Министерство просвещения Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Глазовский государственный инженерно-педагогический университет имени В. Г. Короленко»
Методическое пособие (макет) для учителей-участников международного
гуманитарного проекта «Сила ума», реализуемого при поддержке
Министерства просвещения РФ
Авторский коллектив:
Владыкина Ирина Владимировна
Вольфсон Георгий Игоревич
Иванова Марина Семёновна
Костылева Екатерина Сергеевна
Леонтьева Наталия Владимировна
Максимов Дмитрий Васильевич
Мишина Елена Алексеевна
Панькова Светлана Витиславовна
Парфенов Арсений Андреевич
Пуденкова Елена Анатольевна
Старыгина Ксения Викторовна
Шмаев Алексей Петрович
Яников Михаил Владимирович
Руководитель проекта:
Парфенов Арсений Андреевич
Координатор проекта:
Старыгина Ксения Викторовна
От авторов:
Обучение с использованием данной рабочей тетради проводится в рамках реализации дополнительной общеобразовательной программы социально-педагогической направленности «Сила
ума: Физика и математика на практике». Программа рассчитана на детей 12-14 лет общеобразовательных школ иностранных государств.
Центральная идея – интеллектуальное развитие учащихся средствами математики и физики, развитие их "мягких" навыков.
Программа состоит из двух предметных модулей: «Математика» и «Физика» и нацелена на повышение интереса учащихся к точным наукам.
Распространяется на некоммерческой основе.
© Все права защищены.
SILA_UMA_2022
2
физика / математикa
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ:
Математика
Урок 13. Перестановки. Факториал ......................................................................................................... стр. 6
Урок 14. Формула включений-исключений ............................................................................................ стр. 8
Урок 15. Метод дополнения..................................................................................................................... стр. 11
Урок 16. Геометрия помогает практике ................................................................................................ стр.13
Урок 17. Игры-шутки .............................................................................................................................. стр. 16
Урок 18. Знакомство со стратегиями ..................................................................................................... стр. 18
Урок 19. Анализ позиций ....................................................................................................................... стр. 21
Урок 20. Графы ..................................................................................................................................,.... стр. 25
Урок 21. Основные свойства графа....................................................................................................... стр.28
Физика
Урок 13. Экспериментальный микс........................................................................................................ стр. 32
Урок 14. Крученый мяч............................................................................................................................ стр. 42
Урок 15. В мире Чиполлино.................................................................................................................... стр. 47
Урок 16. Когда нужно больше ................................................................................................................ стр. 54
Урок 17. Волшебные зеркала .................................................................................................................. стр. 60
Урок 18. Прекрасное далеко .................................................................................................................. стр. 66
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу .................................................................................................... стр. 71
Урок 20. Поющие бокалы ...................................................................................................................... стр. 78
Урок 21. История теплового двигателя ................................................................................................. стр. 87
Урок 22. Своя игра................................................................................................................................... стр. 92
SILA_UMA_2022
3
физика / математикa
МАТЕМАТИКА
Часть 2
SILA_UMA_2022
4
физика / математикa
Урок 13. Перестановки. Факториал
Урок 13. Перестановки. Факториал
Тема: Перестановки. Факториал
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с понятиями «перестановки» и «факториал»; формирование умения применять формулу перестановок к решению задач, умения определять, в каких случаях применимы перестановки для решения задач.
Методический комментарий
Данная тема основана на теореме: число способов расставить в ряд N объектов может быть найдено
по формуле N!.
При изучении данной темы в первую очередь школьники должны уметь определять, в каких случаях
требуется расставить все заданные объекты в ряд. Нужно разобрать с обучающимися, в каких случаях
используются перестановки для описания условий задачи. Желательно обратить внимание школьников
на общий вывод формулы для вычисления перестановок, что создает условия для формирования математической культуры школьников. Именно рассуждения в общем виде способствуют пониманию того
факта, что выводы, сделанные на частных примерах, являются всего лишь гипотезами и нуждаются в
доказательстве, чтобы формулу в общем виде можно было применять к решению задач.
В дальнейшем при выполнении заданий требуется обосновать, что может быть использована формула перестановок. Приведенное доказательство определяет, соответствуют ли условия задачи возможности использования этой формулы. В результате обучающиеся учатся считать количество возможных
вариантов расположения объектов в ряд, что востребовано в тех случаях, когда их число достаточно
большое.
В каждом отдельном задании также возможно полное воспроизведение всего цикла рассуждений,
приводящих к итоговой формуле для решения задачи. В таком случае каждый раз обучающиеся воспроизводят ее обоснование, что позволяет лучше понять логику рассуждений, а также способствует пониманию того, как проводится доказательство. При решении задач по теории вероятностей, статистике
указанная формула применяется достаточно активно. Данная тема является практико-ориентированной, поскольку формула перестановок может быть использована для решения самых различных задач
из области криптографии, компьютерных алгоритмов, генетики и других.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Правило суммы. Правило произведения.
2. Мотивационный этап
Учитель предлагает для решения задачи.
Задача 1. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждую
можно использовать только один раз?
3. Организация деятельности учащихся
Учитель проводит беседу, в ходе которой учащиеся знакомятся с новыми понятиями.
Для того, чтобы найти ответ на вопрос задачи 1, мы с вами должны познакомиться с новыми понятиями.
Теперь, после того, как мы изучили правила сложения и умножения, мы перейдем к следующей важной теореме комбинаторики: формуле, выражающей количество различных перестановок нескольких
предметов.
Начнем с простого рассуждения: пусть у нас есть всего два разных предмета (для наглядности здесь
и дальше можно представлять, что под предметами подразумеваются одинаковые по размеру шарики,
раскрашенные в разные цвета). Сколькими разными способами мы можем их выложить в ряд? Понятно, что двумя: либо сначала красный шарик, потом синий, либо – наоборот.
Теперь добавим третий шарик. Сколько будет способов? К двум, уже лежащим в некотором порядке,
шарикам третий можно добавить тремя способами: слева от них, справа или между ними. Таким образом (согласно правилу умножения) нужно умножить 2 на 3 и получится, что разных способов выложить
в ряд три шарика ровно 6.
SILA_UMA_2022
5
физика / математикa
Урок 13. Перестановки. Факториал
Наверное, понятно, что будет дальше. Четвертый шарик можно добавить к уже лежащим трем четырьмя способами. Поэтому количество разных способов выложить в ряд равно 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 способа.
Если мы добавим пятый шарик, то это число нужно будет умножить на пять, и так далее. Кажется, нам
нужно специальное обозначение для такого произведения чисел от 1 до некоторого натурального числа
(единицы у нас изначально не было, но мы добавим ее для удобства).
Факториалом натурального числа N называется произведение всех натуральных чисел от 1 до N.
Обозначается факториал так: N!. Таким образом, N!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ N. Например, 6!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙
6=720.
Проведенные выше рассуждения подсказывают нам, что верно следующее утверждение: Количество разных способов выложить в ряд N разных предметов равно N!.
Мы бы могли доказать это утверждение, продолжив рассуждения как выше: заметив, что к N-1 уже
лежащему в некотором порядке шарику N-ый шарик можно добавить ровно N разными способами. Поэтому количество способов выложить в ряд N-1 шарик нужно умножить на N. (Кстати, такой способ
называется рассуждением по индукции). Но можно доказать этот факт и просто применяя последовательно правило умножения: представим себе что мы отметили N разных мест (например, клеточками),
на которые будем класть шарики. Тогда первый шарик можно положить N способами, второй - N-1 способом и так далее. Применяя правило умножения, мы и получаем ожидаемый результат - произведение
чисел от 1 до N.
Разные способы выложить в ряд одни и те же предметы называются перестановками, а то число,
которое мы научились считать, называется количеством разных перестановок N предметов. Эта формула (для числа перестановок) хотя и не слишком сложная, тем не менее, является одним из базовых
утверждений комбинаторики. Рассмотрим примеры задач, которые решаются с помощью доказанного
утверждения.
Учитель разбирает решение задачи 1, а также приводит решение другой задачи на применение формулы перестановок.
Решение задачи 1. В этой задаче все просто: интересующие нас пятизначные числа, это просто всевозможные способы записать числа от 1 до 5 в разном порядке. Таких способов, как мы выяснили, ровно
5!=120. Это и есть ответ.
Задача 2. Сколькими разными способами 10 школьников могут встать в шеренгу так, чтобы Вася и
Петя стояли рядом.
Решение задачи 2. Это задача сложнее: прежде чем применить в ней формулу для числа перестановок, нужно провести предварительную подготовку. Сперва мы рассмотрим случай, когда Вася стоит
слева от Пети и рядом с ним. Тогда эту неразлучную пару мы будем считать одним учеником и называть,
скажем, Ватя. Теперь мы готовы применить формулу для числа перестановок: у нас есть девять учеников (один из которых «двойной» ученик Ватя) и мы можем их переставлять в шеренге всеми возможными способами. Таких способов, как мы знаем, 9!. Но теперь надо не забыть, слева может стоять Петя,
а не Вася, и тогда образуется ученик Песя. С таким «псевдоучеником» есть еще 9! способов выстроить
шеренгу, и тогда окончательный ответ: 2 ∙ 9!.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Сколькими разными способами 5 мальчиков и 5 девочек могут встать в ряд так, чтобы мальчики и
девочки чередовались?
2. Сколькими разными способами 10 школьников могут встать в ряд так, чтобы Вася стоял левее
Пети.
3. Сколькими разными способами 10 школьников могут встать в хоровод вокруг елки (Важно: хоровод – не шеренга, он может «крутиться» и при этом оставаться тем же самым хороводом.
4. В кружке танцев занимается 5 мальчиков и 5 девочек. Сколькими разными способами они могут
разбиться на пары для вальса?
5. Сколько разных «слов» (последовательностей букв) можно получить, переставляя буква в слове
МАТЕМАТИКА?
Ответы:
1. 2 ∙ 5! ∙ 5! 2. 10!/2 3. 9! 4. 5! 5. 10!/(3! ∙ 2! ∙ 2!)
В ходе урока ученики приходят к следующему выводу. Типичная задача, решаемая с помощью перестановок: сколькими способами можно n различных предметов расставить на n различных местах?
Перестановки вычисляются по формуле: N!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ N.
SILA_UMA_2022
6
физика / математикa
Урок 14. Формула включений-исключений
Урок 14. Формула включений-исключений
Тема: Формула включений-исключений
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с понятием пересечения двух множеств, с
формулой включений-исключений; формирование умения считать количество
элементов, как в отдельных множествах, так и в пересечении, умения применять
обобщенное правило суммы к решению задач.
Видеолекцию по этой теме можно посмотреть, отсканировав QR-код
Методический комментарий
Данная тема представляет собой обобщение правила суммы для подсчета числа вариантов.
Изучение правила суммы применимо в тех случаях, когда пересечение множеств не содержит ни одного элемента. Однако на практике часто возникают случаи, когда множества имеют общие элементы.
В такой ситуации важно объяснить, что общие элементы при сложении количества элементов множеств учитываются дважды. Соответственно, их нужно вычесть для расчета вычисления количества
элементов в объединении указанных множеств. Для лучшего понимания можно предложить обучающимся простые примеры, позволяющие быстро и наглядно подсчитать количество элементов самих
множеств, их объединения и пересечения.
В целом, прежде чем переходить к задачам подобного типа можно предложить школьникам, особенно если они впервые сталкиваются с данными понятиями, подготовительные задания, направленные на
нахождение объединения и пересечения некоторых множеств. В таком случае формируются представления о том, как правильно выполнять операции над множествами.
Наглядной иллюстрацией при решении задач подобного типа могут служить так называемые круги
Эйлера. Их можно использовать для нахождения количества элементов, входящих в различные части
множества. Такая модель является наиболее удобной в тех случаях, когда нужно находить пересечение
не двух, а большего числа множеств. Без использования специальной модели анализировать количество
элементов, входящих в различные пересечения заданных множеств, может быть крайне затруднительно.
При решении задач из различных разделов математики и в практической деятельности данная формула применяется достаточно часто. Важно научить учеников видеть подобную конструкцию в самых
разных ситуациях и применять соответствующие формулы.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Правило суммы.
2. Мотивационный этап
Учитель предлагает для решения задачи.
Задача 1. В одном узбекском ауле каждый житель говорит или по-узбекски, или по-русски, или на
обоих языках, 842 жителя аула говорят по-узбекски, 553 по-русски, причем 335 человек говорят на обоих языках. Сколько жителей в этом ауле?
3. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы с учащимися учитель проводит объяснение нового материала.
Вернемся к правилу сложения и вспомним его формулировку: если два множества А и В не имеют
общих элементов, то #(A∪B)=#A+#B. А что будет, если множества А и В имеют общие элементы?
Конечно, тогда равенство не будет верно (так как общие элементы не нужно учитывать дважды). И вообще, понятно, что, не зная ничего об общих элементах множеств, определить однозначно количество
элементов в объединении нельзя. Поэтому давайте введем понятие пересечение множеств. Обозначается оно вот таким символом ∩ и обозначает множество, которое содержит все элементы, которые
лежат в обоих множествах.
Например, если A={1; 2; 3; 4}, а B={3; 4; 5}, то A∩B={3; 4}.
SILA_UMA_2022
7
физика / математикa
Урок 14. Формула включений-исключений
Теперь, если ввести рассмотрение также количество элементов в
пересечении двух множеств, можно доказать обобщение правила
сложения - так называемую формулу включений-исключений:
#(A∪B)=#A + #B - #(A∩B).
Если внимательно присмотреться к этому равенству, то легко понять, почему оно верно: действительно, складывая количество
элементов в множествах А и В, мы
общие элементы посчитали как бы
дважды, а нужно каждый элемент
посчитать один раз, поэтому нужно вычесть их количество, то есть
– число элементов в пересечении.
Это и убеждает нас в истинности написанного равенства. Формула включений-исключений существует не только для двух множеств, но и для большего их количества, однако даже для трех множеств
равенство получается уже очень громоздким:
#(A∪B∪C)=#A + #B + #C - #(A∩B) - #(B∩C) - #(C∩A) + #(A∩B∩C).
Перейдем к примерам задач, в которых применяется формула включений-исключений.
Рассмотрим решение задачи 1.
Через A обозначим множество жителей аула, которые говорят по-узбекски, через B – множество жителей, которые говорят по-русски. Пересечение множеств А и В – количество жителей аула, которые
говорят на обоих языках. Воспользуемся формулой включений-исключений: 842 + 553 – 335 = 1060.
Ответ: 1060 жителей в ауле.
Учитель приводит примеры задач, в решении которых используется формула включений-исключений.
Задача 2. В доме 10 жильцов, у каждого есть как минимум одно домашнее животное – кошка или
собака. Кошки живут у 7 человек, а собаки - у 6 человек. У скольких людей есть и кошка, и собака?
Решение задачи 2. Это довольно простой пример применения формулы включений – исключений.
Нам известно количество элементов в обоих множествах (владельцы кошек и собак) и количество элементов в объединении. А узнать мы хотим количество элементов в пересечении. Воспользовавшись
формулой включений-исключений, мы получаем ответ: 6+7-10=3 человека держат дома как кошку, так
и собаку.
Задача совсем простая, но очень точно демонстрирует нам суть применения формулы включений-исключений: понять, какие множества являются «основными» в задаче и каким способом описано их пересечение и объединение. Отметим также, что, несмотря на то, что формула включений – исключений
выражает количество элементов в объединении, применятся, разумеется, она может и для поиска других
величин. Задача 3. Сколько чисел от 1 до 600 делятся на 2 или на 3 (если число делится на 6, то его не нужно
учитывать дважды).
Решение задачи 3. В этой задаче применение формулы включений-исключений требует некоторой
подготовки. Сначала поймем, что два множества, для которых нам предстоит применить формулу – это
числа, делящиеся на 2 (их 600:2=300), и числа, делящиеся на 3 (их среди чисел от 1 до 600 ровно треть,
то есть – 200). В задаче нас просят найти количество чисел в объединении этих множеств, и поэтому
теперь нам нужно понять, сколько элементов в пересечении. Для этого нужно понять, что это за числа,
которые делятся и на 2, и на 3. Понятно, что это числа, делящиеся на 6, и поэтому их ровно 600:6=100
(каждое шестое число). Теперь все готовы и мы находим ответ: 300+200-100=400 чисел.
SILA_UMA_2022
8
физика / математикa
Урок 14. Формула включений-исключений
Задачи для самостоятельного решения:
1. 25 человек писали контрольные работы по алгебре и геометрии. 15 человек не получили ни одной
«двойки», 7 человек получили «двойку» по геометрии, и только хулиган Вася получил «двойки» за обе
контрольные работы. Сколько человек получили «двойку» по алгебре?
2. В кружке, состоящем из 35 человек, 20 любят решать задачи, 11 – болтать на занятиях, а 10 человек
терпеть не могут ни решать задачи, ни болтать на занятиях, но ходить в кружок их заставляют родители.
Сколько кружковцев любят делать и то, и другое?
3. В детский сад для обучения чтению завезли карточки со слогами «БА» и «НЯ». Каждый ребенок
взял себе три карточки. Оказалось, что слово «БАБА» могут составить 30 детей, слово «НЯНЯ» – 20
детей, а слово «БАНЯ» – 40 детей. У скольких детей все три карточки одинаковы?
4. В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме «р», которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме «к», которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10
учеников написать слово «кот», 18 других учеников – слово «рот», а остальных – слово «крот». При этом
слова «кот» и «рот» оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?
5. На столе лежит 100 карточек: белой стороной вверх, черной стороной вниз. Хулиган Вася перевернул 60 из них, хулиган Петя перевернул 70 из них, а отличница Маша перевернула 50 из них, после
чего оказалось, что все карточки лежат черной стороной вверх. Сколько карточек перевернуты трижды?
Ответы:
1. 4 двойки
2. 6 человек
3. у десяти детей.
4. 8 детей
5. 40 карточек.
В качестве домашнего задания учащимся можно предложить сделать сообщение об ученых, в работах которых встречается формула включения-исключения.
Формулу включений-исключений в своих работах использовал Николай Бернулли в 1713 году при
решении задачи о встрече, частным случаем которой является задача о беспорядках. В 1854 году эту
формулу опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва. Также формулу включений-исключений связывают с именами французского математика Абрахама де Муавра и английского математика
Джозефа Сильвестра.
SILA_UMA_2022
9
физика / математикa
Урок 15. Метод дополнения
Урок 15. Метод дополнения
Тема: Метод дополнения
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с дополнением множества до универсального множества; формирование умения находить дополнение и применять метод дополнения к решению задач.
Методический комментарий
Суть метода заключается в том, чтобы найти количество элементов, соответствующих не заданному
условию, а дополнению к нему до полного множества.
При изучении данного метода важно сформировать у обучающихся представления о том, что заданное по условию множество является частью некоторого большего множества, охватывающего всевозможные случаи, описывающие объекты задачи. Его можно назвать универсальным. Нахождение
множества, дополняющего исходное до универсального, представляет собой основу данного метода
и является наиболее сложной частью задачи. В некоторых случаях это может быть связано с тем, что
описание всех возможных вариантов не всегда понимается обучающимися верно. Если какая-то часть
универсального множества не будет учтена, то решение задачи будет найдено неправильно. Правильная
оценка количества элементов универсального множества в первую очередь зависит от того, насколько
грамотно оно описано.
Также необходимо хотя бы предварительно оценивать, какое из множеств, исходное или дополнительное, является более удобным для расчета числа его элементов, что обуславливает необходимость
использования данного метода.
Важно объяснить ученикам, в каких случаях метод дополнения является более удобным для решения задач. В некоторых простейших случаях можно попробовать выполнить задание двумя способами,
напрямую и с помощью дополнения. После этого желательно сравнить, в каком случае составленный
алгоритм для подсчета количества элементов рассматриваемых множеств будет более простым.
Все формулы комбинаторики носят практико-ориентированный характер, поскольку подсчет числа
вариантов самыми различными способами может встретиться в самых различных ситуациях.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Перестановки.
2. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы с учащимися учитель проводит объяснение новой темы.
На этом уроке мы изучим не новую комбинаторную форму (как происходило на предыдущих уроках), а метод решения комбинаторных задач, называемый методом дополнения.
Его суть проще всего понять на конкретных задачах (они ниже), но давайте попробуем кратко сформулировать основную идею. Как мы знаем, в комбинаторных задачах вопрос всегда про количество
элементов в некотором множестве (количество способов что-то сделать и т. п.).
Метод дополнения состоит в том, что вместо поиска ответа на заданный вопрос, мы действуем ровно
наоборот: ищем количество «остальных» объектов. Конечно, при этом важно понимать, в каком общем
множестве находятся интересующие нас объекты, и сколько всего объектов в этом множестве. После
этого решением задачи становится просто результат вычитания из общего количества объектов количества тех, которые нам не нужны.
Давайте перейдем к примерам, которые лучше проясняют суть изучаемого нами метода.
Учитель вместе с учениками решает задачи.
Задача 1. Сколько существует двузначных чисел, цифры которых различны?
Решение задачи 1. Всего, как легко понять, двузначных чисел ровно 90 (вспомним задачу о подсчете
количества четырехзначных чисел, здесь то же самое, только меньше множителей). Ровно у девяти из
SILA_UMA_2022
10
физика / математикa
Урок 15. Метод дополнения
них (11, 22, …, 99) обе цифра одинаковые, а у остальных - различные. Таким образом, ответ: 90-9=81
двузначное число.
Задача совсем простая, но она хорошо проясняет суть метода дополнения: одна задача (найти количество чего-то) методом дополнения сводится к двум (найти «всё» и найти «не нужное»), но эти задачи
оказываются значительно проще одной, которую мы решаем.
Задача 2. Сколькими разными способами 10 школьников могут встать в ряд так, чтобы Вася и Петя
не стояли рядом.
Решение задачи 2. Вспомним уже решенную нами (в разделе «Перестановки») задачу: количество
расстановок десяти школьников шеренгу так, чтобы Вася и Петя стояли рядом равно 2 ∙ 9!. Всего же
различных способов построить в шеренгу десять школьников равно 10!. Осталось просто вычесть, и мы
получаем ответ: 10!- 2 ∙ 9!=8 ∙ 9!.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна цифра пять?
2. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры?
3. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть две соседние одинаковые цифры?
4. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут встать в ряд так, чтобы нашлись два мальчика, стоящие рядом?
5. Сколькими способами из N предметов можно выбрать k (считаем, что k<N) так, чтобы не все
выбранные предметы были различными. Способы, отличающиеся только порядком выбора, считаем
разными.
Ответы:
1. 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 - 8 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9
2. 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 - 9 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7
3. 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 - 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9
4. 10! - 2 ∙ 5! ∙ 5!
5. N !- N ∙ (N-1) ∙ ... ∙ (N-k-1)
SILA_UMA_2022
11
физика / математикa
Урок 16. Геометрия помогает практике
Урок 16. Геометрия помогает практике
Тема: Решение красивых геометрических задач на практике
Тип урока: урок-исследование
Цель урока: ознакомление учащихся с простейшими геометрическими фактами; формирование умения преобразовывать простейшие геометрические объекты для получения новых; формирование умения применять изученные факты для решения задач.
Методический комментарий
Данная тема основана на применении простейших геометрических идей к решению различных задач.
Работа с геометрическими объектами во многих случаях вызывает у школьников затруднения, поскольку им сложно их представить, а также выполнить с ними необходимые преобразования. Последовательное изучение подобных задач способствует формированию пространственного мышления, умению манипулировать геометрическими фигурами.
В связи с этим возможно использование различных наглядных средств, позволяющих представить
заданные в задаче объекты. Важно обратить внимание обучающихся на различные варианты взаимного
расположения, которых может быть и несколько.
Задачи данного типа в большинстве случаев являются практико-ориентированными. Можно рассмотреть различные жизненные ситуации, которые предполагают построение геометрической модели.
Сложности в решении подобных задач заключаются еще и в том, что не существует универсальных
алгоритмов, позволяющих решать множество задач подобного класса, каждую нужно анализировать
отдельно. С этой точки зрения изучение подобного рода заданий позволяет формировать конструктивные умения, творческую активность обучающихся.
Ход урока
1. Мотивационный этап
Вступительное слово учителя.
Нередко геометрия воспринимается как что-то скучное и счетное: скажем, есть две стороны прямоугольника, надо найти площадь: перемножил, и готово. Но это не настоящая задача – просто пример. На
этом занятии речь пойдет именно о задачах: тут нужно будет не просто посчитать, а хорошо подумать!
Зачастую конструкция бывает не единственной, и важно разобрать все возможные варианты. Кроме
того, в некоторых задачах возможны принципиально разные способы рассуждения, и единственно верного нет. Не бойтесь пробовать и фантазировать!
Учитель предлагает решить задачу.
Задача 1. Предположим, что есть луг, заросший травой, есть
коза, которая любит есть траву, и есть любые приспособления.
Как сделать так, чтобы коза «съела» участок, имеющий форму
круга радиуса 3 м?
2. Организация деятельности учащихся
Ученики предлагают разные варианты решения задачи.
Решение задачи 1. Решений у этой задачи много. Как вариант, можно смастерить загон нужной формы и просто пустить
туда козу. Однако есть решение более простое в реализации:
достаточно вбить колышек в центре круга и привязать к колышку козу на веревку длиной как раз 3 м. Несложно убедиться, что коза съест именно круг и именно радиусом 3м!
SILA_UMA_2022
12
физика / математикa
Урок 16. Геометрия помогает практике
Попробуем сделать задачу сложнее: а что если нужно съесть «кольцо», у которого радиус внутреннего круга – 2 м, внешнего – 4 м?
Решений, опять же, может быть несколько, одно из них такое: к колышку в центре прикрепить вращающуюся палку длиной 3 м, а к концу этой палки привязать козу на веревку длины 1 м. Но ребята
нередко предлагают и другие идеи, например, привязать козу на веревку 4 м, а кроме того, к тому же
центральному колышку привязать злую собаку на веревку в 2 м! Тогда собака не даст козе есть ничего, кроме нужного кольца!
Учитель предлагает найти все решения следующих задач.
Задача 2. На прямой дороге расположены три города. Известно, что расстояние от Январска до
Февральска – 100 км, а расстояние от Февральска до Мартска – 250 км. Каким может быть расстояние
от Январска до Мартска?
Решение задачи 2. Напрашивается сказать: 350 км, но не стоит торопиться! Действительно, никто
ведь не сказал, что города расположены именно в таком порядке: Январск, Февральск, Мартск! На
самом деле, тут возможно два варианта:
1) Если Мартск расположен с той же стороны от Январска, что и Февральск, то расстояние между
М и Я действительно равно 100 + 250 = 350 км.
2) Если же Мартск находится с другой стороны от Январска (М – Я – Ф), то расстояние будет равно
250 – 100 = 150 км.
Ответ: 150 или 250 км
Стоит отметить: нам еще повезло, что города стоят на одной прямой. Попробуйте решить аналогичную задачу, когда такого условия нет! В этом случае ответов будет бесконечно много!
Задача 3. Можно ли расположить а) трех, б) четырех овечек так, чтобы расстояние между любыми
двумя из них было ровно 3 м?
Решение задачи 3. В первом случае ответ очевиден: достаточно просто поставить их в вершины
равностороннего треугольника со стороной 3м. Но что делать в пункте б)? Напрашивается рассмотреть ромб или даже квадрат, но, увы, такая идея не сработает: расстояние между овечками, стоящими
по диагонали, не равно расстоянию соседних по стороне. Более того, если подумать, то становится
ясным, что любые три овечки должны стоять в вершинах равностороннего треугольника… Можно
ли это сделать? Оказывается, да. Для этого надо расставить трех овечек вокруг холма, а четвертую
поставить на этот холмик (как вариант, наоборот, выкопать яму или овраг нужной глубины). И тогда
овечки будут стоять в вершинах треугольной пирамиды!
Задачи для самостоятельного решения:
1. Можно ли испечь торт (не обязательно круглый), который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 7 частей? Нарисуйте такой торт.
2. Малыш и Карлсон стояли на расстоянии 10 м друг от друга. Каждый из них сделал один прыжок,
причем Малыш прыгнул на 1м, а Карлсон – на 2м. Чему может быть равно расстояние между ними
теперь? Решите эту задачу как для случая, когда они прыгают по одной прямой, так и в общем случае.
3. Чтобы покрасить одну грань куба, Маше требуется 7 граммов краски. Сколько граммов потребуется, чтобы покрасить весь куб?
4. Деревянный куб покрасили снаружи синей краской. После этого каждое ребро поделили на 5
частей и распилили данный куб на маленькие с ребром в 5 раз меньше. Сколько получилось маленьких кубиков?
А) У скольких кубиков окрашены три грани? Б) Две грани?
В) Одна грань? Г) Ни одной?
SILA_UMA_2022
13
физика / математикa
Урок 16. Геометрия помогает практике
5. Отрезок, соединяющий две наиболее удаленные друг от друга вершины параллелепипеда, называется его диагональю. Как измерить диагональ кирпича, используя линейку и имея в наличии три таких
кирпича?
а
б
6. Изображенные на рисунке тела состоят из кубиков. Сколько кубиков в каждом из них?
7. Можно ли из шести одинаковых отрезков составить четыре одинаковых треугольника?
8. Прямоугольную шоколадку разломали на 4 прямоугольных кусочка. Первый кусочек состоит из 8
квадратных долек, второй — из 12, третий — из 18. Сколько квадратных долек в четвёртом кусочке, если
известно, что количество долек в нём отличается от количества долек в остальных кусочках?
Ответы:
1. Да, торт вида «расческа».
2. Если прыгали по одной прямой, то 7, 9, 11 или 13 м. Если же это не указано, то любое расстояние
от 7 до 13 м.
3. 42
4. 8, 36, 54, 27
5. Уложить их так: два кирпича рядом, на один из них положить третий. Тогда до «большого параллелепипеда» не хватает четвертого такого же кирпича, его диагональ и можно просто померять линейкой.
6. 22 (или чуть больше, если есть сзади); 9 или 10
7. Да (пирамидка).
8. 27
SILA_UMA_2022
14
физика / математикa
Урок 17. Игры-шутки
Урок 17. Игры-шутки
Тема: Игры-шутки
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с основными понятиями теории игр, с понятием выигрышная
стратегия; формирование умения находить выигрышные стратегии в различных задачах.
Методический комментарий
Теория игр представляет собой раздел математики, который достаточно широко применяется в тех
сферах, где осуществляется взаимодействие людей (социология, психология, политология). Выбор оптимального способа действий, позволяющего достичь поставленной цели, требует понимания математических основ. Одновременно для того, чтобы лучше разобраться в данных вопросах необходимо
понять основные принципы выбора стратегии, что требует рассмотрения простейших задач.
Данная тема связана с выбором простейших стратегий, позволяющих одному из игроков добиться
выигрыша при следовании этой стратегии.
Игры-шутки отличаются тем, что выбор способа действий игроков фактически не влияет на результаты игры. Главное в таком случае понять, как выполняемые шаги влияют на получаемый итог, и
определить, чей ход приводит к окончанию игрового процесса. Фактически совершаемые действия в
подобных играх могут быть выполнены в любой последовательности.
Сложность задач подобного типа в первую очередь заключается в том, что построение правильной
стратегии может вызвать затруднение у обучающихся. В первую очередь они могут быть связаны с тем,
что ее поиск определяется результатами выполнения игровых действий, которые необходимо правильно описать.
Еще один вопросом, возникающим при обосновании решения, является то, что построенная последовательность шагов должна быть универсальной. В этом случае описываются за один раз все возможные варианты действий игроков. Если же предполагаемые шаги носят конкретный характер, то в
этом случае выбранная стратегия описывает только один вариант, но не затрагивает остальные, которые
потенциально могут приводить к иному алгоритму действий. Либо нужно доказать, что построенный
частный алгоритм носит универсальный характер и соответствует любому другому, который можно
предположить. Этот факт обязательно нужно доказать, в противном случае решение задачи будет являться либо неполным, либо неверным. Данный вид задач является базовым для понимания других
более сложных видов игр.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Перестановки.
2. Мотивационный этап
Учитель предлагает ученикам задачу-игру.
Задача 1. Имеется бумажный квадрат 4x4, разделенный на 16 клеточек горизонтальными и вертикальными линиями. Двое играют в игру: по очереди берут одну из имеющихся частей (в начале это
только один большой квадрат) и разрезают ее на две части (по линии, разделяющей ее на маленькие
клеточки). Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
3. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы учащиеся знакомятся с новыми понятиями.
Давайте познакомимся с еще одним важным разделом математики – теорией игр. Задачи, в которых
описывается некоторая игра и предлагается найти стратегию для одного из игроков совсем не встречаются в школьной программе, но сравнительно часто встречаются на олимпиадах.
Теория игр находит свое применение в биологии, экономике, юриспруденции и в физике. В частности, выделяется целый отдельный раздел – квантовая теория игр, имеющая приложения в квантовой
теории.
Как всегда, мы начнем с простейших понятий.
SILA_UMA_2022
15
физика / математикa
Урок 17. Игры-шутки
Что такое игра? Игра – это совокупность позиций (мы будем рассматривать только такие игры, в
которых позиций конечное число) и правил, по которым игроки переходят от одной позиции к другой.
Обычно в задачах игроков двое, и кроме имен (если они есть) обязательно указано, что один из игроков
является первым – он делает первый ход. Другого игрока обычно называют вторым. Кроме того одна
или несколько позиций отмечены как проигрышные – игрок, который вынужден делать ход из такой
позиции объявляется проигравшим. Чаще всего условие задачи описывает игру так, что такой позицией
оказывается позиция, в которой ходы просто невозможны, поэтому в задачах часто можно встретить
сочетание «Проигрывает тот, кто не может сделать хода». В таких задачах вопрос чаще всего выглядит
так: «Кто выиграет при правильной игре?» или «Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?». Поэтому важно понимать, что значит придумать стратегию и доказать, что она ведет игрока к выигрышу.
Выигрышная стратегия – это универсальный алгоритм, который позволяет одному При обсуждении стратегии игры учитель с учениками находят решение задачи.
Решение задачи 1. Заметим, что игра закончится, когда получится 16 бумажных квадратиков 1x1.
Каждый ход увеличивает количество имеющихся «кусочков» на один. Это значит, что (независимо от
того, что делают игроки), будет сделано ровно 15 ходов (количество имеющихся частей увеличится от
1 до 16, то есть 15 раз вырастет на один). Поэтому последний ход сделает первый игрок, он и выиграет.
Задача 2. В левом нижнем углу квадрата 8x8 стоит фишка. За один ход можно передвинуть ее на одну
клетку вверх или на одну клетку вправо. Двое по очереди двигают фишку (по приведенным правилам).
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
Решение задачи 2. Хотя эта задача внешне совершенно не похожа не предыдущую, ее решение практически аналогично. Дело в том, что количество ходов, которое будет сделано, не зависит от действий
игроков: чтобы оказаться «запертой», фишка должна прийти в правый верхний угол квадрата. А это
значит, что будет сделано ровно 14 ходов: семь из них – вправо, и семь – вверх. Поэтому, независимо от
действий игроков, последний ход сделает второй игрок, поэтому, он выиграет.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Имеются гири с весами от 1 до 21 грамма. Двое по очереди ставят их на чашечные весы. Первый
выиграет, если весы будут в равновесии, когда все гири будут выставлены, а второй – в противном случае. Кто выиграет при правильной игре?
2. В полоску из 10 клеток двое по очереди выписывают цифры. Запрещается писать ноль на первое
место и нельзя вписывать одну и ту же цифру дважды. Первый выиграет, если полученное десятизначное число будет делиться на 9, а второй – если не будет. Кто выиграет при правильной игре?
3. В вазочке лежит 100 конфет. Двое играют в игру – за ход можно съесть 1, 3, 5 или 11 конфет. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
4. На окружности расставлено 100 точек. Двое по очереди проводят отрезки с концами в отмеченных
точках так, чтобы они не пересекались внутри окружности (общие концы проведенные отрезки могут
иметь). Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
5. В двух концах полоски 1x101 стоят две фишки. Два игрока по очереди совершают ходы, каждый
своей фишкой. За один ход фишку можно сдвинуть влево или вправо на одну клетку. Проигрывает тот,
кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
Ответы:
1. Выиграет второй. Подсказка: нужно заметить, что суммарный вес всех гирь – нечетное число, поэтому они не могут разбиваться на две группы равного веса. Второй игрок может делать все что угодно,
и все равно выиграет.
2. Сумма 0+1+2+3+...+9=45 делится на 9. Так как это будет суммой цифр нашего числа, то (по признаку делимости на 9) получившееся число (независимо от порядка цифр) будет делиться на 9. Значит,
выиграет первой, при этом он может делать любые (конечно, разрешенные) ходы.
3. Выиграет второй. Заметим, что каждый ход меняет четность числа конфет. Это значит, что после
хода первого игрока, число конфет всегда будет нечетным, а, значит, никогда не ноль.
4. Подсказка: докажите, что игра закончится тогда, когда получится 100-угольник, разбитый на треугольники. Подсчитайте число отрезков в такой картине (окажется, что оно всегда одинаковое)
5. Подсказка. Это игра – не совсем игра-шутка, но почти. Докажите, что если первый игрок будет
«тупо» ходить только навстречу второму, то он выиграет.
SILA_UMA_2022
16
физика / математикa
Урок 18. Знакомство со стратегиями
Урок 18. Знакомство со стратегиями
Тема: Симметричная стратегия (и стратегия дополнения)
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с основными понятиями, связанными с теорией игр; формирование понимания того, что такое выигрышная стратегия; формирование умения находить выигрышные
стратегии в ситуациях, когда ход игрока зависит только от предыдущего хода.
Методический комментарий
Основой при решении задач данного типа является то, что очередной ход игрока зависит только от
предыдущего хода другого игрока.
В данном случае основное внимание учащихся надо обратить на тот факт, что в отличие от простейших задач по теории игр, где результат не зависит от выбора хода, а определяется сутью самой игры,
ответ на сделанный предыдущий ход может привести к различным итогам.
Название темы подсказывает ход действий. При выборе ответного шага игрок ориентируется на
симметрию или дополнение ситуации до некоторой заданной величины. Сложность данной темы заключается в том, чтобы определить, что задача относится к этому типу, а также подобрать подходящий
ход, приводящий к выигрышу одного из игроков.
Еще один момент, на который следует обратить внимание обучающихся, состоит в следующем. Если
допустить, что число шагов будет бесконечным, то такого рода выбираемые шаги фактически приводят
к тому, что игрок, их совершающий, только лишь не проигрывает. Конечность игрового процесса позволяет заключить, что не проигравший участник является выигравшим.
Суть поиска правильных шагов как раз и может заключаться в том, что игрок должен просто не
проиграть. Такого рода задачи позволяют понять суть действий игроков при проведении игры, а также
принципы выбора своего хода в зависимости от предыдущего хода игрока. Они готовят учеников к последующему изучению основ теории игр.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Теория игр. Стратегия
2. Мотивационный этап
Учитель предлагает решить задачу.
Задача 1. В вазочке 10 конфет. Двое по очереди съедают одну или две конфеты из нее. Проигрывает
тот, кто не может сделать ход (съесть конфету). Кто выиграет при правильной игре?
Как видим, даже угощение конфетами может стать игрой. Рассмотрим игры, в которых предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди (игроки не могут пропустить ход). Ответить надо на
один вопрос – кто побеждает: начинающий (первый) или его партнер (второй)?
3. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы с учащимися учитель знакомит с новым понятием «симметричная стратегия».
Итак, продолжим изучение теории игр. Теперь мы рассмотрим задачи, в которых от игрока, который
планирует выиграть, требуется большее, чем просто делать ходы. В этом разделе мы рассмотрим самый
простой класс стратегий – это стратегии, в которых выигрывающий игрок выбирает свой ход в зависимости от предыдущего хода противника, и при этом его ход никак не зависит от предыдущих действий
игроков, равно как и от текущей позиции.
Конечно, понятно, что это очень простые стратегии. В более сложных играх ходы игроков зависят и
от позиции и от предыдущих действий. Однако даже задачи теории, в которых работает такой, совсем
простой подход весьма богаты и разнообразны.
Такие стратегии (когда ответный ход определяется только предыдущим ходом противника и больше
ничем) называют симметричными стратегиями. Причина названия в следующем – так как в стратегии
SILA_UMA_2022
17
физика / математикa
Урок 18. Знакомство со стратегиями
на каждый ход заготовлен ровно один ответ, получается некая симметрия между возможными ходами
(разумеется, мы предполагаем, что игроки могут делать одинаковые ходы). То есть, по сути, такая стратегия – это некоторое осмысленное разбиение ходов на пары, чаще всего таким образом, что второй ход
пары возвращает позицию в некоторое «важное» состояние. Примеры ниже, думаем, лучше проясняют
суть этой теории. Отметим только, что в некоторых играх ответный ход реально подразумевает некоторую геометрическую симметрию, а может подразумевать некую «алгебраическую» симметрию (например, дополнение хода одного игрока до некоторой суммы). Именно этими причинами и обусловлено
название раздела. Перейдем к примерам.
Учитель возвращается к решению задачи 1.
Решение задачи 1. В этой игре работает симметричная стратегия в виде ходов, являющихся дополнениями хода другого игрока. Ясно, что любой из игроков может дополнить ход другого так, чтобы оба
вместе в сумме съели ровно три конфеты. Остается понять, кому из игроков удастся использовать эту
возможность для победы. Нужно связать наше наблюдение с делимостью числа оставшихся конфет
на три, и заметить, что подобную ситуацию выгодно сохранять. А именно, первый игрок съедает одну
конфету (остается 9), а дальше дополняет ходы второго игрока до 3. Таким образом, он оставит сначала
6 конфет в вазочке, потом 3, а потом и ноль. Так как во все моменты делимости числа конфет на 3, ход
принадлежит второму игроку, следовательно, он и проиграет. Теперь разберем задачу, которую мы уже решали раньше (тогда выяснилось, что это была игра-шутка), но теперь мы сделаем вид, что «не заметили» этого и применим симметричную стратегию.
Задача 2. Имеется бумажный квадрат 4x4, разделенный на 16 клеточек горизонтальными и вертикальными линиями. Двое играют в игру: по очереди берут одну из имеющихся частей (в начале это
только один большой квадрат) и разрезают ее на две части (по линии, разделяющей ее на маленькие
клеточки). Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре.
Решение задачи 2. Первый игрок первым ходом разрежет квадрат пополам – на два прямоугольника
2x4. Затем он мысленно покрасит один из прямоугольников в красный цвет, а другой в синий. После
этого первый игрок будет сохранять наборы синих красных фигур одинаковыми: на каждый ход второго
он будет отвечать аналогичным ходом, но на фигуре другого цвета. Таким образом, каждый ход второго
– это некое изменение одно из наборов, а первый игрок свои ходом вновь делает «красный» и «синий»
набор одинаковыми.
Это означает, что у первого игрока всегда будет ход, поэтому он не проиграет. Но, так как игра неизбежно закончится, и первый не проиграет, то он выиграет.
Обратите внимание на последнее замечание в решении. Действительно, очень часто симметричная
стратегия является не сразу «выигрышной», а, как бы, «непроигрышной» – дает возможность одному
из игроков не проиграть. Но так как в олимпиадных задачах чаще всего встречаются игры, которые
неизбежно заканчиваются, то симметричная стратегия превращается в выигрышную. Обычно это (неизбежность конца игры) ясно просто по тому, что некий параметр либо возрастает с каждым ходом, либо
убывает. Например, в рассмотренной игре количество частей только увеличивается. Задачи для самостоятельного решения:
1. Дана полоска из 10 клеток. Двое по очереди вписывают в них цифры (в этой задаче ноль можно
ставить на первое место). Первый выиграет, если полученное число не будет делиться на 9, а второй – в
противном случае. Кто выиграет при правильной игре?
2. В ряд стоит 20 блюдец, на каждом лежит ровно одно пирожное. Двое играют в игру: за один ход
можно съесть одно пирожное, или два пирожных, если они лежат на соседних блюдцах. Проигрывает
тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
3. В клетки квадрата 4x4 двое по очереди ставят по одной фишке. Запрещается ставить фишку в клетку, соседнюю по стороне с той клеткой, в которую только что поставили фишку. Проигрывает тот, что не
может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
SILA_UMA_2022
18
физика / математикa
Урок 18. Знакомство со стратегиями
4. В левом и правом конце полоски 1x100 стоит по одной фишке. Каждой из игроков делает ходы своей фишкой: первый игрок левой, а второй игрок – правой. За ход можно передвинуть фишку на любое
число клеток от 1 до 10 в любую сторону (если это возможно), но нельзя перепрыгивать через чужую
фишку. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
5. Дана доска 8x8, в левом нижнем углу которой стоит шахматный король. Двое по очереди двигают
короля по обычным правилам (на одну клетку в любом направлении, в том числе – по диагонали). Запрещается ставить короля на клетку, где он уже побывал (считается, что в левом нижнем углу король уже
побывал с самого начала). Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной
игре?
Ответы:
1. Выиграет второй. Подсказка. Он может дополнять ходы первого игрока до суммы 9.
2. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он съест 10-е и 11-е пирожное в этом ряду, а потом будет
действовать симметрично. Это возможно, так как образуются две независимые группы по 9 пирожных
в каждой.
3. Выиграет второй. Подсказка: надо ходить центрально симметрично относительно центра.
4. Выигрывает второй игрок. Подсказка: дополнение до 11, если первый ходит направо, симметричный ход, если первый ходит налево.
5. Выигрывает второй игрок. Подсказка: второму игроку нужно мысленно разбить доску на «доминошки» (прямоугольники 1x2) и всегда делать ход внутри одной «доминошки». Тогда у него всегда будет
ход. Так как рано или поздно игра кончится, то второй игрок не проиграет, а, следовательно, выиграет.
SILA_UMA_2022
19
физика / математикa
Урок 19. Анализ позиций
Урок 19. Анализ позиций
Тема: Анализ позиций
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с понятиями выигрышной и проигрышной
позиции; формирование умения определять, какие из возможных позиций являются выигрышными, а какие – проигрышными; формирование умения применять
анализ позиций для решения задач.
Методический комментарий
Анализ позиций представляет собой обсуждение изучения выполняемых шагов с конца, при этом
требуется определить те позиции, в которых результат будет однозначно известным.
Задачи данного типа являются достаточно сложными для понимания, поскольку не всегда очевидно,
какие именно позиции являются выигрышными, а какие проигрышными и почему.
При решении данного вида задач сложность заключается в том, что необходимо охватить все возможные варианты действий, а не выстраивать какой-то один путь по позициям, приводящий к ожидаемому итогу. Выбор только одного пути не дает оснований говорить о результатах при выборе любого другого набора позиций. Одновременно следует учитывать, что вариантов движения по позициям
может быть очень много, что не позволяет их описать. Выстраивание общих рассуждений во многих
случаях представляет собой достаточно сложную задачу.
Одной из основных ошибок, которую могут совершить обучающиеся, является то, что они анализируют только отдельные выбранные позиции, а не проводят общий анализ всех возможных вариантов.
Именно в последнем случае мы имеем право считать, что задача решена полностью. Данная тема
представляет собой следующий по уровню сложности тип задач, когда требуется отслеживать не только
один последний шаг, а выстраивать более сложную конструкцию.
Ход урока
1. Актуализация знаний
Теория игр. Стратегия. Симметричная стратегия.
2. Мотивационный этап
Учитель предлагает сыграть в игру.
Задача 1. В левой нижней клетке доcки 4x4 стоит фишка. Двое по очереди перемещают ее по следующим правилам: за один ход фишку можно подвинуть вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх.
Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?
Решение задачи 1. На рисунке ниже изображен последовательный анализ позиций, на каждом шаге
ярким цветом выделены те позиции, статус которых был только что выяснен. Таким образом, мы видим,
что выиграет первый игрок: первым ходом он должен пойти по диагонали.
SILA_UMA_2022
20
физика / математикa
Урок 19. Анализ позиций
3. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы с учащимися учитель проводит объяснение новой темы.
Сегодня на уроке мы изучим метод, который, вообще говоря, позволяет найти стратегию для любой
игры, лишь бы число позиций в ней было конечным. Однако во многих играх эта возможность присутствует только теоретически – реально позиций слишком много и вычислительных мощностей (даже
современных) для анализа позиций не хватает. Иначе бы, например, мы бы уже знали правильную стратегию в шахматах, и навсегда утратили бы к ним интерес.
Идея этого метода, в целом, совершенно понятна интуитивно. Мы просто будем двигаться от самой
последней позиции (той, из которой ходов нет или любой ход – суть проигрыш, кстати, таких позиций,
вообще говоря, может быть несколько) назад, рассматривая всевозможные ходы и отмечая позиции как
выигрышные и проигрышные. Давайте введем важные строгие определения:
Позиция называется проигрышной, если она либо проигрышная по определению игры (например, мат королю, из нее нет ходов, и т. п.), либо все ходы из нее ведут только в выигрышные позиции.
Позиция называется выигрышной, если из нее есть хотя бы один ход в проигрышную позицию.
Собственно, делать именно такие ходы и будет стратегией одного из игроков.
Следует понимать, что слова выигрышная и проигрышная относятся в данном случае к игроку, который будет делать из этой позиции ход, а не к игроку, который привел игру к текущей позиции.
Теперь, зная определения, мы можем описать процесс анализа позиций. Сначала мы отмечаем проигрышными все позиции, которые таковыми являются по определению игры. Далее мы находим все
позиции, из которых есть ход в проигрышные, их мы отмечаем выигрышными. Далее мы находим новые
проигрышные позиции – такие, из которых ход ведет только в выигрышные, далее – новые выигрышные и так далее. Таким образом, либо мы проведем анализ всех позиций, либо в игре обнаружиться
цикличная последовательность ходов, позволяющая обоим игрокам избежать проигрыша. Разумеется,
последнее может случиться только в таких играх, в которых циклические последовательности вообще
возможны. Если же удается доказать, что игра заканчивается неизбежно, то описанный процесс позволяет проанализировать все позиции.
Рассмотрим примеры. Мы начнем с уже решенной в прошлом разделе задачи, только применим к ней
новый подход.
Задача 2. В вазочке 10 конфет. Двое по очереди съедают одну или две конфеты из нее. Проигрывает
тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Решение задачи 2. В этой игре анализ очень простой. 0 конфет – это проигрышная позиция, Значит,
1 или 2 конфеты – это выигрышные позиции, ведь из них есть ход в проигрышную позицию (0 конфет).
Далее, 3 конфеты оказывается проигрышной позицией (ведь из нее есть ходы только в позиции с 1-й или
2-мя конфетами). Далее, позиции с 4-мя или 5-ю конфетами – выигрышные. Позиция, в которой в вазочке 6 конфет – проигрышная. И так далее, анализ покажет, что 9 конфет – это проигрышная позиция, а вот
когда в вазочке 10 конфет, то эта позиция выигрышная. Значит, выигрывает первый игрок и его стратегия
состоит в следующем – каждый раз делать ход в проигрышную позицию (проигрышную, напоминаем,
для того, кто будет из нее ходить дальше, то есть, для противника игрока).
Задачи для самостоятельного решения:
1. Двое по очереди двигают фишку по клетчатой доске по следующим правилам: за один ход ее можно сдвинуть на одну или
две клетки вверх, вправо или по диагонали вправо-вверх. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Проведите анализ выигрышных и проигрышных позиций для такой игры на доске 8x8.
2. Двое играют в игру: за один ход можно съесть из имеющихся конфет 1, 2 или 4. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.
Проанализируйте позиции для количества конфет от 0 до 10.
SILA_UMA_2022
21
физика / математикa
Урок 19. Анализ позиций
3. Хромой Ферзь – это фигура, которая ходит как обычный
ферзь (то есть на любое количество клеток), но только вправо,
вверх и по диагонали вправо-вверх. Двое играют в игру: двигают ферзя по очереди на некоторой доске. Проигрывает тот, кто
не может сделать хода. Проанализируйте позиции в такой игре
для доски 8x8.
4. Имеются две кучки конфет: в одной – 20, в другой – 21.
За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две
не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто выиграет?
5. На доске написано число 2. За один ход к числу можно прибавить любой его делитель, кроме самого числа (но можно прибавлять единицу). Выигрывает тот, кто получится число, большее, чем 2022.
Кто выиграет при правильной игре.
Ответы:
3. На рисунке показан анализ позиций. Оттенки указывают последовательность возникновения того
или иного статуса позиции.
4. Выиграет первый игрок. Подсказка: нужно доказать, что проигрышными являются позиции, в
которых в обеих кучках нечетное число конфет.
5. Ответ: выиграет первый.
Подсказка: в этой игре анализ позиций, начиная с последней, проигранной, провести очень сложно,
поэтому нужно рассмотреть начальные позиции. Рассмотрите позицию 4: из нее есть ходы в 5 или в 6.
Из позиции 5 есть ход только в 6. Пользуясь этим наблюдением, докажите, что позиция 4 неизбежно
выигрышная.
В качестве итога учитель может предложить ученикам сделать сообщение об истории возникновения теории игр.
Применение теории игр в других областях
Биология
Для начала нужно отметить: поведение животных в значительной степени определяется генетически,
также, некоторые виды поведения более соответствуют ситуации, чем другие. Распространена частично
неверная мысль «выживают наиболее приспособленные», не менее высший критерий биологической
приспособленности – не выживание, а репродуктивный успех.
Животные передают свои гены следующему поколениию. Затем, более адаптируемый фенотип становится относительно большим в следующем поколении, чем менее адаптируемый фенотип. Именно
этот процесс отбора изменяет комбинацию генотипа и фенотипа и может в конечном итоге привести к
формированию стабильного состояния.
Новые генетические мутации происходят время от времени, спонтанно. Многие из них создают фенотип, который плохо сочетается с окружающей средой и поэтому исчезает. Однако, иногда мутации
могут приводить к новым фенотипам, делая их более адаптивными к окружающей среде.
Количество более приспособленных мутаций животных будет расти в то время, как неприспособленные могут исчезнуть, а мутации, в настоящий момент не входящие в состав данной популяции, могут
попытаться её захватить.
Аналогичные ситуации используются и в теории игр. Поведение можно рассматривать как стратегию взаимодействия животных с другими животными. Единственное отличие – у животных выбор
стратегии не осуществляется с помощью целенаправленных решений.
Социология и психология
Теория игр применяется в социологии с целью понять, объяснить и контролировать игры с социальной составляющей. В свою очередь в психологии теория игр изучает действия каждого отдельного
обособленного игрока. В той или иной форме теорию игр используют психологи, социологи, политики,
маркетологи и многие другие люди.
SILA_UMA_2022
22
физика / математикa
Урок 19. Анализ позиций
Социологи пытаются понять причины действий групп игроков и использовать полученные знания.
Они моделируют игры, проводят исследования, чтобы найти наиболее выгодную стратегию.
Политика
В политике теория игр применяется для анализа ситуаций и взаимодействий игроков (как правило
стран), для решения игр и для поиска наилучших стратегий. У стран есть ряд конфликтов: территории,
торговля, альянсы… Теория игр помогает достичь компромисса.
Так же теория игр применяется в голосованиях – кандидаты прибегают к разным стратегиям для
увеличения шансов выигрыша.
Экономика
В экономике теория игр применяется повсеместно. Экономические игры – аукционы, модели монополии и олигополии, рынки и многое другое.
В экономике существуют модели, которые характеризуют те или иные игры и являются универсальными – и могут быть применены во всех играх, подходящих по характеристике.
Неосознанное применение
Часто, мы применяем теорию игр, даже не догадываясь об этом. Мы выстраиваем логически цепочки, анализируем ситуации и придумываем стратегии, используя теорию игр, не зная об этом. Наш мозг
анализирует игры, не придавая этому значение.
Теория игр полезна, когда необходимо:
1. Важное решение. В нашей жизни бывают ситуации, требующие очень продуманного выбора, который может изменить множество вещей. В таких ситуациях теория игр может быть крайне полезна и
даже необходима.
2. Логическое мышление, умение мыслить на шаг вперёд. Теория игр показывает, что не всегда наша
интуиция верна. Она может научить нас мыслить логически и проверять даже самые очевидные ситуации. Так же теория игр может научить мыслить в более долгосрочной перспективе и учитывать большее
количество деталей.
3. Расширение кругозора. Теория игр может быть интересна, кроме того, теория игр расширяет кругозор. Любое знание полезно, а многогранные знания крайне полезны. Теория игр, не являясь исключением, так же полезна и интересна.
SILA_UMA_2022
23
физика / математикa
Урок 20. Графы
Урок 20. Графы
Тема: Основные понятия, простейшие факты, примеры задач, сводящихся к графам
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с основными понятиями теории графов;
формирование понимания того, как представить модель задачи с помощью графов;
формирование умения применять теорию графов для решения задач.
Методический комментарий
Для решения задач данного типа применяются элементы теории графов.
Теория графов широко применяется в решении экономических и управленческих задач, при проектировании электрических цепей, логистических маршрутов и других явлений, которые можно представить в виде структурной схемы.
Существенное значение для понимания задач, решаемых с помощью теории графов, имеет то, что
при их использовании возможны два основных варианта. В первом случае, представление основного
содержания задачи с помощью графа фактически представляет собой решение. Подобные задания являются простейшими.
Основное внимание желательно уделить именно таким задачам, так как они формируют у обучающихся базу для понимания основ теории графов. Школьники учатся устанавливать соответствие между
теми объектами, которые можно обозначить как вершины и теми, для описания которых используют
ребра. Первоначально это может вызвать сложности у обучающихся.
При решении подобных задач достаточно часто возникает ситуация, когда требуется после построения графа применить иные методы решения задач, изученные ранее (например, комбинаторика, метод
от противного).
Во втором случае, построение графа представляет собой только промежуточную часть в решении
задачи, что приводит к необходимости формирования умения обрабатывать подобную модель.
Ход урока
1. Мотивационный этап
Учитель предлагает решить задачи.
Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон;
Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер
– Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?
Решение задачи 1. Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.
Н
З
С
Ме
У
П
Ю
Ма
В
Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.
Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если
из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную
клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?
SILA_UMA_2022
24
физика / математикa
Урок 20. Графы
Решение задачи 2: Занумеруем последовательно клетки доски:
А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как
указано в условии, возможен:
Мы рассмотрели две непохожие задачи. Од3
нако
решения этих двух задач объединяет об2
9
щая идея – графическое представление реше8
1
ния. При этом и картинки, нарисованные для
каждой задачи, оказались похожими: каждая
6 картинка – это несколько точек, некоторые из
7
которых соединены линиями.
12
5
11
10
4
1
2
3
4
5
7
8
9 10
6
11 12
Такие картинки и называются графами.
2. Организация деятельности учащихся
В ходе беседы с учащимися учитель ведет объяснение новой темы.
На этом и следующем уроках мы познакомимся с основными понятиями теории графов. Теория графов – это раздел математики, возникший сравнительно недавно. Достаточно будет упомянуть, что первый учебник по теории графов был написан лишь в 30-е годы XX века венгерским математиком Денешем Кенигом, хотя, конечно, идеи и теоремы существовали и раньше.
Считается, что первый раз в математики структура (которую позже назовут графом) возникла в XVIII
веке в задаче о семи кенигсбергских мостах, которую решил Леонард Эйлер. Не будем подробно на ней
останавливаться (интересующийся читатель легко найдет информацию о ней). Тем не менее, после Эйлера, теория графов почти 100 лет оставалась невостребованной. Вторично ее «открыли» в связи с ее
применением в физике: дело в том, что любая электрическая цепь по сути является графом, а изучаемое
в школе правило Кирхгофа с точки зрения математики является алгоритмом обхода графа и построения
весов (сопротивлений) на его ребрах. Далее оказалось, что теория графов находит применение в химии,
а в XX веке она оказалось востребована в социологии, информатике, урбанистике, да и во многих других науках. Графами также являются электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог
и т.п. Собственно говоря, дерево вариантов, которое мы строили для решения комбинаторных задач,
тоже является графом.
Итак, перейдем к определениям. Как и раньше, не будем вдаваться в строгие (и потому немного
скучные) определения, попробуем обойтись интуитивно понятными вещами. Граф, по сути, это набор
объектов, которые называются вершинами, и связей между ними, которые называют ребрами. Важно
понимать, что граф и его изображение – это разные вещи. Действительно, принято изображать граф на
плоскости, так что вершины являются точками, а ребра – отрезками (или иными линиями) между ними.
Тем не менее у одного и того же графа может быть много изображений, внешне выглядящих по-разному.
Хорошим примером, поясняющим сказанное выше, будет граф знакомств между людьми: люди могут
перемещаться по миру, из-за изображения знакомств между ними линиями постоянно меняется, но граф
остается неизменным (конечно, пока кто-то не заведет новых знакомств).
Граф, в котором каждая вершина соединена с каждой из остальных, называется полным графом или
кликой.
Существует сравнительно много олимпиадных задач, которые сводятся к утверждениям про графы.
В первую очередь, это задачи про компании и знакомства, а также про города и дороги между ними (или
авиалинии). Конечно, переформулировка задачи на языке графа не обязательно становится сразу ее решением, однако умение видеть в таких задачах граф (и правильно понимать, что является вершинами, а
что ребрами), открывает путь к применению фактов и теорем из теории графов при решении. Ниже мы
рассмотрим задачи, в которых просто перевод задачи превращает ее в тривиальное утверждение.
Учитель вместе с учениками разбирает решение следующих задач.
SILA_UMA_2022
25
физика / математикa
Урок 20. Графы
Задача 3. За столом сидели 5 мальчиков и 6 девочек, а на столе на тарелке лежало несколько булочек.
Каждая девочка дала по булочке (с тарелки) каждому знакомому мальчику. Затем каждый мальчик дал по
булочке (с тарелки) каждой незнакомой девочке. После этого тарелка опустела. Сколько было булочек?
Решение задачи 3. Рассмотрим граф знакомств между мальчиками и девочками. Если две вершины
соединены ребром (то есть мальчик и девочка знакомы), то в этой паре девочка даст булочку мальчику.
Если же две вершины не связаны ребром (важно: мы рассматриваем всегда пару мальчик-девочка), то в
такой паре булочку мальчик дает девочке. Таким образом, получается, что количество булочек просто
равно количеству пар мальчиков и девочек. Количество же пар легко подсчитать, пользуясь правилом
умножения, получается ровно 5 ∙ 6=30 пар, столько же булочек и было на тарелке.
Задача 4. В стране 15 городов, из каждого города выходит не менее семи дорог. Докажите, что от
любого города можно добраться до любого другого.
Решение задачи 4. Переведем задачу на язык графов: у нас есть 15 вершин и из каждой выходит
не менее семи ребер. Рассмотрим две любые вершины. Если есть ребро, соединяющее их, то мы можем добраться от одной вершины до другой. Иначе из каждой из них выходит не меньше семи ребер в
остальные вершины. Остальных вершин 13, а это значит (здесь работает принцип Дирихле!), что одна
из них соединена с обеими исходными вершинами. Это и значит, что мы «проездом» через эту вершины
построим маршрут, соединяющий две исходные вершины.
Замечание: граф, в котором от любой вершины до любой существует путь по ребрам, называется
связным графом. Задачи для самостоятельного решения:
1. В кружке у каждого ровно один друг и ровно один враг. Докажите, что кружок можно разделить на
два кружка так, чтобы ни в каком из двух кружков не было ни друзей, ни врагов.
2. В кружке художественного свиста каждый мальчик дружит с пятью девочками, а каждая девочка –
с тремя мальчиками. Сколько детей в кружке, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
3. В компании из 20 человек среди любых четырех есть человек, знающий остальных троих. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
4. Докажите, что в любом графе есть две вершины, из которых выходит одинаковое количество ребер.
5. В стране 100 городов, каждый соединен с каждым одной беспосадочной авиалинией. Каждая авиалиния принадлежит одной из двух авиакомпаний. Докажите, что можно выбрать одну авиакомпанию, и
пользуясь только ее рейсами попасть из любого города в любой (конечно, возможны пересадки в других
городах).
Ответы:
1. Подсказка: попробуйте нарисовать граф: вершины – ученики, а ребра – дружба или вражда.
2. 24.
3. Подсказка: надо предположить противоположное, пусть каждый с кем-то не знаком.
4. Подсказка: обратите внимание на задачу №2 в разделе «Принцип Дирихле»
5. Подсказка: рассмотрим полный граф, ребра которого раскрашены в два цвета – синий и красный.
Пусть, пользуясь только красными ребрами, не из каждой вершины можно попасть в каждую, например
из вершины А нельзя добраться до B по красными ребрам. Тогда ребро АВ – обязательно синее, и для
любой вершины С одно из ребер АС или СВ тоже синее. Это означает, что от любой вершины можно
добраться до А или В по синему ребру.
SILA_UMA_2022
26
физика / математикa
Урок 21. Основные свойства графа
Урок 21. Основные свойства графа
Тема: Теорема о сумме степеней вершин графа и ее приложений
Тип урока: урок открытия нового знания
Цель урока: ознакомление учащихся с основными понятиями теории графов;
формирование понимания того, как представить модель задачи с помощью графов;
формирование умения применять теорию графов для решения задач.
Методический комментарий
Для решения задач данного типа применяются элементы теории графов.
Данная тема является логическим продолжением предыдущей. Базовые задачи по теории графов,
изученные в прошлом разделе, представляют собой основу для дальнейшей работы. Следующим достаточно сложным вопросом, с которым сталкиваются ученики, является понятие степени вершины
графа. Введение простейших дополнительных упражнений, связанных с подобными вычислениями,
дает возможность сформировать понимание данного понятия, что позволит в дальнейшем использовать
его для решения задач.
Решение задач повышенной сложности требует сформированных умений моделировать содержание задачи с помощью графа, при этом от обучающихся требуется понимать, в каких случаях объекты
задачи можно обозначить вершинами, а в каких – ребрами. В большинстве случаев с помощью ребер
моделируют связями между объектами.
При изучении теории графов основное внимание обучающихся следует обратить на понимание основных формулировок теорем о соотношении между ребрами и вершинами графа. Желательно проиллюстрировать формулировки данных теорем различными видами графов. Содержание задачи требуется представить в таком виде, чтобы можно было увидеть условия применимости данных теорем.
Ход урока
1.Актуализация.
Граф. Вершины. Ребра. Полный граф (клика). Связный граф.
2. Организация деятельности учащихся
На этом уроке мы докажем только одну, но очень важную теорему из теории графов. Она также находит применение в решении большого количество олимпиадных задач, сводящихся к графам.
Сначала введем понятие степень вершины: так называют количество концов
ребер, сходящихся у данной вершины. Почему важно говорить «концы» ребер, а не
просто сказать, что степень – это количество выходящих из вершины ребер? Дело
в том, в теории графов формально не запрещены петли: это ребра, которые соединяют вершины саму с собой (и тем самым
увеличивают ее степень на два). Конечно,
с точки зрения практических приложений графов такие ребра не имеют особого
смысла, поэтому далее мы будем считать,
что в изучаемых графах петель нет.
Перейдем к центральному утверждению этого раздела:
Теорема. В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству ребер.
Доказать это утверждение довольно просто, хотя на первый взгляд оно выглядит сложным фактом.
Напишем в середине каждого ребра число 2. Тогда сумма всех написанных чисел будет равна как раз
SILA_UMA_2022
27
физика / математикa
Урок 21.Основные свойства графа
удвоенному количеству ребер. Теперь каждую двойку заменим на две единицы (от чего сумма написанных на графе чисел, конечно, не изменится) и эти единицы разместим на концах ребер. Тогда около
каждой вершины окажется ровно столько единиц, сколько концов ребер сходится в этой вершине, то есть
ровно степень этой вершины. Значит теперь сумма всех написанных чисел - это сумма степеней всех вершин. Но так как мы не меняли сумму (менялись только числа), то получается, что удвоенное количество
ребер и сумма степеней всех вершин – это одно и то же число.
Перейдем к примерам задач, в которых используется доказанный нами факт.
Учитель вместе с учениками решает задачи.
Задача 1. В графе с 10 вершинами каждая вершина соединена с каждой ребром. Сколько в нем ребер?
Решение задачи 1. Напомним, кстати, что граф, в котором каждая вершина соединена с каждой ребром, называется полным графом или кликой. Доказанная нами теорема позволит вывести формулу для
количество ребер в полном графе. Действительно, в графе, который дан в задаче, степень каждой вершины равна 9 (так как каждая вершина соединена со всеми остальными девятью). Сумма степеней всех
вершин, стало быть, равна 10 ∙ 9=90=2 ∙ Число ребер. Таким образом, получается, что в полном графе на
10 вершинах ровно 45 ребер.
Аналогичное рассуждение можно провести и для полного графа, в котором N вершин. Получится, что
в нем N(N-1)/2 ребер. Убедитесь в этом.
Задача 2. Перед занятием кружка некоторые кружковцы обменялись рукопожатиями. Докажите, что
количество кружковцев, сделавших нечетное число рукопожатий четно.
Решение задачи 2. Переведем задачу на язык графов. Кружковцы будут вершинами графа, а рукопожатия - ребрами. Тогда количество сделанных рукопожатий кружковцем - это степень вершины. Так как
сумма степеней равна удвоенному количеству ребер, следовательно, она четная. А это значит, что в этой
сумме нечетных слагаемых обязательно четное число
Замеченный нами в решении этой задачи факт стоит записать в виде утверждения про граф: в любом
графе количество вершин нечетной степени четно.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Существует ли граф, в котором 2023 вершины и из каждой выходит ровно три ребра в другие три
вершины?
2. В стране 10 городов, некоторые соединены дорогами. Всего в стране 26 дорог. Известно, что из
всех городов выходит одинаковое количество дорог, а из столицы – другое число дорог. Сколько дорог
выходит из столицы?
3. Можно ли ребра полного графа на 11 вершинах раскрасить в красный и синий цвет так, чтобы из
каждой вершины выходило поровну красных и синих ребер?
4. В компании 19 человек, некоторые их которых знакомы между собой. Докажите, что есть человек,
у которого четное число знакомых.
5. В тридевятом царстве много городов. Из столицы выходит 101 дорога, из остальных городов по
20, кроме города Дальний, из которого выходит всего одна дорога. Докажите, что из столицы можно добраться до города Дальний.
Ответы:
1. Нет, не существует. Подсказка: рассмотрите сумму степеней всех вершин, она окажется нечетной.
2. 7. Подсказка: сумма степеней равна 52 (удвоенное число ребер). Но это сумма десяти слагаемых,
девять из которых одинаковы.
3. Нет, нельзя. Подсказка: рассмотрим граф, образованный только синими ребрами.
4. Подсказка: предположим, что у всех число знакомых нечетно, рассмотрим граф, что у него с количеством вершин нечетной степени?
5. Подсказка: рассмотрите граф, образованный всеми городами, до которых можно добраться из сто-
SILA_UMA_2022
28
физика / математикa
Урок 21.Основные свойства графа
лицы. В нем есть точно одна вершина нечетной степени (столица), значит обязательно есть и еще одна.
Комментарий: Такая часть большого графа, образованная вершинами, до которых можно добраться
от одной из вершин, называется компонентой связности графа.
Обратите внимание, что в этой задаче мы не доказываем, что граф является связным, а лишь доказываем наличие пути между двумя конкретными вершинами.
Основные выводы по теме «Графы»:
1. Для использования теории графов при решении задач необходимо сперва ввести сам граф, с которым вы будете далее работать – то есть, четко сформулировать, что есть вершины, а что ребра!
2. Степень вершины – или натуральное число, или 0.
3. Если степень вершины равна 0, то такая вершина называется изолированной.
4. В классическом графе степень вершины всегда меньше количества вершин графа.
5. В любом графе всегда найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью.
6. Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу его ребер. Количество вершин с нечетной
степенью – четно. Это утверждение работает только в одну сторону! Если сумма степеней вершин графа четна, это еще не означает, что такой граф действительно существует.
SILA_UMA_2022
29
физика / математикa
ФИЗИКА
Часть 2
SILA_UMA_2022
30
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Урок 13. Экспериментальный микс
Тема: «Динамика. Сила трения»
Форма урока: урок–практикум
Цель урока: экспериментальное определение коэффициента трения скольжения разными способами.
Видеолекцию по этой теме можно посмотреть, отсканировав QR-код
Методический комментарий
Этот урок решения экспериментальных задач проводится в форме урока-практикума, на котором
учащиеся работают в группах (парах). Такая форма организации деятельности учащихся возможна,
если есть несколько способов решения одной экспериментальной задачи. Учитель формулирует цель,
сообщает учащимся, что есть несколько способов решения задачи, и надо придумать их, проанализировать и выбрать лучший. Каждой группе выдается одинаковый набор оборудования, в котором нет
приборов прямого назначения (нет динамометра, весов). В конце урока учащиеся представляют свои
способы решения задачи. При оценке работы группы учитывается число предложенных вариантов решения и обоснование выбранного варианта с точки зрения простоты и точности измерений. Если учащиеся затрудняются с решением, то можно предложить инструкции с порядком выполнения задания.
Ход урока
Приборы и принадлежности: деревянный брусок с крючком, набор грузов, деревянная линейка от
трибометра, деревянная линейка (длиной 30 см), нить, резиновый шнур «венгерка», штатив школьный,
транспортир, два карандаша.
1. Мотивационный этап. Актуализация знаний
В начале урока учитель предлагает учащимся рассмотреть гравюру «Транспортировка «Гром-камня» и ответить вопрос:
Как удалось доставить «Гром-камень» массой около 2000 тонн до берега Финского залива (8 км)?
Какие приспособления с точки зрения физики при этом были использованы?
Краткая информация из Википедии.
В своём первоначальном виде камень, ставший основой пьедестала памятника Петру I в Санкт Петербурге работы скульптора Фальконе, весил около 2000 тонн, имея размеры порядка 13 м в длину, 8 м
в высоту и 6 м в ширину. Позднее часть его была стёсана. Началу перевозки камня соответствовала
серьёзная подготовка. Было найдено, что наиболее рациональным является установка камня на деревянной платформе, перекатываемой по двум параллельным желобам, в которые были уложены 30 пятидюймовых шаров. Посредством эксперимента был выбран достаточно прочный материал для желобов
и шаров. Он состоял из сплава меди с оловом и галмеем. Была отработана технология их изготовления.
Также был разработан процесс подъёма камня с помощью рычагов и домкратов для подведения под
него платформы. Непосредственное перемещение транспортной машины осуществляли двумя кабестанами – лебедкой с вертикальными барабанами.
SILA_UMA_2022
31
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Уникальная транспортная операция продолжалась с 15 (26) ноября 1769 года по 27 марта (7 апреля) 1770 года. В честь перевозки камня Екатерина II учредила памятную медаль с надписью «Дерзновению подобно. Генваря, 20. 1770».
В ходе обсуждения учащиеся должны отметить, что при транспортировке камня преодолевать трение
качения было значительно легче, чем трение скольжения. Затем рассматриваются основные вопросы теории: трение скольжения, трение покоя, трение качения, закон Кулона-Амонтона, коэффициент трения.
2. Организация деятельности учащихся
Проблемный вопрос. Как определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву разными
способами, не используя динамометр?
Экспериментальное задание. Определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву.
Оборудование: деревянный брусок с крючком, набор грузов, деревянная линейка от трибометра,
деревянная линейка (длиной 30 см), нить, резиновый шнур «венгерка», штатив школьный, транспортир,
два карандаша.
Примечание. В перечне оборудования нет динамометра, он может быть выдан только в конце занятия для традиционного способа определения коэффициента трения скольжения, чтобы сравнить полученные значения µ. Абсолютная погрешность измерения расстояния ∆l = 1 мм.
Экспериментальное задание №1. Определение коэффициента трения
скольжения через опрокидывание бруска.
Оборудование: деревянный брусок, линейка, деревянная поверхность стола
(или деревянная линейка от трибометра).
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Если к бруску приложить на небольшом расстоянии от его
основания горизонтально направленную силу F, превышающую максимальную силу трения Fтр = µ∙N, то брусок будет скользить. Если сила F приложена
достаточно высоко, на расстоянии b, то брусок опрокинется. (К бруску можно
привязать нить, тогда силой F будет сила натяжения нити).
2. Опытным путем найдите точку приложения силы, когда наблюдается переход от поступательного движения к опрокидыванию (рис. 1).
3. Вывод формулы. Запишем условие равновесия (правило моментов сил) относи-тельно точки опрокидывания А: F∙b =mg∙0,5a, µ∙mg∙b =0,5∙mg∙a, где а – ширина основания бруска. Получим µ = а/2b (рис. 2).
4. Измерьте расстояния а и b, Найдите коэффициент трения µ.
5. Оцените погрешности измерений
ε = ∆l/a+∆l/b, ∆µ = ε∙µ
6. Сделайте вывод
Примечание. Экспериментальное определение коэффициента трения возможно лишь в том случае, если высота бруска h удовлетворяет условию
h > a/2µ.
Рис. 1
a
→
F
b
→
N
→
mg
→
Fтр А
Рис. 2
Экспериментальное задание №2. Определение коэффициента трения скольжения, используя наклонную плоскость.
Оборудование: линейка деревянная от трибометра, брусок деревянный, измерительная линейка, штатив, транспортир.
Порядок выполнения работы:
1. Используя штатив, закрепите линейку от трибометра под
углом α к столу.
2. Положите брусок на деревянную линейку.
3. Меняя угол наклона линейки, найдите такой максимальный
угол, при котором брусок еще покоится (рис. 3).
4. Измерьте длину основания линейки l и высоту подъема линейки h (или угол α транспортиром).
5. Рассчитайте значение коэффициента трения скольжения деРис.3
рева по дереву по формуле µ = tgα = h/l.
SILA_UMA_2022
32
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
6. Определите погрешность измерения.
7. Сделайте вывод.
Вывод формулы.
1. Сделаем чертеж (рис. 4), обозначим действующие на
брусок силы.
2. Ускорение бруска a = 0. Запишем второй закон Ньютона
в проекциях на оси:
mg∙sinα – Fтр = 0, N – mg∙cosα = 0.
3. Максимальная сила трения покоя равна силе трения
скольжения.
Fтр = µ∙N = µ∙ mg∙cosα. Получаем µ∙cosα = sinα, µ = tgα.
Рис. 4
Экспериментальное задание №3. Определение коэффициента трения скольжения с помощью самодельного динамометра.
Оборудование: деревянный брусок с крючком, груз, резиновый шнур «венгерка» длиной 20-25 см,
катушечная нить длиной 20-30 см., линейка, деревянная поверхность стола (или деревянная линейка от
трибометра).
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Связываем между собой резиновый шнур и нить, свободный конец нити прикрепляем к крючку бруска (можно использовать скрепку), а резинового шнура – к краю линейки. Делаем
это так, чтобы узел не выходил за пределы шкалы линейки даже в том случае, если брусок будет висеть
на нити вертикально (рис. 5).
2. С помощью изготовленного таким образом «динамометра», роль стрелки (указателя) которого вы-
Рис. 5
полняет узел, тянем равномерно брусок по поверхности стола (доски трибометра).
3. Вывод формулы. Сделаем чертеж (рис. 6) и обозначим действующие на брусок силы. Запишем
второй закон Ньютона в проекциях на оси: F – Fтр = 0, N – mg = 0.
Fтр = µ∙N, Fтр = µ∙mg, F = Fупр = к∙x, где к – жесткость резинового шнура, x – его удлинение. Следовательно, µ∙mg = к∙x; откуда µ = к∙x/mg (1).
4. Если брусок поднять «динамометром» вертикально (рис. 7), то на него будут действовать две силы:
сила тяжести mg и другая сила упругости Fупр1. Так как брусок будет в покое, то mg = Fупр1, mg = к∙x1 (2),
где x1 – удлинение резинового шнура при подвешивании на нем бруска. Подставляя (2) в (1), получаем
µ = x/x1.
→
Y
N
→
Fтр
Fупр
F
0
→
mg
SILA_UMA_2022
→
→
Рис. 6
33
X
Рис. 7
→
mg
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Рис. 8
5. Найдите экспериментально удлинение резинового шнура x при равномерном перемещении бруска по поверхности стола (рис. 8) и его удлинение x1 при
подвешивании (рис. 9). Вычислите коэффициент трения по формуле µ = x/x1.
6. Определите погрешность измерений.
7. Сделайте вывод.
Методический комментарий.
Можно предложить учащимся создать прибор, который позволит опредеРис. 9
лять коэффициент трения скольжения непосредственно по его шкале. Такой
прибор можно легко изготовить из школьного динамометра. Для этого на его шкалу наклеиваем полоску
бумаги. Возле стрелки (указателя) ставим черточку, которая станет нулевым делением шкалы нового
прибора. Затем подвешиваем к крючку деревянный брусок и, держа его вертикально, отмечаем черточкой конечное положение стрелки (указателя). Ставим здесь цифру 1, отрезок между нулевым и этим делением разбиваем на 10 равных частей. На проградуированной шкале ставим µ. При равномерном движении бруска по другой поверхности указатель прибора покажет новое значение коэффициента трения.
Экспериментальное задание №4. Определение коэффициента трения скольжения с помощью карандаша.
Оборудование: карандаш, деревянная поверхность стола или линейка деревянная от трибометра,
линейка ученическая, транспортир.
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Поставьте карандаш тупым концом на стол вертикально, нажмите на него, наклоните и наблюдайте характер его падения. При небольших углах наклона к вертикали карандаш не
проскальзывает относительно поверхности стола при любой величине силы, прижимающей его к столу.
Проскальзывание начинается с некоторого критического угла, зависящего от силы трения.
2. Вывод формулы. Записываем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси при критическом угле наклона α. (Силой тяжести mg, действующей на карандаш, по сравнению с большой силой
F пренебрегаем). Fтр = F∙sinα, N = F∙cosα. Сила трения Fтр = µ∙N, µ = tgα (рис. 10).
→
N
α
→
Fтр
→
F
Рис. 10
3. Определите угол α с помощью транспортира.
4. Рассчитайте по формуле значение коэффициента трения скольжения дерева по дереву.
5. Определите погрешность измерений.
6. Сделайте вывод.
SILA_UMA_2022
34
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Экспериментальное задание №5. Традиционный способ определения коэффициента трения скольжения.
Оборудование: деревянный брусок, деревянная линейка от трибометра, динамометр, набор грузов.
Порядок выполнения задания:
1. Положите брусок на горизонтально расположенную деревянную линейку. На брусок поставьте
груз.
2. Прикрепив к бруску динамометр, равномерно тяните его вдоль линейки. Определите показание
динамометра.
3. Определите вес бруска и груза с помощью динамометра.
4. К первому грузу добавьте второй, третий грузы, каждый раз взвешивая брусок и грузы и измеряя
силу трения.
5. Найдите коэффициент трения µ = Fтр /N = Fтр /P
6. По результатам измерений заполните таблицу:
N опыта
Р, Н
ΔP, Н
Fтр, Н
ΔFтр, Н
µ
7. Постройте график зависимости силы трения от силы нормального давления и, пользуясь им, определите среднее значение коэффициента трения μср.
8. Сделайте вывод.
9. Найдите в справочнике (в интернете) значение коэффициента трения скольжения дерева по дереву,
сравните с табличным полученные вами в заданиях 1-5 значения µ. (Коэффициент трения дерева по дереву 0,33 – 0,65). Сделайте общий вывод.
3. Закрепление. Дополнительные задания и вопросы
Экспериментальное задание №6. Определение отношения коэффициента трения покоя к коэффициенту трения скольжения дерева по дереву, используя линейку.
Оборудование: деревянная линейка, два карандаша.
Порядок выполнения задания:
a
b
1. Положите линейку на два карандаша, лежащих на горизонтальной поверх→
→
N2
ности стола, и одновременно сдвигайте карандаши. Можно заметить, что сна- N1
чала линейка скользит относительно первого карандаша, а относительно второго при этом покоится. Затем линейка начинает скользить относительно второго
→
→
Fтр1
Fтр2
карандаша и становится неподвижной относительно первого карандаша.
→
mg
2. Рассмотрим силы, действующие на карандаш в момент смены движения
(рис. 11)
Рис. 11
3. Сила трения покоя карандаша 1 равна по модулю силе трения скольжения карандаша 2. Запишем
условие равновесия сил на линейке относительно центра тяжести.
Fтр1 = Fтр2, µп∙N1 = µск∙N2, N1∙a = N2∙b. Получим µп /µск = a/b.
4. Измерьте расстояния а и b, найдите отношение коэффициентов трения.
5. Сделайте вывод.
Экспериментальное задание №7. Определение коэффициента трения скольжения.
Оборудование: деревянный брусок (известной массы), нить, блок, штатив, металлический шарик
(известной массы), транспортир, линейка.
Порядок выполнения работы:
1. Перекинуть нить с металлическим шариком на конце через блок, высоту которого можно менять с
помощью штатива. Другой конец нити прикрепить к бруску.
2. Меняя значение угла α, добиваемся скольжения бруска и измеряем транспортиром максимальное
значение угла α, при котором начинается скольжение бруска.
3. Выводим самостоятельно формулу для расчета µ.
SILA_UMA_2022
35
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
4. Рефлексия. Ответьте на вопросы:
1. Для иллюстрации какого вида трения вы использовали бы эту сказку? Объясните с точки зрения физики, как маленькой мышке удалось помочь вытащить репку?
2. Почему на мокрой дороге автомобилю сложнее затормозить?
3. Почему с сумками в руках по скользкой дороге идти легче?
4. Для чего делают шипы на шинах и подошвах?
5. Почему бегуны – спринтеры бегают в шиповках, а стайеры – в мягкой обуви?
6. Зачем на скоростных трассах на поворотах полотно наклоняют?
5. Домашнее задание
Определите коэффициент трения сыпучего продукта
(сахарного песка, манной крупы, пшена, муки и др.).
Решение. Следует насыпать сыпучий продукт в коническую кучку до тех пор, пока она не начнет осыпаться.
Коэффициент трения можно найти по формуле µ = tgα =
h/R, где h – высота горки, R – радиус основания, α – угол
естественного откоса.
Угол естественного откоса – угол, образованный
свободной поверхностью сыпучего материала с горизонтальной плоскостью. Частицы материала, находящиеся на
свободной поверхности насыпи, испытывают состояние
критического (предельного) равновесия. Угол естественного откоса связан с коэффициентом трения и зависит от
шероховатости зерен, степени их увлажнения, состава и
формы, а также от удельного веса материала.
SILA_UMA_2022
36
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Рабочая карта ученика
Задание «Дерзновению подобно»
Рассмотрите гравюру «Транспортировка «Гром-камня» и ответьте на вопрос:
Как удалось доставить «Гром-камень» массой около 2000 тонн до берега Финского залива (8 км)? Какие
приспособления с точки зрения физики при этом были использованы?
_______________________________________________________________________________________
Проблемный вопрос. Как определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву разными
способами, не используя динамометр?
Экспериментальное задание № 1
Определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву.
Оборудование: деревянный брусок с крючком, набор грузов, деревянная линейка от трибометра,
деревянная линейка (длиной 30 см), нить, резиновый шнур «венгерка», штатив школьный, транспортир,
два карандаша.
Примечание. В перечне оборудования нет динамометра, он может быть выдан только в конце занятия для традиционного способа определения коэффициента трения скольжения, чтобы сравнить полученные значения µ. Абсолютная погрешность измерения расстояния ∆l = 1 мм.
Экспериментальное задание № 2
Определение коэффициента трения скольжения через опрокидывание бруска.
Оборудование: деревянный брусок, линейка, деревянная поверхность стола (или деревянная линейка от трибометра).
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Если к бруску приложить на небольшом расстоянии от его
основания горизонтально направленную силу F, превышающую максимальную силу трения Fтр = µ∙N, то брусок будет скользить. (К бруску можно привязать нить, тогда силой F будет сила натяжения нити). Если сила F приложена
достаточно высоко, на расстоянии b, то брусок опрокинется.
2. Опытным путем найдите точку приложения силы, когда наблюдается переход от поступательного движения к опрокидыванию (рис. 1).
3. Измерьте расстояния а и b, где а – ширина основания бруска
___________________________________________________________
4. Запишите условие равновесия (правило моментов сил) относительно точРис. 1
ки вращения _______________________________________________________
5. Найдите коэффициент трения по формуле µ = а/2b ________________________________________
6. Оцените погрешности измерений _____________________________________________________
7. Сделайте вывод _____________________________________________________________________
Экспериментальное задание №3
Определение коэффициента трения скольжения с использованием наклонной плоскости.
Оборудование: линейка деревянная от трибометра, брусок деревянный, измерительная линейка,
штатив, транспортир.
SILA_UMA_2022
37
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Порядок выполнения работы:
1. Используя штатив, закрепите линейку от трибометра
под углом α к столу.
2. Положите брусок на деревянную линейку от трибометра.
3. Меняя угол наклона линейки, найдите такой максимальный угол, при котором брусок еще покоится (рис. 2).
4. Измерьте длину основания линейки трибометра l и высоту подъема линейки h (или угол α транспортиром) _______
____________________________________________________
5. Рассчитайте значение коэффициента трения скольжеРис. 2
ния дерева по дереву по формуле
µ = tgα = h/l ___________________________________________________________________________
6. Определите погрешность измерений ____________________________________________________
7. Сделайте вывод _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Экспериментальное задание №4
Определение коэффициента трения скольжения с помощью самодельного динамометра.
Оборудование: деревянный брусок с крючком, груз, резиновый шнур «венгерка» длиной 20-25 см,
катушечная нить длиной 20-30 см, линейка, деревянная поверхность стола (или деревянная линейка от
трибометра).
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Связываем между собой резиновый шнур и нить, свободный конец нити прикрепляем к крючку бруска (можно использовать скрепку), а резинового шнура – к краю линейки. Делаем
это так, чтобы узел не выходил за пределы шкалы линейки даже в том случае, если брусок будет висеть
на нити вертикально (рис. 3).
Рис. 3
2. С помощью изготовленного таким образом «динамометра», роль указателя которого выполняет узел, тяните равномерно брусок по поверхности стола (доски трибометра). Определите удлинение резинового шнура x (рис. 4)
_____________________________________________________________________
Рис. 4
Рис. 5
3. Подвесьте брусок к «динамометру». Держа его вертикально, определите по линейке новое удлинение резинового шнура x1 (рис. 5)
_____________________________________________________________________________________
4. Найдите коэффициент трения по формуле µ = x/x1
_____________________________________________________________________________________
5. Определите погрешность измерений ___________________________________________________
6. Сделайте вывод _____________________________________________________________________
Экспериментальное задание №5
Определение коэффициента трения скольжения с помощью карандаша.
Оборудование: карандаш, деревянная поверхность стола или линейка деревянная от трибометра,
линейка измерительная, транспортир.
SILA_UMA_2022
38
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
Порядок выполнения работы:
1. Идея решения. Поставьте карандаш тупым концом на стол вертикально, нажмите на него, наклоните и наблюдайте характер его падения. При небольших углах наклона к вертикали карандаш не
проскальзывает относительно поверхности стола при любой величине силы, прижимающей его к столу.
Проскальзывание начинается с некоторого критического угла, зависящего от силы трения.
2. Определите угол α с помощью транспортира _____________________________________________
3. Рассчитайте по формуле µ = tgα значение коэффициента трения скольжения дерева по дереву
_____________________________________________________________________________________
4. Определите погрешность измерений ____________________________________________________
5. Сделайте вывод ______________________________________________________________________
Экспериментальное задание №6
Традиционный способ определения коэффициента трения скольжения.
Оборудование: деревянный брусок, деревянная линейка от трибометра, динамометр, набор грузов.
Порядок выполнения задания:
1. Положите брусок на горизонтально расположенную деревянную линейку от трибометра. На брусок поставьте груз.
2. Прикрепив к бруску динамометр, равномерно тяните его вдоль линейки. Определите показание
динамометра ____________________________________________________________________________
3. Определите вес бруска и груза с помощью динамометра ___________________________________
4. К первому грузу добавьте второй, третий грузы, каждый раз взвешивая брусок и грузы и измеряя
силу трения _____________________________________________________________________________
5. Найдите коэффициент трения µ = Fтр /N = Fтр /P ___________________________________________
6. По результатам измерений заполните таблицу:
N опыта
Р, Н
ΔP, Н
Fтр, Н
ΔFтр, Н
µ
7. Постройте график зависимости силы трения от силы нормального давления и, пользуясь им, определите среднее значение коэффициента трения μср.
8. Сделайте вывод _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
9. Найдите в справочнике (в интернете) значение коэффициента трения скольжения дерева по дереву,
сравните с табличным полученные вами в заданиях 1– 5 значения µ. Сделайте общий вывод _________
________________________________________________________________________________________
Экспериментальное задание №7 (дополнительное)
Определение отношения коэффициента трения покоя к коэффициенту трения скольжения дерева по
дереву, используя линейку.
Оборудование: деревянная линейка, два карандаша.
Порядок выполнения задания:
1. Положите линейку на два карандаша, лежащих на горизонтальной поверхности стола, и одновременно сдвигайте карандаши. Можно заметить, что сначала линейка скользит относительно первого
карандаша, а относительно второго при этом покоится. Затем линейка начинает скользить относительно
второго карандаша и становится неподвижной относительно первого карандаша.
SILA_UMA_2022
39
физика / математикa
Урок 13. Экспериментальный микс
2. Рассмотрим силы, действующие на карандаш в момент смены движения
(рис. 6).
3. Сила трения покоя карандаша 1 равна по модулю силе трения скольжения
карандаша 2. Запишем условие равновесия сил на линейке относительно центра тяжести.
Fтр1 = Fтр2, µп∙N1 = µск∙N2, N1∙a = N2∙b.
→
a
N1
→
Fтр1
b
→
Fтр2
→
mg
→
N2
Рис. 6
Получим µп /µск = a/b.
4. Измерьте расстояния а и b, найдите отношение коэффициентов трения _______________________
5. Сделайте вывод _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Рефлексия. Ответьте на вопросы:
1. Для иллюстрации какого вида трения вы использовали бы эту сказку? Объясните с точки зрения физики, как маленькой мышке удалось помочь вытащить репку?
_______________________________________________________________________
2. Почему на мокрой дороге автомобилю сложнее затормозить?
_______________________________________________________________________
3. Почему с сумками в руках по скользкой дороге идти легче?
_______________________________________________________________________
4. Для чего делают шипы на шинах и подошвах?
________________________________________________________________________________________
5. Почему бегуны-спринтеры бегают в шиповках, а стайеры – в мягкой обуви?
________________________________________________________________________________________
6. Зачем на скоростных трассах на поворотах полотно наклоняют?
________________________________________________________________________________________
Домашнее задание
Определите коэффициент трения сыпучего продукта (сахарного песка, манной крупы, пшена, муки и др.)
________________________________________________________________________________________
SILA_UMA_2022
40
физика / математикa
Урок 14. Крученый мяч
Урок 14. Крученый мяч
Тема: «Эффект Магнуса»
Форма урока: урок-лабораторная работа
Цель урока: качественное исследование эффекта Магнуса, изучение областей
применения данного эффекта
Видеолекцию по этой теме можно посмотреть, отсканировав QR-код
Методический комментарий
Многие явления и процессы человек воспринимает как само собой разумеющиеся, ссылаясь на жизненный опыт и не задумываясь над тем, что подчас за некоторыми из этих явлений стоят физические
теории и законы. Например, каждый из нас имел опыт игры с мячом (футбол, волейбол, теннис, настольный теннис), и в попытке быть лучше своего соперника, использовал технику «крученый мяч».
При использовании такой техники соперник может быть обыгран тактически, так как траектория полета спортивного снаряда в таком случае будет, как минимум, необычная.
Внимательное наблюдение за такими явлениями, процесс постановки проблемного вопроса, а затем
и поиск ответа на него, включая серию экспериментов – это то, что отличает естествоиспытателя от
простого обывателя. Понятно, что среди людей есть такие, которым от природы дано соответствующее
чувство интереса ко всему и умение правильно формулировать исследовательские задачи, их называют
талантами или гениями. Но перефразируя известное высказывание, можно сказать, что, если звезды
зажигаются, значит, их кто-то зажигает.
Занятие, которое посвящено эффекту Магнуса, можно построить как мини-исследование. На
данном занятии организуется работа в парах, выполнение экспериментальных заданий проводится
фронтально. Предполагается, что, несмотря на заявленную форму работы, учитель на каждом этапе
её выполнения ставит проблемные вопросы и пытается найти совместно с учениками ответы к ним.
.
Ход урока
Приборы и принадлежности: штатив, трибометр, каретка (деревянный брусок), деревянный цилиндр, картон, бумага, клей, 2 одноразовых стаканчика, скотч.
1. Актуализация знаний
Закон Бернулли, эффект Магнуса, подъемная сила крыла самолета.
2. Мотивационный этап.
Проблемный вопрос (задание 1).
Учащимся предлагается изготовить наклонную плоскость и наблюдать падение тел с нее. В качестве
тел необходимо использовать: каретку (деревянный брусок), деревянный или пластиковый цилиндр,
картонный цилиндр, цилиндр из бумаги. Высота точки отрыва тела от наклонной плоскости до пола
должна составлять около 1,5 м. При этом проводя данное исследование, ученикам можно предложить
мелом отмечать точки падения тел на полу. При скатывании с наклонной плоскости бумажного цилиндра, несложно заметить, что он ведет себя «аномальным» образом, в сравнении с другими телами, т.к.
точка приземления оказывается в неожидаемом с точки зрения наблюдателя месте.
Вопрос: почему траектория движения бумажного цилиндра при его скатывании с плоскости и дальнейшего падения отличается от траекторий других тел? И где еще можно наблюдать данный эффект?
3. Организация деятельности учащихся
При выполнении задания 1, оно же выступает как проблемный вопрос. Ученики, приготовив наклонную плоскость, исследуют падение с неё различных твердых тел. Штатив можно установить на
парте и обеспечить высоту падения примерно 1,5 м. При этом работая в парах, один из учеников внимательно следит за точкой приземления тел и отмечает их мелом. Ученики качественно изображают в
своих работах установку и траекторию движения тел, после их отрыва от наклонной плоскости. Можно
ограничится следующими телами: брусок (не вращающиеся тело), цилиндр (деревянный или пластиковый), цилиндр из картона, цилиндр из бумаги. На чертеже траектории движения тел можно изобразить
разными цветами или обозначить цифрами. После проведения данного опыта формулируется проблемSILA_UMA_2022
41
физика / математикa
Урок 14. Крученый мяч
ный вопрос. Почему бумажный и картонный цилиндр движутся по «странным»
траекториям? Или можно сформулировать его и так: «Какая сила заставляет легкие
цилиндры отклоняться от привычных для нашего жизненного опыта траекторий?».
После обсуждения проблемы и результатов задания 1, можно спросить у учеников, а где они встречались с подобным эффектом. После чего ученикам следует
продемонстрировать видеоряд со зрелищным использованием данного эффекта в
футболе. Вариант такого видео можно посмотреть по ссылке с qr-кода.
После просмотра видео, можно приступить к выполнению задания 2 «Сухой лист». В этом задании
ученики фиксируют схематично направление вращения мяча, которое приводит его к соответствующей
траектории.
Выполнение задания 3 направлено на освоение теоретического объяснения исследуемого в работе
эффекта.
Заметим, что при падении бумажного цилиндра с наклонной плоскости и при полете крученого мяча
проявляет себя так называемый эффект Магнуса. В чем же он состоит?
Эффект Магнуса — физическое явление, возникающее при обтекании вращающегося тела потоком жидкости или газа. В этом случае возникает сила, воздействующая на тело и направленная перпендикулярно направлению потока. Рассмотрим более подробно механизм возникновения данной силы.
Вращающийся объект создаёт в среде вокруг себя вихревое движение: благодаря силе трения прилегающие к поверхности тела слои воздуха захватываются им, образуя вихри (рис. 1).
С одной стороны объекта (область точки В) направление вихря совпадает с направлением обтекаю-
Рис. 1
щего потока, и, соответственно, результирующая скорость движения среды с этой стороны 𝑣𝐵 увеличивается. С другой стороны объекта (область точки А) направление вихря противоположно направлению
движения потока, и результирующая скорость движения среды 𝑣𝐴 уменьшается. Т.е. 𝑣𝐴<𝑣𝐵. Согласно
закону Бернулли, чем выше скорость потоков жидкости или газа, обтекающих тело, тем меньшее давление на данное тело они оказывают. Таким образом в нашем случае, ввиду наблюдаемой разности результирующих скоростей потоков возникает разность давлений, порождающая поперечную силу , которая
направлена перпендикулярно набегающим потокам в сторону области с меньшей их результирующей
скоростью (то есть от А к В).
Для закрепления полученных знаний об эффекте Магнуса, ученикам предлагается в парах выполнить задание 4, которое условно называется «возвращающиеся стаканчики». Разновидность данного опыта можно проводить, запуская два склеенных одноразовых стаканчика с помощью канцелярской резинки (венгерки), но в этом случае дальность полета системы оказывается достаточно
большой и эффект не всегда хорошо наблюдаем. А если просто бросать стаканчики рукой, придавая
им определенное направление вращательного движения, то после нескольких попыток можно натренироваться так, что они действительно будут возвращаться в руки запускающего подобно бумерангу.
Заданию 5 «Под турбопарусом» предшествует небольшая теория, о применении эффекта Магнуса в
инженерии. Одним из вариантов использования исследуемого эффекта является создание турбопарусов.
Турборарус – судовой движитель, действие которого основано на эффекте Магнуса, и использующий
для движения энергию ветра. Впервые роторные турбопаруса немецкого инженера Антона Флеттнера были успешно испытаны на шхуне «Букау» в 1924 году (рис. 2).
SILA_UMA_2022
42
физика / математикa
Урок 14. Крученый мяч
Рис.2
Для этого трёхмачтовую шхуну «Букау» переоборудовали в роторное судно с двумя «парусами»
высотой в 13 метров. Судно могло двигаться даже под углом в 25 градусов к встречному ветру, что
невозможно в случае с классическими парусниками. С этими «парусами» судно пересекло Атлантический
океан, доказав тем самым, что такая конструкция имеет будущее. Результатом данного конструкторского
прорыва стала постройка роторного сухогруза «Барбара», который оснастили уже 3-мя 17-метровыми
цилиндрами. В 1980-х годах более сложная форма турбопаруса была разработана французскими
инженерами под руководством океанолога Жака-Ива Кусто. Наиболее успешно она применялась на
судне «Алсион».
В задании 6 «От полета мяча до полета самолета», ученикам предлагается рассмотреть
профиль самолетного крыла, движущегося в воздухе. И по аналогии с изученным эффектом указать
направление силы, вызванной разницей давлений на нижнюю и верхнюю плоскости крыла. При
соответствующем профиле крыла воздух у нижней его плоскости тормозится, чем и обеспечивается
меньшая скорость обтекания, а значит большее давление. Данную силу, направленную вверх, принято
назвать подъемной силой крыла.
SILA_UMA_2022
43
физика / математикa
Урок 14. Крученый мяч
Рабочая карта ученика
Задание 1. Закрепите линейку трибометра в лапке штатива, придайте ей определенный наклон,
чтобы получилась наклонная плоскость. Установите штатив на краю стола и, изготовив отвес,
отметьте на полу мелом точку, на которую указывает отвес, когда он прикреплен к краю
наклонной плоскости (рис 1).
Теперь запускайте с наклонной плоскости тела в
следующей последовательности: деревянный брусок; деревянный цилиндр; цилиндр, изготовленный
из картона; цилиндр, изготовленный из бумаги. Отмечая точки падения указанных тел на полу, схематично изобразите наблюдаемые вами траектории
полета этих тел, пронумеруйте их и подпишите на
чертеже. На основании ваших наблюдений сформулируйте проблемный вопрос исследования. Запишите его ниже.
Рис. 1
Вариант ответа: почему траектория движения бумажного цилиндра при его скатывании с плоскости и дальнейшем падении отличается от траекторий других тел? Где еще можно наблюдать данный
эффект?
Задание 2. «Сухой лист». Представьте, что вы смотрите на футбольный матч сверху. Мяч находиться
на угловой отметке. В какую сторону следует закрутить его, чтобы создать условия попадания мяча в
створ ворот. Укажите стрелками на рис. 2 направление вращения мяча.
Рис. 2
Ответ: вращение мяча будет происходить против часовой стрелки.
Задание 3. Рассмотрите Рис.3. На нем изображен вращающийся цилиндр, обдуваемый потоком воздуха. Как вы думаете, одинакова ли скорость потоков воздуха в верхней и нижней точках цилиндра,
постарайтесь пояснить ответ.
Вариант ответа: цилиндр двигается вправо и при этом вращается по часовой стрелке. Благодаря силе трения, прилегающие к поверхности цилиндра слои воздуха захватываются
им, образуя вихри. В верхней точке направление вихря противоположно направлению движения потока, и поэтому результирующая скорость движения среды будет уменьшается. В
нижней точке направление вихря совпадает с направлением
обтекающего потока, и поэтому результирующая скорость
движения среды с этой стороны будет увеличивается. Таким
образом, скорости потоков воздуха в области верхней и нижней точек цилиндра будут разными.
SILA_UMA_2022
44
Рис. 3
физика / математикa
Урок 14. Крученый мяч
Сравните результирующие скорости воздушных потоков вблизи точек А и B поверхности вращающегося цилиндра:
𝑣𝐴 ? 𝑣𝐵, поставьте вместо «?», знак «>», «<» или «=».
Ответ: 𝑣𝐴< 𝑣𝐵.
Прочтите одну из возможных формулировок закона Бернулли: чем выше скорость потоков жидкости или газа, обтекающих тело, тем меньшее давление на данное тело они оказывают. Теперь
подумайте, какой знак следует поставить в следующем неравенстве: 𝑝𝐴 ? 𝑝𝐵.
Ответ: 𝑝𝐴>𝑝𝐵.
Теперь укажите на рис. 3 возникающую из-за разности давлений в точках А и B силу, а также укажите
её направление.
Ответ: возникающая из-за разности давлений в точках А и B сила будет направлена вертикально вниз
(см. рис. 1 методических рекомендаций).
Задание 4. «Возвращающиеся стаканчики». С помощью скотча соедините 2 пластиковых стаканчика, согласно рис. 4.
Теперь отбросьте эту систему «от себя», одновременно придав ей вращение в направлении, указанном на рис. 4. После недолгой тренировки можно добиться результата, когда изначально совершавшие
свой полет от нас стаканчики, будут возвращаться обратно.
Рис. 4
Задание 5. «Под турбопарусом»
По рис. 5 определите, куда будет приложена сила
Магнуса , т.е. в каком направлении будет двигаться судно. Направление этой силы укажите на рисунке
с помощью вектора. Считать, что направление ветра
перпендикулярно плоскости листа.
Что нужно сделать, чтобы при неизменном направлении ветра судно начало двигаться в противоположРис. 5
ном направлении?
Вариант ответа: сила Магнуса будет направлено влево. Для того, чтобы при неизменном направлении
ветра судно начало двигаться в противоположную сторону, необходимо изменить направление вращения турбопарусов (в нашем случае они должны будут вращаться против часовой стрелки).
Задание 6. «От полета мяча до полета самолета».
Рассмотрите рис. 6. На нем изображен профиль крыла самолета, движущегося в воздухе. Укажите, куда направлена сила, вызванная
разностью давлений и называемая подъемной
силой крыла самолета.
Рис. 6
Вариант ответа: подъёмная сила крыла самолёта будет направлена вертикально вверх.
В заключении. Ребята, на этом занятии мы прошли с вами путь от наблюдения за «странностями» в
поведении падающего вращающегося цилиндра до объяснения и исследования наблюдаемого эффекта,
который мы определили как эффект Магнуса. Также мы выяснили, что этот эффект может являться
принципиальной основой конструкций воздушных и водных судов. Возможно, вы сами сумеете предложить другие области применения эффекта Магнуса.
SILA_UMA_2022
45
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
Урок 15. В мире Чиполлино
Тема: Электрические явления
Форма урока: урок-лабораторная работа (физический практикум)
Цель урока: исследование химических источников питания, изготовленных из фруктов и овощей
Методический комментарий
Сегодня невозможно представить жизнь без электричества. Непрерывный электрический ток в
цепи, в которой имеется сопротивление, может поддерживаться только при условии, что она содержит
источник тока (источник питания). Простейший источник питания – гальванический элемент – состоит
из двух металлических электродов и электролита. Электрическая энергия внутри прибора получается
в ходе протекания окислительно-восстановительных химических реакций, то есть химическая энергия
преобразуется в электрическую. На уроке учащиеся создают химический источник тока из фруктов и
овощей, конструируют батарею элементов для питания светодиода.
Урок входит в физический практикум, задания выполняются в минигруппах (2 ученика). Поскольку в рамках физического практикума работают одновременно несколько групп учащихся над разными
темами, то для предоставления учителю возможности отслеживать все процессы на уроке учащимся
предложены более полные теоретические материалы и пошаговые инструкции по выполнению заданий. Все теоретические обоснования, представленные ниже, дублируются для учеников, в связи с этим
учитель (по своему выбору) имеет возможность либо провести с учащимися, выполняющими задания,
беседу, и для этого все этапы действий рассмотрены в ходе урока, либо предложить учащимся ознакомиться с материалом самостоятельно.
Учитель просит учащихся заранее принести на данный урок фрукты (апельсин, лимон, яблоко, банан) и овощи (картофель, помидор, лук). При помещении металлических электродов во фрукты из них
может потечь сок, для исключения возможности загрязнения одежды учащихся, рабочих поверхностей
используйте салфетки или одноразовые скатерти.
В урок включены несколько заданий. В случае фактической невозможности выполнения всех экспериментальных заданий на одном уроке, часть из них можно перенести на второй урок или использовать
в качестве основы для организации проектной деятельности учащихся.
В рабочей карте ученика приведены возможные варианты ответов, которые не следует рассматривать как единственный образец формулировки ответа. Если ученик сформулирует ответ в другой форме, отличной от приведенной, учитель сам должен оценить полноту и правильность данного ответа,
основываясь на предоставленных методических рекомендациях, с учетом используемых материалов,
конкретных условий и особенностей проведения эксперимента.
Ход урока
Приборы и принадлежности: фрукты (апельсин, лимон, яблоко, банан), овощи (картофель, помидор, лук), соединительные провода с крокодилами, мультиметр, медные электроды, цинковые электроды, скрепки, гвоздь.
1. Актуализация знаний
Электрический ток, носители тока, работа электрического тока, напряжение, химический источник
тока, последовательное соединение источников тока.
2. Мотивационный этап
Проблемный вопрос.
Химические источники тока широко распространены. В частности, они используются в бытовой
технике, например, в мобильных телефонах, смартфонах, часах, пультах дистанционного управления
и так далее.
Вопрос: возможно ли изготовить химический источник питания из обычных фруктов и овощей для
использования в быту?
3. Организация деятельности учащихся
SILA_UMA_2022
46
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
При выполнении заданий учителю нужно проверить правильность подключения мультиметра учащимися для выполнения измерений. В задании 1 учащиеся пробуют создать источник тока из одного
фрукта (например, апельсина) или овоща (например, картофеля), воткнув в него пару электродов из одного и того же металла. С помощью мультиметра они убеждаются, что напряжение на электродах равно
нулю. Затем в этот же объект исследования, вытащив предыдущие электроды, помещают пары электродов из разных металлов (цинк-медь, цинк-сталь, медь-сталь), измеряя каждый раз напряжение на нем.
Стальной электрод можно изготовить из канцелярской скрепки, развернув её. В качестве электродов
можно также использовать гвозди, полоски металлических пластин. Учащиеся сравнивают полученные
значения напряжений и делают вывод, для какой пары электродов наблюдается наибольшее напряжение
на одном фрукте (овоще).
В материалах для ученика рассматривается устройство первого химического источника тока (гальванического элемента), который был изобретен А. Вольта, и процессы, происходящие в контактном слое
металлический электрод – электролит, а также приводится качественное объяснение химических процессов происходящих в гальваническом элементе.
Внутри элемента Вольта, состоящего из пары разнородных электродов, опущенных в раствор серной
кислоты (электролита), в тонком слое возле электрода происходят химические реакции, энергия, освобождаемая в этих реакциях, превращается в работу тока. При погружении металлического электрода,
например, цинка, в электролит начинается процесс его растворения, в раствор переходят положительные ионы металла Zn2+. Такой атом цинка оставляет на электроде два своих электрона, поэтому цинковый электрод заряжается отрицательно, а раствор электролита – положительно. Одновременно начинает
идти обратный процесс, в ходе которого ионы цинка, окружающие электрод, оседают на нем, при этом
они взаимодействуют с электронами и нейтрализуются. Устанавливается динамическое равновесие:
число ионов, переходящих в раствор за некоторое время, становится равным числу ионов, осаждающихся из раствора за то же время.
На другом (медном) электроде, опущенном в электролит, будут идти такие же процессы, только с
электролитом будет взаимодействовать другое число атомов, следовательно, число электронов, оставленных на электроде, будет другим, и для меди оно будет меньше, чем для цинка. Поэтому цинковый
электрод принимается за отрицательный полюс источника тока, а медный – за положительный. Если
соединить проводником два полюса источника тока, то электроны будут переходить с цинковой пластинки, где их больше, на медную. Электрический ток будет иметь обратное направление, от положительно
заряженного медного электрода 𝐶𝑢 (+) к отрицательно заряженному цинковому электроду 𝑍𝑛 (−).
Информация для учителя. Правильнее, конечно, описывать процессы, происходящие в гальваническом элементе, с помощью разности потенциалов (скачка потенциала) на границе веществ, но ученики
знакомятся с понятием «потенциал» только в 10 классе, поэтому в материалах для ученика говорим о
напряжении, возникающем между парой электродов.
Разность потенциалов между цинковым и медным электродами в разомкнутой цепи определяется
как сумма скачков потенциала на границах веществ, из которых состоит элемент тока (рис. 1). Для рассматриваемого элемента Вольта разность потенциалов между электролитом и цинковым электродом
𝜑21=𝜑2−𝜑1, медным электродом и электролитом 𝜑32=𝜑3−𝜑2. Тогда разность потенциалов между электродами равна 𝜑(𝐶𝑢)−𝜑(𝑍𝑛)=𝜑21+𝜑32=𝜑3−𝜑1.
Zn (-)
1
раствор серной кислоты (электролит)
2
Рис. 1.
Cu (+)
3
Во внешней цепи электроны будут переходить по проводнику, соединяющему два электрода, с цинковой пластины на медную.
В 1865 году русский ученый Н.Н. Бекетов предложил электрохимический ряд активности металлов
в реакциях с кислотами, водными растворами солей. При переходе от калия к золоту способность отдавать электроны металлом (восстановительная способность) уменьшается (рис. 2). Следовательно,
скачок потенциала на границе цинк-кислота будет больше по модулю, чем скачок потенциала на границе медь-кислота, электроны во внешней цепи пойдут от цинкового электрода к медному. Цинковый
электрод будет являться отрицательным полюсом источника тока, а медный электрод – положительным.
Сталь – это сплав железа с углеродом, поэтому на паре электродов цинк-железо разность потенциалов
будет меньше, чем на паре электродов цинк-медь.
SILA_UMA_2022
47
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
Электрохимический ряд напряжений металлов
Li K Ba Sr Ca Na Mg Al Mn Zn Cr Fe Cd Ni Sn Pb (H2) Cu Hg Ag Pt Au
Уменьшение восстановительных свойств
Рис. 2.
Если в раствор электролита погрузить два одинаковых металлических электрода, то разность потенциалов будет равна нулю, электрический ток в замкнутой цепи не пойдет. Следовательно, разность
потенциалов на источнике тока зависит от материала, из которого изготовлены оба электрода. На рис. 3
представлены фотографии проведенных опытов с электродами медь-медь, цинк-сталь, медь-сталь, помещенными в картофель.
В ходе обсуждения результатов выполнения задания 1 учащиеся приходят к выводу, что наибольшее
напряжение на одном «природном» гальваническом элементе (фрукте или овоще) можно получить, используя пару электродов медь-цинк.
Рис. 3
В ходе выполнения задания 2 ученики измеряют напряжение на паре электродов медь-цинк, помещенных в различные фрукты и овощи.
В соке фруктов и овощей содержатся вода, соли, органические кислоты (яблочная, лимонная, винная
и другие), поэтому сок является электролитом. Опыт показывает, что величина напряжения на гальваническом элементе зависит от рода электролита. Напряжение на одной и той же паре электродов, вставленных в различные плоды даров природы, будет разным (рис. 4, а и 4, б). Анализируя полученные
результаты, учащиеся делают вывод, на каком фрукте/овоще получилось наибольшее напряжение.
Итак, величина напряжения на «фруктовых / овощных элементах» зависит от материала, из которого
сделаны электроды (от них зависит скорость протекания химических реакций на электродах) и рода
электролита (химического состава сока фруктов и овощей).
Рис. 4, а
SILA_UMA_2022
48
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
Рис. 4, б
В задании 3 учащиеся исследуют зависимость напряжения на одной паре электродов от глубины их
погружения в один фрукт (овощ). Напряжение между металлическими электродами не зависит от площади электродов, так как его величина зависит только от рода металла и от характера взаимодействия
между ним и электролитом. Учащиеся приходят к этому выводу экспериментально. На рис. 5 показаны
результаты данного эксперимента для «апельсинового элемента».
Рис. 5
Задание 4 аналогично заданию 3, только в этом случае с помощью мультиметра измеряется сила тока
в цепи. Измерение силы тока при этом необходимо провести как можно быстрее, поскольку источник
тока быстро разряжается. При погружении металлического электрода во фрукт (овощ) на большую глубину увеличивается активная площадь поверхности электрода, поэтому ток становится больше (рис. 6).
Рис. 6
SILA_UMA_2022
49
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
Как видно из результатов проведенных исследований, источник тока из фрукта или овоща позволяет
получить напряжение не более 1 В. В задании 5 учащимся предлагается проанализировать значения
напряжения, полученные при выполнении заданий 1 и 2, для составления батареи из «фруктовых/овощных элементов» для питания светодиода с рабочим напряжением 3 В, а затем проверить свой выбор
элементов питания экспериментально.
Для работы светодиода важны два параметра: рабочее напряжение и величина номинальной силы
тока, при которой он работает длительное время без выхода из строя. Эта сила тока рекомендована производителем. Светодиод начинает проводить ток, начиная с некоторого значения напряжения, он работает при пропускании через него тока в прямом направлении, поэтому включается в электрическую цепь
с соблюдением полярности. Пропускание через светодиод тока, превышающего значение номинального
рабочего тока, ведет к его перегоранию.
Светодиод, используемый в эксперименте, светит ярко при рабочем напряжении, близком к 3 В, номинальной силе тока 20 мА.
На рис. 7 представлена батарея, составленная из апельсина, лимона, картофеля, везде используются
пары электродов медь-цинк. Максимальное суммарное напряжение на батарее равно 3,22 В. После подключения светодиода к этой батарее напряжение на нем составило 1,54 В (рис. 8). Как видно, светодиод
неярко светит. Если добавить в батарею еще один элемент питания, то яркость светодиода возрастает
(рис. 9). Измеренное значение силы тока, проходящего через него, равно 0,13 мA, что недостаточно для
полного накала светодиода (рис. 10).
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
При прямом подключении светодиода к литиевой батарейке напряжением 3 В он ярко светится (рис. 11), при этом потребляемый
светодиодом ток превышает номинальное значение силы тока.
В конце занятия учащиеся отвечают на проблемный вопрос, можно ли изготовить химический источник тока из обычных фруктов и
овощей для использования в быту?
Рис.10
SILA_UMA_2022
Рис.11
50
физика / математикa
Урок 15. В мире Чиполлино
Рабочая карта ученика
Задание 1
Измерьте с помощью мультиметра напряжение на источниках тока, полученных при вставлении во
фрукт или овощ пар электродов из одного и того же металла (например, медь-медь, сталь-сталь) и пар
электродов из различных металлов (например, медь-цинк, медь-сталь, цинк-сталь). В качестве стального электрода возьмите скрепку. Заполните таблицу.
Фрукт или
овощ
Cu-Cu
сталь-сталь
Сu-Zn
Cu-сталь
Zn-сталь
(Учащиеся сравнивают значения напряжения в заполненной таблице по горизонтали, отдельно по
каждому фрукту или овощу, и делают вывод).
Сделайте вывод: наибольшее значение напряжения получили на ... (название фрукта или овоща) при
использовании пары электродов медь-цинк.
Задание 2
Измерьте с помощью мультиметра напряжение на медно-цинковой паре электродов, помещенных в
принесенные вами фрукты и овощи. Занесите данные в таблицу.
Фрукт/овощ
Напряжение
апельсин
лимон
яблоко
картофель
томат
…
Сделайте вывод: величина напряжения зависит от вида фрукта/овоща, так как у них разный химический состав сока. Наибольшее значение напряжения получено на …(название фрукта/овоща).
Задание 3
Исследуйте зависимость напряжения на одной паре электродов от глубины их погружения в один
фрукт (или овощ). Для этого сначала углубите электроды примерно на 1 см во фрукт (овощ), измерьте
мультиметром напряжение. Затем поместите электроды поглубже, на два и более сантиметров, и снова
измерьте мультиметром напряжение. Экспериментальные данные занесите в таблицу.
Фрукт или
овощ
Напряжение
Cu-Zn, глубина погружения h1=1 см
Cu-Zn, глубина погружения h2 =_см
Сделайте вывод: величина напряжения между электродами не зависит от глубины погружения электродов.
Задание 4
Исследуйте зависимость силы тока, протекающей в цепи, от глубины погружения электродов во
фрукт (или овощ). Для этого сначала углубите электроды примерно на 1 см во фрукт (овощ), измерьте
мультиметром силу тока. Затем измените глубину погружения электродов, воткните на два и более сантиметров, и снова измерьте мультиметром силу тока. Экспериментальные данные занесите в таблицу.
SILA_UMA_2022
51
физика / математикa
Сила тока
Фрукт или
овощ
Cu-Zn, глубина погружения h1=1 см
Cu-Zn, глубина погружения h2 =_см
Сделайте вывод: величина силы тока становится больше при более глубоком погружении электрода
в фрукт/овощ, так как увеличивается активная площадь поверхности электрода.
Задание 5
Сконструируйте батарею из «фруктовых/овощных элементов» для работы светодиода с рабочим напряжением 3 В. Для этого проанализируйте значения напряжения, полученные при выполнении заданий 1 и 2, составьте разные комбинации элементов для изготовления батареи. Запишите, какие фрукты/
овощи и с какими электродами вы возьмете для составления батареи. Подсчитайте, какое суммарное
напряжение вы получите.
Фрукты / овощи
Суммарное напряжение
Составьте эту батарею и подключите к ней светодиод. Подкорректируйте свой выбор, добавив или
убрав «фруктовые / овощные элементы».
Сделайте вывод: светодиод горит ярко при составлении батареи элементов из …….. (перечисление
фруктов/овощей). Суммарное напряжение на батарее элементов равно ……. В.
SILA_UMA_2022
52
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
Урок 16. Когда нужно больше
Тема: Электрические явления. Законы постоянного тока
Форма урока: урок-лабораторная работа (физический практикум)
Цель урока: шунтирование и градуировка микроамперметра
Методический комментарий
Мы живем в мире электричества, пользуемся в быту различными электрическими приборами, которые делают нашу жизнь проще: осветительными приборами, электрическими чайниками, утюгами
и др., а также различными электронными приборами (например, смартфонами), которые тоже функционируют благодаря электричеству. При создании таких приборов производители рассчитывают их
параметры, необходимые для корректной работы, для чего пользуются различными измерительными
приборами.
Каждый измерительный прибор дает значение измеряемой величины в некотором диапазоне. Например, амперметр может измерить силу тока, не превышающую некоторое максимальное значение
– предел измерения. Данный урок позволит учащимся понять, что всегда есть возможность расширить
пределы измерения конкретного прибора, в случае с амперметром при этом прибегают к шунтированию. Урок входит в физический практикум, задания выполняются в минигруппах (2 ученика).
Поскольку в рамках физического практикума работают одновременно несколько групп учащихся
над разными темами, для предоставления учителю возможности отслеживать все процессы мы предложим учащимся более полные теоретические материалы и пошаговые инструкции по выполнению
заданий. Все теоретические обоснования, представленные ниже и дополненные основными определениями, формулами и законами постоянного тока, дублируются для учеников, в связи с чем учитель
(по своему выбору) имеет возможность либо провести с учащимися, выполняющими задания, беседу,
и для этого все этапы действий рассмотрены в ходе урока, либо предложить учащимся ознакомиться с
материалом самостоятельно.
В качестве шунтируемого прибора используется микроамперметр (или школьный гальванометр)
с известным сопротивлением, которое должно быть написано на шкале прибора. Максимальный ток
шунтируемого прибора в случае гальванометра вычисляется по цене деления, умноженной на количество делений шкалы. Диаметр проволоки, используемой для изготовления шунта, необходимо измерить
заранее.
На уроке учащиеся выполняют сложную в понимании и исполнении работу, требующую достаточно
много времени. В случае фактической невозможности выполнения всех заданий в течение урока, материал можно разделить на два урока либо часть заданий можно использовать в качестве основы для
организации проектной деятельности учащихся.
В рабочей карте ученика приведены возможные варианты ответов, которые не следует рассматривать как единственный образец формулировки ответа. Если ученик сформулирует ответ в другой форме, отличной от приведенной, учитель сам должен оценить полноту и правильность данного ответа,
основываясь на предоставленных методических рекомендациях, с учетом используемых материалов,
конкретных условий и особенностей проведения эксперимента.
Ход урока:
Приборы и принадлежности: шунтируемый прибор (микроамперметр или гальванометр) с известным сопротивлением, медная проволока с известным диаметром для изготовления шунта, линейка,
наждачная бумага, ножницы; источник постоянного тока на 6 В, эталонный амперметр магнитоэлектрической системы с пределом не менее 1 А, реостат, ключ, соединительные провода, скотч.
1. Актуализация знаний
Сила тока, амперметр, резистор, сопротивление проводника, реостат, удельное сопротивление, законы параллельного соединения проводников.
2. Мотивационный этап
Проблемный вопрос. В технике и в быту используются различные электроизмерительные приборы, которые рассчитаны на определенную максимальную величину, то есть имеют предел измерения.
SILA_UMA_2022
53
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
Но может возникнуть необходимость расширения пределов измерения, когда необходимо измерить, например, силу тока, превышающую предельную нагрузку имеющегося амперметра.
Вопрос: как увеличить предел измерения прибора, имея кусок медной проволоки известного диаметра?
3. Организация деятельности учащихся
Учащиеся в рамках выполнения задания 1 должны изготовить шунт для прибора с высокой чувствительностью (малым пределом измерения – микроамперметра, гальванометра) для измерения им силы
тока до 1 А. Кроме шунтируемого прибора, они получают проволоку с известным диаметром и удельным сопротивлением.
Для расчета шунта используют законы постоянного тока,
которые учащиеся должны вспомнить (эта информация представлена в материалах для ученика).
Шунт – это резистор (проволока) малого сопротивления,
присоединяемый параллельно участку, в обход которого должен пройти электрический ток (рис. 1).
Сопротивление шунта рассчитывают таким образом, чтобы
сила тока через прибор (на рис. 1 – микроамперметр) не превышала его предельное значение, а весь остальной ток протекал
через шунт.
Рис. 1
Пусть сопротивление шунтируемого прибора (в нашем примере – микроамперметра) 𝑅1, предел его измерения 𝐼1, измеряемая сила тока в цепи 𝐼, величина
показывает, во сколько раз измеряемая сила тока превышает предельную для шунтируемого прибора.
Применяя формулы для параллельного соединения проводников, имеем:
𝐼=𝐼1+𝐼ш, 𝐼1∙𝑅1=𝐼ш∙𝑅ш.
Так как 𝐼=𝐼1∙𝑛, то
𝐼ш=𝐼1𝑛−𝐼1=𝐼1(𝑛−1). Решая эти уравнения совместно, получаем
Поскольку в рамках данного урока в качестве шунта используется медная проволока, то учащиеся по
известным параметрам приборов и проволоки должны вычислить ее длину 𝐿.
, где 𝜌 - удельное сопротивление материала проводника (если он медный,
Как известно,
𝜌=1,7∙108 Ом∙м), 𝑆 - площадь поперечного сечения проволоки, равная
, 𝐷 - ее диаметр. Тогда
Решая совместно уравнения (1) и (2) , получаем формулу для длины шунта:
Учащиеся, выполняя задание 1, заполняют таблицу с необходимыми параметрами, причем сведения
о величине максимального тока в цепи, диаметре проволоки и удельном сопротивлении материала проводника им нужно предоставить, величину предельного тока и сопротивления шунтируемого прибора
они считывают с лицевой панели прибора. Далее по формуле (3) они рассчитывают длину шунта, отрезают кусок проволоки рассчитанной длины, добавив по 1,5 см на обоих концах для зачистки изоляции и
присоединения к клеммам прибора. Затем зачищают изоляцию на концах проволоки с помощью наждачной бумаги и присоединяют проволоку к клеммам прибора.
Таким образом, подготовлен прибор для измерения токов, превышающих предельно допустимое значение, но шкала исходного прибора теперь не будет соответствовать измерениям. Прибор нужно проградуировать, то есть сделать новую шкалу или снабдить прибор градуировочной кривой. На данном уроке
мы предлагаем учащимся сделать и то, и другое.
SILA_UMA_2022
54
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
Задание 2. Проградуировать прибор. Построить градуировочную кривую.
К имеющемуся оборудованию добавляются источник тока
на 6 В, эталонный амперметр с пределом 1 А, реостат, ключ,
соединительные провода.
Учащиеся рисуют схему электрической цепи (рис. 2), по
ней собирают последовательную цепь из источника тока, амперметра, микроамперметра с шунтом, реостата, ключа.
При проверке сборки цепи учителю нужно обратить внимание на надежность присоединения шунта к клеммам микроамперметра, концы проводника должны быть хорошо зачищены,
между клеммами и проводником должен быть хороший конРис. 2
такт.
Желательно проверить правильность подбора шунта, для этого при замыкании цепи отклонение
стрелки микроамперметра на полную шкалу должно примерно соответствовать силе тока в цепи, регистрируемой эталонным амперметром (пример на рис. 3). Если наблюдается незначительное несоответствие, ситуацию можно не исправлять, если несовпадением пренебречь нельзя, нужно проверить
расчеты или немного изменить рабочую длину шунта (укоротить, если сила тока, текущая через микроамперметр, больше предельного значения, и наоборот).
Рис. 3
Затем учащиеся, меняя силу тока в цепи с помощью реостата, сопоставляют делениям на шкале микроамперметра показания эталонного амперметра, и по этим данным строят градуировочную кривую,
которая имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат. На рис. 4 – пример градуировочной кривой для микроамперметра с пределом измерения 200 мкА, сопротивлением 634 Ом, в качестве
шунта использовалась медная проволока диаметром 0,27 мм.
Рис. 4
SILA_UMA_2022
55
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
Таким образом, микроамперметр с шунтом и градуировочной кривой представляет собой измерительный прибор для измерения силы тока до 1 А. Учащиеся измеряют силу тока: устанавливают некоторое
число делений на шкале микроамперметра, по градуировочной кривой находят соответствующее этому
отсчету значение силы тока и сравнивают его с показаниями эталонного амперметра. Пользоваться такой комбинацией не очень удобно, поэтому учащимся предлагается сделать новую шкалу для прибора.
Задание 3. Изготовление шкалы прибора.
Учащиеся вырезают из листа бумаги заготовку в форме шкалы микроамперметра (на рис. 5 приведен
пример для прибора с рис. 3), делают на ней отметки, соответствующие нулевому и максимальному делениям, а промежуток между ними делят на равные части, например, на 10 делений.
Это возможно, поскольку шкала равномерная – учащиеся могут сделать этот вывод на основании
полученного графика либо еще раньше, проанализировав формулу 𝐼=𝐼1∙𝑛.
Рис. 5
С помощью скотча шкала крепится к прибору. Учащиеся измеряют с помощью полученного прибора
какое-либо значение тока и сравнивают его со значением, измеренным эталонным амперметром (рис. 6).
Таким образом, учащиеся убеждаются в возможности расширения пределов измерения измерительных приборов на примере микроамперметра (гальванометра). Они выполняют процедуру шунтирования от расчета шунта до получения градуировочной кривой и изготовления шкалы прибора.
Рис. 6
SILA_UMA_2022
56
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
Рабочая карта ученика
Задание 1. Изготовить шунт для микроамперметра (гальванометра) для измерения силы тока 1 А.
1. Заполните таблицу:
Предел
измерения
шунтируемого
прибора
I1, А
Превышение
максимально
допустимой
силы тока
Максимальное значение
силы тока
эталонного
амперметра
I, А
2. По формуле
Сопротивление
шунтируемого
прибора
R1, Ом
Удельное
сопротивление материала
проволоки
𝜌, Ом∙м Диаметр
проволоки
D, м
рассчитайте длину шунта
L = ______________________________________________________________________ (м).
3. Отрежьте кусок проволоки рассчитанной длины, добавив по 1,5 см на концах для зачистки изоляции и присоединения к клеммам прибора.
4. Зачистите изоляцию на концах проволоки с помощью наждачной бумаги и надежно присоедините
проволоку к клеммам прибора.
Задание 2. Проградуировать прибор. Построить градуировочную кривую.
1. Нарисуйте схему электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных источника
тока, эталонного амперметра, микроамперметра, реостата, ключа.
Место для схемы
(пример на рис.2)
2. Соберите по схеме электрическую цепь, шунт должен быть надежно (с хорошим контактом!) присоединен к клеммам микроамперметра, реостат установите на максимальное сопротивление. Цепь обязательно (!) должна быть проверена учителем.
3. Если шунт подобран правильно, отклонение стрелки микроамперметра на полную шкалу должно
соответствовать силе тока в цепи, регистрируемой эталонным амперметром (1 А). Проверьте это (пример – на рис. 3).
4. С помощью реостата изменяйте силу тока в цепи, при этом делениям на шкале микроамперметра
сопоставляйте показания эталонного амперметра. Данные занесите в таблицу:
Показания
микроамперметра,
дел.
0
4
8
12
...
Показания эталонного
амперметра, А
0
0,1
0,2
0,3
...
SILA_UMA_2022
57
1
физика / математикa
Урок 16. Когда нужно больше
(Значения показаний приборов приведены в таблице только в качестве примера, поскольку соответствуют используемым автором конкретным приборам).
5. На листе миллиметровой бумаги нарисуйте оси координат, выберите масштаб (по оси абсцисс в
делениях шкалы микроамперметра, по оси ординат в Амперах (А)) и по вашим измерениям постройте
градуировочную кривую.
I, А
дел.
0
(Пример построения графика на основе экспериментальных данных см. рис. 4).
Сделайте вывод о виде графика. График представляет собой прямую линию (линейный).
6. Установите с помощью реостата некоторое целое число делений на шкале прибора с шунтом. На
графике на оси ординат найдите значение тока, соответствующее этому числу делений. Это и будет ток,
протекающий в цепи, сравните его значение с показаниями эталонного амперметра.
Значение силы тока, найденное по графику, соответствует показаниям эталонного амперметра
(или совпадает с учетом погрешности прибора).
Задание 3. Изготовить шкалу прибора.
1. Вырежьте из листа белой бумаги заготовку, по форме соответствующую шкале шунтируемого прибора.
2. Нарисуйте на ней отметки, соответствующие нулевому делению и максимальному току (1 А), подпишите их. Разделите промежуток между отметками на равное количество делений (10), подпишите
соответствующие деления. Обоснуйте возможность такого разбиения шкалы на деления.
Такое разбиение возможно, так как шкала равномерная. Это следует из вида графика (прямая линия, проходящая через начало координат).
(Пример шкалы приведен на рис. 5).
3. Прикрепите с помощью скотча шкалу к прибору. Измерьте силу тока в реостате при каком-либо
положении его ползунка:
I = ________________________ А.
4. Сравните измеренное значение с тем, что показывает эталонный амперметр.
Значение силы тока, измеренное прибором с шунтом, соответствует показаниям эталонного амперметра (или совпадает, с учетом погрешности прибора).
(Пример – на рис. 6, сила тока по показаниям обоих приборов равна 0,7 А).
5. Сделайте общий вывод о возможности измерения силы тока новым прибором
С помощью прибора с шунтом можно измерять силу тока в более широких пределах.
SILA_UMA_2022
58
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
Урок 17. Волшебные зеркала
Тема: Оптические явления
Форма урока: Урок-лабораторная работа (физический практикум)
Цель урока: экспериментальное подтверждение закона отражения света,
конструирование перископа
Методический комментарий
В повседневной жизни плоские зеркала нашли широкое применение. Они используются в быту, в
шкалах измерительных приборов, в детских игрушках, в качестве отражателей света в катафотах и т.д.
Рассмотрев информацию о законе отражения света, учащиеся выполняют несколько простейших исследований и конструируют оптический прибор – перископ.
Данный урок входит в физический практикум, учащиеся выполняют задания в минигруппах по 2
человека. В рамках физического практикума работают одновременно несколько групп учащихся над
разными темами, для предоставления учителю возможности отслеживать все процессы учащимся предложены более полные теоретические материалы и пошаговые инструкции по выполнению заданий. Все
теоретические обоснования, представленные ниже, дублируются для учеников, в связи с этим учитель
(по своему выбору) имеет возможность либо провести с учащимися, выполняющими задания, беседу,
и для этого все этапы действий рассмотрены в ходе урока, либо предложить учащимся ознакомиться с
материалом самостоятельно.
Заранее попросите учащихся принести на урок маленькую детскую игрушку, например, из киндер-сюрприза, которая будет использована на уроке в качестве предмета для нахождения изображения
в зеркале.
В рабочую карту ученика включено пять заданий. В случае фактической невозможности выполнения
всех экспериментальных заданий на одном уроке, часть из них можно использовать в рамках домашнего
задания (например, изготовление перископа) или в качестве основы для организации проектной деятельности учащихся.
В рабочей карте ученика приведены возможные варианты ответов, которые не следует рассматривать
как единственный образец формулировки ответа. Если ученик сформулирует ответ в другой форме, отличной от приведенной, учитель сам должен оценить полноту и правильность данного ответа, основываясь на предоставленных методических рекомендациях, с учетом используемых материалов, конкретных условий и особенностей проведения эксперимента.
Ход урока:
Приборы и принадлежности: два небольших прямоугольных зеркала, два длинных карандаша, лист
бумаги, линейка, или прямоугольный треугольник, транспортир, опора под зеркало (книги, коробка, …),
предмет (маленькая детская игрушка, ластик, …), орнамент (оберточная бумага), картон, ножницы, клей
ПВА, двусторонний скотч.
1. Актуализация знаний
Прямолинейное распространение света, зеркальное отражение, диффузное отражение, ход лучей в
зеркале, система зеркал.
2. Мотивационный этап.
Проблемный вопрос.
В повседневной жизни плоские зеркала нашли широкое применение. Учитель задает вопрос: «Где
используются плоские зеркала?» Каждое утро вы смотритесь в зеркало и видите свое изображение и
предметы, которые находятся рядом с вами.
Вопрос: а нельзя ли на основе системы зеркал изготовить прибор, позволяющий наблюдать изображение объекта, не находящегося в прямой видимости?
Такой оптический прибор – перископ – был сконструирован ещё в XV веке, он позволял наблюдателю
видеть происходящие вокруг действия поверх голов людей, так как это видел бы человек без перископа.
С помощью этого прибора можно наблюдать объекты из укрытия.
SILA_UMA_2022
59
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
3. Организация деятельности учащихся
Учитель рассказывает о прямолинейном распространении света в однородной среде. О том,
что свет, падая на поверхность какого-нибудь
предмета, частично отражается от его поверхности, частично поглощается предметом (это ведет
к его нагреву) или проходит сквозь предмет, если
он прозрачный. Например, от посеребренного
зеркала может отражаться более 95% падающего
света. Далее вводятся понятия угла падения, угла
отражения, зеркального и диффузного отражения. Плоским зеркалом называют плоскую поверхность, зеркально отражающую свет.
Рис. 1
Учащиеся выполняют задание 1, в котором
экспериментально проверяют закон отражения света. Роль световых лучей играют карандаши (рис.1).
Приборы и принадлежности: небольшое прямоугольное зеркало, два длинных карандаша, лист бумаги, линейка, транспортир, опора под зеркало (книги, коробка, …).
В ходе обсуждения результатов опыта приходим к следующему выводу: лучи падающий, отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точке падения луча к отражающей поверхности, лежат в одной плоскости. Угол отражения равен углу падения β = α.
После выполнения первого задания учитель объясняет, как построить изображения светящейся точки
и предмета в виде стрелки ↑ в зеркале.
Далее учащиеся выполняют задание 2, в котором им предлагается найти положение зеркала по двум
изображенным лучам, падающему и отраженному, двумя способами. Для решения данной задачи учитель предлагает вспомнить только что выполненное первое задание и закон отражения света. Надо расположить зеркало перпендикулярно листу бумаги так, чтобы точка, в которой наблюдается изменение
хода светового луча касалась зеркала. Далее нужно подобрать такое положение зеркала, чтобы отражения лучей в зеркале составляли прямые линии с лучами перед зеркалом.
Учитель напоминает учащимся, что все построения на бумаге (ход световых лучей) при нахождении
изображения в зеркале надо делать точно, аккуратно по линейке,
при необходимости, с использованием транспортира.
Чтобы решить задачу геометрически с помощью транспортира и
линейки вспомните, что угол между падающим и отраженным лучами равен 2α, где α – угол падения (рис. 2). Поэтому надо разделить угол между лучами пополам – построенная прямая будет представлять собой перпендикуляр к зеркалу. Далее рисуем зеркало, его
плоскость будет располагаться перпендикулярно по отношению к
нормали. Учащиеся сравнивают два способа нахождения положеРис. 2
ния зеркала.
Далее можно говорить о том, сколько изображений будет давать система из двух плоских зеркал,
расположенных под углом друг к другу вплотную. Если между плоскими зеркалами, поставленными
под углом, поместить источник света, то выходящие из него световые лучи будут попадать на зеркала, при этом может происходить многократное отражение лучей и образование мнимых изображений.
Мнимое изображение, даваемое одним зеркалом, можно считать
предметом для второго. Количество изображений в системе плоских зеркал, поставленных вплотную друг к другу под углом α,
можно подсчитать по формуле:
. Например, если
зеркала стоят под углом 90˚, то будут наблюдаться три изображения источника света. На рис. 3 приведено построение мнимых
изображений источника света в этом случае.
Если зеркала развернуты и фактически представляют одно
зеркало (α =180˚), то получится одно изображение. Если зеркала
расположены параллельно навстречу друг другу (α = 0˚), то число изображений будет бесконечным.
Рис. 3
SILA_UMA_2022
60
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
Учащиеся выполняют задание 3.
В качестве предмета используется маленькая детская игрушка.
Приборы и принадлежности: два зеркала, транспортир, маленький предмет (детская игрушка из киндер-сюрприза, ластик,
…)
В ходе эксперимента учащиеся задают угол между зеркалами
(90°, 60°, 45°, 0°), подсчитывают количество изображений предмета в системе зеркал и сравнивают с величиной, полученной по
формуле
Рис. 4
.
На рис. 4 показаны полученные изображения детской игрушки в системе плоских зеркал.
Плоские зеркала используются при изготовлении детской игрушки – калейдоскопа. Понять, как получаются необыкновенные картинки, возникающие при повороте трубы калейдоскопа, можно с помощью системы двух зеркал.
Ученики приступают к выполнению задания 4.
Приборы и принадлежности: два зеркала, лист с орнаментом.
Два зеркала располагают на листе с орнаментом перпендикулярно, совместив их края. Меняя угол
между зеркалами можно увидеть причудливые узоры (орнаменты). На рис. 5, а зафиксирован момент,
когда в системе зеркал получен пятиугольник при установлении её на орнамент (оберточная бумага),
изображенный на рис. 5, б. Можно попросить учащихся снять небольшое видео этого эксперимента.
а
Рис. 5
б
Теперь можно приступить к изготовлению чертежа перископа.
Приборы и принадлежности: два зеркала прямоугольной формы, картон от канцелярской папки, клей ПВА, тетрадный лист в клетку, двойной
скотч, линейка, карандаш, ножницы.
Свет падает на верхнее зеркало перископа, расположенное под углом
45˚ к горизонту, отражается от зеркальной поверхности под тем же углом
и попадает на нижнее зеркало, расположенное параллельно верхнему, отражается от него и выходит наружу (рис. 6). Изображение объекта будет
мнимым, система зеркал компенсирует зеркальный переворот объекта.
Сначала изготовим чертеж перископа. Его надо выполнить аккуратно и точно, от этого будет зависеть
конечный результат. Для построения
чертежа надо выполнить три измерения. На тетрадном листе в клетку
проведите в любом месте прямую
Рис.6
линию под углом 45˚. Поставьте
зеркало на эту прямую длинным ребром, отметьте с двух сторон
положение зеркала, обведите нижний контур зеркала острым карандашом (рис. 7). Убрав зеркало, проведите через противоположные углы прямоугольника параллельные линии. Расстояние между
Рис.7
этими линиями будет равно ширине трубы перископа а1 (зеркало
SILA_UMA_2022
61
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
должно в трубе располагаться под углом). Второе измерение – это длина отрезка прямой линии, вдоль
которой располагается зеркало (размер длинной стороны зеркала) – а2. Третье измерение – длина короткой стороны зеркала (толщина трубы) – а3.
Возьмите лист картона (можно от канцелярской папки), от левого верхнего края отложите последовательно четыре расстояния: толщину трубы а3, ширину трубы а1 и ещё раз толщину трубы а3, ширину
трубы а1 (рис. 8). Такие же отрезки отложите на противоположной стороне картона от левого нижнего
угла. Проведите линии, соединив соответствующие отметки. Получили четыре полосы 1, 2, 3, 4. После
четвертой полосы добавьте ещё одну, пятую, полосу шириной 10 мм для склеивания деталей трубы.
Далее построим «окошки», в которые помещаются зеркала. От верхнего края листа картона отложите расстояние а2 (размер длинной стороны зеркала) вдоль всех параллельных линий (рис. 8). Проведите прямую линию, параллельную верхней части листа через эти отметки. От этой линии во второй и
четвертой полосах вверх отложите расстояние а3, толщину трубы. Проведите диагонали в полученных
квадратах, как показано на рис. 8. Проведите линию, параллельную диагонали квадрата, отстоящую от
неё вверх на расстоянии 5 мм. Это будет клапан для склеивания деталей. Повторите все эти действия для
нижней части листа. Чертеж перископа готов.
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
На рис. 8 штриховкой показаны области чертежа, которые будут вырезаться. Отметьте их на вашем
чертеже, затем аккуратно вырежьте (рис. 9). Далее по линиям сгиба (пунктирным линиям) по линейке
аккуратно проведите твердым предметом (углом линейки, канцелярским ножом), чтобы картон лучше сгибался по этим линиям. Согните по пунктирным линиям. Получили заготовку трубы (рис. 10).
Склейте трубу по длинной стороне и «окошки» для зеркал клеем ПВА. На обратную сторону зеркала
наклейте полоски двойного скотча, снимите аккуратно защитную пленку и поместите зеркала в «окошки» (рис. 11).
Теперь можно приступить к экспериментам с перископом. Опыты с изготовленной моделью перископа изображены на рис. 12-14.
В современных перископах используется система призм и линз, а не зеркал.
Рис. 12
SILA_UMA_2022
Рис. 13
62
Рис. 14
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
Рабочая карта ученика
Задание 1. Проверьте экспериментально закон отражения света.
Проведите на листе бумаги прямую линию. Перпендикулярно проведенной линии поставьте зеркало.
Проверьте, чтобы проведенная линия и её отражение в зеркале лежали на одной линии. Положите карандаши на лист по разные стороны от начерченной линии концами друг к другу и к той точке, где линия
упирается в зеркало. Отражения карандашей в зеркале должны составлять прямую линию с карандашами перед зеркалом. Измерьте углы падения и отражения.
Запишите значения углов:
угол падения _________,
угол отражения _______________.
Сделайте вывод: угол отражения равен углу падения лучей.
Поверните один из карандашей, при этом прямолинейность линий нарушается. Восстановите прямолинейность линий, повернув другой карандаш. Измерьте углы падения и отражения.
Запишите значения углов:
угол падения _________,
угол отражения _______________.
Сделайте вывод: при новом расположении карандашей снова угол отражения лучей равен углу падения.
Сделайте общий вывод про углы падения и отражения. При любом угле падения лучей на зеркало угол
отражения равен углу падения.
Задание 2. На рисунке показаны падающий на зеркало луч и отраженный от него луч. Найдите положение зеркала двумя способами: экспериментально и геометрически с помощью транспортира и линейки.
Сделайте вывод: положения зеркала, определенные экспериментальным и геометрическим способами, совпадают.
(Учащиеся на одном рисунке применяют два способа нахождения положения зеркала. Сравнивают
эти два способа и делают вывод о том, какой способ нахождения положения зеркала для них оказался
проще).
Задание 3. Найдите количество изображений в системе плоских зеркал, поставленных под углом
друг к другу вплотную.
Расположите два зеркала вплотную перпендикулярно друг к другу. Поставьте перед зеркалами предмет. Посчитайте количество изображений предмета в зеркалах. Запишите количество изображений 3.
Расположите зеркала под углом 60˚. Посчитайте количество изображений предмета в зеркалах 5.
Расположите зеркала под углом 45˚. Посчитайте количество изображений предмета в зеркалах 7.
Подсчитайте количество изображений предмета по формуле
в каждом случае, где α –
угол между зеркалами:
90˚ ответ: 3
60˚ ответ: 5
45˚ ответ: 7
Сделайте вывод: количество изображений в системе плоских зеркал совпадает с рассчитанным по
формуле.
SILA_UMA_2022
63
физика / математикa
Урок 17. Волшебные зеркала
Задание 4. Наблюдение картинки с орнаментом в системе зеркал.
Расположите два зеркала, совместив их края на листе
с орнаментом. Меняйте угол между зеркалами и наблюдайте изменение картинки в зеркалах.
Снимите небольшое видео этого эксперимента.
Задание 5. Изготовление перископа.
Для изготовления модели перископа сначала необходимо построить чертеж, выполнив следующие
шаги:
1. Проведите на тетрадном листе в клеточку прямую линию под углом 45˚.
2. Поставьте зеркало на эту прямую длинным ребром, отметьте с двух сторон положение зеркала на
прямой линии, обведите нижний контур зеркала острым карандашом.
(пример построения приведен на рис. 7)
3. Убрав зеркало, проведите через противоположные углы прямоугольника параллельные линии.
Расстояние между этими линиями будет равно ширине трубы перископа а1. Измерьте это расстояние и
запишите _________мм.
4. Найдите размер длинной стороны зеркала, это будет значение а2. Запишите значение этой величины __________ мм.
5. Измерьте длину короткой стороны зеркала а3, толщины трубы. Запишите значение этой величины
__________мм.
6. Возьмите лист картона, от левого верхнего края отложите последовательно четыре расстояния:
толщину трубы а3, ширину трубы а1 и ещё раз толщину трубы а3, ширину трубы а1. Такие же отрезки
отложите на противоположной стороне картона от левого нижнего угла. Проведите линии, соединив
соответствующие отметки. Получили четыре полосы 1, 2, 3, 4.
7. Добавьте ещё одну, пятую, полосу шириной 10 мм для склеивания деталей трубы.
(пример построения приведен на рис. 8)
8. От верхнего края листа картона отложите расстояние а2 (размер длинной стороны зеркала) вдоль
всех параллельных линий. Проведите прямую линию, параллельную верхней части листа, через эти
отметки. От этой линии во второй и четвертой полосах вверх отложите расстояние а3 (толщину трубы). Проведите в полученных квадратах диагонали, места расположения зеркал, как показано на рис. 8
выше. Учтите, что диагонали в верхних квадратах не параллельны друг другу.
9. Проведите линию, параллельную диагонали в полученном квадрате, отстоящую от неё на расстоянии 5 мм вверх. Это будет клапан для склеивания деталей. Постройте клапан у второго квадрата.
10. Повторите действия, описанные в пунктах 8-9, для нижней части листа. Чертеж готов.
Аккуратно вырежьте заготовку для перископа, предварительно посмотрев на рис. 9 выше. Согните заготовку по линиям сгиба (пример заготовки приведен на рис. 10). Склейте клеем ПВА трубу по длинной стороне. Оформите «окошки» для зеркал, склеив соответствующие детали. На обратную сторону зеркала наклейте две полоски двойного скотча, снимите аккуратно защитную пленку и поместите зеркала в «окошки».
Можно приступать к экспериментам с перископом (примеры экспериментов можно увидеть на рис.
12-14).
SILA_UMA_2022
64
физика / математикa
Урок 18. Прекрасное далеко
Урок 18. Прекрасное далеко
Тема: «Оптические явления. Оптические приборы»
Форма урока: урок-лабораторная работа (физический практикум)
Цель урока: конструирование оптического прибора – зрительной трубы
Методический комментарий
В жизни мы нередко пользуемся оптическими приборами, позволяющими совершенствовать данные
природой возможности человеческого зрения, в науке используются сложные приборы для проникновения в микромир и наблюдения далеких галактик. Несмотря на сложность современных приборов, можно
воспроизвести принцип действия некоторых из них в условиях школьной лаборатории. Данный урок
посвящен конструированию простейшего телескопа – зрительных труб Кеплера и Галилея. Урок входит
в физический практикум, задания выполняются в минигруппах (2 ученика).
Поскольку в рамках физического практикума работают одновременно несколько групп учащихся над
разными темами, для предоставления учителю возможности отслеживать все процессы мы предложим
учащимся более полные теоретические материалы и пошаговые инструкции по выполнению заданий.
Все теоретические обоснования, представленные ниже, дублируются для учеников, в связи с этим учитель (по своему выбору) имеет возможность либо провести с учащимися, выполняющими задания, беседу, и для этого все этапы действий рассмотрены в ходе урока, либо предложить учащимся ознакомиться
с материалом самостоятельно.
Учащиеся будут работать с наборами линз, поэтому, если они не промаркированы производителем,
учителю необходимо заранее указать на них фокусные расстояния.
На уроке учащиеся выполняют сложную в понимании и исполнении работу, требующую достаточно
много времени. В случае фактической невозможности выполнения всех экспериментальных заданий в
течение одного урока, материал можно разделить на два урока, также часть из них можно использовать
в качестве основы для организации проектной деятельности учащихся.
Задания 2 и 3 предполагают наличие в лаборатории комплектов собирающих и рассеивающих линз с
разными фокусными расстояниями. Если в наличии есть только две собирающих и одна рассеивающая
линзы (стандартный комплект), то в задании 2 пункты 4-7 и в задании 3 пункты 4-6 (см. Рабочую карту
ученика) не могут быть выполнены. Увеличение прибора 𝛤 (п. 8 в задании 2 и п. 7 в задании 3) в данной
ситуации рассчитывается один раз.
В рабочей карте ученика приведены возможные варианты ответов, которые не следует рассматривать
как единственный образец формулировки ответа. Если ученик сформулирует ответ в другой форме, отличной от приведенной, учитель сам должен оценить полноту и правильность данного ответа, основываясь на предоставленных методических рекомендациях, с учетом используемых материалов, конкретных условий и особенностей проведения эксперимента. Числовые ответы в заданиях 2, 3 приведены для
линз, фокусные расстояния которых указаны в перечне приборов.
Ход урока:
Приборы и принадлежности: собирающие линзы с фокусными расстояниями 5 см, 10 см, 20 см, 50 см,
рассеивающая линза с фокусным расстоянием 10 см, линейка или оптическая скамья.
1. Актуализация знаний
Линзы, виды линз, фокус линзы и фокусное расстояние, оптическая сила линзы, оптическая сила
системы вплотную сложенных линз, увеличение оптического прибора.
2. Мотивационный этап.
Проблемный вопрос.
В жизни мы нередко сталкиваемся с ситуациями, когда возможностей зрения человека недостаточно,
и мы используем различные приборы, вооружающие глаз. Например, очки, если имеются недостатки
зрения, лупу или микроскоп для рассматривания мелких предметов или деталей предмета. Но как быть,
если мы хотим рассмотреть большой объект, например, Луну, но находящийся очень далеко? Одной
линзы для этого недостаточно, так как она может дать увеличенное изображение предмета, но для этого
располагать его нужно близко к линзе. Для рассматривания больших, но расположенных далеко предметов, используют устройства, состоящие из нескольких (двух и более) линз – так называемые зрительные
трубы.
SILA_UMA_2022
65
физика / математикa
Урок 18. Прекрасное далеко
Вопрос: возможно ли сконструировать такой прибор, например, зрительную трубу, в условиях школьной лаборатории? Если это возможно, то как это сделать?
3. Организация деятельности учащихся
В устройстве приборов, вооружающих глаз, используются линзы, поэтому сначала целесообразно
рассмотреть действие собирающей и рассеивающей линз.
В качестве вводного задания (задание 1) учащиеся получают две линзы – собирающую и рассеивающую одинакового диаметра, но с разной (по модулю) оптической силой (например, +5 дптр (другой
вариант +20 дптр) и -10 дптр). Им предлагается определить, какая линза имеет большую оптическую
силу. Можно задать аналогичный вопрос о фокусном расстоянии. Чтобы учащиеся смогли выполнить
это задание, необходимо им напомнить, что у собирающей линзы оптическая сила положительная, и такая линза может дать действительное изображение (получаемое на экране). Рассеивающая линза всегда
дает мнимое изображение (воспринимаемое глазом), и ее оптическая сила отрицательна. Оптическая
сила системы линз, сложенных вплотную, равна алгебраической сумме оптических сил составляющих
систему линз, в нашем случае 𝐷сист.=𝐷собир.+𝐷рассеив. . В ходе обсуждения нужно найти принцип решения – если система линз работает как собирающая, то есть может дать действительное изображение,
то ее оптическая сила положительна, следовательно, слагаемое 𝐷собир. (положительное) больше. Если
действительное изображение получить не удастся, значит больше 𝐷рассеив. .
Учащиеся складывают линзы вплотную и пытаются получить на экране (стене, листе бумаги, любой светлой поверхности, даже ладони) действительное изображение какого-либо объекта, например,
лампы на потолке или освещенного окна. Если это получится, 𝐷собир.+𝐷рассеив.>0, то есть оптическая
сила системы положительная, следовательно, оптическая сила собирающей линзы больше чем у рассеивающей, а фокусное расстояние, соответственно, меньше. Можно выполнить эксперимент иначе – посмотреть сквозь систему вплотную сложенных линз на любой предмет, например, текст задания, и если
глаз при любом расположении системы линз относительно наблюдаемого объекта увидит уменьшенное
изображение, то система работает как рассеивающая, и 𝐷рассеив. больше.
Для выполнения основных заданий учащимся необходима информация о зрительных трубах. Зрительная труба предназначена для рассматривания удаленных объектов и обычно состоит из длиннофокусного объектива и окуляра. Если объект находится очень далеко (бесконечно удален, труба настроена
на бесконечность), то задний фокус объектива совпадает с передним фокусом окуляра. Это телескопическая система (рис. 1, а). Характеристикой зрительной трубы является даваемое ею увеличение, которое
равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра
.
Труба Кеплера (рис. 1, а, объектив и окуляр – собирающие линзы) дает перевернутое изображение.
В земных условиях часто пользуются трубой Галилея (рис. 1, б), которая позволяет получить прямое
изображение. В качестве окуляра в ней используется рассеивающая линза.
окуляр
объектив
Труба Кеплера
Рис. 1, а
объектив
окуляр
Труба Галилея
Рис. 1, б
SILA_UMA_2022
66
физика / математикa
Урок 18. Прекрасное далеко
Задание 2. Собрать модель зрительной трубы Кеплера. Определить ее увеличение.
Приборы и принадлежности: собирающие линзы с разным фокусным расстоянием +5 см и +10 см,
+5 см и +20 см, +5 см и +50 см, линейка либо, при возможности, оптическая скамья с длиной не менее
60 см (для третьей пары линз). Предмет – какой-либо объект, наблюдаемый в окно (удаленная башня,
труба, высокое здание и т.п.).
Учащиеся устанавливают линзы на столе так, чтобы ближняя к глазу (окуляр) была с меньшим фокусным расстоянием (5 см), а линза с большим фокусным расстоянием (10 см) была обращена к удаленному
объекту (объектив). Передвигая линзы, добиваются четкого изображения удаленного предмета (рис. 2).
объектив
окуляр
Рис. 2
Учащиеся убеждаются, что изображение перевернутое и увеличенное и по формуле для телескопической системы, используя паспортные данные линз, находят увеличение прибора. Далее берется следующая пара линз с фокусным расстоянием 5 см и 20 см, затем 5 см и 50 см. Учащиеся вновь получают
перевернутое изображение, убеждаются, что в каждом последующем случае изображение становится
больше, то есть труба дает большее увеличение, и рассчитывают в каждом случае его величину.
Задание 3. Собрать модель зрительной трубы Галилея. Определить ее увеличение.
Приборы и принадлежности: собирающие линзы с фокусным расстоянием +20 см и +50 см, рассеивающая линза с фокусным расстоянием -10 см, линейка (либо, при возможности, оптическая скамья)
с длиной не менее 60 см. Предмет – какой-либо объект, наблюдаемый в окно (удаленная башня, труба,
высокое здание и т.п.).
Учащиеся устанавливают линзы на столе так, чтобы ближняя к глазу (окуляр) была рассеивающей, а
собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см была обращена к удаленному объекту (объектив).
Передвигая линзы, добиваются четкого изображения удаленного предмета (рис. 3).
объектив
окуляр
Рис. 3
Учащиеся убеждаются, что изображение прямое и увеличенное и по формуле для телескопической
системы, используя паспортные данные линз, находят увеличение прибора. Далее берется следующая
пара линз с фокусными расстояниями 50 см и -10 см, Учащиеся вновь получают прямое изображение,
убеждаются, что в этом случае труба дает большее увеличение, и вновь рассчитывают его величину.
Таким образом, учащиеся не просто положительно отвечают на вопрос о возможности конструирования в лабораторных условиях зрительной трубы, но и, используя набор линз с разными фокусными
расстояниями, моделируют зрительные трубы двух типов с разным увеличением.
SILA_UMA_2022
67
физика / математикa
Урок 18. Прекрасное далеко
Рабочая карта ученика
Задание 1. Определите, какая из двух линз (собирающая или рассеивающая) имеет большую оптическую силу.
Сложите линзы вплотную и попытайтесь получить на экране (стене, поверхности стола) изображение какого-либо объекта, например, лампы на потолке или окна (действительное).
Сделайте вывод:
Вариант 1 ответа: оптическая сила собирающей линзы больше оптической силы рассеивающей линзы.
(больше, меньше)
Объясните ваш ответ. На экране (стене) удалось получить изображение предмета (окна), оно действительное. Следовательно, оптическая сила системы вплотную сложенных линз положительная, и
оптическая сила собирающей линзы больше.
Вариант 2 ответа: оптическая сила собирающей линзы меньше оптической силы рассеивающей линзы.
(больше, меньше)
Объясните ваш ответ. На экране не удалось получить изображение предмета (окна), действительного
изображения нет. Следовательно, оптическая сила системы вплотную сложенных линз отрицательная,
и оптическая сила собирающей линзы меньше, чем рассеивающей.
Вариант 3 ответа: оптическая сила собирающей линзы меньше оптической силы рассеивающей линзы.
(больше, меньше)
Объясните ваш ответ. Если посмотреть сквозь систему вплотную сложенных линз, то при любом
расположении предмета мы видим прямое уменьшенное изображение. Следовательно, система вплотную сложенных линз работает как рассеивающая линза, ее оптическая сила отрицательная, следовательно, оптическая сила собирающей линзы меньше, чем рассеивающей.
Задание 2. Моделирование зрительной трубы Кеплера.
1. Расположите собирающие линзы с фокусными расстояниями 5 см (ближняя к глазу, окуляр) и 10 см
(направленная на наблюдаемый объект, объектив) на поверхности стола. В качестве объекта наблюдения
выберите удаленный предмет за окном (дерево, труба, вышка и др.). Передвигая линзы, добейтесь четкого изображения удаленного предмета.
2. Изобразите схематично расположение линз, указав положение объектива и окуляра.
или пример на рис. 1, а
3. Сделайте вывод о характере наблюдаемого изображения. Перевернутое, увеличенное.
4. Замените собирающую линзу с фокусным расстоянием 10 см на собирающую линзу с фокусным
расстоянием 20 см и вновь получите четкое изображение того же предмета.
5. Сделайте вывод о характере наблюдаемого изображения и сравните его с полученным ранее.
Изображение перевернутое, увеличенное. Размер изображения больше, чем в первом случае, то есть
зрительная труба дает большее увеличение.
6. Повторите опыт для собирающих линз с фокусными расстояниями 5 см и 50 см.
7. Сделайте общий вывод о том, как меняется изображение предмета, получаемое при помощи зрительной трубы Кеплера, при увеличении фокусного расстояния объектива: при увеличении фокусного
расстояния объектива изображение остается перевернутым, его размер увеличивается. Увеличение
прибора становится больше.
8. Подтвердите свой вывод математически, рассчитав увеличение трубы по формуле для телескопической системы
, зная фокусные расстояния объектива и окуляра в каждом случае:
𝛤1= 2;
𝛤2= 4;
𝛤3= 10.
SILA_UMA_2022
68
физика / математикa
Урок 18. Прекрасное далеко
Задание 3. Моделирование зрительной трубы Галилея.
1. Расположите рассеивающую линзу с фокусным расстоянием 10 см (ближняя к глазу, окуляр) и
собирающую линзу с фокусным расстоянием 20 см (направленная на наблюдаемый объект, объектив)
на поверхности стола. В качестве объекта наблюдения выберите удаленный предмет за окном (дерево,
труба, вышка и др.). Передвигая линзы, добейтесь четкого изображения удаленного предмета.
2. Изобразите схематично расположение линз, указав положение объектива и окуляра.
или пример на рис. 1, б
3. Сделайте вывод о характере наблюдаемого изображения. Изображение прямое, увеличенное.
4. Замените собирающую линзу с фокусным расстоянием 20 см на собирающую линзу с фокусным
расстоянием 50 см и вновь получите четкое изображение того же предмета.
5. Сделайте вывод о характере наблюдаемого изображения и сравните его с полученным ранее.
Изображение прямое, увеличенное. Размер изображения больше, чем в первом случае, то есть зрительная труба дает большее увеличение.
6 Сделайте вывод о том, как меняется изображение предмета, получаемое при помощи зрительной
трубы Галилея, при увеличении фокусного расстояния объектива: При увеличении фокусного расстояния объектива изображение остается прямым, его размер увеличивается. Увеличение прибора становится больше.
7. Подтвердите свой вывод математически, рассчитав увеличение трубы по формуле для телескопической системы
, зная фокусные расстояния объектива и окуляра, в каждом случае:
𝛤1= 2;
𝛤2= 5.
SILA_UMA_2022
69
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Тема: Оптика. Дисперсия света
Форма урока: урок-исследование
Цель урока: экспериментальное открытие сложной цветовой структуры белого
света, исследования по смешиванию разных компонент белого цвета.
Видеолекцию по этой теме можно посмотреть, отсканировав QR-код
В качестве эпиграфа: «Великие открытия начинаются не со слова ЭВРИКА, а со слов «Ух ты, это
интересно!».
Методический комментарий
Источники научной и учебной литературы наполнены картинками и описанием великих эпохальных
опытов, которые легли в основу построения той или иной теории. Зачастую учитель не всегда считает
необходимым дублировать их в аудитории (из-за нехватки времени или отсутствия оборудования). Мы
считаем, что в рамках выполнения данной программы как раз уместно поговорить о некоторых из них
более подробно и положить их в основу экспериментальных или исследовательских задач. К категории
«великих», следует отнести хорошо описанный в литературе опыт И.Ньютона по разложению солнечного света в сплошной спектр. Рассмотрев информацию о сложной структуре белого света, мы постараемся сформулировать несколько простейших задач-исследований для обучающихся, которые будут
решены ими в процессе занятия самостоятельно или с минимальной помощью учителя.
Ход урока
Приборы и принадлежности: картон, цветная бумага, цветная фольга, фломастеры, карандаши, булавки, двойной скотч, вентилятор (например, от системного блока компьютера), ключ, батарейки.
1. Актуализация знаний
Дисперсия света, сплошной спектр, смешивание цветов, дополнительные цвета, RGB конфигурация
цветов в ЖК дисплеях гаджетов.
2. Мотивационный этап
Проблемный вопрос
Задание 1: сделайте с помощью смартфона фотографию в режиме макросъемки белого дисплея другого смартфона или монитора ПК. При необходимости увеличьте фото и посмотрите на него. Другой
вариант опыта – непосредственное наблюдение экрана смартфона с помощью обычного школьного микроскопа с относительно небольшим увеличением (при наличии в кабинете физики). Наблюдаемую картинку зарисуйте.
Вопрос: Почему многоцветный источник дает в результате белое изображение?
3. Организация деятельности учащихся
Учащиеся фотографируют ЖК дисплей или наблюдают его изображение в микроскоп и зарисовывают его. На картинке отчетливо видны точки (пиксели) основных цветов (рис. 1)
а
б
в
Рис. 1 (а) – фотография дисплея монитора; (б), (в) – изображение дисплея смартфона, полученное при помощи
микроскопа с увеличением 40 и 100 крат соответственно.
SILA_UMA_2022
70
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Учитель задает вопрос, что дети видят, учащиеся стараются описать наблюдения в своих конспектах
(задание 1). Далее ставится проблемный вопрос: почему многоцветный источник дает в результате белое изображение?
Для ответа на этот вопрос учитель предлагает посмотреть и обсудить опыт, который проделал Исаак
Ньютон, и получает на экране сплошной спектр, разложив белый свет на компоненты (рис. 2, 3).
Приборы и принадлежности: источник света, призма, экран.
Можно усложнить оптическую схему, чтобы получить более совершенный спектр. Для этого добавляем оптическую щель и линзу (объектив) для получения четкого цветного изображения щели на экране.
Рис. 2
Рис. 3
В случае отсутствия подходящего оборудования возможна демонстрация видеофрагмента соответствующего эксперимента.
Учащиеся вслед за учителем изображают схему опыта (рис. 4) (задание 2):
Рис. 4
В ходе обсуждения результатов опыта приходим к следующим выводам:
1. Свет преломляется призмой, т.е. отклоняется от прямолинейного распространения (вводим понятие рефракции).
2. Белый цвет – это набор «семи» цветов, при этом каждая компонента отклоняется на разный угол.
Вводим понятие дисперсии, при этом можно не говорить о длине волны или частоте, а говорить о цвете
компоненты, понятие показателя преломления можно вводить по желанию учителя и исходя из степени
готовности учеников; для запоминания последовательности цветов можно использовать известное мнемоническое правило: «Каждый-Охотник-Желает-Знать-Где-Сидит-Фазан».
Обязательно обращаем внимание на природное явление, которое обусловлено рефракцией и дисперсией солнечного света – радугу. Успехом можно считать, если ученики сами скажут о том, что роль
призмы в этом явлении выполняют капельки воды, взвешенные в атмосфере.
Теперь можно говорить о том, почему вообще окружающие нас объекты имеют разные цвета. Считаем важным, чтобы учащиеся пришли к идее о том, что среди видимых человеческому глазу объектов
есть излучающие свет, а есть такие, которые его отражают, и умели приводить примеры (задание 3).
Продолжая разговор про отражение белого света, становится ясно, что отражаться могут только отдельные компоненты.
SILA_UMA_2022
71
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Например, трава отражает только зеленую часть спектра, значит, мы и воспринимаем ее как зеленую
(задание 4). А куда «пропадают» остальные компоненты? Поглощаются, за счет чего у тел увеличивается внутренняя энергия (они нагреваются). Обязательно говорим о двух предельных случаях – о телах
белого и черного цвета. И попутно рассматриваем простые качественные задачи о цвете одежды и автомобилей в жарких странах.
Теперь, если сложная структура белого цвета понятна, можно поставить следующий вопрос: а можно
ли получить белый цвет, если смешать другие цвета? И как это сделать?
В практической части занятия ученикам предлагается сделать несколько «Ньютоновых волчков» и
исследовать получение цветов за счет смешивания основных цветов (задание 5).
Приборы и принадлежности: картон, цветная бумага, цветная фольга, фломастеры, карандаши, булавки, двойной скотч, вентилятор (например, системного блока компьютера), ключ, батарейки.
Простейший способ раскрутить волчок – использовать булавку (обычную, портновскую), проделав
ею же отверстие в центре волчка (рис. 5), и раскрутить, придерживая булавку другой рукой.
Рис. 5
Рис.6
Можно усложнить установку и улучшить эксперимент.
Для стабильного вращения волчков предлагаем использовать следующую установку (рис. 6).
В качестве привода используем вентилятор блока питания ПК или вентилятор кулера ПК. Для питания достаточно
6-12 В. Данный источник можно собрать из батареек типа
АА, упаковав их в соответствующий батарейный отсек.
Электрическая схема установки представлена на рис. 7.
Примечание: Можно использовать 2-х или 3-х пиновые
двигатели вентиляторов с соблюдением полярности подключения. Черный провод – это «-», красный - «+».
эл.
двиг.
Рис. 7
В серии иллюстраций на рис. 8 – изображения волчков, используемых в исследованиях (слева – ста-
тика, справа – вращение).
Пусть волчок состоит из 8 секторов (к, о,
ж, з, г, с, ф, б). Белый сектор оставим для того,
чтобы в ситуации получения цвета, отличного от белого, ребята постарались подобрать
для него такую цветовую компоненту, чтобы
получить цвет как можно более близкий к белому. Такое мини-исследование уже может
привести учеников к понятию дополнительных цветов. Заметим, что, как правило, получение истинного белого цвета в этом опыте – большая удача, поскольку, что бы мы ни
Рис.8
SILA_UMA_2022
72
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
использовали в качестве красящего элемента (цветные карандаши, фломастеры, краски, цветную бумагу
или цветную фольгу), надо иметь ввиду, что насыщенность цветов в секторах и их цвет не будут соответствовать истинным компонентам спектра, наблюдаемым в природе.
Далее исследуем, возможно ли получение белого цвета меньшим числом цветов?
Другие волчки ребята могут сделать двухцветными, комбинируя разные цвета. Рекомендуем оставить
8 секторов и «поиграть» с парами цветов – красный-фиолетовый, зеленый-синий, синий-желтый. Только
в последнем случае получается белый (серый) цвет. Наблюдение волчка с парой «синий – желтый», дающей белый цвет, может привести к следующему вопросу: можно ли получить желтый, смешивая цвета,
взятые из спектра?
Пробуем волчок «красный-зеленый», который даст желтый цвет, следовательно, волчок «красный-зеленый-синий» должен дать белый (серый) цвет. Проверяем гипотезу, исследуя волчок «красный-зеленый-синий». Эти три цвета называют основными, а те, которые дополняют их до белого, дополнительными. Теперь ученикам предлагается заполнить первую часть таблицы (столбцы 1 и 2) (задание 6).
Таблица 1. Комбинации двух цветов (основного и дополнительного), дающих при сложении белый
цвет.
ЦВЕТ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ЦВЕТ
RGB код цвета
RGB код доп. цвета
КРАСНЫЙ
ЦИАН = зеленый+синий
255,0,0
0,255,255
ЗЕЛЕНЫЙ
ПУРПУРНЫЙ = синий+красный
0,255,0
255,0,255
СИНИЙ
ЖЕЛТЫЙ = красный+зеленый
0,0,255
255,255,0
БЕЛЫЙ
—
255,255,255
—
ЧЕРНЫЙ
БЕЛЫЙ
0,0,0
255,255,255
Вывод: для получения белого цвета достаточно смешать три: красный, зеленый, синий.
Данное открытие легло в основу кодирования цветов точек (пикселей) современных ЖК панелей. Такой метод получил название RGB (red, green, blue) конфигурации, он предполагает, что каждой точке дисплея ставится в соответствие тройка чисел, каждая из которых отвечает за интенсивность соответствующей компоненты. При этом каждое число находится в пределах от 0 до 255 (считаем, нет необходимости
говорить о шестнадцатиричном кодировании данных значений), т.е. способно принимать 256 различных
значений. Например, тройка (255.0.0) дает красный цвет и т.д. Теперь можно предложить ученикам подсчитать количество цветов и оттенков, получаемых таким образом: N=256*256*256=16 777 216 – данное
число называют палитрой данного подхода к кодированию цвета. Можно обсудить с учениками, достаточно ли этого для отображения всех цветов и оттенков, существующих в природе.
В рамках поиска ответа на этот вопрос можно вернуться к сплошному (непрерывному) спектру и напомнить, что непрерывность означает бесчисленное множество, а процессы оцифровывания дают хоть
и большие значения, но они дискретны и конечны. Теперь ученики заполняют вторую часть таблицы
(столбцы 3 и 4).
Возвращаемся к обсуждению первого опыта. Вы наблюдали разноцветные пиксели на экране смартфона. Теперь, имея необходимую информацию, вы сможете ответить на вопрос (задание 7), почему точки дисплея (пиксели) разного цвета, а мы видим экран белым?
SILA_UMA_2022
73
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Рабочая карта ученика
Задание 1. «Не верь глазам своим»
Сделайте фотографию в режиме макросъемки белого дисплея ПК или другого смартфона, увеличьте
полученное изображение, чтобы стали видны отдельные точки (пиксели). Либо рассмотрите и зарисуйте изображение дисплея, видимое под микроскопом.
Сделайте вывод: на экране отсутствуют белые пиксели, наблюдаются только синие, красные и зелёные (возможный вариант ответа).
Задание 2. Опыт Исаака Ньютона
Изобразите схему опыта, который вам показал учитель. Сделайте выводы:
1. Рефракция света – явление, которое заключается в изменении направления распространения светового луча при переходе из одной среды в другую (на границе раздела двух сред).
2. Дисперсия света – явление разложения света на отдельные цветовые компоненты (разложение
в спектр) вследствие разной преломляющей способности вещества (например, стекла призмы) для каждой из этих компонент.
3. Что же желал бы знать каждый охотник? Каждый охотник желает знать, где сидит фазан (красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый – последовательность «цветов радуги» при разложении естественного белого света в спектр).
4. В каком природном явлении мы наблюдаем рефракцию и дисперсию света?
Вариант ответа: в явлении образования радуги.
Задание 3
Разделите перечисленные ниже объекты на две группы. Что вы положили в основу распределения?
СОЛНЦЕ, ЛУНА, ТРАВА, СТУЛ, ЛАМПА НАКАЛИВАНИЯ, ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ПАРТА, ПОЛ,
ГОРЯЩАЯ СВЕЧА
1 группа
2 группа
Вариант ответа: солнце, лампа накаливания, звёзды, горящая свеча являются источниками света
(мы их видим, потому что они сами излучают свет); луна, трава, планеты, парта, пол не являются
источниками света (эти объекты можно увидеть, только если они отражают падающий на них свет).
Задание 4
Постарайтесь проиллюстрировать ответ на вопрос, как формируется цвет наблюдаемых человеком
объектов, создав рисунок-схему с указанием направления распространения лучей света. Для этого считаем, что у нас есть источник белого света (Солнце), отражающие поверхности (трава, апельсин, разрезанный арбуз, кусочек угля – на выбор или свой вариант) и приемник света (глаз). Белый свет представить в виде пучка из 7 цветов.
Источник
света
(Солнце)
Глаз
Отражающая поверхность
SILA_UMA_2022
74
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Задание 5. «Кручу, верчу, запутать хочу!»
5.1. Сделайте волчок 1.
Соберите установку по схеме, которую вам предложит учитель (рис.
5), запишите вывод о полученном цвете вращающегося волчка.
К + О + Ж + З + Г + С + Ф = белый.
Если вы не получили белый цвет, подумайте, что можно изменить
на волчке, чтобы достигнуть белого цвета.
О
Ж
К
З
Б
Г
Ф
5.2. Сделайте волчки 1-3 с разными комбинациями цветов:
С
Рис. 5
К + Ф, З + С, С + Ж.
Сделайте выводы:
К + Ф = пурпурный.
З + С = цвет морской волны (циан).
Обратите внимание:
С + Ж = белый.
5.3. Подумайте можно ли получить желтый цвет, смешивая два каких-либо цвета волчка 1, сделайте
опыт и запишите вывод:
Ж = красный + зелёный.
5.4. Сравнивая результаты опытов 5.2. и 5.3, что можно сказать о результате:
К + З + С = белый.
Проверьте сделанный вывод экспериментально, изготовив соответствующий волчок.
Задание 6
Заполните таблицу:
ЦВЕТ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ
ЦВЕТ
RGB код цвета
RGB код доп. цвета
красный
зеленый
синий
белый
черный
Примечание: пример возможного выполнения этого задания приведён в таблице 1 методических
рекомендаций к данному уроку.
SILA_UMA_2022
75
физика / математикa
Урок 19. Кручу, верчу, запутать хочу!
Задача: Считая, что интенсивность каждой компоненты в RGB конфигурации может принимать одно
из двухсот пятидесяти шести значений (1 из 256), подсчитайте, сколько всего цветов и оттенков можно
закодировать таким способом.
N= 16 777 216
Задание 7
Вернемся к первому опыту. Вы наблюдали разноцветные пиксели на экране смартфона.
Вопрос: Почему, как Вы думаете, точки дисплея (пиксели) разного цвета, а мы видим экран белым?
Ответ: белый цвет получается при сложении трёх цветов: зелёного, синего и красного.
Домашнее задание
Постарайтесь сделать дома опыт по разложению белого света в сплошной спектр, используя следующую установку:
SILA_UMA_2022
76
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Урок 20. «Поющие бокалы»
Тема: «Звуковые явления»
Форма урока: урок-исследование
Цель урока: показать связь музыки с физикой при изучении понятия «звук», изучить воспроизводимые с помощью бокала звуки, исследовать качество телефонной связи с помощью самодельного переговорного устройства.
Методический комментарий
Учебно-исследовательская деятельность связана с исследованием, в ходе которого организуется поиск решения проблемы в какой-то области, формулируются результаты работы. Логика построения исследовательской деятельности включает: формулировку проблемы исследования, выдвижение гипотезы
(для решения этой проблемы), и последующую экспериментальную или модельную проверку выдвинутых предположений. Исследовательская задача – представляет некоторое явление, закономерность
или факт, в описании которых содержится противоречие, что предполагает осуществление учащимся
самостоятельной учебно-исследовательской деятельности, приводящей к восстановлению связей, разрешению противоречий и собственно решению задачи. Другими словами, это задача, в которой представлено некоторое явление, и ученику необходимо объяснить его, выявить причины или спрогнозировать
результат. Перед учеником, как правило, стоят вопросы: «Почему?» и «Как происходит?».
В рабочей карте ученика приведены возможные (предполагаемые) варианты ответов, которые не следует рассматривать как единственный образец формулировки ответа. Если ученик сформулирует ответ
в другой форме, отличной от приведенной, то учитель должен сам оценить полноту и правильность
данного ответа, основываясь на представленных методических рекомендациях, с учетом используемого
оборудования и конкретных условий при проведении экспериментов.
Ход урока
Приборы и принадлежности: бокалы (разной формы), вода (питьевая и минеральная), мензурка, длинная капроновая нить (веревка или леска), пластиковые или бумажные стаканчики - 2 шт., скрепки.
1. Мотивационный этап. Актуализация знаний
В начале урока учитель предлагает учащимся послушать музыкальный фрагмент
(Токката и фуга ре минор И.С. Баха) по ссылке с qr-кода и ответьте и ответить на вопрос: На каком
музыкальном инструменте играют музыканты?
Затем надо включить видео, чтобы учащиеся смогли увидеть исполнение музыкального произведения на стеклянной арфе.
Стеклянная арфа – хроматический инструмент с диапазоном
звучания 2-3 октавы, состоящий из 24-36 бокалов, подобранных
или специально изготовленных. Бокалы могут настраиваться
стеклодувом, механической обработкой или путем добавления
воды. Можно встретить инструменты и в 60 бокалов, для игры в
четыре руки.
Легкость игры музыкантов поражает, простота инструмента
удивляет, необычное и красивое звучание бокалов производит
незабываемое впечатление! Учитель говорит о том, что сегодня
на уроке каждый сможет попробовать играть на бокалах, которые
стоят на столе. Но вначале надо понять физику музыки поющих
бокалов. Можно рассказать об истории создания этого музыкального инструмента. Рассказ о необычном инструменте необычного
человека – Бенджамина Франклина, политика, дипломата и физика – может быть особенно поучителен в наши дни.
Стеклянная арфа была известна в Европе с середины XVII
века, тогда играли на тридцати-сорока стаканах. Прибывший в
1757 году в Лондон Бенджамин Франклин был захвачен всеобщим увлечением «музыкальными стаканчиками» и изготовил
свой усовершенствованный вариант – «стеклянную гармонику».
SILA_UMA_2022
77
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Стеклянная гармоника – редкий музыкальный инструмент, состоящий из стеклянных полусфер
различного размера, нанизанных на горизонтальную вращающуюся металлическую ось. Пакет полусфер частично погружён в ящик-резонатор с разбавленным водой уксусом, благодаря чему края полусфер
постоянно увлажнены. Вал приводился в движение педалью. Прикосновение пальцев к влажным краям
чашечек порождало нежный и приятный звук. Звуковой объём этого инструмента имел до трёх-четырёх
октав, в зависимости от числа стеклянных чаш (от 37 до 46). Изобретение Франклина сделало этот инструмент ещё более популярным. Многие композиторы сочиняли музыку для стеклянной гармоники –
В. А. Моцарт, Л. Бетховен, П.И. Чайковский, М.И. Глинка и др. В начале XX века искусство стеклянной
гармоники было утеряно, эти инструменты стали редкостью. Две стеклянные гармоники, с 37-ю и 35-ю
полушариями, экспонируются в Музее музыки в Санкт Петербурге. Интерес к стеклянной гармонике
возродился лишь недавно.
Веррофон – музыкальный инструмент, в котором используется набор стеклянных трубок, смонтированных вертикально на деревянном корпусе, Трубки, открытые с одного конца, расположены от большого к маленькому, как трубы органа. Чем длиннее трубка, тем выше звук. Звук производится путем трения
о края стеклянных трубок, а также от ударов по ним специальным молотком
Далее на уроке рассматриваются вопросы теории: звук, характеристики звука, условия распространения.
2. Организация деятельности учащихся
Проблемный вопрос. Все ли бокалы способны издавать приятные поющие звуки? Что же происходит с бокалом, что он начинает петь?
Методический комментарий. Лучше всего поют очень тонкие бокалы, имеющие форму параболоида вращения, на длинной тонкой ножке. Тон звучания можно менять, подливая в бокал воду: чем больше
в бокале будет воды, тем ниже он звучит. Звучание зависит от толщины стекла, его диаметра, количества
воды и силы нажима. Узкий бокал из тонкого стекла будет издавать высокий звук, а широкий из толстого – низкий. Наполненность бокала также меняет звук: пустой бокал даст высокий звук, а наполненный
полностью – самый низкий.
Движение пальца по стеклу заставляет его вибрировать. Эта вибрация передается по стеклу внутри, возникают волны, бегущие внутри стекла, они складываются
и усиливаются. Стекло начинает вибрировать все сильнее и, наконец, передает вибрацию воздуху. А воздушная
волна уже слышна как красивый ровный звук.
Звучащее тело совершает колебания, и это можно показать с помощью бусинок на ниточке. Колебания бокала
образуют стоячую волну: в одних положениях бусинки,
соприкасающиеся с чашей, не отклоняются вовсе (на
узловых линиях, расположенных во взаимно перпендикулярных плоскостях – для основного тона), в других –
отскакивают на значительные расстояния.
Возникновение узловых линий можно наблюдать,
если мокрым пальцем водить по краю бокала. Вода будет повторять рисунок волн, распространяющихся от колебаний стекла: в месте, где остановится палец, образуРис. 1
SILA_UMA_2022
78
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
ются узловые линии. Для лучшей видимости воду можно подкрасить чернилами, и
такое фото (рис. 1) демонстрировать на уроке одновременно с извлечением звука из
бокала. При проведении исследования учащиеся сами смогут наблюдать эти волны
на воде.
Пример образования стоячей волны можно посмотреть на анимационной модели
по ссылке через qr-код.
Стоячая волна (чёрная линия), возникающая в результате интерференции двух гармонических волн
(красная и синяя линии) одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся во встречных направлениях. Красные точки обозначают узлы – точки или области в пространстве, в которых амплитуда
колебательного процесса минимальна и равна разности амплитуд интерферирующих волн (амплитуда
стоячей волны в узлах равна нулю). Посередине между каждой парой соседних узлов располагается
пучность – точка или область в пространстве, в которой амплитуда максимальна и равна сумме амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в пучностях вдвое больше амплитуды каждой из
интерферирующих волн). Фаза колебательного процесса стоячей волны при переходе через узел меняется на 180° (говорят, что колебания синфазны в пространстве с точностью до 180°). Расстояние между
соседними узлами составляет половину длины волны интерферирующих волн (рис. 2, 3).
Рис. 2
Рис. 3
Задание 2. Музыкальные поющие бокалы
Изучите воспроизводимые с помощью бокала
звуки. Исследуйте зависимость высоты тона звука от количества и свойств воды, толщины и формы бокала.
Оборудование: бокалы (разной формы), вода
(питьевая и минеральная), мензурка.
Ход исследования:
1. Поставьте бокал на стол и налейте в него
немного воды. Одной рукой придерживайте основание бокала. (Руки должны быть чистыми, без
Рис. 4
малейших следов жира).
2. Намочите палец другой руки и начните равномерно водить мокрым пальцем по краю бокала, несильно нажимая на него. Изменяя скорость и нажим, вы обязательно поймаете такой момент, когда бокал
«запоет» – станет издавать красивый и громкий чистый звук (рис. 4).
3. Добавляйте в бокал воды и повторяйте действия (отмеряйте объем воды мензуркой). Как зависит
высота тона звука от уровня воды в бокале? Заполните таблицу 1 (пункты 1-5). Сделайте вывод.
4. Проверьте, будет ли звучать бокал без воды? Какой будет звук: низкий или высокий? Сделайте
вывод.
5. Измените силу нажима, наблюдайте за изменением звука. Обратите внимание на возникновение
волн на воде. Сделайте вывод.
6. Повторите действия (п. 3-5), наливая в тот же бокал минеральную воду (отмеряйте такие же объемы
воды мензуркой). Заполните таблицу 1 (пункты 6-9). Сделайте вывод.
7. С помощью «Анализатора спектра звука» – приложения для смартфона (скачивается из Google
Play), например, Spectrum Analyser, Спектрус и др. определите частоту звука (при разных объемах воды
и без воды).
8. Налейте в бокалы разное количество воды, с помощью приложения «настройте» бокалы на разные
частоты и ноты (см. таблицу 2). Попробуйте сыграть гамму, мелодию (или детскую песенку).
SILA_UMA_2022
79
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Таблица 1. «Поющие» бокалы
Тип бокала
(описание)
№
Объем воды V, мл
Описание высоты тона
звука
Частота, Гц
1.
2.
3.
4.
5.
Без воды
6.
7.
8.
9.
Таблица 2.
SILA_UMA_2022
80
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Дополнительное задание. Возьмите бокалы другой формы, толщины стенок, диаметра (бокалы, фужеры, вазочки для фруктов и др.). Проведите аналогичные исследования. Заполните таблицу 3. Сделайте
выводы по результатам исследования.
Таблица 3.
N
Тип бокала
(форма)
Объем
V, мл
Диаметр
d, см
Толщина
стенок l,
мм
Примечание
(с водой, без
воды и т.д.)
Описание
высоты тона
звука
Частота,
Гц
1.
2.
3.
4.
5.
Ответьте на вопросы:
1. Объясните физику музыкальных поющих бокалов.
2. От каких характеристик зависит звук «поющего» бокала?
3. Почему бокалы с шампанским не звенят? Почему в бокале шампанского обертоны (колебания высоких частот) затухают быстрее, чем более низкий основной тон?
4. Объясните устройство и принцип звучания музыкальных инструментов: стеклянная арфа, стеклянная гармоника, веррофон.
Задание 3. Самодельный телефон.
Изготовьте, продемонстрируйте и объясните принцип действия самодельного телефона (переговорного устройства). Исследуйте, при каких условиях качество телефонной связи будет лучше?
Оборудование: длинная капроновая нить (веревка или леска), пластиковые или бумажные стаканчики - 2 шт., скрепки для фиксации веревки внутри стаканчика.
Порядок выполнения:
1. Отрезаем нитку нужной длины с небольшим допуском (больше 20-30 метров
больше брать не стоит, т.к. будет затухание
звуковой волны).
2. Прокалываем дно стаканчика по центру, пропускаем внутрь нить.
3. Привязываем нить внутри стаканчика к скрепке для упора.
4. Производим те же действия со вторым стаканчиком (рис. 5).
5. Прокладываем «телефонную» линию
в нужное место.
6. Приложив стаканчик к уху, вы смоРис. 5
жете услышать, что говорит ваш друг на
другом конце телефона в свой стаканчик, даже если он будет шептать или говорить из другой комнаты.
7. Исследуйте, при каких условиях качество телефонной связи будет лучше? Сделайте выводы.
Примечание. Чтобы телефон работал, нить должна быть натянута. При этом натянутая нить не должна касаться никаких предметов, в том числе и ваших пальцев, когда вы держите стакан.
Методический комментарий. Стаканчики выполняют в этом телефоне роль одновременно микрофона и динамика, а нить служит телефонным проводом. Звук вашего голоса проходит по натянутой
нитке в виде продольных звуковых волн. Суть явления: звуковые волны, ударяющиеся в дно стаканчика,
заставят его вибрировать. Вибрация передастся на нить, колебания передадутся по нити на другой стаканчик, где преобразуются в звуковые волны и попадут в ухо собеседника. В ходе исследования учащиеся должны отметить следующее:
• Главное условие – натянутая нить.
SILA_UMA_2022
81
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
• Второе условие – гибкое дно стаканчика (не металл!).
• Третье – можно использовать тонкую проволоку, но будут помехи. Если использо-вать растягивающуюся веревку или резинку (типа «венгерки»), то будет эхо.
• Четвертое – две нити удваивают силу звука.
• Пятое – если натянутая нитка касается другого предмета (дерево, стена, столб), то звук пропадает.
• Шестое – для увеличения расстояния надо использовать растяжки, к ним можно подключить несколько абонентов.
Можно сделать более разветвленную телефонную связь – например, соединив 3 или даже 4 нити примерно в центре. Тогда то, что скажет один абонент, услышат 2 или 3 других абонента. Если используется
одна нить, говорить надо как в рации, с применением понятия «прием» – то есть, говорить нужно по
очереди, давая абоненту понять, когда вы прикладываете стаканчик к уху.
Можно сделать второй вариант – создать два таких устройства. Тогда в одно можно слушать, а в другое говорить. Вариантов установки стаканчиков так же два:
1. Нить (леска) свободно провисает между абонентами. Натяжение с двух сторон производится при
начале разговора. Стаканчики с обеих сторон лучше закрепить в устройствах типа вилки, чтобы они «не
убежали».
2. Нить (леска) натянута постоянно, в этом случае стаканчики необходимо закрепить таким
образом, чтобы крепление не касалось нитки (иначе колебания будут рассеиваться).
3. Закрепление. Дополнительные задания и вопросы.
1. В фильмах часто можно увидеть взрывы космических аппаратов в космосе. Такие взрывы обычно сопровождаются классическим для взрыва звуком. Можно ли в действительности услышать взрыв, который произошёл в открытом космосе?
2. Опишите принцип работы струнных инструментов. Почему
мы слышим музыку, которую на них исполняют?
3. С помощью свистка можно создавать звуки, но в нём все части закреплены и не могут колебаться. Что является источником
колебаний в этом устройстве? Опишите принцип работы свистка.
4. Домашнее задание
Изготовьте музыкальные инструменты из подручных средств (по выбору): свирель, губная гармошка,
тамбурин, бубен, рубель, ксилофон и др.
SILA_UMA_2022
82
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Рабочая карта ученика
Задание 1. Послушайте музыкальный фрагмент (Токката и фуга ре минор И.С.
Баха) по ссылке с qr-кода и ответьте на вопрос:
На каком музыкальном инструменте играют музыканты?
Проблемный вопрос. Все ли бокалы способны издавать
приятные поющие звуки? Что же происходит с бокалом, что
он начинает петь?
Задание 2. Музыкальные поющие бокалы
Изучите воспроизводимые с помощью бокала звуки. Исследуйте зависимость высоты тона звука от количества и
свойств воды, толщины и формы бокала.
Оборудование: бокалы (разной формы), вода (питьевая и
минеральная), мензурка.
Рис. 1
Ход исследования:
1. Поставьте бокал на стол и налейте в него немного воды. Одной рукой придерживайте основание
бокала. (Руки должны быть чистыми, без малейших следов жира).
2. Намочите палец другой руки и начните равномерно водить мокрым пальцем по краю бокала, несильно нажимая на него. Изменяя скорость и нажим, вы обязательно поймаете такой момент, когда бокал
«запоет» – станет издавать красивый и громкий чистый звук (рис. 1).
3. Добавляйте в бокал воды и повторяйте действия (отмеряйте объем воды мензуркой). Как зависит
высота тона звука от уровня воды в бокале? Заполните таблицу 1 (пункты 1-5).
Сделайте вывод.
4. Проверьте, будет ли звучать бокал без воды? Какой будет звук: низкий или высокий?
Сделайте вывод.
5. Измените силу нажима, наблюдайте за изменением звука. Обратите внимание на возникновение
волн на воде. Сделайте вывод.
6. Повторите действия (п. 3-5), наливая в тот же бокал минеральную воду (отмеряйте такие же объемы
воды мензуркой). Заполните таблицу 1 (пункты 6-9). Сделайте вывод.
7. С помощью «Анализатора спектра звука» - приложения для смартфона (скачивается из Google
Play), например, Spectrum Analyser, Спектрус и др. определите частоту звука (при разных объемах воды
и без воды).
8. Налейте в бокалы разное количество воды, с помощью приложения «настройте» бокалы на разные
частоты и ноты (см. таблицу 2). Попробуйте сыграть гамму, мелодию (или детскую песенку).
Таблица 1. «Поющие» бокалы
Тип бокала
(описание)
SILA_UMA_2022
№
Объем воды V, мл
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Без воды
83
Описание высоты тона
звука
Частота, Гц
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
Таблица 2.
Дополнительное задание. Возьмите бокалы другой формы, толщины стенок, диаметра (бокалы, фужеры, вазочки для фруктов и др.). Проведите аналогичные исследования. Заполните таблицу 3. Сделайте
выводы по результатам исследования ________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Таблица 3.
N
Тип бокала
(форма)
Объем
V, мл
Диаметр
d, см
Толщина
стенок l,
мм
Примечание
(с водой, без
воды и т.д.)
Описание
высоты тона
звука
Частота,
Гц
1.
2.
3.
4.
5.
Ответьте на вопросы:
1. Объясните физику музыкальных поющих бокалов (см. методические рекомендации)
2. От каких характеристик зависит звук «поющего» бокала?
Вариант ответа: высота тона звука зависит от размеров бокала, толщины его стенок, количества
жидкости в нем и др.
3. Почему бокалы с шампанским не звенят? Почему в бокале шампанского обертоны (колебания высоких частот) затухают быстрее, чем более низкий основной тон?
Вариант ответа: звук при соударении даже хрустальных бокалов, наполненных шампанским (или минеральной водой), оказывается глухим. Это происходит из-за пузырьков углекислого газа, обильно выделяющихся в нем после вскрытия бутылки. На выделение газа расходуется энергия звуковых колебаний,
и они быстро затухают.
SILA_UMA_2022
84
физика / математикa
Урок 20. «Поющие бокалы»
4. Объясните устройство и принцип звучания
музыкальных инструментов: стеклянная арфа,
стеклянная гармоника, веррофон (см. методические рекомендации).
Задание 3. Самодельный телефон.
Изготовьте, продемонстрируйте и объясните
принцип действия самодельного телефона (переговорного устройства). Исследуйте, при каких
условиях качество телефонной связи будет лучше?
Оборудование: длинная капроновая нить
(веревка или леска), пластиковые или бумажные
стаканчики - 2 шт., скрепки для фиксации веревки внутри стаканчика.
Рис. 2
Порядок выполнения:
1. Отрезаем нитку нужной длины с небольшим допуском (больше 20-30 метров больше брать не стоит, т.к. будет затухание звуковой волны).
2. Прокалываем дно стаканчика по центру, пропускаем внутрь нить.
3. Привязываем нить внутри стаканчика к скрепке для упора.
4. Производим те же действия со вторым стаканчиком (рис. 2).
5. Прокладываем «телефонную» линию в нужное место.
6. Приложив стаканчик к уху, вы сможете услышать, что говорит ваш друг на другом конце телефона
в свой стаканчик, даже если он будет шептать или говорить из другой комнаты.
7. Исследуйте, при каких условиях качество телефонной связи будет лучше? Сделайте выводы
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Примечание. Чтобы телефон работал, нить должна быть натянута. При этом натянутая нить не
должна касаться никаких предметов, в том числе и ваших пальцев, когда вы держите стакан.
Дополнительные задания и вопросы
1. В фильмах часто можно увидеть взрывы космических аппаратов в космосе. Такие взрывы обычно
сопровождаются классическим для взрыва звуком. Можно ли в действительности услышать взрыв, который произошёл в открытом космосе?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
2. Опишите принцип работы струнных инструментов. Почему
мы слышим музыку, которую на них исполняют? ______________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
3. С помощью свистка можно создавать звуки, но в нём все части закреплены и не могут колебаться. Что является источником
колебаний в этом устройстве? Опишите принцип работы свистка.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Домашнее задание
Изготовьте музыкальные инструменты из подручных средств
(по выбору): свирель, губная гармошка, тамбурин, бубен, рубель,
ксилофон и др.
SILA_UMA_2022
85
физика / математикa
Урок 21. История теплового двигателя
Урок 21. История теплового двигателя
Тема: «Тепловые двигатели»
Форма урока: урок-конференция
Цель урока: изучение истории развития инженерной мысли в области создания тепловых двигателей, изучение конструктивных особенностей и принципа действия тепловых машин разных типов.
Методический комментарий
Выступление учащихся на уроках с отдельными устными докладами – довольно часто используемый
педагогический метод, содержащий в себе сразу несколько обучающих и развивающих функций: умения работать с источниками информации, осуществления самостоятельного анализа и синтеза информации, функцию развития устной речи и т.д. Объединение нескольких докладов учащихся в тематическую
урок-конференцию дополнительно позволяет обеспечить целостность воспринимаемой информации
в рамках рассматриваемой темы, а также установить в процессе обсуждения логические взаимосвязи
между содержанием каждого из докладов. Использование урока-конференции при изучении учебного
материала, связанного с тепловыми двигателями, является методически целесообразным, поскольку позволяет рассмотреть многообразие тепловых машин в контексте их исторической эволюции.
Ход урока
Приборы и принадлежности: мультимедиа-проектор, клей, ножницы, цветные карандаши, листы
белой бумаги формата А4, распечатанный лист приложения 1.
1. Актуализация знаний
Количество теплоты, работа газа, коэффициент полезного действия (КПД) механизма.
2. Мотивационный этап
В качестве мотивационного этапа можно использовать рассмотрение перечня технологических достижений человечества с начала «эпохи огня и пара» и до наших дней, в основе которых лежит принцип
действия тепловой машины.
Проблемный вопрос: давайте представим нашу жизнь без тепловых машин.
3. Организация деятельности учащихся
Планируемая форма проведения урока – конференция. Предварительно необходимо разделить учащихся на группы и поручить подготовить выступления, сопровождаемые презентацией, компьютерными анимациями и видеофрагментами. Возможные темы выступлений учащихся: «Первые тепловые двигатели. История парового двигателя», «Поршневой двигатель внутреннего сгорания», «Газотурбинный
двигатель». Однако, руководствуясь методической целесообразностью (например, при наличии большого количества рабочих групп), можно делить крупные тематические блоки на составляющие. Так, в случае с темой «Газотурбинный двигатель» можно отдельно рассмотреть особенности турбореактивного и
турбовинтового двигателя. Или дополнительно включить в рассмотрение тему, посвящённую роторному
двигателю внутреннего сгорания.
Последовательность чередования докладов лучше определить в соответствие с историческим периодом изобретения двигателя того или иного типа, чтобы у учащихся происходило формирование целостной картины эволюции двигателестроения. В процессе организации выступления учащихся учитель
может выступать в роли модератора и давать дополнительные пояснения, способствующие формированию общей логики изложения темы. Например, вопрос о предпосылках возникновения двигателя определённого вида (технических, экономических), о потребностях общества в таком двигателе ученикам
очень сложно раскрыть самостоятельно. Дополнительное отображение на временной ленте ключевых
дат, связанных с историей развития тепловых машин, также может способствовать более эффективной
систематизации материала.
SILA_UMA_2022
86
физика / математикa
Урок 21. История теплового двигателя
Содержание плана выступления по каждой из тем может выглядеть следующим образом.
История создания двигателя.
Особенности конструктивного устройства и принцип действия.
Величина КПД.
Основные технические сферы использования.
Конкретные примеры использования (на основе жизненного опыта и информационной осведомлённости).
После прослушивания всех докладов и подведения учителем итога мини-конференции учащимся
предлагается выполнить ряд заданий на закрепление изученного материала. Выполнение заданий может
происходить как в рабочих группах, так и индивидуально.
Задание 1. Изготовление 2D модели парового двигателя замкнутого цикла.
Учащимся предлагается лист, который содержит изображения основных элементов двигателя:
• источник энергии;
• паровой котёл;
• цилиндр;
• поршень;
• маховое колесо;
• кривошипно-шатунный механизм;
• конденсатор;
• две соединительные трубки.
В процессе выполнения задания учащимся необходимо вырезать эти элементы и наклеить их на отдельный лист бумаги таким образом, чтобы получилось изображение 2D модели парового двигателя
замкнутого цикла (рис. 1). Также следует обозначить данные элементы двигателя соответствующими
подписями.
Рис. 1
Задание 2. Получение изображения поршневого карбюраторного двигателя внутреннего сгорания.
В процессе выполнения данного задания ученикам будет необходимо
выполнить схематический рисунок указанного двигателя (аналогично рис.
2), а также отметить на рисунке его основные конструктивные элементы:
впускной (1) и выпускной (2) клапаны, поршень (3), шатун (4), коленчатый
вал (5), свечу (6), цилиндр (7).
Задание 3. Дополнение изображения турбореактивного двигателя.
Ученикам предлагается к рассмотрению изображение турбореактивного
двигателя. В ходе выполнения задания необходимо указать на этом изображении следующие элементы, аналогично рис. 3: место забора воздуха (1),
компрессор низкого давления (2), компрессор высокого давления (3), камеру сгорания (4), газовую турбину (5), выходное сопло (6).
SILA_UMA_2022
87
Рис. 2
физика / математикa
Урок 21. История теплового двигателя
Рис. 3
SILA_UMA_2022
88
физика / математикa
Урок 21. История теплового двигателя
Рабочая карта ученика
Задание 1. Изготовление 2D модели парового двигателя замкнутого цикла.
На листе (смотри приложение 1) находятся изображения основных элементов парового двигателя
замкнутого цикла:
• источник энергии;
• паровой котёл;
• цилиндр;
• поршень;
• маховое колесо;
• кривошипно-шатунный механизм;
• конденсатор;
• две соединительные трубки.
Вырежьте эти элементы и наклейте их на отдельный лист бумаги таким образом, чтобы получилось
изображение 2D модели парового двигателя замкнутого цикла. Обозначьте данные элементы двигателя
соответствующими подписями.
Примечание: пример возможного выполнения этого задания приведён на рис. 1 методических рекомендаций к данному уроку.
Задание 2. Получение изображения поршневого карбюраторного двигателя внутреннего сгорания.
Сделайте схематический рисунок поршневого карбюраторного двигателя внутреннего сгорания, а
также отметьте на рисунке подписями с указательными стрелками его основные конструктивные элементы:
• впускной клапан;
• выпускной клапан;
• поршень;
• шатун;
• коленчатый вал;
• свечу;
• цилиндр.
Примечание: пример возможного выполнения этого задания приведён на рис. 2 методических рекомендаций к данному уроку.
Задание 3.
Дополнение изображения турбореактивного двигателя.
На рисунке дано изображение турбореактивного двигателя. В ходе выполнения задания укажите на
этом изображении цифрами следующие элементы:
• место забора воздуха (1);
• компрессор низкого давления (2);
• компрессор высокого давления (3);
• камеру сгорания (4);
• газовую турбину (5);
• выходное сопло (6).
Примечание: пример возможного выполнения этого задания приведён на рис. 3 методических рекомендаций к данному уроку.
SILA_UMA_2022
89
физика / математикa
Урок 21. История теплового двигателя
Приложение 1. Паровая машина замкнутого цикла
SILA_UMA_2022
90
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Урок 22. Своя игра
Правила игры:
1. По жребию одной из команд предоставляется право первого хода.
2. Команда выбирает номинацию и количество баллов.
3. Если команда ответила верно, она получает очки и право выбора следующего
вопроса.
4. При неверном ответе ход переходит той команде, которая первая ответила верно.
Презентацию для проведения игры можно скачать по кр-коду.
Задачи
Ответ
Какую физическую величину измеряют с помощью динамометра?
силу
20
Назовите единицы измерения плотности?
грамм на кубический
сантиметр или
килограмм на
кубический метр (г/
см3 или кг/м3)
30
Назовите температуру фазового перехода между твердым и жидким
состоянием для льда?
0 градусов Цельсия
40
Назовите цену деления прибора, если количество промежутков между
двумя соседними большими черточками (количество делений) – 5, а
соседние деления 1 и 2.
0,2
50
Определите погрешность прибора, если количество промежутков
между двумя соседними большими черточками (количество делений)
– 3, а соседние деления 1,5 и 4,5.
Ответ 1, цена
деления. (Возможен
ответ 0,5, полцены
деления).
10
Определите силу тяжести, которая действует на груз массой 10 кг.
(ускорение свободного падения взять за 10 м/c2)
100 Н
20
Какую силу нужно приложить к плечу рычага 0,2 м, чтобы рычаг
находился в равновесии, если момент силы с противоположенной
стороны равен 5 Н*м.
25 Н
30
Определите высоту столба воды, если гидростатическое давление
составляет 10500 Па (ускорение свободного падения взять за 10 м/c2)
1,05 м
40
Определите объем бруска, который плавает внутри жидкости
(находится полностью в жидкости), плотность которой 800 кг/м3, под
действием силы Архимеда 2800Н
0,35 м3
50
Определите коэффициент упругости пружины, если при
подвешивании груза массой 50 г, пружина деформируется на 8 см.
(ускорение свободного падения взять за 10 м/c2).
6,25 Н/м
10
Какое явление демонстрирует радуга? Назовите его.
Дисперсия
20
Определите силу тока на участке цепи сопротивлением 4 Ом, к концам
5А
которого приложено напряжение 20В.
30
Определите оптическую силу линзы, если фокусное расстояние 400
мм.
10
SILA_UMA_2022
91
2,5 Дптр
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
40
Определите общее сопротивление на участке цепи, где резистор
с сопротивлением 6 Ом соединен последовательно с участком
цепи, который представляет собой параллельное соединение двух
резисторов с сопротивлением по 4 Ом.
8 Ом
50
Какова мощность тока на участке цепи, состоящем из двух
параллельно соединенных резисторов сопротивлением 5 Ом каждый,
если общая сила тока на этом участке составляет 15А.
562,5 Вт
10
Сколько существует двузначных чисел, которые не превышают 20?
11
20
Каждое из 9 бревен распилили на 9 частей. Сколько распилов было
сделано?
72
30
Автобус проезжает одну остановку за три минуты. Сколько времени
потратит автобус на путь от первой до пятнадцатой остановки?
42 минуты
40
Давид забегает с первого этажа на четвертый за минуту. За какое
время Давид забежит с первого этажа на восьмой?
2 минуты 20 секунд
50
На лесопилке было 10 бревен. Первое бревно распилили на две части,
второе – на три, третье – на четыре и т.д, десятое – на 11 частей.
Сколько всего распилов было сделано?
45
10
В классе учится 12 мальчиков и 19 девочек. Сколько существует
способов выбрать одного представителя этого класса на олимпиаду по
математике?
31
20
В классе учится 11 мальчиков и 15 девочек. Сколько существует
способов выбрать пару мальчик-девочка из этого класса, чтобы
станцевать школьный вальс на выпускном балу?
165
30
В баскетбольной команде – 5 игроков. Сколько существует способов
выбрать из них капитана команды и его заместителя?
20
40
Дана доска 3х3. Каждую клетку этой доски можно покрасить либо
в синий, либо в зеленый цвет. Сколько всевозможных способов
раскрасить эту доску существует? Способы, которые отличаются друг
от друга поворотом, считать разными!
512
50
У Лены есть шесть кубиков с буквами: Ф, И, З, И, К, А. Сколько
всевозможных буквосочетаний из 6 букв может составить Лена,
используя все кубики ровно по одному разу?
360
10
Назовите наименьшее пятизначное число, в котором все цифры
различны и четны.
20468
20
Назовите наименьшее натуральное число, в записи которого нулей
больше, чем единиц.
20
30
Можно ли представить число 13 в виде суммы двух чисел, у которых
сумма цифр одинакова?
2+11
40
Можно ли представить число 195 в виде суммы двух чисел, у которых
сумма цифр одинакова?
Например, 147+48
50
Приведите пример натурального числа, которое ровно в четыре раза
больше суммы своих цифр
36
SILA_UMA_2022
92
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Состав команд
SILA_UMA_2022
93
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Какую физическую величину измеряют
с помощью динамометра?
Назовите единицы измерения плотности?
Назовите температуру фазового перехода между твердым и жидким состоянием для льда?
Назовите цену деления прибора, если
количество промежутков между двумя
соседними большими черточками (количество делений) – 5, а соседние деления 1 и 2.
Определите погрешность прибора, если
количество промежутков между двумя
соседними большими черточками (количество делений) – 3, а соседние деления 1,5 и 4,5.
Определите силу тяжести, которая действует на груз массой 10 кг. (ускорение
свободного падения взять за 10 м/c2)
Какую силу нужно приложить к плечу
рычага 0,2 м, чтобы рычаг находился в
равновесии, если момент силы с противоположенной стороны равен 5 Н*м.
Определите высоту столба воды, если
гидростатическое давление составляет
10500 Па (ускорение свободного падения взять за 10 м/c2)
Определите объем бруска, который плавает внутри жидкости (находится полностью в жидкости), плотность которой
800 кг/м3, под действием силы Архимеда 2800Н
Определите коэффициент упругости
пружины, если при подвешивании груза массой 50 г, пружина деформируется
на 8 см. (ускорение свободного падения
взять за 10 м/c2).
SILA_UMA_2022
94
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Физические величины
10
Физические величины
20
Физические величины
30
Физические величины
40
Физические величины
50
Давление и силы
10
Давление и силы
20
Давление и силы
30
Давление и силы
40
Давление и силы
50
SILA_UMA_2022
95
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Какое явление демонстрирует радуга,
назовите его?
Определите силу тока на участке цепи
сопротивлением 4 Ом, к концам которого приложено напряжение 20В.
Определите оптическую силу линзы,
если фокусное расстояние 400 мм.
Определите общее сопротивление на
участке цепи, где резистор с сопротивлением 6 Ом соединен последовательно
с участком цепи, который представляет
собой параллельное соединение двух
резисторов с сопротивлением по 4 Ом.
Какова мощность тока на участке цепи,
состоящем из двух параллельно соединенных резисторов сопротивлением 5
Ом каждый, если общая сила тока на
этом участке составляет 15А.
Сколько существует двузначных чисел,
которые не превышают 20?
Каждое из 9 бревен распилили на 9 частей. Сколько распилов было сделано?
Автобус проезжает одну остановку за
три минуты. Сколько времени потратит
автобус на путь от первой до пятнадцатой остановки?
Давид забегает с первого этажа на четвертый за минуту. За какое время Давид
забежит с первого этажа на восьмой?
На лесопилке было 10 бревен. Первое
бревно распилили на две части, второе
- на три, третье - на четыре и т.д, десятое - на 11 частей. Сколько всего распилов было сделано?
SILA_UMA_2022
96
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Электричество и оптика
10
Электричество и оптика
20
Электричество и оптика
30
Электричество и оптика
40
Электричество и оптика
50
Эффект +-1
10
Эффект +-1
20
Эффект +-1
30
Эффект +-1
40
Эффект +-1
50
SILA_UMA_2022
97
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
В классе учится 12 мальчиков и 19 девочек. Сколько существует способов
выбрать одного представителя этого
класса на олимпиаду по математике?
В классе учится 11 мальчиков и 15 девочек. Сколько существует способов
выбрать пару мальчик-девочка из этого класса, чтобы станцевать школьный
вальс на выпускном балу?
В баскетбольной команде - 5 игроков.
Сколько существует способов выбрать
из них капитана команды и его заместителя?
Дана доска 3х3. Каждую клетку этой
доски можно покрасить либо в синий,
либо в зеленый цвет. Сколько всевозможных способов раскрасить эту доску
существует? Способы, которые отличаются друг от друга поворотом, считать
разными!
У Лены есть шесть кубиков с буквами:
Ф, И, З, И, К, А. Сколько всевозможных
буквосочетаний из 6 букв может составить Лена, используя все кубики ровно
по одному разу?
Назовите наименьшее пятизначное
число, в котором все цифры различны и
четны.
Назовите наименьшее натуральное
число, в записи которого нулей больше,
чем единиц.
Можно ли представить число 13 в виде
суммы двух чисел, у которых сумма
цифр одинакова?
Можно ли представить число 195 в
виде суммы двух чисел, у которых сумма цифр одинакова?
Приведите пример натурального числа,
которое ровно в четыре раза больше
суммы своих цифр.
SILA_UMA_2022
98
физика / математикa
Урок 22. Своя игра
Комбинаторика
10
Комбинаторика
20
Комбинаторика
30
Комбинаторика
40
Комбинаторика
50
Примеры и конструкции
10
Примеры и конструкции
20
Примеры и конструкции
30
Примеры и конструкции
40
Примеры и конструкции
50
SILA_UMA_2022
99
физика / математикa
SILA_UMA_2022
100
физика / математикa
