1. Система отчета. Материальная точка. Радиус-вектор. Перемещение материальной точки. Траектория, путь. Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Системой отсчета называется система координат + прибор для отсчета времени. Траектория – линия, вдоль которой происходит движение тела. Перемещение r – это кратчайшее расстояние между двумя точками. Радиус-вектор – это вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Радиус-вектор однозначно определяет положение точки в пространстве. Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат , но также с помощью одной векторной величины - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если декартовой системы координат, то - единичные вектора (орты) осей прямоугольной Вектором перемещения материальной точки за время от t1 до t2 называют приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени При движении материальной точки М ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени t. 2. Вектор скорости материальной точки (м.т.), его компоненты по координатным осям. Вычисление перемещения м.т. по известной зависимости скорости от времени. Приведите пример вычисления перемещения для равноускоренного движения. Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени. Если в выражении перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории. (1.6) В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат. (1.7) где - проекции вектора скорости на оси координат х, у, z. Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и выполнив почленное дифференцирование, получим: (1.8) Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки: (1.9) Поэтому численное значение скорости: (1.10) Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным. Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным. ПРИМЕР: Особую актуальность равноускоренное движение имеет для разработчиков оружия. Ведь вылет любого снаряда или пули – это движение без начальной скорости, а во время движения в стволе пуля (снаряд) движется равноускоренно. Рассмотрим пример. Длина автомата Калашникова – . Пуля в стволе автомата движется с ускорением . С какой скоростью пуля будет вылетать из ствола? Рис. 3. Иллюстрация к задаче Для нахождения скорости вылета пули из ствола автомата воспользуемся выражением для перемещения при прямолинейном равноускоренном движении, если неизвестно время: Движение осуществляется без начальной скорости, а значит, , тогда . Получим следующее выражение для нахождения скорости вылета пули из ствола: Решение задачи записываем следующим образом с учетом единиц измерения в СИ: Дано: СИ: Решение: Ответ: . Равноускоренное движение без начальной скорости часто встречается и в природе, и в технике. Более того, умение работать с таким движением позволяет решать обратные задачи, когда начальная скорость существует, а конечная равна нулю. 3. Модуль вектора скорости. Вычисление пройденного пути по известной зависимости модуля скорости от времени. Приведите пример вычисления путидля равноускоренного движения. Если путь , пройденный материальной точкой за промежуток времени от t1 до t2, разбить на достаточно малые участки , то для каждого го участка выполняется условие Тогда весь путь приближенно равен сумме При стремлении всех к нулю это приближенное равенство становится точным, то есть Подчеркнем, что здесь речь идет о модуле скорости. Если зависимость модуля скорости от времени выразить графически, то путь, пройденный материальной точкой за время от t2 до t1, численно равен площади фигуры, ограниченной кривой , осью времени и вертикальными прямыми, проходящими через точки с абсциссами и (рис. 2.7.). Рис. 2.7. Определение пройденного пути по графику зависимости скорости от времени При равномерном движении величина скорости постоянна и может быть вынесена из-под знака интеграла: Так как модуль скорости , то пройденный телом путь с течением времени может только возрастать (или быть постоянным, когда тело покоится). Если нас интересует перемещение материальной точки за то же время, то мы так же разбиваем траекторию на малые участки, но суммируем теперь векторы перемещения: Учитывая связь перемещения с вектором скорости получаем В отличие от выражения для пройденного пути под интегралом здесь стоит не модуль, а вектор скорости. Точно так же при равномерном прямолинейном движении, когда , мы можем вынести скорость из-под знака интеграла: Чтобы практически найти перемещение, интеграл, представленный в векторной форме, необходимо записать в виде интегралов для проекций Здесь x1, y1, z1 — координаты точки в момент времени t1, а x2, y2, z2 — координаты точки в момент времени t2, соответственно величина перемещения при этом равна а направление вектора перемещения определяется соотношением: Пример. Пункт A находится на бетонированном аэродроме, пункт B — на примыкающем к нему поле, на котором скорость машины в n раз меньше. Для того, чтобы за кратчайшее время добраться из в , был выбран оптимальный маршрут, показанный на рис. 2.8. Найти соотношение между синусами углов α и β. Рис. 2.8. Оптимальный маршрут из пункта А в пункт В Все расстояния указаны на рисунке. Время , затрачиваемое на путь преодолеваемый со скоростью , равно Время t2, затрачиваемое на путь , преодолеваемый со скоростью , равно , Полное время в пути, будет Поскольку точка 0 была выбрана так, что на путь затрачивалось минимальное время, должна быть равна нулю производная времени по координате точки перехода с бетона на траву: Поскольку находим, что то есть Сходство с известным законом преломления света на границе двух сред не случайно: природа устроена так, что свет выбирает путь, требующий минимального времени. Это так называемый принцип Ферма, который мы подробно рассмотрим в соответствующем разделе. 4. Ускорение. Компоненты ускорения по координатным осям. Вычисление ускорения по известной зависимости скорости от времени. Приведите пример вычисления скорости и ускорения по известной зависимости радиус-вектора от скорости (для равноускоренного движения). Скорость частицы может изменяться со временем, как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения вектора скорости называется ускорением. Быстрота (скорость) изменения во времени любой величины определяется производной по времени от этой величины. Это общее правило касается и вектора скорости. Ускорение равно производной вектора по времени t, или, что то же самое — второй производной по времени радиус-вектора : Рис. 2.9. Тангенциальное и нормальное ускорения. Если известны зависимость от времени ускорения а = a(t) и начальная скорость v0 (при t = t0), то значение скорости в любой момент времени t равно Если известно также положение тела в начальный момент t = t0 , то мы можем найти не только скорость, но и положение тела в любой момент времени: При равноускоренном движении ( получаем: ) интегралы легко вычисляются и мы Вычисление последнего интеграла приводит к закону равноускоренного движения материальной точки При прямолинейном движении векторы перемещения, скорости и ускорения направлены вдоль одной и той же прямой, совпадающей с траекторией. Поэтому направление прямой можно принять за ось x и оперировать с ускорением и скоростью как с проекциями векторов на эту ось, то есть как с алгебраическими величинами. При этом индекс, обозначающий проекцию вектора на ось, опускают. Пример: 5. Криволинейное движение. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Криволинейное движение - это движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности). Ускорение – есть характеристика ее равномерного движения и определяет быстроту изменения скорости как по модулю или по направлению. Существует понятие движение по окружности с ускорением. Среднее ускорение – это векторная величина равная отношению изменения скорости к интервалу времени <a>= дельта v/дельта t Мгновенное ускорение а векторная величина определяемое первой производной скорости ко времени a= lim дельта v/дельта t (при t стрем. к 0)|= дельта v/дельта t Составляющее ускорение может быть а).Тангенциальным – характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Она направлена по касательной к траектории а тангенциальное дельта v/дельта t б).Нормальное составляющее характеризует изменение скорости по величине и направлению, характеризует быстроту изменения скорости по направленности. Она направлена к центру изменения траектории. а нормальное дельта v в квадрате/дельта r Тангенциальное ускорение – постоянная величина . Нормальное ускорение =0 появляется при движении по окружности. 6. Движение по окружности. Угловая скорость. Основные характеристики равномерного движения по окружности: период обращения, частота обращения. 1 .Равномерное движение по окружности – движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности, пройденной точкой ко времени движения, т.е. и называется линейной скоростью движения по окружности. Как и в криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к окружности в направлении движения (Рис.25). 2. Угловая скорость в равномерном движении по окружности – отношение угла поворота радиуса ко времени поворота: В равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна. В системе СИ угловая скорость измеряется в(рад/c). Один радиан – рад это центральный угол, стягивающий дугу окружности длиной равной радиусу. Полный угол содержит радиан, т.е. за один оборот радиус поворачивается на угол радиан. 3. Период вращения – интервал времени Т, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах. 4. Частота вращения – число оборотов СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц = 1 , совершаемых за одну секунду. В системе ) . Один герц – частота, при которой за одну секунду совершается один оборот. Легко сообразить, что Если за время t точка совершает n оборотов по окружности то . Зная период и частоту вращения, угловую скорость можно вычислять по формуле: или 5 Связь линейной скорости с угловой. Длина дуги окружности равна центральный угол, выраженный в радианах, стягивающий дугу окружности. Теперь линейную скорость запишем в виде , где где радиус . Ч асто бывает удобно использовать формулы: или Угловую скорость часто называют циклической частотой, а частоту линейной частотой. 6. Центростремительное ускорение. В равномерном движении по окружности модуль скорости остаётся неизменным , а направление её непрерывно меняется (Рис.26). Это значит, что тело, движущееся равномерно по окружности, испытывает ускорение, которое направлено к центру и называется центростремительным ускорением. Пусть за промежуток времени прошло путь равный дуге окружности . Перенесём вектор , оставляя его параллельным самому себе, так чтобы его начало совпало с началом вектора в точке В. Модуль изменения скорости равен , а модуль центростремительного ускорения равен На Рис.26 треугольники АОВ и ДВС равнобедренные и углы при вершинах О и В равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами АО и ОВ Это значит, что треугольники АОВ и ДВС подобные. Следовательно Если то есть интервал времени принимает сколь угодно малые значения, то дугу можно приближенно считать равной хорде АВ, т.е. . Поэтому можем записать Учитывая, что ВД= , ОА=R получим равенства на , получим Умножая обе части последнего и далее выражение для модуля центростремительного ускорения в равномерном движении по окружности: получим две часто применяемые формулы: , . Учитывая, что . Итак, в равномерном движении по окружности центростремительное ускорение постоянно по модулю. Легко сообразить, что в пределе при , угол основании ДС треугольника ДВС стремятся значению . Это значит, что углы при , а вектор изменения скорости становится перпендикулярным к вектору скорости , т.е. направлен по радиусу к центру окружности. 7. Равнопеременное движение по окружности – движение по окружности, при котором за равные интервалы времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину. 8. Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности – отношение изменения угловой скорости к интервалу времени , в течении которого это изменение произошло, т.е. , где начальное значение угловой скорости, конечное значение угловой скорости, угловое ускорение, в системе СИ измеряется в равенства получим формулы для вычисления угловой скорости и , если . Из последнего . Умножая обе части этих равенств на и учитывая, что , - тангенциальное ускорение, т.е. ускорение, направленное по касательной к окружности , получим формулы для вычисления линейной скорости: и , если . 9. Тангенциальное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени и направлено вдоль касательной к окружности. Если равноускоренное. Если <0 и <0 – движение. >0, >0, то движение 10. Закон равноускоренного движения по окружности. Путь, пройденный по окружности за время в равноускоренном движении, вычисляется по формуле: . Подставляя сюда , , равноускоренного движения по окружности: , или , если . Если же движение равнозамедленное, т.е. <0, то . сокращая на , получим закон 1 1.Полное ускорение в равноускоренном движении по окружности. В равноускоренном движении по окружности центростремительное ускорение с течением времени возрастает, т.к. благодаря тангенциальному ускорению возрастает линейная скорость. Очень часто центростремительное ускорение называют нормальным и обозначают как . Так как полное ускорение в данный момент определяют по теореме Пифагора (Рис.27). 12. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности. Средняя линейная скорость в равноускоренном движении по окружности равна . Подставляя сюда и и сокращая на получим . Если , то . 12. Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности. Подставляя в формулу величины ,,, и сокращая на , получим . Если , то и далее , . , 7. Неравномерное движение по окружности. Угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками при движении тела по окружности. Неравномерное движение по окружности – это движение, при котором тело перемещается по окружности с изменяющейся скоростью. В таком движении тело проходит разные угловые расстояния за одинаковые промежутки времени. Угловая скорость в неравномерном движении по окружности не является постоянной и может изменяться в зависимости от времени. Она определяется как отношение углового перемещения к промежутку времени: ω = Δθ / Δt где ω – угловая скорость, Δθ – угловое перемещение, Δt – промежуток времени. Скорость тела в неравномерном движении по окружности также не является постоянной и может изменяться в зависимости от времени. Она определяется как отношение длины окружности к промежутку времени: v = 2πr / Δt где v – скорость, r – радиус окружности, Δt – промежуток времени. В неравномерном движении по окружности тело изменяет свое направление движения и движется с переменной скоростью вокруг центра окружности. 8. Законы Ньютона. Границы применимости ньютоновской механики. Принцип относительности Галилея, преобразования Галилеля. В классической механике Ньютона были сформулированы не только качественные закономерности механического движения, но классическая механика устанавливает и универсальный способ описания движения материальных точек, из которых, как казалось Ньютону, можно построить всевозможные материальные объекты и, таким образом, дать теоретическое объяснение любых механических явлений, встречающихся в природе. В основу классической механики положены следующие постулаты: 1. Физическое пространство и время существуют сами по себе и не зависят от материальных тел, которые находятся в пространстве. Пространство является однородным и изотопным. Из этого, как мы уже отмечали, следуют законы сохранения импульса и момента импульса. Независимость хода времени от материальных тел, находящихся в пространстве, ведет к однородности времени, а следовательно, и к закону сохранения энергии. 2. Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности Галилея, согласно которому все механические процессы протекают одинаково в любой инерциальной системе отсчета. 3. Взаимодействие между любыми физическими объектами, находящимися на произвольном расстоянии друг от друга, осуществляется мгновенно (силы взаимодействия зависят от положений материальных точек в этот же момент времени). Это означает, что скорость передачи взаимодействия в механике Ньютона считается бесконечно большой. 4. Масса материальной точки, которая фигурирует в выражении для второго закона Ньютона, не зависит от скорости ее движения. 5. Все кинематические и динамические переменные (координаты, проекции импульса, момента импульса и т.д.) можно измерить в принципе сколь угодноточно. Следствием этого является возможность характеризовать движение любой материальной частицы с помощью понятия траектории. Однако постепенно выявилась ограниченность приведенных постулатов и соответственно всего здания классической механики. Важную роль в этом сыграли экспериментальные исследования электромагнитных явлений и разработка основ теории электромагнетизма в трудах М.Фарадея и Дж. Максвелла. Основной объект теории электромагнетизма – электромагнитное поле – представляет собой вид «немеханической» материи, не подчиняющейся законам Ньютона. Точные измерения скорости света, выполненные на рубеже 19-20 вв., показали, что скорость света является предельной скоростью передачи любых взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Этот экспериментальный факт находится в резком противоречии с принципом относительности Галилея, т.е. с классическим законом сложения скоростей. Разрешение этого противоречия привело к созданию релятивистской механики. Было также показано, что реальное физическое пространство обладает так называемой кривизной, определяемой расположением масс в пространстве. Это подтвердилось во время солнечного затмения в 1919 г. по отклонению световых лучей, идущих от звезд, от прямолинейного распространения вблизи Солнца. Разработанная Э.Резерфордом планетарная модель атома выявила еще одну проблему, не поддающуюся описанию в рамках классической физики, - проблему устойчивости атома. Решение ее было найдено в первой четверти 20 в. в рамках квантовой механики. В качестве критерия применимости классической механики для описания физических явлений используют величину с размерностью действия приращение времени . Изменение действия равно произведению энергии на и (или) произведению импульса на приращение координаты . Если характерное изменение действия соизмеримо с постоянной Планка или меньше ее, то для описания изучаемого явления классическая механика неприменима и необходимо пользоваться квантовой механикой. Таким образом, вырисовываются следующие границы применимости законов ньютоновской механики: 1. классическая механика применима для описания механических систем, в которых скорость составляющих ее объектов намного меньше скорости света ( ); 2. классическая механика применима для описания только тех объектов, для которых динамические величины с размерностью действия намного больше постоянной Планка . Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся[1]. Эквивалентной является следующая формулировка, удобная для использования в теоретической механике[2]: Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Свойства инерциальных систем отсчёта Всякая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО равномерно и прямолинейно, также является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО равноправны, и все законы физики инвариантны относительно перехода из одной ИСО в другую. Это значит, что проявления законов физики в них выглядят одинаково, и записи этих законов имеют одинаковую форму в разных ИСО. Предположение о существовании хотя бы одной ИСО в изотропном пространстве приводит к выводу о существовании бесконечного множества таких систем, движущихся друг относительно друга со всевозможными постоянными скоростями. Если ИСО существуют, то пространство будет однородным и изотропным, а время — однородным; согласно теореме Нётер, однородность пространства относительно сдвигов даст закон сохранения импульса, изотропность приведёт к сохранению момента импульса, а однородность времени — к сохранению энергии движущегося тела. Если скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными телами, могут принимать любые значения, связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями Галилея. В специальной теории относительности скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными телами, не могут превышать некоторой конечной скорости «C» (скорость распространения света в вакууме) и связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями Лоренца. Преобразова́ния Галиле́я — в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой[1]. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году.[2] Преобразования Галилея подразумевают одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время»[3]) и выполнение принципа относительности (принцип относительности Галилея (см. ниже)). Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью. Принцип относительности Галилея Из формулы для ускорений( ) следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть , то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково. Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см.второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета — иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-то конкретной из инерциальных систем отсчета. Также — поэтому — не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея, в отличие от Принципа относительности Эйнштейна Иным образом этот принцип формулируется (следуя Галилею) так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, во многом следует форма и структура ньютоновской механики (и исторически также они оказали существенное влияние на ее формулировку). Говоря же несколько более формально, они налагают на структуру механики ограничения, достаточно существенно влияющие на ее возможные формулировки, исторически весьма сильно способствовавшие ее оформлению. 9. Гравитационное взаимодействие. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Гравитационное взаимодействие – это сила, которая действует между двумя объектами на основе их массы и расстояния между ними. Эта сила является одной из четырех фундаментальных сил в природе и играет важную роль во многих астрономических явлениях. Согласно закону всемирного тяготения, сформулированному Исааком Ньютоном, сила гравитационного взаимодействия пропорциональна произведению масс двух объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для расчета гравитационной силы выглядит следующим образом: F = G * (m1 * m2) / r2 где F – сила гравитационного взаимодействия, G – гравитационная постоянная, m1 и m2 – массы двух объектов, r – расстояние между ними. Гравитационное взаимодействие играет ключевую роль в формировании и эволюции галактик и групп галактик. Оно определяет их структуру, движение и взаимодействие друг с другом. Например, гравитационное взаимодействие между звездами в галактике позволяет им оставаться вместе и формировать спиральные, эллиптические или несимметричные формы. Также гравитационное взаимодействие между галактиками может привести к их слиянию или взаимному влиянию, что приводит к образованию новых структур. Изучение гравитационного взаимодействия помогает нам лучше понять процессы, происходящие во Вселенной и ее эволюцию на протяжении миллиардов лет. 1. В природе исключительную роль играют силы тяготения. Закон, которому они подчиняются, - закон всемирного тяготения – открыт Ньютоном в 1687 году. Согласно этому закону любые две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих точек, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и направленной по прямой, соединяющей эти точки (рис.13). Численное значение силы тяготения (6.1) здесь: m1 и m2 - массы материальных точек; r - расстояние между точками; гравитационная постоянная (размерный коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения, F, m и r) 2. Чтобы придать закону тяготения векторный вид, проведём от первой точки ко второй радиус-вектор и умножим правую часть (6.1) на единичный вектор этого направления на второе тело со стороны первого . Тогда сила, действующая , будет равна: Знак “минус” означает, что направления радиус-вектора и силы противоположны. 3. Силы тяготения подчиняются третьему закону Ньютона: они равны по величине и противоположны по направлению: 4. нельзя Силы тяготения – всепроникающие силы: от них нельзя экранироваться, их усилить или ослабить. Материальная среда, в которой находятся взаимодействующие тела, на величину и направление силы тяготения никакого влияния не оказывает. 5. Формула (6.1) позволяет найти силу гравитационного взаимодействия между материальными точками. Чтобы рассчитать силу тяготения между телами, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, поступают следующим образом. Оба тела разбивают на столь малые элементы, что каждый такой элемент можно считать материальной точкой. Выбирают в первом теле произвольный элемент и определяют результирующую силу, действующую на него со стороны всех элементов второго тела, иначе говоря, определяют силу, с которой второе тело в целом притягивает к себе этот выделенный элемент. Затем проделывают то же самое для остальных элементов первого тела, после чего находят полную геометрическую сумму сил, найденная сумма и будет представлять собой силу, с которой второе тело действует на первое. С такой же по величине, но противоположной по направлению силой первое тело действует на второе. Расчёт показывает, что математическое выражение для силы тяготения, действующей между однородными шарами, шарами с плотностью, зависящей от r (r – расстояние от центра шара), между сферическими слоями будет совпадать с (6.1), если под r понимать расстояние между центрами этих тел (рис.14). Закон тяготения справедлив также для тел, одно из которых однородный шар, а другое - материальная точка (с этим случаем мы имеем дело, например, при расчёте силы, с которой Земля притягивает к себе находящиеся на её поверхности тела). 6. В формулу закона тяготения входит масса. Масса уже фигурировала в уравнениях механики, в частности, в выражении второго закона Ньютона. Там она характеризовала инерционные свойства тел и называлась “инертной”. Роль массы в законе тяготения иная. Здесь она определяет силу гравитационного взаимодействия материальных тел, т.е. является мерой их гравитационных свойств. Эту массу, в отличие от “инертной”, называют “гравитационной” или “тяжёлой”. Различать гравитационную и инертную массу в настоящее время нет необходимости. Многими, весьма тонкими экспериментами (Бессель, Этвеш, Крылов и др.) установлено, что инертная и гравитационная массы с точностью до 10-8 совпадают. Это, в сущности, одна и та же физическая величина, по-разному проявляющая себя в различных физических явлениях. С одной стороны, масса - это мера инерционных свойств, с другой - мера гравитационных свойств. 7. Гравитационная постоянная является универсальной константой, не зависящей от природы взаимодействующих тел. Эта величина численно равна силе, с которой притягиваются друг к другу две материальные точки единичной массы, расположенные на единичном расстоянии друг от друга: если | m1 |= | m2 | = 1, | r | = 1, то | | = | F |. Численное значение было впервые определено У. Кавендишем в 1797 г. Это значит, что два точечных тела (или шара) массой по 1кг каждый, расположенные на расстоянии 1м друг от друга, притягиваются с силой 6,6710-11 Н. Необычайно малая величина указывает на то, что гравитационное взаимодействие становится заметным только в случае очень больших масс. В механике таких объектов, как атомы и молекулы, гравитационные силы практически не играют никакой роли. Движение же таких макроскопических тел, как звёзды, Солнце, планеты, Луна, спутники (после того, как выключены двигатели) полностью управляется силами тяготения. 9,780 м/с² - Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,82 м/с² на полюсах. Стандартное ( «нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет 9,80665 м/с². Стандартное значение g было определено как «среднее» в какомто смысле на всей Земле: оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. 10. Искусственные спутники земли. Первая космическая скорость. Чтобы запустить ракету в космос надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, которые называются космическими. Первой космической (или круговой) скоростью ν1 называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, который движется по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, которая сообщает ему нормальное ускорение ν12/r. По второму закону Ньютона, Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r≈R0 (радиус Земли) и g=GM/R02, поэтому у поверхности Земли Чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, первой космической скорости недостаточно. Необходимая для этого скорость называется второй космической. 11. Сила упругости. Закон Гука. Последовательное и параллельное соединение пружин. Сила возникающая в результате деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещениям частиц тела при деформации, называется силой упругости. Закон Гука. Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещений частиц тела при деформации. (Fy)x=-kx, где x- удлинение тела; k- коэфф пропорциональности (жестокость тела). Сила реакции опоры – N – обусл. Деформ. Опоры и напр. перпендик. Пл. оп. Сила натяжения нити – T - сила, которая обусловленная деформацией нити и направлена вдоль нити. 12. Силы трения: сухое и жидкое трение. Сила трения покоя и силы трения скольжения. Силы трения. Силы трения возникают при относительном перемещении соприкасающихся тел или при движении тел в непрерывных средах (газа или жидкости). Различают силы сухого и вязкого трения. Сухое трение возникает между твёрдыми телами, вязкое – между телом и жидкостью или газом, а также между слоями жидкости или газа. Силы трения направлены вдоль поверхности соприкасающихся тел и противоположны скорости их относительного движения. Сухое трение. Сухое трение подразделяется на трение покоя, скольжения и качения. Жидкое трение. Трение в жидкую или газообразную среду называется жидким или вязким трением. Причины возникновения сил вязкого трения мы рассмотрим в главе, посвященной гидродинамике. Здесь же отметим их некоторые характерные особенности. При вязком трении отсутствует сила трения покоя. Достаточно слегка дунуть на плавающее в ванне с водой тело, чтобы оно пришло в движение. Трение покоя. Величина и направление силы трения покоя определяется направлением и величиной внешней силы. Сила трения покоя направлена против внешней силы и равна ей по величине. Предельная сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления: , направлена против внешней силы. Здесь - коэффициент трения покоя, величина безразмерная, зависит от природы соприкасающихся тел, механического состояния поверхностей,… Трение скольжения. Сила трения скольжения направлена против скорости относительного движения трущихся тел, пропорциональна силе нормального давления , где - коэффициент трения скольжения, величина безразмерная, зависит от механического состояния трущихся поверхностей, их природы и примесей. скольжения немного меньше . При решении конкретных задач обычно не делают различия между и , считая их одинаковыми. Сила трения скольжения слабо зависит от скорости относительного движения, поэтому этой зависимостью обычно пренебрегают. Силу трения скольжения можно представить в виде: . 13. Сила тяжести и вес тела. Невесомость. Приведите пример вычисления веса тела. На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой, согласно второму закону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила P = mg, называемая силой тяжести. Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2. Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой: P = mg=F=GmM/R2, где M — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли. Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, r0 — радиус Земли, тогда P=GmM/(R0 + h)2, т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается. В физике применяется также понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости. Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением ag, то к этому телу приложена дополнительная сила N, удовлетворяющая условию N + P = ma. Тогда вес тела Р'=-N =P-ma=mg-ma = m(g-a), т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а=0 и P' = mg. Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, то а=g и Р' = 0, т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе. 14. Импульс материальной точки. Изменение импульса материальной точки под действием сил. Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости. Единица измерения импульса тела — кгмс Значит, у тела массой кг движущегося со скоростью мс величина импульса равна единице. Как для любого вектора, для импульса важна не только величина, но и направление. Импульс тела направлен так же, как и скорость движущегося тела. Рис. 1. Направление импульса тела Импульс силы — величина, равная произведению силы на длительность её действия. Единица измерения импульса силы — Ньютон-секунда, Нс Несмотря на кажущееся различие, единицы измерения импульсов тела и силы совпадают: Нскгмсскгмс Направление импульса силы совпадает с направлением этой силы. Импульс силы равен площади фигуры, заключённой между графиком зависимости силы от времени и осью времени. Рис. 2. Расчёт импульса силы по графику Связь импульса тела и импульса силы Для вывода связи импульса тела и импульса силы воспользуемся вторым законом Ньютона: Подставив в него уравнение, связывающее ускорение со скоростью можно получить или ещё одну из формулировок второго закона Ньютона: что можно так выразить словами: изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на него силы. Рис. 3. Изменение импульса тела Система тел Иногда бывает удобно мысленно выделить некоторую совокупность тел, как бы противопоставляя их окружающему миру. Такую совокупность называют системой тел. Замкнутая система тел —это система, состоящая из тел, которые взаимодействуют только между собой. Внешние силы —силы, действующие на тела системы со стороны тел, не принадлежащих к ней. Внутренние силы —силы взаимодействия между телами внутри системы. Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. 15. Импульс системы материальных точек. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса. Система материальных точек. Внутренние и внешние силы. Закон сохранения импульса изолированной системы. В любой системе частиц имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала данной системы координат характеризуется радиус-вектором , определяемым как (2.10) где – масса и радиус-вектор -й частицы, – масса всей системы, – полное число частиц в системе. Если взять производную по времени от обеих частей уравнения и умножить обе части на , то получится: Или , где – скорость движения центра масс системы. Таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость ее центра масс: . (2.11) Отсюда следует, что центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс системы материальных точек. Уравнение (2.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Если система замкнута, то и уравнение (2.11) переходит в , следовательно, . Таким образом, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно или покоится. Внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами системы тел. Внешние силы – это силы, обусловленные действием других тел, не входящих в систему. По способу приложения они могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредоточенные внешние силы действуют на тело через очень маленькие площадки и с достаточной степенью точности могут считаться приложенными в точке. По характеру действия внешние силы делятся на постоянные и переменные. Импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Импульс замкнутой системы частиц остается постоянным. Закон сохранения импульса изолированнойсистемы: Изолированная система – система, состоящая из некоторого количества тел, изолированных от всех остальных тел и образующих механическую систему, т.е. на эти тела не действуют внешние силы, и сами эти тела взаимодействуют друг с другом. При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы. Внутренние силы – силы, с которыми взаимодействуют тела, составляющие механическую систему. - сила, действующая со стороны тела на , - антисимметричная матрица Импульс изолированной системы сохраняется. Импульсы системы тела – постоянны, если внешние силы отсутствуют. 16. Работа постоянной силы. Пример вычисления работы постоянной силы. Рис. 2 Механическая работа совершается, если тело (м.т.) под действием силы перемещается. Величина работы постоянной силы ( ) равна произведению ее составляющей F на направление перемещения и величины этого перемещения (рис. 3.18): А= F , =S , (1) где F = F cos a,. В векторном виде работа равна скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения , (2) где . Согласно (2) перемещение необязательно вызывается действием силы, входящей в эту формулу. Особенно это проявляется при нахождении работы сил сопротивления и трения, которые никак не способствуют перемещению тела в заданном направлении при 0, Fсопр 0, Fтр 0. Следовательно, работа силы совершается независимо от того, под действием каких причин тело совершает перемещение. Работа, как показывает практика, может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Для выяснения этого воспользуемся формулой работы А = F Ds cosa. 1. Работа силы положительна (А > 0), если угол между векторами силы и перемещения острый: cos a > 0 (рис. 3, а). Рис. 3 2. Работа силы отрицательна (А < 0), если угол тупой: cos 0 (рис. 3, б). 3. Работа силы равна нулю (А = 0). При этом возможны 3 случая: а) F = 0, если на тело не действуют силы, но оно движется равномерно и прямолинейно, б) Dr = 0, тело не перемещается, несмотря на действие силы (F ¹ 0). Пусть на тело действуют какие-то другие силы; в) сила действует перпендикулярно к перемещению: cos a = 0, т. е. a = p/2 (рис. 3, в). Например, сила Кориолиса, сила Лоренца всегда перпендикулярны направлению перемещения. В СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Предположим, что на мобильный телефон при перемещении по модулю d действует постоянная сила интенсивности F, наклоненная по отношению к направлению перемещения. По определению работают (Т) под действием постоянной силы F вдоль смещения d определяется выражением: Т = F · d · cos θ В этом выражении F силовой модуль, d модуль смещения и θ, угол между векторами F и d. В Международной системе (СИ) единицей силы является Ньютон (N), единицей смещения является метр (м) а рабочая единица - это джоуль (Дж). В зависимости от угла θ между векторами F и d работа, совершаемая силой, может быть положительный, ноль или же отрицательный, в соответствии с характеристиками, описанными ниже. 1. Если θ равно 0 ° (сила и смещение имеют одинаковый смысл), то cos θ = 1. В этих условиях: Т=F·d 2. Если 0 ° ≤ θ <90 °, то cos θ> 0. В этих условиях работа положительна (T> 0) и называется моторная работа. 3. Если θ = 90 °, то cos θ = 0. В этих условиях работа нулевая (T = 0), или сила не работает. 4. Если 90 ° тяжелая работа. 5. Если θ равно 180 ° (сила и смещение имеют противоположные направления), то cos θ = –1. В этих условиях: T = –F · d Обратите внимание, что работы: это всегда сила; это зависит от силы и смещения; он положительный, когда сила способствует перемещению; он отрицательный, когда сила противодействует смещению; его модуль максимален, когда угол между вектором смещения и вектором силы равен 0 ° или 180 °. его модуль минимален, когда сила и смещение перпендикулярны друг другу. 17. Работа переменной силы. Пример вычисления работы переменной силы. Работа переменной силы: если сила не остается постоянной во время перемещения, или траектория движения криволинейная, то работа переменной силы равна сумме работ на малых участках траектории АВ, которые приближенно можно считать прямолинейыми, и на которых силу можно считать постоянной. На каждом маленьком участке работа будет равна δ а = F ×Δ S ×сos a, где i = 1, 2, 3, … − принимает значения номеров всех участков. В предыдущем пункте для вычисления работы постоянной силы мы использовали уравнение T = F · d · cos θ. Однако есть другой способ рассчитать эту работу, используя для этого графический метод. Затем у нас есть график постоянной силы F как функции произведенного смещения. Обратите внимание, что область THE прямоугольника, указанного на рисунке, задается как A = FИкс · D, то есть работа численно равна площади фигуры, образованной кривой (линией графика) с осью смещения, в рассматриваемом интервале. Итак, мы пишем: T = Площадь Мы можем применить это графическое свойство в случае силы с переменным модулем, чтобы вычислить работу, совершаемую этой силой. Учтите, что сила F изменяется в зависимости от смещения, как показано на следующем графике. Площадь, обозначенная буквой A1 обеспечивает работу силы F при перемещении (d1 - 0), а область, обозначенная буквой A2 обеспечивает работу силы F при перемещении (d2 d1). Как область А2 лежит ниже оси смещения, работа силы в этом случае отрицательная. Таким образом, полная работа силы F при перемещении от 0 до d2, определяется разностью площадей A1 и площадь А2. Т = А1 - А2 Наблюдение Будьте осторожны, не используйте знак минус дважды. Совет для решения этой ситуации состоит в том, чтобы вычислить две области по модулю, а затем определить разницу между площадью над осью d и площадью под осью d. 18. Средняя и мгновенная мощность. Примеры расчета средней и мгновенная мощности. Мгновенная электрическая мощность. Мгновенной мощностью называется произведение мгновенных значений напряжения и силы тока на каком-либо участке электрической цепи. По определению, электрическое напряжение — это отношение работы электрического поля, совершенной при переносе пробного электрического заряда из точки AA в точку BB, к величине пробного заряда. Средняя мощность - это среднее значение мощности, измеренное ваттметром или иным измерительным прибором несколько раз. Формула расчета средней мощности: Pср = (P1 + P2 + P3) / 3 Pср - средняя мощность P1 - первое измерение P2 - второе измерение P3 третье измерение. Смотрите также - калькулятор мощности. Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Автор: – Логика наших рассуждений будет та же, что и при изучении средней и мгновенной скорости. Рассмотрим работу как функцию времени. Пусть А(t) – работа, совершенная за время t. А(t+Δt) – работа, совершенная за время (t+Δt). Тогда [А(t+Δt) – А(t)]/Δt – средняя мощность за промежуток времени от t до (t+Δt). Предел последовательностей значений таких средних мощностей при Δt→0 есть мгновенная мощность, т. е. мощность в момент времени t есть производная от работы по времени. N(t)= =А’(t) (2.10.1) Выведите частный случай, когда мощность не зависит от времени. Студент: – N=A/t. Автор: – Приведите пример, когда мощность постоянна. Студент: – Это бывает, когда постоянна сила, действующая на тело. Автор: – Неверно! Смотрите сами. Предположим, что сила, ускоряющая тело, постоянна со временем. Тогда из (2.10.1) следует, что N(t)= [FS(t+Δt)– FS(t)]/Δt=F [S(t+Δt)–S(t)]/Δt=FV. Или, используя правила вычисления производных: N(t)=А'(t)=(FS)'=FS'=FV. (2.10.2) Видим, что мощность зависит не только от силы, но и от скорости, которая при равноускоренном движении является функцией времени. Заметим, что выражение для мгновенной мощности N(t)=F(t)·V(t) является справедливым для любого механического движения. Доказательство опирается на знания интегрального исчисления, и мы его пропускаем. Для тренировки разберем одну интересную и практическую задачу 2.5. Автомобиль массой m трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу k. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя N. Студент: – Я не понимаю, зачем в условии сказано про ведущие оси. Мы никогда с этим не сталкивались. Автор: – Это связано с расчетом силы трения. Можно с хорошей точностью принять, что масса автомобиля равномерно распределена на обе оси. Раз обе оси ведущие, значит, сила трения скольжения равна произведению всей массы автомобиля на коэффициент трения. В случае если ведущей является только одна ось, то на нее приходилась половина массы автомобиля и сила трения, толкающая автомобиль вперед вычислялась бы так: kmg/2. Отметим, что здесь принята максимально возможная сила трения скольжения, т. е. считаем, что колеса автомобиля пробуксовывают на дороге. Правда, на собственных автомобилях водители так не стартуют. Студент: – Тогда по условию нашей задачи получается, что ускоряет автомобиль только сила трения, которая равна kmg. Отсюда легко получатся ответ: автомобиль двигается равноускоренно и скорость зависит от времени так: V(t)=at=kgt. Автор: – Это справедливо только отчасти. Вспомните выражения для мощности (2.10.2). При ограниченной мощности скорость не может неограниченно возрастать. Поэтому должен Вам дать две подсказки: 1) найдите предельное время, до которого Ваш ответ будет справедлив; 2) затем воспользуйтесь энергетическими соображениями. Студент: – Раз предельная мощность N, то из (2.10.2) получим: N=FV(t)=kmg kgt. Отсюда предельное время t0=N/(mk2g2). Автор: – Дальше мощности не хватает, чтобы поддерживать равноускоренное движение. Как поступим? Студент: – В дальнейшем за какой-то промежуток времени Δt=t–t0 двигатель совершит работу А=NΔt, которая пойдет на увеличение кинетической энергии. Сначала найдем кинетическую энергию автомобиля в момент времени t0 : mV02/2=m[kgN/(mk2g2)]2/2= . Изменение кинетической энергии равно mV2/2–mV02/2 = А=NΔt= N(t – t0), V2= (t – ), V= . Автор: – Это правильный ответ. Как видим, сначала зависимость скорости от времени линейная, затем корневая. Комбинируя обе эти ситуации, представим ответ в окончательном варианте: ◄V(t)=kgt при t≤ t0=N/(mk2g2), V(t)= при t> t0►. История. Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Никаких результатов. 19. Кинематическая энергия материальной точки. Теорема о кинематической энергии. Пример применения теоремы о кинематической энергии. Кинетическая энергия материальной точки – величина равная половине произведения массы материальной точки на квадрат её скорости. Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении равно работе, совершённой силой, действующей на точку при этом перемещении. Механическая система, показанная на рис. 3.11, состоит из груза 1, цилиндрического катка 2, неподвижного ступенчатого блока 3 и подвижного ступенчатого блока 4. Груз 1 массой = 10mопускается по шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол , коэффициент трения скольжения груза 1 о плоскость . Груз 1 соединен нерастяжим тросом с центром масс катка 2, представляющего собой однородный диск радиусом = 0,2 м и массой = 4 m. Коэффициент трения качения катка 2 по плоскости δ = 0,002 м. Каток 2 соединен с неподвижным 3 и подвижным 4 ступенчатыми блоками также с помощью нерастяжимого троса, конец которого неподвижно закреплен в верхней опореА. Радиусы ступеней блоков 3 и 4: = 0,4 м; = 0,2 м; m; = 0,3 м; = 0,15 м; радиусы инерции этих блоков: = 0,3 м; = 0,2 м; их массы: = 5 = 2 m соответственно. Найти скорость груза 1 после того, как перемещение его по наклонной плоскости достигнет величины = 2 м. Решение В рассматриваемой механической системе груз 1 совершает поступательное движение, цилиндрический каток 2 и подвижный ступенчатый блок 4 – плоско-параллельное, неподвижный ступенчатый блок 3 – вращательное. Воспользуемся выражением для теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме: . В этом выражении иТ– кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях соответственно; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе; – сумма работ ее внутренних сил. Так как в начальном положении система находилась в покое, то . Система состоит из абсолютно твердых тел, которые соединены нерастяжимыми тросами, поэтому = 0 и, следовательно, кинетическая энергия . В конечном положении она складывается из суммы кинетических энергий тел 1-4, входящих в систему . Теперь изобразим рассматриваемую механическую систему в начальном и конечном положениях, а также все силовые факторы, действующие на эту систему (рис. 3.12). Определим кинетические энергии входящих в систему тел, выразив их через скорость груза 1. Кинетическая энергия груза 1 . Кинетическая энергия катка 2 , где – момент инерции катка (однородного цилиндра) относительно его продольной центральной оси, , – угловая скорость катка, который катится без скольжения по наклонной плоскости. Его мгновенный центр скоростей находится в точке , поэтому , где , откуда формулу для кинетической энергии, получим . Подставляя это отношение в . Кинетическая энергия неподвижного ступенчатого блока 3 , где – момент инерции блока относительно его продольной центральной оси, ; – его угловая скорость, . Так как , то . Подставляя это отношение в формулу для кинетической энергии, окончательно получим . Кинетическая энергия подвижного ступенчатого блока 4 , где ; – момент инерции блока относительно его продольной центральной оси, – угловая скорость блока, . Так как трос не скользит по блоку 4, его мгновенный центр скоростей находится в точке и , то и . Подставляя эти выражения в формулу для кинетической энергии, получим . Теперь определим кинетическую энергию всей механической системы, используя исходные данные, . Работу в рассматриваемой системе совершают только внешние силы, изображенные в ее конечном положении (см. рис. 3.12). Определим работу внешних сил на заданных перемещениях точек системы при перемещении груза 1 на расстояние . Работы сил и равны нулю, так как точки приложения этих сил неподвижны. Работы сил и равны нулю, так как эти силы приложены в точках, которые являются мгновенными центрами скоростей. Реакция перпендикулярна перемещению груза 1 и ее работа также равна нулю. Запишем формулу для нахождения суммы работ оставшихся внешних сил и определим составляющие, входящие в эту сумму: – работу силы тяжести ; – работу силы трения скольжения , где , а значит ; – работу силы тяжести с учетом того, что , ; – работу пары сил сопротивления качению катка 2, момент которой , , где скольжения, , а угол поворота катка 2, катящегося без , откуда следует, что ; – работу силы тяжести . При нахождении слагаемых и следовало учесть, что зависимость между линейными и угловыми скоростями такая же, как между соответствующими линейными и угловыми перемещениями. Теперь определим сумму работ внешних сил, пользуя исходные данные: . Согласно выражению для теоремы об изменении кинетической энергии, приравнивая значения Ти скорости груза 1 из формулы м/с. , сократив наmобе части этого равенства, получим значение , откуда 20. Консервативные и неконсервативные силы. Свойства консервативных сил. В механике различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия – функция состояния, определяемая массами движущихся тел и их скоростями. Для одной материальной точки: , для системы материальных точек . Потенциальной называют энергию, обусловленную взаимным расположением тел и силами, действующими между телами. Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии: (26) Чтобы ввести понятие потенциальной энергии, рассмотрим сначала, как зависит работа от формы траектории. Пусть в некотором поле сил точка перемещается из положения А в положение В сначала по пути А1В, затем по пути А2В. Поля сил, в которых работа не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным состоянием тела, называются потенциальными, а силы – консервативными. Консервативными являются силы тяготения ( ), упругости ( ), электростатические силы и т.д. Поля сил, в которых работа зависит от формы траектории, называются непотенциальными, а силы – неконсервативными. В случае консервативных сил вводится понятие консервативной энергии. Пусть частица массы m перемещается из точки А в точку В однородного поля сил тяжести (поле называется однородным, если в каждой точке его ). При этом перемещении силой тяжести совершается работа: (27) Работа характеризует переход тела из одного состояния в другое и в данном случае определяется только начальным h1 и конечным h2 положением тела. Естественно считать, что - энергия частицы в начальном положении, - в конечном состоянии. Эту энергию называют потенциальной энергией частицы, поднятой над Землей: (28) С учетом (28) перепишем (27) в следующем виде: (29) Из этого следует, что работа в потенциальном поле совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы. Этот вывод справедлив для любого потенциального поля. 21. Потенциальная энергия. Связь между приращением потенциальной энергии и работой консервативной силы. Приведите пример. Консервативных сил. В физике консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). Отсюда следует определение: консервативные силы — такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0. Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. Для консервативных сил выполняются следующие тождества: — ротор консервативных сил равен 0; — работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0; — консервативная сила является градиентом некой скалярной функции U, называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии взятой с обратным знаком. В школьной программе по физике силы разделяют на консервативные и неконсервативные. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости. Примерами неконсервативных сил являются сила трения и сила сопротивления среды. В теоретической физике выделяют только четыре типа сил, каждая из которых является консервативной Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль. Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии. Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными. Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля. Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией. Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела. Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой: Ep = mgh, где Ep — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем. Закон сохранения энергии. Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу A. Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см. рис. 1.19.1). Рисунок 1.19.1. Работа равнодействующей силы. . A = F 1 s cos α1 + F 2 s cos α2 = F 1s s + F 2s s = F рs s = F р s cos α. Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой Отсюда следует, что Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости). Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела: Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии. A = E k2 – Еk1. Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость: Если тело движется со скоростью совершить работу то для его полной остановки необходимо Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механ энергия сохраняется, т.е. не изменяется во времени. Eк + Ep = E = const. Энергия превращается из одного вида в другой. Полная энергия теласумма потенциальной и кинетической энергии тела. EK2+EP2=EK1+EP2. 22. Потенциальная энергия в однородном поле силы тяжести. Формула (15) справедлива также для однородных сферических тел; в этом случае r – расстояние между центрами масс таких тел. В частности, потенциальная энергия тела массы т, находящегося в поле гравитации Земли, масса которой М, (16) Изменение потенциальной энергии тела массы m, поднятого с поверхности Земли (r = R, где R – радиус Земли) на высоту h (r = R + h), согласно (16), равно: (17) Если h<<R, то в знаменателе формулы (17) можно пренебречь слагаемым h и она перейдет в известную формулу или , (18) если потенциальную энергию на поверхности Земли принять равной нулю, где – ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Таким образом, формула (18) была получена в предположении, что сила тяжести (и ускорение силы тяжести) не изменяются с высотой h, т.е. поле силы тяжести Земли однородно. Поэтому формула (18) является приближенной формулой, в отличие от строгой формулы (16). 23. Потенциальная космическая скорость. энергия гравитационного взаимодействия. Вторая Гравитационная энергия — потенциальная энергия системы тел (частиц), обусловленная их взаимным гравитационным тяготением. Общепринята шкала, согласно которой для любой системы тел, находящихся на конечных расстояниях, гравитационная энергия отрицательна, а для бесконечно удалённых, то есть для гравитационно не взаимодействующих тел, гравитационная энергия равна нулю. Второй космической (или параболической) скоростью v2 называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения: откуда 24. Потенциальная энергия упругодеформированной пружины. Потенциальная энергия упругодеформированного тела — это энергия, обусловленная взаимодействием частей тела между собой. Она равна работе, которую совершают внешние силы, чтобы недеформированную пружину сжать или растянуть на некоторую величину. Работа силы упругости зависит от жесткости пружины и ее деформации. Поэтому потенциальная энергия упругодеформированного тела тоже зависит от жесткости пружины и ее деформации. Найдем потенциальную энергию тела при перемещении его из состояния 1 в 2, если на него действует сила упругости пружины, один конец которой закреплен с телом, а другой с неподвижной опорой (рис. 12). Рис. 12 Работу силы упругости можно найти по формуле (22) если сила упругости действует вдоль оси 0Х, где F(x) = k x; х cмещение. После интегрирования получим . (23) Рис. 13 Сила упругости, так же как и сила тяжести, является консервативной, ее работа совершается за счет убыли потенциальной энергии пружины, т. е. Ау = Wp,у = (Wp,у2 Wp,у1), (24) где Wp,у = (25) является потенциальной энергией упругодеформированной пружины (тела). Работа силы упругости графически изображается площадью заштрихованной трапеции (рис. 13). 25. Полная механическая механической энергии. энергия. Законы изменения и сохранения Если частица массы m движется со скоростью v, то ее кинетическая энергия может быть представлена в виде . (1.3.57) Кинетическая энергия системы частиц – величина аддитивная и представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы: , где N – число частиц в системе, mi – масса i-той частицы, vi – скорость i-той частицы. * Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой. Математически условие консервативности силы выражается в виде: , что означает: * циркуляция консервативной силы по любому замкнутому контуру равна нулю. Из определения консервативной силы следует: работу консервативной силы можно представить как убыль некоторой скалярной функции , зависящей только от положения тела (частицы), которая называется потенциальной энергией: Последняя формула является определением потенциальной энергии: * Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной. Так как определена только разность потенциальной энергии, то к выражению для потенциальной энергии можно добавить или вычесть любую постоянную величину. Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о начале отсчета потенциальной энергии (в какой именно точке считают U = 0). Полная механическая энергия частицы – это сумма ее кинетической и потенциальной энергий: Если на частицу действуют только консервативные силы, то с одной стороны dA = – dU , с другой (из второго закона Ньютона): dA = dK – dU = dK, d(K + U) = dE=0 Е = const (1.3.58) Выражение (1.3.58) – это закон сохранения полной механической энергии, который гласит: * механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется. Неконсервативные силы – силы, работа которых зависит от длины и формы пути. То есть, работа неконсервативных сил на замкнутом пути не равна нулю, с ними не связана потенциальная энергия. Примеры: сила трения скольжения, сила вязкого трения. Работа силы трения скольжения зависит не от перемещения тела, а от длины пути: Aтр = – Nl, и не равна нулю при возвращении тела в исходную точку. Если на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы, то полная механическая энергия этой частицы сохраняться не будет: dE = d(K + U) = dAнеконс. (1.3.59) Выражение (1.3.59) является математическим выражением закона изменения полной механической энергии: * Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех действующих на нее неконсервативных сил: Потенциальная энергия системы частиц складывается из собственной потенциальной энергии Uсоб (энергия взаимодействия частиц системы между собой) и внешней потенциальной энергии Uвнешн: Uсист = Uсоб + Uвнешн, где . Здесь Uij – потенциальная энергия взаимодействия i-той и j-той частиц системы; коэффициент 1/2 учитывает тот факт, что каждое слагаемое в двойной сумме учитывается дважды. Если на каждую частицу системы действуют, кроме внутренних, также внешние силы, пусть тоже консервативные, то их работа равна убыли внешней энергии dA = – dUвнешн, где . Здесь Ui – потенциальная энергия i-той частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной (в отличие от собственной энергии Uсоб). В таком случае, полная механическая энергия системы частиц запишется так: E = Kсист + Uсоб + Uвнешн. * Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: Eсист = сonst. В такой системе отсутствуют любые неконсервативные силы (и внешние, и внутренние). Заметим, что консервативность системы и закон сохранения энергии никак не связаны с замкнутостью системы. Закон изменения полной механической энергии системы: * Изменение полной механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил: dEсист = dAнеконс. Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела: , (1.3.60) где mi – масса i-той частицы, Ri – радиус окружности, по которой вращается i-тая частица, – угловая скорость вращения тела. Продифференцируем по времени формулу (1.3.60) и получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела: . то есть, * скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности результирующего момента сил относительно оси вращения. Отсюда dKвращ = Mzdt = Mzd K K2 – K1 = Mzd , то есть, * изменение кинетической энергии вращательного движения равно работе момента сил. Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось вращения тела, проходящая через его центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Типичным примером такого движения является качение симметричного тела. Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной) оси. Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, запишется в виде . (1.3.61) Здесь VС – скорость движения центра масс тела. 26. Соударение двух тел. Абсолютно неупругое центральное (лобовое) столкновение. Приведите пример. Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел. С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц). Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин. В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело. При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули. Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через сохранения импульса Тогда по закону При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии: Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы: Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами. При m << M почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии: где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует: Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ. Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара. При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии. Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2). Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде: m1υ1 = m1u1 + m2u2. Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения: В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со скоростью u2 = υ1, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами). Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ 2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе. Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения. Модель. Упругие и неупругие соударения Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой. Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3). Рисунок 1.21.3. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей и после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей и шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид: Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей , и образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами Модель. Соударения упругих шаров и равен 90°. 27. Потери механической энергии при абсолютно неупругом центральном столкновении двух шаров. Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел. Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова 28 (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления : = v'n/vn. Если для сталкивающихся тел =0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если =1—абсолютно упругими. На практике для всех тел 0<<1 (например, для стальных шаров 0,56, для шаров из слоновой кости 0,89, для свинца 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие. Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары. Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию . Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево. При указанных допущениях законы сохранения имеют вид Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим Разберем несколько примеров. 29 Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс: а) m1 =m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'1=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v'2 = v1); б) m1>m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'1<v1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'2>v'1) (рис.20); в) m1<m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v'2<v1 (рис. 21); г) m2>>m1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v'1=-v1, v'22m1v1/m20. 2) При m1=m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид v'1=v2, v'2=v1, т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями. Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22). Если массы шаров m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2, то, используя закон сохранения импульса, можно записать Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m1=m2), то v = (v1+v2)/2. Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними дей30 ствуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара: Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то Когда m2>>m1 (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1>>m2), тогда vv1 и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил. 28. Момент силы относительно точки и относительно оси. Плечо силы. Пример вычисления момента силы относительно оси. Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке. рис.1.2 Если известен радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом: . (1.8) Действительно, модуль этого векторного произведения: . (1.9) В соответствии с рисунком , поэтому: |. (1.10) Вектор , как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам и , которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от к происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор достраивает систему векторов ( ) до правой тройки. Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом: . (1.11) Момент силы относительно оси Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно оси. рис.1.3 Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π: (1.12) Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''. 1.2 Постановка задачи. Определение реакций опор и шарнира С. P1, кН M, кН*м q, кН/м 5,0 24,0 0,8 1.3 Алгоритм решения задачи. Разделим конструкцию на части и рассмотрим равновесие каждой из конструкции. Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. (рис.1.1) рис. 1.1 Составим 3 уравнения равновесия для всей конструкции в целом: (1) (2) (3) Рассмотрим равновесие правой части конструкции.(рис 1.2) рис.1.2 Составим 3 уравнения равновесия для правой части конструкции: (4) (5) (6) Из уравнения 3 находим YA кН Найдем Q: кН/м Найдем угол β: Из уравнения 2 находим YB кН Из уравнения 6 находим XB кН Из уравнения 5 находим YC кН Из уравнения 4 находим XC кН Из уравнения 1 находим XA кН Составим уравнение проверки: Основные результаты. XA, кН XB, кН XC, кН YA, кН YB, кН YC, кН -13,3 12 -12 -2,7 7,5 -7,5 29. Условия равновесия твердого тела. Пример использования условий равновесия. Как было указано в предыдущем разделе, твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы. Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс (7.38) и уравнение моментов (7.39) Если твердое тело покоится, то уравнения (7.38) и (7.39) переходят в уравнения (7.40) (7.41) В этих формулах – результирующая внешних сил, – сумма моментов этих сил относительно оси вращения. Таким образом, равновесие имеет место в том случае, когда результирующая внешних сил и сумма моментов относительно оси вращения равны нулю. Это – необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии равна нулю, то момент этих сил в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно. Различают устойчивое и неустойчивое равновесия. Как показывает связь силы с потенциальной энергией, при равенстве нулю результирующих внешних сил в состоянии равновесия все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения, функция потенциальной энергии остается почти постоянной. Точнее, приращения потенциальной функции при таких приращениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, т.е. минимальна или максимальна. Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если потенциальная энергия максимальна, равновесие тела неустойчиво. Эти выводы остаются справедливыми и для систем, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т.е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна направлению возможного перемещения и работы не производит. ПРИМЕР: Еще с древнейших времен для определения массы тел люди использовали равноплечие весы (рис. 137). Понять принцип их работы просто, если воспользоваться вторым условием равновесия твердого тела. Коромысло весов может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку O. На равных расстояниях от оси вращения коромысла подвешены одинаковые чашки. В одну чашку помещают груз неизвестной массы m, а в другую – набор грузов известной массы, например m1 + m2. Весы будут находиться в равновесии, если стремящиеся развернуть их коромысло положительный момент m · g · OA и отрицательный момент -(m1 + m2) · g · OB будут уравновешивать друг друга. Поэтому условие равновесия коромысла весов можно записать в виде: m · g · OA - (m1 + m2) · g · OB = 0 Так как плечо OA силы тяжести груза равно плечу OB силы тяжести гирь, то уравнение обратится в тождество при условии, что m = m1 + m2. Таким образом, равноплечие весы будут находиться в равновесии, если суммарная масса гирь будет равна массе взвешиваемого груза. Если массы груза и гирь не равны друг другу, то коромысло весов начнет разворачиваться в сторону большего по модулю момента силы тяжести (в сторону большей массы). Чашка весов с большей массой начнет опускаться. Добавляя (или уменьшая) число гирь известной массы, можно достичь равновесия и таким образом измерить неизвестную массу груза. 30. Колебательные процессы. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний. Амплитуда колебаний, циклическая чистота и период гармонических колебаний. В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальныая энергия и т. п.). Если в какой-либо точке среды, в которой близко расположенные атомы или молекулы испытывают силовое воздействие, возбужден процесс механических колебаний, то этот процесс будет с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, распространяться от точки к точке. Так возникают механические волны. Примерами такого процесса являются звуковые волны в воздухе. Как и колебания, волновые процессы различной физической природы (звук, электромагнитные волны, волны на поверхности жидкости и т. д.) имеют много общего. Распространение волн различной физической природы можно описывать с помощью одинаковых математических уравнений. В этом проявляется единство материального мира. Механические колебания 2.1. Гармонические колебания Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1). Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением x = xm cos (ωt + φ0). Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями: На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени. Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0 = 0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T / 12 Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m, либо период T (или частота f), либо начальная фаза φ0. Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0 = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x'm > xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T' = T / 2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы ( рад). При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t) по времени t и обозначается как или как x'(t) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату: Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях: следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t) по времени t, или второй производной функции x (t). Вычисления дают: Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0). На рис. 2.1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания. Рисунок 2.1.4. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания Модель. Гармонические колебания 32. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени. Апериодическое движение. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается. Для рассмотрения затухающих колебаний обычно используют линейные системы – это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Дифференциальное уравнение свободно затухающих колебаний линейной системы задаётся в виде: , (33.1) где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ=const – коэффициент затухания, ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (33.1) рассмотрим в виде s=e-δtu (33.2), где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (33.2) и подстановки их в (33.1) получим . Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен: . Тогда получим уравнение типа: , решением которого является функцияu=A0cos(ωt+φ). Таким образом, решение уравнения в случае малых затуханий s=A0e-δtcos(ωt+φ), где δ=r/(2m) в случае механических колебаний и δ=R/(2L) в случае электромагнитных колебаний; - частота затухающих колебаний;A0e-δt – амплитуда затухающих колебаний. Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации. Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: называется декрементом затухания, а его логарифм. -логарифмическим декрементом затухания; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для каждой колебательной системы величина. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна 34. Затухающие колебания линейного осциллятора. Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е. Fтр=-rυ=-rx’, где r – коэффициент сопротивления. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид: mx”=-kx-rx’. Используя формулу: и принимая, дифференциальное уравнение Маятник колеблется по закону что коэффициент затухающих затухания колебаний δ=r/(2m), маятника: получим . x=A0e-δtcos(ωt+φ) с частотой: Добротность пружинного маятника . Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации. Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: называетсядекрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для каждой колебательной системы величина. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна Апериодическое движение, частный случай затухающего колебательного движения, при котором собственно колебательное движение развиться не может и материальная точка или система таких точек, выведенная из положения своего устойчивого равновесия, приближается к последнему с убывающей скоростью без колебаний. 33. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Резонанс и его применение в технике. Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы. После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы. Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону y = ym cos ωt. где ym – амплитуда колебаний, ω – круговая частота. Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1). Рисунок 2.5.1. Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ωt. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно: Δl = x – y = x – ym cos ωt. Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид : ma = –k(x – y) = –kx + kym cos ωt. В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой. Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: вынужденных колебаний запишется в виде Тогда уравнение (**) где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением: Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону x (t) = xmcos (ωt + θ). Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω0 и ω и от амплитуды <m>m>ym внешней силы. На очень низких частотах, когда ω << ω0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω0 стремится к нулю. Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2). При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. Модель. Вынужденные колебания У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2. Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора. Рисунок 2.5.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω << ω0) xm ≈ ym. На высоких частотах (ω >> ω0) xm → 0 34. Вынужденные колебания. Автоколебания. Примеры автоколебаний. Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов). Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы. Рисунок 2.5.3. Функциональная автоколебательной системы схема Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику. Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д. Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником 35. Математический и пружинный маятники. Период и частота колебаний. Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) – k ,один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m. Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле: , где m — масса груза, k — жёсткость пружины. Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Осциллятор — система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Период колебаний математического маятника: Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен: Превращение энергии при колебательном движении маятников. Колебания маятника возможны благодаря начальному запасу механической энергии, которая придается ему при выведении из положения равновесия. При колебаниях маятника: в положении равновесия скорость и, следовательно, кинетическая энергия тела максимальны. потенциальная энергия маятника максимальна, когда кинетическая энергия (скорость) равна нулю. При движении маятника из положения равновесия в положение с максимальным смещением кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию. При перемещении из положения с максимальным смещением в положение равновесия потенциальная энергия переходит в кинетическую. Если колебания свободные, трение отсутствует, то: сумма кинетической и потенциальной энергий остается неизменной. Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы. Сила, вызывающая вынужденные колебания, называется вынуждающей или возмущающей силой. 36. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца (без вывода). В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 году. 1. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические и т.), проведенные внутри инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. 2. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Первый принцип Эйнштейна является обобщением механического принципа на любые физические процессы, утверждает, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т.е. протекают одинаково, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета.Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света – фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных представлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время. Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно- временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение. Преобразования Лоренца. В классической механике используются преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой (формулы записаны для случая, когда система К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси ОХ): К → К' К' → К x' = x – vt x = x' + vt y' = y y = y' (1) z' = z z = z' t' = t t = t'. В 1904 г., еще до появления теории относительности, Лоренцем были предложены преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны. Преобразования Лоренца имеют вид К → К' К' → К x' = (x – vt)/√1 – β2 x = (x' + vt')/√ 1 – β2 y' = y y = y' (2) z' = z z = z' t' = (t – vx/C2 )/ √ 1 – β2 t = t' + vx' /C2 )/ √ 1 – β2 , где β = v/C. Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна. Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v, что очевидно. Из преобразований Лоренца вытекает также, что 1) при малых скоростях, т.е. при β<<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следовательно, предельным случаем преобразованийЛоренца. 2)При v>С выражения (2) для х, t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, невозможно. Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что 1)как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, 2) как пространственные, так и временные преобразования (2) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время. 37. Преобразования Лоренца. Сокращение длины движущихся объектов. Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения ньютоновой механики следствий. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы отсчета К' (рис. 10.2). Длина его в этой системе равна l0 = x'2 — x'1 где x'1 и x'2 — не изменяющиеся со временем t' координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется вместе со штрихованной системой со скоростью v. Для определения его длины в этой системе нужно отметить хх х2 х,х' Рис. 10.2 системы отсчета К, К'. Относительно системы К стержень движется вместе со штрихованной системой со скоростью v координаты концов стержня х1 и x2 в один и тот же момент времени t1 = t2 = t. Разность этих координат l= x2 – х1 даст длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти соотношение между l0 и l, следует взять ту из формул преобразований Лоренца, которая содержит x', х и t, то есть первую из формул (10.9). Согласно этой формуле, откуда получаем или окончательно (10.10) Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше «собственной» длины l0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Поперечные размеры стержня в обеих системах одинаковы. Итак, для неподвижного наблюдателя размеры движущихся тел в направлении их движения сокращаются, и тем больше, чем больше скорость движения. Длительность процессов в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке, неподвижной относительно движущейся системы К', происходит какой-то процесс, длящийся время At0 = t'2 — t'1. Это может быть работа какого-либо прибора или механизма, колебание маятника часов, какое-нибудь изменение в свойствах тела и так далее. Началу процесса соответствует в этой системе координата х' = а и момент времени t'1, концу — та же самая координата х'2 = х'1 = а и момент времени t'2 Относительно системы К точка, в которой происходит процесс, перемещается. Согласно формулам (10.9), началу и концу процесса в системе К соответствуют моменты времени _ откуда получаем Введя обозначения t2 - t1 = At, получим окончательно: (10.11) В этой формуле ∆t0 — длительность процесса, измеренная по часам в движущейся системе отсчета, где тело, с которым происходит процесс, покоится. Промежуток At измерен по часам системы, относительно которой тело движется со скоростью v. Иначе можно сказать, что ∆t определено по часам, которые движутся относительно тела со скоростью v. Как следует из (10.11), промежуток времени ∆t0, измеренный по часам, неподвижным относительно тела, оказывается меньше, чем промежуток времени At, изизмеренный по часам, движущимся относительно тела. Заметим, что для релятивистских множителей (Лоренц-факторов) движущейся со скоростью V системы отсчета и/или движущейся со скоростью v частицы приняты обозначения Г = 1/√(1 - V2/с2) и соответственно γ = 1/√(1 - v2/с2). Если это не приводит к путанице, для обеих величин употребляется обозначение γ Рассматривая протекание процесса из системы X, можно определить ∆t как его длительность, измеренную по неподвижным часам, a ∆t0 — как длительность, измеренную по часам, движущимся со скоростью v. Согласно (10.11), ∆t0 < ∆t поэтому можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы (имеется, конечно, в виду, что во всем, кроме скорости движения, часы совершенно идентичны). Время ∆t0, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется «собственным временем» этого тела. Как видно из (10.11), собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. Эффект замедления времени симметричен по отношению к обоим рассматриваемым часам: для обоих наблюдателей из разных систем отсчета часы движущегося относительно него наблюдателя будут идти медленнее. Замедление времени является объективным следствием преобразований Лоренца, которые, в свою очередь, являются следствием постоянства скорости света во всех системах отсчета. Необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что релятивистские эффекты отнюдь не умозрительны. На сегодняшний день СТО с очень хорошей точностью подтверждена экспериментально. Разумеется, при V/c —>> 0 формулы (10.10), (10.11) преобразуются к тривиальному нерелятивистскому пределу. Для наблюдения нетривиальных эффектов необходимо исследовать объекты с V ~ с. Примерами могут служить явления, наблюдаемые при изучении элементарных частиц. Одним из наиболее наглядных опытов, подтверждающих соотношение (10.11), является наблюдение в составе космических лучей одного из видов элементарных частиц, именуемых мюонами. Эти частицы нестабильны — они самопроизвольно распадаются на другие элементарные частицы. Время жизни мюонов, измеренное в условиях, когда они неподвижны (или движутся с малой скоростью), равно примерно 2 • 10-6 с. Казалось бы, даже двигаясь почти со скоростью света, мюоны могут пройти от момента своего рождения до момента распада лишь путь, равный примерно 3 • 108 м/с) (2 • 10-6 с) = 600 м. Однако наблюдения показывают, что мюоны, образуясь в космических лучах в верхних слоях атмосферы на высоте 20-30 км, успевают, тем не менее, в большом количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что 2*10-6 с — собственное время жизни мюона, то есть время, измеренное по часам, которые бы «двигались вместе с ним». Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с поверхностью Земли, оказывается гораздо большим из-за того, что скорость мюонов близка к скорости света. Поэтому не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно превышающий 600 м. Интересно рассмотреть этот эффект с точки зрения наблюдателя, «движущегося вместе с мюоном». Для него расстояние, пролетаемое до поверхности Земли, сокращается до 600 м в соответствии с формулой (10.10), так что мюон успевает пролететь его за 2 • 10-6 с, т. е. за «собственное время жизни». Наиболее впечатляющее следствие преобразований Лоренца — относительность одновременности разнесенных в пространстве событий. Если два события А и В произошли одновременно в одной точке пространства, то в любой системе координат tA=tB. Конкретные значения, например, tA и t'A могут быть различными, но в каждой системе останется справедливым равенство t'A = t'B. Если же при tA = tB окажется, что хА ≠ хв, то в любой другой системе, как это с очевидностью следует из преобразований Лоренца, tA≠tB. Почему это обстоятельство до Эйнштейна оставалось незамеченным? До Эйнштейна явно или неявно сохранялось представление о существовании абсолютного пространства и абсолютного времени. Но если нет абсолютной системы отсчета, нет и абсолютной одновременности. Исчезает не только абсолютное пространство, исчезает и абсолютное время, которое, по Ньютону, течет «всегда одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Время СТО зависит от системы отсчета. Зависит от системы отсчета и промежуток времени между двумя событиями, и расстояние между двумя точками. В механике Галилея-Ньютона координаты точек зависят от системы отсчета, но расстояние между точками А и В (хА - xB)2 + (уА - ув)2 + (zA - zB)2= l2 от системы не зависит. В механике СТО эта величина перестает быть инвариантом. Независимым от системы отсчета становится интервал между событиями, определяемый соотношением s2AB = c2(tA - tB)2 - (хА - xB)2 + (уА - ув)2 + (zA - zB)2. Время становится в один ряд с пространственными координатами или, как сказал Г. Минковский, «пространство само по себе и время само по себе погружаются в реку забвения, а остается жить лишь своеобразный их союз». Это проявляется особенно наглядно, если, следуя Минковскому, в качестве четвертой координаты выбрать не t, как таковое, a ict. Тогда интервал запишется в симметричной форме: He следует, однако, воспринимать четырехмерное пространство Минковского как простой аналог нашего трехмерного мира. Все же четвертая координата сохраняет важнейшее отличие от трех остальных — однонаправленность, которой, в частности, обусловлены причинно-следственные связи. Путешествие вспять во времени как было, так и остается невозможным. Ввиду того, что по Лоренцу, в отличие от Галилея, преобразуется, кроме координат, и время, заметно меняется закон сложения скоростей. Если в системе К тело движется со скоростью v, имеющей составляющие по осям координат vx vy vz а система К' движется со скоростью V вдоль оси x, для составляющих скорости тела в системе К' получаем С учетом того, что (10.12)-(10.14) Хотя координаты у' и z' равны соответственно у и z, составляющие скорости по этим осям в разных системах различны, так как различаются темпы течения времени. Не представляется неожиданным факт, что если vx по модулю равна скорости света — с, то эта величина не изменится при переходе в любую другую систему отсчета. Ведь именно инвариантность скорости света является критерием справедливости преобразований Лоренца. 38. Преобразования Лоренца. Релятивистское замедление хода движущихся часов. Под релятиви́стским преобразование вре́мени обычно подразумевают кинематический эффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемся теле все физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системы отсчёта. Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца: где Δt — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя, Δt0 — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом, v — относительная скорость движения объекта, c — скорость света в вакууме. Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах и атомах[3], так что относительная ошибка составляет менее 0,1 ppm Преобразования Лоренца и релятивистское преобразование длины. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где и — не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x1 и x2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х2 – х1 и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), получим т. е. (37.4) Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4). Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится. Преобразования Лоренца и парадокс мезона как экспериментальное доказательство теории относительности. 1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами x1 и x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке (x1 =х2) и являются одновременными (t1 =t2), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3), т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета. Если события в системе К пространственно разобщены (х1 x2), но одновременны (t1 = t2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3), Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности определяется знаком выражения v (x1 – x2), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета. 2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) = t2 – t1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К' (37.1) причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют (37.2) Подставляя (37.2) в (37.1), получаем или (37.3) Из соотношения (37.3) вытекает, что <', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени ', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала , отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для и ' обратимы. Из (37.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света ( =0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса нt содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим. Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с -мезонами. Среднее время жизни покоящихся -мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) 2,210–8 с. Следовательно, -мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте 30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости с, должны были бы проходить расстояния с 6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни -мезона ' = / , а путь этих частиц в атмосфере v' = c' = c/ . Так как 1, то v'>>c. 39. Импульс релятивистской частицы. Основное уравнение движения в классической и релятивистской механике. 1. Релятивистский импульс. Импульс быстро движущейся частицы (релятивистский импульс) записывается в виде . Масса m в выражении для релятивистского импульса – та же величина, что и в классическом определении импульса , и никакой новой «релятивистской» массы не вводится. Нет никаких оснований относить множитель γ к массе m и говорить о ее зависимости от скорости. Масса m является инвариантной величиной, сохраняющейся во всех инерциальных системах отсчета. 2. Релятивистское уравнение движения. Как показывает опыт, релятивистский импульс частицы изменяется под действием внешней силы. Релятивистским уравнением движения называется уравнение , где – релятивистский импульс, – вектор обычной силы. При скоростях релятивистский импульс переходит в классический и релятивистское уравнение движения переходит в классическое. Хотя по форме записи классическое и релятивистское уравнения движения похожи, из релятивистского уравнения получаются совершенно новые следствия. Действительно, продифференцируем релятивистский импульс по времени: . Тогда релятивистское уравнение движения принимает вид . Из этого уравнения следует, что в общем случае векторы , и не совпадают по направлению (рис.), а величина ускорения зависит от угла α между вектором силы и вектором скорости . Полученное уравнение используется для описания движения заряженных частиц в различных электрических и магнитных полях. В частности, при проектировании ускорителей, в которых заряженные частицы ускоряются до релятивистских скоростей, на основе этого уравнения рассчитываются различные параметры ускорителя, в том числе такие важнейшие, как длина линейных ускорителей и радиус окружности для кольцевых ускорителей. В построенных ускорителях все заряженные частицы движутся по траекториям, рассчитанным на основе релятивистского уравнения движения. 3. Энергия релятивистской частицы. Закон сохранения энергии в релятивистском случае имеет вид . Потенциальная энергия U имеет тот же смысл, что и в классической механике, а величина называется полной энергией частицы. В том случае, когда частица покоится ( =0), она в соответствии с записанной формулой обладает энергией , которая получила название энергии покоя. Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется выражением . При малых скоростях эта формула переходит в классическое выражение для кинетической энергии. 4. Энергия, импульс и масса в специальной теории относительности. Очевидно, что энергия релятивистской частицы и ее импульс связаны соотношением . Кроме того, из сравнения формул для импульса и энергии следует, что . В релятивистской механике, как и в классической, энергия и импульс аддитивны. Энергия Е системы, состоящей из n частиц, определяется как сумма энергий Ei всех частиц: . Аналогично и импульс этой системы равен сумме импульсов частиц: . Тогда для массы m системы свободных частиц имеем следующее выражение: . Очевидно, что масса системы свободных частиц не равна сумме масс составляющих ее частиц, т.е. свойство аддитивности для массы не выполняется. 40. Кинетическая энергия релятивистской частицы (без вывода). Энергия покоя частицы. Полная энергия релятивистской частицы. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.зш9 приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении: (40.1) Учитывая, что dr = v dt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получаем Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv = vdv, и формулы (39.1), придем к выражению (40.2) т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0, то, проинтегрировав (40.2), получим (40.3) или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид (40.4) Выражение (40.4) при скоростях v«c переходит в классическое: (разлагая в ряд при v<<c, правомерно пренебречь членами второго порядка малости). Полная энергия: А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, а именно любое изменение массы m сопровождается изменением полной энергии частицы, (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой т: (40.6) Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фундаментальный закон природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в виде откуда следует, что покоящееся тело (T=0) также обладает энергией называемой энергией покоя. В классической механике энергия покоя Е0 не учитывается, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю. Взаимосвязь энергии и импульса: Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы: (40.7) Возвращаясь к уравнению (40.6), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко воем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса (40.8) и, наоборот, со всякой массой связана энергия (40.6). 41. Закон взаимосвязи массы и энергии. Связь между энергией и импульсом частицы. Рассмотрим кинетическую энергию релятивистской частицы. Определим эту величину таким же путем, как в классической физике: . Согласно основному уравнению релятивистской динамики (16) , , где – релятивистская масса. Поэтому Упростим это выражение, используя формулу для релятивистской массы . Приведем ее к виду Найдем дифференциал этого выражения . Разделим на , получим . Отсюда следует , где и . . (17) Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Для покоящейся частицы , а . Поэтому, интегрируя (17), получим , (18) или . (19) Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Убедимся, что при малых скоростях выражение (19) переходит в ньютоновское. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, согласно которой Тогда . Перепишем соотношение (18) в такой форме: . Здесь - (20) - энергия покоя частицы, -полная энергия частицы Отсюда (22) -закон взаимосвязи массы и энергии. Видно, что масса тела, которая в классической физике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного взаимодействия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением релятивистской массы , и наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменением энергии тела . В ядерной физике впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Формулы (20)-(22) – знаменитые формулы Эйнштейна, устанавливающие эквивалентность массы и энергии. Связь между энергией и импульсом частицы Ясно, что полная энергия и импульс частицы имеют разные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако, что существует величина – некоторая комбинация и , которая является инвариантной, то есть имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть . Убедимся в этом. Итак, Запишем и , . , или после сокращения (23) Тот факт, что скорость в правой части сократилась, означает, что величина ( не зависит от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Отсюда . (24) Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться при решении задач в ядерной физике. Первое: , (25) второе – связь между импульсом и кинетической энергией частицы. Подставим в формулу (23) , получим (26) Рассмотрим вопрос о возможности существования частиц с нулевой массой покоя . Из формул (24) и (25) следует, что эти два выражения совместны, если . Таким образом, согласно теории относительности существование частиц с нулевой массой покоя возможно, причем эти частицы могут двигаться только со скоростью света . Как сейчас известно, такими частицами являются фотон и нейтрино. СТО находит подтверждение в экспериментах с элементарными частицами. Однако СТО не дает возможности создать теорию гравитационного взаимодействия, не объясняет закон всемирного тяготения Ньютона. 42. Основные положения МКТ вещества. Молярная масса. Масса и размеры молекул. Теорию, объясняющую строение и свойства тел на основе закономерностей движения и взаимодействия частиц, из которых состоят тела, называют молекулярнокинетической. Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ) формулируются следующим образом: 1. Любое вещество имеет дискретное (прерывистое) строение. Оно состоит из отдельных частиц (молекул, атомов, ионов), разделенных промежутками. 2. Частицы находятся в состоянии непрерывного хаотического движения, называемого тепловым. 3. Частицы взаимодействуют друг с другом. В процессе их взаимодействия возникают силы притяжения и отталкивания. Справедливость МКТ подтверждается многочисленными наблюдениями и фактами. Наличие у веществ проницаемости, сжимаемости и растворимости свидетельствует о том, что они не сплошные, а состоят из отдельных, разделенных промежутками частиц. С помощью современных методов исследования (электронные и ионные микроскопы) получены изображения наиболее крупных молекул. Броуновское движение и диффузия свидетельствуют о том, что частицы находятся в непрерывном движении. Наличие прочности и упругости тел, явления смачивания, поверхностного натяжения в жидкостях и т.д. доказывают существование сил взаимодействия между молекулами. Масса и размеры молекул. Размер молекул является величиной условной. Его оценивают следующим образом. Между молекулами наряду с силами притяжения действуют и силы отталкивания, поэтому молекулы могут сближаться лишь до некоторого расстояния. Расстояние предельного сближения центров молекул называют эффективным диаметром молекулы. (При этом условно считают, что молекулы имеют сферическую форму.) С помощью многочисленных методов определения масс и размеров молекул установлено, что за исключением молекул органических веществ, содержащих очень большое число атомов, большинство молекул по порядку величины имеют диаметр 1· 10 10 м и массу 1· 10 - 26 кг. Относительная молекулярная масса. Относительной молекулярной (или атомной) массой Мr (или Аr) называют величину, равную отношению массы молекулы (или атома) mо этого вещества к 1/12 массы атома углерода mоС, т.е. Относительная молекулярная (атомная) масса является величиной, не имеющей размерности. Количество вещества. Молярная масса. Масса молекулы. Количеством вещества ν называют величину, равную отношению числа молекул (или атомов) N в данном теле к числу атомов NA в 0,012 кг углерода, т.е. ν = N/ NA (NA число Авогадро). Молярной массой М какого-либо вещества называют массу 1 моль этого вещества. М = mо N A Следовательно, массу молекулы (атома) можно определить из соотношения mо = М / N A 43. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Простейшим объектом исследований молекулярной физики является идеальный газ. Идеальный газ – это модель реального газа, обладающего следующими свойствами: - собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; - между молекулами отсутствуют силы взаимодействия; - столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими. Количество вещества, обозначаемое ν, в системе СИ измеряется в молях: 1 моль такое количество вещества, в котором содержится столько же атомов или молекул, сколько в 12 г чистого изотопа углерода . Моль – основная единица системы СИ. Один моль разных веществ содержит одно и то же число молекул NA = 6,02 х 1023, называемое числом Авогадро. Масса одного моля вещества М, называемая молярной массой, равна , (2.1) где m0 – масса молекулы. Число молекул в произвольной массе вещества определяется выражением: , (2.2) где m – масса газа, ν – количества вещества. Состояние некоторой массы газа m определяется параметрами состояния, к которым относятся давление p, объем V, температура T. На основании обобщения экспериментальных данных было получено соотношение, связывающее основные макроскопические параметры состояния газа: , (2.3) где - универсальная газовая постоянная. Это уравнение называется уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева - Клапейрона. Введя новую фундаментальную постоянную , называемую постоянной Больцмана, получим еще одну форму записи уравнения состояния , (2.4) где - концентрация молекул. Это уравнение показывает, что при одинаковых значе- ниях температуры и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул, а моли любых газов занимают одинаковые объемы (закон Авогадро). Давление смеси идеальных газов подчиняется закону Дальтона, в соответствии с которым это давление равно сумме парциальных давлений, входящих в нее газов , (2.5) Парциальное давление это давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал этот объем при той же температуре. 44. Изопроцессы. Графики изопроцессов. Изопроцессы — термодинамические процессы, во время которых количество вещества и ещё одна из физических величин — параметров состояния: давление, объёмили температура — остаются неизменными. Так, неизменному давлению соответствует изобарный процесс, объёму — изохорный, температуре — изотермический,энтропии — изоэнтропийный (например, обратимый адиабатический процесс). Линии, изображающие данные процессы на какойлибо термодинамической диаграмме, называются изобара, изохора, изотерма и адиабата соответственно. Изопроцессы являются частными случаями политропного процесса. Изобарный процесс Изобарный процесс (др.-греч. ισος, isos — «одинаковый» + βαρος, baros — «вес») — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении ( ) Зависимость объёма газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована в 1802 году Жозефом Луи Гей-Люссаком. Закон ГейЛюссака: При постоянном давлении и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, отношение объёма газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: V/T = const. Изохорный процесс Основная статья: Изохорный процесс Изохорный процесс (от греч. хора — занимаемое место) — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме ( ). Для идеальных газов изохорический процесс описывается законом Шарля: для данной массы газа при постоянном объёме, давление прямо пропорционально температуре: Линия, изображающая изохорный процесс на диаграмме, называется изохорой. Ещё стоит указать что поданная к газу энергия расходуется на изменение внутренней энергии то есть Q = 3* ν*R*T/2=3*V*ΔP, где R — универсальная газовая постоянная, ν количество молей в газе, T температура в Кельвинах, V объём газа, ΔP приращение изменения давления. а линию, изображающая изохорный процесс на диаграмме, в осях Р(Т), стоит продлить и пунктиром соединить с началом координат, так как может возникнуть недопонимание. Изотермический процесс Изотермический процесс (от греч. «термос» — тёплый, горячий) — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре ( )( ). Изотермический процесс описывается законом Бойля — Мариотта: При постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остаётся постоянным: PV = const. Графики изопроцессов в различных системах координат Адиабатический процесс Адиабатический процесс - это такое изменение состояний газа, при котором он не отдает и не поглощает извне теплоты. Следовательно, адиабатический процесс характеризуется отсутствием теплообмена газа с окружающей средой. Адиабатическими можно считать быстро протекающие процессы. Так как передачи теплоты при адиабатическом процессе не происходит, то принимает вид и уравнение I начала термодинамики или т.е. внешняя работа газа может производиться вследствие изменения его внутренней энергии. Адиабатное расширение газа (dV>0) сопровождается положительной внешней работой, но при этом внутренняя энергия уменьшается и газ охлаждается (dT<0). 45. Абсолютная температура. Основное уравнение кинетической теории идеального газа. Постоянная Больцмана. Идеальный газ - это физическая модель газа, взаимодействие между молекулами которого пренебрежительно мало. - вводится для математического описания поведения газов. Реальные разреженные газы ведут себя как идеальный газ! Свойства идеального газа: - взаимодействие между молекулами пренебрежительно мало - расстояние между молекулами много больше размеров молекул - молекулы - это упругие шары - отталкивание молекул возможно только при соударении - движение молекул - по законам Ньютона давление газа на стенки сосуда - за счет ударов молекул газа Основное уравнение МКТ связывает микропараметры частиц ( массу молекулы, среднюю кинетическую энергию молекул, средний квадрат скорости молекул) с макропараметрами газа (р - давление, V - объем, Т - температура). Давление газа на стенки сосуда пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы. Основное уравнение МКТ: Связь средней кинетической энергии молекул газа с его температурой. Температура — мера средней кинетической энергии молекул. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы не зависит от её природы и пропорциональна абсолютной температуре газа T. Отсюда следует, что абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии молекул.Сравнивая уравнение состояния идеального газа и основное уравнение кинетической теории газов, записанные для одного моля (для этого число молекул N возьмём равным числу Авогадро NА), найдём среднюю кинетическую энергию одной молекулы: и .Откуда . Постоянная Больцмана, ее величина, размерность, физический смысл. Постоя́нная Бо́льцмана ( или ) — физическая постоянная, определяющая связь междутемпературой и энергией. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в Международной системе единиц (СИ) равно: Дж/К[1]. Постоянная Больцмана дает возможность напрямую связать характеристики микромира с характеристиками макромира — в частности, с показаниями термометра. Вот ключевая формула, устанавливающая это соотношение: 1/2 mv2 = kT где m и v — соответственно масса и средняя скорость движения молекул газа,Т — температура газа (по абсолютной шкале Кельвина), а k — постоянная Больцмана. Это уравнение прокладывает мостик между двумя мирами, связывая характеристики атомного уровня (в левой части) с объемными свойствами (в правой части), которые можно измерить при помощи человеческих приборов, в данном случае термометров. Эту связь обеспечивает постоянная Больцмана k, равная 1,38 x 10–23 Дж/К. 46. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа. Средняя квадратичная скорость молекул газа. Так как , то, следовательно, где …(11.12) – кинетическая энергия всех молекул газа. Массу газа можно выразить как , тогда (12.12) запишется как ; для одного моля газа, то есть m = M, а V = V , отсюда Так как молярную массу можно выразить через массу одной молекулы m0 и число Авогадро - , то квадратичную скорость можно представить как где - постоянная Больцмана. При комнатной температуре молекулы кислорода, среднеквадратическую скорость 480м/с, водорода – 1900м/с. например, имеют Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа – она пропорциональна термодина-мической температуре и зависит только от нее, то есть температура тела есть количественная мера энергии движения молекул, из которых состоит это тело. Кроме того, связи между абсолютной температурой и средней кинетической энергией показывает, что при одинаковой температуре средние кинетические энергии молекул всех газов одинаковы, несмотря на различие масс молекул разных газов. Кинетическая энергия газа состоящего из молекул, равна , то есть , отсюда , где концентрация молекул, тогда – получили уравнение состояния идеального газа. Из этих выражений видно, что если то <E0> = 0, то есть прекращается поступательное движение молекул идеального газа, а, , его давление равно нулю. Не следует думать, что при абсолютном нуле температуры, прекращается всякое движение частиц вещества. Даже если все молекулы газа остановятся, то внутри них будут двигаться электроны, будут участвовать в движении протоны и нейтроны ядер. Абсолютный ноль температур означает для реальной системы не отсутствие движения, но такое состояние тела, при котором дальнейшее уменьшение интенсивности этого движения за счет отдачи его энергии окружающим телам невозможно. Следовательно, при абсолютном нуле система находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Характер этого состояния зависит от конкретных свойств составляющих систему частиц. 7. Любая молекулярная система состоит из большого числа составных частиц (идеальный газ). Эти частицы беспорядочно движутся. Скорости каждой частицы в произвольный момент времени неизвестны. Но, оказываются разные скорости различных частиц встречаются с разными вероятностями. В этом можно убедится на опыте Штерна (1888 – 1970): Раскаленная током нить расположена на оси двух имеющих общую ось цилиндров. Нить покрыта серебром., атомы которого испаряясь, покидают нить и по радиусу разлетаются в разные стороны. Во внутреннем цилиндре сделана узкая щель. Только те атомы, которые попали в щель, достигают внутренней поверхности внешнего цилиндра, они создают изображение щели, которое можно увидеть, если через некоторое время развернуть внутреннюю поверхность большого цилиндра. Если прибор привести во вращение вокруг общей оси, то атомы серебра, прошедшие сквозь щель, будут оседать не прямо напротив него, а с некоторым смещением. Если бы всех молекул серебра была одинакова, то и это смещение было бы одинаковым, но опыт показал распределение по скоростям. Существует скорость около расположе- некая которой ны наиболее населенные интервалы, называется наиболее она вероятной скоростью соответству- Uв и ей ет максимум на рисунке. Чем больше скорость частиц отличается от Uв, тем меньше число таких частиц. С увеличением возрастает наиболее вероятная скорость, больше появится быстрых частиц, вся кривая сместится вправо. Однако площадь под кривой остается постоянной (так как постоянно число частиц), кривая растягивается. Сама кривая называется: распределение Максвелла молекул по скоростям. Применив методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию распределения по скоростям f (1) Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав (1): (2) Средняя скорость молекул определяется по формуле: (3) Таким образом, состояние газа характеризуется следующими скоростями: 1) наиболее вероятная 2) средняя 3) Средняя квадратичная Исходя из распределения молекул по скоростям можно определить функцию распределения молекул по энергиям теплового движения (4) Тогда средняя кинетическая энергия : 47. Работа идеального газа. Примеры расчета работы газа для изохорического, изобарического и изотермического процессов. Изопроцессы идеального газа – процессы, при которых один из параметров остаётся неизменным. 1. Изохорический процесс. Закон Шарля. V = const. Изохорическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном объёме V. Поведение газа при этом изохорическом процессе подчиняется закону Шарля: При постоянном объёме и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, отношение давления газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: P/Т = const. График изохорического процесса на РV-диаграмме называется изохорой. Полезно знать график изохорического процесса на РТ- и VT-диаграммах (рис. 1.6). Уравнение изохоры: (1.4.1) Рис. 1.6 Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изохорического процесса записывается в виде (1.4.2) где Р0 – давление при 0 °С, α - температурный коэффициент давления газа равный 1/273 град-1. График такой зависимости на Рt-диаграмме имеет вид, показанный на рисунке 1.7. Рис. 1.7 2. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака. Р = const. Изобарическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном давлении Р. Поведение газа при изобарическом процессе подчиняется закону Гей-Люссака: При постоянном давлении и неизменных значениях массы и газа и его молярной массы, отношение объёма газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным: V/T = const. График изобарического процесса на VT-диаграмме называется изобарой. Полезно знать графики изобарического процесса на РV- и РT-диаграммах (рис. 1.8). Рис. 1.8 Уравнение изобары: (1.4.3) . Если температура газа выражена в градусах Цельсия, то уравнение изобарического процесса записывается в виде (1.4.4) где α =1/273 град -1- температурный коэффициент объёмного расширения. График такой зависимости на Vt диаграмме имеет вид, показанный на рисунке 1.9. Рис. 1.9 3.Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта.T= const. Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре Т. Поведение идеального газа при изотермическом процессе подчиняется закону Бойля – Мариотта: При постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остаётся постоянным: PV = const. График изотермического процесса на РV-диаграмме называется изотермой. Полезно знать графики изотермического процесса на VT- и РT-диаграммах (рис. 1.10). Рис. 1.10 Уравнение изотермы: (1.4.5) 4.Адиабатический процесс(изоэнтропийный): Адиабатический процесс – термодинамический процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. 5. Политропический процесс. Процесс, при котором теплоёмкость газа остаётся постоянной. Политропический процесс – общий случай всех перечисленных выше процессов. 6. Закон Авогадро. При одинаковых давлениях и одинаковых температурах, в равных объёмах различных идеальных газов содержится одинаковое число молекул. В одном моле различных веществ содержится NA=6,02·1023молекул (число Авогадро). 7. Закон Дальтона. Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений Р, входящих в неё газов: (1.4.6) Парциальное давление Pn – давление, которое оказывал бы данный газ, если бы он один занимал весь объем. При , давление смеси газов: (1.4.7) 8.Объединённый газовый закон(Закон Клапейрона). В соответствии с законами Бойля – Мариотта (1.4.5) и Гей-Люссака (1.4.3) можно сделать заключение, что для данной массы газа (1.4.8) Клапейрон Бенуа Поль Эмиль (1799–1864) – французский физик и инженер. Физические исследования посвящены теплоте, пластичности и равновесию твердых тел. Придал математическую форму идеям Н. Карно, первым оценил большое научное значение его труда. Вывел уравнения состояния идеального газа. Впервые ввел в термодинамику графический метод. 48. Абсолютная температура. одноатомного и двухатомного газа. Внутренняя энергия идеального газа Внутренняя энергия n молей идеального одноатомного газа (один атом на молекулу) равна средней кинетической энергии на молекулу, умноженной на общее число молекул, N: Eint = 3/2 NkT = 3/2 nRT Для двухатомного идеального газа: Eint = 5/2 NkT = 5/2 nRT Внутренняя энергия - это сумма всей энергии, связанной с движением атомов или молекул в системе. К микроскопическим формам энергии относятся те, которые обусловлены вращением, вибрацией, перемещением и взаимодействиями между молекулами вещества. Одноатомный газ – Внутренняя энергия Для одноатомного идеального газа (такого как гелий, неон или аргон) единственный вклад в энергию вносит поступательная кинетическая энергия. Средняя поступательная кинетическая энергия отдельного атома зависит только от температуры газа и определяется уравнением: Среднее значение K = 3/2 кТ. Внутренняя энергия n молей идеального одноатомного газа (один атом на молекулу) равна средней кинетической энергии на молекулу, умноженной на общее число молекул, N: Eint = 3/2 NkT = 3/2 nRT где n - число молей, каждое направление (x, y и z) вносит (1/2) нЗТ в внутреннюю энергию. Именно здесь возникает идея равного распределения энергии – любой другой вклад в энергию также должен вносить (1/2) нЗТ. Как можно видеть, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и количества молей газа. Двухатомная молекула – Внутренняя энергия Если молекулы газа содержат более одного атома, существует три направления перемещения, и кинетическая энергия вращения вносит свой вклад, но только при вращении вокруг двух из трех перпендикулярных осей. Пять вкладов в энергию (пять степеней свободы) дают: Двухатомный идеальный газ: Eint = 5/2 NkT = 5/2 nRT Это всего лишь приближение и применимо при промежуточных температурах. При низких температурах вкладывает только поступательную кинетическую энергию, а при более высоких температурах вибрация вносит два дополнительных вклада (кинетическую и потенциальную энергию). Внутренняя энергия будет больше при данной температуре, чем для одноатомного газа, но она все равно будет действовать только как температура для идеального газа. Внутренняя энергия реальных газов зависит в основном от температуры, но точно так же, как закон идеального газа, внутренняя энергия реальных газов зависит также и в некоторой степени от давления и объема. Все реальные газы приближаются к идеальному состоянию при низких давлениях (плотностях). При низких давлениях молекулы находятся достаточно далеко друг от друга, чтобы не взаимодействовать друг с другом. Внутренняя энергия жидкостей и твердых тел довольно сложна, поскольку включает в себя электрическую потенциальную энергию, связанную с силами (или химическими связями) между атомами и молекулами. Удельная теплоемкость при постоянном объеме и постоянном давлении Удельная теплоемкость - это свойство, связанное с внутренней энергией, которое очень важно в термодинамике. Интенсивные свойства cv и cp определяются для чистых, простых сжимаемых веществ как частные производные от внутренней энергии u(T, v) и энтальпии h(T, p) соответственно: где нижние индексы v и p обозначают переменные, которые остаются неизменными при дифференцировании. Свойства cv и cp называются удельными теплоемкостями (или теплоемкостями). При определенных особых условиях они связывают изменение температуры системы с количеством энергии, добавленной при теплопередаче. Их единицами измерения в системе СИ являются Дж / кг К, или Дж / моль К. Для газов определены две удельные теплоты: постоянный объем (cv) и постоянное давление (cp). Согласно первому закону термодинамики, для процесса постоянного объема с одноатомным идеальным газом молярная удельная теплоемкость будет равна: Cv = 3/2R = 12,5 Дж / моль К потому что U = 3 / 2nRT Можно вывести, что молярная удельная теплоемкость при постоянном давлении равна: Cp = Cv + R = 5/2R = 20,8 Дж / моль К Эта Cp больше молярной удельной теплоемкости при постоянном объеме Cv, поскольку теперь энергия должна подаваться не только для повышения температуры газа, но и для того, чтобы газ выполнял работу, поскольку в этом случае изменяется объем. 49. Первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики для изохорического и изобарического процессов. Основные формулировки первого закона термодинамики. Термодинамические процессы первого закона термодинамики. Простая формулировка первого закона термодинамики может звучать примерно так: изменение внутренней энергии той или иной системы возможно исключительно при внешнем воздействии. То есть другими словами, чтобы в системе произошли какие-то изменения необходимо приложить определенные усилия извне. В народной мудрости своеобразным выражением первого закона термодинамики могут служить пословицы – «под лежачий камень вода не течет», «без труда не вытащишь рыбку из пруда» и прочая. То есть на примере пословицы про рыбку и труд, можно представить, что рыбка и есть наша условно закрытая система, в ней не произойдет никаких изменений (рыбка сама себя не вытащит из пруда) без нашего внешнего воздействия и участия (труда). Интересный факт: именно первый закон термодинамики устанавливает, почему потерпели неудачу все многочисленные попытки ученых, исследователей, изобретателей изобрести «вечный двигатель», ведь его существование является абсолютно невозможным согласно этому самому закону, почему, смотрите абзац выше. В науке существует целых четыре формулировки первого закона термодинамики: Энергия ни откуда не появляется и ни куда не пропадает, она лишь переходит из одного вида в другой (закон сохранения энергии). Количество теплоты, полученной системой, идет на совершение ее работы против внешних сил и изменение внутренней энергии. Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход. Изменение внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты, переданной системе, и работой, совершенной системой над внешними силами. Формула первого закона термодинамики: Формулу первого закона термодинамики можно записать таким образом: Q = ΔU + A Количество теплоты Q, передаваемое системе равно суме изменения ее внутренней энергии ΔU и работы A. Процессы первого закона термодинамики. Первый закон термодинамики для изохорного процесса Изохорным процессом в термодинамике называют процесс, происходящий при постоянном объеме. То есть, если будь-то в газе или жидкости нагреть вещество в сосуде, произойдет изохорный процесс, так как объем вещества останется неизменным. Это условие имеет влияние и на первый закон термодинамики, проходящий при изохорном процессе. В изохорном процессе объем V является константой, следовательно, газ работы не совершает A = 0 Из этого выходит следующая формула: Q = ΔU = U (T2) – U (T1). Здесь U (T1) и U (T2) – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0). Первый закон термодинамики для изобарного процесса Изобарным процессом называется термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении и массе газа. Следовательно, в изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается следующим уравнением первого закона термодинамики: A = p (V2 – V1) = p ΔV. Изобарный первый закон термодинамики дает: Q = U (T2) – U (T1) + p (V2 – V1) = ΔU + p ΔV. При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T2 < T1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0. 50. Первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики для изохорического и изобарического процессов. Основные формулировки первого закона термодинамики. Термодинамические процессы первого закона термодинамики. Простая формулировка первого закона термодинамики может звучать примерно так: изменение внутренней энергии той или иной системы возможно исключительно при внешнем воздействии. То есть другими словами, чтобы в системе произошли какие-то изменения необходимо приложить определенные усилия извне. В народной мудрости своеобразным выражением первого закона термодинамики могут служить пословицы – «под лежачий камень вода не течет», «без труда не вытащишь рыбку из пруда» и прочая. То есть на примере пословицы про рыбку и труд, можно представить, что рыбка и есть наша условно закрытая система, в ней не произойдет никаких изменений (рыбка сама себя не вытащит из пруда) без нашего внешнего воздействия и участия (труда). Интересный факт: именно первый закон термодинамики устанавливает, почему потерпели неудачу все многочисленные попытки ученых, исследователей, изобретателей изобрести «вечный двигатель», ведь его существование является абсолютно невозможным согласно этому самому закону, почему, смотрите абзац выше. В науке существует целых четыре формулировки первого закона термодинамики: Энергия ни откуда не появляется и ни куда не пропадает, она лишь переходит из одного вида в другой (закон сохранения энергии). Количество теплоты, полученной системой, идет на совершение ее работы против внешних сил и изменение внутренней энергии. Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход. Изменение внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты, переданной системе, и работой, совершенной системой над внешними силами. Формула первого закона термодинамики: Формулу первого закона термодинамики можно записать таким образом: Q = ΔU + A Количество теплоты Q, передаваемое системе равно суме изменения ее внутренней энергии ΔU и работы A. Процессы первого закона термодинамики. Первый закон термодинамики для изохорного процесса Изохорным процессом в термодинамике называют процесс, происходящий при постоянном объеме. То есть, если будь-то в газе или жидкости нагреть вещество в сосуде, произойдет изохорный процесс, так как объем вещества останется неизменным. Это условие имеет влияние и на первый закон термодинамики, проходящий при изохорном процессе. В изохорном процессе объем V является константой, следовательно, газ работы не совершает A = 0 Из этого выходит следующая формула: Q = ΔU = U (T2) – U (T1). Здесь U (T1) и U (T2) – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0). Первый закон термодинамики для изобарного процесса Изобарным процессом называется термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении и массе газа. Следовательно, в изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается следующим уравнением первого закона термодинамики: A = p (V2 – V1) = p ΔV. Изобарный первый закон термодинамики дает: Q = U (T2) – U (T1) + p (V2 – V1) = ΔU + p ΔV. При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T2 < T1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0. 51. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса в переменных p и V (давление объем) и в переменных T и V (абсолютная температура – объем). Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим. Применим I закон термодинамики для определения связи между параметрами, определяющими состояние идеального газа, когда газ совершает адиабатический процесс. Полагая в (1.13) dQ=0, dU=CvdT, получим CvdT=-PdV (1.23) Как следует из формулы (1.23) при адиабатическом расширении dV>0, dT<0, что значит температура тела понижается. Наоборот, при сжатии dV<0, dT>0 температура тела повышается. Это связано с тем, что адиабатически расширяющийся газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, поэтому его температура понижается. Для получения уравнения адиабатического процесса, в переменных давление P и объём V, необходимо в уравнении (1.23) исключить температуру T. Это можно сделать, воспользовавшись уравнением состояния , дифференцирование которого даёт PdV+ VdP=RdT Откуда (1.24) Подставляя это значение dT в (1.23) получим . После замены R равным ему значением Cp-Cv=R и приведения к общему знаменателю имеем CVVdP+CpPdV=0. Обозначим отношение теплоёмкостей тогда последнее уравнение принимает вид . Проинтегрируем это выражение в предположении, что g - постоянная величина: . После интегрирования получим lnР+glnV=const, или =const, (1.25) которое даёт искомое соотношение между давлением и объёмом идеального газа при адиабатическом процессе изменения объёма. Уравнение (1.25) называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты, - показатель адиабаты. Из уравнения Пуассона видно, что в отличие от изотермического процесса, при адиабатическом процессе давление газа меняется обратно не первой степени объёма, а Vg, причём g больше единицы, так как Cp>Cv. Так как g>1, то кривая P=f(V) при адиабатическом процессе, называемая адиабатой, круче изотермы. Более крутое падение давления с увеличением объёма при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа. Нетрудно найти связь другими термодинамическими параметрами газа при адиабатическом процессе. Если мы хотим найти связи между V и T при адиабатическом процессе, то необходимо в уравнении Пуассона (1.25) исключить P, воспользуясь уравнением состояния. Поставив в (1.25) получаем , или . (1.26) Здесь мы учли, что const/R также является постоянной величиной. Если в уравнение (1.25) вместо V поставим его значение , то получим . После преобразования . Возвысив обе части последнего равенства в степень 1/g, получаем =const (1.27) Уравнение (1.27) представляет уравнение адиабатического процесса в переменных P и T. 52. Теплоемкость. Удельная теплоемкость при постоянном объеме. и молярная теплоемкости. Молярная Теплоёмкость тела (обозначается C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT: Молярная теплоёмкость — это теплоёмкость одного моля вещества. Наиболее часто употребляемое обозначение — C. Связь с удельной теплоёмкостью: С=M•с, где с — удельная теплоёмкость, М — молярная масса Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: Единила удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг К)). теплоемкость газообразного вещества зависит от характера термодинамического процесса. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: CV – молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и Cp – молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const). В процессе при постоянном объеме газ работы не совершает: A = 0. Из первого закона термодинамики для 1 моля газа следует Изменение ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению ΔT его температуры. Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3) можно записать в виде Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от p, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна СV (см. (53.4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева pVm=RT (42.4) по T (p=const), получаем (53.6) 53. Теплоемкость. Удельная и молярная теплоемкости. теплоемкость при постоянном объеме. Формула Майера. Молярная Теплоёмкость тела (обозначается C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT: Молярная теплоёмкость — это теплоёмкость одного моля вещества. Наиболее часто употребляемое обозначение — C. Связь с удельной теплоёмкостью: С=M•с, где с — удельная теплоёмкость, М — молярная масса Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: Единила удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг К)). теплоемкость газообразного вещества зависит от характера термодинамического процесса. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: CV – молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и Cp – молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const). В процессе при постоянном объеме газ работы не совершает: A = 0. Из первого закона термодинамики для 1 моля газа следует Изменение ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению ΔT его температуры. Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3) можно записать в виде Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от p, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна СV (см. (53.4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева pVm=RT (42.4) по T (p=const), получаем (53.6) Выражение (53.6) называется уравнением Майера; оно показывает, что Ср всегда больше СV на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде 54. Распределение молекул энергии. Формула Больцмана. Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP, а разность давлений dP будет равна весу газа mg в объеме V с площадью основания S = 1 м2 и высотой dh (V=Sdh), отнесенному к S. Выразим плотность газа ρ через давление P из уравнения Менделеева-Клапейрона Тогда Проинтегрируем отдельно левую и правую части уравнения. Считая температуру постоянной T=const, получим lnP = - , где С – постоянная интегрирования. Выражение для давления будет Постоянную интегрирования определяют из граничного условия. Еслиh = 0, то С = Р0 и тогда Это уравнение носит название барометрической формулы и показывает зависимость давления газа от высоты. Видно, что чем тяжелее молекулы и чем ниже температура, тем быстрее уменьшается давление с увеличением высоты. Заменим в формуле давление, выразив его через концентрацию молекул из уравнений P = nkT, P0 = n0kT и где n0 - концентрация молекул на высоте h=0; n - концентрация молекул на высоте h≠0. Данная формула описывает изменение концентрации молекул от высоты h в потенциальном поле земного тяготения и от температуры Т. Можно отметить две тенденции, определяющих распределение молекул по высоте: 1. Притяжение молекул к Земле (mg) стремится расположить их на поверхности Земли. 2. Тепловое движение (kT) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам от 0 до . В результате этих конкурирующих процессов распределение молекул газа по высоте имеет промежуточный вид. Потенциальная энергия молекулы Р=mgh. Следовательно, полученная формула представляет собой распределение молекул по значениям потенциальной энергии Это формула функции распределения Больцмана. Здесь n0 концентрация моле-кул в том месте, где Р = 0, n –концентрация молекул в той точке простран-ства, где молекула обладает потенциальной энергией p ≠ 0. Молекулы стремятся расположиться с наибольшей плотностью там, где у них минимальная потенциальная энергия Закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана - по значениям потенциальной энергии. Больцман доказал, что формула распределения справедлива не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. 55. Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула (для изотермической атмосферы). При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Если гав находится в силовом поле, то существуют силы, которые сообщают хаотически движущимся молекулам направленное движение. Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом движении и испытывают действие силы тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к состоянию газа, при котором наблюдается убыль концентрации и давления газа с возрастанием высоты над землей. Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова и равна m0. Атмосферное давление на некоторую площадку S обусловлено весом столба воздуха над этой площадкой (т.е. действием силы тяжести). Пусть на высоте h – давление р, а при h=0 – p=p0. Рассмотрим изменение давления элемента “столба” высотой dh, в пределах которого концентрацию можно считать постоянной. Убыль давления в пределах dh: . Но , или , поэтому: Произведя разделение переменных: . , получим . Если учесть, что , тогда . Зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря при постоянной температуре называют барометрической формулой. Пользуясь барометрической формулой , можно получить закон изменения концентрации с высотой. Приняв во внимание и , где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h0=0 и подставляя р и р0 в барометрическую формулу, получим закон распределения концентраций по высоте: , Полученное распределение Больцмана справедливо для поля тяготения, для которого – потенциальная энергия на высоте h (на разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии). Однако оно справедливо и для идеального газа, находящегося в любом другом потенциальном поле: распределение Больцмана в поле с потенциальной энергией U . При Т , nn0, то есть происходит выравнивание концентрации газа по всему объему, занимаемому газом. При Т 0, n 0, то есть все 56. Второй закон термодинамики. Тепловые машины. КПД тепловой машины. Второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает. Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Формулой Больцмана ( ) позволяет объяснить постулируемой вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Укажем еще 2 формулировки второго начала термодинамики: 1. по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу. 2. по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода – периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты,- невозможен. Французский инженер и физик Карно показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее 2х источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики. Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему: из всех периодических действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладают обратимые машины, при этом КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами),а определяются только температурами нагревателя и холодильника. Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, состоящий из 2х изотерм и 2х адиабат. Его называют циклом Карно. Прямой цикл Карно: в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем. Для цикла Карно КПД действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его увеличения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин, тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть – получается за счет механической работы. Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Для сравнения температур необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, другое – холодильника. 57. Идеальная тепловая машина. Цикл Карно. КПД идеальной тепловой машины. Во всех реальных тепловых машинах происходят те или иные потери энергии. 1. – контакт рабочего тела с нагревателем (1-2) – изотермическое расширение, от нагревателя отбирается тепло Q 2. – прекращение контакта рабочего тела с нагревателем (2-3) – адиабатическое расширение. Uуменьшается и температура понижаетсяTX<TH 3. – контакт с холодильником (ТХ) (3-4) – изотермическое сжатие. Тепло отбирается холодильником от рабочего тела 4. – прекращение контакта с холодильником (4-1) – адиабатическое сжатие, Uувеличивается и температура повышается до Тисх QH –QX =Aцикла – работа изотермического расширения – работа изотермического сжатия По определению КПДтепловой машины – это отношение полезной работы за цикл к затраченной энергии нагревателя. Используя уравнение адиабаты: Цикл Карно обратим, т.к. все его составные части являются равновесными процессами. Поэтому машина, работающая по циклу Карно, может работать не только в качестве тепловой машины (прямой цикл), но и в качестве холодильной (обратный цикл). Отнятие тепла от более холодного тела (фреон) и передача его более нагретому (окружающая среда) совершается за счет работы внешних сил (электрическая энергия). Иногда используют обратный цикл для нагревания тел – эти устройства называется тепловыми насосами. Т.к. Tx≠ 0, то η < 1. Отметим также, что для работы тепловых машин всегда требуются два тепловых термостата. Конечно, если взять только один термостат, то, пользуясь им, можно изотермическим расширением рабочего вещества получить полезную работу, но в реальных условиях не может быть бесконечного расширения, для работы машины необходимо периодическое возвращение рабочего вещества в начальное состояние. В циклическом процессе нельзя получить работу, пользуясь одним только тепловым резервуаром. Примечания: 1. Индексы 1 и 2 – начальное и конечное состояние. 2. Все величины выражены в одной системе. 3. Даны основные соотношение для равновесных процессов, совершаемых идеальным газом, m=const,CV=const,CP=const. 4. Работа совершается системой против внешнего давления dA> 0