Производная и её применение

Производная и её применение
1. При каких значениях m функция f ( x)  2 x 3  3(m  2) x 2  48mx  6 x  3 возрастает на всей
числовой прямой.
Решение:
Д (f) = R
f ( x)  6 x 2  6(m  2) x  48m  6
Функция f(x) возрастает на R, если f ( x)  0
Отсюда:
6 x 2  6(m  2) x  48m  6  0
x 2  (m  2) x  (8m  1)  0
По свойству квадратного трёхчлена, он принимает значение больше или равные 0, если
Д 0
Д  (m  2) 2  4(8m  1)  m 2  4m  4  32m  4  m 2  28m
m 2  28  0
Отсюда:
Найдём все значения m, удовлетворяющие этому неравенству. Рассмотрим функцию
y  m 2  28m Д (у) = R
Нули функции: m1  0 m2  28
y (m)  0, если m  0;28
Значит: решением данного неравенства является 0;28
Отсюда: данная функция f(x) возрастает на всей числовой прямой при m  0;28.
1
2. Найти все общие точки графика функции у  x 3  4 x и касательной к этому графику,
3
проведённой через М(0; 18).
Решение:
Уравнение касательной, проведённой к графику функции через точку x0 имеет вид
у  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ).
Найдём уравнение данной касательной:
1
f ( x0 )  x03  4 x0
Д (у) = R
у  x 2  4
3
f ( x0 )  ( x 2 0  4)
1
у  x03  4 x0  ( x02  4)( x  x0 )
Отсюда:
3
2
у  ( x02  4) x  x03 – уравнение касательной
3
1
Проверим принадлежность точки М(0; 18) к графику функции y  x 3  4 x
3
18 = 0 – неверное неравенство значит М(0; 18) – не принадлежит графику функции.
2
Так как касательная проходит через М(0; 18), то справедливо равенство 18  ( x02  4)  0  x03
3
x0  3
Отсюда касательная задаётся уравнением у  5 х  18.
1
Найдём абсциссы точек пересечения графика функции у  x 3  4 x и касательной у  5 x  18,
3
1
решив уравнение x 3  4 x  5 х  18
3
x 3  27 x  54  0
( x 3  27)  (27 x  81)  0
( x  3)( x 2  3 x  9)  27( x  3)  0
( x  3)( x 2  3 x  18)  0
x  3  0 или x 2  3x  18  0
x  3 или x  3 или x  6
Отсюда абсциссы общих точек x  3 или x  6, ординаты у  5  (3)  18  3 и
1
у  5  6  18  48 значит, координаты общих точек графика функции y  x 3  4 x и касательной,
3
проведённой через М(0; 18) будут (–3; 3) и (6; 48).
3. Перо графопостроителя вычерчивает график функции у  х  2 cos x для всех x
принадлежащих промежутку   ; . Найдите координаты точки графика, наиболее удалённый
от оси абсцисс.
Решение:
Пусть х – абсцисса точки графика, наиболее удалённой от оси абсцисс при условии x    ;  ,
тогда ордината точки у  x  2 cos x.
Так как точка наиболее удалена от оси абсцисс, то расстояние от точки до оси абсцисс равно
длине её ординаты х  2 cos x .
Найдём значение x, при котором данное расстояние принимает наибольшее значение.
Для этого рассмотрим функцию
f ( x)  x  2 cos x
Д (f) = R, по условию x    ;  
f ( x)  1  2 sin x
Критические точки функции:
1  2 sin x  0
2 sin x  1
1
sin x  
2


5
x  (1) n1  n, n Z. Из них   ;   принадлежат x1   и x2   .
6
6
6
Найдём наибольшее значение функции на   ; , для этого найдём значение функции на
5
5
 3;
концах промежутка и в критических точках f ( )    2; f ( )  
6
6


f ( )    3; f ( )    2.
6
6
Отсюда: f(x) принимает наибольшее значение при x   , а значит, точка наиболее удалённая от
оси абсцисс  ;   2.
4. Найдите самый длинный отрезок прямой, параллельной оси у внутри фигуры, ограниченной
линиями у  x 2  6 х  1 и у  3x 2  2 х  1.
Решение:
Найдём абсциссы точек пересечения линий, для этого решим уравнение:
x 2  6 х  1  3x 2  2 x  1
4 x 2  8х  0
4 x( x  2)  0
x  0 или x  2
Пусть М x;3x 2  2 x  1 – точка, принадлежащая линии у  3x 2  2 х  1, а N x; x 2  6 x  1 –


точка, принадлежащая линии у  x 2  6 х  1 M N 2   3х 2  2 х  1  х 2  6 x  1


2
2
М N 2   4 х 2  8х .
Найдём наибольший квадрат длины отрезка, а значит и самый длинный отрезок, лежащий
внутри фигуры и параллельный оси у. Для этого рассмотрим функцию g ( x)  4 x 2  8x на
отрезке 0;2 g ( x)  8 x  8.
Критические точки х = 1 1 0;2 – на котором функция определена и непрерывна.
g(0) = 0
g(1) = 4
g(2) = 0
Значит, функция g имеет наибольшее значение 4 при х = 1.
Отсюда, самым длинным отрезком, параллельным оси у внутри фигуры будет отрезок MN, где
М(1;0), а N(1; –4).