учебно-методические материалы[(1)] - САНКТ

ИВЭСЭП
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ
СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭКОНОМИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика
в экономике
Санкт-Петербург
2011
ББК 22.1
М-34
1.
М-34 Математическая экономика:
Учебно-методический комплекс. /Авт.-сост.: А.Ю. Вальков, А.Н. Протопопов, В.Л.
Кузьмин, Н.В. Васильева – СПб.: СПбИВЭСЭП, 2011. – 52 с.
Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных
дисциплин, протокол № 5 от 19.01.2011 г.
Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом,
протокол № 5 от 20.01.2011 г.
Авторы -составители :
доктор физ.-мат. наук, проф. А.Ю. Вальков,
кандидат физ.-мат. наук, доц. А.Н. Протопопов,
доктор физ.-мат. наук, проф. В.Л. Кузьмин,
Н.В. Васильева
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры государственного и
муниципального управления факультета менеджмента СанктПетербургского государственного университета А.Е. Иванов.
Ответственная за выпуск
Н.А. Фролова
© А.Ю. Вальков, А. Н. Протопопов, В.Л.
Кузьмин, Н.В. Васильева 2011
© СПбИВЭСЭП, 2011.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящий учебно-методический комплекс по курсу «Математическая
экономика» соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ по направлению подготовки дипломированных специалистов по специальности 080801 (351400)
– Прикладная информатика в экономике, основанным на государственном
образовательном стандарте высшего профессионального образования.
Современный уровень требований, предъявляемых к математической
подготовке экономиста-информатика, связан со степенью развития экономической теории и информационных технологий. В настоящее время для
понимания результатов большинства экономических исследований и
успешного внедрения их в информационных системах, требуется хорошее
знание экономико-математических моделей, в частности, математической
экономики и финансовой математики (в особенности — финансовых вычислений). Основы финансовой математики излагаются студентам данной
специальности в отдельном курсе финансовой математики . Поэтому данный
Методическое обеспечение данного может быть осуществлено с помощью курсов высшей математики, линейной алгебры и математической
экономики, а также задачников и справочников приведенных в разделе
.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ(1) Аудиторные часы, отведенные на
изучение линейной алгебры, делятся между лекционными и практическими занятиями в отношении 2:1. Практические занятия предусматривают
самостоятельное решение задач студентами под контролем и при поддержке преподавателя на семинарах, а также выполнение домашних заданий. В целях проверки степени усвоения материала проводятся самостоятельные работы и одна контрольная работа.
Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью
определения качества усвоения учебного материала. Наиболее эффективным является его проведение в виде тестов и самостоятельных работ.
Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины
учебным планом предусмотрен экзамен
ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
Функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение
Слуцкого; кривые «доход-потребление»; кривые «цены-потребление»; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска про(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
3
дукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения
фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели
общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью изучения студентами учебной дисциплины «Математическая
экономика» является овладение знаниями, представлениями, умениями и
навыками, необходимыми для математического моделирования и последующего анализа предпочтений потребителей, функций индивидуального и
рыночного спроса.
Требования к уровню подготовки студента, завершившего
изучение данной дисциплины
Изучив учебную дисциплину «Математическая экономика», студенты
должны:
 свободно владеть понятиями:
коэффициенты эластичности; бюджетное множество, отношение предпочтения, кривая безразличия, карта безразличия, нейтральный товар, предельная норма замещения товаров, полностью замещаемые и полностью
дополняемые товары, функция полезности, предельная полезность товара,
точка равновесия (угловая и касательная), функция индивидуального
спроса, нормальный (normal) и некачественный (inferior) товары, обычный
(ordinary) товар и товар Гиффена, функция рыночного спроса;
 уметь:
 вычислять коэффициенты эластичности;
 строить бюджетное множество;
 моделировать с помощью карты безразличия предпочтения потребителя при наличии нейтрального для него товара, полностью замещаемых и дополняемых товаров, точки блаженства, а также
предпочтения лексикографического типа;
 опираясь на тип предпочтения потребителя идентифицировать его
отношение к товару (плохой, хороший, нейтральный);
4
 для потребителей с вышеупомянутыми типами предпочтений геометрически и аналитически находить точку равновесия;
 при известной функции полезности потребителя сравнивать привлекательность для него различных наборов товаров, строить карту безразличия, решать задачу выбора потребителя, поставленную
как задача математического программирования;
 по известной функции полезности строить функцию индивидуального спроса;
 опираясь на функцию индивидуального спроса потребителя идентифицировать его отношение к товару (нормальный, некачественный, предмет роскоши, обычный, Гиффена);
 по известной функции индивидуального спроса строить кривые
“доход-потребление” и “цена-потребление”, кривую Энгеля и кривую спроса;
 использовать индексы Пааше и Ласпейраса для сравнения положения потребителя в текущем и базовом годах;
 иметь представление о
 проблемах, рассматриваемых теорией потребления;
 гипотезах, принятых при математическом моделировании поведения рационального потребителя, потребителя “хорошего поведения”;
 порядковом и количественном подходе к понятию полезности
набора товаров;
 парадоксах теории потребления;
 законе спроса;
 проблеме перехода от функции индивидуального спроса к функции рыночного спроса;
 теории выявленных предпочтений.
УМК содержит основные математические сведения, которые подлежат
изучению всеми студентами.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
Тема
Лекции
(час)
Практические занятия (час)
1.
2.
Альтернативы потребителя
Математическое моделирование предпочтений
потребителя
6
10
4
6
5
3.
4.
5.
Выбор потребителя
Исследование индивидуального спроса
Теория выявленных предпочтений
Всего
6
8
8
4
36
4
4
–
18
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ.
Раздел 1. Альтернативы потребителя
Тема 1. Бюджетное множество потребителя Бюджетное множество и
его построение. Изменение бюджетного множества при изменении экзогенных переменных. Методы стимулирования и ограничения потребления.
Раздел 2. Математическое моделирование предпочтений потребителя
Тема 2. Математическое моделирование предпочтений потребителя
при конечном числе альтернатив. Аксиомы теории потребления. Число
рациональных потребителей.
Тема 3. Математическое моделирование предпочтений потребителя
при бесконечном числе альтернатив. Отношение потребителя к товару.
Моделирование предпочтений потребителя при наличии нейтрального для
него товара, полностью замещаемых и дополняемых товаров, точки блаженства. Моделирование предпочтений ненасыщаемого потребителя. Непрерывность ОПП. Лексикографическое отношение предпочтения. Гипотеза гладкости. Понятие MRS. Полностью замещаемые товары. Гипотеза
выпуклости и поведение MRS. Полностью дополняемые товары.
Тема 4. Математическое моделирование предпочтений потребителя
с помощью функции полезности. Функция полезности. Теорема Дебре.
Построение карты безразличия. Кардинальный подход к понятию полезности. Предельная полезность. Нелинейность и вогнутость функции полезности. Парадокс бриллиантов и воды. Парадокс миллионера и нищего.
Раздел 3. Выбор потребителя
Тема 5. Геометрический поиск равновесия при наличии нейтральных, полностью дополняемых и замещаемых товаров. Точка блаженства. Равновесие потребителя «хорошего поведения». Модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.
7
Тема 6. Необходимое условие равновесия потребителя. Математическая модель задачи выбора потребителя. Необходимое условие касательного равновесия. Относительная предельная полезность. Условия равновесия в терминах MRS. Задача выбора ненасыщаемого потребителя как классическая задача математического программирования.
Раздел 4. Исследование индивидуального спроса
Тема 7. Функция индивидуального спроса. Определение и основные
свойства функции индивидуального спроса. Ее построение по известной
функции полезности. Спрос на полностью замещаемые товары.
Тема 8 Реакция потребителя на изменение дохода и цен. Нормальный и некачественный товары. Предметы роскоши. Кривая «доходпотребление». Кривая Энгеля. Обычный товар и товар Гиффена. Кривая
“цена-потребление”. Кривая индивидуального спроса. Реальный доход по
Хиксу и Слуцкому. Компенсированное изменение цены. Уравнение Слуцкого. Закон спроса.
Раздел 5. Теория выявленных предпочтений
Тема 9. Теория выявленных предпочтений и экономические индексы. Слабая аксиома выявленных предпочтений. Связь обычных и выявленных предпочтений. Алгоритм проверки гипотезы максимизирующего
поведения потребителя. Индексы Пааше и Ласпейраса. Использование индексов для оценки положения потребителя. Проблема индексации доходов. Общие модели развития экономики; модель Солоу.
8
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
Тема 1. Бюджетное множество и его построение.
Тема 2. Аксиомы теории потребления..
Тема 3. Отношение потребителя к товару. Лексикографическое отношение
предпочтения. Гипотеза гладкости. Полностью дополняемые товары.
Тема 4. Построение карты безразличия. Кардинальный подход к понятию
полезности. Предельная полезность.
Тема 5. Геометрический поиск равновесия при наличии нейтральных,
полностью дополняемых и замещаемых товаров. Нахождение точка блаженства. Модель Эрроу-Гурвица.
Тема 6. Необходимое условие равновесия потребителя. Условия равновесия в терминах MRS. Задача выбора ненасыщаемого потребителя.
Тема 7. Функция индивидуального спроса. Построение функции индивидуального спроса по известной функции полезности.
Тема 8 Построение кривых: «доход-потребление», Энгеля, «ценапотребление», индивидуального спроса. Уравнение Слуцкого.
Тема 9. Алгоритм проверки гипотезы максимизирующего поведения потребителя. Индексы Пааше и Ласпейраса. Использование индексов для оценки положения потребителя. Модель Солоу
.
9
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К
ЭКЗАМЕНУ
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Определение бюджетного множества и его построение.
Изменение бюджетного множества при изменении экзогенных переменных.
Методы стимулирования и ограничения потребления.
Аксиомы теории потребления.
Число рациональных потребителей.
Математическое моделирование предпочтений потребителя при бесконечном числе альтернатив. Отношение потребителя к товару.
Моделирование предпочтений потребителя при наличии нейтрального для него товара, полностью замещаемых и дополняемых товаров, точки блаженства.
Моделирование предпочтений ненасыщаемого потребителя.
Непрерывность ОПП.
Лексикографическое отношение предпочтения.
Гипотеза гладкости. Понятие MRS.
Полностью замещаемые товары.
Гипотеза выпуклости и поведение MRS.
Полностью дополняемые товары.
Функция полезности.
Теорема Дебре.
Построение карты безразличия.
Кардинальный подход к понятию полезности. Предельная полезность.
Нелинейность и вогнутость функции полезности.
Парадокс бриллиантов и воды.
Парадокс миллионера и нищего.
Геометрический метод поиска равновесия при наличии нейтральных,
полностью дополняемых и замещаемых товаров.
Модели общего экономического равновесия.
Модель Эрроу-Гурвица.
Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.
Точка блаженства. Равновесие потребителя “хорошего поведения”.
Необходимое условие равновесия потребителя.
Математическая модель задачи выбора потребителя.
Необходимое условие касательного равновесия.
10
30. Относительная предельная полезность. Условия равновесия в терминах MRS.
31. Задача выбора ненасыщаемого потребителя как классическая задача
математического программирования.
32. Определение и основные свойства функции индивидуального спроса.
33. Построение функции индивидуального спроса по известной функции
полезности.
34. Спрос на полностью замещаемые товары.
35. Нормальный и некачественный товары. Предметы роскоши.
36. Кривая «доход-потребление».
37. Кривая Энгеля.
38. Обычный товар и товар Гиффена. Кривая “цена-потребление”.
39. Кривая индивидуального спроса.
40. Реальный доход по Хиксу и Слуцкому. Компенсированное изменение
цены.
41. Уравнение Слуцкого. Закон спроса.
42. Слабая аксиома выявленных предпочтений.
43. Связь обычных и выявленных предпочтений.
44. Алгоритм проверки гипотезы максимизирующего поведения потребителя.
45. Индексы Пааше и Ласпейраса.
46. Использование индексов для оценки положения потребителя. Проблема индексации доходов.
47. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса;
48. Общие модели развития экономики; модель Солоу.
ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Моделирование процесса выпуска продукции (оказания
услуг) с помощью Производственных функций (ПФ)
Процесс производства некоторого изделия описывается с помощью ПФ
q = f(x1, x2) = 4x11/2x21/4,
где x1, x2 – количества затраченных в процессе производства переменных
ресурсов, q – объем выпуска продукции.
Изобразите в пространстве ресурсов все планы производства, позволяющие выпустить такое же количество продукции, что и план x* = (64, 81).
Постройте множества постоянного выпуска (Изокванты) ПФ
11
(1)
Найдите вектор предельного продукта ПФ (1).
Выясните, выполняется ли для ПФ (1) закон убывающей отдачи ресурса.
Постройте Экономическую область ПФ
определите, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса
выясните, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью Эффекта от расширения масштаба производства.
Предположим, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответственно, w1=3 и w2=12 денежных единиц. Постройте семейство Изокост ПФ.
Постройте функцию его переменных издержек. Дайте геометрическую
иллюстрации решения этой задачи
Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска плана, обеспечивающего выпуск заданного количества продукции с минимальными издержками..
2. Построение функции индивидуального спроса по известной
Функции полезности потребителя
Рассмотрим Потребителя, располагающего m=4 денежными единицами
(доход потребителя), которые он хочет потратить (полностью или частично) на приобретение некоторого набора из двух товаров (услуг). Цены товаров известны и равны, соответственно, p1=1, p2=2, Предпочтения Потребителя описываются с помощью Функции полезности
U(x)=x1 2/3x2 1/3.
Аналитически решать задачу выбора потребителя (ЗВП);
2.1. Постройте множество наборов товаров, доступных потребителю
(его бюджетное множество).
2.2. Постройте кривые и карту безразличия.
2.3. Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска оптимального
для потребителя набора товаров;
2.4. Найти и интерпретировать предельные полезности товаров;
2.5. Построите функцию индивидуального спроса;
2.6. Изобразите зависимость между доходом и выбором потребителя
с помощью кривых Энгеля;
2.7. Изобразите зависимость между ценой товара и спросом потребителя на этот товар с помощью кривых (индивидуального) спроса.
12
(2)
3. Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции.
Рассмотрим фирму (продавца), общие издержки которой C(x) зависят от
объема x проданной партии товара следующим образом:
C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27.
Постройте в в одной системе координат графики функций общих и переменных издержек.
Постройте в в одной системе координат графики функций средних общих и средних переменных издержек
Находите функцию предельных издержек и интерпретируйте ее значения;
Изобразите в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек;
Постройте функцию предложения фирмы в условиях совершенной конкуренции;
Находите минимальную цену товара, при которой продажа товара имеет экономический смысл;
Находите цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.
4. Планирование продаж при монопольной структуре рынка
Рассмотрим фирму, монопольно выпускающую и продающую товар,
спрос на который задан обратной функцией рыночного спроса: p(x)=50 –
0,1x. Общие издержки монополиста заданы формулой
C(x)=0,02x2+14x+800.
Постройте кривую рыночного спроса.
вычислите ценовую эластичность спроса. Интерпретируйте полученный результат и идентифицируйте тип спроса.
определите объем предложения товара и цену его продажи, при которых прибыль монопольного продавца будет наибольшей.
геометрически проиллюстрируйте иллюстрировать решение задачи
нахождения оптимального плана монополиста.
изобразите в одной системе координат графики функций дохода и общих издержек. Найдите точки безубыточности.
13
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
 Моделирование процесса выпуска продукции (оказания услуг) с помощью Производственных функций (ПФ)
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент должен быть способен
 по заданной ПФ определять выпуск продукции при известных затратах
ресурсов;
 строить множества постоянного выпуска (Изокванты) ПФ;
 находить и интерпретировать вектор Предельного продукта;
 строить Экономическую область ПФ;
 определять, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса;
 выяснять, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью Эффекта от расширения масштаба производства;
 по заданным ценам ресурсов строить семейство Изокост;
 геометрически иллюстрировать процесс поиска плана, обеспечивающего выпуск заданного количества продукции с минимальными издержками.
 Процесс производства некоторого изделия описывается с помощью
ПФ
q = f(x1, x2) = 4x11/2x21/4,
где x1, x2 – количества затраченных в процессе производства переменных
ресурсов, q – объем выпуска продукции.
1. Изобразим в пространстве ресурсов все планы производства, позволяющие выпустить такое же количество продукции, что и план x* = (64, 81).
План x* позволяет выпустить q=4(64)1/2(81)1/4=96 единиц продукции. Предположим, что план (x1, x2) позволяет выпустить такое же количество продукции:
4x11/2x21/4=96.
Отсюда следует, что затраты первого и второго ресурсов для всех планов
производства, обеспечивающих выпуск 96 единиц продукции, связаны
следующим образом:
x2 = 244  x1–2 = 331776  x1–2.
Графиком полученной функции в пространстве ресурсов является
изокванта, соответствующая выпуску 96 единиц продукции:
14
(1)
x2
81
x*
O
64
Рис. 1 Изокванта производственной функции f(x1, x2) = 4x11/2x21/4
2. Найдем вектор предельного продукта ПФ (1):
 f f 
  2 x11 / 2 x12 / 4 , x11 / 2 x 23 / 4 .
f  
,
 x1 x 2 
Вычислим первый и второй предельный продукты для плана x*=(64, 81):
f
2  811 / 4 3
1 / 2 1 / 4
 2 x1 x2   
 ,
64,81
x1
641 / 2
4
f
641 / 2
8
1 / 2 3 / 4
 x1 x2
 3/ 4 
.
64,81
x2
81
27
Полученный результат означает, что при увеличении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго выпуск продукции увеличится примерно на 3/4 (аналогично интерпретируется второй предельный продукт).
Из формулы (2) следует, что оба предельных продукта ПФ (1) положительны для всех планов с отличными от нуля затратами ресурсов. Таким
образом, экономическая область ПФ (1) совпадает со всем пространством
ресурсов (без координатных осей).
3. Выясним, выполняется ли для ПФ (1) закон убывающей отдачи ресурса.
Вычислим вторые производные ПФ (1) (за исключением смешанных):
2 f
  f 
2 f

3 / 2 1 / 4





x
x
,

1
2
x12 x1  x1 
x22 x2
15
 f 
3

   x11 / 2 x27 / 4 .
4
 x2 
(2)
Рассмотрим вторую производную ПФ по переменной x1. Зафиксируем затраты второго ресурса. Поскольку при любых затратах первого ресурса
производная отрицательна, первый предельный продукт является убывающей функцией переменной x1.
Это означает, что при фиксированных затратах второго ресурса последовательное увеличение затрат первого ресурса на единицу будет приводить
к последовательному уменьшению приращения выпуска продукции.
4. Рассмотрим вопрос о наличии и характере эффекта от расширения масштаба производства для ПФ (1).
Рассмотрим произвольный план x=(x1, x2). Увеличим затраты всех ресурсов в k раз (k > 1). Для плана kx=(kx1, kx2) выпуск продукции составит
f kx   4kx1 
1/ 2
kx2 1 / 4  4k 3 / 4 x11 / 2 x12 / 4  k 3 / 4 f  x   kf  x .
Таким образом, при увеличении затрат ресурсов в k раз выпуск продукции
всегда увеличивается менее, чем в k раз. ПФ (1) характеризуется убывающим эффектом от расширения масштаба производства.
5. Предположим, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответственно, w1=3 и w2=12 денежных единиц. Задача о построении функции
его переменных издержек подробно рассмотрена в [3, 25]. Остановимся на
геометрической иллюстрации решения этой задачи.
Условно изобразим изокванту, соответствующую выпуску q единиц продукции. Ее уравнение x2=q4/(256 x12) легко получить из формулы (1). На
Рис.1 она построена при q=96. Геометрически найдем тот план производства, который обеспечивает выпуск q единиц продукции с минимальными
(переменными) издержками.
Предположим, что (x10, x20) – план производства по затратам ресурсов. Он
обойдется Производителю в 3x10+12x20 денежных единиц. Обозначим стоимость плана (иными словами, переменные издержки Производителя) через c. В этом случае множество всех планов стоимости c (изокоста) задается уравнением
3x1+12x2 = c.
(3)
Легко видеть, что при различных c уравнение (3) описывает в пространстве ресурсов семейство отрезков параллельных прямых с нормальным
вектором N (3, 12). В связи с этим для построения картины семейства изокост достаточно построить одну изокосту, а затем символически изобразить в пространстве ресурсов остальные изокосты как несколько отрезков
параллельных прямых.
16
Построим изокосту, соответствующую, например, издержкам в 12 денежных единиц. Её уравнение имеет вид
3x1+12x2 = 12.
(4)
Поделив обе части уравнения (4) на 12, получим уравнение прямой в отрезках:
x1 / 4 + x2 / 1 = 1.
(5)
Для построения прямой (5) достаточно соединить точки (4, 0) и (0, 1).
Естественно, изокостой является та часть этой прямой, которая лежит в
первой четверти.
Изокоста позволяет сравнить между собой стоимость различных планов
выпуска. Предположим, что некоторый план x0 принадлежит построенной
изокосте. В этом случае стоимость затраченных ресурсов составит 12 денежных единиц. Любой другой план, лежащий на изокосте также обойдется Производителю в 12 денежных единиц, выше (ниже) изокосты – больше (меньше), чем в 12 денежных единиц.
На Рис. 2 изображена символическая картина семейства изокост. Отметим, что нормальный вектор N (3, 12) указывает направление, в котором от
изокосты к изокосте издержки Производителя возрастают.
1
0.5
N
x*
0
0
5
10
Рис. 2 Нахождение вектора затрат ресурсов, обеспечивающего выпуск заданного количества продукции с наименьшими переменными издержками
Таким образом, в поисках плана производства, обеспечивающего выпуск q
единиц продукции с минимальными издержками, следует "перемещать"
изокосту в направлении, указанном вектором N (3, 12), до тех пор, пока
17
она не коснется изокванты, соответствующей выпуску q единиц продукции (план x* на Рис. 2). Стоимость плана x* показывает, какое минимальное количество денежных средств необходимо для выпуска q единиц продукции (без учета постоянных издержек).
 Построение функции индивидуального спроса по известной Функции
полезности потребителя
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент
должен быть способен
 аналитически решать задачу выбора потребителя (ЗВП);
 по данным ЗВП строить множество наборов товаров, доступных потребителю (его бюджетное множество);
 по известной функции полезности потребителя строить его кривые и
карту безразличия;
 геометрически иллюстрировать процесс поиска оптимального для потребителя набора товаров;
 находить и интерпретировать предельные полезности товаров;
 по известной функции полезности потребителя строить его функцию
индивидуального спроса;
 изображать зависимость между доходом и выбором потребителя с помощью кривых Энгеля;
 изображать зависимость между ценой товара и спросом потребителя на
этот товар с помощью кривых (индивидуального) спроса.
 Рассмотрим Потребителя, располагающего m денежными единицами,
которые он хочет потратить (полностью или частично) на приобретение
некоторого набора из двух товаров (услуг). Цены товаров известны и равны, соответственно, p1, p2, число m в контексте данной задаче называется
доходом потребителя.
Предпочтения Потребителя описываются с помощью Функции полезности
U(x)=x1 2/3x2 1/3.
(1)
Задача нахождения наилучшего для потребителя набора товаров из множества доступных ему наборов называется задачей выбора потребителя
(ЗВП). Она может быть формализована как задача математического программирования
U(x)  max, x  B(m; p),
18
(2)
где: x=(x1, x2) – набор товаров, B(m; p) – бюджетное множество потребителя, U(x) – его функции полезности.
1. Рассмотрим ЗВП, предпочтения которого описываются функцией полезности (1), при доходе потребителя m0=4 и ценах товаров p10=1, p20=2. В
данном случае задача (2) имеет следующий вид:
U(x) =x1 2/3x2 1/3  max, x  B(4; 1, 2).
(3)
Процедура решения задачи (3) подробно описана в [3, 12-18]. Следуя ей,
можно показать, что в рассматриваемой экономической ситуации лучшим
для потребителя будет набор товаров x* = (8/3, 2/3).
2. Предположим, что доход потребителя m и цены товаров p1, p2 изменяются в достаточно малых окрестностях чисел m0, p10, p20. Построим на этом
множестве Функцию индивидуального спроса потребителя. Для этого рассмотрим ЗВП
U(x) =x1 2/3x2 1/3  max, x  B(m; p),
(4)
для некоторых произвольным образом выбранных значений m и p из вышеупомянутых окрестностей.
Замечание 1. Как известно [5, 44], если функция U(x) – функция полезности потребителя, а f(t) – строго монотонно возрастающая числовая функция, то функция V(x) = f(U(x)) также будет функцией полезности потребителя.
Отсюда следует, что поскольку f(t) = t3 является строго монотонно возрастающей числовой функцией, то для рассматриваемого потребителя функция
V(x) =[U(x)]3=[ x1 2/3x2 1/3]3= x12x2
также является функцией полезности, и ЗВП может быть формализована
как
V(x) = x12x2  max, x  B(m; p),
причем множества решений задач (4) и (5) совпадают.
Символически изобразим допустимое множество задачи (5) (бюджетное
множество потребителя). Оно будет выглядеть следующим образом:
19
(5)
x2
m/p2
L(m; p)
x
B(m; p)
x1
O
Рис. 3 Бюджетное множество потребителя
На Рис. 3 L(m; p) – бюджетная линия потребителя.
Решение задачи (5) заведомо существует в силу теоремы Вейерштрасса [3,
15], поскольку при сделанных выше предположениях ее допустимое множество замкнуто, ограничено и не пусто, а целевая функция непрерывна на
нем.
Теоретически решение задачи (5) следует искать
а) среди внутренних точек бюджетного множества;
б) на отрезках координатных осей, входящих в бюджетное множество;
в) на бюджетной линии.
а) Рассмотрим произвольный набор товаров x, являющийся внутренней
точкой бюджетного множества. Вычислим частные производные целевой
функции задачи (5) в точке x (предельные полезности товаров для потребителя, располагающего набором x):
Vx1  2 x1 x2  0,
 
2
Vx2  x1  0.
Отсюда следует, что решение задачи (5) не совпадает с внутренней точкой
бюджетного множества, поскольку в противном случае все частные производные целевой функции в этой точке равнялись бы нулю. Кроме того, используя интерпретацию предельной полезности товаров, можно заключить, что увеличение количества любого товара в наборе x приводит к увеличению полезности набора в глазах потребителя.
б) Поскольку для рассматриваемого типа предпочтений (1) полезность
любого набора товаров, содержащего только один товар, равна нулю, а
полезность любого набора, содержащего оба товара, положительна, реше-
20
ние задачи (5) не может принадлежать отрезкам координатных осей, входящих в бюджетное множество.
в) Таким образом, решение задачи (5) принадлежит бюджетной линии.
Для любого набора x=(x1, x2), принадлежащего бюджетной линии, справедлива цепочка соотношений:
p1 x1  p2 x2  m  x2 
m  p1 x1
, x1  0, m / p1 .
p2
(6)
Это обстоятельство позволяет свести задачу (5) к задаче
V  x1   x12 
m  p1 x1
 max, x1  0, m / p1 .
p2
(7)
Вычислим производную целевой функции задачи (7):
V   x1   2 x1 


m  p1 x1 p1 2 x1
2m  3 p1 x1    3 p1 x1  x1  2m .

x1 
p2
p2
p2
p2 
3 p1 
Поскольку в граничных точках допустимого множества задачи (7) ее целевая функция равна нулю, а в единственной критической точке x1*=(2m)/(3
p1) – положительна, задача (7) имеет решение в точке x1*. Соответственно
(формула (6)), задача (5) имеет решение в точке
 2m m 
.
x * m , p   
,
 3 p1 3 p 2 
(8)
Мы построили функцию, которая каждому сочетанию дохода потребителя
и цен товаров (из достаточно малых окрестностей чисел m0, p10, p20) ставит
в соответствие точку равновесия потребителя. Как известно, такая функция называется функцией индивидуального спроса. Функции
x 1 * m, p 
2m
,
3p1
x 2 * m, p 
m
,
3p2
называются функциями частного спроса, соответственно, на первый и второй товары.
3. Исследуем зависимость потребления товаров от дохода потребителя.
Предположим, что цены товаров неизменны и равны p10=1, p20=2. В этом
случае функции частного спроса
x 1 * m 
2m
,
3
21
x 2 * m 
m
,
6
связывают доход потребителя и его спрос, соответственно, на первый и
второй товары. Графики этих функций, построенные в системах координат
x1Om и x2Om, называются кривыми Энгеля:
m
m
m=6x2
m=1,5 x1
x1
O
x2
O
Рис. 4 Кривые Энгеля для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(x)=x1 2/3x2 1/3
4. Исследуем зависимость потребления первого товара от его цены, при
неизменной цене второго товара и доходе потребителя (p20 = 2, m=4). В
этом случае функция частного спроса на первый товар
x 1 *  p1  
8
3p1
связывает цену первого товара и спрос потребителя на первый товар. График этой функции, построенный в системе координат x1Op1, называется
кривой спроса (индивидуального) на первый товар:
p1
p1 
8
3x 1
x1
O
Рис. 5 Кривая индивидуального спроса на первый товар для потребителя,
предпочтения которого описываются функцией полезности U(x)=x1 2/3x2 1/3
22
 Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент должен быть способен
 изображать в одной системе координат графики функций
а) общих и переменных издержек,
б) средних общих и средних переменных издержек;
 по заданной функции общих издержек находить функцию предельных
издержек и интерпретировать ее значения;
 изображать в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек;
 по заданной функции общих издержек строить функцию предложения
фирмы в условиях совершенной конкуренции;
 находить минимальную цену товара, при которой продажа товара имеет
экономический смысл;
 находить цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.
 Рассмотрим фирму (продавца), общие издержки которой C(x) зависят
от объема x проданной партии товара следующим образом:
C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27.
Как известно, общие издержки есть сумма переменных и постоянных издержек. Ниже будут использоваться следующие обозначения:
С0 (в литературе часто используется обозначение FC – fixed cost) – постоянные издержки; CV(x) (VC – variable cost) – функция переменных издержек; С(x)= CV(x)+С0 (TC – total cost) – функция общих издержек.
Таким образом, С(x) = CV(x) + С0 = (x3 – 3x2 + 4x) + 27.
1. Построим в одной системе координат графики функций общих и переменных издержек. Для построения графиков достаточно заметить, что
обе функции определены только для неотрицательных значений аргумента;
С(0) = С0 = 27 – график функции общих издержек пересекает ось ординат в
точке (0, 27);
СV(0) = 0 – график функции переменных издержек выходит из начала координат;
23
С(x) = СV(x) = 3x2 – 6x +4 > 0 – функции общих и переменных издержек
являются строго монотонно возрастающими при всех x > 0;
С(x) = СV(x) = 6x – 6 = 6(x – 1) – функции общих и переменных издержек
вогнуты при 0  x  1 и выпуклы при x  1.
100
С= С(x)
50
С= СV (x)
0
2
4
Рис. 6 Графики функций общих и переменных издержек
C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27, CV(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27
Отметим, что:
график функции переменных издержек всегда выходит из начала координат;
график функции общих издержек получается из графика функции переменных издержек путем сдвига вверх на число единиц, равное постоянным издержкам;
функции общих и переменных издержек являются строго монотонно
возрастающими;
функции общих и переменных издержек, как правило, начиная с некоторого объема продаж, являются выпуклыми.
2. Выпишем функции средних общих издержек AC(x) (ATC – average total
cost) и средних переменных издержек ACV(x) (AVC – average variable cost),
разделив функции общих и переменных издержек на объем продаж x:
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4.
Построим в одной системе координат графики функций средних общих и
средних переменных издержек.
Графиком функции средних переменных издержек является парабола с
вершиной в точке (1,5; 1,75) и ветвями, направленными вверх.
24
Поскольку AC(x) – ACV(x) =27/x, график функции средних общих издержек расположен выше графика функции средних переменных издержек,
причем по мере роста объема продаж графики функций асимптотически
сближаются.
Исследуем поведение средних общих издержек при стремлении к нулю
(справа) объема продаж товара. Будем иметь:

lim  x
2
 3x  4 
x0
27 
  .
x 
Таким образом, вертикальная асимптота графика функции средних общих
издержек совпадает с осью ординат.
Найдем экстремумы функции y = AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x на промежутке
x > 0. Ее производная имеет следующий вид:
AC  x   2 x  3 
27 2 x 3  3 x 2  27

.
x2
x2
Для нахождения критических точек функции y = AC(x) решим уравнение
2x3 – 3x2 – 27 = 0.
(1)
Как известно, если уравнение вида (1) имеет целый корень, то он является
делителем свободного члена. Таким образом, корнями уравнения (1) могут
являться следующие числа: 1, 3, 9, 27. Непосредственная подстановка
этих чисел в уравнение (1) показывает, что x = 3 является корнем этого
уравнения. Вопрос о наличии других критических точек функции средних
общих издержек (других корней уравнения (1)) оставим пока открытым.
Для выяснения вопроса о наличии и характере экстремума в точке x = 3,
вычислим вторую производную функции y = AC(x):
AC  x   2 
54
.
x3
А. Поскольку AC(3) = 8 > 0, при x = 3 функция средних общих издержек
имеет локальный минимум. Отметим, что AC(3) =13.
Б. В силу того, что AC(x) > 0 при всех x > 0, функция средних общих издержек выпукла на рассматриваемом промежутке, в силу чего ее локальный минимум является глобальным.
В. Из положительности функции y = AC(x) следует, что функция y =
AC(x) строго монотонно возрастает на рассматриваемом промежутке и,
25
следовательно, не может иметь на нем более одного корня. Таким образом,
других экстремумов функция средних общих издержек не имеет.
Используя полученную информацию, построим графики функций средних
общих и средних переменных издержек:
40
С= AС(x)
20
С= AСV (x)
0
2
4
6
Рис. 7 Графики функций средних общих и переменных издержек
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4.
Отметим, что:
график функции средних общих издержек расположен выше графика
функции средних переменных издержек;
по мере роста объема продаж графики функций асимптотически сближаются;
вертикальная асимптота графика функции средних общих издержек
совпадает с осью ординат.
3. Выпишем функцию предельных издержек производства, которая является производной функции общих (и одновременно переменных) издержек:
С(x) = СV(x) = 3x2 – 6x +4.
Функция предельных издержек (в литературе ее часто обозначают MC –
marginal cost) показывает, на сколько примерно возрастут общие издержки
фирмы, если объем продаж товара увеличить на единицу.
Построим график функции предельных издержек. Графиком функции (2)
является парабола с вершиной в точке (1; 1) и ветвями, направленными
вверх.
26
(2)
Обратим внимание на расположение графика функции предельных издержек относительно кривых средних общих и средних переменных издержек. Поскольку будут справедливы следующие равенства:
С(0) = 4 = ACV(0), С(1,5) = 1,75 = ACV(1,5), С(3) = 13 = AC(3),
кривые предельных и средних переменных издержек начинаются из одной
точки оси ординат;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних переменных издержек в точке минимума кривой средних переменных
издержек;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних общих издержек в точке минимума кривой средних общих издержек.
Используя полученную информацию, построим в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных
издержек:
С= С(x)
40
С= AC(x)
20
С= ACV(x)
0
2
4
6
Рис. 8 Графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4, С(x) = 3x2 –
6x +4.
Отметим, что:
кривые предельных и средних переменных издержек начинаются из
одной точки оси ординат;
график функции предельных издержек пересекает график функции
средних переменных издержек в точке минимума кривой средних переменных издержек;
27
график функции предельных издержек пересекает график функции
средних общих издержек в точке минимума кривой средних общих издержек;
функции предельных издержек, начиная с некоторого объема выпуска, являются строго монотонно возрастающими.
4. Предположим, что фирма с рассматриваемой функцией общих издержек, действует в условиях совершенной конкуренции. Рыночный спрос на
продаваемый ею товар задан функцией x = x(p).
Будем считать, что конкуренция в отрасли является совершенной, если
каждая фирма признает, что рыночная цена устанавливается не ею, не зависит от объема ее выпуска, и по этой цене она теоретически может продать любое (не превышающее величины рыночного спроса) количество
продукции.
Предположим, что в рассматриваемый момент времени продажи в отрасли
происходят по цене p. В этих условиях кривая спроса на продукцию фирмы выглядит следующим образом:
Цена
Рыночный спрос
Спрос на
продукцию фирмы
p
O
xp
Рис. 9 Кривая спроса на продукцию фирмы в условиях совершенной конкуренции
Таким образом, выпустив x единиц продукции (закупив для продажи партию товара объемом в x единиц), фирма
не продаст ни одной единицы товара по цене p > p;
по цене p продаст любое количество товара x  [0, x p];
по цене p < p продаст x (p) единиц товара.
28
Как обычно, будем предполагать, что продавец стремится выбрать план (x,
p), где x – объем предложения товара, p – цена товара, таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль.
Условимся ниже обозначать через  и R, соответственно, прибыль и доход
фирмы. Поскольку при p > p будет справедлива следующая цепочка соотношений:
 (x, p) = R (x, p) – C(x) = –C(x)  R (x, p) – C(x) =  (x, p),
подобная стратегия ценообразования не может быть рекомендована.
При цене p < p все потребители продукции отрасли переключатся на товар, предлагаемый рассматриваемой фирмой, что даст ей возможность
полностью обеспечить рыночный спрос, который составит x (p) единиц.
Однако структура издержек фирм в отраслях, в которых складывается совершенная конкуренция такова, что продажа товаров в таких больших
объемах может принести фирме разве лишь значительные убытки.
Таким образом, у фирмы нет оснований отклоняться от сложившейся в отрасли цены, и проблема планирования сводится к проблеме определения
объема предложения товара, максимизирующего прибыль фирмы. При
сделанных предположениях, выпустив x (x  xp) единиц товара и назначив
на него цену p, она получит прибыль в размере
 (x) = R (x) – C(x) = p x – C(x).
Таким образом, в интересующем нас аспекте планирование деятельности
фирмы в условиях совершенной конкуренции может быть формализовано
в виде следующей задачи математического программирования:
 (x) = R (x) – C(x) = p x – C(x)  max, 0 x  xp.
(3)
Выпишем задачу (3) для рассматриваемой фирмы:
 (x) = R (x) – C(x) = p x – (x3 – 3x2 + 4x + 27)  max, 0 x  xp.
Поставим задачу построения функции предложения фирмы. Напомним,
что функция s=s(p), сопоставляющая рыночной цене p объем предложения
товара s(p), который принесет производителю наибольшую прибыль,
называется функцией предложения фирмы.
Для решения поставленной задачи может быть рекомендован следующий
алгоритм.
29
(4)
А. Определение условий, при которых продажа товара не имеет экономического смысла.
Обозначим наименьшее значение функции средних переменных издержек
на промежутке [0, x p] через AVCmin (оно существует в силу нашего предположения о характере изменения средних издержек). Предположим, что
оно достигается в точке xmin.
Легко показать, что при p < AVCmin решение задачи (3) (и задачи (4)) совпадает с левой границей допустимого множества – точкой x=0. Поскольку
при x=0 прибыль продавца совпадает с его постоянными издержками, взятыми со знаком минус, это означает, что любое предложение товара приведет к убыткам, превосходящим постоянные издержки продавца.
Таким образом, s(p)=0 при p < AVCmin. В рассматриваемом случае функция
средних переменных издержек достигает своего наименьшего значения
AVCmin =1,75 при xmin =1,5, откуда следует, что s(p)=0 при p < 1,75.
При p = AVCmin задача (3) ((4)) имеет два решения: x=0 и x = xmin, поскольку
 (xmin) =  (0) = – C0.
Экономически это означает, что при продаже xmin единиц продукции доход продавца в точности покрывает его переменные издержки, и он терпит
убытки в размере постоянных издержек. Отметим, что любое другое предложение приводит к еще большим убыткам.
Таким образом, s(p)={0; 1,5} при p = 1,75. На практике выбор конкретной альтернативы из двух имеющихся в данном случае определяется
прежде всего желанием фирмы быть представленной на рынке рассматриваемого товара.
Б. Определение объема предложения товара.
Предположим, что p > AVCmin = 1,75. Поскольку, как отмечалось выше, в
условиях совершенной конкуренции фирме не выгодно пытаться удовлетворить весь рыночный спрос, в этом случае решение задач (3) и (4) достигается во внутренней точке допустимого множества, то есть в критической
точке функции прибыли. Выпишем производную этой функции:
(x) = R(x) – C(x) = p – (3x2 – 6x + 4).
Для нахождения критических точек функции (5) решим уравнение
30
(5)
3x2 – 6x + 4 – p =0,
(6)
рассматривая p как параметр. Будем иметь две критические точки:
x1  1 
p 1
, x2  1 
3
p 1
.
3
Легко видеть, что поскольку (x) = – 6(x – 1), то (x1) > 0, (x2) < 0, то
есть, x1 – локальный минимум функции прибыли, а x2 – локальный максимум. Отсюда следует, что задача (4) имеет решение в точке x2, и функция
предложения фирмы на рассматриваемом промежутке изменения цены
товара выглядит следующим образом:
s p   1 
p 1
,
3
p  1,75.
Выпишем окончательный вид функции предложения:

0,

s  p   0; 1,5,

p 1
,
1 
3

p  1,75;
p  1,75;
p  1,75.
Построим график функции предложения в системе координат «предложение» – «цена». Графиком функции предложения в этой системе координат
будет множество точек вида
{( s(p), p), p  0}.
При 0  p < 1,75 графиком функции является соответствующий участок
оси ординат, при p = 1,75 – две точки: (0; 1,75) и (1,5; 1,75).
Выясним вид графика при p > 1,75. В этом случае экстремум функции
прибыли достигается в ее критической точке, то есть в точке, в которой
выполняется соотношение
R(x) = p = C(x).
Решим уравнение (7) геометрически. Изобразим в рассматриваемой системе координат кривую предельных издержек y = C(x) и прямую y = p.
31
(7)
1
0.5
0
0
5
10
Рис. 10
Заметим, что при 1,75 < p  4 прямая y = p пересекает кривую предельных
издержек в двух точках. Однако легко показать, что на промежутке убывания предельных издержек (C(x) < 0) функция прибыли фирмы выпукла:
(x) = – C(x) > 0,
и не может достигать максимума.
Таким образом, при цене p прибыль фирмы будет максимальна в точке
x=s(p), которая является абсциссой точки пересечения прямой y = p и возрастающей ветви кривой предельных издержек y = C(x). Полученная нами
точка (s(p), p) графика функции предложения лежит на кривой предельных
издержек. В связи с этим принято говорить, что при p > AVCmin кривая
предложения фирмы совпадает с возрастающей ветвью кривой предельных издержек.
В. Нахождение цены безубыточности.
Определим цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает
с его издержками.
Обозначим наименьшее значение функции средних общих издержек на
промежутке [0, x p] через ATCmin . Предположим, что оно достигается в
точке x0. Как показано ранее (Рис.), x0=3, ATCmin =13.
32
Предположим, что рыночная цена p = ATCmin=13. Изобразим в одной системе координат кривые средних общих и предельных издержек, а также
прямую p =13.
Рис. 11 Графики функций средних общих и предельных издержек
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, С(x) = 3x2 – 6x +4, p = 13.
Поскольку прямая p = 13 пересекает восходящую ветвь кривой предельных издержек при x = x0 = 3, при сложившейся рыночной цене для получения максимальной прибыли предложение фирмы должно составить 3 единицы.
При этом доход, издержки и прибыль фирмы составят, соответственно,
R (x0) = p x0 = ATCmin x0= 39, C (x0) = AC(x0) x0= ATCmin x0= 39,
 (x0) = R (x0) – C (x0) = 0.
Таким образом, при цене p = 13 фирма в точности может покрыть свои издержки, выставив на продажу 3 единицы товара. При других объемах
предложения она будет терпеть убытки.
 Планирование продаж при монопольной структуре рынка
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент
должен быть способен
 построить кривую рыночного спроса;
 вычислить ценовую эластичность спроса, интерпретировать полученный результат и идентифицировать тип спроса;
 определить объем предложения товара и цену его продажи, при которых прибыль монопольного продавца будет наибольшей;
 геометрически иллюстрировать решение задачи нахождения оптимального плана монополиста;
 изображать в одной системе координат графики функций дохода и общих издержек, находить точки безубыточности.
  Рассмотрим фирму, монопольно выпускающую и продающую товар,
спрос на который задан обратной функцией рыночного спроса: p(x)=50 –
0,1x. Общие издержки монополиста заданы формулой
C(x)=0,02x2+14x+800.
1. Построим кривую рыночного спроса.
33
Цена
50
C
p*
A
p
O
B
x(p*)
x*
x
Предложение
x(p)
500
Спрос
Рис. 12 Соотношение спроса и предложения при планировании монополиста
График функции спроса показывает, что:
при цене p=50 и более товар перестает покупаться кем бы то ни было,
более 500 единиц товара на рассматриваемом рынке невозможно реализовать даже бесплатно.
2. Выясним, каким образом тип спроса связан с ценой товара. Тип спроса
определяется значением ценовой эластичности спроса, которая вычисляется по формуле
e p x  
p
x p  ,
x p 
где x (p) – прямая функция спроса.
Преобразовав обратную функцию спроса в прямую (x = 500 – 10 p), вычислим его ценовую эластичность:
e p x  
p
 10   p .
500  10 p
50  p
34
(1)
Легко видеть, что ep(x) = –1 при p = 25, и спрос может быть идентифицирован следующим образом:
Цена товара
0  p < 25
p = 25
25 < p  50
Ценовая эластичность спроса
–1< ep(x)  0
ep(x) = –1
ep(x) < –1
Тип спроса
Не эластичный
Нейтральный
Эластичный
3. Предположим, что фирма намерена произвести x единиц товара и продать их по цене p. Назовем вектор (x, p) планом монополиста. Будем считать, что продавец в процессе планирования рассматривает любые сочетания объема выпуска товара и цены его продажи. Такое планирование
называется долговременным.
Рассмотрим план А (x*, p*) (Рис. 12), лежащий выше кривой спроса. Для
этого плана предложение (x*) превышает спрос (x(p*)). Для плана B (x', p'),
лежащего ниже кривой спроса, спрос (x(p’)) превышает предложение (x').
Наконец, для плана C(x(p’), p’), лежащего на кривой спроса, предложение
(x(p’)) и спрос (x(p’)) совпадают.
Будем предполагать, что продавец выбирает план (x, p) таким образом,
чтобы максимизировать свою прибыль.
Можно показать, что при долговременном планировании любой план (x,
p), не принадлежащий кривой спроса, не может принести монополисту
наибольшую прибыль. Таким образом, ему следует рассматривать только
такие планы, при которых спрос совпадает с предложением.
Предположим, что продавец решил закупить x единиц товара (x  500).
Весь товар будет реализован, если на него назначить цену p = p(x) = 50 –
0,1x. При этом выручка (доход) продавца составит R(x) = xp(x) = x(50 –
0,1x) денежных единиц, а прибыль, соответственно, (x) = R(x) – C(x) =
x(50 – 0,1x) – (0,02x2+14x+800).
Таким образом, задача нахождения плана деятельности монопольного
продав-ца, желающего получить в долговременном плане наибольшую
прибыль, может быть формализована как следующая задача математического программирования:
35
(x)=R(x) – C(x)= xp(x) – C(x)  max, x[0, a],
(2)
где a – объем спроса на товар при p=0. В рассматриваемом случае задача
(2) имеет следующий вид:
(x)= x(50–0,1x) – (0,02x2+14x+800)  max, x[0, 500].
Решение задачи (3) заведомо существует (в силу теоремы Вейерштрасса)
и искать его следует либо среди критических точек функции прибыли, либо на границе допустимого множества задачи: при x=0 или при x=500.
Заметим, что решение задачи типа (2) не может совпадать с правой границей допустимого множества, поскольку такое количество товара можно
реализовать только бесплатно, и будет справедливо следующее неравенство:
(a) = – C(a) < – C(0) = (0).
Таким образом, для решения задачи (2) достаточно найти критические
точки функции прибыли, вычислить значение прибыли продавца в этих
точках и сравнить полученные результаты с его постоянными издержками.
Найдем критические точки функции (x) из уравнения:
(x)=50–0,2 x–0,04 x–14=36–6x/25=0.
Легко видеть, что функция (x) имеет единственную критическую точку,
принадлежащую допустимому множеству: х=150. Вычислим соответствующее значение прибыли продавца: p(150) = 1900 > – 800.
Таким образом, продажа товара в объеме 150 единиц принесет продавцу
наибольшую прибыль, которая составит 1900 денежных единиц:
argmax (x)=150, max=1900.
При этом в соответствии с обратной функцией спроса цена товара составит
p(150) = 50 – 15 = 35.
4. Найдем ценовую эластичность спроса при цене p = 35. Воспользовавшись формулой (1) будем иметь ep(x)= – 7/3. Полученный результат озна-
36
(3)
чает, что при цене p = 35 увеличение ее на один процент приведет к падению спроса примерно на 7/3 процента.
Таким образом, при цене, назначенной в условиях монополии, спрос на
товар является эластичным.
5. Если есть основания считать, что в долговременном плане продавцу не
имеет смысла покидать рассматриваемый рынок, решение поставленной
задачи можно получить графическим способом. Сделанное предположение означает, что реше-ние задачи (2) отлично от x=0, и достигается в некоторой критической точке x* функции прибыли:
(x*)=R (x*)–C(x*)=0.
Таким образом, продавец получит наибольшую прибыль при таком объеме
предложения товара, при котором его предельный доход совпадет с предельными издержками. Найдем функции предельного дохода и предельных издержек:
R (x)=[x(50 – 0,1x)] =50 – 0,2x; C(x)=[0,02x2+14x+800] = 0,04x+14.
Изобразим графики полученных функций вместе с графиком функции
спроса в одной системе координат:
Demand curve
Marginal revenue curve
p
Marginal cost curve
50
35
14
x
O
150
250
500
37
Рис. 13 Геометрическое решение задачи нахождения оптимального плана
монополиста
При сделанных предположениях абсцисса точки пересечения кривой предель-ного дохода с кривой предельных издержек является точкой максимума прибыли. Найдя эту точку, можно, используя кривую спроса, определить цену товара, при которой спрос совпадет с предложением.
6. Поскольку в реальной экономической ситуации принцип максимизации
прибыли редко реализуется в чистом виде, полезно знать, при каком объеме предложения доход продавца превышает его издержки и наоборот.
Построим в одной системе координат графики функций дохода и общих
издержек: R(x)= x(50 – 0,1x), C(x)=0,02x2+14x+800.
x2
m/p2
x
L(m; p)
B(m; p)
x1
O
Рис. 14 Анализ прибыльности с помощью точек безубыточности
Точки x1 и x2 (объем предложения, при котором доход продавца в точности
равен его общим издержкам) называются точками безубыточности. Для их
аналитического нахождения достаточно решить следующее уравнение:
R(x) = x(50 – 0,1x) = 0,02x2+14x+800 = C(x).
Будем иметь x1, 2  150 
50
57  150  126  x1  24, x2  276.
3
Таким образом, предложение товара в размере от 26 до 276 единиц товара
позволит получить фирме положительную прибыль, иное предложение
приведет к убыткам.
38
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольная работа по дисциплине «Математическая экономика» состоит
из четырех задач, номера которых связаны с последней цифрой номера
зачетной книжки выполняющего ее студента следующим образом:
Последняя цифра
номера зачетной
книжки
Содержание
варианта
Последняя цифра номера зачетной книжки
Содержание
варианта
0
10, 20, 30, 40
5
5, 15, 25, 35
1
1, 11, 21, 31
6
6, 16, 26, 36
2
2, 12, 22, 32
7
7, 17, 27, 37
3
3, 13, 23, 33
8
8, 18, 28, 38
4
4, 14, 24, 34
9
9, 19, 29, 39

Моделирование процесса выпуска продукции (оказания услуг) с
помощью
Производственных функций (ПФ)
1 – 5. Процесс производства некоторого товара описывается с помощью
ПФ
q =  x1x2.
1. В одной системе координат изобразите изокванты, которым принадлежат планы (a, b) и (c, d). Какой план даст большее количество продукции?
2. Для плана (a, b) найдите оба предельных продукта. Интерпретируйте
полученные результаты. Принадлежит ли план (a, b) экономической области?
3. Характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью эффекта масштаба?
4. Выясните, выполняется ли для ПФ закон убывающей отдачи ресурса.
39
5. Предполагая, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответственно, w1 и w2 денежных единиц, постройте функцию его переменных издержек. Приведите геометрическую иллюстрацию решения задачи.
Задачи



a
b
c
d
w1
w2
1
2
1/3
1/3
1
8
9
3
1
3
2
3
1/2
1/2
8
2
3
12
1
3
3
2
1/2
1/2
4
9
8
2
10
2
4
2
2/3
1/3
16
2
3
9
3
12
5
5
1/2
1/2
16
9
4
16
3
12
6 – 10. Процесс выращивания пшеницы в некотором хозяйстве описывается ПФ
q = 2( x1x2   x12   x22),
где: x1 – число сотен отработанных человеко-часов, x2 – число обработанных акров земли [акр(acre) – единица площади в английской системе мер;
1 акр приблизительно равен 0.4 га], q – количество собранных бушелей
пшеницы [бушель (bushel) – единица объема сыпучих веществ и жидкостей в странах с английской системой мер; в Великобритании бушель равен 36.37 л].
1. Найдите оба предельных продукта для плана (a, b). Интерпретируйте
полученные результаты. Принадлежит ли план (a, b) экономической области?
2. Постройте экономическую область ПФ.
3. Характеризуется ли данная ПФ той или иной разновидностью эффекта
от расширения масштаба производства?
4. Выясните, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса.
5. При каком количестве затраченных человеко-часов урожай, собранный
с участка земли площадью c акров, будет максимальным?
40
Задачи



a
b
c
6
5
2
3
5
6
10
7
5
3
2
10
11
12
8
6
1
4
24
10
20
9
6
4
1
12
20
15
10
8
5
2
16
24
20
  Построение функции индивидуального спроса по известной Функции полезности потребителя
11 – 20. Потребитель располагает m денежными единицами, которые он
хочет истратить (полностью или частично) на приобретение некоторого
набора из двух товаров (услуг). Цены товаров и доход потребителя известны и равны, соответственно, p1, p2, m, а его предпочтения описываются с
помощью функции полезности U(x).
1. Постройте бюджетное множество потребителя.
2. Изобразите карту безразличия потребителя.
3. Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска оптимального для
потребителя набора товаров.
4. Аналитически решите задачу выбора потребителя.
5. Предполагая, что доход потребителя и цены товаров изменяются в достаточно малых окрестностях чисел m, p1, p2, постройте функцию индивидуального спроса потребителя.
6. Предполагая, что цены товаров равны p1 и p2 и не изменяются, изобразите зависимость между доходом и выбором потребителя с помощью
кривых Энгеля.
7. Предполагая, что цена второго товара и доход потребителя равны p2 и m
и не изменяются, изобразите зависимость между ценой первого товара
и спросом потребителя на этот товар с помощью кривой индивидуального спроса.
Задачи
m
p1
p2
41
U(x)
11
12
4
1
x1 1/2x2 1/2
12
72
4
6
x1 1/6x2 5/6
13
80
6
8
x1 1/2x2 1/3
14
90
5
6
x1 1/4x2 1/2
15
60
2
4
x1 1/3x2 2/3
16
84
4
12
x1 1/7x2 6/7
17
81
9
5
x1 2/5x2 1/2
18
99
8
3
x1 2/3x2 1/4
19
56
2
7
5x1 + 7x2
20
72
4
9
2x1 + 9x2
  Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции
21 – 30. Рассмотрим фирму (продавца), общие издержки которой C(x) зависят от объема x проданной партии товара следующим образом:
C(x) = x3 – ax2 + bx + c.
1. Изобразите в одной системе координат графики функций общих и переменных издержек.
2. Изобразите в одной системе координат графики функций средних общих и средних переменных издержек.
3. Изобразите в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек.
4. По заданной функции общих издержек аналитически постройте функцию предложения фирмы в условиях совершенной конкуренции.
5. В системе координат «предложение» – «цена» постройте график функции предложения фирмы.
6. Найдите минимальную цену товара, при которой его продажа имеет
экономический смысл.
7. Найдите цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.
42
Задачи
a
b
c
Задачи
a
b
c
21
1
3
1
26
7
18
343
22
2
3
8
27
8
25
512
23
4
6
64
28
9
30
729
24
5
9
125
29
2
5
8
25
6
15
216
30
4
7
64

Планирование продаж при монопольной структуре рынка
31 – 40. Функция рыночного спроса на товар и функция общих издержек
монопольного продавца товара заданы формулами:
x=x(p), C=C(x).
1. Постройте кривую рыночного спроса.
2. Вычислите ценовую эластичность спроса и идентифицируйте тип спроса в зависимости от цены товара.
3. Определите объем предложения товара и цену его продажи, при которых прибыль продавца будет наибольшей.
4. Найдите ценовую эластичность спроса при назначенной цене, интерпретируйте полученный результат.
5. Геометрически проиллюстрируйте решение задачи нахождения оптимального плана монополиста.
6. Изобразите в одной системе координат графики функций дохода и общих издержек фирмы, графически найдите точки безубыточности.
Задачи
Функция спроса
(обратная функция спроса)
Функция общих издержек
31
x=100 – 20p1/2
C(x)=0,04x2+3x+100
32
x=10(25 – p)1/2
C(x)=0,04x2+3x+100
43
33
p=75 – 3x2
C(x)=(1/24)x2+4x+100
34
x=90(p+5)–1 – 6
C(x)=3,75x+2,5
35
x=30(p+5)–1 – 1
C(x)=2,5x+5
36
x =75 – 3p
C(x)=0,04x2+3x+100
37
x=10 – 0,4p
C(x)= 0,1x3–3x2+50x+300
38
p=225 – 3x2
C(x)= 0,1x3–3x2+50x+300
39
x=10(48 – p)1/2
C(x)=0,04x2+18x+50
40
x=27 – 3p1/2
C(x)=(1/6)x2+11x+50
44
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ (1)
УЧЕБНИКИ
Основные
1.
2.
Колемаев А.А., Математическая экономика (Учебник) 3-е изд,
(ГРИФ), М: ЮНИТИ -ДАНА, 2005, 399с.
Мозгирев Б.Т. Финансовая математика (Учебно-методический комплекс), СПб: СПбИВЭСЭП, 2006, 48с.
Дополнительные
1. Иванов А.Е. Математическое моделирование индивидуального
спроса: альтернативы потребителя. – СПб, ТЭИ, 2002.
2. Иванов А.Е. Математическое моделирование индивидуального
спроса: предпочтения потребителя. – СПб, ТЭИ, 2003.
Вспомогательная
3. Леонтьев В.В. Применение математики в экономике. – В кн.:
“Экономические эссе”. – М., Изд-во политической литературы,
1990.
4. Экланд И. Элементы математической экономики. – М., “Мир”,
1983.
5. Varian H. Intermediate Microeconomics. – New-York, W.W. Norton,
1987
6. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика.
Т. 1. – СПб, “Экономическая школа”, 1994.
7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.
Математика в экономике. Т. 1, 2. – М., “Финансы и статистика”,
1999.
8. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение.
Т. 1, 2. – М., “Финансы и статистика”, 1992.
Электронные учебники
9. Иванов А.Е., Райчук Д.Ю. (web-дизайн Евсеев Д.А.) Принятие
решения в менеджменте. – Учебная дисциплина для дистанционного обучения. – http://de.nwpi.ru/courses/man
(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
45
СПРАВОЧНИКИ.
Вспомогательная
10. Arrow K., Intriligator M. Handbook of Mathematical Economy. V.1,2
— Amsterdam, 1981.
46
ГЛОССАРИЙ
Бинарное отношение – множество пар элементов множества, находящихся между собой в некотором отношении. Принадлежность пары элементов
[x, y] бинарному отношению, как правило, обозначается xRy или x  y.
Верхняя граница числового множества – число, которого не превосходят элементы множества.
Верхняя грань числового множества – наименьшая из верхних границ
множества.
Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе
с некоторой своей окрестностью.
Выпуклое множество – множество, содержащее наряду с любыми двумя
своими точками x1 и x2 отрезок, их соединяющий (или, другими словами,
все выпуклые линейные комбинации точек x1 и x2 ).
Выпуклой линейной комбинацией наборов товаров x1 и x2 называется
набор товаров вида
x =  x1+(1– ) x2,
где  – вещественное неотрицательное число, не превосходящее единицы:
[0,1]. Геометрически, множество выпуклых линейных комбинаций
наборов товаров x1 и x2, соответствующих всевозможным значениям
[0,1], представляет собой отрезок, соединяющий в пространстве товаров точки x1
x2 .
Двусторонняя олигополия – рыночная структура, характеризующаяся
относительно небольшим числом производителей и потребителей.
Доход потребителя – количество денег, предназначенное потребителем
для приобретения определенной группы товаров.
Доминируемая альтернатива – альтернатива, по отношению к которой
можно указать строго более предпочтительную.
Замкнутое множество – множество, которому принадлежит предел любой сходящейся последовательности его элементов.
Индивидуальные потребители – покупатели, которые приобретают товары в целях удовлетворения личных потребностей.
Карта безразличия – символически изображенная совокупность всех
множеств безразличия, снабженная указанием на то, каким множествам
безразличия принадлежат строго более предпочтительные для потребителя
наборы товаров.
Касательная точка равновесия – точка равновесия, содержащая все рассматриваемые товары в отличном от нуля количестве.
47
Классы эквивалентности – непересекающиеся подмножества некоторого
множества, состоящие из эквивалентных элементов.
Кривая «Доход – Потребление» (Income Consumption Curve (ICC)) – график функции индивидуального спроса, построенный в системе координат
«Потребление первого товара – Потребление второго товара» в предположении о том, что цены товаров неизменны.
Кривая Энгеля – график функции частного спроса на определенный товар, построенный в системе координат «Потребление товара – Доход потребителя» в предположении о том, что цены товаров неизменны.
Кривая «Цена – Потребление» (Price Consumption Curve (PCC)) – график
функции индивидуального спроса, построенный в системе координат «Потребление первого товара – Потребление второго товара» в предположении о том, что доход потребителя неизменен.
Кривая индивидуального спроса на товар – график функции частного
спроса на определенный товар, построенный в системе координат «Потребление товара – Цена товара» в предположении о том, что доход потребителя неизменен.
Лояльность потребителей к торговой марке фирмы – готовность потребителей продолжать покупать товар фирмы, не смотря на некоторое повышение его цены.
Метод парного сравнения – метод выяснения отношения потребителя к
различным альтернативам, в котором ему предлагается сравнить имеющиеся альтернативы попарно.
Множеством безразличия альтернативы x0 называется множество альтернатив, равноценных x0:
I(x0) = {xΩ | x ~ x0}.
Модель типа «Купить – не купить» (take-or-leave) – это модель, в которой товар предлагается покупателю в фиксированном продавцом количестве и либо приобретается покупателем, либо нет.
Монопсония – это рыночная структура, характеризующаяся единственным покупателем.
Нейтральный товар – товар, и увеличение, и уменьшение потребления
которого в наборе x0 дает НН равноценный набор товаров.
Общее уравнение прямой на плоскости – уравнение прямой вида
Ax1+Bx2=C. В таком уравнении коэффициенты при x1 и x2 указывают координаты нормального вектора прямой: N(A, B).
48
Ограниченная монополия – это рыночная структура, характеризующаяся
единственным производителем и относительно небольшим числом потребителей.
Ограниченное множество – это множество, содержащееся в некотором
шаре конечного радиуса.
Однородный товар – продукция отрасли в том случае, когда отраслевые
конкуренты предлагают стандартный продукт или продукты с высокой
перекрестной ценовой эластичностью спроса.
Определение бизнеса – перечень удовлетворяемых им потребностей, обслуживаемых групп потребителей и используемых технологий производства товаров или услуг и/или доставки их потребителям.
Оптовый покупатель –покупатель, который приобретают товары в целях
их последующей перепродажи.
Открытое множество – множество, все точки которого внутренние.
Параметры ЗВП – это количество денег m, находящееся в распоряжении
потребителя, и цены p = (p1 , p2 , ..., pn) приобретаемых им товаров.
Перекрестная ценовая эластичность спроса показывает, насколько примерно изменится спрос на один товар при достаточно малом изменении
цены другого.
Плохой товар – товар, увеличение потребления которого в наборе x0 позволяет НН получить строго менее предпочтительный набор товаров, а
уменьшение – строго более предпочтительный.
Полностью сбалансированной инфляцией называется инфляция, при
которой цены товаров и доходы потребителей растут пропорционально: m
= m, p = p.
Порядковое множество – множество B(x0) (W(x0), I(x0)) альтернатив, которые для потребителя более предпочтительны (менее предпочтительны,
равноценны) по сравнению с альтернативой x0. Множество строго более
(менее) предпочтительных альтернатив обозначается B (x0) (W (x0)).
Проекцией точки x0 на множество X называется точка xX, находящаяся
на минимальном расстоянии от точки x0.
Промышленный покупатель – это покупатель, который использует приобретенные товары как ресурсы для производства других товаров.
Производственная функция – это функция, которая связывает объемы
затраченных ресурсов с объемом выпущенной продукции.
Прямое произведение множества A на множество B – это множество AB,
образованное всеми парами [a, b], первые элементы которых принадлежат
множеству A, а вторые – B.
49
Рациональный потребитель – это потребитель с рефлексивным, полным
и транзитивным отношением предпочтения, делающий выбор в соответствии с гипотезой максимизирующего поведения.
Регулярное отношение предпочтения (потребитель «хорошего поведения») – отношение предпочтения (потребитель), для которого выполняются гипотезы рефлексивности, полноты, транзитивности, ненасыщаемости,
непрерывности, гладкости и выпуклости.
Стратегические бизнес-единицы (СБЕ) фирмы – это ее структурные
подразделения с различным определением бизнеса.
Стратегия бизнеса – это стратегия обеспечения долгосрочных преимуществ СБЕ перед конкурентами.
Стратегия дифференциации (Differentiation) – стратегия достижения лидерства в той области, которая ценится значительной частью рынка: репутации, сервиса, качества, стиля, что позволяет увеличить лояльность потребителей по отношению к продукции бизнеса.
Стратегия минимизации издержек (Overall cost leadership) – постоянное
сокращение производственных и дистрибьюторских издержек, что позволяет установить цену ниже, чем у конкурентов, и расширить свою долю
рынка.
Стратегия фокуса (Focus) – стратегия достижения лидерства на узком
сегменте рынка, за счет детального знания потребительских предпочтений
и применения к избранному сегменту стратегии минимизации издержек
или дифференциации.
Связное множество – множество, любые две точки которого могут быть
соединены ломаной линией, целиком ему принадлежащей.
Счетное множество – множество, между элементами которого и натуральным рядом можно установить взаимно однозначное соответствие.
Текущая экономическая ситуация – это ситуация, характеризующаяся
вектором цен товаров p = (p1 , p2 , ..., pn) и величиной дохода потребителя
m.
Увеличение потребления товаров – либо увеличение потребления всех
товаров, либо увеличение потребления одних товаров при неизменном потреблении остальных.
Угловая точка равновесия – точка равновесия, не содержащая, по крайней мере, одного из рассматриваемых товаров.
Уравнение прямой в отрезках на осях – это уравнение прямой вида x1/a
+ x2/b=1, где a – абсцисса точки, в которой прямая пересекает ось Ox1, b –
ордината точки, в которой прямая пересекает ось Ox2.
50
Функция индивидуального спроса – функция, которая каждому сочетанию дохода потребителя и цен товаров (из некоторой области изменения
параметров ЗВП) ставит в соответствие точку равновесия потребителя.
Функция частного спроса – функция, которая каждому сочетанию дохода потребителя и цен товаров (из некоторой области изменения параметров ЗВП) ставит в соответствие оптимальное для него потребление определенного товара.
Функция полезности, представляющая ОПП на множестве X, – функция,
сопоставляющая на множестве X каждому набору товаров x действительное число U(x), причем при сравнении двух альтернатив большее ее значение указывает на строго большую предпочтительность альтернативы для
потребителя, а одинаковые значения – на равноценность альтернатив
 
 
 
U x 2  U x1  x 2  x1 ;
 
U x 2  U x1  x 2 ~ x1 .
Хороший товар – товар, увеличение потребления которого в наборе x0
позволяет НН получить строго более предпочтительный набор товаров, а
уменьшение – строго менее предпочтительный.
Ценовая дискриминация – ценовая политика, ставящая цену товара в зависимость от конкретного потребителя и (или) объема покупки. Если цена
товара зависит от количества приобретаемого товара и конкретного потребителя, то говорят, что имеет место ценовая дискриминация первой степени, если только от количества приобретаемого товара – второй, если только от конкретного потребителя – третьей.
Шар B(x0, r) – множество точек, находящихся от точки x0 на расстоянии,
не превосходящем r.
Эквивалентные элементы – элементы множества, относительно которых
с точки зрения заданного бинарного отношения одновременно имеет место x  y и y  x.
51
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ........................................................................ 3
Выписка из государственного образовательного стандарта ....................... 3
Цели и задачи дисциплины ............................................................................. 4
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................ 5
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ..................................................................................... 7
Содержание лекционных занятий. ................................................................. 7
Содержание практических занятий. ............................................................... 9
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ............................... 10
Примерные вопросы к экзамену ................................................................... 10
Примерные задачи к экзамену ...................................................................... 11
Методические указания ................................................................................. 14
Контрольные задания..................................................................................... 39
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ................................................ 45
Учебники ......................................................................................................... 45
Справочники. .................................................................................................. 46
ГЛОССАРИЙ ..................................................................................................... 47
СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................. 52
52
1
СПбИВЭСЭП
Санкт-Петербург, Литейный пр., 42
Подписано к печати __.__.2011 г. Тираж ____ экз.
Ризограф о-ва «Знание»
1
53