ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА Гипотеза де Бройля Дифракция
advertisement
х ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА Гипотеза де Бройля Дифракция электронов Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц вещества х Гипотеза де Бройля В оптических явлениях наблюдается своеобразный дуализм. Наряду с явлениями дифракции, интерференции (волновыми явлениями) наблюдаются и явления, характеризующие корпускулярную природу света (фотоэффект, эффект Комптона). В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами. Луи де Бройль (1892 – 1987), французский физик, удостоенный Нобелевской премии 1929 г. по физике за открытие волновой природы электрона. В 1923, распространив идею А.Эйнштейна о двойственной природе света на вещество, предположил, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, связанными с их массой и энергией (волны де Бройля). Экспериментальное подтверждение этой идеи было получено в 1927 в опытах по дифракции электронов в кристаллах, а позже она получила практическое применение при разработке магнитных линз для электронного микроскопа. Концепцию де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме использовал Э.Шредингер при создании волновой механики. х х «В оптике, – писал де Бройль, – в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?» Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Если фотон обладает энергией E = hv и импульсом p = h/λ, то и частица (например, электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны. х х Гипотеза де Бройля была революционной, даже для того революционного в науке времени. Однако, она вскоре была подтверждена многими экспериментами. х Дифракция частиц Дифракция частиц рассеяние микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов и т.п.) кристаллами или молекулами жидкостей и газов, при котором из начального пучка частиц данного типа возникают дополнительно отклонённые пучки этих частиц. Направление и интенсивность таких отклонённых пучков зависят от строения рассеивающего объекта. х Опыты по дифракции частиц и их квантовомеханическая интерпретация. Первым опытом по дифракции частиц, блестяще подтвердившим исходную идею квантовой механики – корпускулярно-волновой дуализм, явился опыт американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера проведенный в 1927 по дифракции электронов на монокристаллах никеля. Эти опыты показали, что в определенных условиях электроны проявляют волновые свойства. х х K = eU → h 2mÊ 12,26 λ U Здесь U выражено в В, а λ – в Å (1 Å = 10–10 м). При напряжениях U порядка 100 В, которые использовались в этих опытах, получаются так называемые «медленные» электроны с λ порядка 1 Å. Эта величина близка к межатомным расстояниям d в кристаллах, которые составляют несколько Å и менее, и соотношение λ ≤ d, необходимое для возникновения дифракции, выполняется. х В опыте Дэвиссона и Джермера при «отражении» электронов от поверхности кристалла никеля при определённых углах отражения возникали максимумы. 2d sin θ nλ Волновые свойства частиц – электронов – были доказаны экспериментом. х Идея де Бройля о наличии у частиц вещества волновых свойств получила экспериментальное подтверждение, как для заряженных частиц (электронов), так и для нейтральных – нейтронов, атомов и молекул. Также было показано, что обнаружить волновые свойства у макроскопических тел не представляется возможным из-за присущей им малой длины волны. х Физический смысл волн де Бройля Как известно, интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Эксперименты по отражению электронов и др. частиц от поверхности показывают, что по некоторым направлениям обнаруживаются максимумы числа отраженных частиц. Это означает, что в указанных направлениях отражается большее число частиц, чем в других направлениях. С волновой точки зрения наличие максимумов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн, связанных с отражающимися частицами. х Интенсивность дебройлевской волны оказывается большей там, где имеется большее число частиц. Другими словами, интенсивность волн де Бройля в данной области пространства определяет число частиц, попавших в эту область. В этом заключается статистическое, вероятностное толкование волн, связанных с движущимися частицами. Квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в этой области. х Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики. х Соотношение неопределенности Гейзенберга В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат импульса, энергии и т.д. перечисленные величины называются динамическим переменными. Микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. х Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что оказывается невозможным одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и импульса px. Неопределенности значений x и px удовлетворяют соотношению ΔxΔp x h h – постоянная Планка. х Аналогичное соотношение имеет место для y и py, для z и pz, а также для других пар величин В классической механике такие пары называются канонически сопряженными: AB соотношение неопределенности для величин A и B. Гейзенберга Это соотношение открыл в 1927 году Вернер Гейзенберг. h ΔPΔX 2π х Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей ΔEΔt h это соотношение означает, что определение энергии с точностью ΔE должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере h Δt ~ ΔE х Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Т.к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механике к микрообъектам. х Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. х Понятие о волновой функции Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака. Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц, является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла. х Чтобы устранить эти трудности немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая х Ψ(х, y, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или Ψ – функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: (5) 2 W ~ Ψ( х, y, z, t ) , где |Ψ|2=ΨΨ` , где Ψ` – функция комплексно- х 2 W ~ Ψ( х, y, z, t ) , Таким образом, описание микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx, y и dy, z и dz. х Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в объеме V равна: 2 dW Ψ dV (6) х Величина |Ψ2|=dW/dV (квадрат модуля Ψ – функции) имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки, имеющей x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ – функция, а квадрат ее модуля |Ψ2|, которым определяется интенсивность волн де Бройля. х Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме о сложении вероятностей, равна 2 W dW Ψ dV |Ψ|2dυ υ υ Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Условия нормировки вероятностей: 2 | Ψ | dV 1, х Условия нормировки вероятностей: | Ψ | 2 (7) dV 1, где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от –∞ до ∞. Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве. V 2 dV 1 Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружить действия микрочастицы в элементе объема, должна быть: х • конечной (вероятность не может быть больше единицы); • однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной); • непрерывной (вероятность не может меняться скачком). х Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2, … Ψn, то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций Ψ Cn Ψn n где Cn (n = 1, 2, 3…) – произвольные, комплексные числа. х Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей. х Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов. Например, среднее расстояние <r> электрона от ядра вычисляется по формуле r rΨ 2 dV х Уравнение Шредингера Толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающей движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. х Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, y, z, t), т.к. именно величина |Ψ|2, осуществляет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами x и x+dx, y, и y+dy, z и z+dz. Т.к. искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э.Шредингером. х Шредингер Эрвин (1887 – 1961) – австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Основные работы в области статистической физики, квантовой теории, квантовой механики, общей теории относительности, биофизики. Разработал теорию движения микрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений – приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоен Нобелевской премии. х Уравнение Шредингера выводится, а постулируется. не Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что в свою очередь, придает ему характер закона природы. х Уравнение Шредингера записывается так: в общем виде 2 Ψ Ψ U ( x, y, z, t )Ψ i 2 , 2m t 2 h где , m – масса частицы, 2π 2 2 2 2 Ψ Ψ Ψ – оператор Лапласа Ψ 2 2 2 , x y z 2 i – мнимая единица, U(x, y, z, t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция. х Если силовое поле, в котором движется частица потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координаты, а другой – только от времени. E i t Ψ( x, y, z, t ) Ψ( x, y, z )e Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. х Уравнение Шредингера для стационарных состояний 2m Ψ 2 ( E U )Ψ 0 2 (10) Здесь обозначено: Е - полная энергия электрона U - потенциальная энергия -волновая функция электрона ( x , y, z ) х Уравнение Шредингера можно записать в виде H Ψ EΨ В этом уравнении H – оператор Гамильтона, равный сумме операторов 2 U H 2m Гамильтониан является оператором энергии E. х В квантовой механике другим динамическим переменным сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, момента импульса и т.д. Любое движение микрочастиц можно уподобить движению особых волн Спасибо за внимание
