Практическое занятие и работа по теме Степень с рац. и действ. показателями

Практическое занятие
по теме «Степень с рациональным и действительным показателем»
Цель занятия: научиться выполнять преобразование выражений, используя
свойства степени, сравнивать выражения, содержащие степени с рациональным
показателем.
Краткий теоретический материал:
Определение: Степенью числа 𝑎 > 0 с рациональным показателем
𝑚
𝑛
называется
значение корня 𝑛–ой степени из числа 𝑎𝑚 .
𝑚
𝑛
𝑛
𝑎 = √𝑎𝑚 .
(1)
Свойства: Для любых чисел 𝑎, 𝑏, для любых целых чисел 𝑚, 𝑛
1. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ; 4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 ;
2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; 5. (𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛 ;
𝑛
𝑚 𝑛
3. (𝑎 ) = 𝑎
𝑚𝑛
𝑏
;
𝑏
6. если 𝑚 > 𝑛, то 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 при 𝑎 > 1;
𝑎𝑚 < 𝑎𝑛 при 0 < 𝑎 < 1.
Примеры выполнения заданий:
1. Вычислить:
1
1) 642 =
перейдем от показателя степени к корню по формуле (1)
= √64 = √82 = 8
2) 16−0,75 =
сначала переведем показатель степени в обыкновенную дробь, затем избавимся
от минуса в показателе степени и только потом перейдем от показателя степени
к корню по формуле (1)
3
=
3
16−4
4
3
1 4 4 1 3 4
1 4
1 3 1
√
√
= ( ) = ( ) = (( ) ) = ( ) =
16
16
2
2
8
11
3) 25 ∙ 2 5 =
в данном выражении применим свойство 1 и получим:
=
4 11
25+ 5
1
12
=
15
25
= 23 = 8
−4
4) (8 )
=
здесь применим сначала свойство 3, затем перейдем от показателя степени к
корню и получим:
1
1
1
3
3
= 812∙(−4) = 8−3 = √8−1 = √(23 )−1 = 2−1 =
2
2
2
5) 95 ∙ 275 =
в данном примере сначала приведем в одному основанию, затем применим
свойство 3 и свойство 1:
2
2
4
6
4 6
10
= (32 )5 ∙ (33 )5 = 35 ∙ 35 = 35+5 = 3 5 = 32 = 9
1 −0,75
6) ( )
16
4
1 −3
+( )
8
=
сначала переведем показатель степени первого слагаемого в обыкновенную
дробь, затем избавимся от минуса в показателе степени, применив свойство 3, и
только потом перейдем от показателя степени к корню по формуле (1)
3
4
4
4
3
3
1 −4
1 −3
3
4
= ( ) + ( ) = (16−1 )−4 + (8−1 )−3 = 164 + 83 = √163 + √84 =
16
8
3
4
= √(24 )3 + √(23 )4 = 23 + 24 = 8 + 16 = 24
7) 32√2 ÷ 9√2 =
приведем к одному основанию и применим свойство 3 и 2:
= 32√2 ÷ (32 )√2 = 32√2 ÷ 32√2 = 32√2−2√2 = 30 = 1
8) 22−3√5 ∙ 8√5 =
приведем к одному основанию и применим свойство 3 и 1:
= 22−3√5 ∙ (23 )√5 = 22−3√5 ∙ 23√5 = 22−3√5+3√5 = 22 = 4
1+√5
9) (51−√5 )
0
− (√5) =
применив свойство 3, получим:
=5
=
10)
(1−√5)(1+√5)
12 −(√5)
−1=5
2
1−5
−1=5
−1=5
−4
1 4
−1=( ) −1=
5
1
1 − 625
624
−1=
=−
625
625
625
102+√7
22+√7 ∙51+√7
=
в данном примере числитель разобьем на два множителя:
=
22+√7 ∙ 52+√7
22+√7 ∙ 51+√7
=
первый множитель числителя и первый множитель знаменателя сократим и
применив свойство 3, получим:
= 52+√7−1−√7 = 51 = 5
11) (251+√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 =
сначала перейдем к одному основанию, затем применим свойство 3, далее
раскроем скобки и, применив свойство1, получим:
= ((52 )1+√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 = (52+2√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 =
= 52+2√2 ∙ 5−1−2√2 − 52√2 ∙ 5−1−2√2 = 52+2√2−1−2√2 − 52√2−1−2√2 =
1 25 − 1 24
4
=
=
= 4 = 4,8
5
5
5
5
2. Найти значение выражения:
12
3
4
12) √𝑎 ∙ √𝑎 ∙ √𝑎5
при 𝑎 = 2,7
перейдем от радикала к показателю степени и применив свойство 1 получим:
= 51 − 5−1 = 5 −
1
12
1
1 1
5
5
4+3+5
12
+ +
√𝑎 ∙ √𝑎 ∙ √𝑎5 = 𝑎3 ∙ 𝑎4 ∙ 𝑎12 = 𝑎3 4 12 = 𝑎 12 = 𝑎12 = 𝑎 = 2,7
3. Представить в виде степени с рациональным показателем:
3
4
1
13) 𝑎3 ∙ √𝑎 =
во втором множителе переведем корень в показатель степени и применим
свойство 1:
1
3
1
3
1
2
𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎
1
2
1
3
1
3
1
2
6
1 1
+
3 2
1
6
=𝑎
2+3
6
=𝑎
5
6
1 1 1
+ +
2 3 6
3+2+1
6
5
45 5
14) 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ √𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 = 𝑏
= 𝑏 6 = 𝑏6 = 𝑏
15) 𝑥 1,7 ∙ 𝑥 2,8 ÷ √𝑥 5 =
Показатель степени первого и второго множителя переведем в обыкновенную
дробь, затем от корня перейдем к показателю степени, далее применим свойства
1 и 2:
17
28
17 28
5
5
45
𝑥 10 ∙ 𝑥 10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10+10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10−2 = 𝑥
4. Упростить выражение:
√3
16) (𝑏 √3 )
45−25
10
20
= 𝑥 10 = 𝑥 2
÷ 𝑏2 =
здесь применив свойство 3 и 2 получим:
= 𝑏 √3∙√3 ÷ 𝑏 2 = 𝑏 3 ÷ 𝑏 2 = 𝑏 3−2 = 𝑏
Практическая работа
1. Вычислить:
1 −4
1) 8
7) 5−3 ÷ 5−5 − ( )
5
1
4) 2 ∙ 125−3
2
3
3 −5
2) 9−1,5
4
3) 3 ∙ 3
5)
−13
∙3
−5
11
∙3
1 −2
(4)
1
9
−
1,8
6) (3 )
Критерии оценивания:
8 заданий – «отлично»
6-7 заданий – «хорошо»
3-5 заданий – «удовлетворительно»
менее 3 заданий – «неудовлетворительно»
− 4−3 ÷ 4−5
∙ 90,1
8) ( )
4
4 8
÷ (− )
3