Модель расщепления междугороднего пассажиропотока по видам транспорта с учетом расписания и затрат на внутригородские перемещения

Модель расщепления междугороднего пассажиропотока по
видам транспорта с учетом расписания и затрат
на внутригородские перемещения
Ваколюк К.К.
Мартыненко А.В.
Обобщенная стоимость индивидуальной поездки между городами
2
Обобщенная стоимость индивидуальной поездки между городами
𝐺𝑘𝑚 = 𝜔𝑘𝑚 + 𝛼𝑘 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝑘 ∙ 𝑡Ƹ𝑘𝑚 + 𝛾𝑘 ∙ 𝑡Ƽ𝑘𝑚 + 𝜑𝑘 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝑘 ∙ 𝑐𝑘Ƹ 𝑚 + 𝜂𝑘 ∙ 𝑐𝑘Ƽ 𝑚 +
𝛿𝑘 ∙ 𝑆መ𝑘 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑘𝑚 + 1 − 𝛿𝑘 ∙ 𝑆ሙ𝑘 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑘𝑚 .
(1)
Здесь k – номер индивидуума,
𝑚 = 1,2, … , 𝑀 – вид междугороднего транспорта общего пользования;
𝑡Ƹ𝑘𝑚 , 𝑡Ƽ𝑘𝑚 – все затраты времени на перемещение в городе отправления (прибытия);
𝑡ǁ 𝑚 – продолжительность поездки в междугороднем транспорте;
𝑐𝑘Ƹ 𝑚 , 𝑐𝑘Ƽ 𝑚 – все финансовые затраты на перемещение в городе отправления (прибытия);
𝑐ǁ 𝑚 – стоимость поездки в междугороднем транспорте;
𝑇෠ 𝑚 , 𝑇ෘ 𝑚 – время отправления (прибытия) междугороднего транспорта из города отправления (прибытия);
𝑆መ𝑘 𝑡 , 𝑆ሙ𝑘 𝑡 – затраты индивидуума, появляющиеся в результате того, что ему для совершения междугородней поездки
необходимо отправиться (прибыть) из начального (в конечный) пункт(а) в момент времени t;
𝛿𝑘 – дамми-переменная, позволяющая включить в обобщенную стоимость влияние расписания и разбивающая множество
индивидуумов на две категории, в зависимости от того, что для них важно в расписании: время отправления или время
прибытия:
𝛿𝑘 = ቊ
1,
0,
если для индивидуума 𝑘 важно время отправления,
если для индивидуума 𝑘 важно время прибытия;
𝜔𝑘𝑚 – свободный член, репрезентирующий затраты индивидуума k, связанные с уровнем комфортности и безопасности
транспорта m;
𝛼𝑘 , 𝛽𝑘 , 𝛾𝑘 , 𝜑𝑘 , 𝜇𝑘 , 𝜂𝑘 – весовые коэффициенты, определяющие индивидуальную (субъективную) значимость соответствующих
параметров поездки.
3
Обобщенная стоимость индивидуальной поездки между городами
(как учесть расписание междугороднего транспорта?)
Будем считать функции 𝑆መ𝑘 𝑡 и 𝑆ሙ𝑘 𝑡
унимодальными и удовлетворяющими
условиям:
𝑆መ𝑘 𝑡 > 0 при 𝑡 ≠ 𝜃መ 𝑘 и 𝑆መ𝑘 𝜃መ 𝑘 = 0,
𝑆ሙ𝑘 𝑡 > 0 при 𝑡 ≠ 𝜃ሙ 𝑘 и 𝑆መ𝑘 𝜃ሙ 𝑘 = 0.
Можно выбрать разный вид для функций
𝑆መ𝑘 𝑡 и 𝑆ሙ𝑘 𝑡 . Самый простой вариант
𝑆መ𝑘 𝑡 = 𝑡 − 𝜃መ 𝑘 ,
𝑆ሙ𝑘 𝑡 = 𝑡 − 𝜃ሙ 𝑘 .
4
Обобщенная стоимость для слоя спроса
Пусть P – множество всех пассажиров, совершающих поездку
из Γ෠ в Γෘ и 𝔏 – множество всех слоев спроса, т.е.
𝑃 = ራ 𝐿 и 𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅ ∀𝐿1 , 𝐿2 ∈ 𝔏.
𝐿∈𝔏
Рассмотрим «полуслои» спроса
𝐿 = 𝐿෠ ∪ 𝐿ෘ
∀𝐿 ∈ 𝔏,
где
𝐿෠ = 𝑘 ∈ 𝐿 𝛿𝑘 = 1 ,
𝐿ෘ = 𝑘 ∈ 𝐿 𝛿𝑘 = 0 .
Предполагаем, что для всех индивидуумов из одного слоя 𝐿
функции 𝑆መ𝑘 𝑡 и 𝑆ሙ𝑘 𝑡 имеют одинаковый вид, а от k зависят
только наиболее подходящие моменты отправления и
прибытия 𝜃෠ 𝑘 и 𝜃ෘ 𝑘 :
𝑆መ𝑘 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑘𝑚 = 𝑆መ𝐿 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑘𝑚 − 𝜃෠ 𝑘 ,
𝑆ሙ𝑘 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑘𝑚 = 𝑆ሙ𝐿 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑘𝑚 − 𝜃ෘ 𝑘 .
5
Обобщенная стоимость для слоя спроса
Также предполагаем, что для всех индивидуумов, входящих
в слой спроса весовые коэффициенты 𝜔𝑘𝑚 ,𝛼𝑘 , 𝛽𝑘 , 𝛾𝑘 , 𝜑𝑘 , 𝜇𝑘 , 𝜂𝑘
являются одинаковыми
Таким образом, для каждого пассажира 𝑘 ∈ 𝐿෠ :
𝐺𝑘𝑚 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑘𝑚 + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑘𝑚 + 𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑘Ƹ 𝑚 + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑘Ƽ 𝑚 +
𝑆መ𝐿 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑘𝑚 − 𝜃෠ 𝑘 .
(2)
Аналогично, для каждого пассажира 𝑘 ∈ 𝐿ෘ :
𝐺𝑘𝑚 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑘𝑚 + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑘𝑚 + 𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑘Ƹ 𝑚 + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑘Ƽ 𝑚 +
𝑆ሙ𝐿 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑘𝑚 − 𝜃ෘ 𝑘 .
(3)
6
Обобщенная стоимость для слоя спроса с разбиением городов отправления и
прибытия на районы
Будем предполагать, что для всех точек отправления и прибытия внутри одного района величины 𝑡Ƹ𝑘𝑚 , 𝑡Ƽ𝑘𝑚 , 𝑐𝑘Ƹ 𝑚 ,
𝑐𝑘Ƽ 𝑚 являются постоянными, т.е. для каждого индивидуума k, отправляющегося из района 𝑟 ∈ 𝑅෠ будет
𝑡Ƹ𝑘𝑚 = 𝑡Ƹ𝑟𝑚 и 𝑐𝑘Ƹ 𝑚 = 𝑐𝑟Ƹ 𝑚 .
Аналогично, для каждого индивидуума k, прибывающего в район 𝑟 ∈ 𝑅ෘ будет
𝑡Ƽ𝑘𝑚 = 𝑡Ƽ𝑟𝑚 и 𝑐𝑘Ƽ 𝑚 = 𝑐𝑟Ƽ 𝑚 .
7
Обобщенная стоимость для слоя спроса с разбиением городов отправления и
прибытия на районы
Также будем предполагать, что все слои (и полуслои) одинаковым образом распределяются по районам города –
пропорционально какой-то характеристике района, например, численности населения, количеству рабочих мест и т.п.
Пусть для всех 𝑟 ∈ 𝑅෠ задана характеристика 𝜌ො 𝑟 , а для всех 𝑟 ∈ 𝑅ෘ пусть задана характеристика 𝜌ු 𝑟 . Будем
использовать следующие обозначения:
𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ – множество пассажиров из полуслоя спроса 𝐿෠ , которые отправляются из района 𝑟Ƹ города отправления в район 𝑟Ƽ
города прибытия;
𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ – множество пассажиров из полуслоя спроса 𝐿ෘ , которые отправляются из района 𝑟Ƹ города отправления в район 𝑟Ƽ
города прибытия.
Таким образом, для каждого пассажира 𝑘 ∈ 𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ :
𝐺𝑘𝑚 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ + 𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƹ 𝑚Ƹ + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƽ 𝑚Ƽ +
𝑆መ𝐿 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ − 𝜃෠ 𝑘 .
(4)
Аналогично, для каждого пассажира 𝑘 ∈ 𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ :
𝐺𝑘𝑚 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ + 𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƹ 𝑚Ƹ + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƽ 𝑚Ƽ +
𝑆ሙ𝐿 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ − 𝜃ෘ 𝑘 .
(5)
8
Обобщенная стоимость для слоя спроса с учетом внутригородских районов и
распределения наилучшего времени отправления (прибытия)
Введем обозначения
𝐿෠ 𝜃 = 𝑘 ∈ 𝐿෠ 𝜃෠ 𝑘 = 𝜃 ,
𝐿ෘ 𝜃 = 𝑘 ∈ 𝐿ෘ 𝜃ෘ 𝑘 = 𝜃 ,
𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 = 𝑘 ∈ 𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃෠ 𝑘 = 𝜃 ,
𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 = 𝑘 ∈ 𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃ෘ 𝑘 = 𝜃 .
Очевидно, что в каждом из случаев 𝑘 ∈ 𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 и 𝑘 ∈ 𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ обобщенная стоимость поездки 𝐺𝑘𝑚 не зависит от k, но
зависит от районов отправления и прибытия 𝑟Ƹ и 𝑟,Ƽ а также от 𝜃 (и, естественно, от слоя L). Поэтому далее
обобщенную стоимость поездки для пассажиров из 𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 будем обозначать как
𝐺෠ 𝑚 𝐿, 𝑟,Ƹ 𝑟,Ƽ 𝜃 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ +
𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƹ 𝑚Ƹ + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƽ 𝑚Ƽ + 𝑆መ𝐿 𝑇෠ 𝑚 − 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ − 𝜃 ,
(6)
а для пассажиров из 𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 как
𝐺ෘ 𝑚 𝐿, 𝑟,Ƹ 𝑟,Ƽ 𝜃 = 𝜔𝐿𝑚 + 𝛼𝐿 ∙ 𝑡ǁ 𝑚 + 𝛽𝐿 ∙ 𝑡Ƹ𝑟𝑚Ƹ + 𝛾𝐿 ∙ 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ +
𝜑𝐿 ∙ 𝑐ǁ 𝑚 + 𝜇𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƹ 𝑚Ƹ + 𝜂𝐿 ∙ 𝑐𝑟Ƽ 𝑚Ƽ + 𝑆ሙ𝐿 𝑇ෘ 𝑚 + 𝑡Ƽ𝑟𝑚Ƽ − 𝜃 .
(7)
9
Расщепление пассажиропотока по видам транспорта
Вероятность того, что индивидуум 𝑘 ∈ 𝐿෠ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 выберет транспорт m равна
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑚 =
𝑒 −𝜆∙𝐺෠
𝑚
Ƽ
𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
−𝜆∙𝐺෠ 𝑗
σ𝑀
𝑗=1 𝑒
Ƽ
𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
,
𝑚 = 1,2, … , 𝑀
(8)
и аналогично вероятность того, что индивидуум 𝑘 ∈ 𝐿ෘ 𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 выберет транспорт m равна
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑚 =
𝑒 −𝜆∙𝐺ෘ
𝑚
Ƽ
𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
Ƽ
−𝜆∙𝐺ෘ 𝑗 𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
σ𝑀
𝑗=1 𝑒
,
𝑚 = 1,2, … , 𝑀.
(9)
10
Количество пассажиров в сутки на виде транспорта m
ෘ которые выбрали транспорт m, тогда
Пусть 𝑃𝑚 – множество пассажиров из Γ෠ в Γ,
24
𝑃𝑚 = ෍ ෍ ෍ න
0
𝐿∈𝔏 𝑟∈
Ƹ 𝑅෠ 𝑟∈
Ƽ 𝑅ෘ
ෘ𝑚
𝐿෠𝑚
𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃 + 𝐿𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃
𝑑𝜃 .
Здесь
𝑚
𝐿෠𝑚
𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃
Ƽ
𝜌ො 𝑟Ƹ
𝜌ු 𝑟Ƽ
𝑒 −𝜆∙𝐺෠ 𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
= 𝐿෠ 𝜃 ∙
∙
∙
,
෠ 𝑗 𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
Ƽ
−𝜆∙
𝐺
σ𝑟∈𝑅෠ 𝜌ො 𝑟 σ𝑟∈𝑅ෘ 𝜌ු 𝑟 σ𝑀
𝑗=1 𝑒
𝐿ෘ𝑚
𝑟Ƹ 𝑟Ƽ 𝜃
Ƽ
𝜌ො 𝑟Ƹ
𝜌ු 𝑟Ƽ
𝑒 −𝜆∙𝐺ෘ 𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
= 𝐿ෘ 𝜃 ∙
∙
∙
.
Ƽ
−𝜆∙𝐺ෘ 𝑗 𝐿,𝑟,Ƹ 𝑟,𝜃
σ𝑟∈𝑅෠ 𝜌ො 𝑟 σ𝑟∈𝑅ෘ 𝜌ු 𝑟 σ𝑀
𝑒
𝑗=1
𝑚
11