dgm otvety

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее некоторую функцию с ее
производными. Решить дифференциальное уравнение — найти функции, при подстановке
которых в уравнение оно обращается в тождество. Большинство физических законов
записывается в виде дифференциальных уравнений. Примером дифференциального
уравнения является второй закон Ньютона:
F = ma
где сила F является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) —
производная скорости и вторая производная координаты по времени.
Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных,
входящих в него.
Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла
(первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C, где
каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и
называется интегральной кривой
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется
уравнение вида F(x, y, y' )=0,
где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R3, x —
независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее
производная.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной,
т.е. уравнения вида
y'=f(x, y)
называют уравнениями в нормальной форме.
Пример. Различные формы записи дифференциальных уравнений первого порядка.
Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она
непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению
F(x, y(x), y'(x))=0.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида (3), которое может быть представлено в виде
.
(3)
(4)
или
(5)
называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
Метод интегрирования таких уравнений состоит в следующем. Если в уравнении (4) производную
представить в виде отношения дифференциалов
и функция
не равна нулю на
рассматриваемом интервале, то данное уравнение приводится к виду
.
Если функции
(6)
в уравнении (5) не равны нулю, то его можно привести к виду
.
(7)
Полученные дифференциальные уравнения (6) и (7) называются дифференциальными уравнениями
первого порядка с разделенными переменными.
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения вида dy/dx = f(x)/g(y) можно
решить, записав его в дифференциалах g(y)dy = f(x)dx и проинтегрировав обе части. В
худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций.
Например, в случае уравнения dy/dx = x/y имеем f(x) = x, g(y) = y. Записав его в виде ydy =
xdx и проинтегрировав, получим y2 = x2 + c.
Уравнения, приводящиеся к уравнению с разделяющимися
переменными
Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение
называется однородным, если его можно привести к виду
1-го порядка
(4)
или к виду
М(х, y)dx+N(x, y)dy = 0,
(5)
где М (х, у) и N (х, у) — однородные функции одного порядка, т. е. существует
такое k  Z, что
тождественно относительно х, у
и t  0.
С помощью подстановки у/х = и(х) однородные уравнения (4) и (5)
преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения вида
(6)
в случае
переменных
приводятся к однородным уравнениям с помощью замены
где т и п находятся из системы уравнений
Поскольку здесь dx = du, dy = dv} то уравнение (6) преобразуется к виду (4)
относительно функции v (u):
Если в уравнении
примет вид
и, следовательно,
, то оно
Подстановкой
это уравнение преобразуется к уравнению с
разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка - ОДУ-1.
Функция P(x,y) называется однородной степени n, если для любого числа k имеет место
тождество
P(kx,ky)=kn P(x,y).
ДУ-1 вида
P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0
называется однородным, если коэффициенты P(x,y) и Q(x,y) при дифференциалах
переменных x и y есть однородные функции одной и той же степени.
Следствие: Дифференциальное уравнение вида y = (x,y) является однородным, если 
(x,y) есть однородная функция нулевой степени
С помощью подстановки
, где U(x) и V(x) новые неизвестные функции, ОДУ-1
приводится к ДУ-1 с разделяющимися переменными (5).
X(x) Y(y)dx+ X1(x)Y1 (y)dy=0. (5)
Функция
называется однородной функцией степени , если имеет
место тождество:
Дифференциальное уравнение
называется линейным и может быть
решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации
постоянной.
Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
Рассмотрим однородное уравнение
разделяющимися переменными, его решение:
. Очевидно, это уравнение с
Решения исходного уравнения будем искать в виде:
Подставив полученное решение в исходное уравнение:
,
получаем:
,
где c1 — произвольная константа.
Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки
решение однородного уравнения:
в
Дифференциальное уравнение
,
где
- функции от
,
определенные и непрерывные в некотором интервале
, называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли приводится к линейному путем деления обеих частей уравнения на
с последующей заменой
Уравнение Риккати (итал. Equazione di Riccati) — обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка вида
Уравнение в полных дифференциалах. Если для уравнения M⁢ⅆx+N⁢ⅆy=0
удовлетворено условие
∂M∂y=∂N∂x,
то это — уравнение в полных дифференциалах. Оно интегрируется так: находят интеграл
∫M⁢ⅆx, считая y постоянным, и, добавляя неизвестную функцию f⁡y, дифференцируют
результат по y. Полученное выражение приравнивают N; из полученного уравнения
определяют неизвестную функцию f⁡y. Таким образом, решение будет иметь вид
∫M⁢ⅆx+f⁡y+C=0.
Если удобнее, то можно поменять ролями M и N и соответственно x и y.
Решение
Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах
,
,
так что
То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
,
,
поэтому
,
проинтегрируем
где
пока неопределённая функция.
Частная производная
найденной функции
должна равняться
Общий интеграл имеет вид
Уравнение вида
где  и Ψ - известные функции от
называется урaвнeниeм Лагранжа.
Введем вспомогательный параметр, положив у'=р. Тогда уравне-ние (2.25) примет вид
Дифференцируя по х, получим:
т. е.
или
Уравнение (2.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х= х(р).
Решив его, найдем:
Исключая параметр р из уравнений (2.26) и (2.28), получаем общий интеграл уравнения
(2.25) в виде у=γ(х;с).
Отметим, что, переходя к уравнению (2.27), мы делили на
потеряны решения, для которых
При этом могли быть
т. е. р=ро=const.
Это значение ро является корнем уравнения р-(р)=0 (см. (2.27)).
Решеиие
является осоБым для уравнения (2.25)
Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при
принимает вид
Уравнение (2.25)
и называется урaвнeниeм Клеро. Положив y'=р, получаем:
Дифференцируя по х, имеем:
Если
Поэтому, с учетом (2.30), ДУ (2.29) имеет общее решение
Если
то получаем частное решение уравнения в параметрической форме:
Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего
решения уравнения.
Пример 2.13. Решить уравнение Клеро
Решение: Общее решение, согласно формуле (2.31), имеет вид y=сх+с2. Особое решение
уравнения получаем согласно формулам (2.32) в виде
Отсюда следует:
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций,
имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство.
Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую
производных, в функцию, имеющую k - n производных:
(23)
С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (20) можно записать так:
(24)
Ln(y) = f(x);
однородное уравнение (21) примет вид
(25)
Ln(y) = 0);
Теорема 14.5.2. Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным
оператором.
Док-во непосредственно следует из свойств производных:
1. Если C = const, то
2.
;(20)
;(21)
Вид общего решения неоднородного уравнения
Если дано частное решение неоднородного уравнения y0(t), и
—
фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее
решение уравнения задается формулой
где
— произвольные постоянные.
Решить уравнение
с начальным условием у(0) = 0.
Решение
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное
дифференциальное уравнение.
Итого
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
верно.
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными
коэффициентами
Характеристическое уравнение
- корни характеристического уравнения.
Общее решение
1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда
Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например
, решение можно записать в виде
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например,
кратность k (остальные - простые), тогда
имеет
Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например
, решение можно записать в виде