Учитель математики высшей категории Цапиева Тамара Васильевна город Удомля Тверской области

Учитель математики высшей категории
Цапиева Тамара Васильевна
город Удомля Тверской области
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Удомельская средняя общеобразовательная школа № 5
с углубленным изучением отдельных предметов»
E-mail: eljvkz88@ mail.ru
Телефон: 89201618411
УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
(методическое пособие для учащихся 7-9 класс)
СОДЕРЖАНИЕ









Пояснительная записка.
.Уравнения с параметром, сводящие к линейным.
.Квадратные уравнения с параметром.
Применение теоремы Виета и исследование расположения
корней квадратного уравнения относительно нуля.
Расположения корней квадратной функции относительно
заданных точек.
Решение биквадратных уравнений с параметром.
Уравнения с параметром, содержащие модуль.
Пояснительная записка.
Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью,
близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем,
что выбор метода решения, запись ответа предполагают определенный
уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать,
выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
Без сомнения, задачи
с параметрами дают развивающий эффект,
научный подход к решению задач. И в то же время наша программа не
включает
в себя этот важный раздел. С этим противоречием
я и
столкнулась, так как в наших школьных учебниках не содержится
теоретического материала о решении заданий с параметрами, всего
несколько упражнений, которые идут со звездочкой и не даются
систематически. То есть, возникает противоречие между необходимостью
увеличить
объем
информации,
включаемый
в
общеобразовательную
программу и возможностью ее усвоения каждым учеником.
Предложенное методическое пособие может быть использовано на
уроках математики в 7 - 9 классах.
Решение уравнений с параметром.
В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении
прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения;
уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества
корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.
Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы
двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет
«общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы
общения ограничивается его неизвестностью.
Обычно в уравнении буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение–
значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих
этому уравнению. Иногда уравнения кроме букв, обозначающих
неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы
имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При этом
бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при
других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении
таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений
параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых
ответ выражается одной и той же функцией через параметры.
.. Многие учащиеся слабо владеют методами их решения, часто
воспринимают параметр как величину известную и проводят
соответствующие выкладки без должного анализа различных ситуаций,
диктуемых параметром. Отсюда неверные выводы, порою даже
парадоксальные. Чтобы избежать этого, необходимо тщательно
продумывать каждый шаг решения задачи с параметром, логически
обосновывать любое преобразование, в котором участвует параметр.
Если в уравнении , кроме неизвестных, входят числа, обозначенные
буквами, то они называются параметрами, а такое уравнение –
параметрическим. Решить уравнение, содержащее параметр-это значит
для каждого допустимого значения параметра найти множество всех
значений данного уравнения.
Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.
Рассмотрим уравнение
(1)
где - неизвестная величина, и - параметры уравнения. Достаточно
очевиден следующий результат.
Теорема. Если
, то уравнение (1) при любом имеет
единственное решение
если
и
то уравнение (1) имеет
бесчисленное множество решений (именно любое
является решением
уравнения (1); если
и
то уравнение (1) не имеет решений (т.е.
).
1). Для каждого допустимого значения параметра
уравнение
решить
Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения
параметра
Уравнение равносильно такому уравнению:
(2)
Используя теорему 1, получаем
а) если
б) если
в) если
.
Ответ. Если
если
то уравнение (2) равносильно уравнению
⟺
то уравнение (3) равносильно уравнению
⟺
и
то из (3) следует, что
то
то
если
то
2.) Решить уравнение :
Решение. Если не учитывать теории линейных уравнений, то в лучшем
случае можно получить ответ
, являющийся ошибочным, так как не
учтены различные ситуации, связанные с параметром.
Правильный же результат запишется так:
Если
то
если
то
Ответ. Если
то
если
то
3).Решить уравнение:
Решение. Если не принять во внимание, что в данном уравнении
параметр может принимать любые значения (в том числе и обращаться в
нуль), то можно получит результат
который является исчерпывающим
лишь при
. Если же
то уравнение приводится к виду
решением которого является любое число
Ответ. Если
то
если
, то
4).Решить и исследовать в зависимости от параметра уравнение:
a(ax 1)3(6a) x
Решение:
a x  a  3  6 x  ax,
2
(a 2  a  6) x  a  3,
(a  3)(a  2) x  a  3
возможны три случая:
а) если a  2, a  3, т о уравнение имеет единственное решение
x
1
;
a2
б) если a  2 , то 0x  5 , а тогда решений нет;
в)
a  3, то 0 x  0 и уравнение имеет бесконечное множество
решений x  R .
Ответ: при
при
при
a  2, a  3
x
1
a2
a  2 , решения нет;
a  3, x  R .
5). Для каждого допустимого значения параметра
уравнение
решить
и указать все значения параметра, при которых корни уравнения
больше
Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения
параметра
При каждом значении параметра уравнение равносильно
системе
⟺
(3)
Решим сначала уравнении системы (3); оно линейно и по теореме 1
имеем:
а) если
то указанное уравнение равносильно такому уравнению:
⟺
;
б) если
то
.
Найдем теперь те значения параметра при которых найденное
решение уравнения удовлетворяет неравенствам из (3).
8∙
⟺
⟺
⟺
Итак, если
то данное уравнение имеет единственный
корень
если же
или
то данное уравнение корней не
имеет .
Найдем теперь те значения параметра
при которых найденный
корень превосходит . Имеем
⟺
⟺
⟺
Ответ. Если
если
или
то
то
Если
то корень больше
x a x 1

2
x 1 x a
6).Решить уравнение.
Решение.
Обозначим
1
t   2,
t
Подставим
Откуда
xa
 t,
x 1
(t  1) 2  0,
t  1,
где t  0
получим уравнение
t 1
получим
xa
 1,
x 1
x  a  x 1,
x  x  a 1, то есть
0 x  a  1.
Возможны два случая:
а) если
a  1  0, т.е. a  1 , то решения нет;
a  1  0, т.е. a  1 , то
в) если
0x  0 ,
значит последнее уравнение имеет бесконечное множество решений
x R .
Однако надо проверить, что x  1,
следовательно, исходное
уравнение имеет решение x  R, x  1.
Ответ: при
при
a  1,
a  1,
решений нет
то x  R, x  1
mx 1
2m3
x2
7).Решить уравнение.
Решение:
Уравнение равносильно системе:
 x  2;

mx  1  ( x  2)(2m  3;
x  2;
 
mx - 1 = 2mx + 3x + 4m + 6;
Последнее уравнение перепишем в виде Ax = B ;
(m  3) x  (4m  7)
При m  3 получаем
0x  5
нет корней.
4m  7
единственное решение.
m3
Однако надо проверить, что x  2
При
m  3
x  2  
Ответ:
получаем
x
4m  7
1
 2  4m  7  2m  6  m  
m3
2
1
2
1
m  3; m  
2
при m  3; m  
нет решения;
при
x
8).Решить уравнение.
Решение:
Упростим уравнение.
4m  7
.
m3
b
1
2b 2 3b 1


x  b x b
x 2 b 2
x  b
ОДЗ: 
 x  b
b( x  b)  x  b  2b 2  3b  1
 0,
( x  b)( x  b)
bx  x  3b 2  2b  1  0 ,
(b  1) x  3b 2  2b  1 ,
(b  1) x  (b  1)(3b  1) ,
Последнее уравнение является линейным относительно х, и оно равносильно
исходному в ОДЗ заданного уравнения.
1) При b  1
уравнение имеет единственное решение
x
(b  1)(3b  1)
 3b  1 .
b 1
Полученное решение входит в ОДЗ, если
3b  1  b,

3b  1  b;

b 

b 

1
,
2
1
;
4
Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение
x  3b  1,
при
b  1, b 
1
1
, b .
2
4
2) при b  1,
линейное уравнение примет вид 0x  0
имеет бесконечное множество решений x  R , x  1
3) при
b
1
1
; b
2
4
и, значит,
уравнение очевидно решений не имеет.
1
1
x  3b  1
2
4
при b  1, x  R , x  1
1
1
при b  ; b 
решений нет.
2
4
Ответ: при b  1, b  , b 
9).При каком значении а уравнение имеет единственное решение
x  a a 3x

 2
x 1 x 3
 x  1,
ОДЗ 
 x  3.
Решение:
Упростим уравнение:
( x  a)( x  3)  (a  3x)( x  1)  2( x  1)( x  3),
x 2  3a  ax  3a  ax  a  3x 2  3x  2 x 2  2 x  6 x  6,
2ax  10 x  2a  6,
x(a  5)  a  3.
Последнее уравнение является линейным относительно х , и оно
равносильно исходному в ОДЗ заданного уравнения.
При a  5
уравнение имеет единственное решение
x
a3
a 5
Полученное решение входит в ОДЗ, если
a  3
 a  5  1,

 a + 3  3;
 a - 5
a  1,
ОДЗ 
a  9;
Ответ: при a  5, a  1, a  9
Задачи для самостоятельного решения:
1). Найти значения параметра m , при которых уравнение
m 2 x  m 2  6 4 x  m
а) имеет единственное решение,
б) не имеет решений,
в) имеет бесконечное множество решений.
Ответ:
m   ;2  2; 
a)
б)
m  2
в)
m 2.
2) При каких значениях параметра а уравнение
x a a 3x

2
1 x 3 x
имеет единственное решение
Ответ a  9; a  5; a  1.
3). При каких значениях параметра а уравнение
x a a 3x

2
1 x 3 x
имеет единственное решение
Ответ a  1; a  5; a  9
4). При каких значениях параметра а уравнение
x  a a 3x

2
x 1 x  2
имеет единственное решение
Ответ: a  9; a  5; a  1.
Квадратные уравнения с параметрами
Рассмотрим теперь квадратное уравнение
где - неизвестная величина,
уравнения.
(1)
- параметры (коэффициенты)
К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего,
значение
При указанном значении параметра уравнение (1) принимает
вид
(2)
следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2)
является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее.
При
другие критические значения параметров
определяются дискриминантом
уравнения. Известно, что при
уравнение (1) корней не имеет; при
оно имеет единственный
корень
при
уравнение (1) имеет два различных корня
и
1). Найти все значения параметра
уравнение
для которых квадратное
а) имеет два различных корня;
б) не имеет корней;
в) имеет два равных корня.
Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а
поэтому
Рассмотрим дискриминант данного уравнения
При
уравнение имеет два различных корня, т.к.
При
уравнение корней не имеет, т.к.
Данное
квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к.
а это противоречит условию задачи.
Ответ: При
уравнение имеет два различных корня.
При
уравнение корней не имеет.
2).Решить уравнение . Для каждого допустимого значения
параметра решить уравнение
при
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда
⟺
(в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением).
Таким образом, значение параметра
и
являются его
критическими значениями. Ясно, что при
корнем данного уравнения
является
а при
его корнем является
Если
т.е.
и
то данное уравнение является
квадратным. Найдем его дискриминант:




2
D  1  4a 2 a 2  1  4a 4  4a 2  1  2a 2  1 .
При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные
значения, причем он обращается в нуль при
(эти значения параметра
тоже являются его критическими значениями).
Поэтому, если
то данное уравнение имеет единственный
корень
При этом значению параметра
соответствует корень
а значению
соответствует корень
Если же
корня. Найдем эти корни.
Ответ. Если
то уравнение имеет два различных
то
если
то
если
то
если
то
,
.
3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение
х 2  ах  1
 0 имеет единственное решение?
х3
Решение. Данное уравнение равносильно системе
 х 2  ах  1  0,

 х  3.
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения,
естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие
х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том,
что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно
только один из них должен равняться -3. Имеем
D = а2 - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 — корень уравнения х2 – ах +1 = 0
при
а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного
уравнения отличен
от -3.
Ответ . а = ±2 или а = -10/3.
4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 2)x2 + (4 - 2а) х +3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное
уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2, то данное уравнение —
квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни
дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а =
5. Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то
Ответ, а = 5.
9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах2 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение. При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не
удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным,
имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а2 – 12а положительный.
Отсюда получаем -4 <а<1.
Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0.Ответ. -4<а<0
или 0<а<1.
10). При каких значениях параметра а уравнение а(а +3)х2 + (2а +6)х – 3а
– 9 = 0 имеет более одного корня?
Решение. Стандартный шаг — начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0
уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3
решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0,
разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное
уравнение ах2 + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4 (1 + За) положителен
при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка
(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.
Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0.
11).Решить уравнение :
Решение. Сначала заметим, что при
данное уравнение
равносильно уравнению
которое не имеет решений. Если же
то можно записать
,
⟺
Ответ. Если
⟺
то
если
то
. Задачи на расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от
параметра могут быть разнообразные: найти значение параметра, при
котором корни положительны, отрицательны, имеют разный знак, больше
или меньше какого-либо числа, принадлежат данному отрезку или когда
отрезок находится между корнями трехчлена.
Применение теоремы Виета и исследование расположения корней
квадратного уравнения относительно нуля.
Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами
является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к
формулировке.
Этих двух теорем ( прямой и обратной )
Теорема Виета
Если уравнение x 2  px  q  0 имеет корни и x1 ; x 2 то
выполнены равенства x1  x2   p; x1 x 2  q .
Особенности теоремы:
Первое. Теорема верна только для уравнения
x 2  px  q  0 и не
верна для
ax 2  bx  c  0
В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на
ненулевой коэффициент а при х2, а потом уже применять теорему Виета.
Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь
факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие
D>0
Обратная
Теорема Виета
Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения
x 2       x       0
Очень важное замечание, облегчающее решение задач: обратная теорема
гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с
дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен.
Рекомендации для учащихся
ax 2  bx  c  0, a  0; D  b 2  4ac
Условия на корни
Корни x1 ; x2
существуют ( и
различны)
Корни существуют и
равны
x1  x 2  x 0 ;
Причем x0  0; ( x0  0)
Корни существуют и
x1  0; x 2  0
Равносильное условие на
коэффициенты а,в,с, и дискриминант D
D  0;
 D  0,

b

 x1  x 2  2 x0   a  0 ( 0)
 D  0,

c

 x1 x 2  a  0.
Корни существуют и
x  0; x2  0
Корни существуют и
различны x1  0; x2  0
Корни существуют,
один корень равен нулю,
а другой >0 ( 0).

 D  0,

b

 x1  x 2    0,
a

c

 x1 x 2  a  0.

 D  0,

b

 x1  x 2    0,
a

c

 x1 x 2  a  0.
c  0,

b

 x1  x 2   a  0  ( 0)
1). Установить, при каких значениях параметра
уравнение
не имеет корней.
Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы
дискриминант
=
имеет различные положительные корни.
Раз корни есть, то
если они оба положительные, то
Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения
⟹
имеет различные отрицательные корни
и
имеет корни разного знака
имеет совпадающие корни
2). При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения
a 2x2 8xa 40
будут положительными?
Решение.
Так как заданное уравнение является квадратным, то a  2
оба его
корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант
неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть
 D  0,

 x1  x 2 0;
 x x 0.
 1 2
D
 16  (a  2)(a  4),
4
8
a4
x1  x 2  
, x1 x 2 
,
a2
a2
Так как,
а по теореме Виета,
То получим систему неравенств

16  (a  2)(a  4)  0,

8

 0,

 a2
a  4
 a  2  0;
a 2  2a  24  0,

a  2  0,
a  4 или a  2;

 6  a  4 ,

a  2,
a  4 или a  2, откуда

Ответ:  6  a  4.
3). Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного
уравнения
ax 2  2(a 3) x  a  20
неположительны.
Решение.
Так как заданное уравнение является квадратным, то a  0 . Оба его корня
(равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если
дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна
нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть
 D  0,

 x1  x 2  0,
 x x  0.
 1 2
D  4(a  3) 2  4a (a  2) 
 4(a 2  6a  9)  4a 2  8a 
 4a 2  24a  36  4a 2  8a  16a  36
а по теореме Виета
x1  x 2  
2(a  3)
,
a
x1 x 2 
a2
a
то получим систему неравенств.

16a  36  0,

 2(a  3)
 0,

a

a  2
 a  0;
Ответ: a  0
9

a   4 ,

a  0 или a  3,
a  0 или a  2;


откуда a  0
4).При каких значениях параметра а сумма квадратов корней
уравнения
4x 2 28x  a 0
равна 22.5 ?
Решение.
Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось
встречаться.
Имеем
x12  x 22   x1  x 2   2 x1 x 2  49 
2
a
2
поскольку x12  x22  22.5,
то получаем “Ответ” a  53 Однако при
найденном значении а исходное уравнение корней не имеет.
В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок,
связанной с применением теоремы Виета:
вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или
нет.
Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что
лишь при a  49 исходное уравнение имеет корни. Только после этого
можно обратится к выкладкам, приведенным выше.
Ответ: Таких а не существует.
5). Корни уравнения
таковы, что
Определить
Решение. По теореме Виета
части первого равенства в квадрат
а
получаем
Проверка показывает, что значения
исходному уравнению.
Возведем обе
Учитывая, что
или
удовлетворяют
Ответ:
6).При каком значении параметра а сумма квадратов корней
уравнения
значение:
x 2  x a 2 4a a 20
принимает наименьшее
Решение.
Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем D  a 2  8 Здесь
важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня
при любом а. оно действительно имеет два корня при любом, но
допустимом а, т.е. при a  0; при a  4.
Используя теорему Виета, запишем
x12  x22   x1  x2   2 x1 x2 
2

a 2  4a

2
 2  a  2  a 2  2a  4
Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение
квадратичной функции  (a)  a 2  2a  4
на множестве  ;0  4; 
Поскольку при a  0
 (a)   (0)  4,
а при a  4
 (a)   (4)  12,
то
функция  на указанном множестве принимает наименьшее значение в
точке a  0.
Ответ: a  0.
Задачи для самостоятельного решения
1). Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного
уравнения
ax 2  2a 3x  a  20
неотрицательны
 9
Ответ: a   ,2 .
 4
2). Вычислить значение выражения
уравнения
,где
x
и x2
-корни
5x 2 13x 170.
Ответ: 
3).
x1 x 2

,
x 2 x1
339
85
Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов
действительных корней уравнения
ax 2  2x 10
больше 6.
 2 
Ответ: a    ;0  0;1
3
4).При каких значениях параметра а уравнение ах2-4х+а=0 имеет:
а) положительные корни
б) отрицательные корни
Расположение корней квадратичной функции относительно
заданных точек.
Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких
значениях параметра корни ( только один корень ) больше (меньше, не
больше, не меньше ) заданного числа А; корни расположены между числами
А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п.
При решении задач, связанных с квадратным трехчленом
(1)
часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями
(которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ».
Вопрос 1. Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты
квадратного трехчлена (1) оба его корня
и
больше т.е.
?
Рис.1
Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны
удовлетворять условиям
где
- абсцисса вершины параболы.
Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно
представлены случаи
и
Отметим, что двух условий
и
еще недостаточно, чтобы корни
и
были больше На первом
из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум
условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям
добавить, что абсцисса
вершины параболы больше то и корни
будут большими чем
Вопрос 2. Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты
квадратного трехчлена (1) его корни
и
лежат на разные стороны от
т.е.
?
Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны
удовлетворять условию
Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно
представлены случаи
и
Отметим, что указанное условие
гарантирует существование двух различных корней
и
квадратного
трехчлена (1).
)
(
Рис. 2
Вопрос 3. При каких условиях на коэффициенты квадратного
трехчлена (1) его корни
и
различны и только один из них лежит в
заданном интервале
Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны
удовлетворять условию
Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного
трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни
и
лежат в заданном интервале
т.е.
Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны
удовлетворять условиям
Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая
приведена ниже.
Таблица
x1 и
x 2 - корни многочлена
 ( x)  ax
2
 bx  c, D  b 2  4ac  0, a  0
Задача 1. При каких значениях параметра корни
и
уравнения
удовлетворяют условию
Решение. Воспользовавшись ответом на вопрос 2, получаем, что
искомыми значениями параметра является множество решений
неравенства
⟺
⟺
⟺
⟺
Ответ.
Задача 2. При каких значениях параметра
уравнения
множество корней
не пусто и все его корни принадлежат (-1, 1)?
Решение. Так как в предложенной задаче коэффициент при
положителен, то воспользовавшись ответом на вопрос 4, получаем, что
искомыми значениями параметра является множество решений
следующей системы неравенств
⟺
⟺
Ответ.
Задача 3. При каких значениях параметра
уравнения
один из корней
меньше 1, а другой – больше 2?
Решение. Так как в предложенной задаче коэффициент при
положителен, то, воспользовавшись ответом на вопрос 5, получаем, что
искомыми значениями параметра является множество решений следующей
системы неравенств
⟺
⟺
⟺
Ответ.
Задача4. Найти все значения параметра р, при которых оба корня
квадратного уравнения
Решение.
x 2 3 px  4 p 0
больше 2.
Так как уравнение имеет два ( равных или различных ) действительных
корня, то дискриминант
D  9 p 2  16 p  0
Как известно, графиком трехчлена y  x 2  3 px  4 p , стоящего в левой
части уравнения, является парабола с ветвями, направленными вверх. А так
же оба корня больше 2, то парабола пересекает ось 0х в точках,
расположенных правее 2, а тогда получим, что y 2  2 2  3 p2  4 p  4  2 p  0 .
Вершина параболы также расположена правее 2, и, значит, ее абсцисса тоже
будет больше 2, то есть 
b
3p 3

 p  2.
2a
2
2
Таким образом, получим систему

 D  0,

 y 2  0,
 b

 2;
 2a

9 p 2  16 p  0,

4  2 p  0,
3
 p  2;
2

 p(9 p  16)  0,

 p  2,

4
p  ;
3

16

 p  0 или p  9 ,

4  p  2
 3
откуда
16
 p  2;
9
Ответ:
16
 p  2;
9
Задача5. Найти d, при которых корни уравнения
меньше 1.
2x 2  dx 3d 0
Решение:
x2 
d
3
x d 0
2
2
обратите внимание, на то что по условию корней может
быть два или один. Поэтому первое неравенство в системе (  ).
d 2
 4  6d  0,

 d
  1,
 4
 d 3d
1  2  2  0,


d  0 или

d  4,

1
d   .
2


d 2  24d  0,

 d  4 ,
2d  1,

d  24,
откуда
1
 d  0, d  24.
2
Задача6. При каких значениях параметра
между корнями квадратного уравнения
а число 2 находится
x 2 (4a 5) x 32a 0 .
Решение.
В предыдущих задачах поиск корней квадратной функции был связан с
нахождением дискриминанта.
Поступим также и в этой задаче.
Имеем D  16a 2  48a  13
 D  0;

 y (2)  0;
Ответ: a  
 x  R;

17  6a  0;
a
17
.
6
17
.
6
Задачи для самостоятельного решения
1). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения
x 2 2ax  a 2 20 принадлежат отрезку 2; 5 .
Ответ:
2  2  a  5 2
2). При каких значениях а только больший корень принадлежит
промежутку
  1; 0
x 2  4x (a 1)(a 5)0
Ответ:  5  a  4;  2  a  1.
3).При каких а оба корня уравнения х2 –6ах +2-2а+9а2=0 больше 3?
4).При каких а оба корня уравнения х2 –ах=2=0 лежат на интервале (0;3)?
5). При каких а один корень уравнения ах2 +х+1=0 больше 2, а другой
меньше 2?
Решение биквадратных уравнений
Пример 1
x 4 (12a) x 2  a 10.
x 2  t , t  0.
t 2  (1  2a)  x 2  a 2  1  0.
t1 - меньший корень
t 2 - больший корень
Схема решения уравнения
1). Уравнение не имеет
решение
D0
2). Уравнение имеет
одно решение
D  0,

t1  0, t 2  0.
3). Уравнение имеет два
решения
 D  0,

t1  0.
4). Уравнение имеет три
решения
 D  0,

t1  0,
t  0.
2
 D  0,

t1  0,
t  0.
2
5). Уравнение имеет
четыре решения
 D  0, но
 2
 x  t  0.
D  0,

t1  t 2  0.
 D  0,

t1  0,
t  0.
2
Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение
x 4 (a 3) x 2  a 0
не имеет корней ?
Решение: Уравнение
является биквадратным.
x 4  (a  3)  x 2  a  0
Сделав замену x 2  t , где t  0, получим новое уравнение
t 2  (a  3)t  a  0 ,
оказавшиеся квадратным.
Для того чтобы исходное уравнение не имело корней, новое уравнение либо
вообще не должно иметь корней, либо оба его корня (равные или различные )
должны быть отрицательными.
Найдем дискриминант D  a 2  10a  9.
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант D  0,
то есть a 2  10a  9  0,
откуда 1  a  9.
Оба корня будут отрицательными, если D  0, Отрицательно, а
произведение положительно, а тогда имеем систему
 D  0,

t1  t 2  0,
t t  0;
12
a 2  10a  9  0,

a  3  0,
a  0;

a  1 или

a  3,
a  0;

a  9,
a  1 или

0  a  3.
a  9,
Решением последней системы является промежуток 0  a  1.
Объединив промежутки 0  a  1.
и 1  a  9.
получим промежуток,
Итак , исходное уравнение не имеет корней при 0  a  9.
0  a  9.
Ответ: 0  a  9.
Задача2. В зависимости от значений параметра а определить
количество корней уравнения
x 4 (12a) x 2  a 2 10.
Решение:
(1)
Полагая
y  x2 ,
перепишем уравнение (1)
в виде
y  (1  2a) y  a  1  0,
2
2
Откуда находим
y1,2 
2a  1  5  4a
.
2
Таким образом, уравнение (1) будет иметь четыре корня, если значение
параметра а удовлетворяют системе неравенств
5  4a  0,

 2a  1  5  4a
 0.

2

 5
Решая последнюю систему, получаем, что a  1,  .
4
Очевидно также, что уравнение (1) имеет три корня, если значения
a 2  1  0;
параметра а удовлетворяют системе 
1  2a  0,
Далее уравнение (1) имеет два корня, если значения параметра а
удовлетворяют ими систем неравенств
 2a  1  5  4a
0

2

 2a  1  5  4a
0

2
Или система
5  4a  0,

2a  1  0.
В первом случае
 1  a  1,
5
4
втором a  .
Теперь, если значение параметра а удовлетворяют системе
a 2  1  0,

1  2a  0,
Т.е. если a  1, то уравнение (1) имеет одно решение.
Наконец, уравнение (1) не будет иметь решений при тех значениях
параметра а, которые удовлетворяют совокупности
5  4a  0,

5  4a  0,
 2a  1  5  4a

 0,
2

Ответ: если
1  a  5 4 , то четыре корня;
если
если
если
если
то три корня;
 1  a  1, a  5 4 , то два корня;
a  1, то один корень;
a  1, a  5 4 , то нет корней.
a 1
Задачи для самостоятельного решения
1). Найти все значения параметра а, при которых уравнение
x 4 2(a 1) x 2  a 2 10.
а) не имеет корней
б) имеет только один корень
в) имеет два различных корня
г) имеет четыре различных корня
Ответ:
а) a  1; a  1;
б) a  1;
в)  1  a  1;
г) a  2.
.
Уравнения с параметром, содержащие модуль.
Решить в зависимости от значений параметра а.
1
|x–3|=a
По свойству модуля при всех x  R левая часть уравнения
неотрицательна, следовательно, при a < 0 уравнение не имеет
решений.
При a = 0 x = 3.
При a > 0 x – 3 = ± a, откуда x = 3 ± a.
Ответ: при a = 0 x = 3.
при a > 0 x = 3 + a. x = 3 – a.
при a < 0 уравнение не имеет решений.
При каких значениях параметра a уравнение x = a · | x
– 5 | имеет единственное решение, два решения, не имеет
решения. Найдите их.
Для решения уравнения найдём нули модули x – 5 = 0 x
= 5.
Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥ 5 и x < 5.
2
1)
x ≥ 5,
x=a(x–5)
2)
x < 5,
x=a(–x+5)
x ≥ 5,
x – ax = – 5a;
x < 5,
x + ax = 5a;
x ≥ 5,
x < 5,
x ( 1– a ) = – 5a;
x ( 1+ a ) = 5a
;
Исследуем линейное уравнение
Исследуем линейное
уравнение
в зависимости
от параметра a. в зависимости от
параметра a.
x ( 1– a ) = – 5a
;
x ( 1+ a ) = 5a;
Если 1– a = 0, т.е. a = 1, то
Если 1+ a = 0, т.е. a = –
1, то
x · 0 = – 5 Уравнение не имеет x · 0 = – 5 Уравнение не имеет
решения.
решений.
Если 1– a ≠ 0, т.е. a ≠ 1, то
Если 1+ a ≠ 0, т.е. a ≠ –
1, то
x
5a
- уравнение имеет
1 a
единственное решение.
x ≥ 5,
x
5a
, a ≠ 1;
1 a
x
единственное решение.
x < 5,
x
Учтем, что x ≥ 5, т.е. 
5a
- уравнение имеет
1 a
5a
, a ≠ –1;
1 a
5a
 5,
1 a
Учтем, что x < 5, т.е.
5a
 5,
1 a
решим методом интервалов
решим
методом
интервалов
неравенство.
неравенство.
Получим a > 1. Т.е. при a > 1 Получим a > – 1. Т.е. при a >
–1
уравнение будет иметь
уравнение будет иметь
единственное
решение x 
решение x  
5a
1 a
единственное
5a
1 a
на промежутке x ≥ 5.
на промежутке x < 5.
Ответим на поставленные вопросы. Наши решения
покажем на координатных прямых.
x
5a
1 a
одно решение
нет
решения
одно
решение
1
a
два
решения
a
-1
5a
x
1 a
При a > 1 уравнение имеет два корня x1  
5a
;
1 a
x2 
5a
;
1 a
При a < – 1 уравнение не имеет решения.
При – 1< a ≤ 1 уравнение имеет одно решение, т.е. x 
Ответ:
a > 1,
x1  
5a
.
1 a
5a
5a
; x2 
.
1 a
1 a
a < – 1, решений нет.
– 1< a ≤ 1, x 
5a
.
1 a
Решить самостоятельно:
При каком a уравнение имеет решения. Найдите их.
1 )x  1  a  x  1
2 )x  2  c  x  2
3 )x  1  b  x  3
3
При каких значениях a уравнение | x + 3| · ( x – 3 ) + a = 0
имеет ровно 3 решения?
Найдем нули модуля: x + 3 =0;
x = – 3.
Раскроем модуль на двух промежутках:
x ≥–3
x <–3
x ≥ – 3,
x <–3
( x + 3) ( x – 3 ) + a = 0;
(– x – 3) ( x – 3 ) + a = 0;
Исследуем уравнение
( x + 3) ( x – 3 ) + a = 0;
x2 – 9 + a = 0;
x2 = 9 – a ;
при 9 – a ≥ 0, т.е. a ≤ 9
уравнение имеет два корня
Исследуем уравнение
(– x – 3) ( x – 3 ) + a = 0;
– ( x2 – 9 ) = – a ;
x2 – 9 = a ;
x2 = a + 9;
при a + 9 ≥ 0, т.е. a ≥ – 9
x1,2   9  a .
уравнение имеет два корня
x ≥ – 3;
x1,2   a  9 ; a ≥ – 9
x1,2   9  a ;
a≤9
x < – 3;
Учтем, что x ≥ – 3
9  a  3, при 9 – a ≥ 0
неравенство имеет решение,
т.е. a ≤ 9.
 9  a  3,

Учтем, что x < – 3
a  9  3,
решения нет.
 a  9  3,
a  9  3,
9  a  3,
9  a  0,
2
9  a  32 ,
a + 9 ≥ 0,

a + 9 > 9,
Т.е. при a > 0
уравнение имеет один корень
неравенство имеет решение
a ≤ 9;
a ≥ 0; т.е. 0 ≤ a ≤ 9;
x3   a  9.
Т.е. при 0 ≤ a ≤ 9 уравнение
имеет два различных корня.
x1,2   9  a , при a = 3
уравнение имеет два равных
корня x1,2  0 .
Ответим на поставленный вопрос.
При 0 ≤ a < 9 уравнение имеет 3 корня.
x3   a  9
0
нет
решения
три
решения
одно
решение
9
0
a
a
x1,2   9  a
два
два
решения
решения
Ответ: при 0 ≤ a < 9 три корня.
При каких значениях a уравнение | x + 3| · ( x – 3 ) + a = 0
имеет ровно 3 решения? (Графический способ).
| x + 3| · ( x – 3 ) = – a
Построим графики, заданные в левой и правой частях:
1) y = | x + 3| · ( x – 3 )
Найдем нули модуля: x + 3 =0;
x = – 3.
Раскроем модуль на двух промежутках: x < – 3; x ≥ – 3.
x ≥ – 3;
x < – 3;
2
y = ( x + 3) ( x – 3 ) = x – 9;
y = – ( x + 3) ( x – 3 ) = 9 – x2;
2) y = – a – линейная функция, график прямая, параллельная оси
OY.
Эскиз графиков.
y
9
1
-3
3
0
x
y=–a
-9
Ответ: 0 < a < 9.
4
При каких значениях a уравнение
x  2x  6
x 2  8 x  12
 a имеет
единственное решение?
ОДЗ: x2 + 8x + 12 ≠ 0; x ≠ – 6; x ≠ –2;
Найдем нули модуля: 2x + 6 = 0;
x = –3;
Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥ –3 и x < –3.
1) x ≥ –3;
и 2)
x < –3.
x  2x  6
 a;
 x  6 x  2
x  2x  6
 a;
 x  6 x  2
x ≥ –3;
x < –3.
x ≥ –3;
x < –3.
3 x  2
 a;
 x  6 x  2
1
 a;
 x  2
3
 a;
 x  6
Исследуем уравнение:
3
 a;
 x  6
3  a  x  6 ;
3  ax  6a ;
ax  3  6a ;
ax  3  6a ;
  x  6
 a;
 x  6 x  2
x ≠ – 6;
Исследуем уравнение
1
 a;
 x  2
 1  a  x  2;
 1  ax  2a ;
ax  1  2a ;
Если a = 0; 0 ∙ x = 3
решения нет.
a ≠ 0; x 
3  6a
;
a
x ≠ –2;
Если a = 0; 0 ∙ x = – 1
решения нет.
a ≠ 0; x 
 1  2a
;
a
единственное решение.
x ≥ –3;
единственное решение.
x < –3;
x
x
3  6a
; a ≠ 0;
a
Учтем, что x ≥ –3; т.е.
3  6a
 3;
a
 1  2a
; a ≠ 0;
a
Учтем, что x < –3; т.е.
 1  2a
 3;
a
Решим методом интервалов
интервалов
неравенство.
Получим 0 < a ≤ 1.
Т.е. при 0 < a ≤ 1 уравнение
будет иметь единственное
единственное
решение x 
Решим методом
неравенство
Получим 0 < a < 1.
Т.е. при 0 < a < 1 уравнение
будет иметь
3  6a
;
a
решение x 
 1  2a
;
a
Ответим на поставленный вопрос. Наши решения покажем
на координатных прямых.
нет
решения
x
1
два
решения
3  6a
;
a
a
нет
решений
1
0
a
 1  2a
x
;
a
нет
одно
решения
решение
При a = 1 уравнение имеет одно решение.
Учтем ОДЗ x ≠ – 2; x ≠ –6;
x ≥ –3;
x < –3;
x ≠ –6; x ≠ – 2;
x ≠ –6; x ≠ – 2;
3  6a
; a ≠ 0;
a
3  6a
  2; a  0 ;
a
3  6a  2a ;
 1  2a
;
a
 1  2a
 6; a  0
a
 1  2a   6a ;
3  4a ;
 1   4a ;
x
a
x
3
;
4
a
1
;
4
С учетом ОДЗ
3
/4
0
0
При a 
1
/4
1
a
1
a
1
3
и a  уравнение имеет одно решение.
4
4
3
4
Ответ: a  1; a  ; a 
1
- единственное решение.
4
Решить самостоятельно:
x  2x  9
 a имеет
x  12 x  27
2
1
1
единственное решение? Ответ: a  ; a  ; a  .
3
6
2
При каких значениях a уравнение
2
5
При каких значениях параметра a уравнение
x 2  22a  1  x  3a 2  6a  0 имеет два различных
корня?
Так как x 2  x 2 , то сделав замену x  y , где y  0 , получим
новое квадратное уравнение y 2  22a  1  y  3a 2  6a  0.
Для того чтобы исходное уравнение имело два различных
корня, новое уравнение должно иметь только один
положительный корень. Это будет в двух следующих
случаях:
а) один из корней положителен, другой отрицателен. Для
этого достаточно, чтобы дискриминант был положительным,
а произведение корней было отрицательным;
б) оба равных корня положительны. Для этого достаточно,
чтобы дискриминант был равен нулю, а сумма корней была
положительной.
Таким образом, получим совокупность двух систем.
1) Д > 0,
2) Д = 0,
y1 ∙ y2 < 0;
y1 + y2 > 0;
Ä
 2a  12  3a 2  6a  a 2  2a  1  a  12 ;
4
y1  y2  22a  1,
Так как
y1  y2  3a 2  6a , то системы будут иметь вид:
a  12  0,
3a 2  6a  0;
a  12  0,
a a  2  0;
a  1,
 2  a  0;
Откуда  2  a  0
или
Ответ:  2  a  0 ; a  1.
a  12  0,
22a  1  0;
a  12  0,
2a  1  0;
a  1,
1
a ;
2
a  1.
6
При каких значениях с уравнение x2 – ( 3c – 2 ) ∙ | x | +
2c2 – c = 0 имеет 4 различных корня?
Так как | x |2 = x2, то сделав замену | x | = y, где y ≥ 0,
получим новое квадратное уравнение y 2 – ( 3c – 2 ) ∙ y + 2c2 – c =
0.
Для того чтобы исходное уравнение могло иметь четыре
различных корня новое уравнение должно иметь два
положительных корня. Это будет в том случае, когда
дискриминант, произведение и сумма корней будут
положительны.
Таким образом, получим систему неравенств:
Д > 0;
y1  y2  0;
y1  y2  0;
Так как Д = ( 3c – 2 )2 – 4∙ ( 2c2 – c ) = 9c2 – 12c + 4 – 8c2 +4c = c2 –
8c +4
y1  y2  3c  2;
y1  y2  2c 2  c  0; то система будет иметь вид:
c2 – 8c +4 > 0; c  4  2 3;c  4  2 3;
3c – 2 > 0;
2c2 – c > 0;
2
;
3
1
c  ; c  0;
2
c
Откуда имеем c  4  2 3;
Ответ: c  4  2 3;
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач
по
алгебре 8-9.Москва, 2000
2. Г.А. Ястребинецкий. Задачи с параметрами. Москва, 1986
3. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. Киев,
1992
4. В.В.Ткачук. Математика-абитуриенту,т1.Москва, 1994
5. С.Л.Попцов. Как решать задачи с параметром. Тверь, 1999
6. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией
М.И. Сканави, Москва, 2003