Файл23

Занятие 22
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Учебная цель: освоить и закрепить понятия круговых процессов,
термического КПД и энтропии. Привить навыки решения задач на второй
закон термодинамики.
Литература
Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая
школа, 1989. - Гл.11, § 11.1 - 11.6.
Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука,
1987. - Т.1. - Гл. 12, § 104 - 105.
Контрольные вопросы для подготовки к занятию
1. Какой процесс называется круговым (или циклом)? Изобразите
цикл на диаграмме и поясните его.
2. В чем различие между обратимыми и необратимыми процессами?
Почему все реальные процессы необратимы?
3. Каковы особенности прямого цикла? По какой формуле определяется термический КПД тепловой машины?
4. Каковы особенности обратного цикла? Что такое холодильный коэффициент и коэффициент перекачки теплового насоса?
5. Изобразите схематически цикл Карно в координатах рV и поясните
его.
6. Выведите выражение для термического КПД цикла Карно.
7. Приведите формулировки второго закона термодинамики. Чем он
дополняет первый закон термодинамики?
8. Что такое энтропия? По каким формулам можно определить изменение энтропии идеального газа?
9. В чем состоит статистический смысл второго начала термодинамики и энтропии?
Краткие теоретические сведения и основные формулы
Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На
диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 22.1).
p
Q1  0
1 а
p
Ац > 0
Ац < 0
б
а
2
Q2 < 0
0
V1
а)
Q1  0
1 б
V2
2
Q2 > 0
V
0
V1
б)
V2
V
Рис. 22.1
Тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энергией с
другими телами, называется рабочим телом. Обычно таким телом является газ.
Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы
расширения 1а2 (при которых подводится теплота Q1 > 0) и сжатия 2б1
(при которых теплота отводится). Работа расширения определяется площадью фигуры 1а2 V2 V1 1 и положительна (dV > 0). Работа сжатия определяется площадью фигуры 2б1 V1 V2 2 и отрицательна (dV < 0). Следовательно, работа, совершаемая за цикл, определяется площадью, охватываемой
замкнутой кривой Aц  А расш  Асж . Если за цикл совершается положительная работа А   p dV  0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым; если за цикл совершается отрицательная работа
A   p dV  0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется
обратным.
Прямой цикл используется в тепловом двигателе - периодически действующей установке, совершающей работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах - периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.
В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики для цикла примет вид
Qц  U  A  A,
т.е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты.
Однако в результате кругового процесса система при расширении получает тепло (при прямом цикле Q1  0 , при обратном Q2  0 ), а при сжатии
отдает (при прямом цикле Q2  0, а при обратном  Q1  0 ).
Полная теплота, подведенная к рабочему телу за цикл, равна алгебраической сумме теплот. Для прямого цикла Qц  Q1  Q2 .
Следовательно, работа за цикл равна
A  Q1  Q2 .
(22.1)
Эффективность работы тепловой машины, схематически показанной
на рис. 22.2, характеризуется коэффициентом полезного действия , который показывает, какая часть полученной рабочим телом теплоты превращается в работу, т.е.

Q
A Q1  Q2

1 2 .
Q1
Q1
Q1
(22.2)
Эффективность холодильной установки, схема которой показана на
рис. 22.3, характеризуют холодильным коэффициентом, который определяют как отношение отнятой от охлаждаемого тела теплоты Q2 к работе,
которая затрачивается на приведение машины в действие:
kx 
Q2
Q2

.
A
Q1  Q2
Нагреватель
T1
Q1  0
Нагреватель
T1
Q1  0
Aц  Q1  Q2  0
Рабочее
тело
(22.3)
Рабочее
тело
Q2  0
Aц  Q1  Q2  0
Q2  0
T2  T1
T2  T1
Холодильник
Холодильник
Рис. 22.2
Рис. 22.3
В отличие от КПД холодильный коэффициент может быть больше 1.
Коэффициент полезного действия холодильной машины определяется
так:

Q1  Q2
Q1
.
(22.4)
Если холодильная установка используется в качестве теплового насоса для обогрева помещения, то теплота, отданная среде помещения, равна
Qнагр  Q хол  Азат р.
Эффективность теплового насоса определяется коэффициентом перекачки тепла:
kн 
Qнагр
Азатр

Qхол  Aзатр
Азатр

Qхол
 1.
Азатр
(22.5)
т.е. отношением количества теплоты, которое получило обогреваемое помещение, к затраченной работе. Коэффициент перекачки всегда больше 1.
Термодинамический процесс называется обратимым, если при совершении его термодинамической системой сначала в прямом, а затем в обратном направлении как сама система, так и все внешние тела, с которыми
система взаимодействует, возвращаются в исходное состояние.
Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.
Реальные циклы за счет неизбежных потерь тепла на нагревание частей машины, трения и других необратимых процессов теплопроводности
необратимы, а их КПД меньше КПД обратимого цикла Карно:
 необр   от р.
(22.6)
Цикл Карно является самым экономичным и представляет собой круговой процесс, состоящий из двух изотерм (при T1  const и T2  const ) и
двух адиабат (2 - 3 и 4 - 1) (рис. 22.4).
p
1
T1
Q1
Q0
2
4 Ац Q  0
Т 2 Q2 3
0
V
Рис.22.4
Термический КПД идеального цикла Карно

Q1  Q2 T1  T2
,

Q1
T1
(22.7)
где T1 – абсолютная температура нагревателя, T2 – абсолютная температура холодильника.
Цикл Карно, проведенный в обратном направлении, является идеальной холодильной установкой с холодильным коэффициентом:
kx 
T2
.
T1  T2
(22.8)
Первое начало термодинамики, являясь выражением закона сохранения и превращения энергии, не позволяет, однако, определить направление
протекания процессов в природе. Периодически действующий двигатель,
который совершал бы работу в количестве, равном подведенному ему теплу (вечный двигатель второго рода), не противоречит первому закону. Но
он запрещается вторым законом термодинамики.
Сущность второго закона термодинамики выражается несколькими
формулировками:
1. Для перевода тепла в работу необходимо наличие, кроме источника
тепла, охладителя более низкой температуры (С. Карно (1796 - 1832) – фр.
физик, инженер).
2. Тепло само по себе не может перейти от более холодного тела к более теплому (Р. Клаузиус (1822 - 1888) – нем. физик).
3. Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого была бы механическая работа, совершенная за счет охлаждения теплового резервуара (В. Томсон (1824 - 1907) – англ. физик).
4. Невозможен такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу (М. Планк (1858 1947) – нем. физик).
На основании выражений (22.7) можно записать:
Q1  Q2 T1  T2

,
Q1
T1
(22.9)
где знак  =  относится к обратимому процессу, а знак  <  - к необратимому. Учитывая, что Q2  0 , выражение (22.9) примет вид
Q1 Q2

0.
T1 T2
(22.10)
Отношение количества теплоты, получаемого или отданного рабочим
телом, к температуре, при которой происходит теплообмен, называется
приведенным количеством теплоты. Выражение (22.10) можно сформули-
ровать так: алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты за цикл
не больше нуля (в обратимом цикле равна нулю, в необратимом – меньше
нуля).
Сумму приведенных количеств теплот для обратимого процесса можно представить как разность значений некоторой функции состояния, которую называют энтропией:
2
S  S 2  S1  
1
dQ
,
T
(22.11)
где S 2 и S1 – энтропия в конечном 2 и начальном 1 состояниях соответственно;
dQ
является дифференциалом энтропии:
T
dS 
dQ
.
T
(22.12)
Если dQ > 0, то dS > 0; если dQ < 0, то dS < 0. Следовательно, возрастание или убывание энтропии указывает на направление теплообмена.
С учетом первого закона термодинамики dQ   CV dT  p dV уравнение (22.11) примет вид
S12   C V ln
T2
V
  R ln 2 .
T1
V1
При переходе термодинамической системы из состояния 1 в состояние
2 изменение энтропии не зависит от вида процесса, определяется только
начальными и конечными параметрами состояния (значениями температуры и объема в этих состояниях).
Второе начало термодинамики является статистическим законом: оно
отражает закономерности движения огромного числа частиц тел, входящих в состав изолированной системы.
Примеры решения задач
Задача 1. Один моль идеального двухатомного газа, занимающий
объем V1 = 12,3 л под давлением p1 = 2 атм, нагревается при постоянном
объеме до p2 = 3 атм. Затем газ расширяется при постоянном давлении до
V2 = 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального
давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального
объема. Определить: 1) температуру точек цикла; 2) термический коэффициент полезного действия цикла.
Дано:
 = 1 моль
V1 = 12,3 л = 1,23  10 2 м3
p1 = 2 атм = 2  10 5 Па
p 2 = 3 атм = 3  10 5 Па
V2 = 24,6 л = 2,46  10 2 м3
Дж
R = 8,31
моль  К
p
p2
3  p 2 , V2 , T3 
2  p 2 , V1 , T2 
A
1  p1 , V1 , T1 
p1
0
T1  ? T2  ? T3  ? T4  ?   ?
V1
4  p1 , V2 , T4 
V2
V
Рис.22.5
Перед решением задачи необходимо:
1) начертить график цикла в координатах р,V;
2) на графике отметить параметры состояния газа в каждой точке; выделить известные параметры.
Решение
Из анализа условий задачи видно, что в каждой из точек 1, 2, 3, 4 температура может быть определена из уравнения состояния газа.
Но рациональнее пользоваться уравнениями соответствующих процессов.
1) p1 V1   R T1 ; T1 
p1 V1
.
R
Подставляя данные, получаем
T1 
2  10 5  1,23  10 2
К = 290 К; T1 = 290 К.
8,31
2) Процесс 1 - 2, V1 = сonst – изохорный.
p1 p 2

;
T1 T2
T2 
T2 
T1  p 2
;
p1
290  3  10 5
К = 435 К; T2 = 435 К.
2  10 5
3) 2 - 3 – процесс изобарный, p2 = сonst.
V1 V2
T2 V2
435  2,46  10 2
К = 870 К; T3 = 870 К.

; T3 
; T3 
T2 T3
V1
1,23  10 2
4) Процесс 3 - 4 изохорное охлаждение, V2 = const.
T p
p 2 T3
870  2  10 5
К = 580 К; T4  580 К.
 ; T4  3 1 ; T4 
p1 T4
p2
3  10 5
5) Коэффициент полезного действия цикла

A
,
Q1
где А – работа совершенная в цикле, Q1 – количество теплоты, полученное
рабочим телом от нагревателя.
Полная работа, совершенная в данном цикле, равна
A  A12  A23  A34  A41 .
Работы A12 и A3 4 равны нулю, так как в изохорном процессе изменение объема dV = 0, следовательно, и работа равна 0 (перемещения тел нет).
Полезная работа за цикл равна
A  A23  A41 .
В изобарном процессе работа равна А = р V, следовательно,
A23  p 2 V2  V1 ;
A41  p1 V1  V2 .
Так как V2  V1 , то A41   p1 V2  V1 .
Тогда
A  A23  A41  V2  V1   p2  p1 .
Полезная работа цикла численно равна площади цикла.
Q1  количество теплоты, полученное в цикле при изохорном и изобарном нагревании, т. е. в процессах 1 - 2 и 2 - 3:
Q12   CV T2  T1 ,
Q23   C P T3  T2 
Q1   CV T2  T1    C P T3  T2 ; CV 
Q1  
i
i2
R , CP 
R;
2
2
i
i2
R T2  T1   
R T3  T2 .
2
2
КПД цикла
2 V2  V1   p2  p1 
.
 R i T2  T1   i  2 T3  T2 

Вычисляем , подставив данные:




2 2,46  10 2  1,23  10 2 3  10 5  2  10 5
 0,078 ;
1  8,31 5  145  7  435
 = 7,8 %.
6) Можно сравнить КПД данного цикла с КПД обратимого цикла
Карно:
T1  T2 870  290

 0,67  67 % .
T1
870
K 
7) Изобразите данный цикл в координатах р,Т и V,Т:
V
p
2
3
4
3
1
1
4
2
Т
0
Т
0
Рис.22.7
Рис.22.6
8) Изобразите данный цикл в координатах Т, S
Т
V3  V2
V1  V2
3
2
1
4
S
0
Рис.22.8
Ответ: Т1 = 290 К, Т2 = 435 К, Т3 = 870 К, Т4 = 580 К,  = 7,8 %; график
на рис. 22.8.
Задача 2. На рис.22.9 изображен в координатах Т, V цикл. В цикле заданы T1 и T2 температуры нагревателя и холодильника. Найти .
Т
p
2
1
1
2
3
3
V
Рис.22.9
V
Решение
Начертим график цикла в координатах р,V:
1 - 2 – изобарное расширение.
2 - 3 – изохорное охлаждение.
3 - 1 – изотермическое сжатие.
КПД цикла равен:

A
;
Q1
A  A1 2  A31 ;
A23  0;
A12   R T2  T1 ; A31   R T1 ln
V3
.
V1
А – работа полезная, совершенная в цикле, Q1  полученное в цикле
тепло от нагревателя, оно получено в изобарном процессе 1 - 2; в процессах 2 - 3 и 3 - 1 тепло отдается холодильнику.
i2
R T2  T1 ;
2
V
 R T2  T1    R T1 ln 3
V1

;
i2


 R
T2  T1
2
V3 p1
 закон Бойля - Мариотта.

V1 p3
Q1   C P T  
На участке 2 - 3 можно записать
p 2 T2
,

p3 T3
но p2  p1 , а T3  T1 .
Следовательно,
V3 T2
.

V1 T1
Тогда
T2  T1   T1 ln T2

T1
i2
T2  T1 
2
.
Задача 3. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура
нагревателя t1 = 400 0С, температура холодильника t 2 = 20 0С. Время, за
которое осуществляется цикл Карно,  = 1 c. Найти мощность двигателя,
работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат
2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.
T1
T2
т


R
Дано:
= 400 0С = 673 К
= 20 0С = 293 К
= 2 кг
кг
= 29 . 10 3
моль
=1с
Дж
= 8,31
моль  К
p
1  p1 V1 T1 
2  p 2 V2 T1 
p2
4
 p 2 V4 T2 
3  p 3 V3 T2 
V4
V
Рис. 22.10
p2  p4
N-?
Решение
Изобразим цикл Карно на рис. 22.10, p2  p4 по условию.
Мощность
N
A

,
где А – работа, совершенная воздухом за один цикл.
В процессе 1 - 2 рабочее тело получает тепло от нагревателя и совершает работу, так как это процесс изотермический, то
Q1  A12 ; Q1 
m

R T1 ln
p1
.
p2
КПД цикла Карно:
T1  T2
A
; 
,
T1
Q1

отсюда
A   Q1 
T1  T2 m
p
R T1 ln 1 .
T1 
p2
Из уравнения Пуассона можно найти отношение

p1  T1   1
  ,
p 4  T4 

 p   T   1
C
i2
но так как p 4  p 2 ,  1    1  , где   P 
.
CV
i
 p 2   T2 
Воздух - смесь в основном двухатомных газов, поэтому  
Тогда
ln
p1
T


ln 1 ;
p 2   1 T2
A  T1  T2 
N
N
A


T
m 
R ln 1 ;
  1
T2
T1  T2 m 
T
R ln 1 ;

  1
T2
673  293 2  8,31 1,4
673
ln
Вт = 6,2 .10 5 Вт.
3
1
29  10 1,4  1 293
Ответ: N = 6,2 . 105 Вт.
52
 1,4.
5
Задача 4. 6,6 г водорода расширяются изобарически до удвоения объема. Найти изменение энтропии при этом расширении. Построить график
зависимости S от T.
Дано:
р = const
т = 6,6  10 3 кг
кг
 = 2  10 3
моль
Решение
Изменение энтропии газа при переходе из
одного состояния в другое определяется только
параметрами этих состояний и не зависит от характера процесса:
V2  2 V1
S - ?
2
S  
1
dQ
.
T
Из первого начала термодинамики для изобарного процесса (р = const)
получим количество теплоты  Q :
 Q  d U   A,
Q 
m

Q 
m

C p dT ,
CV dT  p dV,
i
2
где CV  R .
Работа  A  p dV 
ного газа; p dV 
m

m

R dT (это следует из уравнения состояния идеаль-
R dT ).
Тогда
Q 
m

dS 
C P dT 
m i2
R dT ;
 2
 Q m i  2 dT
 R
.
T

2 T
Интегрируя, получаем
Q m i2
S  
 R
T

2
1
2
T
dT m i  2

R ln 2 .
T
 2
T1
T1
T2

Для изобарного процесса
V2 T2
 .
V1 T1
Тогда
S 
V
m i2
R ln 2 .
 2
V1
По условию
V2
 2.
V1
Вычислим S:
S 
Дж
6,6  10 3  7  8,31
.
ln 2  66
3
2  10  2
К
Вывод: Энтропия при изобарном расширении водорода увеличилась
S  0 , следовательно, процесс необратим, самопроизвольно сжиматься газ
не может. Энтропия указывает направление процесса.
Задача 5. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении водорода т = 6 г в пределах 105…0,5 .105 Па. Построить график зависимости S от р и S от V.
Дано:
T = const
m = 6 . 10 3 кг
кг
 = 2 . 10 3
моль
5
p1 = 10 Па
p 2  0,5  10 5 Па
Дж
R = 8,31
моль  К
S - ?
Т
S1
S2
Рис. 22.12
S
Решение
Т = const.
2 Q
S  
1
S 
V2

V1
S 
T
; dT  0 ; dU 
p dV
;
T
из
m
C V dT  0,  Q   A;  A  p dV;

уравнения
состояния
имеем
p
p  const;
m RT
,
 V
тогда
V2
V V
p
m RT dV m
 R ln 2 ; 2  1 для изотермического процесса, поэтому
V T

V1 V1
p2
V1

Дж
p1 6  10 3  8,31
.
S  R ln

ln
2

17
,
3

p2
2  10 3
К
m
В изотермическом процессе S > 0 при расширении.
Дж
Ответ: S = 17,3
.
К
Задача 6. Найти изменение внутренней энергии, энтропии и работы
совершенной газом при переходе газа из состояния А в состояние В по пути: а) АСВ и б) по пути АDВ (рис.22.13).
Дано:
кг
 = 8,2
моль
V1 = 3 л = 3 . 10 3 м3
V2  4,5 л = 4,5 . 10 3 м3
p1 = 8,2 . 10 5 Па
p2  6  10 5 Па
S1  ? S 2  ? U 1  ?
p
А  p1 V1 T1 
D  p1 V2 T4 
С  p 2 V1 T2 
В  p 2 V2 T3 
p1
p2
V1
0
V2
V
Рис. 22.13
U 2  ? A1  ? A2  ?
Решение
I. а) путь АСВ:
m i
m i
R T2  T1  
R T3  T2  
 2
 2
i
i
i
 V1  p 2  p1   p 2 V2  V1    p 2 V2  p1V1 ;
2
2
2
U 1  U АС  U CB 
б) путь АDВ:
m i
m i
R T4  T1  
R T3  T4  
 2
 2
i
i
i
 p1 V2  V1   V2  p 2  p1    p 2 V2  p1V1 .
2
2
2
U 2 
Вывод:  U1  U 2 , т. е. внутренняя энергия является функцией состояния, изменение от процесса не зависит.
II. AACB
 AАD 


5
6  10 5 4,5  10 3  8,2  10 5  3  10 3  600 Дж.
2
m
 AАDB , так как AACB  ACB  R T3  T2   p 2 V2  V1  , а
U 

AАDВ 
m
R T4  T1   p1 V2  V1  .

ААСВ = 6 . 105 (4,5 . 10-3 – 3 . 10-3) = 900 Дж;
АADB = 8,2 . 105 (4,5 . 10-3 – 3 . 10-3) = 1230 Дж.
Работа зависит от процесса T2 .
S1  S AC  S CB ; S AC 
III.
S CB 
T
m i dT m i
R

R ln 2 ;
2
T
 2
T1
T1

T
m i  2 dT m i  2
R

R ln 3 ;
2
T
 2
T2
T2
T3

S 2  S АD  S DВ ;
S1 
T2
S АD 
T
T
m i2
m i
R ln 4 ; S DВ 
R ln 2 ;
 2
T1
 2
T3
 i T i  2 T3 
;
R  ln 2 
ln
  2 T1
2
T2 
m
S 2 
m  i T2 i  2 T4 
R  ln

ln .
  2 T3
2
T1 
Из газовых законов получаем
T
T1
p
V
T
V
 1; 3  2; 4  2.
T2 p 2
T2 V1
T1 V1
Тогда
S1 
 i
p i  2 V2 
,
R   ln 1 
  2 p2
2 V1 
m
S 2 
 i  2 V2 i
P 
R 
 ln 1 ,
  2 V1 2 P2 
m
то есть
 5 8,2  10 5 7 4,5  10 3 
Дж

S1  S 2  8,2  8,31   ln



305
.
5
3 
2
2
К
6

10
3

10


Энтропия и внутренняя энергия являются функциями состояния. Их
изменение не зависит от пути перехода, а зависит только от начального и
конечного состояний.
Ответ: U1 = U2 = 600 Дж, А1 = 900 Дж, А2 = 1230 Дж, S1 = S2 =
Дж
= 305
.
К
Качественные задачи
Задача 1. Изобразите для идеального газа графики изотермического и
адиабатного процессов на диаграмме U, S (U – внутренняя энергия, S – энтропия).
Задача 2. Изобразите для идеального газа примерные графики изотермического, изохорного, изобарного и адиабатного процессов на диаграмме: 1) T, S; 2) V, S; 3) p, S. S откладывать по оси абсцисс. Графики
изобразить проходящими через общую для них точку.
Задача 3. На рис. 22.14 изображены пять процессов, протекающих с
идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия газа в ходе каждого
из процессов? Как ведет себя энтропии в ходе каждого из процессов?
p
2
1
3
4
0
V
Рис. 22.14
Задача 4. Изобразите для идеального газа примерные графики изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов на диа-
грамме: 1) S, T; 2) S, V; 3) S, p. S откладывать по оси ординат. Графики
имеют общую для всех исходную точку.
Задача 5. На рис. 22.15 изображен цикл Карно на диаграмме p, V для
идеального газа. Какая из заштрихованных площадей больше, I или II?
р
1
2
4
I
3
II
0
V
Рис.22.15
Задача 6. На рис. 22.16 изображены две изоэнтропы для одной и той
же массы идеального газа. Какая из энтропий больше?
p
S2
S1
0
V
Рис. 22.16
Задача 7*. Идеальный газ (с известным ) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар. Изотермические процессы
протекают при температурах T1 и T2 T1  T2 , изобарные – при давлениях р1
и р2 (р2 в е раз больше, чем р1). Найти КПД цикла.
Задача 8. Как ведет себя энтропия термодинамической системы при
адиабатическом процессе?
Задача 9. Некоторое количество газа переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 посредством: а) обратимого адиабатного процесса; б) некоторого необратимого процесса. Начальное и конечное состояния газа для обоих процессов одинаковы. 1. Чему равно приращение энтропии газа S в обоих случаях? 2. Может ли второй процесс
быть также адиабатическим?
Задача 10*. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор. 1) Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия
на различных участках цикла? 2) На каких участках: а) совершенная газом
работа А; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?
Задача 11*. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух адиабат и двух изобар. 1. Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия на
различных участках цикла? 2. На каких участках: а) совершенная газом работа A; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?
Задача 12. Изобразить на диаграмме Т, V совершаемый идеальным
газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изобар; б) двух изобар и
двух изохор.
Задача 13. Изобразить на диаграмме Т, р совершаемый идеальным газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изохор; б) двух изохор и
двух изобар.
Задача 14. Изобразить на диаграмме Т, S совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
Задача 15*. Круговой процесс состоит из изотермы, адиабаты и двух
изобар. Изобразить этот процесс на диаграмме Т, S (рис.22.17)
p
1
2
3
4
V
Рис. 22.17
Задача 16*. Идеальный газ (с известным ) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы
протекают при температурах T1 и T2 T1  T2  , изохорические – при объемах
V1 и V2 (V2 в е раз больше, чем V1). Найти КПД цикла.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно,
получает за каждый цикл от нагревателя 2500 Дж. Температура нагревателя 400 К, температура холодильника 300 К. Найти работу, совершаемую
машиной за один цикл, и количество тепла, отданное холодильнику за
один цикл.
Ответ: А =  Q1 = 630 Дж; Q2 = 1880 Дж.
Задача 2. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно.
Определить КПД цикла, если известно, что за один цикл была произведена
работа 3000 Дж и холодильнику передано 13,3 кДж тепла.
Ответ:  = 18 %.
Задача 3. Идеальная тепловая машина работающая по циклу Карно,
совершает за один цикл работу 7,35. 10 4 Дж. Температура нагревателя
100 0С, температура холодильника 0 0С. Найти: 1) КПД машины; 2) количество тепла, получаемое машиной за один цикл от нагревателя; 3) количество тепла, отданное за один цикл холодильнику.
Ответ: 1)  = 26,8 %; 2) Q1 = 2,74 .10 5 Дж; 3) Q2 = 2 .10 5 Дж.
Задача 4. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно,
80 % тепла, полученного от нагревателя, передает холодильнику. Количество тепла, полученное от нагревателя, равно 6,3 кДж. Найти: 1) КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.
Ответ: 1)  = 20 %; 2) А = 1,26 .10 3 Дж.
Задача 5. Цикл состоит из двух изотерм и двух изобар, T1 = 600 К,
T2 = 300 К, p1  4 p2 . Определить КПД цикла, если рабочим телом служит
один моль идеального газа, число степеней свободы молекул которого
равно 5.
Ответ:  = 0,221.
Задача 6. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно в
интервале температур t1  27 0С и t 2 =  3 0С. Рабочее тело - азот, масса которого т = 0,2 кг. Найти количество тепла, отбираемого от охлаждаемого
тела, и работу внешних сил за цикл, если степень сжатия
Vmax
 5.
Vmin
Ответ: Q2 = 21,6 кДж; А =  2,4 кДж.
Задача 7. Определить изменение энтропии одного моля идеального
газа в изобарном, изохорном и изотермическом процессах.
Ответ: S P  C P ln
V2
p
V
; SV  CV ln 2 ; ST  R ln 2 .
V1
p1
V1
Задача 8*. Какую максимальную работу может произвести тепловая
машина, если в качестве нагревателя используется кусок железа массой
100 кг с начальной температурой T1 = 1500 К, а в качестве холодильника –
Дж
вода океана с температурой T2 = 285 К? (С = 500
).
кг  К
Ответ: А = 4,5 . 10 7 Дж.
Задача 9*. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура холодильника 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура
нагревателя повысится от 400 до 600 К?
Ответ: в 1,88 раза.
Задача 10*. Идеальный газ, расширяясь изотермически при температуре Т = 400 К, совершает работу А = 800 Дж. Как изменится энтропия
газа?
Дж
Ответ: S = 2
.
К
Задача 11. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем
газа в количестве  = 4 моль, чтобы его энтропия изменилась на
Дж
S = 23
?
К
Ответ: в 2 раза.
Задача 12*. Один грамм водорода первоначально имеет объем
V1 = 200 л и давление р1 = 500 Па. После расширения объем газа стал
V2 = 500 л, а давление р2 = 200 Па. Считая газ идеальным, определить:
а) приращение внутренней энергии U ; б) приращение энтропии S.
Дж
Ответ: S =3,8
; U = 0.
К
Задача 13. Найти изменение энтропии при переходе 6 г водорода от
объема V1 = 20 л под давлением 1,5  10 5 Па к объему V2 = 40 л при температуре 300 0С при неизменном давлении.
Дж
Ответ: S =60,5
.
К
Задача 14. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении 8 г гелия от объема V1 = 10 л до объема V2 = 25 л.
Ответ: S = 38,1
Дж
.
К
Задача 15. 10,5 г азота изотермически расширяются от объема
V1 = 2 л до объема V2 = 5 л. Найти прирост энтропии в этом процессе.
Дж
Ответ: S = 2,9
.
К
Задача 16. При нагревании одного киломоля двухатомного газа его
абсолютная температура увеличивается в 1,5 раза. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорически; 2) изобарически.
кДж
кДж
Ответ: 1) S = 8,5
; 2) S = 11,8
.
К
К
Задача 17*. В результате нагревания 22 г азота его абсолютная темпеДж
ратура увеличилась в 1,2 раза, а энтропия увеличилась на 4,19
. При
К
каких условиях производилось нагревание (при постоянном объеме или
при постоянном давлении)?
Ответ: нагревание проводилось при постоянном давлении.
Задача 18. Совершая замкнутый цикл, газ получил от нагревателя
теплоту Q = 4,19 кДж. Какую работу совершил газ в результате всего цикла, если термический КПД цикла  = 0,1?
Ответ: А =  Q1 = 419 Дж.
Задача 19. Один моль идеального двухатомного газа совершает цикл,
состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vmin = 10 л,
наибольший объем Vmax= 20 л, наименьшее давление pmin = 2,46 атм,
наибольшее давление pmax = 4,1 атм. Начертить график цикла, в координатах р, V определить температуру газа для характерных точек цикла и его
термический КПД.
Ответ: 300 К; 500 К; 1000 К; 605 К;  = 8,55 %.
Задача 20. Один киломоль двухатомного идеального газа совершает
замкнутый цикл, график которого изображен на рис. 22.18. Определить:
1) теплоту, полученную от нагревателя; 2) теплоту, переданную холодильнику; 3) работу, совершаемую газом за цикл; 4) термический КПД цикла.
р (Па)
16
15
14
13
12
0
2
3
1
4
1
2
3
Рис. 22.18
V (м3)
Ответ: 1) Q1 = 7,61  10 6 Дж; 2) Q2 = 7,21 · 10 6 Дж; 3) А = 0,4  10 6 Дж;
4)  = 5,3 %.
Задача 21. Один моль идеального двухатомного газа, находящийся
под давлением р1 = 1 атм при температуре t1 = 27 0С, нагревают при постоянном объеме до давления р2 = 2 атм. После этого газ расширился изотермически до начального давления и затем был изобарически сжат до
начального объема V1. Начертить график процесса в координатах р, V; р,
Т; V, Т. Определить температуру газа для характерных точек цикла и его
термический КПД.
Ответ: T2  T3  600 К,  = 9,9 %.
Задача 22. Одноатомный газ 0,1 кмоль, имевший при давлении
р1 = 105 Па объем V1 = 5 м3, сжимался изобарически до объема V2 = 1 м3,
затем сжимался адиабатически и, наконец, расширялся при постоянной
температуре до начального объема и давления. Построить график процесса
в координатах р, V. Найти: 1) температуру, объем и давление для характерных точек цикла; 2) теплоту, полученную газом от нагревателя; 3) теплоту, переданную газом холодильнику; 4) работу, совершенную за весь
цикл; 5) термический КПД цикла.
Ответ: T1 = 600 К; T2 = 120 К; V3 = 0,09 м3; p3  5,56  10 6 Па; T3 = 600 К;
Q1  2  10 6 Дж; Q2  10 6 Дж; А = 10 6 Дж;  = 50 %.
Задача 23. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий
из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза
больше наименьшего, а наибольший объем в 4 раза больше наименьшего.
Определить термодинамический КПД цикла.
Ответ:  = 0,11.
2
теплоты Q1 , полученной
3
от нагревателя, отдает холодильнику. Температура холодильника 0 0С.
Определить температуру нагревателя.
Ответ: T1 = 409 К.
Задача 24. Газ, совершающий цикл Карно,
Задача 25. Газ совершает цикл Карно. Температура холодильника
t 2 = 17 0С. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от t1 = 127 0С до t1 = 347 0С?
Ответ: 1,93 раза.
Задача 26. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура
нагревателя в три раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель
передал газу теплоту Q1 = 10 ккал. Какую работу совершил газ?
Ответ: А = 2,81  10 4 Дж.
Задача 27. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура T1
нагревателя в 4 раза выше абсолютной температуры T2 холодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику.
Ответ:
Q2 T2 1

 .
Q1 T1 4
Задача 28. Газ, совершающий цикл Карно, за счет каждой килокалории теплоты, полученной от нагревателя, совершает работу А = 598 Дж.
Каков КПД этого цикла? Во сколько раз абсолютная температура T1 нагревателя больше абсолютной температуры T2 холодильника?
Ответ:  = 14,3 %;
T1
 1,17 .
T2
Задача 29. Газ совершает цикл Карно. Работа изотермического расширения A1 = 5 Дж. Определить работу изотермического сжатия, если термический КПД цикла  = 0,2.
Ответ: А = 4 Дж.
Задача 30. Наименьший объем газа, совершающего цикл Карно,
V1= 153 л. Определить наибольший объем V3, если объем газа в конце изотермического расширения V2 = 189 л, а в конце изотермического сжатия
V4 = 600 л.
Ответ: V3 = 0,74 м3.
Задача 31. Смешано m1 = 5 кг воды при температуре t1 = 10 0С с
m2 = 8 кг воды при температуре t 2 = 80 0С. Найти: 1) температуру смеси;
2) изменение энтропии, происходящее при смешивании.
Дж
Ответ: t = 53 0С; S =296
.
К
Задача 32. В результате изохорического нагревания водорода массой
т = 1 г давление газа увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии газа.
Дж
Ответ: S = 7,2
.
К
Задача 33. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении азота массой т = 4 г от объема V1 = 5 л до объема V2 = 9 л.
Дж
Ответ: S = 2,43
.
К
Задача 34. Кусок льда массой т = 200 г, взятый при температуре
t1 =  10 0С, был нагрет до t 2 = 0 0С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры t 3 = 10 0С. Определить изменение
энтропии льда.
Дж
Ответ: S = 291
.
К
Задача 35. Кислород массой т = 2 кг увеличил свой объем в 5 раз,
один раз – изотермически при температуре t1 = 10 0С, другой раз – изотермически при температуре t 2 = 100 0С, третий раз – адиабатически. Каково
будет изменение энтропии в этих трех случаях?
V
m
Дж
Ответ: S1  S 2  R ln 2  0,84
; S = 0.

V1
К
Задача 36. Водород массой т = 100 г был изобарически нагрет так,
что его объем увеличился в 3 раза, а затем водород был изохорически
охлажден так, что давление его уменьшилось в три раза. Найти изменение
энтропии.
Дж
Ответ: S  S1  S 2 = 457
.
К
Задача 37. Идеальный двухатомный газ, занимающий объем V1 = 2 л,
подвергли адиабатному расширению. При этом его объем возрос в 5 раз.
Затем газ подвергли изобарному сжатию до начального объема. В результате изохорного нагревания он был возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.
Ответ:  = 34,1%.
Задача 38. Идеальный двухатомный газ ( = 3 моль), занимающий
объем V1 = 5 л и находящийся под давлением р1 = 1 МПа, подвергли изохорному нагреванию до Т2 = 500 К. После этого газ подвергли изотермическому расширению до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график
цикла и определите термический КПД цикла.
Ответ:  = 13,3%.
Задача 39. Рабочее тело – идеальный газ – теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов: изобарного,
адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ
нагревается от Т1 = 300 К до Т2 = 600 К. Определите термический КПД
теплового двигателя.
Ответ:  = 30,7%.
Задача 40. Азот массой 500 г находящийся под давлением р1 = 1 МПа
при температуре t1 = 127 С, подвергли изотермическому расширению, в
результате которого давление газа уменьшилось в п = 3 раза. После этого
газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он
был изобарно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл.
Ответ: А = -11,5 кДж.
Задача 41. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества
теплоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количество
теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.
Ответ: 1)  = 30%; 2) А = 1,5 кДж.
Задача 42. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла;
2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.
Ответ: 1) = 40%, 2) Q2 = 1,2 кДж.
Задача 43. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при
этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в п = 4
раза. Определите термический КПД цикла.
Ответ:  = 37 %.
Задача 44. Во сколько раз необходимо увеличить объем ( = 5 моль)
идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеДж
личилась на S = 57,6
?
К
S
Ответ: n
 e R
 4.
Задача 45. При нагревании двухатомного идеального газа ( = 2 моль)
его термодинамическая температура увеличилась в п = 2 раза. Определите
изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.
Дж
Дж
Ответ: 1) S1 = 28,8
; 2) S2 = 40,3
.
К
К
Задача 46. Идеальный газ ( = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так
что объем газа увеличился в п1 = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что
давление его уменьшилось в п2 = 2 раза. Определите приращение энтропии
в ходе указанных процессов.
Дж
Ответ: S = 11,5
.
К
Задача 47. Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем
изобарно сжали до начального объема. Определите изменение энтропии
газа в ходе указанных процессов.
Дж
Ответ: S = -20,2
.
К