Функции нескольких аргументов бакалавры

Функции нескольких аргументов
Понятие
функции
приращение
каждому элементу х из
множества Х по некоторому
закону у = f(х) поставлено
в соответствие единственное
значение переменной у из
множества У
x
y  f ( x0  x)  f ( x0 )
каждой паре чисел х и у из некоторого
множества D по определенному закону
z  f  x, y 
поставлено в соответствие единственное
значение переменной z.
x , y
 x z  f  x0  x, y0   f  x0 , y0 
частное приращение функции по
переменной х
 y z  f  x0 , y0  y   f  x0 , y0 
частное приращение функции по
переменной у
производная
дифференциал
z  f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0 
полным приращением функции
def
f  x0  x, y0   f  x0 , y0 
f  x0  x   f ( x0 )
 z
lim x  lim
f   x0   lim

x 0 x
x 0
x 0
x
x
частная производная функции z  f  x, y  по
y
 lim
x 0 x
переменной х
dy df ( x)
f  x0 , y0 
y, f   x0  , ,
f x  x0 , y0  ,
dx dx
x
f  x0 , y0  y   f  x0 , y0 
 z
lim x  lim
y 0 y
x 0
y
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
dy  f   x0  dx
1) dz 
dx 
dy

x

y
f x  f   x0  - достаточное условие
2) необходимое – существование частных
дифференцируемости функции,
производных;
3) достаточное – непрерывность этих
частных производных в исследуемой
точке
Так как каждой паре чисел х и у на плоскости соответствует некоторая точка M  x, y  , то
множество D – некоторая совокупность точек плоскости. D – область определения
функции z  f  x, y  . Область определения функции D называется замкнутой, если она
включает в себя все свои границы.
Вспомним линии второго порядка:
1) x 2  y 2  R 2 - каноническое уравнение окружности с центром в т. О(0,0).
x2 y 2

 1 - эллипс с полуосями а и в.
a 2 b2
x2 y 2
3) 2  2  1 - гипербола с полуосями а и в (в – мнимая), симметрична относительно ОУ.
a b
4) y 2  2 px - парабола, симметричная относительно оси ОХ
2)
Пример.1. Найти область определения ф-ции z  4  x 2  y 2 .
2
2
4  x  y  0
D z :  2
2
 x  y  4
Ф-ция z определена в точках окружности, область – D замкнутая.
Пример 2. Найти область определения ф-ции z  ln  y  x 2  .
D  z  :  y  x2  0  y  x2
Область D незамкнутая – точки параболы y = x2 не входят в D.
Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные
функции по одной из них, при условии, что прочие переменные считаются постоянными.
Пример 1 . Найти частные производные ф-ции z  x3 y 2 
x
 5 x в т. М(2,1).
y
z  2,1
z
1
 18
 3x 2 y 2   5 (у фиксируем)
x
x
y
z
 2 x3 y  xy 2 (х фиксируем)
y
z  2,1
 14
y
В направлении оси ОХ функция изменяется быстрее.
Пример 2 . Найти частные производные ф-ции z  arctg  x y  .
z
1

yx y 1
2y
x 1  x
z
1

x y ln x
y 1  x 2 y
Пример 4 . Найти частные производные ф-ции u  e x
2
2
u
 u 
 e x  y 2 x sin 2 z ,    0
x
 x  M
2
2
 u 
u
 e x  y 2 y sin 2 z ,    2e
y
 y  M
2
2
u
 u 
 e x  y 2sin z cos z ,    0
z
 z  M
2
 y2
sin 2 z в т.М (0,1,  /2).
Пример 5. Найти частные производные функции трех переменных
U  2x  3 y  4z  x4 y3 z 2
Решение.
U
U
 2  4 x3 y 3 z 2 ;
 3  3x 4 y 2 z 2
x
y
U
 4  2 x 4 y 3 z
z
Механический смысл частных производных следует из их определения:
f ( x0 , y0 )
− скорость изменения функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) в направлении оси ОХ;
x
f ( x0 , y0 )
− скорость изменения функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) в направлении оси ОУ.
у
f  x0 , y0 
f  x0 , y0 
dx 
dy называют дифференциалом функции двух
x
y
переменных z  f  x, y  при выполнении следующих условий:
1) необходимое – существование частных производных;
2) достаточное - непрерывность частных производных в точке (х0, у0).
Величину dz 
x
в т.М (2,1).
y
x  f  2,1
2
;

2 
y 
y
5
Пример. Найти дифференциал функции z  arctg
1 1 f  2,1 1 f
1 
;
 ; 

2
x y
x2 
x
5 y
1 2
1 2
y
y
1
2
dz  dx  dy
5
5
формула применения полного дифференциала к вычислению приближенного
значения функции в точке
f

x
При достаточно малом   Δх 2  Δу 2
z  dz т.е.
f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0   dz  x0 , y0 
Откуда
f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0   dz  x0 , y0 
f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0  
z  x0 , y0 
z  x0 , y0 
x 
y
x
y
Пример. Вычислить приближенно
4
15.96  3 27.33 .
Решение. Используем формулу приближенного вычисления (2.1.6):
f (x0 + x, y0 + y)  f (x0, y0) +
 f (x 0 , y 0 )
 f (x 0 , y 0 )
x +
y.
x
y
Запишем наше выражение в виде функции
f  x, y   4 x  3 y
где х = 15,96, y = 27,03.
Выберем за х0, у0 числа близкие к х и у.
Пусть х0 = 16, y0 = 27. Найдем приращения аргументов:
x = х - х0,
x = 15,96 –16 = -0,04,
y = у – у0,
y = 27,03 – 27 = 0,03.
Найдем частные производные в точке (х0; у0) = (16; 27).
f 1  34
1
 x 
4
x 4
4 x3
 f (x 0 ,y0 )
1
1
1



 0.03
3
x
32
4 4 163 4  2
 f 1  23
1
 y 
y 3
33 y2
 f (x 0 ,y0 )
1
1


 0.037 .
y
3 3 27 2 27
Найдем f  x0 , y0   4 x0  3 y  4 16  3 27  2  3  5
Подставляя найденные значения в формулу приближенных вычислений, получим:
4
15.96  3 27.3  5  0.03  0.04   0.037  0.03 
 5  0.0012  0.00111  5  0.00009  4.99991
Производная сложной функции. Полная производная.
Пусть z  f  x, y  , где x    t  , y    t  . Тогда в конечном итоге z – функция одной
переменной t. Предположим, что zx , z y непрерывны и
dx dy
,
существуют. Тогда
dt dt
dz z dx z dy


dt x dt y dt
Пример. Найти полную производную функции z  x2  y 2 , x  t 3  3, y  2t 4  1
dz z dx z dy


 2 x  3t  2 y  8t 3 .
dt x dt y dt
Пусть z  f  x, y  , где y    x  . Тогда
dz z dx z dy z z dy
,


 
dx x dx y dx x y dx
z
- частная производная функции я по первому аргументу,
x
dz
- полная производная функции.
dx
Пример. . Найти полную производную функции z  x2  y , y  sin x
z
z
1 dy
 2 x, 
,  cos x
x
y 2 y dx
dz
1
 2x 
cos x
dx
2 y
Пусть z  f  x, y  , где x    t ,  , y    t ,  . z – функции двух независимых переменных
t , . Тогда
z z x z y


,
t x t y t
z z x z y


 x  y 
Пример. . Найти производные функции z  xy, x  t cos 2 , y  t 2
zt  y cos 2  x2t
z  2 yt sin 2  xt 2
Производные высших порядков
В общем случае частные производные
f
f
и
функции z  f  x, y  являются
x
y
функциями 2-х переменных. Эти функции могут оказаться дифференцируемыми в
некоторой области D.
Опр. Частные производные от часных производных первого порядка называются
частными производными второго порядка. Они обозначаются
  f   2 f  2 z

 zxx
 
x  x  x 2 x 2
  f   2 f
2 z


 z xy
 
y  x  xy xy
  f   2 f
2 z


 z yx
 
x  y  yx yx
- смешанные призводные 2-го порядка
  f   2 f  2 z

 zyy
 
y  y  y 2 y 2
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д порядка
3 f 3 f
5 f
,
,
x3 xy 2 x3y 2
Теорема. Пусть ф-ция z  f  x, y  имеет всевозможные производные до к-го порядка
включительно, непрерывные в обл.D. Тогда смешанная производная к-го порядка не
будет зависеть от того, в какой последовательности осуществляется дифференцирование
2 f
2 f

;
xy yx
4 f
4 f
4 f


yx 3 x 2yx xyx 2
Пример z  x5 y 3  x 4 
1
3 z
. Найти 2
y
x y
z
2 z
 5 x 4 y 3  4 x 3 , 2  20 x 3 y 3  12 x 2
x
x
3
 z
 60 x 3 y 2
x 2 y
Скалярное поле
Говорят, что в некоторой области плоскости ХОУ задано скалярное поле, если в
каждой точке этой области определена некоторая ф-ция двух независимых переменных
u  f  x, y  .
Говорят, что в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле,
если в каждой точке этой области определена некоторая ф-ция трех независимых
переменных
u  f  x, y, z  .
Физическими примерами скалярных полей могут служить:
- поле температур неравномерно нагретого тела T  T  x, y, z 
-поле атмосферного давления на некотором участке земной поверхности P  P  x, y 
-потенциал электрического или магнитного поля вокруг проводника с током
    x, y, z  .
Важнейшими характеристиками скалярных полей, знание которых позволяет
наглядно представляить и анализировать их, являются следующие:
1) Линии и поверхности уровня
2) Произвозводная поля в точке в заданном направлении
3) Градиент поля
Остановимся подробнее на этих понятиях
Линии и поверхности уровня
Опр. Линией уровня скалярного поля u  u  x, y  называется линия на плоскости,
соединяющая точки равных значений функции, т.е. семейство линий уровня на плоскости
определяется уравнением u  x, y   const .
В случае пространственного поля говорят о поверхностях уровня – поверхностях,
на которых функция принимает одинаковые значения. Уравнения поверхностей уровня:
u  x, y, z   const .
Физические примеры линий и поверхностей уровня
- изотермы, изобары
- эквипотенциальные линии и поверхности в теории электромагнетизма.
Производная по направлению
Пусть функция u  f  x, y, z  определена в окрестности т. M 0  x0 , y0 , z0  и задан
вектор s  0 . Обозначим через cos  , cos  , cos  его направляющие косинусы, т.е.
координаты единичного вектора s0 
Опр. Предел отношения
s
в направлении вектора s .
s
u
при s  0 называется производной от функции
s
u  f  x, y, z  в т.  x0 , y0 , z0  по направлению вектора s и обозначается
lim
s  0
u
:
s
u u

.
s s
u f
f
f
 cos   cos   cos 
s x
y
z
Из формулы следует, что зная частные производные, можно найти производную по
любому направлению.
 f f f 
Опр. Вектор  , ,  называется градиентом функции u  f  x, y, z  в точке, в
 x y z 
которой взяты частные производные и обозначается gradu , u (набла u):
gradu 
u
u
u
i 
j k.
x
y
z
Используя понятие градиента и скалярного произведения, формулу для производной по
направлению можно записать
f
  u, s0 
s
Понятие градиента имеет важное физическое приложение. А именно, градиент
поля в заданной точке это вектор, который указывает направление максимального
роста скалярного поля, причём скорость этого роста численно равна модулю
вектора-градиента.
Пример 1. Дана ф-ция u  x 2  y 2  z 2 . Найти производную
u
в т. M (1,1,1) в
s
направлении вектора s  2 i  j  3k .
Найдем s  4  1  9  14 , cos  
u
u
u
u
 2 x,
 2 y,
 2z ,
x
x
y
z
 2,
M
u
y
 2,
M
2
1
3
,
, cos  
, cos  
14
14
14
u
z
2
M
u
2
1
3
.
 2
 2
 2
s
14
14
14
Пример 2. Дана ф-ция u  x 2  y 2  z 2 . Найти градиент функции в т. M (1,1,1)
gradu  2 xi  2 yj  2 zk
gradu M  2 i  2 j  2k