МБОУ «Гимназия №1 им. Ч.Т. Айтматова п.г.т. Кукмор»
Иследовательская работа
на тему:
«Математика в живописи»
Выполнил:
ученик
11 а класса
Ярмеев Б.И.
Руководитель:
учитель
математики
Махмутова Р.Р.
п.г.т. Кукмор 2013г.
Содержание
I.
Введение…………………………………………………………. 2 – 3
II.
Математика и живопись………………………………………… 4 – 17
1. Симметрия……………………………………………………. 4 – 6
2. «Странные» свойства изображений………………………… 6 – 8
3. Мозаика ………………………………………………………
8 – 10
4. Перспектива – геометрия живописи………………………..
10 – 13
III.
Исследовательская работа……………………………………… 13 – 14
IV.
Заключение………………………………………………………. 15
V.
Работы Морица Эшера………………………………………….. 16
VI.
Список используемой литературы……………………………... 17
1
I. Введение
«Математика есть ключ ко всем
наукам».
Греческий математик.
С. И. Ожегов в «Толковом
словаре
русского
языка»
утверждает, что «математика –
наука,
изучающая
величины,
количественные отношения и
пространственные формы».
Кто с детских лет занимается
математикой, тот развивает свой
ум и внимание, воспитывает волю
и настойчивость в достижении
цели. Поэтому она нужна и
учителю, и врачу, и артисту, и
художнику, и архитектору, и
музыканту, и поэту.
Так
что
же
такое
математика? Одни скажут, что
математика изучает правила счета
предметов. Другие добавят, что
это еще и алгебра и изучение
геометрических объектов: линий и
плоских и выпуклых фигур. Но
многие знают, что в состав
математики входят многие другие дисциплины: теория вероятностей,
математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование
на ЭВМ, вычислительные методы, теория множеств, математическая логика.
Но даже перечисление ее ветвей не дает представления о том, что изучает
математика. Математика изучает не материальные предметы, а методы
исследования, ставит своей целью разработку общих правил, которыми следует
пользоваться, изучая многочисленные явления природы. Например, правила
арифметики применимы и при решении задач экономики, сельского хозяйства,
в научных исследованиях, в технических вопросах и искусстве. Хотя
арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, они сохранят
свою ценность на вечные времена.
Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где ни
приходилось бы группировать предметы в нужном порядке, пересчитывать,
находить их размеры, форму, определять взаимное положение. Но простой счет
и измерение – это еще не математика!
2
Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью
математики и проявляющиеся во всех искусствах, науках и т. д.
Эстетический потенциал в жизни часто недооценивается. Однако на
протяжении веков пути математики и различных видов искусства, в том числе и
живописи, нередко переплетались.
Искусство живописи известно с древних времен. Но широкое
распространение оно получило с конца 14 – начала 15 веков. Живописец может
творить чудеса – показать события далекого прошлого, явить перед нами
былинных богатырей и героев сказок, увековечить облик и духовный мир
человека, создать сложнейшую, многофигурную композицию… Живописцем
может стать только тот, кто умеет хорошо рисовать, потому что рисунок –
основа любого изображения. Но бывает и так, что пестрящее радужными
красками полотно не вызывает ощущения жизни, движения; оно сухое,
невыразительное. Значит, для живописного произведения мало быть цветным –
оно должно правдиво передавать предметы, их пропорции, объемы.
Геометрические мотивы нередко присутствуют в картинах великих
живописцев. Геометрические схемы с большей или меньшей очевидностью
просматриваются в самой композиции многих полотен. Их можно назвать
пирамидальными, круговыми, диагональными, спиральными и т. п. в
зависимости от той геометрической фигуры, которая положена в основу
композиции. Художник при этом часто действует интуитивно, а искусствовед,
исследуя композицию, выявляет ее основу, приводит картину к упрощенной
геометрической схеме.
Целью моей работы является рассмотрение применения некоторых
законов математики в живописи.
3
II. Математика и живопись
1. Симметрия
О симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!
С симметрией мы встречаемся всюду: в природе, технике, искусстве,
науке. Например, симметрия, свойственная бабочке и кленовому листу,
симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении
стихотворения и музыкальной фразы, симметрия орнаментов и бордюров,
симметрия атомной структуры молекул и кристаллов.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю
человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого
знания; его широко используют все без исключения направления современной
науки. Симметрия (соразмерность, одинаковость в расположении частей
какого-либо рисунка относительно точки, прямой, плоскости) – это понятие не
только чисто математическое. Она есть и в творениях природы (животные,
листья растений, кристаллы), и в творениях конструкторов, архитекторов,
скульпторов, художников
Обратимся сначала к четким математическим формулировкам.
Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного
центра.
Осевая симметрия – отображение пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.
Зеркальная симметрия – отображение пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в симметричную ей точку
М1
а
относительно
плоскости .
О

Для анализа симметрии изображения лучше взять картину с
более простой композицией.
Можно обратиться к
4
хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и
ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта». Обратите внимание: фигура
мадонны и ребенка вписывается в правильный треугольник, который
вследствие симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя.
Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как
бы выдвигаются на передний план. Голова Мадонны совершенно точно, но в
то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на
заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные
линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и
умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого
цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.
Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать
об асимметрии. Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребенка,
которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И, кроме того,
есть одна в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной
замкнутости, завершенности линий фигуры Мадонны создается впечатление
полного безразличия Мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю.
Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит
на него. Все ее мысли сосредоточены только на нем. И вдруг вся эта
замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся с взглядом
ребенка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается:
спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него
картина раскрывается на внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту
чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их
взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу беднее, менее
выразительна.
Получается, что всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным
произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности
5
воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпанной проблемы
– проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с
картиной Леонардо да Винчи убеждает о том, что анализ симметрии –
асимметрии очень полезен: картина начинает восприниматься острее.
Вот перед нами знаменитая «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи.
Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами:
по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе.
Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно
вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.
2. «Странные» свойства изображений
При выполнении чертежей, рисунков, подписей полезно знать о некоторых
«странных» свойствах изображений. Выделяют четыре вида изображений:
1. неоднозначные, когда, рассматривая один и тот же рисунок, например,
раскрытую книгу, можно видеть ее обращенную к нам то внутренней,
то внешней стороной;
2. парадоксальные, когда на картине предметы даны плоскими, но на
самом деле они трехмерные;
3. неопределенные, когда, глядя на дерево, мы не можем сказать, как
распределены его ветки в пространстве: точная структура каждого
дерева неповторима;
4. кажущиеся искаженными, когда две одинаковые дуги кажутся
неравными из-за того, что штриховка верхней дуги дана с внешней
стороны,
а
штриховка
нижней
дуги – с внутренней.
6
Обман зрения представляет особый интерес для художников (например,
изображение Э. Боринга – «Леди и старуха». Они широко используют в своей
работе оптические иллюзии и зависимость восприятия определенного
сочетания линий от нашего психологического настроя.
Некоторые художники изменяют логику изображений пространства
получая различные иллюзии. Под "логикой" пространства мы понимаем те
отношения между физическими объектами, которые обычны для реального
мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые
еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие
с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами,
основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.
Великий голландский художник – литографист
Мориц Корнилис Эшер понимал, что геометрия
определяет логику пространства, но и логика
пространства определяет геометрию. Одна из наиболее
часто используемых особенностей логики пространства
- игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах.
На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах
являются визуальным ориентиром того, как
расположены полоски в пространстве и как они
переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам,
то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.
Еще один из аспектов логики пространства перспектива. На рисунках, в которых присутствует
эффект перспективы, выделяют так называемые
точки исчезновения, которые сообщают глазу
человека о бесконечности пространства. Изучение
особенностей перспективы началось еще во
времена возрождения художниками Альберти,
Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и
выводы легли в основу современной геометрии
проекций.
7
Вводя
исчезновения и
композиции для
эффекта, Эшер смог
которых изменяется
зависимости от того,
картину. На картине
художник разместил
исчезновения - по
В результате, если мы
картины, то создается
смотрим вверх. Если
верхнюю половину
мы смотрим вниз.
эффект, Эшер
и той же композиции.
дополнительные точки
немного изменяя элементы
достижения нужного
изобразить картины, в
ориентация элементов в
как зритель смотрит на
"Cверху и cнизу"
сразу пять точек
углам картины и в центре.
смотрим на нижнюю часть
впечатление, что мы
же обратить взгляд на
картину, то кажется, что
Чтобы подчеркнуть этот
изобразил два вида одной
Третий тип картин с нарушенной логикой
пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс
невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда
пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные
рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в
которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная
работа - литография "Водопад" - основана на фигуре
невозможного треугольника, придуманного математиком
Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены
в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является
замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон
сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники,
установленные на башнях водопада.)
8
Мозаики
Эскиз из Альгамбры
Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить
плоскость без пересечений фигур и щелей между ними.
Обычно в качестве фигуры для составления мозаики
используют простые многоугольники, например, квадраты
или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми
видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим.
перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся
узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал
"метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а
иногда изменяют и саму плоскость.
В математических работах регулярное разбиение плоскости
рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является
сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир,
9
но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на
котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости
подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и
шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо
больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в
основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал
базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии
называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые
фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные
образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию,
таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и
щелей.
Регулярное разбиение
плоскости птицами
Рептилии
Эволюция 1
Цикл
В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из
тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова
превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во
многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения
квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.
4. Перспектива – геометрия живописи
“Все проблемы Перспективы можно пояснить при помощи пяти
терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело”.
Леонардо да Винчи.
Слово перспектива означает насквозь видеть. Перспектива – наука,
изучающая законы линейного построения изображения предметов при разном
10
их удалении от наблюдателя. Поэтому обычно говорят о линейной перспективе.
Перспективой также называют и само изображение, построенное по этим
законам. Кроме линейной перспективы, существует еще так называемая
воздушная перспектива.
Научные основы линейной перспективы заложил архитектор Раннего
Ренессанса Брунеллески в сотрудничестве с математиком Тосканелли. Затем
итальянские и немецкие художники Леон Баттиста Альберти, Пьеро делла
Франческа, Паоло Учелло, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие в
своих научных трудах и произведениях искусства развили открытые ранее
законы. Так, Леонардо да Винчи (1452-15190) первым говорил о сокращении
масштаба разных отрезков, удаляющихся вглубь картины, сформулировал
правило построения изображений на цилиндрических сводах и положил начало
панорамной перспективе, объяснил причину стереоскопического видения,
указал правила распределения теней, характер отражения и изменения окраски
предметов. Ему принадлежат слова: «Перспектива есть руль живописи». Около
семь тысяч его сохранившихся рукописей содержат мысли по различным
вопросам искусства, науки и техники. Из его записей был составлен позже
«Трактат о живописи». Леонардо пишет: «… возьми зеркало, отрази в нем
живой предмет и сравни отраженный предмет со своей картиной …именно ты
увидишь, что картина, исполненная на плоскости, показывает предметы так,
что они кажутся выпуклыми, и зеркало на плоскости дает то же самое;
картина – это всего лишь только поверхность, и зеркало – то же самое;
картина – неосязаема, поскольку то, что кажется круглым и отделяющимся,
нельзя обхватить руками, – то же и в зеркале; зеркало и картина показывают
образы предметов, окруженные тенью и светом; и то и другое кажется очень
далеко по ту сторону поверхности. Существует еще другая перспектива,
которую я называю воздушной, ибо вследствие изменения воздуха можно
распознать различные расстояния до различных зданий, ограниченных снизу
одной единственной(прямой) линией… .Делай первое здание…своего цвета,
более удаленное делай более … синим, то, которое ты хочешь, чтобы оно было
настолько же более отодвинуто назад, делай его настолько же более синим…».
Многие его наблюдения не нашли в то время надлежащего физикоматематического объяснения, но однако
им были сделаны первые
экспериментальные попытки определения силы света в зависимости от
расстояния, исследования законов бинокулярного зрения, видя в них условие
восприятия рельефности.
Знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471-1528) в книге
«Наставления» дал подробную разработку основ рисования, указал на
графические способы построения большого числа плоских и некоторых
пространственных кривых линий, предложил метод построения перспективных
линий и тени предмета при помощи ортогональных проекций.
Французский математик и инженер Дезарг (1593-1662) впервые применил
метод координат для построения перспективы, положил начало аксонометрии,
приведшей в дальнейшем к развитию «вольной» перспективы.
11
В последующее время было разработано немало методов и приемов
перспективного построения, позволяющих точно воспроизвести на плоскости
любой предмет в любом повороте, на любом удалении и с любой точки зрения.
Известно, что параллельные линии на ровной местности, например
рельсы и т.п., удаляясь от нас, в конце концов, зрительно сойдутся в одной
точке на горизонте, т.е. на той условной линии, где сходятся земля и небо. Без
линии горизонта не может обойтись ни одно перспективной построение. Резкое
понижение горизонта (картина В. Серова – «Петр I», 1907г.), скрадывание
происходящего на дальних планах, снятие всего второстепенного позволило
художнику возвеличить центральный персонаж, который таким образом
возвышался над всем окружающим, выразительно вырастая на фоне неба.
Другое дело – повышение горизонта («Черешня» Е. Моисеенко ). Поднимая
его, художник как бы поднимает и зрителя, дает ему возможность охватить
взглядом как можно большее пространство, разглядеть участников массовой
сцены или ощутить земной простор со множеством планов и деталей.
Иногда, разворачивая какую-нибудь сцену в помещении, художник
изображает его строго фронтально, когда все уходящие вглубь, в перспективе
линии боковых стен, проемов, плит пола и т. п. при их прохождении сошлись
бы в одной центральной точке как в некоем фокусе. И часто в картине этот
геометрический фокус как бы совпадает с композиционным центром
произведения. Стремящиеся вглубь линии архитектуры направляют наш
взгляд в это место, и здесь оказывается главный элемент изображения – либо
12
голова центрального действующего лица, как во фреске Леонардо да Винчи
«Тайная вечеря» или в картине П.Федотова «Сватовство Майора», либо
главные персонажи, как фигуры Аристотеля и Платона в картине Рафаэля
«Афинская школа», либо какой-то важный предмет, как пучок мечей в картине
Ж.-Л. Давида «Клятва Горациев».
Все то, что наблюдатель может охватить одним взглядом, не двигаясь и
не поворачивая головы, называется полем зрения. Наиболее ясное и отчетливое
восприятие предмета заключается в пределах угла, равного примерно 30
градусов. Поэтому, чтобы его воспринять отчетливо, точка зрения наблюдателя
должна находиться на удалении, превышающим в 2,5-3 раза самое большое
измерение этого предмета. Если же к предмету подойти ближе этого
расстояния, его можно увидеть (не поворачивая головы) только частично. Если
же наблюдатель будет перемещаться около предмета направо, налево, вверх,
вниз, он будет представляться ему с каждой новой точки зрения по-новому, в
иных поворотах и ракурсах.
Помещая на рисунке или картине людей в различном перспективном
удалении, художник должен быть уверенным, что величина намеченных фигур
соответствует их положению в пространстве.
Рис. 26.
13
Картина венгерского художника В. Вазарели – «Изучение перспективы» –
прекрасный тому пример. На ней видно, как линии, уходящие вглубь, сходятся
в одной точке, а фигура, находящаяся от нас дальше, изображается в виде
фигуры меньших размеров.
Рис. 27.
Степень контрастности света и тени, объемность предмета, четкость его
очертаний, цветовая окраска
при его удалении от рисующего резко
изменяются. Это связано с тем, сто окружающий нас воздух не абсолютно
прозрачен: он всегда содержит в себе пыль, влагу и другие мельчайшие
взвешенные частицы, которые делают его мутной средой. Эта мутная среда
влияет на проходящие через нее лучи, определяя наше восприятие окутанных
ею предметов. Удаляясь от нас, предметы не только зрительно уменьшаются в
размерах. По мере удаления контрастность
их темных и светлых мест
постепенно все более смягчается, предметы становятся как бы более плоскими
и, в конце концов, превращаются на горизонте в однородную дымку едва
различимых силуэтов. Одновременно происходит и изменение их цветовой
окраски. Это явление и называется воздушной перспективой.
14
Исследовательская работа
Искусство удивляться
Я понять тебя хочу.
Смысла я в тебе ищу…
А. С. Пушкин
На знаменитой картине М.К. Эшера «Бельведер» с очевидностью
просматриваются нарушения логики пространства.
Belvedere Белведер.1958.
литография.46х29,5 см
Слева на переднем плане лежит
лист бумаги с чертежом куба. Места
пересечения граней отмечены двумя
кружками. Какая грань впереди, какая
позади? В трехмерном мире невозможно
увидеть переднюю и заднюю стороны
одновременно, поэтому их не возможно
изобразить. Однако есть возможность
нарисовать предмет. Передающий иную
реальность, если смотреть на него
сверху и снизу. Сидящий на скамейке
юноша держит в руках именно такое
абсурдное подобие куба. Он задумчиво
разглядывает этот непостижимый
предмет, оставаясь безразличным к
тому, что бельведер за его спиной
выстроен в том же невероятном,
абсурдном стиле. На полу нижней
площадки, то есть внутри, стоит
лестница, по которой взбираются двое.
Однако, достигнув верхней площадки,
они снова окажутся снаружи, под
открытым небом, и снова им придется
входить внутрь бельведера.
Удивительно ли что никому из
присутствующих нет дела до заключенного, который просовывает голову
между прутьями тюремной решетки и оплакивает свою судьбу?
15
В чем причина того, что
эта работа вызывает такие
размышления и мироощущение.
Только внимательно
приглядевшись замечаешь, что
художник нарушил законы
изображения. Внешние столбы
направлены и простроены верно
и создают иллюзию того, что
это сооружение реально и имеет
форму параллелепипеда. Но
когда смотришь на внутренние
столбы, то замечаешь, что они
перекрещиваются, и сооружение
не имеет предполагаемой формы
параллелепипеда. Кроме этого
пол первого этажа Бельведера и
его потолок между собой не
совпадают, они
перпендикулярны. Поэтому это сооружение – Бельведер не может
существовать в трехмерном пространстве. Теперь я понимаю, что не все
рисунки и чертежи трехмерны, некоторые из них могут существовать только на
бумаге и в нашем воображении.
16
IV. Заключение
В данной работе рассмотрено только несколько законов математики,
применяемых живописцами. Но этого уже достаточно, чтобы убедиться во
взаимосвязи двух на первый взгляд несовместимых понятий: математика и
живопись.
Преподавание в школе предметов математики и изобразительного
искусства будет считаться недостаточно глубоким, если не будет раскрыто
практическое их применение в повседневной жизни. Глубокие изменения в
экономике и технике в 20 веке привели к возникновению новой науки,
получившей название технической эстетики или дизайна, а, следовательно, и
новой профессии – художника-конструктора. Основываясь на расчетах,
используя
геометрические законы, применяя математические методы,
компьютерную графику и художники, и дизайнеры создают для нас такие
произведения искусств, которые улучшают эмоциональное и психологическое
состояние человека, повышают его работоспособность.
Читатели данного реферата еще раз смогут понять, что математика не
только «ум в порядок приводит», но и несет в себе большой эстетический
потенциал в развитии различных видов искусства, являясь «царицей всех наук».
V Работы Морица Эшера
Balkony- Балкон 1945.
Литография. 30х23,5 см
Трехмерность этих домов – абсолютная
функция. Невозможно нарушить
двухмерную природу листа бумаги, на
которой они изображены (если только не
щелкнуть по нему с обратной стороны).
Однако в центре наблюдается некое
вздутие, этакий протуберанец, который
тоже не боле чем иллюзия: лист остается
плоским. Достигнуто лишь растяжение,
четырехкратное увеличение в
центральной части композиции.
17
Ascending and descending Вверх и вниз
• 1960 г. - литография
38х28.5 см.
• Бесконечные лестницы,
представляющие
главный мотив этой
картины,
навеяны
статьей Л.С. и Р.
Пенроузов,
напечатанной
в
"Британском журнале
психологии" в феврале
1958
года.
Прямоугольник
внутреннего
двора
замкнут
стенами
здания,
у которого
вместо
крыши
бесконечная лестница.
Скорее всего, в этом доме живут монахи, приверженцы некой
религиозной секты. Возможно, ежедневный ритуал предписывает им
подниматься по ступеням несколько часов подряд. Кажется, если они
устанут, им разрешается повернуть в обратную сторону и спускаться,
вместо того. чтоб подниматься. Однако оба направления, хотя и
выразительны, но одинаково бесполезны. Двое непокорных индивидов в
этот момент отказываются участвовать в ритуале. Им это совершенно не
нужно, но нет сомнения, что раньше или позже их заставят раскаяться в
своем нонкомформизме.
• Dragon - Дракон
• Дракон.1952. Торцовая гравюра. 32х24 см
Как бы этот дракон ни стремился перейти
в другое измерение, он остается
абсолютно плоским. Прорежьте в двух
местах лист бумаги, где он оттиснут.
Затем согните лист так, чтобы получилось
два квадратных отверстия. Но дракон –
чудовище упрямое: несмотря на свою
двухмерность, он всеми силами старается
доказать, что существует в трех
измерениях;
поэтому
в
одно
четырехугольное
отверстие
он
просовывает голову, а в другое – хвост.
18
Литература
1) Алексеев С., Алексин А. и др. Что такое. Кто такой. – М.: «ПедагогикаПресс», 1996. – Т. 2, – с. 416.
2) Алексеев С., Алексин А. и др. Что такое. Кто такой. – М.: «ПедагогикаПресс», 1996. – Т. 3, – с. 336.
3) Атанасян Л. Геометрия. // Учебник для 10-11 классов средней школы. /
Изд. 2-е.– М.: «Просвещение», 1993. – с. 206.
4) Воротников И. Занимательное черчение. // Пособие для учащихся. / Изд. 3е. – М.: «Просвещение», 1977. – с. 191.
5) Зенкевич И. Эстетика урока математики // Пособие для учителей. – М.:
«Просвещение», 1981. – с. 25.
6) Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. Малевич //
Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. – № 1. – С.
1-3.
7) Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. У истоков
кубизма. Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. –
№ 7. – С. 5-8.
8) Ожегов С. Толковый словарь русского языка. / Изд. 2-е. – М.: «АЗЪ»,
1994. – с. 907.
9) Прохоров А. Золотая спираль. // Квант. Научно-популярный физикоматематический журнал АН СССР и АПН СССР. – М.: «Наука», 1984. –
№ 9. – С. 15-17.
10) Самойлик Г. Леонардо да Винчи. // Математика. Приложение к газете
«Первое сентября». – М., 2003. – № 4. – С. 7-10.
11) Чепракова Е., Липкина Т. Присутствие красоты. // Математика в школе.
Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная
пресса», 2001. – № 3. – С. 73-75.
12) Шарыгин И., Ерганжиева Л. Наглядная геометрия. 5-6 классы // Пособие
для общеобразовательных учебных заведений. / Изд. 4-е. – М.: «Дрофа»,
2001. – с. 192.
13) Ятайкина А., Пашкина О. О золотом сечении и не только о нем. //
Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО
РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001. – № 3. – С. 75-76.
14) Интернет. Статьи о Морице Корнилисе Эшере
19
Скачать

Математика в живописи