ТЕМА: Угол ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Виды углов ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами. На рисунке (a2b) и (a1b) смежные углы. Теорема Сумма смежных углов равна 180. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угол называется острым, если его градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угол равный 90°, называется прямым. Если угол острый, то смежный с ним угол тупой и наоборот. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла. Теорема: Вертикальные углы всегда равны. Биссектриса угла ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между сторонами угла и делит угол пополам. Перпендикулярные прямые ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые. ТЕМА: Треугольник ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника. A, B и С – вершины треугольника. AB, BC и CA - стороны треугольника. Виды треугольников ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу. Δ ABC и Δ DEF разносторонние треугольники. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой. Высота треугольника ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. Биссектриса треугольника ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны. Медиана треугольника ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника. Теорема: В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. Медианы пересекаются в одной точке. Биссектрисы пересекаются в одной точке. Равенство треугольников ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Признаки равенства треугольников 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. ТЕМА: Разновидности треугольников. Их свойства. Равнобедренный треугольник ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми (AC и CB), а третья сторона называется основанием (AB). Свойства углов равнобедренного треугольника Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Признак равнобедренного треугольника Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Теорема: Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный. Свойство медианы и высоты равнобедренного треугольника Теорема: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Сумма углов треугольника Теорема: Сумма углов треугольника равна 180º. <А+<В+<С=180° Внешние углы треугольника ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним Из теоремы следует: Теорема:Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним. Площадь треугольника Теорема: Площадь прямоугольногоо треугольника равна половине произведения его катетов. Теорема: Если высоты двух треугольников равны, то их полощади относятся как основания. Теорема: Если угол одного треуголника равен углу другого треугольника, то их полощади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. ТЕМА: Параллельные прямые ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если точки С и D лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы CBA и DAB называются односторонними. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если точки K и M лежат в одной полуплоскости от секущей AB, то углы KBA и MAB называются накрест лежащими. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если у пары внутренних накрест лежащих углов ( угол 1 и угол 2) один из углов заменить на вертикальный ему ( заменить угол 2 на угол 3), то полученные углы называются соответственными углами (угол 1 и угол 3) данных прямых с секущей. Свойства параллельных прямых 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующие углы равны. 3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 º Признаки параллельности прямых 1 . Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны 2 . Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3 . Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Из теорем следует: - Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. С а в - Две прямые, параллельные третьей, параллельны. a b c Расстояние от точки до прямой ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от дочки до прямой. Теорема: Расстояние от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой. ТЕМА: Прямоугольный треугольник ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны – катетами. AC и AB – катеты, BC – гипотенуза. Теорема: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы. Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1. По гипотенузе и катету 3.По двум катетам 2. По гипотенузе и острому углу 4. По катету и острому углу