Распределение молекул по скоростям 2.3

2.3 Распределение молекул по скоростям
Цель работы: изучение равновесного распределения молекул
по скоростям и построение экспериментальной гистограммы
распределения.
Распределение Максвелла
Отличительным
свойством
движения
молекул
в
макроскопических телах является его случайный характер.
Поэтому имеет смысл лишь постановка вопроса: какова
вероятность того, что какая-либо физическая величина,
характеризующая состояние молекулярной системы, будет
иметь то или иное конкретное значение.
Каждый
акт
vz
столкновения
между
молекулами
меняет
их
скорости
случайным
образом.
В
результате
dv
необозримо большого числа
столкновений
v
v y устанавливается
равновесное
состояние,
когда число молекул в
vx
каждом заданном интервале
Рис. 1
скоростей
сохраняется
постоянным.
Рассмотрим пространство скоростей. Возьмем в этом
пространстве координатные оси, по которым будем откладывать
проекции скоростей v x , v y , v z . В этом пространстве каждая
молекула
изображается
точкой
(рис. 1). Вследствие теплового движения скорости всех молекул
(т. е. положения всех изображающих точек) будет непрерывно
меняться, но плотность точек в состоянии термодинамического
равновесия должна оставаться неизменной.
Вследствие
равноправия
направлений
движения
расположение точек относительно начала координат будет
сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в
100
пространстве скоростей будет зависеть только от модуля
скорости. Обозначим эту плотность через Nf(v), где N – полное
число молекул в данном газе. Тогда количество молекул,
проекции скорости которых лежат в пределах от v x до
v x  dv x , от v y до v y  dv y и от v z до v z  dv z , можно
представить в виде
dN VX ;VY VZ  Nf (v)dv x dv y dv z ,
где
произведение
dv x dv y dv z
дает
(1)
элемент
объема
в
пространстве скоростей.
Точки, изображающие скорости, модули которых заключены
в пределах от v до v + dv, попадают в область, лежащую
между сферами радиусов v и v + dv. Объем этой области равен
4v 2 dv , следовательно, число точек, находящихся в этой
области, определяется выражением
dN v  Nf (v)4v 2 dv
Это выражение дает число молекул, величина скоростей
которых лежит в интервале от v до v+dv. Разделив его на N,
получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в
пределах от v до v + dv:
dWv  f (v)4v 2 dv .
(2)
Из последнего выражения видим, что
F ( v)  f ( v)4v 2
(3)
играет роль функции распределения по модулю скорости. Вид
функции F v был установлен Максвеллом. Получим эту
функцию, следуя его рассуждениям.
Вероятность того, что молекула имеет проекцию скорости на
ось x в пределах от v x до v x  dv x , может быть представлена
в виде
101
dWvx  (v x )dv x ,
(4)
где ( v x ) – функция распределения х – компоненты скорости.
Аналогичные вероятности для двух других проекций
определяются выражениями:
dWv y  (v y )dv y
(5)
dWv z  (v z )dv z .
(6)
В силу равноправия всех направлений движения
аналитический вид функций v x  ;  v y ; v z  должен быть
 
одинаков. Максвелл предположил, что вероятность различных
значений одной из проекций, например v x , не зависит от того,
какова величина остальных двух проекций. Это означает, что
события, заключающиеся в том, что x - компонента скорости
некоторой молекулы находится в пределах от v x до v x  dv x ; y
– компонента в пределах от v y до v y  dv y и, наконец, z –
компонента - в пределах от v z до v z  dv z , являются
статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что
проекции скорости некоторой молекулы одновременно имеют
значения, лежащие в пределах от v x , v y , v z до, соответственно,
v x  dv x , v y  dv y ,
v z  dv z ,
равна
произведению
вероятностей (4), (5), (6):
dWVX VY VZ  (v x )(v y )(v z )dv x dv y dv z .
(7)
C другой стороны, эта же вероятность, согласно (1), может быть
представлена в виде
dWVX VY VZ  f (v)dv x dv y dv z .
(8)
Сравнение двух последних выражений дает, что
f ( v)  ( v x )( v y )( v z ) .
102
(9)
Взяв логарифм от обеих частей этого равенства, получим:
ln f ( v)  ln ( v x )  ln ( v y )  ln ( v z ) .
Дифференцируя полученное выражение по v x , получим:
f ( v) v ( v x )

f ( v) v x ( v x )
Так как v 
(10)
v 2x  v 2y  v 2z , то частная производная от v по
v x равна
vx
v
v

 x
v x
v
v 2x  v 2y  v 2z
Подставив это в (10) и перенеся затем v x из числителя левой
части в знаменатель правой, придем к равенству
f (v) 1 (v x ) 1

f (v) v (v x ) v x
(11)
Правая часть этого равенства, а значит и левая, не зависят от
переменных v y и v z . Следовательно, она не может зависеть и
от v x ( v x , v y , v z входят в функцию
f ( v) симметрично).
Таким образом, каждое из выражений, стоящих слева и справа в
(11), равно какой-то константе, которую обозначим  
(впоследствии выясним, что эта константа меньше нуля, то есть
  0 ).
Таким образом,
( v x ) 1
  или
( v x ) v x
Интегрирование дает
ln ( v x )  
v 2x
 ln A ,
2
где А – константа. Отсюда
103
( v x )
  v x
( v x )


(v )  A exp  v 2
(v )  A exp  v 2.
(v x )  A exp  v 2x 2
(12)
y
2
y
(13)
z
2
z
(14)
Перемножив функции (12), (13), (14), найдем, что
2
 (v 2x  v 2y  v 2z ) 


  A3 exp   v 
f (v)  A exp  



2
2 



3
(15)
Из вида функций (12)–(15) следует, что постоянная  должна
быть больше нуля, в противном случае эти функции
неограниченно возрастали бы при увеличении v.
Постоянная А определяется из условия нормировки.
Согласно этому условию вероятность достоверного события:
того, что частица имеет какую-либо проекцию скорости в
интервале от минус до плюс бесконечности, равно единице, т.е.:

 v 2x 
dv x  1 .
A  exp  
2



Значения v и v x не могут быть бесконечными, однако
расширение пределов интегрирования не вносит ощутимой
ошибки, так как подынтегральная функция убывает по
экспоненте и при больших скоростях практически не отличается
от нуля. Этот интеграл не берется в элементарных функциях,
однако в теории вероятности известен соответствующий
несобственный интеграл – так называемый интеграл Пуассона:

 ех р( сх
2
)dx 

Используя его, получим, что
А

.
2
104

.
с
Чтобы найти постоянную  , вычислим с помощью функции
( v x ) среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну
поступательную
приравняем
ее
степень
к
kT
,
2
свободы,
как
следует
 ч  m v 2x
из
2и
теоремы
о
равнораспределении энергии по степеням свободы. Тогда:
 v 2x  2
 

 v x dv x 
exp


2 
2



v 2x   v 2x ( v x )dv x 

 d 

exp  v 2x dv x 

2 d 


 d 
 1 


 
2 d 
2 2  2 
следовательно,  

3
2

1 kT

,
 m
m
kT
Подставив это выражение в соответствующие формулы,
получим:
1
 mv 2x 
 m 2
 

(v x )  
exp

 2kT 
 2kT 
1
 mv 2y
 m 2
(v y )  
 exp  
 2kT 
 2kT
(16)




(17)
 mv 2z 
 m 2

(v z )  
 exp  
2 
 2kT 

(18)
1
Эти функции имеют максимум при v x , v y , v z , равных нулю, и
обращаются в нуль при стремлении их к бесконечности.
Учитывая (8) и (9), получим
105
3
dWVX VY VZ
 mv 2 
 m 2
dv x dv y dv z

 exp  
 2kT 
 2kT 
(19)
вероятность того, что проекции скорости одновременно лежат в
пределах v x  v x  dv x ; v y  v y  dv y ; v z  v z  dv z . При
этом не только величина скорости, но и ее направление
варьируются в небольших пределах.
Как следует из (3), мы можем записать функцию
распределения по модулю скорости
3
 mv 2 
 m 2 2
 

F (v)  4
v
exp

 2kT 
 2kT 
F(v)
v
Рис. 2
(20)
Функция
распределения
Максвелла
(20)
изображена на рис. 2.
С
увеличением
температуры
максимум
распределения
смещается в сторону
больших скоростей, а
высота кривой в
максимуме несколько
понижается.
Знание этой функции позволяет определить вероятность
того, что значение скорости заключено в интервале
v  v  dv при произвольном направлении скорости. Функция
обращается в нуль при v = 0 и при v   , так как совершенно
неподвижных и движущихся бесконечно быстро молекул не
существует. Она имеет максимум при условии
v  vB 
2kT
.
m
106
Эта скорость называется наивероятнейшей, и около этого
значения группируются скорости молекул. Средняя скорость
молекул определяется следующим образом:
3


 mv 2  3
 m 2
 
v dv ,
v   vF (v)dv 4
exp
 
2

kT
2
kT




0
0
а среднее значение квадрата скорости равно:
3

v
2

 mv 2  4
 m 2
 
v dv .
  v F (v)dv 4
exp
 
2

kT
2
kT




0
0
2
Переход к новой переменной   v 2 и интегрирование по
частям дает для средней скорости следующее выражение:
v 
среднеквадратичная скорость
8kT
,
m
v2 
3kT
.
m
При комнатной температуре характерные скорости молекул
кислорода и азота в воздухе равны примерно 400–500 м/с.
Скорости молекул водорода примерно в четыре раза больше. С
повышением температуры скорости молекул возрастают как
Т.
Распределение (20) позволяет по правилу сложения
N
, скорости которых
N
лежат в пределах произвольного интервала ( v 1 , v 2 ) :
вероятностей определить долю частиц
3
V
V
2
2
 mv 2 
N
 m 2 2
dv .
  F ( v)dv  4 
  v exp  
N
 2kT  V1
 2kT 
V1
Большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно
небольшом интервале вблизи наивероятнейшей, а молекул вне
этого интервала относительно мало.
107
Двумерное распределение Максвелла
В двумерном случае функция распределения молекул по
проекции скорости имеет такой же вид, как и в трехмерном
случае:
1
mv 2
2
 m   2 kTx
(v x )  
.
 e
 2kT 
Для получения функции распределения по величине
скорости нужно умножить эту функцию на такую же функцию
для оси у, тогда получим плотность распределения
представляющих молекулы точек в двумерном пространстве
скоростей. Кроме того, нужно умножить полученную величину
не на объем шарового слоя, а на площадь кольца, равную
2vdv. Полученная таким образом величина есть доля молекул
от общего числа, скорость которых лежит в интервале от v до v
+ dv. Таким образом, двумерная функция распределения
молекул по величине скорости имеет вид:
mv 2
mv 2
 m   2 kT  m   2 kT
.
F ( v)  2 
   ve
 ve
 2kT 
 kT 
(21)
Наиболее вероятная скорость, соответствующая максимуму
функции распределения, получается, как и в трехмерном случае,
дифференцированием
функции (21) по скорости и
приравниванием полученной производной к нулю. Для
двумерного случая она равна v B 
kT
.
m
Как и в трехмерном случае, можно вычислить число молекул
в интервале скоростей от произвольной v1 до v2. Это число
равно интегралу по скорости от функции распределения (21) в
соответствующих пределах, умноженному на общее число
молекул. Простой заменой переменных u = v2 интеграл
сводится к табличному, и искомое число молекул равно:
108
v
  v12
 22 
 2vв
2vв 
N  N e
e



2
2
(22)
Ход работы
В данной работе моделируется классический опыт О. Штерна
по изучению равновесного распределения молекул по
скоростям. На экране монитора изображены два вращающихся с
одинаковой угловой скоростью коаксиальных цилиндра (рис. 3).
Вдоль оси цилиндров находится нагретая до высокой
температуры нить, являющаяся источником молекул в
образующемся пучке. Молекулы, попадающие на внешний
цилиндр после пролета через отверстие во внутреннем
цилиндре, отклоняются относительно него в сторону,
противоположную вращению на тем больший угол, чем меньше
у них скорость. В работе нужно построить экспериментальную
гистограмму распределения молекул по скоростям для двух
значений температуры. Из полученного графика для каждой
температуры нужно определить наиболее вероятную скорость и
построить теоретическую кривую, соответствующую этому
найденному значению, используя для расчета формулу (22).
109
Рис. 3
110
Рекомендуется следующий порядок работы:
1. Ввести температуру в предназначенное для этого окно (1000–3000 Кельвин).
2. Получить гистограмму распределения частиц по скоростям. Для этого запустите установку.
В ходе эксперимента в соответствующем окне строится гистограмма распределения частиц по
скоростям. Опыт продолжать до тех пор, пока число частиц станет достаточно большим, и
проявятся статистические закономерности.
3. Определить число частиц в каждом интервале гистограммы.
4. Определить наиболее вероятную скорость. Она приближенно соответствует середине
интервала, на который приходится наибольшее число частиц.
5. Полностью проделайте описанный выше эксперимент еще для одной температуры.
6. Постройте гистограммы для каждого значения температуры на одном графике, в одном и том
же скоростном масштабе.
7. Для каждого значения температуры, зная наиболее вероятную скорость, по формуле
двумерного распределения Максвелла (22) вычислите теоретическое число частиц в каждом
скоростном интервале. Отложите полученные теоретические зависимости на том же графике, на
котором были построены экспериментальные.
Контрольные вопросы
8.
Сколько молекул воздуха в вашей комнате имеет скорость, в точности равную 500 метров в
секунду?
Если достигнуто состояние термодинамического равновесия, то каких молекул больше:
которые движутся вверх или вниз?
Как зависит плотность распределения точек, изображающих молекулы в пространстве
скоростей, от направления?
От чего зависит плотность распределения точек в пространстве скоростей?
Каких молекул больше: тех, у которых проекция скорости vх имеет значения от 100 до 101 м/с
или тех, у которых такие же значения имеет проекция скорости vу?
Каких молекул больше: тех, у которых проекция скорости vх имеет значения от 100 до 101 м/с
или тех, у которых эта проекция скорости имеет значения от -100 до -101 м/с?
Как зависит вероятность появления у молекулы какого-то конкретного значения vх от того,
какую она имеет проекцию скорости vу?
В чем смысл условия нормировки?
9.
Как вычислить определенный интеграл
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

e
 x 2
x 2 dx ?

10. Как связаны функции распределения молекул по проекции скорости и по величине скорости?
11. Что такое наиболее вероятная скорость? средняя скорость? средняя квадратичная скорость?
Какая из них больше?
12. Чем отличаются графики функции распределения по скоростям для разных температур? для
газа из более тяжелых и более легких молекул?
13. Когда и для каких веществ применимо распределение Максвелла по скоростям?
14. Воспользовавшись функцией распределения (20) найдите наиболее вероятное значение
кинетической энергии.
15. Чем отличается двумерное распределение Максвелла от трехмерного?
16. Чему равна наиболее вероятная скорость для двумерного распределения? среднеквадратичная
Рис. 3
скорость?
17. В чем заключается опыт Штерна?
18. Как построить гистограмму распределения по скоростям?
Как по виду экспериментальной гистограммы построить теоретическую кривую распределения?
111