образного мышления является наблюдение. Восприятие обслуживает продуктивную деятельность, формируется вместе с ней. Восприятие складывается в результате определенным образом организованной системы действий. Эти действия, носящие название перцептивных, обеспечивают, во-первых, построение мысленного образа, адекватного ситуации, а во-вторых, сличение воспринимаемых объектов с хранящимися в памяти прежними их изображениями и опознание их объектов, т.е. отнесение их к тому или иному классу. На этапе создания образа перцептивные действия носят моторный характер - движения рук, ощупывающие предмет , движения глаз, прослеживающие контур предмета и т.д. Движения, вплетенные в процесс восприятия, дополняют визуальные впечатления и способствуют формированию более полного образа фигуры или конфигурации. Такими действиями при изучении свойств геометрических объектов могут являться: преобразование предметной модели, проведение ладонью по поверхности предмета, фиксирование пальцами граней, обведение контура фигуры карандашом или пальцем и др. Важное место в структуре процесса изучения геометрических объектов занимает воображение, характеризуемое как создание новых образов на основе заданного наглядного материала и оперирование образами. Развитие внутреннего плана действий и умение мыслить образами осуществляется через представление объекта на основе заданного рисунка, проекционного чертежа, развертки или по вербальному описанию, через мысленное перемещение объекта или смену точки наблюдения, через представление проекций геометрического тела или его сечений. Но возможно ли только за счет развитого восприятия и воображения увидеть на рис.1 все 35 треугольников? Наверное нет. Здесь не обойтись без мышления, и в частности без ложки перебора. В А О F K C Q H Е Д Рис.1. В процессе изучения геометрических объектов включаются и дедуктивные рассуждения, но лишь локально и параллельно с непосредственным наблюдением и экспериментом. Постепенный переход к увеличению элементов дедукции дает учителю возможность, исходя из подготовленности класса, 9 выбрать тот или иной путь изучения геометрического объекта физическим экспериментом и решать все задачи с опорой на физическое действие или увеличить долю доказательных, обосновывающих рассуждений. Для ученика такой подход означает гарантию восприятия материала на доступном ему уровне, но при этом имеет возможность знакомиться и с другими вариантами решения, лежащими пока в зоне ближайшего развития. Можно уверенно констатировать, что учитывая психологические особенности детей 10-12 лет, удается достичь заметных результатов в развитии образного мышления учащихся и создать достаточную базу геометрических представлений, которая складывается из овладения основными геометрическими понятиями и терминологией, умения распознавать наиболее важные плоские фигуры и пространственные тела, знания их некоторых свойств, умение воспроизвести графически или в виде предметной модели. Эти представления служат прекрасной опорой для дальнейшего изучения геометрии и развития познавательных процессов, в частности логического мышления, имеют самостоятельную ценность для мировосприятия современного человека 27, 1522. §2. Стандарт знаний и умений школьников по геометрии. Программа по предыдущих лет. математике значительно отличается от программы СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ (начальная школа и V, VI классы) I. Геометрический материал, включенный в программу начальных классов. В I и II классах на уроках математики дети знакомятся с мерами длины, измеряют и строят квадрат и прямоугольник. В III классе изучают прямые и отрезки, углы: прямые, острые, тупые. Построение прямого угла с помощью линейки и чертежного угольника. Прямоугольник и квадрат. Свойства их сторон и углов. Решение задач на вычисление периметра прямоугольников и квадратов. II. В V- VI классах школьники изучают геометрические фигуры: точка, отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, окружность, круг. Прямой угол. Перпендикулярные и параллельные прямые. Построение отрезков и углов заданной величины с помощью линейки и транспортира. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Построение окружности с помощью циркуля. Куб, прямоугольный параллелепипед, шар. Геометрические величины: длин, площадь, объем, градусная мера угла. Единицы измерения длин, углов, площадей объемов. Измерение отрезков и углов. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Формулы длины окружности и площади круга. Изучение учащимся: программного материала дает возможность 10 научиться использовать геометрический язык для описания предметов окружающего мира, видеть красоту геометрических форм в природе, архитектуре; расширить сведения об известных геометрических фигурах и ознакомится с новыми фигурами; приобрести навыки изображения и построения геометрических фигур при помощи линейки, угольника, транспортира, циркуля; приобрести навыки измерения длин, площадей, углов; понимать, что результаты измерений всегда носят приближенный характер; вычислять площади прямоугольников и объемы прямоугольных параллелепипедов; свободно пользоваться единицами метрической системы мер; получать представления о некоторых старых единицах измерения; получать представления о координатах, как о способе задания с помощью чисел, положения точек на прямой, на плоскости; приобрести навыки работы с координатной плоскостью. Уровень обязательной подготовки определяется следующими требованиями: уметь распознавать и изображать отрезок, прямую, луч, угол(острый, тупой, прямой) треугольник, прямоугольник, окружность, круг; уметь производить построения при помощи линейки, угольника, транспортира, циркуля: - прямоугольника с заданными сторонами, - угла заданной величины, - окружности с заданным центром и радиусом, - параллельных и перпендикулярных прямых, уметь измерять длину отрезка и величину угла; уметь вычислять площадь прямоугольника (квадрата); объем прямоугольного параллелепипеда (куба); уметь в координатной плоскости строить точки по их координатам, а также определять координаты точек 26, 17. §3. Краткая характеристика приемов математической деятельности. Уровни математического мышления. Так как изучением психологического развития ребенка занимается психология, то при построении развивающегося обучения методика несомненно должна опираться на результаты исследований этой науки. Как пишет Давыдов В.В., «психическое развитие человека-это, прежде всего, становление, его 11 деятельности, сознания и всех «обслуживающих» их психических процессов (познавательных процессов, эмоций и т.д.)» 6, 9. Отсюда следует, что развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Из курса дидактики нам известно, что эта деятельность может быть репродуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид деятельности преобладает, обучение оказывает различное влияние на детей. Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, затем воспроизводит. Основная цель такой деятельности- формирование у школьников знаний, умений и навыков, развитие внимания и памяти. Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами мышления или приемами умственных действий. Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания- одно из важных условий построения развивающего обучения, так как продуктивная деятельность оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций. «…организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по усвоению знаний 39,70. Истомина Н.Б. 13. Предлагает следующие пути активного включения в процесс обучения математике различных приемов умственных действий для младших школьников. Анализ и синтез. Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез-это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез- через анализ. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции. Формированию этих умений может соответствовать: рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий; постановка различных заданий к данному математическому объекту. 12 Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий младшими школьниками при обучении математике обычно предлагается такое задание: Как по-разному можно назвать квадрат? ( Прямоугольник, четырехугольник, многоугольник). Конечно, не следует стремиться к тому, чтобы каждый ученик произносил этот монолог, но можно предлагать детям вопросы и задания, при выполнении которых они будут рассматривать данный объект с различных точек зрения. Чаще всего это задания на классификацию или на выявление различных закономерностей (правил). Например, Сколько отрезков на данном чертеже? Сколько треугольников? Сколько многоугольников? В С А Д М рис.2. Приём сравнения. Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет приём сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно: выделение признаков или свойств одного объекта; установление сходства и различия между признаками двух объектов; выявление сходства между признаками трёх, четырех и более объектов. Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносят на математические объекты. По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут устанавливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эти признаки с очки зрения различных понятий. Например: В чем сходство и различие геометрических фигур: 13 Рис.3 Прием сравнения можно использовать при знакомстве учеников с новыми понятиями. Например: Чем похожи (четырехугольники). между собой все геометрические фигуры? Рис. 4. Прием классификации. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации. Например, для определения понятия «прямоугольник» к множеству геометрических фигур, расположенных на фланелеграфе, можно предложить такую последовательность заданий и вопросов: 14 Рис.5. Убери «лишнюю» фигуру (треугольник); Чем похожи все остальные фигуры? (у них 4 угла и 4 стороны); Как можно назвать все эти фигуры? (четырехугольники); Покажи четырехугольники с одним прямым углом. Покажи четырехугольники: а).с двумя прямыми углами; б).с тремя прямыми углами (таких нет); в). с четырьмя прямыми углами. Разбей четырехугольники по количеству прямых углов. В одну из групп входят четырехугольники, у которых все углы прямые, это – прямоугольники. Прием аналогии. Аналогия – это сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям: «Сделайте по аналогии…» или «Это аналогичное задание…». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий. Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии необходимо иметь в виду следующее: Аналогия основывается на сравнении; Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается по каким-либо признакам (повторение изученного, систематизация знаний и умений); 15 Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратить их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание; Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным. Прием обобщения. Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений – основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение. Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо: 1. продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения; 2. рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить; 3. варьировать виды объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность; 4. помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают. Большинство психологов, педагогов, методистов считают, что эмпирическое обобщение, в основе которого лежит действие сравнения, для младших школьников наиболее доступно. Способы обоснования истинности суждений. Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способность обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения. Суждения бывают единичными: в них что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например, квадрат АВСД не имеет острых углов. Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса. В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например, «в прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет о любом, т.е. обо всех прямоугольниках. 16 Дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относят эксперимент, вычисления и измерения. Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а).верными; б). неверными; в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств. Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание /14, 22/: Во сколько раз площадь прямоугольника АВСД больше площади прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством. А В Д С К О М Е Рис.6. Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5. Миша – такое равенство: 60:12=5. Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша? Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок. Обучение математике должно строиться так, чтобы ученик последовательно переходил от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому. Некоторые считают, что для ученика «открывать» в математике намного труднее, чем заучивать готовое. С этим мнением нельзя согласиться. Верно, что для педагога труднее учить открывать, чем учить заучивать. Школьнику же при соответствующей постановке обучения легче действовать, как математику, открывать самому истину, чем заучивать готовых предложений и доказательств без понимания их происхождения, значения и взаимной связи. Но ведь так происходит часто в традиционном преподавании, особенно в геометрии, когда на головы учащихся обрушивается система аксиом и теорем. Если же преподавание нацелено не на заучивание, а на организацию рассуждений учащихся с тем, чтобы они были в состоянии заново открыть те 17 факты, которые составляют содержание предложенной системы, а затем и логически упорядочить эту систему, это приводит к более быстрому развитию мышления учащихся и к подлинному пониманию изучаемого материала./28,106/. Руководитель по реформе математического образования при Иллинойском университете (США) М.Битерман, описывая подготавливаемую этой комиссией реформу, /4,11/ исходит из следующего математического принципа: «Ученик достигает понимания математики, если он принимает активное участие в развитии математических идей и процедур». Разрабатываемый этой комиссией проект внедряет в обучение метод «открытий», противопоставляемый методу «доказательства готовых предложений». Однако, метод открытий требует слишком много времени, чтобы донести до учащихся все то, что они должны усвоить в математике. Поэтому возникает необходимость исследовать вопрос о целесообразном сочетании двух методов. Чтобы определить, сможет ли ученик осуществить некоторую математическую деятельность и в чем должна состоять обучающая деятельность учителя, надо знать уровень мышления ученика и уровень математической деятельности, которой мы хотим его обучать. Это означает, что мы должны обучать учащихся не заучивать готовый материал, а открывать математические истины (открывать для себя то, что уже открыто в науке), логически организовывать добытый опытным путем математический материал, и применять теорию в различных конкретных ситуациях. В области геометрии можно выделить, следуя П.-Х ван Хиле /33,198/ пять уровней мышления. Первый, самый низкий (Ван Хиле называет его нулевым) уровень, характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются, как целые и различаются только по своей форме. Если показать первокласснику, например, ромб, прямоугольник, квадрат, параллелограмм и сообщить ему соответствующие названия, то после нескольких повторений он сможет безошибочно распознавать эти фигуры исключительно по их форме (причем, еще не анализированной), не видя в ромбе параллелограмм и в квадрате – прямоугольник. На этом уровне ромб противопоставляется параллелограмму, квадрат – прямоугольнику. На следующем, втором уровне проводится анализ воспринимаемых форм, в результате которого выявляются их свойства. На этом уровне геометрические фигуры выступают, как носители новых свойств и распознаются по этим свойствам. Но на этом уровне свойства фигур логически не упорядочены, они устанавливаются исключительно экспериментальным путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, а не определяются. Этот уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования. Описанные выше два уровня доступны учащимся начальных (1-3) и V-VI классов. Это должно учитываться при составлении программ и разработке методики преподавания начальной геометрии. На третьем уровне осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Одно или несколько слов принимается за определяющую фигуру, 18 другие устанавливаются логическим путем. Геометрические фигуры выступают уже в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений. Но собственное значение дедукции в целом еще не постигается на этом уровне (доступном для учащихся 11-14 лет) ввиду того, что они еще не в состоянии охватить своим пониманием дедуктивную систему в целом. Можно показать, что дедукция позволяет нам сократить опыт, обнаруживая экспериментально одни свойства, другие уже могут быть выведены из них путем рассуждений. На следующем, четвертом уровне постигается значение дедукции «в целом», то есть от понимания её «в малом» переходят к пониманию её значения, как способа построения и развития всей геометрической теории. Этому переходу способствует разъяснение сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений. Этот уровень вполне доступен учащимся 9-11 классов (15-17 лет). Можно сказать, что на этом уровне осуществляется «содержательная» аксиоматизация теории. На самом высоком, пятом, уровне отвлекаются от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними, т.е. развивают теорию вне всякой её конкретной интерпретации. На этом уровне геометрическая теория строится как абстрактная дедуктивная система. Такое построение не может осуществляться не на одном этапе обучения геометрии в средней школе. Необходимо отметить, что на каждом этапе обучения можно выявить основной уровень, на котором ведется преподавание, а также элементы соседних уровней. Это объясняется тем, что переход от данного уровня к следующему происходит не скачкообразно, а постепенно. § 4. Геометрический материал в курсе математики V-VI классов. При формировании геометрических понятий в V-VI классах особое внимание должно быть направлено на выявление всех их существенных признаков. Чтобы помочь школьникам научиться выявлять существенные признаки основных геометрических фигур, следует сравнивать изучаемые фигуры с другими фигурами. Например, отрезок сравнивать с кривой, ограниченной с обеих сторон, ломаной, состоящей из двух звеньев; луч – с кривой, ограниченной с одной стороны. Основным принципом обучения на первом этапе является принцип наглядности. Все свойства геометрических фигур ученик воспринимает путем рассмотрения конкретных моделей, предметов, чертежей. При ознакомлении с геометрическими фигурами должна быть максимально использована деятельность учащихся, то есть ученик не только рассматривает готовую модель или чертеж, но и сам их изготовляет. Выполнение чертежа или модели активизирует учеников и повышает сознательность и прочность усвоения. Если 19 ученик сам начертит развертку параллелепипеда, вырежет её, изготовит модель, то он, безусловно, сознательно усвоит свойства этого геометрического тела, число, форму и расположение граней, число ребер и др. Очень важно, чтобы ученик имел возможность ознакомиться с различными видами рассматриваемой геометрической фигуры, чтобы его опыт был разнообразен. Нельзя, например, рассматривая прямоугольник на разных предметах и рисунках, а также начертить в тетради несколько прямоугольников в виде узкой полоски, и имеющих форму квадрата, и близких по форме к квадрату. Изображать прямоугольники надо в разных положениях, не только по клеточкам, но и пользуясь чертежными угольником и линейкой. Тогда у учащихся будут вырабатываться правильные представления, способствующие образованию отвлеченного понятия. В результате такой работы, которая начинается уже в начальных классах, дети будут знать многие геометрические фигуры, не заучивая их определения. В большинстве случаев логическое определение и не может быть дано, т.к. ученики раньше знакомятся с видовыми понятиями, чем с родовыми. Например, они знают прямоугольник до знакомства с параллелограммом, треугольник – до того, как изучается ломаная линия или многоугольник. Учащиеся хорошо знают, что углы прямоугольника прямые, могут начертить прямой угол, но определение прямого угла не знают. Во всяком случае нельзя давать ученикам неправильные определения, которые потом придется изменять. Очень большое внимание уделяется измерениям. Ученики самостоятельно проводят измерения в классе, дома и на местности. При этом они должны получить навыки обращения с измерительными приборами. Геометрический материал тесно связан с курсом математики. Особенно большое значение имеет решение задач бытового и производственного характера. Например, определить квартирную плату за комнату, составить смету на оклейку комнату обоями, определить количество материала на изготовление ящика, определить вместимость ящика, найти площадь поверхности или объем определенной детали и т.п. при этом числа иногда даются учителем, иногда определяются самими учащимися в результате проведенных измерений. Задачи, в которых числовые данные получены в результате измерений, дают прекрасный материал для понимания приближенного значения числа, правил округления при вычислениях и для закрепления этих правил. Связь геометрического материала с преподаванием математики осуществляется и другим путем. Геометрические образы могут быть использованы для иллюстрации арифметических понятий, правил, законов, действий. Например, 20 понятие дроби, сравнение дроби по величине, действие с дробями, распределительный закон умножения и т.п. Геометрический материал может дать хорошие примеры зависимостей между величинами. Выполняя соответственные чертежи и вычисления, учащиеся закрепляют приобретенные знания и в то же время наблюдают простейшие случаи функциональной зависимости. Примеры таких заданий: а). построить несколько прямоугольников с периметром, равным 20см последовательно увеличивая длину основания. Вычислить площадь каждого прямоугольника; б).так же построить несколько различных прямоугольников с одинаковой площадью, равной 16кв.см, и найти периметр каждого; в).начертить несколько прямоугольников с основанием 2см, последовательно увеличивая высоты, и вычислить площадь каждого и т.п. последнее задание может быть связано с построением столбчатых диаграмм. Эти упражнения не должны носить чисто вычислительного характера, т.к. их цель – сохранить в памяти наглядные геометрические образы. Несмотря на то, что при изучении наглядной геометрии выводы делаются на основании опыта и интуиции учащихся, эти выводы опираются на некоторые элементарные рассуждения. Они заключают в себе элементы дедукции и должны способствовать логической мысли. Например, не давая вывода площади прямоугольника в общем виде, на частных примерах можно провести рассуждения, имеющие общее значение. Еще в младших классах надо приучить учеников к тому, что основанием для вывода не может являться единичный пример или отдельный опыт, приучать их к наблюдению различных случаев, сравнению, постепенному обобщению. Так, при измерении площади треугольника надо рассмотреть треугольники разного вида и их преобразование в прямоугольник /2,333/, /15,177/, /20, 48/. Основным методом изучения геометрии в 5-6 классах является наглядноиндуктивный метод, т.е. для обучения геометрии в 5-6 классах характерно опытное обоснование устанавливаемых фактов и индуктивное их обобщения: измерение, построение (с помощью чертежных инструментов и перегибанием листа бумаги), использование жизненного опыта учащихся. Например, с помощью построения убеждаются в том, что через две точки можно провести прямую, и притом только одну. Непосредственные измерения приводят учащихся, например, к выводу о том, что длина отрезка перпендикуляра к прямой меньше длины соответствующего отрезка наклонной. Немалая роль в практике обучения геометрии издавна отводится построению с помощью перегибания листа бумаги. Так, например, перегибая лист бумаги, можно получить образы отрезка, луча, угла, биссектрисы угла и другие. Построения с листом бумаги (перегибание и наложение) издавна используются как средство убеждения учащихся в достоверности 21 изучаемых фактов. Перегибая лист бумаги трудно установить, что биссектриса любого угла является осью симметрии этого угла. Таким образом, убежденность учащихся 5-6 классов в достоверности изучаемых ими фактов и положений, как правило, на построениях с помощью чертежных инструментов или перегибания листа бумаги, измерении и жизненном опыте. 5. Некоторые методические рекомендации в 5-6 классах по учебнику Дорофеева Г.В. Основные идеи, положенные в основу курса математики 5-6 классов в учебнике Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. – это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей 10-12 лет. Эти исходные позиции потребовали пересмотра традиционных подходов к отбору содержания и методики изложения предмета. Весьма существенно пересмотрен подход к изучению геометрии в этом звене. Здесь представлена определенным образом упорядоченная система геометрических знаний, а не отрывочные, мозаичные фрагменты, подчиненные арифметико-алгебраической компоненте курса. Изучение геометрии организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, на расширение геометрического кругозора. Учащиеся должны овладеть определенной геометрической терминологией, узнать некоторые свойства геометрических фигур, полученных посредством опыта и «здравого смысла». В целом курс отличает более сбалансированное сочетание арифметического и геометрического материала, что связано со значимостью геометрических знаний для развития важных качеств мышления. Включение геометрического материала отвечает целевой установке курса – развитию учащихся средствами математики. Изучая геометрию, учащиеся последовательно пройдут в развитии от конкретных, практических до абстрактных, логических. Интеллектуальное развитие учащихся 10-12 лет напрямую зависит от степени развития образного мышления. В этой связи принципиально важно, что изучение геометрии в 5-6 классах может быть организованно как процесс, в котором развитие геометрических представлений происходит через наблюдение и преобразование объекта изучения – конструирование, вычерчивание, измерение и др. это именно те виды деятельности, к которым большинство учащихся этого возраста проявляют интерес. Т.о. процесс изучения геометрии отвечает внутренним потребностям учащихся и создает положительный эмоциональный фон, благоприятно влияющий на отношение к математике вообще, на развитие интереса к предмету. Вместе 22 с тем, визуальное изучение геометрической фигуры (анализ ее структуры, установление свойств, сравнение с другими фигурами), проведение эксперимента и анализ его результатов предполагает работу различных форм мышления. А использование найденных свойств фигуры для её распознавания умение оперировать соответствующим понятийным аппаратом. Т.о. геометрия может оказывать развивающее воздействие на детей 10-12 лет, а дети с готовностью занимаются тем пластом геометрического содержания, который связан с созерцанием, наблюдением и экспериментом. Можно сказать, что целью изучения геометрии учащимися 5-6 классов является овладение геометрическими моделями и методами исследования на наглядно-эмпирическом уровне, а также развитие мышления, пространственного воображения геометрического видения. /17,46/. Ниже рассмотрим некоторые методические рекомендации. Реализация которых приведет учителя к поставленным целям: Площадь прямоугольника. Понятие «площадь фигуры» и правило вычисления площади прямоугольника известны учащимся из начальной школы, но говорить о сформированности этого сложного понятия преждевременно. Новым для учащихся будет то, что первоначально площадь находится в абстрактных единицах – вводятся понятие «единица длины» и «квадратная единица». Сначала фигуры разбиты на квадраты, площади которых приняты за 1кв.ед., затем осуществляется переход к конкретным метрическим единицам длины и площади. Поначалу можно записывать метрические единицы площади по аналогии с записью 1кв.ед.: 1кв.см, 1кв.м и т.д., а лишь потом к использованию степенной формы записи (см2 , м2). Подчеркнем, что учащимся требуется определенное время, чтобы перейти от нахождения площади прямоугольника путем разбиения на единичные квадраты к формальному правилу. Например, чтобы найти площадь квадрата со стороной 12см учащиеся должны начертить такой квадрат, разбить его на квадраты со стороной 1см, закрасить один из квадратов площадью 1кв.см, а затем посчитать число таких квадратов. /18,9/, /11,49/. Единицы площади. С единицами площади учащиеся знакомятся в начальной школе, но многие не имеют о них реальных представлений. Поэтому прежде всего они должны начертить на листе миллиметровой бумаги 1мм2, 1см2, 1дм2, на доске или на земле – 1м2 и попытаться их запомнить. Затем полезно оценить площади, например, классной комнаты, окна, доски, тетрадного листа и др., мысленно сравнивая их с этими эталонами. Проведя практические измерения, можно сравнить, например, площадь класса с соткой, а площадь школьного участка – с гектаром. Здесь целесообразно 23 предложить каждому ученику практическую работу по нахождению площади своей комнаты. /29, 82/. Предполагается, что при решении задач, содержащих различные единицы площади, учащиеся опираются лишь на знание соотношений между квадратными единицами. Запоминание соотношений между квадратными единицами не является обязательным. Рассуждение может быть таким: 1дм = 10см, поэтому 1дм2 = 10х10 = 100см2, а 7дм2 = 700см2. Четырехугольники. Здесь происходит обобщение материала. Расширяются представления о четырехугольниках. Они выясняют свойства четырехугольников при выполнении практической работы. Используя способ построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки, учащиеся должны уметь чертить различные параллелограммы, уметь строить параллелограмм с заданными сторонами. В ходе решения задачи то или иное свойство актуализируется в совместной работе учителя и учеников. /30, 89/. Курс наглядной геометрии в данных учебниках предусматривает ознакомление в доступной форме с рядом геометрических понятий, решение разнообразных задач на измерение, вычисление, построение. Ученику не требуется что-либо заучивать. Выполняя последовательно, одно за другим, предлагаемые задания, пятиклассники знакомятся с геометрическими образами, их свойствами. Преобладающие методы изучения данного курса: 1. 2. 3. 4. 5. 6. наблюдение. разрезание; конструирование; наложение; сравнение; экспериментирование. Курс наглядной геометрии построен на нестанадартных примерах, на эмпирических методах, что убеждает ученика на практике в справедливости того или иного утверждения. В результате разрезания фигуры дети самостоятельно «добывают» знания, развивают геометрическую интуицию, глазомер, пространственное воображение. Хочется отметить, «геометризация» образования – это объективный, необходимый процесс, неотъемлемая часть развивающего обучения. /35, 20/. Именно геометрия, по мнению Шарыгина И.Ф, является тем мостиком, который обеспечивает и развивает связи между мыслительными процессами. Именно геометрия формирует основы гармонического развития личности и располагает огромными возможностями для эмоционального, эстетического и духовного её развития. 24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Из проведенного мною исследования можно сделать следующие выводы: 1. Общепризнанна необходимость пропедевтического курса наглядной геометрии в 5-6 классах, который подготавливает учащихся к осознанному восприятию геометрии в 7 классе, устраняет формализм в усвоении материала. 2. Согласно исследованиям психологов достижение развивающего эффекта в процессе изучения геометрии школьниками 5-6 классов связано с такой их психологической особенностью, как существование наглядно-действенного, образного и логического мышления. Поэтому изучение геометрии должно происходить в процессе интеллектуально-практической деятельности учащихся через наблюдение и предметное преобразование геометрического объекта, его описание с использованием геометрической терминологии и осмысление произведенных действий. 3. Данное положение находит свое отражение в программе по математике 1994г., в которой большое внимание уделяется построению фигур с помощью чертежных инструментов, измерению величин (длин, площадей, объемов). 4. В учебниках «Математика 5-6» под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина изучение геометрии организуется, как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленный на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, на расширение геометрического кругозора. Преобладающие методы данного курса: наблюдение, разрезание, конструирование, наложение, сравнение, экспериментирование. 5. Можно утверждать, что практическая деятельность повышает интерес ребят к математике, улучшает дисциплину, активизирует их работу на уроках. Целенаправленная деятельность учителя, опирающаяся на практический и наглядно-чувственный опыт учащихся, способствует созданию достаточной базы геометрических представлений, а также формированию таких мыслительных операций, как анализ и синтез, сравнение и классификация. 25 ЛИТЕРАТУРА. 1. Анохина Г.В. «Обобщающий урок по теме «Угол. Треугольник. Четырехугольник.» «//г. Математика, 2000г. №14. 2. Брадис В.М. «Методика преподавания математики в средней школе» М.: Учпедгиз, 1954г. 3. Бунимович Е.А. «Математика, 5», рабочая тетрадь, М: Просвещение, 2001г. 4. Веberman М. “Anemerging program of secondary school”? cambrige, 1968г. 5. Виленкин Н.Л. и другие «Математика, 5» М: Просвещение, 1992г. 6. Давыдов В.В. «Проблемы развивающего обучения». М: Педагогика, 1986г. 7. Дорофеев Г.В. и другие «Математика, 5» М: Дрофа, 1995г. 8. Дорофеев Г.В. и другие, «Математика, 6» М: Дрофа, 1995г. 9. Дорофеев Г.В. и другие «Математика, 6» рабочая тетрадь, М: Дрофа, 1995г. 10. Дорофеев Г.В. и другие «Математика, 6», дидактические материалы. М: Дрофа, 1995г. 11.Дорофеев В.Г. «Методические материалы к учебнику для 6 класса»// Математика в школе, 2000г., №7. 12.Ирошников Н.П. «Организация обучения математике в 4-5 классах» М: Просвещение, 1983г. 13.Истомина Н.Б. «Методика обучения математике в начальных классах» М: Академия, 1999г. 14.Истомина Н.Б. и другие «Математика, 2» М: Просвещение, 1999г. 15. Колягин Ю.М. «Методика преподавания математики в средней школе» М: Прсвещение,1977г. 16.Котельникова Л.П. «Практическая геометрия в 6 классе» //Математика в школе, 1999г., №4 17.Котельникова Л.П. «Практическая геометрия в 5 классе» //Математика в школе, 1999г., №3 18. Кузнецова Л.Н. и др. «Первые уроки по учебным комплектам «Математика,5» //г.Математика, 1999г. №27 19.Лященко Е.И. «Методика обучения математике в 4-5 классах» М: Народная асвета, 1976г. 20. Мишин В.И. «Методика преподавания математики в средней школе» М: Просвещение, 1987г. 21.«Методика преподавания математики в восьмилетней школе» М: Просвещение, 1965г. 22.Нешков К.И. и др. «Математика в 4 классе» М: Просвещение, 1982г. 23.Петерсон Л.Г, «Методические материалы к учебнику для 5 класса» //Математика в школе, 2000г., №5 24.Подходова Н.Г. «Геометрия в пространстве: 5-6 классы» //Математика, 1999, №27 25.Пичурин Л.Ф. «Методика преподавания математики в 4-5 классах», М: Просвещение,1981г. 26 26.Программы общеобразовательных учреждений «Математика» М: Просвещение,1994г. 27.Рослова Л.О, «Геометрическая линия нового учебника для 5-6 классов»//Математика в школе, 1999г., №% 28.Столяр А.А, «Педагогика математики» М: Высшая школа», 1974г. 29.Суворова С, Б. и др. «Математика, 6» методическое пособие… 30.М: Дрофа, 1998г. 31.Труды первого Всероссийского Съезда преподавателей математики, СПб, 1913г. 32.Фахрутдинова Р.К. «Курс наглядно-практической геометрии»// Математика в школе, 1999г., №4. 33.HIELLE, VAN – P.H. “La pensee de l’enfant et la geometrie”, “Bulletinde I’APM”,1959 34. Ходот Т. «Курс геометрии 5-6 классов в структуре непрерывнрго геометрического образования» //г. Математика, 2000г., №9 35. Шарыгин И.Ф., ЕрганжиеваЛ.Н. «Наглядная геометрия, 5-6». М: Дрофа, 1999г. 36. Шеврин Л.Н. и др. «Математика, 5» М: Просвещение, 1992г. 37.Шеврин Л.Н. и др. «Математика, 6» М: Просвещение, 1992г. 38. Якиманская И.С. «Развивающее обучение» М: Педагогика, 1979г. 39. Якуба Э.Г. и др. «Из опыта преподавания математики в 4-5 классах» М: Просвещение, 1974г. 27 28
