Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное учреждение высшего образования «Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)» Институт открытого и дистанционного образования Кафедра «Техника, технологии и строительство» Контрольная работа №3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов-1» Вариант 22 Проверил: доцент _________ ______________2023г. Выполнил: студент группы ____________ ______________2023 г. 2023 1 Задание Для заданного поперечного сечения (рис. 1) определить положение главных центральных осей и величины соответствующих главных моментов инерции. Вычертить на отдельном листе сечение в масштабе 1:1 (1:2), показать положение главных центральных осей и построить эллипс инерции. ℎ⁄𝑡 6 𝑡, мм 6 № схемы II 𝑐 ⁄𝑡 2 𝑑 ⁄𝑡 5 Рис. 1. Заданная схема Дано: 𝑡 = 6 мм; ℎ = 6𝑡 = 36 мм; 𝑐 = 2𝑡 = 12 мм; 𝑑 = 5𝑡 = 30 мм; № схемы ‒II. Решение. 1. По исходным данным вычертим поперечное сечение в масштабе 1:1. 2. Составное сечение разобьем на 𝑛 = 4 простые фигуры: 1) прямоугольник (основная площадь) с размерами: ширина 𝑏1 = 2𝑑 = 2 ∙ 5𝑡 = 10𝑡 = 60 мм = 6 см; высота ℎ1 = 𝑑 + 2ℎ = 5𝑡 + 2 ∙ 6𝑡 = 17𝑡 = 102 мм = 10,2 см. 2) квадрат (дополнительная площадь) с размерами: ширина 𝑏2 = 𝑑 = 5𝑡 = 30 мм = 3 см; высота ℎ2 = 𝑑 = 5𝑡 = 30 мм = 3 см. 2 3) прямоугольный треугольник (дополнительная площадь) с размерами: ширина 𝑏3 = 2𝑐 = 2 ∙ 2𝑡 = 4𝑡 = 24 мм = 2,4 см; высота ℎ3 = 𝑑 = 5𝑡 = 30 мм = 3 см. 4) круг (дополнительная площадь) с диаметром 𝑑 = 5𝑡 = 30 мм = 3 см. 3. Проведем прямоугольную систему координат 𝑥0𝑦. Отметим на чертеже сечения центры тяжести каждой простой фигуры C1, C2, C3 и C4. 4. Определим координаты центров тяжести (𝑥𝐶𝑖 , 𝑦𝐶𝑖 ) каждой простой фигуры составного сечения в системе координат 𝑥0𝑦: 𝑥𝐶1 = 30 мм = 3 см; 𝑥𝐶2 = 15 мм = 1,5 см; 𝑥𝐶3 = 8 мм = 0,8 см; 𝑥𝐶4 = 33 мм = 3,3 см; 𝑦𝐶1 = 51 мм = 5,1 см; 𝑦𝐶2 = 15 мм = 1,5 см; 𝑦𝐶3 = 92 мм = 9,2 см; 𝑦𝐶4 = 72 мм = 7,2 см. 5. Определим положение центра тяжести сечения. Площади простых фигур: 𝐹1 = 𝑏1 ∙ ℎ1 = 6 ∙ 10,2 = 61,2 см2. 𝐹2 = 𝑏2 ∙ ℎ2 = 3 ∙ 3 = 9 см2. 𝑏3 ∙ ℎ3 2,4 ∙ 3 𝐹3 = = = 3,6 см2 . 2 2 2 π∙𝑑 3,1416 ∙ (3)2 𝐹4 = = = 7,069 см2 . 4 4 Площадь всего сечения 𝐹 = 𝐹1 − 𝐹2 − 𝐹3 − 𝐹4 = = 61,2 − 9 − 3,6 − 7,069 = 41,531 см2. Координаты центра тяжести всего сечения: 3 ∑𝑛𝑖−1 𝑥𝐶𝑖 𝐹𝑖 𝑥𝐶1 𝐹1 − 𝑥𝐶2 𝐹2 − 𝑥𝐶3 𝐹3 − 𝑥𝐶4 𝐹4 𝑥𝐶 = = = 𝐹 𝐹 3 ∙ 61,2 − 1,5 ∙ 9 − 0,8 ∙ 3,6 − 3,3 ∙ 7,069 = = 3,465 см = 34,65 мм; 41,531 ∑𝑛𝑖−1 𝑦𝐶𝑖 𝐹𝑖 𝑦𝐶1 𝐹1 − 𝑦𝐶2 𝐹2 − 𝑦𝐶3 𝐹3 − 𝑦𝐶4 𝐹4 𝑦𝐶 = = = 𝐹 𝐹 5,1 ∙ 61,2 − 1,5 ∙ 9 − 9,2 ∙ 3,6 − 7,2 ∙ 7,069 = = 5,167 см = 51,67 мм. 41,531 6. Отметим на чертеже центр тяжести «С» сечения с координатами (𝑥С , 𝑦С ). Проведем через центры тяжести простых фигур центральные оси 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , параллельные осям 𝑥, 𝑦. 7. Определим моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей. Для прямоугольника 1): 𝑏1 ℎ13 6 ∙ 10,23 𝐼𝑥1 = = = 530,60 см4; 12 12 3 3 𝑏1 ℎ1 6 ∙ 10,2 𝐼𝑦1 = = = 183,6 см4; 12 12 𝐼𝑥1𝑦1 = 0. Для квадрата 2): 𝑏2 ℎ23 3 ∙ 33 𝐼𝑥2 = = = 6,75см4; 12 12 𝑏23 ℎ2 33 ∙ 3 𝐼𝑦2 = = = 6,75 см4 ; 12 12 𝐼𝑥2𝑦2 = 0. Для прямоугольного треугольника 3): 𝑏3 ℎ33 2,4 ∙ 33 𝐼𝑥3 = = = 1,8 см4 ; 36 36 𝑏33 ℎ3 2,43 ∙ 3 𝐼𝑦3 = = = 1,152 см4; 36 36 𝑏32 ℎ32 2,42 ∙ 32 𝐼𝑥3𝑦3 = − =− = −0,72 см4 . 72 72 Для круга 4): 𝐼𝑥4 𝜋𝑑 4 𝜋(3)4 = = = 3,974 см4 ; 64 64 4 𝐼𝑦4 𝜋𝑑 4 𝜋(3)4 = = = 3,974 см4 ; 64 64 𝐼𝑥4𝑦4 = 0. 8. Определим моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения. Расстояния между параллельными центральными осями: 𝑎1 = 𝑥𝐶1 – 𝑥𝐶 = 3 − 3,465 = −0,465 см; 𝑎2 = 𝑥𝐶2 – 𝑥𝐶 = 1,5 − 3,465 = −1,965 см; 𝑎3 = 𝑥𝐶3 – 𝑥𝐶 = 0,8– 3,465 = −2,665 см. 𝑎4 = 𝑥𝐶4 – 𝑥𝐶 = 3,3– 3,465 = −0,165 см; 𝑏1 = 𝑦𝐶1 − 𝑦𝐶 = 5,1 − 5,167 = −0,067 см; 𝑏2 = 𝑦𝐶2 − 𝑦𝐶 = 1,5 − 5,167 = −3,667 см; 𝑏3 = 𝑦𝐶3 − 𝑦𝐶 = 9,2 − 5,167 = 4,033 см; 𝑏4 = 𝑦𝐶4 − 𝑦𝐶 = 7,2 − 5,167 = 2,033 см. Определим моменты инерции простых фигур относительно центральных осей 𝑥 и 𝑦. Для прямоугольника 1): 𝐼1𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝑏12 𝐹1 = 530,6 + (−0,067)2 ∙ 61,2 = 530,875 см4 ; 𝐼1𝑦 = 𝐼𝑦1 + 𝑎12 𝐹1 = 183,6 + (−0,465)2 ∙ 61,2 = 196,833 см4; 𝐼1𝑥𝑦 = 𝐼𝑥1𝑦1 + 𝑎1 𝑏1 𝐹1 = 0 + (−0,465) ∙ (−0,067) ∙ 61,2 = 1,907 см4. Для квадрата 2): 𝐼2𝑥 = 𝐼𝑥2 + 𝑏22 𝐹2 = 6,75 + (−3,667)2 ∙ 9 = 127,772 см4 ; 𝐼2𝑦 = 𝐼𝑦2 + 𝑎22 𝐹2 = 6,75 + (−1,965) 2 ∙ 9 = 41,501 см4; 𝐼2𝑥𝑦 = 𝐼𝑥2𝑦2 + 𝑎2 𝑏2 𝐹2 = 0 + (−3,667) ∙ (−1,965) ∙ 9 = 64,851 см4. Для прямоугольного треугольника 3): 𝐼3𝑥 = 𝐼𝑥3 + 𝑏32 𝐹3 = 1,8 + (−2,665)2 ∙ 3,60 = 27,368 см4; 𝐼3𝑦 = 𝐼𝑦3 + 𝑎32 𝐹3 = 1,152 + (4,033)2 ∙ 3,60 = 59,706 см4 ; 𝐼3𝑥𝑦 = 𝐼𝑥3𝑦3 + 𝑎3 𝑏3 𝐹3 = −0,72 + (−2,665) ∙ (4,033) ∙ 3,60 = = −39,413 см4. Для круга 4): 𝐼4𝑥 = 𝐼𝑥4 + 𝑏42 𝐹4 = 3,974 + (−0,165)2 ∙ 7,069 = 4,166 см4; 𝐼4𝑦 = 𝐼𝑦4 + 𝑎42 𝐹4 = 3,974 + (2,033 )2 ∙ 7,069 = 33,191 см4; 𝐼4𝑥𝑦 = 𝐼𝑥4𝑦4 + 𝑎4 𝑏4 𝐹4 = 0 + (−0,165 ) ∙ (2,033) ∙ 7,069 = −2,371 см4. 5 9. Определим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения относительно его центральных осей 𝑥 и 𝑦: 𝑛 𝐼𝑥 = ∑ 𝐼𝑖𝑥 = 𝐼1𝑥 − 𝐼2𝑥 − 𝐼3𝑥 − 𝐼4𝑥 = 𝑖=1 = 530,875 − 127,772 − 27,368 − 4,166 = 371,569 см4 ; 𝑛 𝐼𝑦 = ∑ 𝐼𝑖𝑦 = 𝐼1𝑦 − 𝐼2𝑦 − 𝐼3𝑦 − 𝐼4𝑦 = 𝑖=1 = 196,833 − 41,501 − 59,706 − 33,191 = 62,435см4; 𝑛 𝐼𝑥𝑦 = ∑ 𝐼𝑖𝑥𝑦 = 𝐼1𝑥𝑦 − 𝐼2𝑥𝑦 − 𝐼2𝑥𝑦 − 𝐼2𝑥𝑦 = 𝑖=1 = 1,907 − 64,851 − (−39,413 ) − (−2,371 ) = −21,160 см4 . 10. Определение положения главных осей инерции 2𝐼𝑥𝑦 2 ∙ (−21,160) tg2α = − =− = 0,137; 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 371,569 − 62,435 1 ∙ arctg(0,137) = 3,898°. 2 Так как значение α получилось положительным, то отложим этот угол против часовой стрелки от оси 𝑥 и проведем через центр тяжести сечения под этим углом главную центральную ось 𝑢. Ось 𝑣 будет ей перпендикулярна. α= 11. Определим главные моменты инерции сечения. Вначале определим экстремальные значения главных центральных моментов инерции сечений: 𝐼max = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 1 371,569 + 62,435 2 2 = + √(𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 ) + 4𝐼𝑥𝑦 + 2 2 2 1 + ∙ √(371,569 − 62,435)2 + 4(−21,160 )2 = 373,011 см4 ; 2 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 1 371,569 + 62,435 2 2 = 𝐼min = − √(𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 ) + 4𝐼𝑥𝑦 − 2 2 2 1 − ∙ √(371,569 − 62,435)2 + 4(−21,160 )2 = 60,993 см4. 2 Определим, какое значение (максимальное или минимальное) будет у главного момента инерции, взятого относительно главной оси 𝑢, расположенной под углом α к центральной оси 𝑥. Для этого определим знак выражения 6 2 ∙ (𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 ) 2 ∙ (371,569 − 62,435) 𝑑 2 𝐼𝑢 = − = = 624,036. 𝑑α2 cos(2α) cos[2 ∙ (3,898°)] Так как результат выражения получился положительным, то значение момента инерции относительно главной центральной оси 𝑢 будет минимальным 𝐼𝑢 = 𝐼min = 60,993 см4. Тогда момент инерции относительно главной центральной оси 𝑣 будет иметь максимальное значение, равное 𝐼𝑣 = 𝐼max = 373,011 см4. 12. Выполним проверку проведенных вычислений: 𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = 371,569 + 62,435 = 434,004 см4; 𝐼𝑝 = 𝐼max + 𝐼min = 373,011 + 60,993 = 434,004 см4 . 13. Построим эллипс инерции Найдем радиусы инерции 𝐼𝑢 60,993 𝑖𝑢 = √ = √ = 1,212 см F 41,531 𝑖𝑣 = √ 𝐼𝑣 373,011 =√ = 2,997 см F 41,531 7 v-ось max y3 y1 y4 yС y2 y' 24 12 C3 30 x3 C4 72 x4 C uось min 30 x1 xС 51.67 51 30 x2 C2 15 30 72 92 C1 O x' 8 15 30 33 34.65 60 Литера Изм Лист № докум Разраб. Провер. Т. контр. Н. контр. Утв. Подпись Масштаб Дата У Лист 1:1 Листов 1 Масса
