Занятие тема Построение графиков тригонометрических функций

Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
Группа: 12
Дата: 17.11.2023г.
Дисциплина: ОДп.03 Математика
Занятие № 57
Вид занятия: Практическое занятие № 12
Тема: Построение графиков тригонометрических функций с помощью
геометрических преобразований графиков
Цель:
− выработать умение и навыки построения графиков тригонометрических функций,
используя геометрические преобразования;
− способствовать развитию пространственного воображения;
− развивать практические навыки по построению графиков, логического мышления, умения
наблюдать, рассуждать по аналогии;
− воспитывать культуру графических построений, внимательность, аккуратное ведение
конспекта и самодисциплину.
Литература: Алимова Ш. А. Алгебра 10-11 классы: // – М.: Просвещение, 2019. –463 с.
https://disk.yandex.ru/i/BiOEuFKTGvGjYg
Математика: учеб. для студ. учреждений сред. проф. Образования / М.И.
Башмаков https://disk.yandex.ru/i/eM3QtsQdcbm7YQ
Ход занятия
Теоретическая часть. Основные понятия.
Общая схема построения графика функции с помощью геометрических
преобразований
Рассмотрим функцию y = mf(kx+ b) + c, которая «базируется» на некоторой функции y = f(x).
Для построения графика функции y = mf(kx+ b) + c:
– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в
результате чего получаем график функции y = f(kx+ b) ;
– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем
график функции y = mf(kx+ b) + c.
Практическая часть.
Примеры построения графиков тригонометрических функций с помощью
геометрических преобразований графиков.
Пример 1 Построить график функции y = sin 2x .
Сначала строим график y = sin x. Период T = 2 .
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза
Таким образом, график функции y = sin 2x получается путём сжатия графика y =
sin x к оси ординат в два раза. Период функции y = sin 2x равен  .
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения
«икс» и устно либо на черновике выполнить
подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это
действительно так.
Пример 2 Построить график функции y = cos3x .
График функции y = cos x сжимается к оси Оу в 3 раза:
Период функции y = cos x равен T =2 , период функции y = cos3x составляет
2
𝑇 = 𝜋.
3
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
𝑥
Пример 3 Построить график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 .
2
Строим график y = sinx. Период T = 2 .
То есть, график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
получается путём растяжения графика
y = sinx от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2
раза: T = 2 2 = 4.
𝜋
Пример 4 Построить график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ).
2
𝜋
График синуса y = sinx сдвинем вдоль оси Ох на влево:
2
𝜋
Внимательно присмотримся к полученному графику 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ) .
2
Это в
точности график косинуса y = cosx. Получили геометрическую иллюстрацию
𝜋
формулы приведения 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 .
2
График функции y = cosx получается путём сдвига синусоиды 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥. вдоль
𝜋
оси Ох на единиц влево.
2
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
𝜋
Пример 5 Построить график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 + )
2
𝜋
Представим функцию в виде 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (2 (𝑥 + )) и выполним следующие
4
преобразования:
1) синусоиду y = sin x сожмём к оси ОУ в два раза: y = sin 2x .
𝜋
𝜋
2) сдвинем вдоль оси ОX на влево: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 + )
4
2
Пример 6 Построить график функции y = 2sin x.
Строим график функции y = sin x :
И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
Период функции y = 2sin x не изменился и составляет T = 2 , а вот значения (все,
кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза.
Область значений функции y = 2sin x : E(y) = − 2;2.
1
Пример 7 Построить график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.
Строим график функции y = sin x:
2
Пример 8 Построить график функции y = −sinx.
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
Пример 9. Построить графики функций y = sin x + 2 , y = sin x −1.
3
Пример 10. Построить график функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2
2
Строим график косинуса y = cos x :
3
1) Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥;
2
3
2) Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2
2
Домашнее задание отправлять на почту dist.ponomareva@yandex.ru
Указать в теме письма: предмет, ФИО, группа, дату
Практическое занятие № 12
Тема: Построение графиков тригонометрических функций с помощью
геометрических преобразований графиков
Цель:
− выработать умение и навыки построения графиков тригонометрических функций,
используя геометрические преобразования;
− способствовать развитию пространственного воображения;
− развивать практические навыки по построению графиков, логического мышления, умения
наблюдать, рассуждать по аналогии;
− воспитывать культуру графических построений, внимательность, аккуратное ведение
конспекта и самодисциплину.
Ход занятия
Порядок выполнения заданий к практическому занятию:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом в Занятии № 57.
Сделать конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (общая схема
построения графика функции с помощью геометрических преобразований).
2. Изучить примеры построения графиков тригонометрических функций с
помощью геометрических преобразований графиков.
3. Ответить на контрольные вопросы:
• Назовите тригонометрические функции.
• Как называются графики тригонометрических функций?
• Какие виды преобразований функции Вы знаете?
4. В рабочих тетрадях выполнить следующие задания:
Построить график функции с поэтапным преобразованием (графики каждого
этапа преобразования изображать разным цветом):
3
а) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2
2
𝜋
б)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + )
2
5. Оформить отчёт о работе.
Указания к оформлению
Отчёт по практическому занятию выполняется в рабочей тетради и должен содержать:
− точное название работы;
− цель работы;
− ход работы (условие задачи);
− результаты работы (подробное решение задач);
− вывод