Ответы на дискретную математику экзамен 1 курс (белгу)

ОТВЕТЫ НА ЭКЗАМЕН
БИЛЕТ 1
1. Понятие множества, подмножества, способы задания множеств.
Понятие множества является первичным понятием математики,
следовательно, не имеет строгого определения. Под множеством понимают
объединение в одно целое различных объектов. Порядок объектов во
множестве не важен.
Пример: множество действительных чисел, множество точек плоскости
Множество A называют подмножеством множества B, если любой
элемент A является элементом B. При этом говорят, что B содержит или
покрывает A. Это обозначается AB.
Пустое множество принято считать подмножеством любого множества.
Множества можно задавать:
 перечислением элементов;
Перечислением элементов могут быть заданы только конечные
множества. Список элементов обычно заключается в фигурные скобки,
например, A={a,b,c,d}.
 процедурой, порождающей элементы;
Порождающая процедура описывает способ получения элементов
множества из уже полученных элементов либо из других объектов, например,
множество M2n =1,2,4,8,… может быть определено двумя правилами:
1) 1M2n
2) если mM2n, то 2mM2n.
Распространенной порождающей процедурой является образование
множества из других множеств с помощью операций над множествами,
которые будут рассмотрены в дальнейшем.
 описанием характеристических свойств элементов.
Множество также можно задать описанием характеристических свойств
элементов. Например, множество M2n образуют целые числа, являющиеся
степенями двойки.
В случае, когда свойство элементов множества M может быть описано
коротким выражением P(x), то для задания M используют запись M={x|P(x)},
которая читается так M – это множество всех элементов x, обладающих
свойством P(x). Например, M2n={x|x=2k,kN0}, где N0={0,1,2,...} - множество
целых неотрицательных чисел.
Пример
2. Комбинаторные объекты. Перестановки с повторениями
Мультимножество есть объединение не обязательно различных объектов.
Его можно считать множеством, в котором каждому элементу поставлено
в соответствие положительное целое число, называемое кратностью.
Пример
БИЛЕТ 2
1. Операции над множествами
2. Комбинаторные объекты. Сочетания с повторениями.
Сочетания с повторениями. Сочетаниями из m элементов по n элементов с
повторениями называются группы, содержащие n элементов, причем каждая
элемент принадлежит к одному из m типов.
Пример. Из трех элементов (m=3) a, b, c можно составить такие сочетания
по два с повторениями: aа, ab, ас, bb, bc, cc.
Теорема. Число различных сочетаний из m элементов по n с повторениями
равно
Доказательство. Каждое сочетание полностью определяется, если указать,
сколько элементов каждого из m типов в него входит. Поставим в
соответствие каждому сочетанию последовательность нулей и единиц,
составленную по следующему правилу: ставим подряд столько единиц,
сколько элементов первого типа входит в сочетание, далее ставим нуль, и
после него пишем столько единиц, сколько элементов второго типа содержит
это сочетание и т.д. Например, написанным выше сочетаниям из трех букв по
две будут соответствовать такие последовательности:
1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011.
Пример
БИЛЕТ 3
1. Векторы и прямые произведения.
Вектор (или кортеж)– это упорядоченный набор элементов. Понятие
«вектор» как и понятие «множество» является первичным.
Элементы, образующие вектор, называются координатами или
компонентами вектора.
В отличие от элементов множества, координаты вектора могут
совпадать, и их порядок важен.
Длиной вектора называется число координат вектора.
Для сокращения речи векторы длины 2 называют двойками, 3 –
тройками и т.д.
Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и
соответствующие их координаты равны.
2. Комбинаторные объекты. Композиции.
БИЛЕТ 4
1. Соответствия.
2. Алгебра Буля.
БИЛЕТ 5
1. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств.
2. Двойственные и самодвойственные логические функции. Принцип
двойственности.
БИЛЕТ 6
1. Отображения и функции.
2. СДНФ логической функции
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для логической функции – это
дизъюнкция различных элементарных конъюнкций всех аргументов (либо самих, либо их
отрицаний) данной функции, причём в одинаковом порядке. При этом таблицы истинности
для логической функции и её СДНФ совпадают.
БИЛЕТ 7
1. Отношения. Свойства отношений.
2. СКНФ логической функции
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) для логической
функции – это конъюнкция различных элементарных дизъюнкций всех аргументов
(либо самих, либо их отрицаний) данной функции, причём в одинаковом порядке. При
этом таблицы истинности для логической функции и её СКНФ совпадают.
БИЛЕТ 8
1. Отношения. Виды отношений
2. Алгебра Жегалкина
БИЛЕТ 9
1. Понятие алгебры. Группа подстановок
2. Полином Жегалкина
БИЛЕТ 10
1. Понятие алгебры. Кольцо вычетов.
2. Линейные функции
Линейная булева функция — один из видов логических функций предполного
класса.
Функция называется линейной, если каждое элементарное произведение
канонического полинома Жегалкина, который представляет эту функцию, имеет
не больше одного сомножителя.
БИЛЕТ 11
1. Понятие алгебры. Поле вычетов
2. Минимизация логических функций.
БИЛЕТ 12
1. Комбинаторные объекты. Подмножества.
2. Метод Квайна
Отсюда можно сделать вывод, что все импликанты, имеющие вид
конъюнкций, и только они, могут быть образованы в результате
последовательного склеивания конъюнкций из СДНФ.
БИЛЕТ 13
1. Комбинаторные объекты. Перестановки.
Перестановки
№1. На столе яблоко, груша и банан. Сколькими способами их можно переставить?
2. Функционально полные системы логических функций. Определение
полноты системы логических функций путем ее сведения к заведомо
полной системе.
БИЛЕТ 14
1. Комбинаторные объекты. Сочетания. Свойства сочетаний.
2. Функционально полные системы логических функций. Класс
линейных и монотонных функций. Первая теорема о функциональной
полноте.
Класс линейных функций (L) определяется как класс булевых функций, для
которых полином Жегалкина имеет степень не выше первой, то есть содержит
конъюнкции длиной не более 1.
Для проверки произвольной функции на принадлежность классу L необходимо
построить для неё полином Жегалкина.
Класс M монотонных функций - это класс функций таких, что если. X ≤ Y, то ƒ (X) ≤ ƒ (Y),
т.е. функция на большем наборе принимает не меньшее значение. Среди заданных в
таблице 6 функций двух существенных переменных монотонными являются конъюнкция
и дизъюнкция.
Первая теорема о функциональной полноте гласит: для того чтобы система функций
Х была функционально полной в слабом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она
содержала хотя бы одну немонотонную и хотя бы одну нелинейную функцию.
БИЛЕТ 15
1. Комбинаторные объекты. Размещения.
2. Функционально полные системы логических функций. Класс
сохраняющих 0, сохраняющих 1 и самодвойственных функций. Вторая
теорема о функциональной полноте
Функционально полная система логических элементов — это такой набор элементов,
используя
который
можно
реализовать
любую
сколь
угодно
сложную логическую функцию. Поскольку любая логическая функция представляет
собой комбинацию простейших функций — дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, то набор
из элементов трех типов, реализующих соответственно функции И, или и НЕ, естественно,
является функционально полным.
2. Булева функция f сохраняет константу 1, если f(1,1,…,1) = 1.
К1 - множество всех булевых функций, сохраняющих
константу 1.
Булева функция принадлежит классу К1, если на наборе (1,1,…,1)
она принимает значение 1. На остальных наборах значение функции
произвольно.